PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina1de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarLaTeoraDeGrafos,UnPretextoParaHacerMatematicasElementalesJoseLuisRamrezRamrez*Correoelectronico:jolura1@gmail.com4deOctubrede2007*Estudiante Universidad Pedagogica NacionalPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina2de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarIndice1. QuesonlosGrafos? 31.1. AdyacenciadeVertices,IncidenciadearistasyGradodelosVertices 41.2. TiposdeGrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. RepresentacionMatricialdelosGrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. TrayectoriasyCircuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. LaPropuesta 112.1. ContextoInstitucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. JusticaciondelContenido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. LasActividades 163.1. MotivacionalosGrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. TrayectoriasyCircuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Matricesyalgomas... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. Conclusiones 234.1. LosClubesdeMatematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina3de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar1. QuesonlosGrafos?NocionesBasicasGrafo: n.ratoG(V, Acsunacocccion dc puntos amados vertices Vo nodos. unidos porncas amadas aristas A|2| Cac acarar quc cada arista unc unicamcntc dos vcrticcsEjemplolaraa.uraantcriorsctcndraqucV {S, W, Y, X, Z, R}y A{(X, S (S, Z (Z, W (Z, Y }PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina4de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar1.1. AdyacenciadeVertices,IncidenciadearistasyGradodelosVerticeslara a .ura antcrior sc ticnc quc Xy S. S y Z. Z y W. y Z yYson todos os vcrticcs adyaccntcs dc dicho .rato Adcmas asaristas (X, S y (S, Z. son adyaccntcs. as como (Z, S, (Z, Wy(Z, YAdcmas c .rado dc os rcspcctivos vcrticcs song(X 1, g(S 2, g(Z 3, g(W 1, g(Y1ycg(R0. por quc c vcrticc R cs aisadoTeorema1(Lucr EntodografoG(V, Asecumple

vVg(v2 |A|donde |A|esel n umerototal dearistas.lara vcr as dcmostracioncs pudc consutar a.uno dc ostcxtos |2. !. o|PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina5de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar1.2. TiposdeGrafosGrafosLibresLcmpoGrafosCompletosLcmpoGrafosRegulares LcmposPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina6de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarOtros ccmposTeorema 4Si k cs impar. cntonccs no cxistcn .ratos k-rc.uarcs con un n umcro impar dc vcrticcsGrafosComplementariosEjemplo:PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina7de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar1.3. RepresentacionMatricialdelosGrafosMatrizdeIncidenciaMatrizdeAdyacencia. csunamatrizv v. A(G |Aij|.dondc Aijcs c n umcro dc aristas quc van dc Vihasta Vj

Lcmpo0 0 1 0 0 00 0 1 2 0 01 1 0 0 1 00 2 0 1 0 00 0 1 0 0 10 0 0 0 1 0PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina8de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarNota:La dia.ona principa dc a matriz cs dc soo ccros. sicmprcy cuando no cxistan uccsLa matriz dc adyaccncia cs simctrica rcspccto a a dia.onaprincipaLichorcsutadorcsutaovioyaquccn umcrodc aristas quc van dc Vn a Vk. cs c mismo n umcro dc aristasdc Vka Vn. por o tanto ank akn

La suma dc as as o dc as coumnas cs i.ua a .rado dccorrcspondicntc vcrticcPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina9de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar1.4. TrayectoriasyCircuitosTrayectoriadeEulerCircuitodeEulerTeorema1 (ExistenciadetrayectoriasdeEuler)1Siun.ratoticncmasdcdosvcrticcsdc.radoimpar.cn-tonccs no pucdc tcncr una traycctoria dc Lucr2Si un.ratoticnccxactamcntcdos vcrticcs dc.radoim-par. cntonccs ticnc por o mcnos una traycctoria dc LucrCuaquicrtraycctoriadcLucrdcciniciarcnunodcosvcrticcs dc .rado impar y tcrminar cn c otroTeorema2(ExistenciadecircuitosdeEuler)1Si cn un .rato a. un vcrticc ticnc .rado impar. cntonccs nopucdc tcncr un circuito dc Lucr2Sitodososvcrticcsdcun.ratoconcxoticncn.radopar.cntonccs hay por o mcnos un circuito dc LucrPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina10de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarLn torma matriciaSca A(G |Aij| a matriz dc adyaccncia dc G. cntonccsTeorema1 (ExistenciadetrayectoriasdeEuler)1Si cnA(G |Aij| cxistcnmasdcdosasocoumnasqucsumcn un n umcro impar. cntonccs no pucdc tcncr una tra-ycctoria dc Lucr2SicnA(G |Aij|cxistcncxactamcntcdosasocoumnasquc sumcnun n umcro impar.cntonccs ticnc por omcnosuna traycctoria dc Lucr Cuaquicr traycctoria dc Lucr dc-c iniciar cn uno dc os vcrticcs dc .rado impar y tcrminarcn c otroTeorema2(ExistenciadecircuitosdeEuler)1Si cnA(G |Aij| cxistcna mcnosunaaounacoumnaqucsumcnunn umcroimpar.cntonccsnopucdctcncruncircuito dc Lucr2Si cn A(G |Aij| a suma dc todas as as o coumnas sumarunn umcropar.cntonccshayporomcnosuncircuitodcLucrPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina11de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar2. LaPropuestaLstacomunicacionprctcndc mostrar apropucstadc activi-dadcs dcsarroadacnc marcodc alracticacnContcxtosAmpiosdcanivcrsidadlcda.o.ica`acionacncCudc`atcmaticas dc Licco Lcrmano `i.uc a Sac. con cstudian-tcs dc !. ` y o. quicncs tcnan un ucn dcscmpc no cn c arcadc matcmaticas y adcmas cstaan intcrcsados cn asistir a CuLa propucsta consistc cn cstudiar a.unos conccptos asicos dca Tcora dc Gratos. prctcndicndo quc os ni nos dcsarrocn ra-zonamicntosyar.umcntospropiosycrcativos. dcacucrdoanivc co.nitivo cn c quc sc cncucntranPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina12de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar2.1. ContextoInstitucionalL dcpartamcnto dc matcmaticas dc LLL`l a adcantado cicr-tos proycctos conc ndcacanzar acxcccnciaacadcmicaLntrccstosproycctossccncucntraaidcnticaciontcmpranadc tacntos matcmaticos. para o cua ha vcnido dcsarroado ycstructurandouncudcmatcmaticas. qucticnccomoncdcsarroodcactividadcsquc.irancntornoaunatcorama-tcmaticaLichasactividadcsuscanqucoscstudiantcsdcsarrocnsushaiidadcsmatcmaticas. invoucrandooscnpartcsdctcorasmatcmaticasquccstcna acanccdccos. dondcpucdandcs-arroar matematicaselementales y cncontrar rcsutados in-tcrcsantcsdcntrodcamismatcoraAdcmasa.unosdccossociaizaransustraaoscncncucntrosdcmatcmaticas. tacscomoccncucntrodc`atcmaticasdcLLL`lyccncucntrodc .comctra dc a l`Cacacararqucccusccvaacaocnhorariocxtracasc.cspcccamcntc os saados cn cuatro tranas. rcpartidos dc asS am hasta as 12 am. adcmas a asistcncia cs vountaria y noticnca.unarcpcrcusioncncdcsarroonormadcamatcriadc matcmaticas dc coc.ioPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina13de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar2.2. Objetivos`otivar c intcrcs dc os cstudiantcs quc participan cnc cudc matcmaticas dc LLL`l. haciac cstudiodcas matcmaticas atravcs dc dcsarroodc unascric dcactividadcs sorca.unos conccptos asicos dcaTcoradc GratosPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina14de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarObjetivosEspecficoslniciar aos cstudiantcs cnc cstudiodc a.unos tcmasdcaTcoradcGratos. comoc conccptodc.rato. .ratosrccorricsynorccorrics. matriccsasociadasaun.ratoy .ratos rc.uarcslropiciar c dcsarroo dc razonamicntos y ar.umcntos pro-pios y crcativos dc os cstudiantcs. dc acucrdo a nivc co.-nitivo cn c quc sc cncucntranlosiiitaratravcsdcpantcamicntodca.unassituacio-ncsdcaTcoradcGratosqucoscstudiantcscncucntrcnrc.uaridadcs quc os cvcn a a tormuacion dc concturasdc mancra cscrita y oraLncaminar c traao dc as scsioncs cn aua hacia a apro-piacion por partc dc os cstudiantcs dc os conccptos invo-ucradoscncadaunadcasactividadcspropucstas. paraquccosparticipcncomocxpositorcscnc Lncucntrodc`atcmaticas dc LLL`lPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina15de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar2.3. JusticaciondelContenidoAordarunatcmaticaqucno.uraracnc Currcuodc`atcmaticasLa cdad cn a quc oscian os ni nos (9-11 a nos. ya quc csta.pcrmitcanaizarastcorasatraaaryosprcrrcquisitospara aordaraslcrmitir a cxporaciondc situacioncs. yas haccr ma-tematicas elementales. cntcndicndo cstoutimo comoaqucas matcmaticas quc pucdcn scr producto dc os ni nosPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina16de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar3. LasActividadesPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina17de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar3.1. MotivacionalosGrafosTicnccomooctivointroducir a cstudiantcaatcoracona.unosprocmasdcrutasdcmapas. as comotamiiarizar-osconanotacionydcnicioncsasicas.dichapartcamada`otivacionaosGratossccomponcdctrcsactividadcs LaActividad0.aordaunprocmarcacionadoconasrutasdcviaccnCoomia. paraintroduciradcniciondcGrato LaActividad1prctcndcdcardcadoccontcxtodcosmapasyaintormacionquccsirrccvantccnccstudiodcaTcoradcGratos.ysccstacccanotacionamancardurantcccursolor utimo. sc prcscnta una actividad quc cstudia un conccptoimportantc. c Grado dc un vcrticc. y sc introducc c procmadc os pucntcs dc Ioni.scr.. para tamiiarizaros con a histo-ria dc os Gratos y aordar os tcmas dc Traycctoria y CircuitosLucrianosPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina18de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarEjemplodeActividadesPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina19de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar3.2. TrayectoriasyCircuitosSc contcmpa c procma casico dc os pucntcs dc Ioni.scr.ysccncucntradivididacndosactividadcs.aprimcradccaspantcacprocmadcaIirmadcdiao.ccuaconsistccnrcaizarunGratoconc apizsincvantaramano. ni rcpisarnca. tamicnsc prcscntana.unos ccrcicios paraquc cosconcturcnyo.rcnaccrcarscaostcorcmasdadosporLucrpara.ratos rccorrics LnaActividad!sc danaconoccros tcorcmas dc Lucr para Traycctorias y Circuitos Lucrianoscomounahcrramicntaparadarunasouciona procmadcos pucntcs dc Ioni.scr.PaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina20de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarEjemplodeActividadesPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina21de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar3.3. Matricesyalgomas...Lstasccncucntradivididacndosactividadcs. aprimcradccasintroduccarcprcscntacionmatriciaydcsarroaunasc-ricdcpropicdadcs.ascuacssonunanucvaintcrprctaciondcconcturas y tcorcmas ya aordados. pcro con una vision matri-ciaLasc.undaactividaddaaconoccrotrotipodc.rato.osrc.uarcs. ytamicnscdcduccna.unaspropicdadcsapartirdc as matriccs asociadasPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina22de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarEjemplodeActividadesPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina23de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonar4. Conclusiones4.1. LosClubesdeMatematicasTacntos `atcmaticosTcmas dc `atcmaticas dc Currcuo no convcncionaso dc `atcriacs GeoplanoPaginawwwPaginadeAberturaContenido Pagina24de24RegresarFull ScreenCerrarAbandonarBibliografa[1] GrupoMUSA.E1CuatroPropuestasDidacticasenMatematicas, UniversidadSergioArboleda,2005,Bogota-Colombia.[2] CHACON,J.IntroduccionalaTeoradeGrafosNotasdeclaseMatematicasDiscreta,2005,Espa na.[3] COMBARIZA,G.UnaIntroduccionalaTeoradeGrafos,XIVEncuentrodeGeometrayIIdearitmeticaysusaplicaciones,2003,Bogota-Colombia.[4] GONZALEZ, F.ApuntesdeMatematicaDiscreta, UniversidaddeCadiz,2004Espa na.[5] GONZALEZ, M. Aplicaciones en acondicionamientos ambiental de la teora degrafos. Revista ciencia, tecnologa y medio ambiente. Univ. Tecnologica Nacio-nal,2002,Argentina.[6] ORE, O. TeorayAplicacionesdelosGracos. Editorial Norma, 1963, Cali-Colombia.[7] MENENDEZ, A. Unabreveintroduccionalateoradegrafos. RevistaSumaNo28,Junio1998,pp11-26.[8] NUNEZ, J. yOtros. Sietepuentes, uncamino: Konigsberg. 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