LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (F.F.T)

    La Transformada Rápida de Fourier(Fast Fourier Transform) es una herramienta fundamental en el procesado digital de señales. Su origen es relativamente reciente puesto que fueron J.W.Cooley y J.W Tukey, quienes hacia 1965 abordaron por primera vez el problema de la programación de un algoritmo para el cálculo de series complejas.

    Ante todo debe quedar claro que la FFT no es una nueva transformada sino que se trata de un algoritmo para el cálculo de la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Su importancia radica en el hecho que elimina una gran parte de los cálculos repetitivos a que está sometida la DFT, por lo tanto se logra un cálculo más rápido. Además, la FFT generalmente permite una mayor precisión en el cálculo de la DFT disminuyendo los errores de redondeo.

    La implementación del algoritmo de la FFT puede realizarse de dos formas distintas:

      1.- Mediante un programa que pueda ejecutarse tanto en un PC como en una tarjeta que posea un microprocesador específico para este tipo de operaciones (DSP).

      2.- Mediante el desarrollo de una tarjeta (HARDWARE) en la cual se emplean circuitos integrados específicos. Tal es el caso de los modernos analizadores de espectro.

    Por lo tanto el objetivo de este apartado es mostrar la redundancia implícita en el cálculo de la DFT, para luego comprobar cómo un determinado algoritmo de la FFT elimina esta redundancia.  La DFT de una serie de muestras x[n para 0 n  N se define:

;  0 k  N 

donde :    y  

Antes de entrar en detalles sobre la FFT comprobemos la naturaleza

periódica del término  , de hecho la periodicidad y simetría de contribuyen a la redundancia de la DFT.

     En la siguiente tabla se evalúa 

    Desarrollo intuitivo Para mostrar el algoritmo de la FFT empecemos por elegir un número de muestras N = 2m donde m es un número entero. Estudiemos el caso de N= 4

{x 0 , x 1 , x 2 , x 3 } <---------- {X 0 , X 1 , X 2 , X 3 }

este cálculo implica 12 sumas y 9 multiplicaciones complejas 

    Observando que  es periódica, con un periodo igual a 4 , el cálculo de X2 y X3 se expresa como:

y el anterior sistema de ecuaciones se puede reescribir como:

cuyo cálculo implica 12 sumas y 5 multiplicaciones complejas. El diagrama en bloques se representa en la Figura 7.21.

Fig. 7.21.

    Esta interpretación de la FFT de 4 puntos sugiere que  la organización  de la FFT se obtuvo dividiendo la DFT de 4 puntos en dos TDF de 2 puntos y combinando sus coeficientes. Observar que en el desarrollo del algoritmo, el dato x0 se empareja con x2 , y x1 con x3 . El algoritmo empleado se representa mediante el diagrama de flujo mostrado en la Figura 7.22.

Fig. 7.22.

Esto implica que la organización de una FFT de 8 puntos se puede dividir en dos DFT de 4 puntos y a continuación una combinación de ambos conjuntos de coeficientes. Desarrollo  

Algoritmos de programación    Cuando un determinado algoritmo para evaluar la FFT se aplica en el dominio del tiempo, se denomina de forma general como estimación en el tiempo , (Decimation in Time DIT). El primer algoritmo DIT fue debido a Cooley y Tukey. La estimación se refiere a una significante reducción en el número de cálculos realizada en el dominio del tiempo.

    Veamos a continuación el caso general cuando N es potencia de 2, es decir, N = 2m , siendo m un número natural. Este procedimiento se conoce como estimación en el tiempo en base 2 siendo uno de los algoritmos más empleados para evaluar la FFT.

    Una vez entendido el algoritmo de estimación en el tiempo en base 2, en las siguientes páginas se explica otro algoritmo basado en un procedimiento de separación de índices. Explicación.  Para finalizar esta sección, en las páginas adjuntas se desarrollan y amplían diversos aspectos relativos a la 

Transformada Rápida de FourierEl análisis de Fourier de una función periódica se refiere a la extracción de series de senos y cosenos que cuando se superponen, reproducen la función original. Este análisis se puede expresar como series de Fourier. La transformada rápida de Fourier (TRF) es un método matemático para la transformación de una función del tiempo en una función de la frecuencia. A veces se describe como la transformación del dominio del tiempo al dominio de frecuencia. Es muy útil para el análisis de los fenómenos dependientes del tiempo.

Una aplicación importante se da en el análisis del sonido. Es importante evaluar la distribución de frecuencias de la energía que transmite un sonido, porque el oido humano ejerce tal capacidad en el proceso de audición. La siguiente ilustración describe el sonido de un silbato de la policia de Londresen ambos dominios, del tiempo y de la frecuencia (por medio de la TRF).

Silbato A

Llamando a cada silbato como silbato A y silbato B, la ilustración de la izquierda nos muestra el sonido del silbato A solo. El gráfico superior, representa la muestra ordinaria de la señal de voltaje respecto del tiempo, proporcionada por un micrófono. El gráfico inferior es la transformada rápida de Fourier (TRF) de esa señal. Muestra que la mayor parte de la potencia se dá solo a una frecuencia, aproximandose con ello a una onda pura sinusoidal. El hecho de que el pico que muestra la mayor parte de la potencia esté en la posición cuatro, sólo refleja el hecho de que fueron seleccionados cuatro períodos para la muestra FFT.

Silbato B

Esta es la misma clase de muestra con el silbato B solamente. Esta vez se escogieron tres periodos para la TRF, resultando en un pico principal en la posición 3.

Silbatos A y B

Cuando se hacen sonar simultáneamente los silbatos A y B, la gráfica del tiempo muestra el característico patrón defrecuencia de batimiento. La TRF muestra las dos frecuencias distintas de los silbatos individuales.

Estas ilustraciones, muestran la naturaleza esencial de las TRF. Para una onda sinusoidal de una frecuencia simple, la TRF consiste en un solo pico. La combinación de dos ondas de sonido, produce un patrón complejo en el dominio del tiempo, pero la TRF muestra claramente que consiste casi enteramente en dos frecuencias.

Aplicaciones de la TRFImagen por Resonancia Magnética (IRM)

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