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Manual de laboratorio de

Física Mecánica

Javier Vargas Valencia

Facultad de ciencias

ITM

Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín

Medellín

Febrero de 2011

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Índice de prácticas

1. Unidades……………………………………………………………………………………..……. 3

2. Gráficas …………………………………………………………………………..………..….… 12

3. Teoría de errores …………………………………………………………………………...…… 17

4. Instrumentos de precisión ………………………………………………………………………. 22

5. Movimiento uniformemente acelerado, MUA ………………………………………………….. 25

6. Caída libre …………………………………………………………………………………….… 30

7. Vectores …………………………………………………………………………………………. 34

8. Movimiento parabólico …………………………………………………………………………. 44

9. Equilibrio de fuerzas en el plano …..………………………………………………………….… 49

10. Dinámica del plano inclinado ………………………………………………………………...…. 53

11. Máquina de Atwood …………………………………………………………………………….. 58

12. Resortes (energía) ……………………………………………………………………………….. 62

13. Colisiones ……………………………………………………………………………………….. 67

14. Aceleración angular y momento de inercia ……………………………………………………... 72

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ITM, Institución universitaria

Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 1: Unidades y notación

Implementos

Regla, balanza, flexómetro, cronómetro, computador.

Objetivos

El objetivo central de esta práctica es que el estudiante reconozca y manipule apropiadamente las unidades del sistema internacional SI, así como las unidades del sistema inglés. También se espera que use procedimientos matemáticos simples para intercambiar medidas entre diferentes sistemas de unidades y entre diferentes potencias de diez.

Teoría

Unidades Fundamentales

Toda medida efectuada debe estar acompañada de las respectivas unidades que hablen de la naturaleza de lo medido. Las unidades en que se mida algo deben ser producto de un acuerdo entre todas las personas que las van a usar. En el año 1960 se estableció el sistema internacional de unidades por convenio entre 36 países, número que aumentó posteriormente. Todas las magnitudes de las cantidades físicas medibles se pueden expresar en función de siete unidades básicas, las cuales se exhiben en la tabla 1.

MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica amperio A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Tabla 1. Unidades básicas o fundamentales

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Unidades derivadas o compuestas

Las unidades derivadas se definen a partir de las unidades básicas por medio de expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias. Algunas de estas unidades reciben un nombre especial y un símbolo particular, otras se expresan a partir de las unidades básicas.

MAGNITUD Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Densidad volumétrica kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Tabla 2. Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas

Magnitud Nombre Símbolo Relación

Volumen Litro l 1 dm3=10-3 m3

Masa Tonelada T 103 kg =106 g

Presión y tensión Bar Bar 105 Pa

Tabla 3. Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI muy usados.

Magnitud Nombre Símbolo Unidades en SI básicas

Frecuencia Hertz Hz 1/s

Fuerza Newton N Kg.m/s2

Presión Pascal Pa N/m2

Energía, trabajo Joule J N.m

Potencia Watt W J/s

Carga eléctrica Coulomb C s·A

Potencial eléctrico Voltio V J/s.A

Resistencia eléctrica Ohm Ω V/A

Capacidad eléctrica Faradio F C/V

Flujo magnético Weber Wb V·s

Inducción magnética Tesla T Wb/m2

Inductancia Henrio H Wb/A1

Tabla 4. Unidades derivadas con nombres y símbolos especiales.

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Sistema Inglés

Además del Sistema Internacional de medidas, existen otros sistemas de unidades, como el Sistema Inglés, ampliamente utilizado. Por esta razón es importante conocer las equivalencias entre diferentes sistemas. Se muestran en la tabla 5 algunas de las equivalencias útiles para la conversión de unidades entre los dos sistemas, correspondientes a varias cantidades de naturaleza diferente.

Unidad Equivalencia en el SI Símbolo

Pulgada 2.54 cm In ó ”

Pie 30.48 cm ft

Yarda 91.44 cm yd

Milla 1.609,344 m mi

Onza líquida (volumen) 28,4130625 ml fl oz

Libra (masa) 0,45359237 kilogramos lb

Galón (volumen) 4.40488 l gal

Barril (volumen) 158.9872949 l Barril

Horse power (potencia) 746 W h p

Tabla 5. Tabla de equivalencias entre sistemas de unidades

En el SI también se utilizan otras unidades múltiplos de las fundamentales, que tienen cabida en algunas áreas de estudio particulares. Por ejemplo para hacer medidas de tamaños atómicos se usa el Angstrom Å y las unidades atómicas u.a., y para hacer medidas de tipo astronómico se usan el parsec y el año luz. En la siguiente tabla se ilustran algunas de éstas.

1 Angstrom (Å) = 10-10 m

1 Unidad Astronómica (ua) = 1,496 x 1011 m

1 Parsec (pc) = 3,0857 x 1016 m

1 Año Luz (al) = 9,4605 x 1015 m

Tabla 6. Otras unidades.

Análisis dimensional

En muchos casos la respuesta a un problema puede decirnos si cometimos algún error en los cálculos, haciendo un análisis dimensional, de acuerdo con las dimensiones físicas involucradas. Una Dimensión en física se entiende como una descripción de la naturaleza física de una cantidad, pero no depende de las unidades en que se mida. Es decir, no importa en que unidades nos estemos refiriendo a una cantidad, esta siempre será la misma, por ejemplo una longitud no cambia si se expresa en metros o en pies, esta siempre

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será una longitud. La dimensión de una cantidad física se representa encerrándola entre corchetes. Los símbolos de las dimensiones fundamentales son:

[tiempo] ≡ [T]

[Longitud] ≡ [L]

[Masa] ≡ [M]

Las otras cantidades que se miden tienen dimensiones que son combinaciones de éstas. Por ejemplo, la aceleración se mide en metros sobre segundo al cuadrado; estas unidades tienen dimensiones de la longitud dividida entre el tiempo al cuadrado, por lo tanto se escribe simbólicamente:

2][

][][

T

LnAceleració =

Examinar las dimensiones en una ecuación puede suministrar información útil. Por ejemplo, para la ecuación: F = ma (Fuerza = (masa)*(aceleración)), la dimensión es el resultado de multiplicar la dimensión de la masa por la dimensión de la aceleración: Simbólicamente tenemos que:

[ ] [ ]2][

][

T

LMFuerza =

La expresión anterior representa la unidad de fuerza denominada Newton (N), cuyas unidades son kg*m/s2, vea la tabla 4.

Ejemplo

Determinar si la ecuación 2

2

1atx= es dimensionalmente correcta.

Solución: Las unidades de aceleración se representan simbólicamente por:

][

][2T

L

La unidad de tiempo al cuadrado por la expresión [T2]. Al multiplicarse será:

[ ] [ ]LTT

L=2

2 ][

][

Al cancelar la unidad de tiempo al cuadrado se obtiene como resultado la unidad de longitud, por lo cual es dimensionalmente correcta.

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Notación científica

En Física es necesario manipular cantidades tan grandes como distancias intergalácticas o tan pequeñas como distancias atómicas, esto requiere que hagamos uso de la notación científica, en la cual se utilizan las potencias de 10 para simplificar la escritura. La convención de la escritura es la siguiente: un dígito seguido de los decimales, si los hay, multiplicado por alguna potencia de 10, de esta manera el símbolo 5,3x103 significa que hay que multiplicar el 5,3 por 10 tres veces.

Ejemplos

Por cada lugar que se corre la coma decimal hacia la izquierda, el exponente del número 10 aumenta en una unidad. Si la coma decimal se corre hacia la derecha un lugar, el exponente del número 10 disminuye una unidad.

En el siguiente cuadro se describen algunos ejemplos que ilustran como se expresa una cantidad en notación científica, teniendo en cuenta que en algunos casos hay que escribir potencias negativas

0,56x107 = 5,6x106 Se corre el punto decimal un lugar a la derecha y se disminuye el exponente del 10 en una unidad.

0,0091x106 = 9,1x103 Se corre el punto decimal tres lugares a la derecha y el exponente del 10 aparece disminuido en tres unidades.

521000 =5.21x105 Se corre la coma decimal cinco lugares hacia la izquierda y el exponente del 10 aumenta en cinco unidades.

Tabla 7. Ejemplos de manipulación de potencias de diez.

Prefijos del sistema de unidades

Una ventaja del sistema métrico es el uso de prefijos para denotar los múltiplos de las unidades básicas. Por ejemplo el prefijo kilo significa 1000 veces la unidad básica o derivada; así un kilometro son 1000 metros, un kilogramo son 1000 gramos y un centímetro equivale a 0,01 metro, es decir 10-2 m = 1m/100. Los prefijos nos permiten abreviar muchas expresiones, que podrían resultar muy extensas, por ejemplo la velocidad de la luz es aproximadamente 300000000 m/s, pero es más fácil decir 300 Mm\s ó también 0.3Gm\s

La tabla 8 muestra el factor, el nombre y el símbolo de los prefijos utilizados en física o en cualquier otra área del conocimiento.

8

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 1024 yotta Y 10-1 deci d 1021 zeta Z 10-2 centi c

1018 exa E 10-3 mili m 1015 peta P 10-6 micro µ

1012 tera T 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 106 mega M 10-15 femto f

103 kilo K 10-18 atto a 102 hecto H 10-21 zepto z 101 deca Da 10-24 yocto y

Tabla 8. Prefijos de las potencias de diez

Ejemplos

1) Si se tiene por ejemplo 87000000 m. Entonces para aplicar los prefijos se puede decir que

87000000 m = 87x106 m = 87 Mm

Lo que se ha hecho es cambiar la escritura (x106) por el prefijo M, llamado: mega.

2) Escribir con otros prefijos la cantidad 1750000000000 g.

1750000000000 g = 1750000000 Kg = 1750000 Mg = 1750 Gg = 1.75 Tg

3) 5 nanómetros equivalen a 5x10-9 metros; la expresión simbólica es: 5 nm.

4) El diámetro promedio de un átomo de hidrógeno es de 0,000000000 1m. Entonces este número puede escribirse como

1/(10 000 000 000) = 1/(10x10x10x10x10x10x10x10x10x10) = 1x10 -10.

5) La masa del sol en notación científica es 2,0x1033 g, expresarla en

a) Hg b) Gg

Solución:

a) Como queremos pasar a Hg debemos multiplicar por el factor adecuado

HgHgg

Hggg 31233

23333 100,210100,2

10

1100,2100,2 ´=´´=÷÷

ø

öççè

æ´´®´ -

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Se puede ver que los g se cancelan y luego los exponentes de las potencias de diez se suman.

b) Para expresar el valor de la masa del sol en Gg, se debe multiplicar por el factor adecuado

6) Se dice que un guepardo puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. ¿A cuánto equivale este valor en m/s?

Solución: En este caso se debe tener en cuenta que hay que multiplicar por dos factores, uno para pasar los km a m y otro para pasar las horas a segundos

GgGgg

Gggg 24933

93333 100,210100,2

10

1100,2100,2 ´=´´=÷÷

ø

öççè

æ´´®´ -

S

m,

S

m

S

m

S

m

S

h

km

m

h

km

h

km7827

3600

100000

3600

10

3600

1010

3600

1

1

1010100

53232 ===

´=÷

ø

öçè

æ´÷÷ø

öççè

æ´=

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Informe

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica. Incluya conclusiones.

1. Tome la regla y mida las dimensiones de la hoja tamaño carta de la guía de laboratorio, en cm. Convierta estas medidas a: a) mm, b) km, c) nm.

2. Calcule el área de la hoja y exprese el resultado en cm2. Convierta estas unidades de área a: a) ft2. b) Hm2. c) nm2. Tenga en cuenta que cuando se convierten unidades de área se contemplan dos ceros por cada factor de diez en los prefijos.

3. Complete los espacios en blanco:

a) 46891000 = 4,6891x____ = 46,891x _____

b) 58,9x105 = 0,589X____ = 589x ____

c) 78,9x104 =_____x10-2

d) 6,18x10-2 = ____x103

e) 0,0076 = 7,6 x____ = 76x____

f) 6X10-3 = 0,6x____ = ____x100

g) 3,1x104= ____x100

4. Realice las siguientes conversiones

a) 1 año luz a pulgadas

b) El diámetro de la tierra en cm

c) La masa del sol en libras inglesas

d) La masa de Júpiter en toneladas

5. Defina una unidad de longitud basada en la estatura de una persona y dele un nombre a la unidad, luego encuentre en términos de esa nueva unidad:

a) La distancia aproximada Tierra-Sol

b) La distancia aproximada tierra luna

c) Un año luz.

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Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 2: Gráficas

Implementos

Hoja milimetrada, computador con Excel.

Objetivos

El objetivo fundamental de esta práctica es aprender a elaborar tablas de datos y a graficarlas, extrayendo la mayor cantidad de información posible de una situación experimental. También se busca que el estudiante desarrolle habilidades relacionadas con el proceso de graficar, como: tabular, escalar, ilustrar, dibujar, interpretar, detectar posibles errores experimentales etc. Finalmente se espera que el estudiante compare una gráfica hecha por métodos tradicionales en una hoja milimetrada, con una hecha por medio de un software especializado.

Teoría

Al hacer gráficas se debe tener en cuenta los siguientes pasos

1. Elaborar la tabla de datos, puede ser en forma vertical u horizontal, en la cual se nombran claramente los que serán los ejes de la gráfica. También se debe especificar entre paréntesis las unidades en las que se toman las medidas, las cuales no deben cambiar en todo el experimento. La tabla debe numerarse y también debe recibir un nombre que le explique claramente al lector el significado de los datos y de la forma como fueron tomados. Aunque en ocasiones no es posible obtener un número grande de datos de una situación, lo ideal siempre es tener la mayor cantidad posible. Por lo general, entre más datos se tenga, más precisa será la información que arroje el análisis de la gráfica. Ejemplo:

Tabla 7.4. Nombre XXXXX XXXXXX

Eje horizontal (unidades)

Eje vertical (unidades)

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2. Trazar y nombrar los ejes, que son dos líneas perpendiculares entre si, el horizontal es comúnmente llamado eje de las abscisas y el vertical es llamado eje de las ordenadas. Los ejes deben nombrarse o rotularse en la misma forma que la tabla, ya sea con nombre completo o con un símbolo que lo represente, además de tener las unidades de la medida entre paréntesis.

3. Escalar los ejes. La forma como se divide cada uno de los ejes debe escogerse de acuerdo a los valores máximo y mínimo de cada fila o columna de la tabla. Tanto la división de las escalas como los extremos de los valores deben procurar optimizar el espacio disponible para dibujar. En el caso de una hoja milimetrada se debe distribuir el espacio total para que no debe sobren espacios en blanco. No es necesario que en los dos ejes se tenga la misma división de escala, tampoco es necesario que comiencen en cero. Se recomienda que la división de la escala sea tal que pueda subdividirse fácilmente, por ejemplo, es más recomendable hacer una partición como 2, 4, 6, 8, que una partición como 7, 14, 21, etc. En general, resulta mejor usar números pares o múltiplos de diez para las particiones de escala. Se recomienda el uso de particiones donde los saltos sean de a 1, 2, 4, 5, 10, 20 100, etc.

4. Localice los puntos en el área de dibujo y haga una marca. En caso de que se vayan a hacer varias gráficas en la misma hoja, se deben diferenciar los puntos de cada gráfica usando pequeños círculos, triángulos, etc., o también pueden diferenciarse usando colores diferentes para los puntos correspondientes a cada curva.

5. Trace una línea suave entre los puntos. No es necesario que la línea pase por todos los puntos, pero si deben dejarse igual número de puntos por encima y por debajo de la curva o recta, incluso pueden quedar todos los puntos por fuera de la misma. También debe buscarse la forma de que las distancias de los puntos inferiores a la curva sea en promedio igual a la de los puntos por encima de la misma.

6. La gráfica debe tener un título que ilustre los resultados obtenidos y que evidencie en la medida de lo posible la técnica de recolección de datos. También se recomienda que una vez se haga la gráfica se incluya dentro del espacio sobrante la ecuación obtenida y si es posible también la tabla para mayor claridad.

Gráficas más frecuentes

Línea recta

En general un ecuación de recta tiene la forma bmxy += , donde m es llamada la pendiente y b el

intercepto de la recta con el eje vertical y cuando x = 0. Cuando se tiene una lista de datos cuya gráfica es (o cuando a simple vista se aproxima a) una línea recta, se pretende encontrar la ecuación de recta que le corresponde, para lo cual se obtiene el intercepto b extendiendo la gráfica hasta que corte el eje vertical y leyendo directamente el dato del mismo eje. Para obtener la pendiente m se toman dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) de la recta, procurando que se encuentren en los extremos de la misma para mejorar la precisión del cálculo, ya que dos puntos muy cercanos pueden inducir a errores en la pendiente. Es importante recalcar que los puntos para hallar la pendiente se deben tomar de la recta, no es necesario que estén en la tabla, ya que puede darse el caso en que la recta no toque ningún punto de la tabla sino que pase entre todos ellos. La pendiente se calcula usando la fórmula:

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12

12

xx

yym

-

-= (1)

Líneas Curvas

En una línea curva, la pendiente varía punto a punto, por lo cual el método anterior no nos proporciona una ecuación que se corresponda con los datos. Lo más usual es que una línea curva corresponda a un polinomio o a una ecuación exponencial. Para analizar curvas es más conveniente usar papel logarítmico o papel semilogarítmico. Vamos a ocuparnos del caso logarítmico para ilustrar como se llega a una ecuación polinómica a partir de una tabla de datos y el caso semilogarítmico, que corresponde a una ecuación exponencial, se deja como ejercicio al estudiante.

Consideremos la siguiente tabla de datos:

X (m) 5.3 7.1 10.1 19.8 31 40.5 45.2 55

Y (m) 1.1 1.8 4.1 15.9 41 72 99 159

Al graficar estos datos en papel milimetrado normal se obtiene la siguiente curva:

En este caso el método tradicional hace uso de papel logarítmico (o Log-Log) y de las consideraciones matemáticas necesarias para hallar una ecuación apropiada, pero en la actualidad es preferible usar un

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software especializado para encontrar una ecuación polinómica que se ajuste a esta curva, en nuestro caso usaremos Excel cuando nos encontremos frente a este tipo de gráficas.

Usando el programa Excel para graficar estos datos es posible incluir todos los aspectos descritos en la parte inicial de esta guía, como títulos, divisiones de escala, etc. Pero tal vez la mejor contribución del software es la inclusión de la ecuación correspondiente, la cual logra el computador usando métodos numéricos bastante precisos. Anteriormente sólo era posible el uso de métodos gráficos para ajustar una ecuación que respondiera de forma adecuada a la curva, pero en la actualidad contamos con muchos programas de computador que pueden realizar esta tarea en forma muchísimo más rápida y precisa que cualquier ser humano.

Antes de realizar la práctica el docente debe conducir a todos los estudiantes en una exploración del menú de EXCEL, donde se analicen las posibilidades de gráficas ofrecidas, así como estilos de líneas, formatos de trazado, rotulación de ejes, títulos etc.

Informe

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada. Relato o descripción de todo el proceso de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral. Tablas correspondientes a cada mesa, cálculos a mano de los tres valores pedidos en los puntos 1, 2 y 3. Incluya el desarrollo completo de los numerales 3 y 4. Las gráficas realizadas en Excel se envían por correo al docente dentro de la misma hora de clase.

1. Tome las dos columnas de datos de la tabla 1 que correspondan al número de su mesa y grafíquelos usando Excel, seleccionando del menú de gráficas el tipo dispersión, y ajustando la gráfica en modo lineal. Explore las posibilidades del programa para que incluya, títulos y ecuación. Calcule tres valores de la variable dependiente (Y) usando la ecuación obtenida, que no estén en la tabla y escríbalos en la parte inferior de la lista resaltados en otro color. Tenga en cuenta todos los parámetros descritos al inicio de esta guía.

2. Tome las dos columnas de datos de la tabla 2 que correspondan al número de su mesa y grafíquelos usando Excel, seleccionando del menú de gráficas el tipo dispersión, y ajustando la gráfica en modo polinómico. Explore las posibilidades del programa para que incluya, títulos y ecuación. Calcule tres valores de la variable dependiente (Y) usando la ecuación obtenida, que no estén en la tabla y escríbalos en la parte inferior de la lista resaltados en otro color. Tenga en cuenta todos los parámetros descritos al inicio de esta guía.

3. Repita el procedimiento del punto 1 del informe pero esta vez en papel milimetrado y encuentre la ecuación de la recta (halle intercepto y pendiente, ver ecuación 1 y teoría). Tenga en cuenta todos los parámetros descritos al inicio de esta guía.

4. Escriba sus propias conclusiones de la práctica. Compare la solución del problema del punto 3 con la del punto 1 del informe.

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Es importante aclarar aquí que en adelante se dará prioridad a los métodos computacionales a la hora de hacer gráficas para los informes y de encontrar sus ecuaciones, y en la práctica de hoy se evidencia precisamente la utilidad del uso de software apropiados para esta tarea.

Mesa 1 Mesa 2 Mesa 3 Mesa 4 Mesa 5 Mesa 6 Mesa 7 Mesa 8 Mesa 9 Mesa 10

X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y

3,8 -0,9 0,8 6,5 1,5 8 5,1 45 -1,8 15,3 4,5 -22,5 11 37 -15,1 -69,1 3,3 -14,4 -9 64

8,2 1,3 2,2 8,8 5,2 2,1 10,2 86 -1 9,2 6,2 -39 18 101 -11,9 -55,2 3,9 -12,1 -8,2 55,4

12,2 3,2 2,8 11 7,9 -3,9 14,6 123 0,2 3,4 7,4 -55,3 28 170 -9,2 -42,1 4,9 -10,4 -5,7 46,6

15,7 5,5 3,9 13 11 -9,7 19,7 164 1,1 -2,1 9,6 -71,4 44 240 -5,8 -28,1 6,2 -7,9 -4,2 39,7

19,9 6,6 5,4 16 13,8 -16 25,3 206 2,2 -8,8 12,3 -87,2 52 299 -3,3 -14,4 7,3 -5,2 -1,9 33,1

24,3 8,9 6,2 18 17,5 -22 30 247 3,3 -14,2 14 -105 57 363 0 -1,1 8 -3,3 0 26

27,5 11 6,4 20 20,2 -28 34,8 283 3,7 -20,8 16,2 -117 71 431 3,3 11,9 9,4 -1,3 2,1 17,4

31,8 13 8,3 23 23 -34 40,4 290 4,9 -26,4 17,6 -136 80 500 5,8 25,5 10,2 1,1 3,8 9,9

Tabla 1.

Mesa 1 Mesa 2 Mesa 3 Mesa 4 Mesa 5 Mesa 6 Mesa 7 Mesa 8 Mesa 9 Mesa 10

X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y

1 169 1 162 1,2 93,3 1,1 97,1 1 95,5 1 63 1 26 35 181 35 79 35 44,4

1,5 79 1,5 73 1,5 60,1 1,5 52,2 1,5 43,5 1,5 27 1,5 14 30 62,2 30 73 30 41,2

2 44,4 2 41,2 2 33,5 2 28,8 2 23,7 2 15 2 7,2 20 135 20 60 20 33,4

2,5 28,6 2,5 26,8 2,5 21,8 2,5 18,9 2,5 15,3 2,5 9,5 2,5 5,1 15 116 15 52,1 15 28,8

3 19,3 3 18,4 3 14,4 3 12,9 3 10,5 3 6,8 3 3,7 10 95,5 10 43,3 10 23,7

3,5 14,6 3,5 13,7 3,5 10,5 3,5 9,47 3,5 7,8 3,5 4,8 3,5 2,8 4 62,8 4 26,7 4 15

4,2 10,2 5 6,8 5 5,2 5 4,6 4,2 3,9 5 2,2 5 1,5 1 26,3 1 13,5 1 7,2

Tabla 2.

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Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 3: Teoría de errores

Implementos

Regla, balanza, cilindro, esfera metálica, flexómetro, cronómetro, computador.

Objetivos

En esta práctica se pretende que el estudiante alcance algunas habilidades en el manejo de cantidades que se miden en el laboratorio, las cuales deben estar acompañadas al final por un término que expresa el grado de precisión de la medida realizada, esto es llamado teoría de errores. También se espera que el estudiante domine las reglas de redondeo de cifras y el manejo de cifras significativas, aplicadas al manejo de la propagación de errores.

Teoría

Todo instrumento de medida tiene un error asociado, que indica la fineza o precisión de una medida tomada con él. Éste error es también llamado incertidumbre en la medida. En todo aparato de medida el error está dado por la mínima división de la escala del aparato. En una regla normal, la mínima división es de milímetros (1mm) o décimas de centímetro (0,1cm). Toda medida tomada en un experimento debe escribirse como:

BB'B D±=

Donde B es la lectura de la medida en el instrumento usado, llamada valor central, y ΔB es el error asociado con el aparato. Una medida tomada con una regla se escribiría como: A’=(2,5±0,1)cm, o también como

A’=(25±1)mm. En este caso el valor central es 2,5cm y el error es 0,1cm. Una interpretación de esto es que

la medida está entre 2,4 y 2,6cm. Es incorrecto escribir por ejemplo A’=(2,5±0,01)cm, ya que la última cifra

de la incertidumbre o error debe tener la misma posición decimal que la última cifra del valor central. Por la misma razón también es un error escribir A’=(2,05±0,1)cm.

Los errores sistemáticos introducidos al tomar medidas en el laboratorio son en general debidos a las técnicas de medida empleadas o a los aparatos usados. La descalibración de los instrumentos de medida es una causa común de errores sistemáticos. También se presentan errores de paralaje debidos a una mala posición del observador respecto a los indicadores del aparato.

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Ya que en adelante se va a tratar con cantidades experimentales, que frecuentemente debemos redondear o ajustar para expresar correctamente, vamos a ver algunas reglas para el manejo de cifras significativas y redondeo de decimales.

Redondeo

Al redondear números, la cifra que se va a descartar debe estar entre cinco y nueve para que la última cifra que queda se aumente en uno. Ejemplo: Al redondear 3,45681 a tres decimales se obtiene 3,457. Si se fuera a redondear a un decimal quedaría 3,5. Cuando la cifra a descartar está entre cero y cuatro, la última cifra que queda no se modifica. Ejemplo: Al redondear 87,58276 a dos decimales se obtiene 87,58. Esta regla es una versión más simplificada, ya que lo usual es que cuando la cifra a descartar es cinco, hay que entrar a analizar las cifras que le siguen, pero no consideraremos por ahora esta regla por agilidad en el trabajo.

Cifras significativas

1. El número de cifras significativas de una cantidad se cuenta de izquierda a derecha comenzando por el primer dígito diferente de cero. Ejemplo: en 23,456 hay cinco cifras significativas. En el número 0,00897 hay tres cifras significativas.

2. Los ceros que den lugar a potencias de diez no cuentan como cifras significativas. Ejemplo: el número 144000000 tiene tres cifras significativas puesto que se puede escribir 1,44x108. El número 0,08972 puede escribirse como 8,972x10-2, por lo que tiene cuatro cifras significativas. El número 123,004 tiene seis cifras significativas ya que estos ceros no dan lugar a potencias de diez.

3. Al sumar o restar dos números con cifras decimales, el resultado debe tener el mismo número de cifras decimales que la cantidad que menos tenga de las dos que se multiplicaron. Ejemplo: al multiplicar 23,657 por 84,3 se obtiene 1994,2851, que usando la regla de redondeo se debe escribir como 1994,3.

4. Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas en la respuesta debe ser igual al del término que menos tenga. Ejemplo: al multiplicar 12,90x10-4 por 34 se obtiene 438,6x10-4 ó también 4,386x10-2, pero debe escribirse con dos cifras por lo que queda 4,4x10-2.

5. El error asociado con una medida debe expresarse con una sola cifra significativa, puesto que la incertidumbre expresa una duda en la última cifra de la medida como se explicó en la introducción. Sin embargo en algunos casos especiales el error se escribe con más de una cifra y esto puede deberse a que proviene de medidas indirectas o a alguna otra razón técnica.

Operaciones entre cantidades con error. Propagación de errores

Las medidas tomadas en un laboratorio usualmente son usadas para realizar operaciones entre ellas, por ejemplo, si se miden los dos lados de un rectángulo para conocer su área, se deben multiplicar dos cantidades con error. Al realizar la operación se debe tener en cuenta que el resultado debe tener un error asociado o

18

propagado, que a su vez respete las reglas de redondeo y de cifras significativas. Lo primero que hay que hacer es redondear el error propagado a una cifra y luego se ajusta el número de cifras del valor central para que su última posición decimal coincida con la del error, para lo cual a veces es necesario escribir el valor central en potencias de diez.

En la siguiente tabla se resumen los errores asociados con las operaciones básicas, donde se toman dos números con error (A±ΔA) y (B±ΔB), se operan y el resultado es un número de la forma (Z±ΔZ), donde Z es

el resultado de operar los dos valores centrales A y B, y por otro lado ΔZ se encuentra realizando la

operación de la tercera columna de la tabla, según sea la operación.

Nombre de la Operación Operación Incertidumbre Multiplicación por una constante

C(X± Δx) = CX± Δz Δz = C Δx

Potencia (X± Δx)n =Xn± Δz xxnz n D=D -1

Suma o Diferencia (X ± Δx) ± (Y± Δy) =X±Y± Δz yxz D+D=D Producto (X± Δx) (Y± Δy) = XY± Δz

÷÷ø

öççè

æ D+

D=D

y

y

x

xyxz .

Cociente z

Y

X

yY

xXD±=

D±D±

÷÷ø

öççè

æ D+

D=D

y

y

x

x

y

xz

Producto de potencias (X± Δx)n(Y± Δy)m = Xn Ym ± zD ÷÷ø

öççè

æ D+

D=D

y

ym

x

xnyxz mn.

Función seno sen(θ± Δθ) = senθ ± Δz Δz = (cosθ )Dθ Función coseno cos(θ± Δθ) = cosθ ± Δz Δz = (senθ )Dθ Función tangente tan(θ± Δθ) = tanθ± Δz Δz = (sec2

θ )Dθ

Tabla 1. Operaciones entre cantidades con error

Ejemplos: Al sumar (12,34±0,02) con (84,3±0,1) sin tener en cuenta las cifras decimales se obtiene (96,64±0,12) puesto que los errores se suman según la tabla, pero en primer lugar la respuesta debe tener un error propagado de 0,1. El valor central debe entonces tener una cifra decimal, por lo cual se redondea a 96,6. El resultado se expresa como 96,6±0,1. Si se multiplican estos mismos dos números el valor central da 1040,262. Mientras el error se calcula mediante la fórmula correspondiente al producto en la tabla, para dar:

922384

10

3412

0203843412 ,

,

,

,

,),(*),(z =÷

ø

öçè

æ +=D

Que redondeado a una cifra significativa da ΔZ=3. Al escribir el resultado del valor central teniendo en

cuenta las posiciones decimales vemos que el resultado de la operación incluyendo la propagación de errores debe escribirse como 1040±3.

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Error para una cantidad medida muchas veces

En algunos casos es necesario repetir muchas veces una medida para obtener un dato más aproximado a la realidad o debido a la aleatoriedad de algún proceso, por lo cual el resultado debe tener en cuenta las reglas de la estadística a la hora de expresar los datos obtenidos. En estos casos la medida repetida n veces de la variable X se expresa como:

s±= xX

Donde x es el valor medio o el promedio de la medida, y está dado por

n

x

x

n

iiå

== 1

mientras que en este caso el error es llamado desviación estándar σ, y se calcula usando la fórmula:

( )å=

--

=sn

ii

xxn 1

2

1

1

Porcentaje de error

Cuando se conoce el valor teórico Vteor de una cantidad, se calcula el porcentaje de error comparando este valor con el valor experimental obtenido Vexp, mediante la siguiente fórmula:

100´-

=teor

expteor

V

VVError%

20

Informe

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, relato o descripción de todo el proceso de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica. Incluya conclusiones y causas de error.

1. Tome la regla y mida la altura y el diámetro del cilindro y expréselas correctamente.

2. Calcule el volumen del cilindro teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo, cifras y operaciones entre cantidades con error descritos al inicio de esta guía. Tenga en cuenta las unidades para que exprese el resultado en cm3.

3. Use la balanza para medir la masa del cilindro y escriba adecuadamente la medida.

4. Calcule la densidad del cilindro en g/cm3, teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo y cifras. Busque en internet una tabla de densidades para que por comparación establezca el material del que está hecho el cilindro. Calcule el porcentaje de error para la densidad del cilindro tomando el dato consultado como el valor teórico.

5. Use el flexómetro para medir y señalar una altura de dos metros en la pared respecto al piso. Realice una tabla donde consigne diez medidas del tiempo que tarda la esfera metálica en caer al piso al ser soltada desde el reposo a una altura de 2m. Exprese el valor central y el error tal como se indica en la sección correspondiente a una medida repetida varias veces.

6. Use la expresión y = 0,5gt2 para calcular la gravedad en el laboratorio. Calcule el porcentaje de error comparando la gravedad obtenida con la gravedad en Medellín 9,77 m/s2 (teórica).

7. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en las medidas tomadas.

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Práctica 4: Instrumentos de precisión

Implementos

Tornillo micrométrico, calibrador, balanza, paralelepípedo, esfera, computador.

Objetivos

El objetivo central de esta práctica es aprender a manejar dos instrumentos de precisión como el pie de rey o calibrador y el tornillo micrométrico; así como aprender a escribir las medidas tomadas con alguno de ellos. También se espera que el estudiante practique el uso de la teoría de errores adecuadamente al manipular las medidas tomadas en esta práctica.

Teoría

Cuando queremos medir una distancia en el laboratorio, es deseable tener la mayor precisión posible en la medida. Si queremos tomar medidas de longitudes con precisión de centésimas o milésimas de milímetro debemos usar un instrumento que tenga ese grado de precisión, como es el caso del calibrador y del tornillo micrométrico. En una regla común y corriente, la incertidumbre o mínima división es de un milímetro (1mm) o una décima de centímetro (0,1cm), pero en un calibrador es de 0,05mm, mientras que en un tornillo micrométrico es de 0,01mm. Aunque existen calibradores de más precisión, usaremos los que tenemos disponibles, que son de 0,05 mm de precisión. Hay que tener en cuenta que la precisión de una medida también es relativa a las dimensiones de lo que se mide. Por ejemplo no tiene sentido medir la distancia entre dos ciudades con precisión de milímetros.

Calibrador o pie de rey

Un calibrador tiene una parte con división en milímetros y otra parte corrediza llamada nonio, que tiene otra pequeña regla que corresponde a una división de un milímetro en 20 partes. Al tomar medidas con un calibrador, primero se toma la lectura de la parte entera de la regla (en milímetros) y luego se toma la lectura de la parte decimal del nonio, donde cada raya corresponde a (1/20)mm, es decir 0,05mm. Que a su vez es el error o incertidumbre en la medida del instrumento. La raya del nonio que se escoge es la que más coincida y que mejor se alinee con una raya cualquiera de la regla. Si por ejemplo la raya marcada con el 2 se alinea con una raya cualquiera de la regla, la lectura decimal será 0,20mm. Si la raya que se alinea es por ejemplo la que está entre el 6 y el 7 del nonio, la lectura decimal es 0,65mm.

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Medida Calibrador = {[(Lectura de regla) + (lectura de nonio)] ± 0,05}mm

Figura 1. Pie de rey Figura 2. Detalle de nonio

Las figuras 1 y 2 ilustran un calibrador y el detalle del nonio. Cuando se mira el nonio para buscar el valor decimal se debe tener cuidado de no cometer errores de paralaje, la ubicación de la mirada debe estar bien perpendicular al nonio. Un ejemplo de una medida tomada con un calibrador es (23,45±0,05)mm. Otro ejemplo es (9,20±0,05)mm.

Tornillo micrométrico

Figura 3. Tornillo micrométrico Figura 4. Detalle del tambor

Un tornillo micrométrico tiene una parte con escala en milímetros y otra parte giratoria llamada tambor, que tiene una división de un giro completo en cincuenta partes iguales, que corresponde a una división de medio milímetro en 50 partes. Es decir que 1 mm corresponde a dos vueltas completas del tambor. Al tomar medidas con un tornillo micrométrico, primero se toma la lectura de la parte entera de la parte superior de la regla (en milímetros), hay que adicionar medio milímetro si el tambor rebasa la raya de la parte inferior de la regla (ver la figura 4). Luego se toma la lectura de la parte decimal del tambor, donde cada división

23

corresponde a (0,5/50)mm, es decir 0,01mm. Que a su vez es el error o incertidumbre en la medida del instrumento. La medida del tambor se toma como la raya del tambor que mejor se alinee con la raya horizontal central de la regla.

Medida con el tornillo = {[(Lectura de regla) + (lectura del tambor)] ± 0,01}mm

Las figuras 3 y 4 ilustran un tornillo micrométrico y el detalle del tambor. Un ejemplo de una medida tomada con un calibrador es (46,23±0,01)mm. Otro ejemplo es (5,70±0,01)mm.

El profesor debe impartir las instrucciones necesarias para que los estudiantes dominen los dos instrumentos.

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Informe

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, relato o descripción de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica. Incluya conclusiones y causas de error.

1. Tome la calibrador y mida las tres dimensiones del paralelepípedo, y expréselas correctamente.

2. Calcule el volumen del paralelepípedo teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo, cifras y operaciones entre cantidades con error. Tenga en cuenta las unidades para que exprese el resultado en cm3.

3. Use la balanza para medir la masa del paralelepípedo y escriba adecuadamente la medida.

4. Calcule la densidad del paralelepípedo teniendo en cuenta todas las reglas de redondeo y cifras. Busque en internet una tabla de densidades para que por comparación establezca el material del que está hecho el paralelepípedo. Calcule el porcentaje de error para la densidad del paralelepípedo, tomando como valor teórico el hallado en la tabla.

5. Use el tornillo micrométrico para medir el diámetro de la esfera de cristal. Exprese la medida adecuadamente.

6. Use la balanza para hallar la masa de la esfera. Escríbala adecuadamente.

7. Calcule la densidad de la esfera teniendo en cuenta la propagación de errores. Busque en una tabla la densidad del material para que establezca por comparación de qué está hecha la esfera. Calcule el porcentaje de error.

8. Mida el diámetro externo y el diámetro interno del CD usando el calibrador, y mida su espesor usando el tornillo micrométrico.

9. Calcule el volumen del CD, teniendo en cuenta la teoría de errores.

10. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en las medidas tomadas.

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Práctica 5: MUA

Implementos

Soporte universal (3), nueces (3), varilla corta (2), flexómetro, carro, sensor digital de tiempo y fotocompuertas, computador, plano inclinado, juego de masas.

Objetivos

El objetivo fundamental es que el estudiante haga una medida experimental la aceleración de un móvil que desciende por un plano inclinado y la compare con su valor teórico. También se espera que el estudiante determine en un experimento que la velocidad de un cuerpo es constante y que tome una medida de dicha velocidad.

Teoría

En un movimiento uniformemente acelerado la posición y la velocidad están regidas respectivamente por las ecuaciones 1 y 2 que vemos a continuación, aunque en algunos textos también se acepta el uso de la ecuación 3, la cual se puede deducir a partir de las dos anteriores:

2

00 2

1tatvxx ++= (1)

tavv += 0 (2)

xavv D+= 220

2 (3)

En un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la posición está dada por la siguiente expresión:

vtxx += 0 (4)

Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado sin tener en cuenta la fricción, el cuerpo está en MUA, y se considera que su aceleración constante es igual a la componente de la aceleración debida a la gravedad

paralela al plano, debido a que el vector aceleración debida a la gravedad gr

, se descompone vectorialmente

en una componente perpendicular al plano (gcosθ ) y otra paralela (gSenθ ), como se ve en la siguiente

26

figura. Aunque esto realmente proviene de la dinámica del objeto, donde la fuerza normal ejercida por el plano sobre el cuerpo equilibra la componente del peso perpendicular al plano mgCosβ. Dado que la única fuerza en dirección paralela al plano es la componente del peso paralela al plano, esta provoca la aceleración gSenθ. No nos adentraremos más en este tema por corresponder a un tema posterior en el curso de Física Mecánica, pero al calcular el porcentaje de error se tomará gSenθ como valor teórico de la aceleración de un cuerpo que baja por la pendiente libre de fricción. Figura 1. Descomposición vectorial de la aceleración debida a la gravedad. Al realizar nuestra práctica vamos a calcular la aceleración de un carro que se desliza por un plano inclinado, donde supondremos que la fricción en los ejes y en los puntos de contacto no tiene ninguna incidencia en la aceleración del cuerpo, es decir que se desprecia la fricción entre los cuerpos así como la debida al aire. Tampoco se tendrán en cuenta efectos rotacionales de las ruedas del carro. Bajo estas consideraciones la aceleración teórica del carro debe ser gSen θ. Figura 2. Montaje experimental.

En la figura 2 se ilustra el montaje que se usará en esta práctica, teniendo en cuenta que se debe buscar un valor de aceleración apropiado para la precisión del experimento. Tenga en cuenta lo siguiente: El eje vertical del carro debe activar los sensores, sin tocar ninguna otra cosa que interrumpa su trayectoria. Marque los puntos A y B, así: A es el punto de partida, en el cual se busca que el tornillo sobre el carro que activará

θ gr

θ

qgSen

qgCos

A

B

θ 0,87

Sensores

Registrador digital

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el sensor quede ubicado a un milímetro de la luz del sensor, y B es la ubicación del segundo sensor como punto final de la trayectoria. Es necesario que el eje que pasa por los sensores se ubique siempre sobre el punto A al inicio del experimento. Observe en la siguiente figura la precaución que tiene que tener al instalar los fotosensores para que el tornillo del carro pase por entre ellos.

Figura 3. Detalle de la figura 2.

Se espera que el movimiento del carro sea un MUA, del cual queremos hallar su aceleración experimentalmente. Hay que recordar que el carro se suelta desde el reposo justo en la posición del primer sensor, por lo cual se puede considerar que la velocidad inicial del sistema es cero. Para hallar la aceleración experimental, consideremos la ecuación 1, donde consideramos que el origen de coordenadas es la posición del primer sensor.

2

00 2

1tatvxx ++=

Donde se sustituye x0 =0 , x= d, y v0 = 0. Entonces obtenemos,

2

2

1tad = (5)

De la ecuación 5 se puede concluir que la aceleración del carro al bajar por el plano inclinado está dada en términos de las cantidades medibles d y t, por la expresión:

2

2

t

da = (6)

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Procedimiento e informe.

1. Tome el valor de la inclinación del plano Ɵ (en grados), para lo cual debe usar una escuadra y medir una distancia horizontal X, y una altura Y en la parte inferior del plano inclinado. Use la función tangente inversa para hallar el ángulo y consígnelo en la tabla 1.

2. Tome la medida d entre los puntos A y B con su respectivo error y consígnela en la tabla 1. 3. El registrador digital de tiempo debe estar en modo S2 para que tome el tiempo entre los dos

fotosensores. Cada vez que se va a tomar el tiempo se debe resetear el aparato. Tome la medida del tiempo t que transcurre entre A y B, repitiendo la medida 10 veces. Recuerde usar aquí la teoría de errores para una cantidad medida varias veces. Consigne en la tabla 1 el dato del tiempo con su error respectivo. Es importante cuidarse de que el carrito no siga corriendo después del segundo sensor para evitar que se dañe, puede ponerse una mano o algún objeto acolchado que amortigüe su caída.

Ɵ (°) d(m) t(s)

Tabla 1.

4. Consigne en la tabla 2 el valor de la aceleración experimental aexp que se encuentra usando la ecuación 6 y los datos de la tabla 1. Use la teoría de errores para hallar el error propagado correspondiente a la aceleración experimental

5. Consigne en la tabla 2 el valor teórico de la aceleración ateor = gSen θ. El acercamiento a las condiciones ideales de “no fricción” es determinante en la precisión del experimento. Tenga en cuenta que la gravedad en Medellín es 9,77 m/s2.

6. Calcule el porcentaje de error de la aceleración experimental y consígnelo en la tabla 2. Recuerde que para calcular el porcentaje de error debe usar el valor central de la aceleración experimental y el valor de la aceleración teórica.

aexp ateor % Error

Tabla 2.

7. Incluya conclusiones y causas del porcentaje de error.

Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatorio detallado de todos los procesos, cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica.

θ

Y

X

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Práctica 6: Caída libre

Implementos

Soporte vertical con registrador digital de tiempo, fotocompuertas y cinta métrica, esfera, computador.

Objetivos

El objetivo fundamental de esta práctica es que el estudiante tome una medida experimental la aceleración de un cuerpo debida a la gravedad ayudado por un computador y la compare con su valor teórico. También se espera que el estudiante determine el valor de la gravedad mediante la gráfica de velocidad media contra tiempo en los intervalos hallados usando los datos del mismo experimento para calcular previamente las velocidades medias.

Teoría

Decimos que un cuerpo está en caída libre cuando se encuentra en movimiento vertical en cercanías de la superficie terrestre, bajo la acción exclusiva de la fuerza de gravedad. La caída libre es un caso particular de movimiento uniformemente acelerado, tal vez el más importante debido a que todos los actos de nuestra vida diaria están condicionados por esta aceleración. En un movimiento de caída libre la posición y la velocidad están regidas respectivamente por las siguientes ecuaciones, aunque al igual que en el movimiento uniformemente acelerado MUA también hay que decir que el uso de la ecuación 3 no siempre es adoptado por todos los textos:

2

00 2

1tgtvyy y -+= (1)

tgvv yy -= 0 (2)

ygvv yy D-= 220

2 (3)

Donde debe aclararse que en la mayoría de casos se escoge la dirección vertical como la dirección positiva de la posición y, por lo cual la aceleración debida a la gravedad es negativa, lo cual se expresa con el menos que precede a la aceleración en las tres ecuaciones, lo cual nos dice además que la aceleración g que aparece en las tres ecuaciones es el valor absoluto de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar g = 9,82 m/s2, aunque en este experimento debemos tener en cuenta que la gravedad en Medellín es 9,77 m/s2. Es necesario aclarar aquí que la aceleración debida a la gravedad puede considerarse constante en las cercanías

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de la superficie terrestre, pero la teoría de la gravitación universal dice que este valor varía con la altura del cuerpo. También hay que aclarar que no se tendrá en cuenta la influencia del rozamiento con el viento en este experimento.

Procedimiento e informe

1. Ubique las fotocompuertas en tres posiciones dentro del primer medio metro de caída. Tome las medidas de las posiciones de las fotocompuertas y consígnelas en la tabla 1. Conecte las fotocompuertas al equipo y presione el botón “falling time” y ponga el interruptor en la posición

“atract” para iniciar el experimento y tomar tiempos que tarda la esfera en pasar por entre las

fotocompuertas. 2. Mueva el interruptor a la posición “release” para que la esfera caiga libremente. Tome las medidas

de tiempo entre las fotocompuertas que entrega el aparato y consígnelas en la tabla 1. 3. Ubique de nuevo las tres fotocompuertas dentro del segundo medio metro de caída y repita el

procedimiento para consignar los siguientes tres valores de distancia y tiempo en la tabla 1. Haga lo mismo para el último medio metro de caída, consignando los últimos tres valores de altura y tres valores de tiempo en la tabla 1.

t(s)

y(m)

Tabla 1.

4. Use el programa Excel para graficar los datos y vs t de la tabla 1 en modo dispersión y ajuste polinómico de grado dos. Obtenga el valor de la aceleración debida a la gravedad en Medellín comparando el valor del coeficiente del término cuadrático de la ecuación obtenida del gráfico con el coeficiente cuadrático de la ecuación 1. Calcule el porcentaje de error de la gravedad obtenida.

5. Use los datos de la tabla 1 para calcular las velocidades medias de la esfera en cada intervalo espacial Δy, como v n= (yn-yn-1) / (tn-tn-1). Consigne las velocidades medias en la tabla 2. Note que se va a

graficar la velocidad media v n contra tiempo medio en el intervalo nt , donde el tiempo medio se

calcula como nt = tn-1+(tn-tn-1)/2

nt (s)

nv (m/s)

Tabla 2.

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6. Grafique la velocidad media contra el tiempo usando el programa Excel en modo dispersión y ajuste lineal. Encuentre el valor de la aceleración debida a la gravedad comparando la ecuación de recta obtenida con la ecuación 2. Calcule el porcentaje de error.

7. Dentro del tiempo de la práctica envíe por correo electrónico a su profesor las dos gráficas realizadas.

8. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción detallada de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, tablas y cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica.

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Práctica 7: Vectores

Objetivos

El objetivo de esta práctica es hacer un repaso de todas las nociones vectoriales básicas y practicar las operaciones entre vectores. El informe de hoy consistirá en un taller de ejercicios variados, donde se incluyen todas las operaciones.

Teoría

Escalares y vectores

En un curso de física básica se usan dos tipos de cantidades: escalares y vectores. Podemos definir un escalar como una cantidad que queda completamente especificada por un número, positivo o negativo. Aunque esta definición no es muy rigurosa, trabajaremos con la noción de que un escalar se puede entender como un número real, aunque es necesario aclarar que en matemáticas la noción de escalar es más compleja, al igual que la noción de vector que definiremos enseguida. Los vectores son entes matemáticos que requieren de más de un parámetro para describirse completamente, estos parámetros pueden ser: magnitud y dirección; coordenadas cartesianas u otros. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza no basta con saber la magnitud de ésta, también es necesario saber en qué dirección se aplica. Con la velocidad, aceleración y las demás cantidades vectoriales ocurre algo similar.

Ejemplos: Un escalar es básicamente una cantidad que sólo tiene magnitud, como: el tiempo, la energía, la rapidez, la masa, la carga eléctrica, la temperatura, etc. En la mayoría de los textos se representan con letras minúsculas.

Para un matemático, la definición de vector, o más ampliamente de un espacio vectorial, implica hablar de un conjunto de objetos, los vectores, y de unas operaciones entre estos objetos, que cumplen una lista de propiedades. Sin embargo, omitiremos el rigor matemático y daremos una definición de vector que, aunque no es muy formal, si puede ayudarnos a comprender la importancia del uso de vectores en el tratamiento de problemas físicos. En general puede decirse que un vector es un objeto matemático que necesita de varios parámetros o componentes para ser descrito. En el plano R2 un vector necesita dos componentes, que pueden ser las coordenadas cartesianas (x, y), o también pueden ser una magnitud y un ángulo de orientación θ medido siempre respecto al eje x, (r, θ) o coordenadas polares, vea la figura 1. En el espacio R3 se requieren tres parámetros para describir un vector, que pueden ser sus componentes cartesianas (Bx, By, Bz), o sus coordenadas esféricas (B, θ, φ), con los ángulos medidos en la dirección que se indica en la figura 2. Un vector se puede representar por un segmento dirigido o flecha, cuyo origen coincide con el origen del sistema de coordenadas y el otro extremo está ubicado en un punto dado del plano, que en el caso de la figura 1 es

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(Ax, Ay). Los vectores se denotarán por letras, generalmente mayúsculas, con una flecha sobre ellas: Br

. La

magnitud de un vector Br

, se denota poniéndolo entre barras: || Br

, o simplemente escribiéndolo sin la

flecha: B.

Figura 1. Vector en el plano Figura 2. Vector en el espacio

Operaciones

Producto de un escalar por un vector

Sea “a” un escalar y sea Br

un vector. El producto “ Bar

“ es también un vector, que tiene la misma dirección

que Br

, pero su magnitud ha sido modificada en un factor “a”. Para ilustrar gráficamente algunas

observaciones respecto al producto de un vector por un escalar, tomemos el vector Br

mostrado en la figura 3.a. Las características de este producto son las siguientes:

a) Si el escalar es un número mayor que 0 y menor que 1, se obtendrá un vector de longitud menor que el inicial, ver figura 3.b.

b) Un escalar mayor que 1 aumentará el tamaño del vector en “a”, esto puede verse en la figura 3.c.

c) Cuando el escalar es negativo, además de su longitud, también se cambia el sentido del vector, es decir, el nuevo vector está a 180 grados del original, vea la figura 3.d.

d) Como un caso particular del anterior, si el escalar es -1, el nuevo vector será - Br

, el cual es

llamado el opuesto de Br

, y que tiene la misma magnitud, esto se ve en la figura 3.e.

x

y

z

φ

θ

Bx

By

Bz

x

y

Ar

Ax

Ay

A

θ

34

e) Si el escalar es 1, el vector no sufrirá modificación, es decir, el escalar 1 es módulo de esta operación.

Figura 3.a. Vector Br

Figura 3.b. Producto Bar

con 10 << a

Figura 3.c. Producto Bar

con 1>a Figura 3.d. Producto Bar

con 0<a

Figura 3.e Producto Bar

con 1-=a

Suma de vectores

La suma de vectores da como resultado otro vector, y puede hallarse gráfica o analíticamente.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

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Suma gráfica

Cuando un vector no está asociado con un sistema de referencia o sistema de coordenadas, es llamado vector libre. Aunque en la mayoría de casos prácticos no se usan vectores libres, esta idea puede ayudar a comprender la suma de vectores. Para sumar dos vectores gráficamente, se toma el segundo vector y se traslada en el espacio, sin cambiar su orientación ni su magnitud, y su base se pone sobre la punta o cabeza del primero. El vector resultante o vector suma va desde el origen del primero hasta final del segundo vector. Este método es conocido como: cabeza con cola. Esto se ilustra en la siguiente figura

Figura 4. Suma de vectores libres por el método cabeza con cola

También se conoce el método del paralelogramo, en el cual se toman los dos vectores que se quieren sumar y se trasladan en el espacio sin alterarlos poniéndolos a que coincidan en origen, y se construye un paralelogramo trazando, sobre el final del primer vector un segmento de recta paralelo al segundo y con su longitud, y sobre el segundo vector otro segmento paralelo al primero y con su longitud. El vector suma es la diagonal del paralelogramo y su origen coincide con el de los otros dos. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de cómo se forma el paralelogramo para sumar vectores, usando los mismos vectores del ejemplo anterior

Figura 5. Suma de vectores libres por el método del paralelogramo

Componentes

Si ubicamos un vector Rr

en un sistema de coordenadas y lo escribimos como la suma de otros dos vectores que cumplan la condición cabeza-cola, de modo que los vectores que conformen la suma sean

36

perpendiculares y paralelas a los ejes coordenados, que se llamarán componentes vectoriales rectangulares o cartesianas, los cuales se denotarán con subíndices x e y, y como consecuencia, al ser paralelas a los ejes x e y, se podrán escribir en términos de vectores unitarios (de magnitud uno) en las direcciones, respectivamente

i , j . En la siguiente figura se ilustra un vector en un sistema de coordenadas en términos de dos

componentes paralelas a los ejes, llamadas componentes vectoriales rectangulares o cartesianas.

Figura 6. Descomposición vectorial en términos de vectores unitarios

Ahora bien, dado que las componentes rectangulares están sobre los ejes, cada una de ellas puede escribirse como el producto de su magnitud por el vector unitario en cada dirección. Por lo tanto la descomposición vectorial se puede escribir de la forma:

jRiRRRR yxyxˆˆ +=+=

rrr (1)

Suma analítica

Para sumar vectores analíticamente, es necesario expresar cada vector en términos de sus componentes cartesianas, y el vector resultante se halla sumando componente a componente. Si se tienen dos vectores

jAiAA yxˆˆ+=

r y jBiBB yx

ˆˆ+=r

, el vector resultante o suma viene dado por

( ) ( )jBiBjAiABA yxyxˆˆˆˆ +++=+

rr (2)

Ahora usamos el álgebra para agrupar los términos o componentes escalares que acompañan a los vectores unitarios. Esto nos conduce a la siguiente fórmula para la suma analítica de vectores:

( ) ( )jBAiBABA yyxxˆˆ +++=+

rr (3)

x

y

x

y

37

Es necesario tener en cuenta que cuando una componente escalar es negativa, debe incluirse este signo en la ecuación (3). Así mismo debe tenerse en cuenta que cuando la operación es una resta de vectores, cambian los signos en la ecuación (3) de forma que el vector resta o diferencia queda escrito como:

( ) ( )jBAiBABA yyxxˆˆ -+-=-

rr (4)

Note que no cambia el signo más entre las dos componentes vectoriales del vector resta, sino entre las componentes escalares. Cuando la suma analítica se realiza en tres dimensiones simplemente se adiciona la tercera componente en la ecuación (3), por lo cual la ecuación se convierte en:

( ) ( ) ( )kBAjBAiBABA zzyyxx +++++=+rr

(5)

Recuerde que los vectores pueden escribirse en términos de sus componentes cartesianas (Ax, Ay), o en términos de sus componentes polares (A, θ). Las ecuaciones (6) y (7) se utilizan para relacionar las componentes polares, con las componentes cartesianas. También es importante recordar que los signos de las componentes escalares dependen del cuadrante en que se encuentre el vector.

Reglas de transformación de coordenadas

÷÷ø

öççè

æ=q

+=

q=

q=

-

x

y

yx

y

x

A

ATan

AAA

ASenA

ACosA

1

22

Figura 7. Componentes escalares

Ejemplo

1) Sean los vectores:

kjiA ˆ7ˆ3ˆ4 +-=r

; kjiB ˆˆˆ ++=r

; kjC ˆ6ˆ2 +-=r

Encuentre:

a) BArr

+

b) CBArrr

-+ 32

x

y

Ar

Ax

Ay

A

θ

Polares a Cartesianas

Cartesianas a Polares

(6)

(7)

38

Solución:

a) =+ BArr

kjikjikjikji ˆ8ˆ2ˆ5ˆ)17(ˆ)13(ˆ)14()ˆˆˆ()ˆ7ˆ3ˆ4( +-=+++-++=++++-

b) kjik)(j)(i)(

)kj()kji()kji(CBA

1111631423638

62333146832

+-=-++++-++=

+--++++-=-+rrr

Producto punto o producto escalar entre vectores.

El producto punto entre vectores da como resultado un escalar, de ahí su nombre. Sean dos vectores Ar

y Br

en R2 o en R3, los cuales al ser ubicados coincidiendo en origen forman un ángulo q entre ellos. Se define

el producto punto o producto escalar en el espacio R3, entre los vectores kAjAiAA ZYXˆˆˆ ++=

r y

kBjBiBB ZYXˆˆˆ ++=

r como:

ZZYYXX BABABABA ++=×rr

(8)

Pero también puede definirse como

qCosABBA =×rr

(9)

En el plano XY simplemente se suprime la última componente en la ecuación (8). Es fácil demostrar que estas dos definiciones son equivalentes. Se usará la que más convenga en cada caso.

Producto vectorial o producto cruz

El producto cruz entre vectores da como resultado otro vector. La forma en que se define el producto cruz sugiere una operación similar al cálculo del determinante de una matriz 3x3, pero dado que la primera fila en este caso está constituida por los vectores unitarios, se habla de un seudodeterminante.

Sean los vectores en el espacio kAjAiAA ZYXˆˆˆ ++=

r y kBjBiBB ZYX

ˆˆˆ ++=r

. Se define el producto

vectorial como:

kABBAjABBAiABBABA yxyxzxzxzyzyˆ)(ˆ)(ˆ)( -+---=´

rr (10)

Este producto así definido tiene varias propiedades. El vector resultante es perpendicular a cada uno de los

vectores ByArr

, por lo tanto es perpendicular al plano formado por ellos. Si los vectores ByArr

están en el

plano xy, entonces el vector resultante estará en el eje z. Si θ es el ángulo entre los vectores ByArr

medido

en el sentido en que se miden positivos los ángulos, entonces la magnitud del producto cruz está dada por

qSenABBA =´rr

(11)

39

El producto cruz sigue la llamada regla de la mano derecha, según la cual se apunta el dedo índice en la dirección del primer vector involucrado levantando el pulgar perpendicularmente al primero y se gira el índice hacia el segundo vector cerrando la mano. El vector resultante tendrá la dirección del pulgar. La dirección del vector producto cruz se ilustra en la figura 8.

Figura 8. Dirección del producto vectorial

Convención: Cuando se dibuja un vector perpendicular a la superficie de dibujo, se sigue la siguiente convención. Un vector perpendicular al plano y que apunta hacia afuera de la superficie se dibuja como un punto dentro de una circunferencia, queriendo denotar la vista frontal de la punta de éste. Un vector perpendicular al plano y que apunta hacia adentro de éste, se dibuja como una x dentro de una circunferencia.

Figura 9. Vector saliente. Figura 10. Vector entrante al plano de dibujo.

Ejemplo

Sean los vectores Ar

= kji ˆ2ˆ4ˆ3 +- y Br

= kji ˆˆ3ˆ2 +- . Encuentre BA´r

Solución:

=´BArr

kji ˆ)]4)(2()3)(3[(ˆ)]2)(2()1)(3[(ˆ)]2)(3()1)(4[( ---+-----

kjikji ˆˆˆ2ˆ)89(ˆ)43(ˆ)64( -+=+-+--+-

kjiBA ˆˆˆ2 -+=´rr

Ar

BArr

´

Br

40

Informe

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de todas las operaciones correspondientes a cada numeral del taller de clase. Incluya conclusiones.

Taller

1. Dados los siguientes vectores en términos de sus componentes cartesianas, ar

=(3, -4), br

=(-1, 3),

cr

=(0,3) y dr

=(-4,-1)

a) Grafique los vectores en el plano XY b) Encuentre sus coordenadas polares c) Escríbalos en términos de los vectores unitarios en la forma dada por la ecuación 1.

d) Halle el vector suma dbaRrrr

++= por el método analítico y grafíquelo.

e) Calcule el vector dbcMrrrr

32 +-= y grafíquelo.

2. Demuestre que el producto cruz entre vectores paralelos es cero. 3. Demuestre que el producto punto entre vectores perpendiculares es cero. 4. Demuestre que el producto cruz es anticonmutativo, es decir que:

)( ABBArrrr

´-=´

5. Sean los vectores en R3: zyxCyzxB,zyxA 642254 +-=+-=--=rrr

, calcule:

a) ( )BArr

2×

b) ACrr

×

c) ( ) BCrr×- 2

d) ( ) CArr

×- 3

e) ( )BArr

2´

f) ( )ACrr

5´

g) ( ) ( )BCrr

2-´-

h) ( ) CArr

´- 6

41

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Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 8: Movimiento parabólico

Implementos

Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, esfera, transportador, varilla y nuez, computador.

Objetivos

El objetivo central de esta práctica es usar las ecuaciones de movimiento parabólico para predecir la rapidez inicial de un balín lanzado por una pista-cañón con un ángulo respecto a la horizontal distinto de 90°.

Teoría

Decimos que un cuerpo está en movimiento parabólico cuando es arrojado al aire con una dirección de lanzamiento que hace un ángulo θ0 con la horizontal diferente de 90°. Si no se tiene en cuenta la fricción con el aire, la trayectoria del objeto describirá una parábola en el plano vertical XY.

Figura 1. Movimiento parabólico.

y

x

oxv

ivv xˆ

0=r

vr

yv0

0vr

xv0

yv

vr

oxv

yv

42

La velocidad inicial de la partícula es el vector 0vr

, con componentes escalares:

,000000 qq SenvvyCosvv yx == (1)

Un cuerpo en movimiento parabólico experimenta una combinación de dos movimientos, en el eje y el movimiento es de caída libre mientras en el eje x es un MRU, dado que en esa dirección el cuerpo conserva siempre la velocidad v0x, tal como se ilustra en la figura 1. Las componentes del vector posición son:

tCosvxx 000 q+= , e 2000 2

1tgtSenvyy -q+= (2)

En el eje y, para la componente de la velocidad se tiene la misma dependencia conocida para la caída libre, con la única diferencia de que aquí se tiene en cuenta el ángulo inicial

tgSenvvy -= 00 q (3)

Además, como la velocidad es un vector, su magnitud (rapidez) en cualquier instante está dada por:

22

yx vvv += (4)

En el movimiento parabólico hay dos puntos de interés especial: la altura máxima y el alcance horizontal máximo. Si suponemos que el movimiento se realiza en el plano de tal forma que la altura inicial es la misma final tal como se ve en la figura 2, las ecuaciones para la altura máxima y su tiempo correspondiente, modificadas apropiadamente con el ángulo inicial serán:

g

Senvym 2

022

0 q= y .

g

Senvt ym

00 q=

Figura 2. Altura máxima

Donde hay que notar que se ha asumido que la posición inicial es cero y que la consideración física es la misma que en el caso de caída libre, es decir, la componente de la velocidad en y para la máxima altura es cero. En este caso en que la parábola es simétrica el tiempo correspondiente al alcance horizontal máximo será el doble del necesario para alcanzar la altura máxima.

y

x

my

mx

43

g

Senvtxm

002q

= .

Para encontrar entonces la distancia horizontal máxima en este caso de parábola simétrica, se tiene:

g

SenvCosvtvx xmxm

00000

2)(

qq==

Haciendo uso de la identidad bb=b CosSen)(Sen 22 , llegamos a:

g

Senvxm

)2( 02

0 q=

En estos últimos resultados hay que recordar que la posición inicial es el origen de coordenadas y la posición final está a la misma altura, si esta condición no se cumple el alcance horizontal máximo debe hallarse de otra forma.

Cuando la posición de salida del proyectil se encuentra a una altura y0 ≠ 0 del punto más bajo (y = 0), las ecuaciones para las coordenadas del proyectil en el punto final de la trayectoria son:

tCosvx 00 q= (5)

2000 2

10 gttSenvy -+= q (6)

Figura 3. Caso particular.

y

x

oxv

θ0

yv0

x

0vr

y0

44

Montaje

Para esta práctica se ubica el plano curvo con una inclinación como se ve en la siguiente figura con el borde de la pista curva coincidiendo con el borde de la mesa.

Se marca un punto en la pista curva para soltar la esfera desde allí. La velocidad de salida de la esfera dependerá de la altura a la que se encuentre este punto. Se debe usar una plomada para marcar el punto 0 en el piso que se encuentra justo abajo del punto de salida de la esfera. Respecto a este punto se medirán tano la altura inicial como el alcance horizontal.

Para tener un dato con el cual comparar la velocidad de salida de la esfera usaremos la energía mecánica del sistema, la cual se supone que aún no se ha estudiado en el curso teórico, por ello simplemente se usará la expresión para calcular la velocidad de salida sin hacer la deducción de la misma:

ghv 20 = (7)

Donde h es la diferencia de alturas entre el punto desde el cual se suelta la esfera para que empiece a rodar por el plano y el punto desde el cual sale disparada la esfera en movimiento parabólico.

θ

y

x

0

v0

45

Procedimiento e Informe:

1. Disponga el montaje experimental como se ilustra en la figura anterior. Fije una posición desde la cual se va a soltar esfera para que ruede y el ángulo para la parte de salida entre 20° y 40°. Tenga en cuenta que debe apretar bien el dispositivo para que no se mueva, pues si lo hace deberá repetir todo el experimento. Use la plomada para marcar la posición 0 en el piso, justo debajo del punto de salida del plano curvo, desde la cual se tomarán las medidas.

2. Suelte la esfera y marque la posición en la que cae en el piso, esto se debe repetir 12 veces y todos los datos de distancia horizontal medidos desde el punto 0 se deben consignar en la tabla 1.

#Tiro

x(m)

Tabla 1.

3. Determine la medida x con su correspondiente incertidumbre, recuerde que se trata de una medida hecha muchas veces. Tome las medidas de h y de y0 (con sus respectivos errores), así como el ángulo de salida θ0. Recuerde que para hallar el ángulo debe usar una escuadra y tomar las medidas horizontal y vertical y usar luego la función tangente inversa. El punto y0 es la altura medida desde el piso a la cual se encuentra la salida de la esfera. Ponga todos los datos en la tabla 2.

x(m) y0(m) θ0(°) h(m)

Tabla 2.

4. Determine la velocidad teórica de salida de la bala usando la ecuación 7. Consigne el resultado en la primera columna de la tabla 3, con su respectivo error.

v0(m/s)(teor) v0(m/s)(exp) %Error

Tabla 3.

5. Despeje el tiempo de la ecuación 5, introdúzcalo en la ecuación 6 y encuentre la velocidad experimental de salida de la esfera usando los datos de las primeras tres columnas de la tabla 2. Ponga el valor experimental de la velocidad hallado en la segunda columna de la tabla 3.

6. Calcule el porcentaje de error del experimento y consígnelo en la tabla 3. 7. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

46

Informe

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica. Incluya conclusiones y causas del porcentaje de error.

1. Relate en el informe la realización de los dos procedimientos descritos en la guía. Describa detalladamente todos los pasos en los procedimientos y los cálculos realizados.

2. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

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Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 9: Equilibrio de fuerzas en el plano

Implementos

Mesa de fuerzas, juego de masas, hilos, portapesas.

Objetivos

El objetivo central de esta práctica es que el estudiante aplique los principios de la estática y establezca una situación de equilibrio entre tres fuerzas coplanares. También se espera que se repasen los conceptos de suma de vectores y de transformaciones de coordenadas.

Teoría

Cuando tenemos dos fuerzas 1Fr

y 2Fr

en el plano y queremos encontrar una tercera fuerza 3Fr

que se

equilibre con las dos anteriores, es decir que la suma de las tres sea cero, podemos solucionar el problema teóricamente haciendo la suma de las componentes igual a cero en cada dirección:

Figura 1. Tres fuerzas coplanares en equilibrio.

y

x

1Fr

2Fr

3Fr

θ2

θ3

θ1

48

00 321321 =++==++= åå YYYYXXXXFFFFyFFFF (1)

De tal forma que para hallar la fuerza equilibrante 3Fr

basta con despejar las componentes escalares F3X y

F3Y de las ecuaciones 1, donde se debe tener en cuenta el signo según el cuadrante en que se encuentren, es decir que, para la configuración ilustrada en la figura 1, las componentes cartesianas se obtienen de las ecuaciones:

00 321321 =-+=+-YYYXXX

FFFyFFF (2)

Si se conocen las magnitudes de las fuerzas 1Fr

y 2Fr

y los ángulos respecto al eje X más cercano, como se

ilustra en la figura 1, entonces las ecuaciones 2 se escriben:

00 3221132211 =-q+q=+q-qYX

FSenFSenFyFCosFCosF (3)

Para hallar las componentes polares hay que recordar las reglas de transformación de coordenadas vistas en la práctica de vectores, obteniéndose:

÷÷ø

öççè

æ=q+= -

X

Y

YXF

FTanyFFF

3

31

3

2

3

2

33 (4)

Para resolver el problema de hallar la fuerza equilibrante experimentalmente se utiliza una mesa de fuerzas (ver figura 2), o un dispositivo similar, en el que se ubican las dos primeras fuerzas en el plano orientando cada cuerda y su guía de portapesas según el ángulo indicado y usando las masas apropiadas para simular cada fuerza. Luego se busca la fuerza equilibrante comenzando por tomar la cuerda correspondiente a la tercera fuerza con la mano y orientándola hasta que la argolla quede bien ubicada en el centro de la mesa de fuerzas, con lo cual se habrá hallado solamente el ángulo de la fuerza equilibrante.

Figura 2. Mesa de fuerzas.

1Fr

3Fr

2Fr

Guías de

portapesas

Portapesas con masas

49

La guía de portapesas se ubica en el ángulo encontrado con la mano y sólo falta encontrar la magnitud de la fuerza equilibrante. Lo que sigue es buscar la magnitud de la fuerza adicionando masas al portapesas hasta que se alcance el equilibrio, es decir hasta que la argolla quede bien centrada en la mesa y el sistema esté estable. Recuerde que las fuerzas horizontales sobre la mesa están dadas por las tensiones en las cuerdas. Para cada cuerda la tensión estará dada para una masa en equilibrio según la figura 3 por la ecuación

mgTmgTFY

=Þ=-=å 0 (5)

Figura 3. Equilibrio de una masa colgada de una cuerda

m

y

T3

mg

50

Procedimiento e Informe:

1. Ubique la mesa de fuerzas sobre la mesa de trabajo usando los tornillos de las patas para nivelarla.

2. Usando el juego de masas, las guías de portapesas y los portapesas, ubique dos fuerzas 1Fr

y 2Fr

arbitrariamente, es decir, escoja dos magnitudes y dos ángulos como se ve en la figura 2. Consigne los valores de las magnitudes y ángulos escogidos en la tabla 1. Tenga en cuenta las unidades.

F1(N) θ1(°) F2(N) θ2(°)

Tabla 1.

3. Determine experimentalmente la magnitud y el ángulo de la fuerza equilibrante, usando la técnica explicada en la parte final de la sección de teoría. Consigne los valores experimentales obtenidos en la tabla 2.

4. Plantee el problema teórico de hallar la fuerza equilibrante para las dos fuerzas que usted escogió y resuélvalo, hallando las componentes cartesianas usando al ecuación 3, y usando luego las ecuaciones 4 para hallar magnitud y ángulo. Consigne los valores teóricos de magnitud y ángulo equilibrantes en la tabla 2.

F3(N) Experimental θ3(°) Experimental F3(N) Teórica θ3(°) Teórica

Tabla 2.

5. Calcule el porcentaje de error tanto para la magnitud como para el ángulo de la fuerza equilibrante. 6. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de los procesos, de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, tablas y cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica. Incluya causas de error y conclusiones.

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Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 10: Dinámica del plano inclinado

Implementos

Plano inclinado, carro, nueces, soporte universal, porta masas, juego de masas, polea, hilo, cinta, registrador digital de tiempo y fotosensores.

Objetivos

El objetivo principal es verificar la segunda ley de Newton de la dinámica mediante un experimento sencillo que involucra un plano inclinado y dos masas unidas por una cuerda. También se espera que el estudiante reconozca el papel de la fricción en este experimento.

Teoría

Cuando en un problema se presenta aceleración en alguna dirección y no hay variaciones en las masas

involucradas, escribimos la suma de fuerzas en esa dirección como lo dice la segunda ley de Newton para

situaciones con masa constante. Vamos a analizar el problema de un bloque masa m sobre una superficie

inclinada un ángulo β, atado por medio de una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal, a otro bloque de

masa M, tal como se ve en la figura 1.

Figura 1. Plano inclinado.

Note que se está dibujando un perfil transversal de la situación física, puesto que no se ve la profundidad de

los elementos involucrados. Decimos que una polea es ideal cuando se considera que no tiene masa y que no

presenta ninguna fricción en su eje, por lo cual tampoco se analizan fuerzas sobre una polea ideal. Además

es importante notar que una cuerda ideal al pasar por una polea ideal, como en este caso, tampoco presenta

m

β

M

52

desgaste por fricción, así que podemos asumir que la cuerda siempre está haciendo rotar la polea y no se

desliza sobre ella.

Consideremos que no hay rozamiento entre la superficie inclinada y el bloque y también que el bloque de

masa M asciende mientras que el bloque de masa m desciende por el plano. La consideración sobre la

fricción puede resultar en un porcentaje de error alto si no se generan en el experimento las condiciones

apropiadas. En la figura 1 se ilustra la dirección de movimiento de las masas con una flecha gruesa. Al

solucionar teóricamente este problema asumiremos que se conocen las masas y el ángulo β. En este caso nos

interesa calcular la aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda. Es muy importante recalcar que, al

escribir la sumatoria de fuerzas en cada dirección para cada masa, se asumirá como positiva la dirección en

la cual se presenta la aceleración. Esto no es más que una convención para escribir como positivas las

fuerzas que tienen la dirección en la que se acelera un cuerpo y como negativas las fuerzas que apuntan en

sentido contrario, de manera que la aceleración siempre se tome como positiva en la segunda ley de Newton,

o mejor dicho, lo que se está buscando así es la magnitud de la aceleración. Según esto, para la masa m,

observamos el diagrama de fuerzas en la figura 2 y tenemos las sumatorias de fuerzas en ambas direcciones

dadas por:

(1)

(2)

Figura 2. Diagramas de fuerzas.

0=-=

=-=

å

å

b

b

CosmgNF

amTSenmgF

y

x

Mg

mg Senβ

β

y

x

T

N

mg Cosβ

mg

y

T

Movimiento

53

Vemos en la figura 2 que en este caso los ejes coordenados para la masa m se han rotado el mismo ángulo β

de inclinación del plano. Esto es aconsejable hacerlo puesto que así sólo hay que descomponer

vectorialmente el peso, mientras las fuerzas N y T quedan sobre los ejes y no hay que descomponerlas.

Para la masa M, el diagrama de fuerzas se ilustra en la figura 2, y la segunda ley conduce a la ecuación

(3)

Procedimiento e informe:

1. Realice el montaje que se ilustra en la figura 3, en el cual la masa m debe descender por el plano inclinado, y teniendo en cuenta que la cuerda con el porta pesas no choque con el borde de la mesa. Por simplicidad suponemos que la superficie no presenta fricción, y que la cuerda y la polea son ideales.

Figura 3. Montaje.

aMMgTF =-=å

d Ɵ

.

.

A

B M

m

54

Observe en la siguiente figura la precaución que tiene que tener al instalar los fotosensores para que el tornillo del carro pase por entre los sensores. En la figura 3 se puede ver el recuadro que corresponde a la figura 4.

Figura 4. Detalle de la figura 3.

2. Tome el valor de la inclinación del plano Ɵ, y consígnelo en la tabla 1. Recuerde usar el mismo procedimiento que se usó en la práctica 5. Tome la medida d entre los puntos A y B y consígnela en la tabla 1, con su respectivo error. Tome las medidas de las masas m y M y consígnelas en la tabla 1, con sus respectivos errores.

3. Usando el sistema óptico-digital tome la medida del tiempo t que transcurre entre A y B, consígnela en la tabla 1. Es importante que un integrante del equipo de trabajo se encargue de que el carrito no siga corriendo después del plano para evitar que se dañe, puede ponerse una mano o algún objeto acolchado que amortigüe su caída.

Tabla 1.

4. Se espera que el movimiento del carro sea un MUA, del cual queremos hallar su aceleración experimentalmente. Hay que recordar que el carro se suelta desde el reposo justo en la posición del primer sensor, por lo cual se puede considerar que la velocidad inicial del sistema es cero. Para hallar la aceleración experimental, consideramos la misma ecuación que ya se usó en la práctica 5, donde consideramos que el origen de coordenadas es la posición del primer sensor. Recordemos que la aceleración experimental puede hallarse usando la expresión deducida también en la práctica 5.

d(m) t(s) Ɵ(°) m (g) M (g)

55

2

2

t

da = (4)

5. Resuelva el problema dinámico algebraicamente, hallando la aceleración teórica ateor, a partir de las ecuaciones planteadas en la sección de teoría, en función de las masas, la gravedad y el ángulo de inclinación, considerando el sistema libre de fricción. Consigne el valor teórico de la aceleración en la tabla 2. Calcule el porcentaje de error y consígnelo en la tabla 2.

aexp ateor %Error

Tabla 2.

6. Comente sus impresiones y conclusiones del experimento, e incluya las posibles causas del porcentaje de error.

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de los procesos, de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, tablas y cálculos a mano de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica y de la solución algebraica del problema teórico. Incluya causas de error y conclusiones.

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ITM, Institución universitaria

Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 11: Máquina de Atwood

Implementos

Soporte vertical, cinta métrica, juego de masas, plomada, soporte vertical, dispositivo óptico digital, varilla corta, polea, nuez, computador.

Objetivos

La práctica de hoy se propone como objetivo principal hacer una medición de una aceleración para un caso particular, la máquina de Atwood. Se espera que unas condiciones óptimas de trabajo reduzcan el porcentaje de error del valor hallado experimentalmente.

Teoría

La máquina de Atwood está compuesta por dos masas, atadas por una cuerda ideal, que pasa por una polea ideal. Para la configuración inicial planteada en la figura 1, partiendo del reposo, la masa m2 debe ser mayor que la masa m1 para acelerar el sistema en la dirección señalada. Si este es el caso, vemos que

m1

m2

57

Figura 1. Máquina de Atwood.

cualquiera de las dos masas al recorrer una distancia d en un tiempo t tiene una aceleración a, que verifican la siguiente ecuación de movimiento uniformemente acelerado, donde se considera que la rapidez inicial del sistema es cero y que la aceleración del sistema es positiva en la dirección de movimiento de la masa, cualquiera que sea.

2

2

1tad = (1)

La aceleración de este sistema se puede hallar experimentalmente si puede tomarse una medida del tiempo t y de la distancia recorrida d. La suposición de que el movimiento es uniformemente acelerado es debida a que al plantear la dinámica del problema se llega a un valor teórico de aceleración constante en función de las masas. Los diagramas de fuerzas para las dos masas son los siguientes:

Figura 2. Diagramas de fuerzas para m1 y m2.

Las ecuaciones que describen la dinámica del sistema escritas a continuación, consideran que la aceleración es positiva en el sentido del movimiento, por lo cual se escribe primero la fuerza que tenga el mismo sentido que la flecha que representa la dirección del movimiento.

(2)

(3)

y

T

m1g

y

T

m2g

amgmTF 11 =-=å

amTgmF 22 =-=å

58

Las ecuaciones (2) y (3) se resuelven para darnos la aceleración teórica del sistema y la tensión que debe

soportar la cuerda.

Procedimiento e Informe:

1. Realice el montaje experimental mostrado en la figura 3. Escoja las masas y la distancia d, que va a utilizar durante la práctica. Tenga mucho cuidado en verificar que la masa m2 pueda soltarse desde el reposo justo antes de la posición de medida del primer fotosensor, para poder usar la suposición de que la rapidez inicial es cero. Use la plomada para verificar que la masa m2 al moverse hacia abajo si pase por los sensores ópticos. Alinee bien todo el sistema para que el dato del tiempo sea bien tomado.

Figura 3. Montaje experimental.

2. Tome la medida de la distancia d entre los fotosensores y llévela a la tabla 1. Verifique el rango de

operación del registrador digital de tiempo y use la función S2. Tome la medida del tiempo que tarda la masa m2 en recorrer la distancia d, al soltarla justo antes del primer fotosensor y consígnela en la tabla 1. Finalmente, tome las medidas de las masas y regístrelas en la tabla 1.

Fotosensores

Registrador digital

m1

m2 387

59

d(m) t(m) m1(g) m2(g)

Tabla 1.

3. Use la ecuación 1 y los valores de distancia y tiempo de la tabla 1 para determinar la aceleración experimental del sistema. Regístrela en la tabla 2.

4. Resuelva algebraicamente el sistema conformado por las ecuaciones 2 y 3 para hallar la aceleración y la tensión del sistema en función de las masas y la gravedad.

5. Sustituya los valores de las masas de la tabla 1 y calcule la aceleración teórica del sistema. Recuerde que debe usar el valor de la gravedad en Medellín. Consigne el valor de la aceleración teórica en la tabla 2.

aexp(m/s2) ateor(m/s

2) %Error

Tabla 2.

6. Calcule el porcentaje de error del experimento. 7. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de los procesos, de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, ilustraciones, tablas, cálculos algebraicos y cálculos numéricos de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica.

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Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 12: Resortes y energía.

Implementos

Soporte vertical, cinta métrica, juego de masas, varilla corta, polea, nuez, computador.

Objetivos

El objetivo central de la práctica es medir la constante elástica de un resorte y utilizarla para analizar y verificar la conservación de la energía mecánica del sistema masa resorte.

Teoría

Supongamos que tenemos una masa atada a un resorte horizontal sobre una superficie sin fricción como se ilustra en la figura 1. En la primera situación, el resorte está en equilibrio y el sistema está en reposo.

x = 0 x

Resorte comprimido, desplazamiento negativo, y fuerza del resorte positiva

x < 0

F > 0

x = 0 x

Resorte estirado, desplazamiento positivo, y fuerza del resorte negativa

x > 0

F < 0

x = 0 x

Sistema en reposo. Resorte en equilibrio

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Figura 1. Sistema horizontal masa-resorte

En los dos casos siguientes ilustrados en la figura 1 se presentan las dos posibilidades de deformación del resorte y se ilustra como en cada caso la fuerza y el desplazamiento de la masa tienen sentidos opuestos. Este comportamiento se analiza experimentalmente mostrando que el resorte, dentro de un rango de esfuerzos razonables, tiene un comportamiento lineal que se resume en la siguiente ecuación llamada: la ley de Hooke

xkF -= (1)

donde la constante k es llamada la constante de elasticidad del resorte y el signo menos indica que las direcciones de F y x se oponen. Por otro lado, puede demostrarse fácilmente que cuando una masa se encuentra atada a un resorte y éste presenta una deformación x, ya sea por compresión o por estiramiento, la energía potencial elástica del cuerpo está dada en términos de la constante k del resorte y de la deformación x del mismo por la siguiente expresión.

22

1xk

sU = (2)

Cuando un objeto se encuentra a una determinada altura y sobre el piso, también se puede mostrar que tiene un tipo de energía llamada energía potencial gravitacional, cuyo valor depende del lugar que escojamos como cero ( y = 0) para medir desde allí la altura, ya que la escogencia del cero es arbitraria, lo cual no altera la conservación de la energía para problemas conservativos. La energía potencial está dada por la expresión:

ygmg

U = (3)

Si el cuerpo se deja caer la fuerza gravitacional hace trabajo sobre él, aumentando su energía cinética

22

1vm

kE = (4)

Una fuerza se llama conservativa si al realizar un trabajo W sobre un cuerpo, este trabajo no depende de la trayectoria seguida, sino únicamente de las posiciones inicial y final del cuerpo. Tanto la fuerza elástica del resorte como la fuerza gravitacional son conservativas. En una dimensión, toda fuerza conservativa FS está relacionada con una energía potencial U por medio de la expresión

Udx

ds

F -= (5)

La energía mecánica Em de un sistema es la suma de la energía cinética más todas las posibles energías potenciales que estén involucradas.

å+=j

jUk

Em

E (6)

62

Cuando un sistema físico se encuentra en presencia únicamente de fuerzas conservativas, es decir, si no se tienen en cuenta los efectos del rozamiento ni otras fuerzas no conservativas que puedan aparecer, entonces la energía mecánica Em se debe conservar entre dos posiciones arbitrarias inicial y final del sistema.

mf

Emi

E = (7)

63

Procedimiento e Informe:

1. Realice el montaje que se ilustra en la figura2. Marque la posición del punto inferior del resorte sin estirar en la regla. A partir de allí se medirán los estiramientos del resorte. Cuelgue el portapesas de masa m del resorte vertical, use sus manos para estabilizar el sistema. Tome la medida de la nueva posición del extremo inferior del resorte a partir de la primera marca. Escriba los datos de peso y estiramiento en la tabla 1. Agregue otra masa y estabilice de nuevo el sistema. Mida el estiramiento del resorte a partir de la posición que se marcó inicialmente y consigne el valor del peso total (recuerde la masa del portapesas) y del estiramiento en el siguiente cuadro de la tabla 1. Adicione sucesivamente varias masas siguiendo el mismo procedimiento y consigne pesos y estiramientos en la tabla. El valor de la aceleración debida a la gravedad en Medellín es de 9.77m/s2.

Figura 2. Montaje experimental

x(m)

F(N)

Tabla 1.

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2. Grafique Fuerza contra estiramiento del resorte y calcule el valor de la pendiente de la gráfica, el cual corresponde a la constante del resorte. Este valor puede determinarse usando una calculadora o el programa EXCEL. Imprima la gráfica y entréguela con el informe.

3. Tome una masa arbitraria y cuélguela del portapesas, anote su valor en la tabla 2. Levántela sosteniéndola con la mano hasta que el punto inferior del resorte quede a una medida xi de la posición de equilibrio y a una altura hi del piso. Anote las posiciones iniciales xi y hi en la tabla 2. Luego suelte la masa para que caiga y tome la medida de los datos de posición y altura finales xf y hf del punto inferior del resorte en la tabla 2. Dado que no es fácil tomar el punto inferior del recorrido, si es necesario repita el procedimiento varias veces y haga un promedio.

m(kg) xi(m) hi(m) xf(m) hf(m)

Tabla 2.

4. Use los datos de la tabla 2, la constante del resorte hallada y las ecuaciones 2, 3, 6 y 7 para calcular las energías mecánicas inicial y final del sistema. Escriba las energías calculadas en la tabla 3. Calcule la diferencia de energías y escríbala en la tabla 3.

Emi(J) Emf(J) ΔE

Tabla 3.

5. Discuta la conservación de la energía mecánica a partir de los datos de la tabla 3. 6. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

El informe escrito de esta práctica debe incluir: Portada, descripción de los procesos, de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, ilustraciones claras, tablas, cálculos algebraicos y cálculos numéricos de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica.

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ITM, Institución universitaria

Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 13: Colisiones en una dimensión

Implementos

Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, esferas metálicas, plomada, dispositivo óptico digital, varilla corta, nuez, computador.

Objetivos

El objetivo principal de esta práctica es verificar la conservación del momento lineal y de la energía cinética en colisiones elásticas. Paralelamente se verifican los principios de conservación de energía mecánica en cualquier sistema y también se repasan algunos conceptos de movimiento parabólico. El último objetivo de esta práctica es que los estudiantes presenten el informe en el formato de un artículo internacional.

Teoría

En un sistema mecánico conservativo no se consideran fuerzas como la fricción, que van disipando la energía del sistema. Además, en estos sistemas, la energía mecánica se conserva entre dos puntos cualesquiera. En nuestro sistema vamos a considerar una pista curva por la cual se deja caer rodando una esfera metálica de masa m1, como se ve en la figura 1. Al llegar a la parte plana inferior de la pista curva

Figura 1. Plano curvo.

y1 m1

m2

0

Y

A

B

66

la esfera de masa m1 ha pasado del punto A al punto B. Es necesario establecer el punto de referencia para medir desde allí la energía potencial gravitacional, el cual tomaremos como medido positivo hacia arriba desde el punto O a la altura de la parte inferior del plano curvo. En el punto A, la esfera tiene sólo energía potencial gravitacional, mientras que en el punto B, la energía es puramente cinética. La conservación de la energía mecánica entre A y B para la esfera de masa m1 establece que

2111 2

1Bvmygm = (1)

De donde se puede calcular la velocidad vB con la que la esfera de masa m1 llegará a colisionar con la esfera de masa m2, la cual se encuentra en reposo en el extremo de la parte plana inferior del plano curvo. Vamos a considerar que la colisión es elástica, es decir que se conserva la energía cinética. Las situaciones antes y después de la colisión se ilustran en la figura 2.

Figura 2. Antes y después de colisionar.

Donde es claro que la velocidad v1i es la misma vB calculada anteriormente. La conservación de la energía cinética en la colisión se expresa mediante la ecuación

(2)

La cual se puede reorganizar como

(3)

Además de la conservación de la energía cinética también se conserva el momento lineal, por lo cual se cumple la ecuación

(4)

Al reorganizar esta ecuación obtenemos

(5)

Al sustituir la ecuación 5 en la 3, se obtiene la siguiente relación para las velocidades

(6)

m2

v1i

m1

Antes de colisionar, m2 está en reposo y m1 se acerca con velocidad v1i

m2

v1f

m1

v2f Después de colisionar, m1 y m2 se suponen por simplicidad moviéndose a la derecha

222

211

211 2

1

2

1

2

1ffi vmvmvm +=

22211111 ))(( ffifi vmvvvvm =+-

ffi vmvmvm 221111 +=

ffi vmvvm 22111 )( =-

fif vvv 112 +=

67

A partir de la ecuación 6 y de la ecuación 4 se llega a las velocidades finales para cada una de las esferas

(7)

(8)

Las ecuaciones 7 y 8 están dadas en función de las masas y de la velocidad inicial del cuerpo 1, la cual se deduce de la ecuación 1 en términos de y1. Todas estas variables pueden ser medidas con anterioridad al experimento, por lo cual se usará la ecuación 8 para determinar la velocidad teórica de la esfera 2 después de la colisión.

Finalmente, la esfera 2, que se encontraba justo en el borde de la mesa sale disparada después de la colisión con una velocidad horizontal v2f. A partir de ese momento la esfera 2 queda en movimiento parabólico o semiparabólico en este caso.

Figura 3. Movimiento semiparabólico de la esfera 2.

Para el problema parabólico se sabe que la velocidad inicial de la esfera sólo tiene componente en dirección horizontal. Según la figura3, también es posible conocer o medir la altura inicial y0 desde la que sale disparada la esfera, así como la distancia recorrida horizontalmente x. Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento parabólico son:

(9)

(10)

÷÷ø

öççè

æ

+

-=

21

2111

mm

mmvv if

÷÷ø

öççè

æ

+=

21

112

2

mm

mvv if

0 x

v2f

y

tvx f2=

20 2

10 tgy -=

68

Al despejar el tiempo de la ecuación 9 y reemplazarlo en la ecuación 10, se obtiene una expresión para la velocidad de salida de la esfera 2 de la mesa, v2f. Dado que en esta expresión se encuentra la velocidad en términos de la distancia x recorrida horizontalmente y de la altura inicial y0 se considerará que la velocidad hallada al medir estas variables será la velocidad experimental de la esfera 2 después de la colisión.

69

Procedimiento e Informe:

1. Realice el montaje experimental mostrado en la figura 4. Use la plomada para señalar el punto que se encuentra exactamente debajo de la masa m2 antes de la colisión. Mida la altura inicial sobre la mesa y1, desde la cual se dejará caer m1. Anote este dato en la tabla 1, junto con las medidas de las masas de las esferas. En caso de que no se pueda escoger una par de masas iguales, tome m1< m2.

Figura 4. Montaje experimental.

2. Calcule la velocidad de la masa m1 en el punto B, despejándola de la ecuación 1. Consígnela en la

tabla 1. Finalmente, deje caer la masa m1 desde y tome las medidas de las distancias horizontal y vertical correspondientes al movimiento parabólico de la esfera 2 y regístrelas en la tabla 1. Recuerde medir la distancia horizontal desde el punto marcado en el piso justo debajo de la esfera 2 cuando está en reposo

y1(m) m1(g) m2(g) vB(m/s) y0(m) x(m)

Tabla 1.

3. Use la ecuación 8 y los valores de la tabla 1 necesarios para determinar la velocidad v2f teórica de la esfera 2 después de la colisión. Regístrela en la tabla 2. Recuerde que v2f = vB.

m1

m2

70

4. Use las ecuaciones 9 y 10, los datos de la tabla 1 y el procedimiento sugerido en la guía para determinar la velocidad experimental v2f de la esfera 2. Recuerde que debe usar el valor de la gravedad en Medellín. Consigne el valor de la velocidad teórica en la tabla 2.

v2f(teor)(m/s) v2f(exp)(m/s) %Error

Tabla 2.

5. Calcule el porcentaje de error del experimento y regístrelo en la tabla2. 6. Analice la ecuación 7 y concluya cuales son las posibles direcciones de la velocidad final de la

esfera 1 después de la colisión, en términos de las masas. 7. Escriba sus propias conclusiones de la práctica, así como las causas de error en los resultados.

El informe escrito de esta práctica se debe hacer en el formato de artículo internacional entregado por el profesor. Se debe procurar incluir todas las partes que tiene un artículo internacional. Recuerde que el abstract debe estar en inglés y en español. Se deben incluir todas las deducciones completas de las ecuaciones 6, 7 y 8 que se omitieron en la guía. Además se debe incluir los análisis completos de todas las situaciones físicas involucradas. Incluya la descripción de los procesos, de la toma de medidas, datos y operaciones correspondientes a cada numeral, ilustraciones, tablas, cálculos algebraicos y cálculos numéricos de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica.

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ITM, Institución universitaria

Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 14: Aceleración angular y momento de inercia

Implementos

Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, esferas metálicas, plomada, dispositivo óptico digital, varilla corta, nuez, computador.

Objetivos

El objetivo se el informe en el formato de un artículo internacional.

Teoría

En un sistema