La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad ...
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La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad del modelo. Anomalía y perturbación de la
gravedad. Desviación de la vertical.
*Bibliografía -Bernhard Hoffman – Wellenhof Helmut Moritz (2005). Physical Geodesy. Springer WienNewYork. -Torge W., 2001. Geodesy. 3rd Edition. Walter de Gruyter – Berlin – New York.
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
*La Tierra y su campo de gravedad
*Gravedad real y gravedad del modelo
*Anomalía y perturbación de la gravedad
*Desviación de la vertical
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
¿Porque requiere la Geodesia el conocimiento del campo de la gravedad?
La figura de la Tierra ha sido modelada por el campo de la gravedad
Es la referencia natural para muchas mediciones geodésicas
Los satélites artificiales se mueven en torno de la Tierra según su campo de la gravedad
Aportará al conocimiento de la estructura interna de la Tierra
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
1 22
.m mGl l
= − ⋅ ⋅F l
lmGV .
=
0 Vr
lim=
∞→
dvlρGV
Tierra∫∫∫= . )(r 0 lim
=∞→V
r
Para una masa puntual m1=m y m2=1
Para todo el planeta
l.2lmG
=F
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
= kzVji
xV ⌣⌣⌣ ;
yV;F
Es la clave del problema …. Densidad(x,y,z)
Potencial gravitacional
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
zzyyxx VVVV ++=Δ
0=ΔV Ecuación de Laplace
En el interior de la Tierra:
ρπ ...4 GV −=Δ Ecuación de Poisson
En el exterior de la Tierra:
V es armónica en el exterior de las masas
Laplaciano
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
La Tierra y su campo de gravedad
W grad=gV grad=a Zgrad=c
La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre.
cag +=
22
Tierra
p2ωdv
lρGZVW +=+= ∫∫∫
W: Potencial de la Gravedad
Potencial Centrífugo
Vertical del Lugar
Potencial Gravitacional
Potencial de la Gravedad
ΔZΔVZ)Δ(VΔW +=+=
Z No es armónico y por lo tanto, tampoco W. Pero Z es conocido … Luego, nuestro interés se limita a determinar V
W grad=gV grad=a Zgrad=c
La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre.
cag +=
22
Tierra
p2ωdv
lρGZVW +=+= ∫∫∫
W: Potencial de la Gravedad
Potencial Centrífugo Potencial Gravitacional
Potencial de la Gravedad
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
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La Tierra y su campo de gravedad
En el exterior de la Tierra, la solución de la ecuación de Laplace :
dvlρGV
Tierra∫∫∫= . )(r La función 1/l es armónica y se desarrolló en
términos de Legendre
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⋅
= ∑∑∞
= =1l
l
0mlmm,lm,l
l
cosP.msinSmcos.Cra1
rMGPV ϑλλ
Si el origen del sistema coincide con el Geocentro, l=2
Coeficientes armónicos esféricos
Funciones asociadas de Legendre
http://www.uni-stuttgart.de/gi/research/projects/project8/fig2_Spherical_Harmonics.png
Zonales (Lat)
Sectoriales (Long)
Tesserales (Lat, Long)
Término central
320 10C −=
Resto …10-6
Térm Central = 1
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Geoide: es la superficie equipotencial (W = Wo) que mejor ajusta al nivel medio del mar de una determinada época (Mather, 1978; Rapp, 1995).
La Tierra y su campo de gravedad
*Las superficies equipotenciales del campo de la gravedad (W = cte) no son paralelas entre sí. Tienden a separarse en el Ecuador, indicando un gradiente menor que en los polos.
W grad=g poloecuador gg <
*Las sup equipotenciales son interceptadas perpendicularmente por la línea de la plomada
9.83 m/s2
9.78 m/s2
9,80 m/s2 = 980 Gal
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Es la forma de aproximarnos al campo de la gravedad real … desde el “campo del modelo”. Lo hacemos a partir de un elipsoide de nivel cuyo potencial es idéntico al del Geoide.
El campo de la gravedad normal
Elipsoide de nivel (Uo)
Geoide (Wo) N Ondulación del Geoide
00 UW =
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
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Este potencial U se genera a partir de:
*un elipsoide de revolución (a, b)
*de masa total M (igual a la Tierra)
*velocidad angular (rotación de la Tierra)
El campo de la gravedad normal
Análogamente al campo real:
ZeVeU +=
)U(gradγ = )W(gradg =
hU∂∂
=γHWg∂∂
=
Surge la relación con el Sistema de Referencia Geodésico (ej. WGS84)
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
ZeVeU +=
Surge la relación con el Sistema de Referencia Geodésico (ej. WGS84)
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal *Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una solución de Ve en armónicos elipsoidales.
*Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los Polinomios de Legendre:
θω
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑∞
=
222
1nn2n2
n2
sinr2
)(cosPJra1
rGMU
Para n=1 (l=2, m=0)
a
2amγω
= m25βf =+ Aprox. al Teorema de Clairaut
)1(γγ 2a0 ϕβ+= sin
Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones …) podemos determinar γa ,γb y β. A partir de un valor de “a” se calcula “m” y el T de Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.
Aprox. al Teorema de Pizetti ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−γ= m23f1aGM a
2
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal *Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una solución de Ve en armónicos elipsoidales.
*Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los Polinomios de Legendre:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
ω−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −θ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=ϕ 232
22
2
2 sinrGM2
1cos23J
ra.31
rGM)γ(
θω
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑∞
=
222
1nn2n2
n2
sinr2
)(cosPJra1
rGMU
Para n=1 (l=2, m=0)
a
2amγω
= m25βf =+ Aprox. al Teorema de Clairaut
)1(γγ 2a0 ϕβ+= sin
Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones …) podemos determinar γa ,γb y β. A partir de un valor de “a” se calcula “m” y el T de Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.
Aprox. al Teorema de Pizetti ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−γ= m23f1aGM a
2
f = (a-b) / a β = (γb -γa) / γa
La primera expresión de Clairaut ( de Newton), toma un valor aproximado de:
g ≈ 978gal (1+0.0053.sen2φ) Bruns y Helmart a principios del siglo XX (y fines del anterior) establecieron formulas mas precisas tanto en el establecimiento de tÈrminos como en la determinación de sus constantes; el profesor G. CASSINIS en base a esos antecedentes obtuvo una expresión, que fue adoptada por la Unión Geodésica y Geofísica Internacional (UGGI), reunida en Estocolmo, en 1930. La misma reducida al elipsoide adoptado en Madrid 1924 por la misma Unión (a = 6378388 m; 1/f = 297) y fue denominada expresión de la gravedad normal.
γ = 978.0490 gal (1+0.0052884 sen2φ - 0.0000059 sen2 (2φ))
Posteriormente (en 1978) en Canberra (Australia) se consideró que debÌa actualizarse y de allí surgió el SISTEMA DE REFERENCIA GEODESICO 1980 (GRS80) con lo parámetros elipsódicos
a = 6378137m 1/f = 298.2572
γ =978.0327gal(1+0.0053024.sen2φ−0.0000058.sen2(2φ))
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
El campo de la gravedad normal
*A partir del desarrollo en serie γ en potencias de h (próx a la superficie), en el espacio exterior obtuvimos:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +ϕ−++−= 22
2a0 h
a3hf2mf1
a21γγ .sin
*Para γ=9,81 ms-2 y a=6378 km se obtiene:
mmGal30860h
/. −=∂γ∂
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El campo Perturbador
)ZV()ZV()P(U)P(W)P(T ee +−+=−=
*Las diferencias entre W y U se limitan a la componente gravitacional V y reflejan la diferencia entre la Tierra Real y el modelo.
*El campo normal Ve contiene únicamente términos Zonales (Lat)
*En consecuencia, T(P) no contendrá el término central y diferirá de W(P) solo en los términos Zonales pares (simétricos con respecto al Ecuador)
0T =Δ*En el exterior de las masas:
eVVT(P) −=
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
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Anomalía de la gravedad
Qo
Po Geoide
Elipsoide
γ
g N
W=Wo
U=Wo
QoPo γgg −=Δ
Vector anomalía de la gravedad
QoPo γgg −=Δ
Anomalía de la gravedad ε
La diferencia de dirección es la Desviación de la Vertical
ϕ−Φ=ζ
( ) ϕλ−Λ=η cos
Normal elipsoidal n’ (ϕ, λ)
Normal geoidal n (Φ, Λ)
n’ n
OBSERVABLES
P
El campo de la gravedad. Gravedad real y normal.
Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Perturbación de la gravedad
(h)PP γgg −=δ
Definimos además, el vector perturbación de la gravedad
Pp γgg −=δ
Perturbación de la gravedad
La diferencia de dirección es la misma Desviación de la Vertical, pues
la dirección de γP coincide con la de
γQ
Normal elipsoidal n’ (ϕ, λ)
Normal geoidal n (Φ, Λ)
Qo
Po Geoide
Elipsoide
γ
g N
W=Wo
U=Wo ε
n’ n
OBSERVABLES
P
h (GPS) H
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
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Fórmula de Bruns
Pero WP = UQ
Qo
Po Geoide
Elipsoide
γ
g N
W=Wo
U=Wo ε
n’ n
NγUnUUU QoQoQoPo .'
−=∂∂
+=
PoQoQoPoPoPo TNγUTUW +−=+= .
N.γT QP =γ
=TN
Fórmula de Bruns
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Ecuación Fundamental de la Geodesia Física
hT
nTg
∂∂
−=∂∂
−=δ
)T(grad)U(grad)W(gradPp =−=−=δ γgg
nU
nW
'nU
nWγgg Pp ∂
∂+
∂∂
−≈∂∂
+∂∂
−=−=δ
)Nh
(ggnT
QPPP ∂γ∂
+γ−=γ−=∂∂
−
Nh
gnT
∂γ∂
−Δ=∂∂
− Por Bruns … NT=
γ
Th
1hTg
∂γ∂
γ+
∂∂
−=ΔhTg∂∂
−=δ
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Anomalía y perturbación de la gravedad.
Desviación de la vertical. Ecuación Fundamental de la Geodesia Física.
Ecuación Fundamental de la Geodesia Física
)T(grad)U(grad)W(gradPp =−=−=δ γgg
nU
nW
'nU
nWγgg Pp ∂
∂+
∂∂
−≈∂∂
+∂∂
−=−=δ
Th
1hTg
∂γ∂
γ+
∂∂
−=Δ
*Relaciona la cantidad medible (g) con el Potencial Perturbador (incógnita)
*Pero g es conocida sobre la Tierra y puede reducirse al Geoide. Es decir, no es conocida en todo el espacio exterior. La ecuación puede ser usada solo como una condición de contorno y no es suficiente por si sola para calcular T
*Pero fuera del Geoide, es válida la Ec de Laplace
0zT
yT
xTT 2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ
*Con ambas es posible determinar T a partir de observaciones gravimétricas. Aplicando Bruns, se obtiene el parámetro geométrico más importante de la Geodesia Física (N).
γ=TN