Laboratorio ecuaciones diferenciales

8/18/2019 Laboratorio ecuaciones diferenciales

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Departamento de Ciencias BásicasCoordinación Curricular

ÁREA ASIGNATURA CÓDIGOMATEMATICA ECUACIONES DIFERENCIALES CB01017DOCENTES: María Isabel González, Jorge Mario Suarez, Rubén DaríoCastañeda B.

FORMATO GUÍA DE LABORATORIO 1

SEMESTRE ÁREA ASIGNATURA CÓDIGO

2016-I - SEMESTRE Matemáticas Ecuaciones Diferenciales CB01017

PRÁCTICA Nº UNIDAD TEMÁTICA NOMBRE DE LA

PRÁCTICA

DURACIÓN

1PRIMERCORTE

Ecuaciones Diferencialesde primer orden

TrayectoriasOrtogonales

100minutos

Propósito:

Utilizar las herramientas de la tecnología de la información y comunicación(TIC) que pueden usarse para mejorar el aprendizaje de conceptosmatemáticos la asignatura de ECUACIONES DIFERENCIALES vistos en lassesiones anteriores de clase dentro del proceso de enseñanza- aprendizaje.

Reconocer las teorías y estrategias que se aplican en los procesos deaprendizaje en los que intervienen las TIC mediante el análisis de susconceptos y aplicaciones y que son de gran utilidad para visualizar ycomprender algunos ejercicios o situaciones problémica que requieren del uso

de la tecnología para su solución.Introducción:

En algunos problemas de tipo geométrico o físico se requyiere conocer comoson las curvas que se intersecan ortogonalmente, en cada punto, con lascurvas de una familia dada por una ecuación de tipo:

( , , ) 0 f x y c , donde C representa una constante arbitraria (ver figura)


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ÁREA ASIGNATURA CÓDIGO

Tomado: ww2.educarchile.cl

Objetivos: OBJETIVO GENERAL:Aplicar los conocimientos teóricos aprendidos dentro del proceso deenseñanza-aprendizaje en el tema de las ecuaciones diferenciales de primerorden, a través de problemas que involucren LAS TRAYECTORIASORTOGONALES.

1. Dada una familia de curvas encontrar otra familia de curvas ortogonales ala curva dada a través de un proceso lógico y analítico.

2. Hacer uso de las TIC para trazar en el plano la trayectoria de cada curva.3. Presentar un informe sobre el laboratorio propuesto a los estudiantes.

REFERENTE TEÓRICODefinición: Una familia de curvas se representa de la forma:

1( , , ) 0 f x y c ,

por tanto una familia de curvar ortogonal a la familia de curvas dada, se puedeobtener a través de: 1

( , )

dy

dx f x y

, la demostración es muy lógica a través del

concepto de ortogonalidad de dos rectas en el


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planoTomado: ww2.educarchile.cl

Supónganos un punto ( , ) x y ver gráfica. Entonces trazamos las rectasortogonales tangentes a ese punto, la pendiente de la recta tangente en ese

punto corresponde a la derivada en ese punto, es decir: ( , )dy f x ydx

, por tanto

si queremos encontrar la trayectoria ortogonal en ese punto, encontraremos lapendiente de la recta ortogonal en ese punto que es: 1

( , )

dy

dx f x y El

estudiante puede sugerir al profesor, la justificación de este punto.

Método de solución:

1. Exprese la trayectoria dada como la pendiente de la recta tangente enun punto ( , ) x y . Tenga en cuenta que es necesario despejar la constante

1c .

2. Escriba la ecuación de la recta ortogonal a la curva dada.3. Encuentre la solución general o particular si es el caso.4. Dibuje las dos trayectorias en el plano cartesiano.

EJEMPLO

Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia:c

y x a. Siguiendo el algoritmo, debemos despejar la constante c. entonces:

lnln lnln

c y y x c x

b. Derivamos implícitamente la trayectoria dada: 1 1c cdy dycx cx xdx dx

,

remplazando en esta derivada, la constante y la función, logramos:ln

ln

dy y y

dx x x corresponde a la pendiente de la recta tangente en cualquier


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ÁREA ASIGNATURA CÓDIGOpunto de la curva dada.

c. Por tanto la pendiente de la recta tangente a una trayectoria ortogonal

es:

ln

ln

dy x x

dx y y y es una ecuación diferencial de primer orden devariable separable, cuyo solución es: 2 2 2 21

22ln ln ( ) y y x x x y c

d. La gráfica de las dos trayectorias se muestra en la gráfica:

Para realizar las graficas se emplea entre otros software, el Derive. Siga lasinstrucciones para realizar los ejercicios planteados.

Usando el comando VECTOR al cual se puede acceder desde la ventana deAlgebra dando clic en CALCULAR, podemos graficar en el plano xy la familia

de curvas. Las curvas que se obtienen de cada familia de funciones son de laforma f ( x,y )=k .Un camino para representar estas curvas sería ir dando valores a k y para cadauno de ellos representar la ecuación f ( x,y )=k . Utilizando la función VECTORpodemos agrupar en una misma expresión las curvas de que nosotrosqueramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5.

EditandoEjemplo:

Considere la familia de parábolas2

kx y Digitamos la función en la ventana de algebra en el derive


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Se digita2

kx y , luego se da Enter para que la función quede capturada

Luego utilizamos la instrucción del comando VECTOR, y para el parámetro k ,desde -10 hasta 10. (O los valores que el usuario prefiera)

Se obtiene ⎡ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2⎤ ⎣ - 10·x , - 9·x , - 8·x , - 7·x , - 6·x , - 5·x , - 4·x , - 3·x , - 2·x , - x , 0, x , 2·x ,3·x , 4·x , 5·x , 6·x , 7·x , 8·x , 9·x , 10·x ⎦

Ahora utilizamos el icono de graficar (plot ) y se logra la familia de curvas


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Las trayectorias ortogonales a la familia de curvas inicial está dada por la

ecuaciónk x y

22

2

1

Repetimos el proceso anterior y se obtiene

Se trabajan ahora las 2 familias en una sola pantalla y se obtiene:


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ACTIVIDADES PROPUESTASLectura.

1. Hacer una lectura sobre el artículo “LA MATEMÁTICA EN INGENIERÍA”

del profesor Rafael Iriarte Balderrama, de la universidad de México, UNAN,

Escrito para los que estudian Ingeniería.

1.1.

Hacer una reseña o comentario por cada grupo sobre lo que

Llamó la Atención sobre el contenido.

Ejercicios procedimentales.

Para cada uno de los siguientes ejercicios, realice el proceso para encontrarLas trayectorias ortogonales a la familia dada. Es importante tener claro queEL PROCESO ALGORÍTMICO, debe hacerse con lápiz y papel y las gráficasen cualquiera de los graficadores que se presentan o que se encuentran como

Apoyo tecnológico en Matemáticas.

2. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia: 21

0 x c y

3. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia: )(tan c x Ln y

4. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia: 2 21

y x c


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5. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia:2

1

1 x

c y

6. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia: x y ce

7. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia:1

ln( ) y

cx

8. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia: cos xe y c

Ejercicios tomados de Zill, Dennis. Ecuaciones Diferenciales. Editorial CenLearning. Novena edición.

PRESENTACIÓN INFORME

1. El trabajo se debe presentar en grupo de tres estudiantes máximo ydebe ser elaborado con el aporte de la TIC.

2. Debe existir el proceso analítico de la trayectoria ortogonal que seencontró para la curva dada por escrito con papel y lápiz.

3. Presentar dos conclusiones del trabajo que se elaboró.4. Cumplir con las normas de presentación de trabajo.5. No olvide tener en cuenta la referencia bibliográfica, de donde se

extrajo el trabajo.

Referencias Bibliográficas

ZILL ennis, “Ecuaciones Diferenciales “. Grupo editorial Iberoamérica. España. 1992. SIMMONS George. “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo editorial Iberoamérica. España. 1992.

APOYO DE LA TECNOLOGÍA

El Estudiante puede ingresar a las siguientes páginas como apoyo o puede realizar el trabajo con u

otro programa.

Guía de inicio rápido de Geogebra:

http://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_es.pdf http://geogebra.es/cvg/index.html

Proyecto Gauss:

http://recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htm

Derive, Matlab o la calculadora graficadora virtual de Microsof .
http://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_es.pdfhttp://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_es.pdfhttp://geogebra.es/cvg/index.htmlhttp://geogebra.es/cvg/index.htmlhttp://recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htmhttp://recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htmhttp://recursostic.educacion.es/gauss/web/indice.htmhttp://geogebra.es/cvg/index.htmlhttp://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_es.pdf

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