La transformada de Fourier
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( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp ( )
2f t F i t d
La transformadade
Fourier
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De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:
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Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T/2
0
T/2 T . . .
p
-p/2 p/2
22
22
22
0
1
0
)(Tp
pp
pT
t
t
t
tf
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Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:
El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.
)(
)(
20
20p
p
n n
nsen
T
pc
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Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
c n
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Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
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-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p = 1, T = 20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6p = 1, T = 2
w=nw0
c n
...el espectro se "densifica".
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En el límite cuando T, la función deja de ser periódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T =
t
f(t)
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Si hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":
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El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w.
Así, la serie:
al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:
n
tinnectf 0)(
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Recordemos:
La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2
O bien:
n
tinT
T
tinT edtetftf 00
2/
2/
1 )()(
0
2/
2/
1 2y)( 0
TdtetfcT
T
tinTn
n
tinT
T
tin edtetftf 000
2/
2/21 )()(
dedtetftf titi)()( 21
T
T
/2
/2
0
0
Cuando T , nw0 w y w0 dw y el sumatorio se convierte en:
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La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
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La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1
( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
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Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
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Transformadas integrales
–K(,t): núcleo o kernel.–Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
–Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
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Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original prob-lem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
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Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
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Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1p
p
tii e
)( 2/2/1 pipi
i ee
)2/(sinc2/
)2/()( pp
p
psenpF
ieepsen
pipi
2)2/(
2/2/
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En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
t
t
t
tfp
pp
p
2
22
2
0
1
0
)(
)2/(sinc)( ppF
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Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difración de una ranura.
La función sinc(x)
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Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2( /2w )
w0
2sinc ( / 2)1
t0
( )t1
1/2-1/2
TF
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Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):
Grafica U(w) = F[u(t)].¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
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La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0
tt
t
t
d(t)
,
1 if
0 if m n
m n
m n
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La función impulso o delta de Dirac
Podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√p
f3(t)
d(t)
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Propiedades de la función d
( ) 1t dt
t
d(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
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Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
d(t)
w
1
w
d(w)
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1 es:
t
)(21ˆ
dtef ti
2
1
Recordemos
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f t
0 , t T
2
1 , T
2t
T
2
0 , T2 t
T
2
T
2
T
2T
2T
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tf
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2
, 0
22 , 1
2
, 0
tT
Tt
T
Tt
tf
2
2)(ˆ
T
Tsen
Tf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
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Transformada de Fourier de la función coseno
+w0 0 -w0 w
0{cos( )}tFcos(w0t)
t 0
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
dteedteee tititititi
)()( 00
00
2
1
2
)()(2
2)(ˆ
00 f
)()()(ˆ00 f
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Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
)()( 00
2
1
)()()(ˆ00 if
+w0 0 -w0 w
sen(w0t)
t 0
t)}sen({ 0F
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La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t)
La TF de exp(i 0t) es una frecuencia pura.
F {exp(iw0t)}
0 w0 w
exp(iw0t)
0 t
t Re
Im
0
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
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Sum
F {exp(iw0t)}
0 w0 w
exp(iw0t)
0 t
t Re
Im
0
TF
0 w
TF
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Encontrar la transformada de Fourier de la función:
0
0,0
0 ,
a
t
tetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(
1
ai
a
aia
ia
ia
iaia
iaedte
tiatia
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La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es ella misma.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
w0
2exp( / 4 )a
TF
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La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(2
1)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
2
1)(
)()(2
1
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
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Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F(w) exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a +¥ y –¥ en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg2
)(
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La TF y su inversa son simétricas.
( ) exp( )
12 ( )exp( [ ] )
2
F t i t dt
F t i t dt
Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a w’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )
2F i d
2 ( )f
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado"
Que podemos escribir:
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Fourier Transform Magnitude and PhaseComo en el caso de cualquier complejo, podemos descomponer f(t) y F(w) en su magnitud y fase. f(t) puede escribirse como:
f(t) = Mag{f(t)} exp[ -i Phase{f(t)}]
donde Mag{f(t)}2 es a menudo llamada intensidad, I(t) y Phase{f(t)} es llamada fase, f(t).
Análogamente: F(w) = Mag{F(w)} exp[ -i Phase{F(w)}]
Mag{F(w)}2 se llama espectro, S(w) y Phase{F(w)} se llama el espectro de fase, j(w).
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La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir
potencia de espectro A
espectral fase
espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
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La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dxkxxfkF
dxkxxfkF
i
r
)sin()()(
)cos()()(
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Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
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La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
w
w
w
F(w)
G(w)
f(t) + g(t)
F(w) + G(w)
)}({)}({
)}()({
tgbFtfaF
tbgtafF
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Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a2
1 , b
2 t
a
2
2 , t b2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) h(t)
donde g(t) 0 , t a
2
1 , t a2
; h(t)0 , t b
2
1 , t b2
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Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
ˆ f ( ) a
2
sen(a
2)
a
2
b
2
sen(b
2)
b
2
![Page 45: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/45.jpg)
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
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Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a
1, a t b
0, b t b
1, b t a
0, t a
; h(t) 0 , t b
1 , t b
g( t)0 , t a
1 , t a
f t g(t) h(t)
![Page 47: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/47.jpg)
F.T . ˆ g () 2a
2sen(a)
a
h(t) 0 , t b
1 , t b
g( t)0 , t a
1 , t a
F.T . ˆ h () 2b
2sen(b)
b
ˆ f () ˆ g () ˆ h () 2a
2sen(a)
a
2b
2sen(b)
b
![Page 48: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/48.jpg)
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(
1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF
ˆ1
![Page 49: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/49.jpg)
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F(w)
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
w
w
w
t
t
t
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3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a)g(t)
![Page 51: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/51.jpg)
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ2
10
![Page 52: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/52.jpg)
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee
titi'
')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd
ti
'
)'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g( t) f (t) 2
dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
![Page 53: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/53.jpg)
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
![Page 54: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/54.jpg)
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff eti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)cos()(2ˆ dtttff
![Page 55: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/55.jpg)
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff eti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)()(2ˆ dttsentfif
![Page 56: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/56.jpg)
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.
k
x )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt
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ConvoluciónSe define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:
duutguftgf )()()(
dutgutf )()(
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![Page 59: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/59.jpg)
rect(x) * rect(x) = (x)
Ejemplo visual:
![Page 60: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/60.jpg)
Convolución con la función delta
Convolucionar una función con una delta, simplemente centra la función sobre la delta.
( ) ) ( ) ( – )
( )
f t t a f t u u a du
f t a
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Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf
f (g h)( f g) h
f (gh) f g f h
![Page 62: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/62.jpg)
)()()(*)( wGwFtgtfF
El teorema de convolución oteorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.
![Page 63: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/63.jpg)
Ejemplo del teorema de convolución
2
{ ( )}
sinc ( / 2)
x
k
F{rect( )}
sinc( / 2)
x
k
F
rect( ) rect( ) ( )x x x
2sinc( / 2) sinc( / 2) sinc ( / 2)k k k
![Page 64: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/64.jpg)
dudegdef
duutguftgf
utiui ')'(ˆ2
1)(ˆ
2
1
)()()(
)('
dfddueeg
uiti)(ˆ'
2
1 )'(ˆ
)'(
)'('
Demostremos el teorema de convolución.
![Page 65: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/65.jpg)
)()( )(ˆ )(ˆ tgtfdegf ti
dfdeg
ti )(ˆ ')'( )'(ˆ '
)()()(*)( wGwFtgtfF
Aplicando la TF a ambos lados:
![Page 66: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/66.jpg)
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
2
2
0 )cos(ˆ
T
T
ti dtetf
2
2
2
00
T
T
tititi
dteee
2
20
)(
0
)( 00
2
1)(ˆ
T
T
titi ieief
Podemos hacerlo aplicando la definición:
![Page 67: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/67.jpg)
2
)()2(
2)(
)2(
2
1)(ˆ
00
00
Tsen
iiTsen
iif
2
2)(
2
2)(
2)(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tf
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
![Page 68: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/68.jpg)
2 , 1
2 , 0
)(T
t
Tt
th
; g t cos(0t)
)()(2
)(ˆ 00 g
2
2)(ˆ
T
Tsen
Th
2 , )cos(
2 , 0
)(
0
Ttt
Tt
tf
)()( tgthtf
TF
TF
Pero, también podemos usar:
ghhgf ˆˆˆ
![Page 69: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/69.jpg)
dtetgthgh ti
)()(
2
1)(ˆˆghhgf ˆˆˆ
')'(ˆ)'(ˆ)(ˆˆ dghgh
')'()'(2
2'
2'
2
100
d
T
Tsen
T
2
2)(
2
2)(
22
1))(ˆˆ()(ˆ
0
0
0
0
T
Tsen
T
Tsen
Tghf
![Page 70: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/70.jpg)
Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de lassiguientes funciones:
f (t) 0 , t a b
2
1 , t a b2
g( t) 2 t a b
2
t
a b
2
![Page 71: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/71.jpg)
El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f g (t) 1
2f (u)
g(t u)du
f g (t) f (u)
( t a b
2 u) (t
a b
2 u)
du
f g (t) f (t a b
2) f (t
a b
2)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funcionespulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es lasiguiente:
![Page 72: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/72.jpg)
0
1
-a -b b a0
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2a
2sen(a)
a
2b
2sen(b)
b
![Page 73: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/73.jpg)
Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier delproducto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivasde f(t) y g(t):
f g (t) F .T . ˆ f () ˆ g ()
f (t) 0 , t a b
2
1 , t a b2
F.T . ˆ f () a b
2
sen(a b
2)
a b
2
![Page 74: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/74.jpg)
Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
ˆ g 1
2g(t)
ite dt
ˆ g 1
22 t
a b
2
t
a b
2
ite dt
ˆ g i ab
2e i ab
2e 2cos a b
2
ˆ f () ˆ g a b
2
sen(a b
2)
a b
2
2cos a b
2
![Page 75: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/75.jpg)
ˆ f () ˆ g a b
2
sen(a b
2)
a b
2
2cos a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
2sen(
a b
2)cos
a b
2
ˆ f () ˆ g 2
1
sen(a) sen b
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
![Page 76: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/76.jpg)
ˆ f ( ) T 2
2
sen2(T
2)
2T 2
4
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función:
Tenemos que calcular la antitransformada:
f t 1
2ˆ f ( )
ite d
f t 1
2T 2
2
sen2 (T
2)
2T 2
4
ite d
1
2T
2
sen(T
2)
T
2
2
ite d
![Page 77: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/77.jpg)
f (t) 1
2T
2
sen(T
2)
T
2
T
2
sen(T
2)
T
2
ite d
y, llamando:
ˆ g ( )T
2
sen(T
2)
T
2
nos queda que:
f (t) 1
2ˆ g ( )ˆ g ( )
ite d
1
22 g g (t)
Teorema de convolución
g(t)0 , t T
2
1 , t T2
Antitransformadade Fourier
![Page 78: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/78.jpg)
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
g g (t) 1
2g(u)
g(t u)du
g(t)0 , t T
2
1 , t T2
donde
Si t T g g (t) 0
Si T t 0 g g (t)1
211
T
2
tT
2
du t T
2
![Page 79: La transformada de Fourier](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022082204/56814e64550346895dbc03ae/html5/thumbnails/79.jpg)
Si 0 t T g g (t) 1
211
t T
2
T
2
du T t
2
Si t T g g (t) 0
Luego:
f (t) g g (t) T t
2 , t T
0 , t T