Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Departamento de Física

Física 1

Reporte Práctica de Laboratorio # 1

Cinemática del Movimiento Circular Uniformemente Variado

Miguel Eduardo Leoncio Avalos 2011-14729

Cesar Eduardo Avalos Pérez 2011-14706

Javier Alejandro López Guerrero 2011-14826

28 de febrero de 2012

Resumen

El presente reporte de laboratorio, de la práctica No. 1, trata sobre el movimiento circular uniformemente variado. En el se trata de predecir el radio de un disco en su eje, tomando los tiempos que este toma en dar de una a 6 vueltas, conociendo que dicho disco se encuentra sujeto a una masa de 30g. Los tiempos fueron tomados tres veces para cada cierta cantidad de vueltas, estos a partir de un tiempo 0. Y dado que se conoce que a partir de la gráficas se puede determinar sus respectivas derivadas y estas simbolizan, ya sea velocidad y aceleración angular, se determinó un modelo matemático, con el cual se logro obtener los suficientes datos, como para predecir el radio del disco. Estos datos predichos se encuentran fuera del rango de incerteza del valor real del radio, sin embargo la incertidumbre del radio calculado es aceptable por lo que deduce que la práctica es aceptable.

Objetivos

Predecir el radio del disco experimentalmente, y compararlo con la medida directa del radio del disco.

Demostrar que la aceleración angular es constante, por medio de la experimentación.

Mostrar por medio de gráficas que el disco gira con aceleración angular constante. Calcular la aceleración lineal y la aceleración angular para la predicción del radio

del disco.

Marco Teórico

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento curvo que no cambia de rapidez, pero si en dirección. Ya que este al moverse en dos ejes cartesianos se describe una velocidad angular, que es el cambio de ángulo entre el tiempo y una velocidad tangencial, la cual es perpendicular al radio, logrando así considerar el cambio en los dos ejes.

Este movimiento considera un cambio de ángulo (θ), un cambio de velocidad angular (ω) y uno de aceleración angular (α), siendo cada una su respectiva derivada, considerando así también que las graficas utilizadas son las mismas, ya que para el ángulo es una cuadrática (Una semi-parábola) y para la velocidad una recta.

Las formulas usadas para determinar la magnitud son las mismas que en el movimiento rectilíneo, pero en lugar de describir un cambio de desplazamiento se describe uno angular:

θ=θo+ωo∗t+0.5∗α∗t2

Ecuación 1

ω=ωo+α∗tEcuación 2

ω2=ωo2+2∗α∗Δθ

Ecuación 3

Debe considerarse que estas formulas están estrictamente limitadas a el uso de radianes, para ángulos. Además se debe tener presente que estos resultados son válidos sólo si la aceleración angular es constante; no se debe tratar de aplicarlos a problemas donde la aceleración angular no sea constante.

Como fue descrito antes, la velocidad tangencial es perpendicular al radio, y esta razón permite crear una relación, estableciendo que la velocidad tangencial es el producto entre la velocidad angular y el radio, de misma manera la aceleración tangencial es producto de la aceleración angular y si el eje sobre el cual se rota logra desplazarse, dicho desplazamiento sería el producto entre el cambio del ángulo y el radio.

A tan=rω

Ecuación 4

Ya que se considero que no solo existe una velocidad y no solo una aceleración dentro de este movimiento, es propio mencionar que todas estas magnitudes son vectores, y por lo tanto apuntan hacia una dirección. En el caso de la velocidad angular se usa la regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector de velocidad angular. Si se invierte el sentido de la rotación, se invierte la dirección. Y si se está acelerando la aceleración angular va en la misma dirección que la velocidad angular, de lo contrario, sus direcciones son opuestas.

Este movimiento además considera una tercera aceleración llamada radial, la cual es la centrípeta y aunque se mueva con rapidez constante, su velocidad cambia de dirección, ya que es un vector tangente a la trayectoria, y en las curvas dicha tangente no es constante. Esta también considera una relación:

Arad=r ω2

Ecuación 5

Diseño experimental

La práctica de laboratorio de cinemática del movimiento circular uniformemente variado consiste básicamente en la predicción del radio de un disco y la demostración que la aceleración angular es constante. Para ello se realiza el experimento utilizando un sistema conformado por 4 discos giratorios unido a una base trípode, se mide el tiempo en el cual un objeto lleva a cabo ciertas vueltas, y se procede a realizar los valores medios e incertezas para las mediciones de tiempo. Se realiza el análisis gráfico respectivo para la posición angular y la rapidez angular, cada una respecto al tiempo, y su posterior ecuación en base a su gráfica respectiva. Se calcula la aceleración lineal y por último se predice el radio, con su respectiva incerteza.

Procedimiento:

Armar el equipo con la cuerda enrollada al disco mediano y se coloca la masa de 30 g.

Soltar desde el reposo la masa, medir el tiempo tres veces en que tarda dar una vuelta, dos y así sucesivamente hasta seis vueltas anotando los datos.

Calcular la incerteza por medio de la desviación estándar y valores medios del tiempo.

Realizar la gráfica posición angular – tiempo. Hacer un modelo matemático y su grafica de la rapidez angular – tiempo. Calcular la aceleración lineal de la masa por medio de la altura arbitraria h y la

medición de su tiempo. Por último predecir el radio R del disco mediano, por medio de la relación entre

cinemática angular y lineal.

Equipo a utilizar:

Sistema conformado por 4 discos giratorios unidos a una base trípode. Hilo de cáñamo de 2m. Cinta métrica. Cronómetro. Soporte de masa de 10 g con 2 masas de 10g. Vernier. Varilla de 1 metro.

Magnitudes físicas a medir:

El tiempo t en que tarda el disco mediano en dar seis vueltas. El radio R del disco mediano. La altura arbitraria h. El tiempo en que tarda en recorrer la altura h arbitraria.

Equipo armado utilizado

Resultados

Disco de radio R

Masa de 30g

Trípode

Tabla No. 1 Posición angular versus tiempo

No. θ, rad t1 (s) t2 (s) t3 (s)1 2π 2.4 2.37 2.342 4π 3.56 3.46 3.53 6π 4.31 4.31 4.284 8π 5.12 5.15 5.095 10π 5.62 5.6 5.696 12π 6.9 6.85 6.91

Tabla No. 2 Valores medios e incertezas para el tiempo

No θ, rad t Δt1 2π 2.37 0.032 4π 3.506666667 0.050332233 6π 4.3 0.0173205084 8π 5.12 0.035 10π 5.636666667 0.0472581566 12π 6.886666667 0.032145503

Anexos: Procedimientos No. 1 y 2

Gráfico No. 1: Posición angular versus tiempo

(Ver anexos, obtención de gráfica No. 1)

Tabla No. 3 Linealización del modelo gráficoNo. Posición angular, θ en rad z Δz

ω

1 2π 5.6169 0.14222 4π 12.29671111 0.3529967033 6π 18.49 0.1489563694 8π 26.2144 0.30725 10π 31.77201111 0.5327569486 12π 47.42617778 0.442750722

Anexos, procedimiento 3 y 4

Gráfica No. 2 Velocidad angular versus tiempo

Tabla No. 4 Rapidez angular versus tiempoNo Rapidez angular ω (rad/s) t (s)2 6.5110 3.503 7.7890 4.34 9.4012 5.125 7.11303 5.63

Anexos, procedimientos del 5 al 7

Tabla No. 5 Aceleración angular e incerteza

Altura a Aceleración angular

Incerteza de Aceleración angular

0.85 0.65835 1.3167 0.5143Anexos, procedimiento 8

Tabla No. 6 Predicción del radio R

Ti (s) aceleración lineal

Incerteza de aceleración lineal

Radio Incerteza de Radio

4.3 0.09194159 0.000146025 0.069827288

0.01369264

4.28 0.092802865 0.000147393 0.070481404

0.013820908

4.32 0.09109225 0.000144676 0.069182236

0.01356615

Diagrama No. 1 Representación gráfica de incerteza del radio

Discusión de resultados

De acuerdo con los resultados obtenidos

0.0562 0.08340.0698

0.0566 0.08420.0704

0.0557 0.08270.0692

0.0764 0.0774

0.0769 Predicciones del radio

Medición del Radio real

Gráfico No. 1, un gráfico de Posición angular versus tiempo, muestra una parábola y el gráfico No. 2: velocidad angular versus tiempo, muestra una recta. Entonces se afirma que el disco gira con aceleración angular constante.

Por medio de la gráfica 1, una gráfica posición angular-tiempo representa una parábola, y la gráfica 2, gráfico rapidez angular-tiempo representa una recta, entonces, se afirma que el disco gira con aceleración angular constante.

Conclusiones

El radio obtenido se encuentra fuera del rango de incertidumbre, debido a los errores de medición.

Se demostro que la gráfica de velocidad versus tiempo, muestra una misma pendiente en todo tiempo, es decir que la aceleración angular si es constante.

Se concluyó, por medio de experimentación, que la aceleración angular es constante debido a que los radios predichos son semejantes, con lo que se obtiene una aceleración similar en todo tiempo.

Se logro predecir el radio, por medio de aceleración angular y aceleración lineal, estas a su vez calculadas en forma indirecta. Con lo que se demuestra que la relación entre la cinematica rotacional y lineal.

Anexos

Procedimiento No.1 para el cálculo del coeficiente de fricción estática

t=∑i=1

3

ti

nEjemplo:

t=7.113

=2.37

Procedimiento No. 2 para el cálculo de la incerteza

Δt=√∑i=13

(t¿¿ i−t)2

n¿

Ejemplo:

Δt=√ 0.00183 =0.03

Obtención de gráfica no. 1 y gráfica no. 2. Las gráficas se obtuvieron a partir del programa “Scientific Notebook”, trazando los puntos y luego generando una grafica aproximada, con lo cual se dedujieron las siguientes ecuaciónes:

Gráfica1θ=0.51734∗t 2+2.2742∗t−0.68089

Gráfica2ω=−0.00938∗t 2+1.87∗t+0.00271

Procedimiento No. 3 para cálculo de z

z=(t¿¿ i)2¿

Ejemplo:

z=(2.37)2=5.6169

Procedimiento No. 4 para obtención de la incerteza de z

Δz=2∗Δtt

∗z

Ejemplo:

z=2∗0.032.37

∗5.6169=0.1422

Procedimiento No. 5 para obtención de a (El mismo procedimiento se llevo a cabo para la obtención de b, utilizando la varialbe b en vez de a).

a=amax+amin

2Donde a maximo y a minimo se calcularon:

amax=12π−10π43.43−31.77

=0.9155amin=8π−2π

26.21−5.62=0.4012

Obtención de a:

a=0.9155+0.40122

=0.65835

Obtención de b maximo y b minimo:bmax=θo−azo

bmax=10 π− (0.4012 )∗(31.77 )=18.67

bmin=1.1381

b=18.67+1.13812

=9.90405

Donde cada uno de los puntos de θ y z, que se utilizaron para la obtención de a yb, corresponden a las pendientes minimas y maximas.

Procedimiento No. 6 para obtención de la incerteza de c (El mismo procedimiento se utilizo para la incerteza de b).

Δa=amax−amin

2

Incerteza de a:

Δa=0.9155−0.40122

=0.25715

Incerteza de b:

Δb=18.67−1.13812

=¿8.76595

Procedimiento No. 7 para calcular velocidad angular

ω=θn+1+θn−1t n+1−t n−1

Ejemplo:

ω= 6 π−2π4.3−2.37

=6.51106

Procedimiento No. 8 para calcular aceleración angular e incerteza de la aceleración angular:

α=2∗a

Δα=2∗Δa Procedimiento No. 9 para calcular aceleración lineal e incerteza de aceleración lineal:

a tan=2h

t2

Δ atan=a tan(Δhh

+2 Δtt

)

Procedimiento No. 10 para calcular radio e incerteza del radio:

R=a tanα

ΔR=R∗( Δa tanatan+ Δαα )