Laboratorio de F´ısica II · Laboratorio de F´ısica II Gu´ıa r´apida para las memorias de...

Laboratorio de F́ısica II

Gúıa rápida para las memorias de prácticas

La memoria debe ser un recordatorio de lo realizado, al que se pueda acudir a la hora de intentarvolver a repetir la experiencia o de emplear los resultados. Por ello, hay que esforzarse en la redaccióny en la presentación. (Ver caṕıtulos 1, 2 y 3 del guión de prácticas). La memoria o informe deprácticas debe tener los siguientes apartados:

1. T́ıtulo de la práctica.

2. Objetivos de la práctica.

Ejemplo: El objetivo principal de esta práctica es determinar la dependencia temporal de la curva de

carga de un condensador e investigar la relación entre el tiempo caracteŕıstico de carga, la resistencia

del circuito y la capacidad del condensador.

3. Metodoloǵıa.

Una breve descripción de como se han tomado las medidas. No es necesario entrar en detalles acercadel dispositivo experimental, esquema, etc, porque estos se encuentran en el guión de prácticas.

4. Resultados.

Se presentarán las medidas tomadas en forma de tablas y/o gráficos.

a) Tablas. Ejemplo: Tabla 1.

Es necesario indicar el nombre de la magnitud y su valor con sus unidades correspondientesen el Sistema Internacional de unidades.

Es necesario indicar la incertidumbre (“error”) en la medida de la magnitud con susunidades correspondientes. Ver ejemplo al final de esta gúıa.

b) Gráficos. Ejemplo: Figura 1.

Las gráficas deben tener todas un pie de figura en donde se indique que se representa enella aśı como otra información relevante para entender la gráfica.

En los ejes deben indicarse las magnitudes que se representan con sus unidades.

En los ejes, se elegirán los intervalos desde un valor ligeramente inferior al del dato menorhasta un valor ligeramente superior al del dato mayor.

Los valores experimentales deben estar representados por un punto, un aspa o cualquierotro śımbolo puntual, junto con sus barras de error.

Si los datos experimentales siguen una relación determinada, se dibujará la curva (recta,exponencial, etc) obtenida del ajuste de dichos datos.

Las gráficas se pueden hacer con ordenador utilizando un programa de representacióngráfica (Excel, R, Origin, gnuplot, ROOT,...) o bien “a mano” en papel milimetrado.

5. Discusión y conclusiones.

Debe discutirse si se ha logrado el objetivo u objetivos de la práctica haciendo referencia a lafiabilidad de las medidas tomadas.

Ejemplo: Se ha medido la curva de carga de diversos condensadores conectados en serie a varias

resistencias y variando el voltaje de la fuente de tensión que proporciona la fuerza electromotriz del

circuito. Se encontró que la corriente eléctrica decae exponencialmente y el tiempo caracteŕıstico de

este decaimiento es proporcional a la resistencia y a la capacidad, τ = RC.

6. Bibliograf́ıa utilizada.

Debe incluir: autor, t́ıtulo del libro, editorial y año de publicación.

1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Inte

nsi

dad

(A

)

Voltaje V (V)

Medidas

Ajuste a una recta

Figura 1: Intensidad en la resistencia R1 como fun-ción del voltaje. Los puntos representan las medidastomadas en el laboratorio y la ĺınea el ajuste a unarecta.

Voltaje (V) S(V) (V) Intensidad (A) S(I) (A)

1.1 0.03 0.018 0.005

2.0 0.03 0.047 0.005

3.2 0.03 0.052 0.005

4.1 0.03 0.087 0.005

5.0 0.03 0.095 0.005

Cuadro 1: Medidas del Voltaje y de la Intensidad en laresistencia R1, junto con sus incertidumbres correspon-dientes S(V) y S(I).

Ejemplo de cálculo de incertidumbres (“errores”)

1. Medida directa: Ver fórmula (1.2) del guión de prácticas.

Imaginemos que medimos un voltaje (u otra magnitud) y el valor obtenido es V =3.2 V. Una unidadde la última cifra que aparece en la pantalla del poĺımetro indica la incertidumbre de resoluciónen la medida, en este caso 0.1 V. Aplicando la fórmula (1.2) del guión, la incertidumbre de V esS(V ) =0.1/

√12 ≃ 0.03 V.

2. Medida indirecta: Ver fórmula (1.15) del guión de prácticas.

Imaginemos que medimos varias magnitudes y queremos obtener la incertidumbre en una magnitudque se obtiene a partir de las medidas utilizando una fórmula conocida. Por ejemplo, medimos I yV . Calculamos sus correspondientes incertidumbres S(I) y S(V ) tal y como se explica en el puntoanterior. Aplicamos la ley de Ohm para obtener el valor de la resistencia R es decir R = V/I. Paraencontrar la incertidumbre en R consideraremos que R es una función de I y de V y calcularemoslas derivadas parciales de R con respecto a I y con respecto a V para después sustituir en la fórmula(1.15) del guión:

∂R

∂I= −

V

I2,

∂R

∂V=

1

I(1)

De acuerdo con la fórmula (1.15) del guión, la incertidumbre en R es:

S(R) =

√

(

∂R

∂I

)2

S2(I) +

(

∂R

∂V

)2

S2(V ) (2)

sustituyendo en (2) las derivadas parciales obtenidas en (1) tenemos:

S(R) =

√

V 2

I4S2(I) +

1

I2S2(V ) (3)

Finalmente sustituyendo los valores de I y V medidos y los de S(I) y S(V ) calculados, obtendremosla incertidumbre S(R) que vendrá dada en unidades de resistencia es decir Ohms (Ω).

2

Técnicas experimentales. Física

M. Pintos1

2009

1Departamento de Física Aplicada. Facultad de Física. Universidad de Santiago de Compostela

Indice

1. Introducción a la teoría de errores 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Clasificación de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Algunos términos metrológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Cifras significativas. Reglas de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6. Métodos de medida de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7. Medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8. Medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9. Media pesada o ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10. Comparación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Análisis de regresión 13

2.1. Análisis de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Regresión polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Aceptación o rechazo de valores discordantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Memoria de prácticas 21

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Cuaderno de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Memoria de prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Tablas 25

5. Práctica 1: Circuitos de corriente continua 29

6. Práctica 2: Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor 33

7. Práctica 3: Medida de pequeñas resistencias 39

8. Práctica 4: Condensador de placas plano-paralelas 45

9. Práctica 5: Constante dieléctrica de diferentes materiales 49

10. Práctica 6: Curva de carga de un capacitor 55

11. Práctica 7: Campo magnético alrededor de un conductor lineal 61

12. Práctica 8: Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz 67

13. Práctica 9: Momento magnético en un campo magnético 71

14. Práctica 10: Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente 77

iii

iv Prácticas

15. Multímetro 81

Bibliografía 83

1

Introducción a la teoría de errores

1.1 Introducción

El objetivo de todo experimento físico es el estudio cuantitativo ya sea de ciertas propiedadesde la materia, ya sea del estado de un cuerpo y los cambios que en dicho estado puedan produ-cirse y que no afecten a su composición. Este estudio se realiza midiendo las magnitudes o laspropiedades físicas que lo caracterizan, o bien el estado del cuerpo que interesa al investigador,estableciendo una relación entre ellas que denominamos ley del fenómeno.

Las magnitudes que interesan al investigador se determinan utilizando aparatos de medida ytratando posteriormente los datos obtenidos. Si bien el dispositivo de medida puede tener distintogrado de complejidad, dependiendo de la naturaleza de la magnitud que se quiera determinar, losdatos experimentales siempre estarán afectados de imprecisiones (incertidumbres). Es necesarioentonces saber valorar la incertidumbre del resultado de la medición para tener un criterio clarode cuales de las deducciones obtenidas a partir de los datos experimentales son ciertas, cualesson dudosas y cuales son simplemente infundadas. Sin esta valoración no se puede obtener unamedida cuantitativa de la propiedad que se estudia ni establecer con ella leyes objetivas.

En la práctica no es sencillo determinar la incertidumbre de una magnitud medida, y la mayordificultad radica en que la medición depende de un gran número de factores como la calidad delos aparatos, las circunstancias en que fueron realizadas las medidas en el laboratorio, el métodoque se utilice, la habilidad del experimentador, . . . , que influyen en mayor o menor grado sobreel resultado de la medición. Dado que es imposible analizar, para un experimento concreto, todoslos factores que influyen sobre el resultado de la medición, el valor real de la magnitud medidapermanece desconocido. Así pues, toda medida es inexacta e implica una incertidumbre que esdeseable estimar y, en consecuencia, el resultado de una medición únicamente se halla completocuando está acompañado de su incertidumbre. La Teoría de errores se encarga de estudiar,fundamentalmente, entre qué valores está comprendido el valor real de la medida realizada y conqué grado de probabilidad se hallará entre dichos valores límite.

La Metrología es la ciencia de la medida y comprende todos los aspectos, tanto teóricoscomo prácticos que se refieren a las mediciones (conjunto de operaciones que tienen por finalidaddeterminar el valor de una magnitud), cualesquiera que sean sus incertidumbres, y en cuales-quiera campos de la ciencia o la tecnología en que tengan lugar.

1.2 Clasificación de los errores

Puesto que los errores son de naturaleza muy variada e impredecible, los vamos a clasificarde acuerdo con sus características específicas.

Fundamentalmente se dividen en tres grandes grupos:

1

2 Introducción a la teoría de errores

1) Errores sistemáticos

2) Errores casuales o aleatorios

3) Errores ilegítimos

Vamos a analizar las características generales de cada uno de los grupos de esta clasificación.

1) Errores sistemáticos son aquellos que se repiten constantemente en el transcurso de unexperimento o de una serie de medidas, afectando a los resultados finales siempre en un mis-mo sentido (incrementándolo o disminuyéndolo). Entre las fuentes de errores sistemáticospodemos citar el mal calibrado de los aparatos de medida, tanto por parte de la casa fabri-cante como por parte del experimentador; condiciones experimentales no apropiadas,cuando se utilizan aparatos bajo condiciones de trabajo distintas de las recomendadas porel fabricante (temperatura, humedad, voltaje o frecuencia de la red eléctrica de alimenta-ción, . . . ); técnicas imperfectas, muy frecuentes en los laboratorios y que disminuyen conla experiencia del investigador y consisten fundamentalmente en no realizar el experimen-to de una forma correctamente planificada introduciendo errores durante su realización;fórmulas incorrectas, que consiste en la utilización de ecuaciones matemáticas que rigenel proceso físico sin respetar las condiciones ideales para las cuales dichas ecuaciones sonválidas; . . . Estos errores no son en principio evitables pero si se identifican y se trata deeliminar sus causas pueden, con frecuencia, reducirse notablemente.

2) Errores casuales, accidentales o aleatorios, son aquellos cuya causa es imposible dedeterminar y que van a estar presentes en la determinación de cualquier magnitud física,afectando el resultado final, indistintamente, en uno u otro sentido. Entre ellos cabe destacarlos errores de apreciación, fluctuación de las condiciones ambientales durante eltranscurso de un experimento (temperatura, presión, voltaje de la red de alimentación,. . . ). Estos errores son incontrolables pero, ya veremos cómo, cuantificables.

3) Errores ilegítimos, también conocidos como impropios, inaceptables, extraexperimenta-les o equivocaciones, son de naturaleza bien diferente a los anteriores y dependen funda-mentalmente de factores personales, como pueden ser errores de cálculo, mala lectura omala utilización de un instrumento por cansancio del experimentador o por distracción,. . .

Las fuentes de error citadas no son necesariamente independientes y algunas de ellas puedencontribuir a las otras. Un efecto sistemático no identificado no puede ser tenido en cuenta en laestimación del error de una medición, aunque contribuirá a dicho error.

Los errores sistemáticos no admiten, en general, un tratamiento estadístico, siendo necesarioeliminarlos mediante un análisis previo de la experiencia que se va a realizar, en tanto quelos errores casuales admiten, también en general, un tratamiento estadístico. Posteriormentedetallaremos el tratamiento matemático de ambos tipos de errores.

1.3 Algunos términos metrológicos

De acuerdo con lo hasta aquí expuesto vamos a definir una serie de conceptos que utilizaremosen el desarrollo de la teoría de errores.

M. Pintos

1.3 Algunos términos metrológicos 3

- Exactitud (accuracy). Una medida es tanto más exacta cuanto menores son los erroressistemáticos. Este término cuantifica el grado de dispersión de una medida en torno al valorverdadero.

- Precisión (precision). Una medida es tanto más precisa cuanto menores son los errorescasuales o accidentales. La precisión nos indica el grado de variabilidad en la salida de uninstrumento cuando este mide una magnitud constante. Si un gran número de medidas deuna magnitud constante tienen aproximadamente el mismo valor, el instrumento posee unaprecisión alta, mientras que si existe dispersión en las medidas suministradas, la precisiónes baja.

- Repetitividad y reproducibilidad significan lo mismo, pero aplicados a contextos dis-tintos. La repetitividad describe una pequeña dispersión de lectura del aparato cuando semide el valor de una magnitud constante en un corto período de tiempo, con las mismascondiciones de medida: mismo instrumento, mismo operador, idénticas localización y con-diciones de uso. La reproducibilidad describe una pequeña dispersión en la lectura de unamagnitud constante cuando se cambia el método de medida, el operador, las condicionesde uso,. . .

La precisión es una medida de la repetitividad del valor experimental y si existen suficientesgarantías de ausencia de errores sistemáticos, se considera que un resultado es tanto másexacto cuanto más preciso. En la figura 1.1 se puede observar la comparación entre exactitudy precisión aplicada a tres robots que disparan sobre una diana.

(a) Baja Precisión yBaja Exactitud

(b) Alta Precisión yBaja Exactitud

(c) Alta Precisión y Al-ta Exactitud

Figura 1.1: Comparación entre exactitud y precisión.

- Sensibilidad (sensitivity) de medida de un instrumento es el cambio producido en lalectura de salida del aparato cuando la magnitud de medida cambia en una cantidad dada.

- Resolución (resolution) de un aparato de medida es el valor más pequeño de una mag-nitud que puede detectar el instrumento, es decir, cuando un instrumento está mostrandouna lectura, hay un valor mínimo en el cambio que tiene que sufrir la magnitud medidade forma que este cambio se refleje en la lectura del aparato. Si bien deberíamos distinguireste concepto del concepto anterior, en la práctica ambos conceptos suelen emplearse in-distintamente. Una de las causas que limitan la resolución son las divisiones en un aparatoanalógico o la última cifra en un aparato digital.

- Discrepancia (discrepancy) es la diferencia entre distintos valores numéricos obtenidospara una misma magnitud, bien sean realizados por un misma persona o por diferentespersonas. Este término no representa una medida de error.

M. Pintos


1.4 Cifras significativas. Reglas de redondeo

Todas las magnitudes físicas medibles directamente son aproximadas, ya que no podemosdeterminar experimentalmente su valor exacto, al igual que el de ciertas constantes matemáticas(π, e,. . . ) y el del resultado de ciertas operaciones también matemáticas (funciones trigonomé-tricas, logaritmos, raíces,. . . ), de ahí que todas las magnitudes determinadas indirectamente apartir de aquellas a través de relaciones matemáticas sean también aproximadas.

Por otra parte, cualquier medida que se realice conducirá a un valor de la magnitud a deter-minar que deberá ser expresado con un número concreto de cifras; dicho número estará limitadopor la incertidumbre de la medida.

Se denomina número de cifras significativas al número de cifras, empezado a contar des-de la primera a la izquierda distinta de cero, hacia la derecha y hasta la cifra del mismo ordendecimal que la última cifra de su incertidumbre, inclusive, con que se expresa el valor de cualquiermagnitud. Cuando los ceros que figuren en el valor de una magnitud sirvan sólo para designarel orden decimal, se recomienda especialmente emplear una notación en potencias de diez (no-tación científica) en la que figuren sólo las cifras significativas; en este caso debe de usarse unasola cifra entera para el valor del mensurando y la potencia de diez debe afectar también a laincertidumbre de dicho resultado.

Se deduce de lo hasta aquí expuesto, que siempre será necesario redondear el número fi-nal correspondiente a un resultado, es decir, eliminar los guarismos superfluos, para expresarlocorrectamente con el número de cifras significativas apropiado. Así, el valor de la magnitud seredondeará de tal manera que la última cifra significativa de la magnitud sea del mismo ordendecimal que la última cifra de la incertidumbre.

Para llevar a cabo el redondeo de una cifra se emplearán los criterios siguientes, que si bien sonarbitrarios, su uso está prácticamente generalizado, y que se conocen como reglas de redondeo.

Supongamos que después de redondear un número deben de quedar n cifras significativas, ental caso:

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es menor que 5, la n-ésima cifra conservada no varía.

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es mayor que 5, la n-ésima cifra conservada se incrementaen una unidad.

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es igual a 5, pueden ocurrir dos cosas:

1) Entre las cifras suprimidas, además de la cifra 5 hay otras distintas de cero, en estecaso la n-ésima cifra conservada se incrementa en una unidad.

2) Todas las cifras suprimidas, excepto la cifra 5, son ceros, en cuyo caso la n-ésima cifraconservada se incrementa en una unidad si ella es impar, y no se varía si ella es par.

En todo caso se suprimirán todas las cifras de orden superior al n y se eliminarán todas a lavez, no una a una.

Para redondear una cantidad es necesario evaluar primero la incertidumbre de la que éstaviene afectada. Utilizaremos como criterio para expresar las incertidumbres emplear dos cifrassignificativas. Sin embargo, para limitar las incertidumbres debidas al redondeo, en los cálculosintermedios debe obviarse el criterio anteriormente indicado, y todo valor numérico que vaya a serempleado en un cálculo posterior, debe conservar al menos una cifra significativa suplementaria,

M. Pintos

1.5 Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática 5

respecto a las que figuren en su expresión final. El valor obtenido de dicho cálculo debe de serdefinitivamente redondeado suprimiendo estas cifras no significativas empleadas temporalmente.

1.5 Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática

Se define error (según Webster) como la diferencia entre un valor observado o calculado y elvalor real de la magnitud. Dado que una magnitud se mide porque se ignora su valor verdadero,no se puede determinar su error y, en consecuencia, sólo se pueden estimar los errores inherentesa un experimento.

Denominamos incertidumbre de una medida a la estimación de su error. Se puede entoncesdefinir la incertidumbre como un parámetro, asociado al resultado de una medición, que carac-teriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando,magnitud particular objeto de medición.

Una de las mejores formas de estimar la fiabilidad de una medida es por repetición y compara-ción posterior de los valores obtenidos. Sin embargo, no todas las incertidumbres experimentalespueden ser estimadas mediante un análisis estadístico de medidas repetidas. Se distingue entoncesentre dos tipos de incertidumbres: las que se ponen de manifiesto tras medidas reiteradas, que sedenominan incertidumbres aleatorias (en metrología evaluación de tipo A), y aquellas en lasque no sucede esto, que se denominan incertidumbres sistemáticas (en metrología evaluaciónde tipo B). Para clarificar estos conceptos, vamos a poner algunos ejemplos. Se cronometra eltiempo de revolución de un disco que gira. Una fuente de incertidumbre proviene de los reflejosdel experimentador, más o menos vivos, al disparar o detener el cronómetro. Si el tiempo dereacción fuese siempre idéntico, se compensaría en la expresión del resultado. En la práctica,sin embargo, nuestros reflejos variables pueden retardar el disparo del cronómetro, subestimandola duración de la rotación, o pueden retardar la detención del cronómetro, sobreestimando laduración de la rotación. Estas dos posibilidades equivalentes se traducen en un efecto aleatorio.La repetición del experimento conduce así a resultados, unas veces subestimados y otras vecessobreestimados. El análisis estadístico de su dispersión proporciona una estimación fiable de estetipo de incertidumbre.

Por el contrario, un cronómetro mal calibrado, no puede detectarse por este procedimientode medidas reiteradas. Este tipo de incertidumbre sistemática, desplaza siempre el resultado enel mismo sentido, siendo inaccesible al análisis estadístico.

Un segundo ejemplo de incertidumbre, tanto aleatoria como sistemática, se encuentra al rea-lizar medidas de una longitud con ayuda de una regla graduada. La necesidad de interpolar losresultados entre las graduaciones de la regla, constituye generalmente, una fuente de incertidum-bres aleatorias. Pero cualquier deformación de la regla ocasiona una incertidumbre sistemática.O, con este mismo ejemplo, la lectura de la regla da lugar a resultados diferentes según la posiciónde los ojos respecto a ella. Este efecto de paralaje significa que la lectura de la regla sólo es correc-ta colocándose perpendicularmente a ella. Pero, por cuidadoso que sea el experimentador, nuncaestará exactamente paralelo a las graduaciones, ocasionando una ligera incertidumbre aleatoriadebida al paralaje. Un experimentador distraído que efectúe todas las medidas desde un mismolado, introduce una incertidumbre sistemática de lectura. Un mismo efecto (de paralaje) puedeproducir pues incertidumbres aleatorias o sistemáticas.

Casi todas las medidas están sujetas simultáneamente a incertidumbres aleatorias y sistemá-ticas. Las incertidumbres aleatorias provienen frecuentemente de pequeños errores de apreciación

M. Pintos


del experimentador, de pequeñas perturbaciones en el dispositivo de medida,. . . La causa másevidente de incertidumbres sistemáticas proviene de un mal calibrado de los instrumentos demedida.

El tratamiento de las incertidumbres aleatorias difiere del de las incertidumbres sistemáticas.Los métodos estadísticos conducen a una estimación fiable de las incertidumbres aleatorias, pro-porcionando un método probado para reducirlas. Por el contrario, las incertidumbres sistemáticasson habitualmente difíciles de evaluar y más aún, de detectar. Un experimentador avezado debepoder descubrir las posibles incertidumbres sistemáticas y debe asegurarse de que no influyan enla precisión requerida para el experimento.

La Teoría de errores nos proporciona un método matemático para estimar, con buenaaproximación, el error de que viene afectada la medida de una determinada magnitud. Dichateoría se basa en una serie de postulados y principios no siempre evidentes, cuya justificaciónmatemática rigurosa no es objeto de esta guía:

• El postulado de accidentalidad se fundamenta en el hecho de que el resultado o valor mediode un número grande (en el límite, infinitamente grande) de observaciones es prácticamenteuna magnitud no aleatoria, independiente de la influencia de valores individuales.

• Otro de los postulados válido para este nivel de experimentación es el de la media aritméticacomo el valor más probable de la magnitud que se mide, es decir, se admite que las medidassujetas a pequeñas incertidumbres aleatorias y a incertidumbres sistemáticas despreciables,se corresponde en el límite con una distribución normal (o de Gauss).

• El cálculo preciso de los limites de confianza a partir de un número pequeño de medidas(n

1.7 Medidas directas 7

2) Medida con aparatos calibrados

3) Medida indirecta

1) Se adopta como unidad de medida una unidad patrón, efectuándose la medida por compara-ción directa con el patrón escogido. Este método se conoce también como de medida relativa,porque los números que nos dan la medida de la magnitud dependen de la unidad de medidaseleccionada y ésta puede ser fijada de manera totalmente arbitraria.

2) Los inconvenientes que el método anterior presenta, se eliminan en buena parte efectuando lasmedidas con aparatos realizados por casas comerciales que disponen de muy buenos patronesde medida, calibran y contrastan los instrumentos de tal manera que la medida se reduce auna simple lectura bien de la posición del índice del aparato sobre escalas graduadas o bienen una pantalla digital. Balanzas, termómetros, amperímetros, voltímetros, cronómetros,. . .son ejemplos de aparatos calibrados.

3) Cuando una magnitud física no puede ser determinada por comparación con una unidadpatrón y aquella está relacionada con otras magnitudes físicas a través de funciones cono-cidas, su determinación se realiza de forma indirecta midiendo las magnitudes con las queestá relacionada y calculando su valor a través de la ecuación matemática que expresa su de-pendencia funcional de aquellas. La medida indirecta es una medida absoluta y sus unidadesserán función de las unidades de medida de las magnitudes de que dependa.

1.7 Medidas directas

Cuando se lleva a cabo la determinación de una magnitud física utilizando aparatos cali-brados (balanzas, cronómetros, multímetros,...) pueden presentarse situaciones que requieren untratamiento diferente, según se realice la medida una única vez (bien sea por la dificultad de surealización, por el tiempo empleado en la misma, por un coste elevado o porque la sensibilidaddel aparato haga que resulte inútil su repetición) o se realice una serie de medidas de la mismamagnitud. Vamos a estudiar cada uno de estos casos.

1- Se realiza una única medida

Un instrumento analógico da una salida que varía continuamente a medida que la magnitudmedida cambia. La salida tiene un infinito rango de valores dentro del intervalo de medida y laincertidumbre del aparato está determinada por las divisiones de la escala. Ejemplos de este tipode instrumentos son una regla graduada, un termómetro de varilla,. . . En este caso, se denominaincertidumbre de resolución, instrumental o de lectura directa de una medida con dichoinstrumento, a la resolución del mismo, amplitud del menor intervalo de medida, es decir, el valorde la magnitud entre dos divisiones consecutivas de la escala de lectura del aparato, que repre-sentaremos por ∆x. Si el aparato no tiene el cero ajustado, la medida realizada será x=xlect-x0,y se tratará como una medida indirecta.

En un instrumento digital, la lectura de la medida varía en pasos discretos y el número devalores que puede proporcionar dicho aparato de medida es finito. Ejemplos de este tipo de apa-ratos son un polímetro digital, un cronómetro digital,. . . En este caso, salvo que en el manualde instrucciones del instrumento el fabricante facilite la incertidumbre (exactitud del aparato)asociada al mismo, se considerará como incertidumbre de resolución una unidad de la últimacifra aparecida en pantalla.

M. Pintos


Veamos como se procede para evaluar tanto el mensurando como su incertidumbre en el casode que las especificaciones técnicas del aparato no suministren información acerca de su incerti-dumbre o inexactitud.

Si el aparato de medida es analógico, al realizar la lectura de la medida, ésta se encuentraentre las divisiones x− y x+. En este caso la estimación del valor del mensurando viene dada por

x =x− + x+

2(1.1)

Mientras que si el aparato es digital la lectura de la medida nos indica un valor único, que seconsidera la estimación del mensurando.

En cualquiera de estos dos casos, la magnitud medida viene afectada por una incertidumbre

s(x) = sB(x) =∆x√12

(1.2)

que representa la desviación típica sB(x) obtenida mediante evaluación tipo B (sistemática),para lo cual se ha supuesto a priori , que la información relativa a la lectura suministrada por elinstrumento viene descrita por una distribución de probabilidad rectangular simétrica.

Si se conoce la incertidumbre asociada al aparato de medida, proporcionada por el fabricanteen las especificaciones técnicas del aparato, por un certificado de calibración,. . . , entonces debe-rá ser analizada la información suministrada para ser tenida en cuenta a la hora de evaluar laincertidumbre de la medida.

El intervalo de confianza de la medida realizada viene dado por

x − sB(x) ≤ xverd ≤ x + sB(x) (1.3)

con una probabilidad del 58% y para una probabilidad del 95% el intervalo de confianza es±1, 65 sB(x).

El resultado de la medida debe expresarse en la forma

x, sB(x) (1.4)

En las medidas de calidad normal ∆x debe ser mucho menor que x, ∆x≪x. A veces, aunquecon poco rigor científico, a ∆x se le denomina también error absoluto de la medida x, para evitarconfusiones con la incertidumbre fraccionaria o incertidumbre relativa, magnitud adimensionalque indica la calidad de una medida y no es más que el porcentaje que representa la incertidumbrede dicha medida respecto a su propio valor, es decir

ǫ(x) =

[

sB(x)

|x|

]

100 (1.5)

Es necesario indicar que las medidas realizadas con un mismo aparato no tienen por quétener igual calidad, a pesar de que se hayan determinado con idéntica resolución. En efecto,supongamos que para determinar la masa de un cuerpo utilizamos una balanza que aprecia1·10−3 g; efectuamos la medida para dos cuerpos diferentes, una resulta ser de 5,000 g y la otrade 0,200 g. Aunque el error de resolución de ambas medidas es el mismo, no sucede igual con lasincertidumbres relativas

ǫ(1) = 100

[

1 · 10−3/√

12

5, 000

]

= 0, 0058% ǫ(2) = 100

[

1 · 10−3/√

12

0, 200

]

= 0, 14%

M. Pintos

1.7 Medidas directas 9

es decir, la primera de las medidas indicada es más fiable que la segunda.

2- Se realiza una serie de medidas

Supongamos que hemos realizado n medidas directas, xi, i=1,. . . n, de una cierta magnitud x.Si estas medidas han sido efectuadas con un mismo aparato y con la misma resolución, la mejoraproximación al verdadero valor de la magnitud que puede hacerse, supuesto que la poblaciónposea distribución normal, a partir de las n medidas realizadas es el valor medio o media dela muestra, que viene dado por la expresión

x̄ =x1 + x2 + · · · + xn

n=

n∑

i=1xi

n(1.6)

La dispersión de datos en torno al valor medio para dicha serie de medidas viene dada porla desviación típica o standard de la muestra, sA(x) obtenida mediante evaluación tipo A(aleatoria), cuya expresión matemática es

s(x) = sA(x) =

√

√

√

√

√

n∑

i=1(xi − x̄)2

n − 1 (1.7)

en dónde n-1 representa el número de grados de libertad que es la diferencia entre el número deobservaciones y el número de parámetros calculados (en este caso el valor medio). Al cuadradode esta expresión, s2A(x), se le conoce como varianza o desviación cuadrática media de lamuestra. La desviación típica de la muestra representa la incertidumbre de una cualquiera delas medidas realizadas o de cualquier otra medida de la misma magnitud realizada con el mismoinstrumento y en las mismas condiciones.

El valor medio, o media, de la muestra se calcula mediante la expresión (1.6) para una muestrade n observaciones mutuamente independientes. La desviación típica o standard de la mediade dicho conjunto de n datos es igual a

s(x̄) = sA(x̄) =sA(x)√

n(1.8)

Además, cada una de la medidas xi presenta una incertidumbre de medida directa, es decir,una incertidumbre tipo B, por lo que el valor medio se verá afectado por una incertidumbremayor que la indicada en (1.8) y que se denomina incertidumbre combinada, sC(x̄), que sedetermina mediante la expresión

sC(x̄) =

√

[sA(x̄]2 + [sB(x)]

2 (1.9)

El intervalo de confianza de la media nos indica entre qué valores límite estará compren-dida la media con una determinada probabilidad, que se ha elegido previamente. Dicho intervalode confianza se expresa matemáticamente por:

x̄ ± k · sC(x̄) (1.10)

en dónde k es un parámetro que representa la amplitud del intervalo en torno al valor medioy que aparece tabulado en función de la probabilidad deseada y del número de medidas de lamuestra. A este parámetro se le denomina en la actualidad factor de cobertura y al productok · sC(x̄) se le denomina incertidumbre expandida. Así, si n>20, k se obtiene a partir de ladistribución de Gauss y si n≤20 se calcula a partir de la distribución t de Student (Tabla II).

M. Pintos


Al cociente sC(x̄)/x̄ se le denomina incertidumbre típica relativa y, en este caso concreto,de la media.

Vamos a analizar, paso a paso, como a partir de un conjunto de n datos de xi obtenemos elvalor de la magnitud así como el de su incertidumbre. Procederemos de la siguiente forma: enprimer lugar se calculará el valor medio x̄ de la muestra, utilizando la expresión (1.6), así comola desviación típica de la muestra, sA(x), mediante la expresión (1.7).

Se denomina valor discordante a aquel valor que resulta dudoso porque es muy diferente alos demás valores de la muestra o bien porque es muy diferente al valor que se esperaba. Com-probaremos a continuación si todos los valores xi medidos son válidos o bien debemos desecharalguno, lo que se conoce como aceptación o rechazo de valores discordantes.

Para ello, adoptaremos el criterio de que los valores de xi son correctos si se encuentrancomprendidos en el intervalo dado por:

x̄ − k · sA(x) ≤ xi ≤ x̄ + k · sA(x) (1.11)

en dónde k es el factor de cobertura.

Así, si n>20, con una probabilidad del 95% (1-0,95=0,05), resulta adecuada la distribuciónde Gauss para describir la muestra, con lo que cada valor de xi debe verificar que

x̄ − 1, 96 · sA(x) ≤ xi ≤ x̄ + 1, 96 · sA(x) (1.12)

Mientras que si n≤20, la descripción adecuada es la que proporciona la distribución de Stu-dent, a partir de la cual habrá que determinar la magnitud del parámetro t, factor de cobertura,para una probabilidad dada y para φ= n-1 grados de libertad, de forma que cada valor xi debeverificar (1.11).

Cualquier valor xi del conjunto de n datos que caiga fuera de los intervalos dados por las ex-presiones (1.11) ó (1.12), según el valor de n, debe ser desechado y volver a comenzar los cálculosdesde el primer paso. Este criterio sólo debe aplicarse al conjunto de valores una vez y rechazartodos los datos de la muestra que no verifiquen el citado requisito.

Para finalizar, calcularemos la desviación típica, sA(x̄), con los valores de xi correctos, uti-lizando las expresiones (1.6) a (1.8) y posteriormente sC(x̄) mediante la expresión (1.9). Elresultado final se expresa en la forma

x̄, sC(x̄), φ (1.13)

1.8 Medidas indirectas

Sea y una magnitud que depende de n magnitudes distintas x1, x2,. . . , xn mediante la de-pendencia funcional

y = y (x1, x2, · · · , xn) (1.14)

Si conocemos el valor de las magnitudes x1, x2,. . . , xn, así como las incertidumbres de quevienen afectadas, trataremos ahora de determinar la incertidumbre de la magnitud y conocidala dependencia funcional dada por la ecuación (1.14), lo que se conoce como propagación deincertidumbres.

M. Pintos

1.9 Media pesada o ponderada 11

Si todas las magnitudes xi de las que depende el valor de la magnitud y son mutuamenteindependientes, la desviación standard combinada de que viene afectada dicha magnitudviene dada por la expresión

s(y) =

√

√

√

√

∑

i

(

∂y

∂xi

)2

s2(xi) (1.15)

que se denomina ecuación general de propagación de incertidumbre.

NOTA: Podemos justificar ahora la expresión (1.8) utilizando para ello la expresión (1.15).En efecto, si realizamos n medidas xi mutuamente independientes, teniendo en cuenta la expre-sión (1.6) obtendríamos

∂x̄

∂xi=

1

n

y dado que todas las xi pertenecen a la misma muestra, presentan la misma desviación típicas(x), por lo que resulta

s(x̄) =

√

√

√

√

∑

i

(

1

n

)2

s2(x) =s(x)√

n

1.9 Media pesada o ponderada

Supongamos que disponemos de varias medidas xi de una misma magnitud realizadas condistinta precisión y queremos obtener un único valor de dicha magnitud, así como la incertidum-bre de que viene afectada.

Si para los n datos xi conocemos sus desviaciones standard s(xi), bien la incertidumbresistemática si se trata de medidas directas realizadas una sola vez, bien la incertidumbre aleatoriasi la medida se ha realizado repetidas veces para cada uno de los n datos, el valor más probablede x se obtiene mediante la expresión

x̄ =

∑

i xi

(

1s(xi)

)2

∑

i

(

1s(xi)

)2 =

∑

i xi wi∑

i wi(1.16)

en dónde, como ya se ha visto, wi=1/[s(xi)]2 se denomina peso estadístico del valor xi, y en

consecuencia las medidas más precisas tienen mayor contribución al valor más probable de x.

La desviación típica o standard de la media ponderada viene dada por

s(x̄) =

√

√

√

√

1∑

i

(

1s(xi)

)2 =1

√∑

i wi(1.17)

En cuanto a la coincidencia o no de los resultados experimentales de varias series de medidas,veamos cómo se procede.

1.10 Comparación de resultados

Supongamos que tenemos dos series de medidas de la misma magnitud, realizadas por distin-tos experimentadores y/o por distintos métodos, una x1, x2,. . . , xn y otra y1, y2,. . . , ym, cuyos

M. Pintos


valores medios son respectivamente x̄ e ȳ. Aceptaremos que la diferencia entre los valores mediosno es significativa, y por lo tanto es válida la hipótesis de que ambos son iguales, si

|x̄ − ȳ| = t · s (x̄ − ȳ) (1.18)

y rechazaremos la hipótesis en caso contrario. El valor del coeficiente de cobertura (t de Studento de Gauss, según el caso) será el que corresponde al grado de confianza (probabilidad) elegidoy a los grados de libertad φ=n+m-2.

En la expresión (1.18) el valor de s (x̄ − ȳ) viene dado por

s (x̄ − ȳ) =√

s2(x)

n+

s2(y)

m=√

s2(x̄) + s2(ȳ) m,n > 20 (Gauss)

s (x̄ − ȳ) =√

(n − 1)s2(x) + (m − 1)s2(y)

√

1n +

1m

n + m − 2 m,n ≤ 20 (Student)

M. Pintos

2

Análisis de regresión

2.1 Análisis de regresión

El problema de la Ciencia experimental no es solamente medir ciertas cantidades con la má-xima precisión posible, sino también, y fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre doso más magnitudes relacionadas entre sí mediante una función matemática.

Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar, dependa de un conjunto de magnitudesy, x1, x2, . . . , xn; la ley que rige el fenómeno relaciona la magnitud y con el conjunto de magni-tudes xi, de tal forma que durante una serie de experimentos se determinan los valores de unade ellas, y, en correspondencia con los distintos valores que asumen las otras magnitudes xi.

La cuestión que se plantea es si es posible conocer de forma explícita la dependencia funcionalentre las magnitudes xi e y, averiguando cuál es la función más exacta que relaciona las variables.Este estudio se lleva a cabo estadísticamente mediante el denominado análisis de regresión.

En primer lugar estudiaremos el caso en que la dependencia funcional sea lineal y posterior-mente analizaremos una dependencia funcional polinómica.

2.2 Regresión lineal

Supongamos que dos magnitudes dadas x e y verifican una dependencia funcional lineal dadapor la ecuación

y = α + βx (2.1)

que denominaremos dependencia teórica.

El problema que se plantea ahora es cómo, a partir de un conjunto de n pares de valores{xi, yi}, se puede determinar la mejor aproximación, a y b, a los parámetros correspondientesα y β, así como las incertidumbres accidentales de que vienen afectados y su correspondienteintervalo de confianza. Por lo tanto la expresión que vamos a obtener será

y = a + b x (2.2)

Para determinar dichos parámetros a y b se pueden emplear diversos métodos, entre los quecabe señalar el método de mínimos cuadrados como uno de los más extendidos (junto con elde máxima verosimilitud). Este es un método de tratamiento de datos según el cual se minimizala suma de los productos del peso estadístico de cada punto por los cuadrados de las desviacionesde los datos respecto a los valores predichos por la función a determinar.

Analizaremos escuetamente cómo se aplica el método.

13

14 Análisis de regresión

Al sustituir en la ecuación (2.2) un valor xi concreto, habrá, en general, una discrepanciaentre el valor de yi correspondiente y el obtenido a través de dicha ecuación, figura 2.1, debidoprecisamente a que a y b son aproximaciones a los parámetros verdaderos α y β

yi,cal

yi

x

y

xi

Figura 2.1: Regresión lineal. Método de los mínimos cuadrados

yi − (a + b xi) 6= 0La suma de los productos de los cuadrados de estas desviaciones por el peso estadístico de

cada punto es la cantidad a minimizar:

χ2 =

n∑

i=1

wi [yi − (a + b xi)]2 (2.3)

Así pues, los valores de los parámetros a y b deben ser tales que el parámetro χ2 sea mínimo,por lo tanto

∂χ2

∂a= 0,

∂χ2

∂b= 0 (2.4)

Antes de desarrollar las expresiones anteriores veamos , en líneas generales, qué casos sepueden presentar:

1) Las variables xi presentan incertidumbres despreciables frente a las incertidumbres de lasvariables yi. En este caso la expresión a emplear para el peso estadístico es

wi =1

[s(yi)]2 (2.5)

2) Las variables xi presentan incertidumbres no despreciables frente a las correspondientesincertidumbres de las variables yi. En este caso el tratamiento matemático de los datosexcede el nivel de un curso introductorio y por lo tanto, no será analizado aquí.

Vamos a analizar en primer lugar el caso en el que s(yi) = cte, es decir, wi = w = cte, que sedenomina regresión lineal simple. En consecuencia, la expresión (2.3) tome la forma

χ2 = wn∑

i=1

[yi − (a + b xi)]2 (2.6)

Con lo cual, al realizar las operaciones indicadas en las ecuaciones (2.4), se obtiene el sistemade ecuaciones

−2n∑

i=1

(yi − a − bxi) = 0

M. Pintos

2.2 Regresión lineal 15

−2n∑

i=1

[xi(yi − a − bxi)] = 0

desarrollando los sumatorios y reordenando las expresiones obtenemos el siguiente sistema deecuaciones:

an + b∑

i xi =∑

i yi

a∑

i xi + b∑

i x2i =

∑

i xiyi

(2.7)

en dónde para simplificar hemos notado, por ejemplo,n∑

i=1xi =

∑

i xi.

El sistema de ecuaciones (2.7) expresado en notación matricial resulta

(

n∑

i xi∑

i xi∑

i x2i

) (

ab

)

=

( ∑

i yi∑

i xiyi

)

(2.8)

La resolución de dicho sistema conduce a

a =(∑

i yi)(∑

i x2i

)

− (∑i xi) (∑

i xiyi)

n(∑

i x2i

)

− (∑i xi)2 (2.9)

b =n (∑

i xiyi) − (∑

i xi) (∑

i yi)

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2 (2.10)

ecuaciones que nos permiten obtener las mejores aproximaciones a y b a los parámetros α y β apartir de los n pares de datos (xi, yi).

La desviación típica del ajuste para la muestra dada viene dada por la expresión

s =

√

∑

i (yi − a − bxi)2

n − 2 (2.11)

en dónde n-2 representa los grados de libertad, en este caso el 2 es debido a que son dos losparámetros que aparecen en la función, a y b.

La determinación de las incertidumbres de que están afectados los parámetros a y b se llevaa cabo mediante las expresiones

s(a) = s

√

∑

i x2i

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2 (2.12)

s(b) = s

√

n

n(∑

i x2i

)

− (∑i xi)2(2.13)

IMPORTANTE ver NOTA (*) al final del tema.

El coeficiente de regresión lineal, r, es un parámetro que nos indica el grado en que elconjunto de datos (xi, yi) verifican la ley funcional propuesta, en este caso la lineal, y se calculapara este caso mediante la expresión

r =n (∑

i xiyi) − (∑

i xi) (∑

i yi)√

[

n(∑

i x2i

)

− (∑i xi)2] [

n(∑

i y2i

)

− (∑i yi)2]

(2.14)

M. Pintos


cuando r=0, la relación funcional entre los valores x e y es inexistente, es decir, los valores deambos conjuntos son independientes entre sí. Cuando r = ±1 con n ≥ 3, la regresión es perfec-ta, es decir, todos los puntos se encuentran sobre la recta. En general, tendremos valores de rcomprendidos entre esos valores extremos y se puede decir que una regresión será tanto mejorcuanto más próximo a 1 sea el valor de |r|.

El coeficiente de regresión lineal debe expresarse con tres cifras significativas, tanto en estecaso como en cualquiera de los siguientes.

En el caso de una regresión lineal simple y sin término independiente, es decir

y = bx (2.15)

las expresiones correspondientes son las siguientes

b =

∑

i xiyi∑

i x2i

(2.16)

s =

√

∑

i(yi − bxi)2n − 1 (2.17)

s(b) =s

√

∑

i x2i

(2.18)

r =

∑

i xiyi√

(∑

i x2i

) (∑

i y2i

)

(2.19)

En segundo lugar, analizaremos el caso en el que s(yi) 6= cte, regresión lineal ponderada.Para estimar los parámetros a y b, se procede de forma totalmente análoga a la anterior, si bienen este caso debe minimizarse la suma ponderada de los cuadrados de las desviaciones dada porla ecuación (2.3), con lo que se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

( ∑

i wi∑

i wixi∑

i wixi∑

wix2i

) (

ab

)

=

( ∑

i wiyi∑

i wixiyi

)

(2.20)

que va a permitir obtener los parámetros buscados. Por otra parte, las incertidumbres de queestán afectados dichos parámetros vienen dadas por las expresiones

s(a) =

√

∑

i wix2i

∆(2.21)

s(b) =

√

∑

i wi∆

(2.22)

en dónde ∆ es el determinante de los coeficientes de la ecuación matricial (2.20), es decir, el valordel determinante asociado a la primera de las matrices del primer miembro.

IMPORTANTE ver NOTA (*) al final del tema.

La desviación típica para este tipo de ajuste viene dada por la expresión

s =

√

√

√

√

n

(n − 2)∑i wi

[

∑

i

wi (yi − a − bxi)2]

(2.23)

M. Pintos

2.3 Regresión polinómica 17

y, finalmente, el coeficiente de regresión para este ajuste ponderado se calcula empleando laecuación:

r =(∑

i wi) (∑

i wixiyi) − (∑

i wixi) (∑

i wiyi)√

[

(∑

i wi)(∑

i wix2i

)

− (∑i wixi)2] [

(∑

i wi)(∑

i wiy2i

)

− (∑i wiyi)2]

(2.24)

Si se trata de una regresión lineal ponderada y sin término independiente, ecua-ción (2.15), las expresiones correspondientes son

b =

∑

i wixiyi∑

i wix2i

(2.25)

s(b) =1

√

∑

i wix2i

(2.26)

s =

√

√

√

√

n

(n − 1)∑i wi

[

∑

i

wi (yi − bxi)2]

(2.27)

r =

∑

i wixiyi√

(∑

i wix2i

) (∑

i wiy2i

)

(2.28)

2.3 Regresión polinómica

Cuando el conjunto de n puntos experimentales (xi, yi), i=1,. . . ,n, no presenta una relaciónlineal, sino que su dependencia funcional es más compleja, podría darse alguno de los supuestossiguientes:

- la función pueda transformarse matemáticamente a una expresión lineal. Por ejemplo, elcaso de y = AeBx, la cual se transforma al tomar logaritmos en ln y = ln A + Bx, queresulta ser una relación lineal de ln y frente a x, con lo que se procedería a realizar unaregresión lineal ponderada, como ya se ha visto.

- la relación entre las variables sea una una función polinómica. Este caso se analiza a con-tinuación.

- la función matemática sea de otro tipo. Este supuesto no será analizado porque excede elobjetivo de la presente guía.

Supongamos entonces que la variable dependiente, y, se ajusta a un polinomio de grado m(m+1 coeficientes, m


si se realizan todas estas derivadas y se hacen las oportunas operaciones, se obtiene expresadoen notación matricial

∑

i wi∑

i wixi · · ·∑

i wixmi

∑

i wixi∑

wix2i · · ·

∑

i wixm+1i

∑

i wix2i

∑

wix3i · · ·

∑

i wixm+2i

......

. . ....

∑

i wixmi

∑

wixm+1i · · ·

∑

i wixm+mi

a0a1a2...

am

=

∑

i wiyi∑

i wixiyi∑

i wix2i yi

...∑

i wixmi yi

(2.32)

a la matriz cuadrada (m+1) (m+1) del primer miembro se le denomina matriz de curvatura,y la notaré por [C] , lo que nos conduce a la siguiente ecuación simplificada

[C][A] = [Y ] (2.33)

Para obtener los parámetros ai basta con multiplicar ambos miembros de la ecuación anteriorpor la matriz inversa de [C], [C]−1, que se denomina matriz error por estar íntimamente ligadaa las incertidumbres de los coeficientes del polinomio:

[A] = [C]−1[Y ] (2.34)

La desviación típica del ajuste, s, se define por la expresión

s =

√

√

√

√

n

(n − m − 1)∑i wi

[

∑

i

wi(

yi − a0 − a1xi − a2x2i − · · · − amxmi)2

]

(2.35)

en dónde n-m-1= n-(m+1)=Φ (número de puntos - número de parámetros -1) representa elnúmero de grados de libertad del ajuste.

Utilizando las ecuaciones habituales para el cálculo de la transmisión de incertidumbres,puede demostrarse que las desviaciones típicas de cada uno de los parámetros del ajuste vienendadas por las expresiones

s(a0) =√

ε11...

s(am) =√

εm+1m+1

(2.36)

y sin ponderars(aj) = s

√εjj (2.37)

en dónde εjj representa el elemento de la diagonal principal correspondiente a la fila j de lamatriz error [C]−1.

Determinamos, finalmente, el coeficiente de regresión múltiple mediante la expresión

r =

√

√

√

√

∑

j

(

ajs2jys2y

)

j = 1, . . . ,m (2.38)

en dónde

sjy =

√

√

√

√

n{

∑

i

[

wi

(

xji − x̄j)

(yi − ȳ)]}

(n − 1) (∑i wi)(2.39)

sy =

√

√

√

√

n{

∑

i

[

wi (yi − ȳ)2]}

(n − 1) (∑i wi)(2.40)

M. Pintos

2.4 Aceptación o rechazo de valores discordantes 19

x̄j =

∑

i wixji

∑

i wi(2.41)

ȳ =

∑

i wiyi∑

i wi(2.42)

2.4 Aceptación o rechazo de valores discordantes

Se denomina valor discordante a aquel valor que resulta dudoso porque es muy diferente alos demás valores de la muestra o bien porque es muy diferente al valor que se esperaba.

Ya hemos visto cómo se rechazaba un valor discordante en una muestra, vamos a ver ahoracómo se rechaza un valor en una regresión.

El criterio de rechazo o de aceptación de un valor discordante se basa en el examen delas desviaciones de los valores experimentales yi respecto a los valores calculados yi,calc predichospor la función que se está ensayando. Cada valor yi se considera perteneciente a una poblacióncuyo valor medio (central) está estimado por el valor predicho por la función. El procedimientoconsiste entonces en calcular el intervalo yi,calc± t ·s(yi,calc) y comprobar si el valor yi cae dentro,se acepta, o fuera, se rechaza, del intervalo de confianza, siendo en este último caso necesariorehacer el cálculo de regresión. El valor del parámetro t mediante la distribución normal o la deStudent, según el caso, depende del número de grados de libertad del ajuste y de la probabilidadpreviamente elegida.

Consideremos ahora otra situación importante en la cual interesa una decisión con un ciertogrado de confianza. Supongamos que se determinan experimentalmente n valores de la variableindependiente x correspondientes a los valores de la variable dependiente y, y se desea decidir siestos resultados justifican la hipótesis de que ambas variable están relacionadas por la funcióny = f(x). Como índice de la bondad del ajuste se toma la expresión (2.3) ó:

χ2 =∑

i

wi [yi − f (xi)]2 (2.43)

extendida a los n pares de valores (xi, yi), y en la que aparecen los pesos estadísticos de los datosproporcionados por el experimento. La expresión anterior se llama chi-cuadrado, y por eso elcriterio de decisión que vamos a aplicar se conoce con el nombre de prueba chi-cuadrado.

Es obvio que si el ajuste de los datos a la función fuera perfecto, sería χ2 = 0. Esto no ocu-rrirá, sin embargo, en un experimento real, aunque la hipótesis y = f(x) sea correcta, porque losdatos tienen dispersiones. Para decidir sobre la hipótesis elegiremos, en primer lugar, un gradode confianza P y buscaremos en la Tabla III el valor de χ2C correspondiente a dicho grado deconfianza y al número de grados de libertad del caso concreto que consideremos, es decir, ladiferencia entre el número n de pares de datos y el número m de parámetros que intervienen enel cálculo de χ2, y que han sido determinados a partir de los datos.

Si se cumple la desigualdad

χ2 ≤ χ2C (2.44)

aceptaremos la hipótesis de que y = f(x) se ajusta bien a los datos experimentales. Si la de-sigualdad no se cumple, rechazaremos la hipótesis.

M. Pintos


(*) NOTA:

Las expresiones (2.12) y (2.13) son correctas multiplicadas por s cuando se verifica la con-dición wi = cte. y las expresiones (2.21) y (2.22) son correctas sin multiplicar por s cuandowi 6= cte, y aunque parezca que a partir de (2.21) y (2.22) no se pueden obtener (2.12) y (2.13)no es correcto. Véase explicación en páginas 72 y 117 del P.R. Bevington (1969).

M. Pintos

3

Memoria de prácticas

3.1 Introducción

El trabajo experimental es una de las actividades más estimulantes y satisfactorias entre lasque desarrollan científicos y tecnólogos. Un experimento bien diseñado y ejecutado, seguido de unanálisis correcto de los datos obtenidos, ofrece una visión de un proceso o fenómeno cualesquieraque es imposible de obtener del estudio exclusivamente teórico de los mismos.

El análisis de datos se basa en técnicas matemáticas perfectamente establecidas, si bien suaplicación práctica, y sobre todo el diseño y ejecución de los experimentos forma parte de esesaber hacer en el arte de medir, que se aprende por el contacto continuo con expertos en lamateria, pues "una cosa es medir y otra que los aparatos suministren números" (A. H. Roux ).

Todas las ciencias experimentales, entre ellas la Física, se basan en observaciones cuantitati-vas de magnitudes (observables medibles), que se obtienen al efectuar experimentos (experienciasen dónde se controlan algunas variables), a las que llamamos medidas, pues el método científicodistingue claramente entre experiencias y experimentos.

La medida de cualquier magnitud se expresa por un número, su valor, acompañado siemprede su correspondiente unidad, que da significado a dicho número. El valor de la magnitud queresulta de un proceso de medida adolece siempre de cierta imprecisión. Por este motivo, cualquiermedida debe incluir además de su valor y unidad otro número, que denominaremos error, queindica la imprecisión con la que se ha efectuado dicha medida.

Los errores de las medidas son desconocidos, pero pueden estimarse. El conjunto de principiosy métodos que se utilizan en el tratamiento de datos experimentales forma un cuerpo de doctrinaque se denomina Teoría de errores, cuyo conocimiento es muy importante, pues la aplicaciónsistemática de las reglas a las que conduce dicha teoría, permite que los errores estimados pordistintos experimentadores sean comparables y, en consecuencia, que las medidas realizadas porunos científicos sean aprovechables por otros científicos. La teoría de errores se explica de formamuy sucinta en otro apartado de esta guía.

Los avances científicos y técnicos se basan esencialmente en la información que un experi-mento (o series de experimentos) bien diseñado y ejecutado pueda proporcionar, confirmando orechazando una hipótesis , una idea o una teoría conocida, o revelando nuevos efectos que re-quieren que las explicaciones conocidas hasta entonces deban ser modificadas, es decir, descubriralgo interesante e inesperado.

Todo experimento científico debe partir de un objetivo a alcanzar y una planificación decómo llevarlo a cabo. Para ello debe decidirse qué magnitudes deben medirse, qué equipamientoes necesario para su realización y qué variables deben controlarse, para a continuación organizarsu puesta en práctica, comenzando entonces la fase de recogida de datos en la que debe ponerseel máximo cuidado y prestar la máxima vigilancia. En esta última fase se hace imprescindible el

21

22 Memoria de prácticas

cuaderno de laboratorio, que debe ser un registro fiel y cuidadoso de todos los aspectos intere-santes del experimento.

3.2 Cuaderno de laboratorio

Todo lo que ocurre durante la realización de un experimento debe ser registrado de algu-na forma con el fin de tener constancia de todo lo sucedido, siendo el cuaderno de laboratoriola forma más directa de hacerlo. En él se debe tomar nota de todo lo realizado, hasta el másmínimo detalle o la más mínima incidencia que haya tenido lugar durante la realización de lapráctica. Cuanto más complejo sea el experimento, más detallado ha de exponerse todo el proceso.

En el cuaderno de laboratorio deben anotarse:

• La fecha y la hora de ejecución, para poder relacionar entre sí las distintas partes realizadas.

• El título, indicando claramente a que experimento corresponde todo lo que sigue y cualesson los objetivos a alcanzar.

• El material de que se dispone, realizando una descripción un poco más detallada de aquellosaparatos que se estime oportuno junto con un esquema o un dibujo de los mismos.

• La explicación del método experimental empleado, de forma suficientemente clara, pueshay cosas que se pueden olvidar y pueden ser de gran importancia a la hora de analizar elexperimento.

• Las medidas que se han ido tomando, normalmente presentadas en forma de tablas, in-cluyendo claramente a que corresponde cada fila o columna, las unidades en que se estámidiendo y el error de escala.

• Un borrador de la representación gráfica de los resultados, antes de hacer ningún cálculo,indicando que se representa en cada eje y en que unidades.

• Los cálculos realizados para la obtención de la magnitud objetivo final del experimento.

3.3 Memoria de prácticas

Una vez concluido el trabajo de laboratorio, los resultados obtenidos, el fundamento teórico,cómo se ha realizado la parte experimental, así como una discusión e interpretación de dichos re-sultados, deben ser presentados en una memoria de prácticas , de forma individualizada por cadaalumno, en soporte papel y en el plazo que se indique al comienzo del curso.

Toda memoria o informe de prácticas debe tener los siguientes apartados:

• Título.

• Resumen, en el que se recogerán los objetivos y la técnica empleada, sin dar detalles quese puedan encontrar en las siguientes secciones.

• Una breve introducción teórica, es decir, el fundamento del experimento, sin excesivosdetalles, ni demasiado escueto que confunda.

• Una breve descripción del dispositivo experimental, materiales y método empleado, propor-cionando todos los detalles que se crea oportuno dar acerca del dispositivo y, si se estimanecesario, un esquema del mismo.

M. Pintos

3.3 Memoria de prácticas 23

• La presentación de resultados, en forma de tablas y gráficos, el tratamiento de datos y lasmagnitudes obtenidas junto con sus incertidumbres.

• Discusión y conclusiones, en dónde debe figurar la interpretación de los resultados quese han expuesto hasta este punto. Deben discutirse aquí, las bondades y los defectos delmétodo experimental empleado, si se ha logrado obtener el valor de la magnitud buscaday con que fiabilidad. Por ejemplo, si se ha llegado a una cantidad que está determina-da con suficiente exactitud en libros de datos, debe referenciarse esa fuente y, junto conlas incertidumbres obtenidas defender, si es posible, los resultados obtenidos o el métodoempleado.

• Bibliografía utilizada, indicando si fuese necesario en el texto, cerca del punto donde sequiere hacer la referencia, con un número en superíndice. A continuación, la forma típicaen que se presenta esta bibliografía de be incluir: autor, título del libro, editorial y año depublicación y, si fuese necesario número de la página.

En lo relativo a la presentación de las gráficas deben tenerse en cuenta algunos consejos:

• Toda gráfica debe tener un título, pie de figura, en dónde se indique a que corresponde yque se representa en ella.

• En los ejes deben indicarse claramente las magnitudes físicas que se representan y con suscorrespondientes unidades.

• La escala elegida en cada eje debe permitir transformar las divisiones de la figura en lamagnitud representada de una forma fácil, por ejemplo, operando con un número enterocomo 2, 5, 10, · · ·

• El origen de los ejes se debe elegir en función de los valores a representar y no siempre hade ser el (0, 0), pues en ocasiones este valor está muy alejado de los valores que se van arepresentar.

• En los ejes, se elegirán los intervalos desde un valor ligeramente inferior al del dato menorhasta un valor ligeramente superior al del dato mayor. No hay que indicar los valoresconcretos de cada dato sobre los ejes.

• Los valores experimentales deben estar representados por un punto, un aspa o cualquier otrosímbolo puntual, junto con sus barras de error, que nos indican los límites entre los cualescabe esperar que se encuentre el valor de la magnitud con una probabilidad determinada(intervalo de confianza), siempre que éstas sean mayores que el punto que representa eldato.

• Si los datos experimentales siguen una relación determinada, se dibujará la curva (rec-ta, parábola, exponencial,· · · ) obtenida del ajuste de dichos datos, junto con los puntosexperimentales.

Lo que siempre se debe tener presente a la hora de elaborar una memoria, es que ésta va aser un recordatorio de lo realizado, al que se pueda acudir a la hora de intentar volver a repetirla experiencia o de emplear los resultados es decir, debe contener toda la información necesariapara poder comprobar el proceso de medición). Por ello, hay que esforzarse en la redacción, enla presentación y en lo que se incluye en la memoria.

M. Pintos

24 Memoria de prácticas

3.4 Sistema de unidades

La descripción detallada del Sistema Internacional de Unidades SI declarado legal en Españadesde 1987 puede encontrarse en:http://www.cem.es/cem/es_ES/ metrologia/sistemaunidades_basicas.jsp?op=sistemaunidades_ basicas

En este sistema de unidades deberán expresarse todas las medidas realizadas.

M. Pintos

4

Tablas

Tabla IProbabilidad para distintos valores de z = |x − µ|/σ

(Distribución de Gauss)

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0 0,00798 0,01596 0,02393 0,03191 0,03988 0,04784 0,05581 0,06376 0,0717l0,1 0,07966 0,08759 0,09552 0,10343 0,11134 0,11924 0,12712 0,13499 0,14285 0,150690,2 0,15852 0,16633 0,17413 0,18191 0,18967 0,19741 0,20514 0,21284 0,22052 0,228180,3 0,23582 0,24344 0,25103 0,25860 0,26614 0,27366 0,28115 0,28862 0,29605 0,303460,4 0,31084 0,31819 0,32551 0,33280 0,34006 0,34729 0,35448 0,36164 0,36877 0,375870,5 0,38292 0,38995 0,39694 0,40389 0,41080 0,41768 0,42452 0,43132 0,43809 0,444810,6 0,45149 0,45814 0,46474 0,47131 0,47783 0,48431 0,49075 0,49714 0,50350 0,509810,7 0,51607 0,52230 0,52847 0,53461 0,54070 0,54674 0,55274 0,55870 0,56461 0,570470,8 0,57629 0,58206 0,58778 0,59346 0,59909 0,60467 0,61021 0,61570 0,62114 0,626530,9 0,63188 0,63718 0,64243 0,64763 0,65278 0,65789 0,66294 0,66795 0,67291 0,677831,0 0,68269 0,68750 0,69227 0,69699 0,70166 0,70628 0,71085 0,71538 0,71985 0,724281,1 0,72866 0,73300 0,73728 0,74152 0,74571 0,74985 0,75395 0,75799 0,76199 0,765951,2 0,76985 0,77371 0,77753 0,78130 0,78502 0,78869 0,79232 0,79591 0,79945 0,802941,3 0,80639 0,80980 0,81316 0,81647 0,81975 0,82298 0,82616 0,82930 0,83240 0,835461,4 0,83848 0,84145 0,84438 0,84727 0,85012 0,85293 0,85570 0,85843 0,86112 0,863771,5 0,86638 0,86895 0,87148 0,87397 0,87643 0,87885 0,88123 0,88358 0,88588 0,888161,6 0,89039 0,89259 0,89476 0,89689 0,89898 0,90105 0,90308 0,90507 0,90703 0,908961,7 0,91086 0,91272 0,91456 0,91636 0,91813 0,91987 0,92158 0,92326 0,92491 0,926541,8 0,92813 0,92969 0,93123 0,93274 0,93422 0,93568 0,93711 0,93851 0,93988 0,941231,9 0,94256 0,94386 0,94513 0,94638 0,94761 0,94882 0,95000 0,95115 0,95229 0,953402,0 0,95449 0,95556 0,95661 0,95764 0,95864 0,95963 0,96059 0,96154 0,96247 0,963382,1 0,96426 0,96513 0,96599 0,96682 0,96764 0,96844 0,96922 0,96999 0,97074 0,971472,2 0,97219 0,97289 0,97358 0,97425 0,97490 0,97555 0,97617 0,97679 0,97739 0,977972,3 0,97855 0,97911 0,97965 0,98019 0,98071 0,98122 0,98l72 0,98221 0,98268 0,983152,4 0,98360 0,98404 0,98448 0,98490 0,98531 0,98571 0,98610 0,98648 0,98686 0,987222,5 0,98758 0,98792 0,98826 0,98859 0,98891 0,98922 0,98953 0,98983 0,99012 0,990402,6 0,99067 0,99094 0,99120 0,99146 0,9917l 0,99195 0,99218 0,99241 0,99264 0,992852,7 0,99306 0,99327 0,99347 0,99366 0,99385 0,99404 0,99422 0,99439 0,99456 0,994732,8 0,99489 0,99504 0,99520 0,99534 0,99549 0,99563 0,99576 0,99589 0,99602 0,996152,9 0,99627 0,99638 0,99650 0,99661 0,99672 0,99682 0,99692 0,99702 0,99712 0,99721

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

3,0 0,9973002 0,9980648 0,9986257 0,99903315 0,999326143,5 0,99953474 0,99968178 0,99978440 0,99985530 0,9999038054,0 0,999936656 0,999958684 0,999973308 0,999982920 0,9999891744,5 0,9999932043 0,9999957748 0,9999973982 0,9999984132 0,999999041495,0 0,99999942657 0,99999966024 0,99999980061 0,99999988410 0,999999933275,5 0,99999996193 0,99999997847 0,99999998793 0,99999999328 0,99999999627

25

26 Tablas

Tabla IIValores de t para cada nivel de significación y para φ grados de libertad

(Distribución de Student)

φp

0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

1 1,00000 2,4142 6,3138 12,706 25,452 63,657 127,322 0,81650 1,6036 2,9200 4,3027 1,2053 9,9248 14,0893 0,76489 1,4226 2,3534 3,1825 4,1765 5,8409 7,45334 0,74070 1,3444 2,1318 2,7764 3,4954 4,6041 5,59765 0,72669 1,3009 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4,77336 0,71756 1,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4,31687 0,71114 1,2543 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 4,02938 0,70639 1,2403 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3,83259 0,70272 1,2297 1,8331 2,2622 2,6850 3,2498 3,689710 0,69981 1,2213 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 3,581411 0,69745 1,2145 1,7959 2,2010 2,5931 3,1058 3,496612 0,69548 1,2089 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3,428413 0,69384 1,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3,372514 0,69242 1,2001 1,7613 2,1448 2,5096 2,9768 3,325715 0,69120 1,1967 1,7530 2,1315 2,4899 2,9467 3,286016 0,69013 1,1937 1,7459 2,1159 2,4729 2,9208 3,252017 0,68919 1,1910 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 3,222518 0,68837 1,1887 1,7341 2,1009 2,4450 2,8784 3,196619 0,68763 1,1866 1,7291 2,0930 2,4334 2,8609 3,173720 0,68696 1,1848 1,7247 2,0860 2,4231 2,8153 3,153421 0,68635 1,1831 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 3,135222 0,68580 1,1816 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 3,118823 0,68531 1,1802 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 3,104024 0,68485 1,1789 1,7109 2,0639 2,3910 2,7969 3,090525 0,68443 1,1777 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 3,078226 0,68405 1,1766 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 3,066927 0,68370 1,1757 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 3,056528 0,68335 1,1748 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 3,046929 0,68304 1,1739 1,6991 2,0452 2,3638 2,7561 3,038030 0,68276 1,1731 1,6973 2,0423 2,3596 2,7500 3,029840 0,68066 1,1673 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 2,971260 0,67862 1,1616 1,6707 2,0003 2,2991 2,6603 2,9146120 0,67656 1,1559 1,6577 1,9799 2,2699 2,6174 2,8599∞ 0,67449 1,1503 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070

Grado de confianza: es la probabilidad calculada teóricamente de que haya sucedido lo que resultó si lahipótesis era cierta. Se expresa en %.

Nivel de significación: es la probabilidad de que siendo la hipótesis cierta hubiera sido el resultado distintodel que se encontró. Es un número menor que la unidad.

Un grado de confianza del 95% (probabilidad del 0,95) es lo mismo que un nivel de significación de 0,05.

M. Pintos

Tablas 27

Tabla IIIValores de χ2c para cada nivel de significación y para φ grados de libertad

(Distribución χ2)

φp

0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,00051 0,708 1,07 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,8 12,1

2 1,83 2,41 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,8 15,2

3 2,95 3,67 4,64 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,3 17,7

4 4,04 4,88 5,99 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,5 20,0

5 5,13 6,06 7,29 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,5 22,1

6 6,21 7,23 8,56 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,5 24,1

7 7,28 8,38 9,80 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,3 26,0

8 8,35 9,52 11,0 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,1 27,9

9 9,41 10,7 12,2 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,9 29,7

10 10,5 11,8 13,4 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,6 31,4

11 11,5 12,9 14,6 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,3 33,1

12 12,6 14,0 15,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,9 34,8

13 13,6 15,1 17,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,5 36,5

14 14,7 16,2 18,2 21,1 23,7 26,1 21,1 31,3 36,1 38,1

15 15,7 17,3 19,3 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,7 39,7

16 16,8 18,4 20,5 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,3 41,3

17 17,8 19,5 21,6 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 40,8 42,9

18 18,9 20,6 22,8 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,3 44,4

19 19,9 21,7 23,9 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 43,8 46,0

20 21,0 22,8 25,0 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,3 47,5

21 22,0 23,9 26,2 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 46,8 49,0

22 23,0 24,9 27,3 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,3 50,5

23 24,1 26,0 28,4 32,0 35,2 38,1 41,6 44,2 49,7 52,0

24 25,1 27,1 29,6 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,2 53,5

25 26,1 28,2 30,7 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 52,6 54,9

26 27,2 29,2 31,8 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,1 56,4

27 28,2 30,3 32,9 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 55,5 57,9

28 29,2 31,4 34,0 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,9 59,3

29 30,3 32,5 35,1 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 58,3 60,0

30 31,3 33,5 36,3 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7 62,2

31 32,3 34,6 37,4 41,4 45,0 48,2 52,2 55,0 61,1 63,6

32 33,4 35,7 38,5 42,6 46,2 49,5 53,5 58,3 62,5 65,0

33 34,4 36,7 39,6 43,7 47,4 50,7 54,8 57,6 63,9 66,4

34 35,4 37,8 40,7 44,9 48,6 52,0 56,1 59,0 65,2 67,8

35 36,5 38,9 41,8 46,1 49,8 53,2 57,3 60,3 66,6 69,2

36 37,5 39,9 42,9 47,2 51,0 54,4 58,6 61,6 68,0 70,6

37 38,5 41,0 44,0 48,4 52,2 55,7 59,9 62,9 69,3 72,0

38 39,6 42,0 45,1 49,5 53,4 56,9 61,2 64,2 70,7 73,4

39 40,6 43,1 46,2 50,7 54,6 58,1 62,4 65,5 72,1 74,7

40 41,6 44,2 46,3 51,8 55,8 59,3 63,7 66,8 73,4 76,1

41 42,7 45,2 48,4 52,9 56,9 60,6 65,0 68,1 74,7 77,5

42 43,7 46,3 49,5 54,1 58,1 61,8 66,2 69,3 76,1 78,8

43 44,7 47,3 50,5 55,2 59,3 63,0 67,5 70,6 77,4 80,2

44 45,7 48,4 51,6 56,4 60,5 64,2 68,7 71,9 78,7 81,5

45 46,8 49,5 52,7 57,5 61,7 65,4 70,0 73,2 80,1 82,9

46 47,8 50,5 53,8 58,6 62,8 66,6 71,2 74,4 81,4 84,2

47 48,8 51,6 54,9 59,8 64,0 67,8 72,4 75,7 82,7 85,6

48 49,8 52,6 56,0 60,9 65,2 69,0 13,7 77,0 84,0 86,9

49 50,9 53,1 51,1 62,0 66,3 70,2 14,9 78,2 85,4 88,2

50 51,9 54,7 58,2 63,2 67,5 71,4 76,2 79,5 86,7 79,5

M. Pintos

5

Práctica 1: Circuitos de corriente continua

Objetivos

• Aprender el manejo del polímetro (o multímetro) para las diversas funciones en que puedeser empleado.

• Familiarizarse con la visualización de diversos tipos de circuitos de resistores (serie, paraleloy mixto) alimentados por una fuente de continua (CC ó DC).

• Verificar las leyes de Ohm y de Kirchhoff.

Material

• Panel D300-1-1 DC, circuito #3.

• Polímetro.

• Diversos cables.

• Puentes de conexión.

Procedimiento experimental

Se determinará en primer lugar, por medida directa, la resistencia de cada uno de los resistoresdel circuito #3, figura 5.1. Para ello se conectan sendos cables desde los extremos del resistor en

estudio a los conectores del multímetro, uno en COM y otro en V/Ω . Seleccione, mediante el

selector de función y de rango/escala, la función Ω y el rango de medida adecuado y tome notadel valor que aparece en la pantalla del polímetro. Cuando determine la resistencia de un resistoro de una parte de un circuito, asegúrese de que esté desconectado de la fuente de alimentación.Preste especial atención a la resolución del aparato en el rango seleccionado. Repita las medidaspara todos los resistores objeto de estudio y anote en una tabla los valores obtenidos junto consu correspondiente incertidumbre.

A continuación, construya un circuito serie con al menos tres de las resistencias del panel,cuyos valores se han determinado con anterioridad. Para realizarlo, seleccione los resistores quedesee emplear y mediante puentes de conexión y/o cables cierre el circuito desde uno de los termi-nales de la fuente de alimentación al extremo del primero de los resistores, desde el otro extremode este resistor al extremo del siguiente y así sucesivamente, para finalizar conectando el extremodel último resistor al otro terminal de la fuente de alimentación, debiendo verificar que el caminoque pueda seguir la corriente sea único. Realice un esquema del circuito en cuestión. Determineprocediendo de igual manera que en el caso de un único resistor y sin que circule corriente por elcircuito, la resistencia total de la asociación de resistencias y compruebe que se verifica la relación

R =

n∑

i=1

Ri n=no de resistores (5.1)

29

30 Circuitos de corriente continua

10 Amax mA COM V/W

200

W

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 5.1: Conexión para la medida de una resistencia

Seleccione ahora en la fuente de alimentación el potencial deseado y determine su valor, fi-gura 5.2. Para ello sitúe el selector del polímetro en la función voltímetro en corriente continua(V/DC ó DCV) y conecte este aparato en paralelo a los extremos de la fuente de alimenta-

ción (¡atención! no se despiste), con un borne al conector COM y el otro borne al conector V/Ω .

10 Amax mA COM V/W

200

W

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 5.2: Conexión para la medida de la tensión de la fuente

Accione el interruptor de la base del panel de manera que circule corriente y establecido elrégimen estacionario, seleccione el rango de medida apropiada al caso; tome nota del valor obte-nido, de la escala en que realiza la medida y de la incertidumbre de dicha medida en esta escala.Corte, accionando el interruptor, el suministro de corriente al circuito.

M. Pintos

Circuitos de corriente continua 31

Para determinar la intensidad de corriente que circula por el circuito, figura 5.3, se emplearáahora el polímetro como amperímetro en corriente continua, seleccionando esta función (A/DCó DCA) y conectándolo en serie con el circuito (en cualquier tramo del mismo), un borne al

conector COM y el otro borne al conector mA . Igual que antes haga circular la corrienteaccionando el interruptor de la fuente de alimentación en la base del panel, seleccione la escalaapropiada y realice la medida.

10 Amax mA COM V/W

200

W

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 5.3: Conexión para la medida de la intensidad

Obtenga a partir de las medidas experimentales de V e I, la resistencia total del circuitoempleando la ley de Ohm

V = I R (5.2)

Compare este valor con el valor obtenido como suma de las resistencias de cada uno de losresistores que componen el circuito, ecuación (5.1), y que fueron determinadas inicialmente pormedida directa. Compruebe también que el potencial de la fuente es igual a la suma de las caídasde potencial entre los extremos de las resistencias, para lo cual deberá conectar el voltímetro enparalelo a los extremos de cada una de las resistencias, seleccionar la escala adecuada y tomarla lectura, junto con su incertidumbre.

Repita el proceso con otro circuito serie compuesto por otro conjunto de resistencias, a suelección. Igualmente dibuje un esquema del circuito realizado.

A continuación se analizará un circuito en paralelo, para lo cual se dispondrán dos de lasresistencias del circuito en paralelo entre sí, conectando el extremo de una con el extremo de laotra y a un terminal de la fuente de alimentación y los otros dos extremos de ambas tambiénentre sí y conectadas al otro terminal de la fuente de alimentación. Dibuje un esquema delcircuito realizado. Determine el potencial seleccionado en la fuente de alimentación (conexióndel voltímetro en paralelo con la fuente) y la diferencia de potencial entre los extremos de cadaresistencia (conexión del voltímetro en paralelo con las resistencias), así como las intensidadesde corriente que circulan por cada una de las ramas (conexión del amperímetro en serie en cadauna de las ramas) y por el circuito (conexión del amperímetro en serie entre el conjunto de las

M. Pintos

32 Circuitos de corriente continua

resistencias y la fuente de alimentación). Calcule teóricamente la resistencia total del circuito

1

R=

n∑

i=1

1

Ri(5.3)

y, empleando la ley de Ohm, ecuación (5.2), contraste este valor con el valor obtenido a travésde las medidas realizadas con el multímetro (no se olvide de las incertidumbres). Compruebeigualmente que la intensidad de corriente total que circula por el circuito es igual a la sumade las intensidades de corriente en las dos ramas de la conexión en paralelo, primera ley deKirchhoff

I =n∑

i=1

Ii n=no de ramas (5.4)

Repita todo el proceso montando otro circuito en paralelo con otras resistencias diferentes alas empleadas anteriormente.

Finalmente, construya un circuito mixto empleando todas las resistencias del panel. Com-pruebe la intensidad total como suma de las partes que se estimen oportunas y el potencial dela fuente como suma igualmente de las diferencias de potencial de las partes oportunamenteescogidas.

�

�

¡Atención! No se olvide en cada caso de hacer un esquema de los circuitos realizados enla práctica, ni de anotar la incertidumbre para cada medida realizada con el polímetro.

M. Pintos

6

Práctica 2: Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor

Objetivos

• Aprender el manejo del polímetro (o multímetro) para las diversas funciones en que puedeser empleado.

• Familiarizarse con la visualización de diversos tipos de circuitos de resistores (serie, paraleloy mixto) alimentados por una fuente de continua (CC ó DC).

• Verificar las leyes de Ohm y de Kirchhoff.

• Obtener la dependencia entre la longitud de un conductor y su resistencia eléctrica.

Material

• Placa base.

• Fuente de alimentación de corriente con-tinua (DC ó CC).

• Resistores montados en cajas de metacri-lato.

• Placa rectangular de plástico con conec-tores.

• Puentes de conexión.

• Polímetro.

• Diversos cables.

Procedimiento experimental

Se determinará en primer lugar, por medida directa, la resistencia de cada uno de los resistoresde que se dispone para montar los diversos circuitos, figura 6.1.

Para ello se colocan en la placa base las cajas de metacrilato que contienen a los resistores y seconectan sendos cables desde los extremos del resistor en estudio a los conectores del multímetro,

uno en COM y otro en V/Ω . Seleccione, mediante el selector de función y de rango/escala,

la función Ω y el rango de medida adecuado y tome nota del valor que aparece en la pantalladel polímetro. Cuando determine la resistencia de un resistor o de una parte de un circuito,asegúrese de que esté desconectado de la fuente de alimentación. Preste especial atención a la re-solución del aparato en la escala seleccionada. Repita las medidas para todos los resistores objetode estudio y anote en una tabla los valores obtenidos junto con su correspondiente incertidumbre.

A continuación, construya un circuito serie con al menos tres de los resistores de que se dis-pone, cuyos valores se han determinado con anterioridad. Para realizarlo, seleccione los resistoresque desee emplear y mediante puentes de conexión y/o cables cierre el circuito desde uno de losterminales de la fuente de alimentación al extremo del primero de los resistores, desde el otroextremo de este resistor al extremo del siguiente y así sucesivamente, para finalizar conectando el

33

34 Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor

10 Amax mA COM V/W

200

W

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V

2002070010

AA

10

200m

20m

2m

OFF

ON

Figura 6.1: Conexión para la medida de una resistencia

extremo del último resistor al otro terminal de la fuente de alimentación, debiendo verificar queel camino que pueda seguir la corriente sea único. Realice un esquema del circuito en cuestión.Determine, procediendo de igual manera que en el caso de un único resistor y con el circuitoabierto, la resistencia total de la asociación de resistencias y compruebe que se verifica la relación

R =n∑

i=1

Ri n=no de resistores (6.1)

Seleccione ahora en la fuente de alimentación el potencial deseado y determine su valor,figura 6.2. Para ello sitúe el selector del polímetro en la función voltímetro en corriente continua(V/DC ó DCV) y conecte este aparato en paralelo a los extremos de la fuente de alimentación

(¡atención! no se despiste), con un borne al conector COM y el otro borne al conector V/Ω .

Accione el interruptor de la fuente de alimentación de manera que circule corriente y establecidoel régimen estacionario, seleccione la escala de medida apropiada al caso; tome nota del valorobtenido, de la escala en que realiza la medida y de la resolución del aparato en esta escala.Corte, accionando el interruptor, el suministro de corriente al circuito.

Para determinar la intensidad de corriente que circula por el circuito, figura 6.3, se emplearáahora el polímetro como amperímetro en corriente continua, seleccionando esta función (A/DCó DCA) y conectándolo en serie con el circuito (en cualquier tramo del mismo), un borne al

conector COM y el otro borne al conector mA . Igual que antes haga circula

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