DHEYBI GROVER CERVAN PRADO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

FISICA II

SECCION C

PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINERPROLOGO

El presente Informe de laboratorio, que tiene por titulo Pndulo Fsico y teorema de Steiner, en la seccin a la cual pertenece el grupo de trabajo estuvo a cargo del Ing. Jose Pachas, profesor del curso de Fsica II, de la Facultad de Ingeniera Mecnica.

El tema nos es til para entender los diferentes mtodos que existen para hallar el momento inercia de un cuerpo, sobre todo si tiene una geometra desconocida.

Tambin es una nueva oportunidad que tenemos los alumnos pertenecientes al grupo, para poder dar un aporte que sea til a nuestros compaeros, con los cuales intercambiaremos informacin sobre el tema desarrollado, resultados, y as sacar conclusiones, con las cuales sacar recomendaciones para mejorar el experimento realizado.

Por ultimo esperamos que el presente informe sea de su agrado.

INDICE

Prologo

i

Indice

ii

Objetivos

1

Fundamento Teorico

1

Materiales

3

Clculos y resultados

4

Observaciones

10

Conclusiones

10

Recomendaciones

10

Bibliografa

11

Apndice

12

OBJETIVOS

Comprobar experimentalmente las leyes del pndulo fsico constituido por una barra metlica, midiendo el perodo de oscilacin del mismo, para varias posiciones del centro de oscilacin. Hallar la variacin del T(periodo), respecto a la longitud entre el C.G, y el eje en que oscila.

Determinar el tipo de movimiento respecto al ngulo de giro de la barra metlica

Saber el procedimiento del calculo de momento de inercia para cuerpos con geometra desconocida.

FUNDAMENTO TEORICO

PENDULO FISICO

Se llama pndulo fsico a aquel cuerpo rgido capaz de pivotar a travs de un eje horizontal fijo, como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posicin de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como lnea de accin el eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rgido y con direccin contraria al desplazamiento angular , y de esta forma llevar al cuerpo rgido a su posicin de equilibrio, posicin que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rgido, llevando la as a una nueva posicin, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitindose este movimiento oscilatorio.

En el pndulo simple se cumple las siguientes relaciones (desmostradas en el punto 8 de calculos y resultados):

Donde:

T: periodo

Io:momento inercia respecto al eje

IG:momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)

m :masa

(:longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O

En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologas y relaciones:

Donde:

Ti : periodo experimental

Ii :momento inercia para cada # de hueco

IG:momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)

m :masa (constante)

(i:longitud del centro de gravedad a cada # de hueco

b:longitud de la barra (constante)

a:ancho de la barra (constante)

Momento de Inercia

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partculas se define como la suma de los productos entre las masas de las partculas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partcula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:

El subndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto, desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin) As, por ejemplo, la segunda ley de newton PRIVATE "TYPE=PICT;ALT=\scriptstyle{F = ma}"

MATERIALES

Una barra metalica con agujeros circulares

Un soporte de madera con cuchilla

Un cronometro digital

Una regla milimetrada

CALCULOS Y RESULTADOS

1. Presentamos la tabla 1Donde calculamos el periodo T de la siguiente forma :

# de huecoi (cm)t1 (s)t2 (s)t3 (s)# de oscilacionesperiodo T promedio

150.816.7616.7516.76101.676

245.816.4816.4016.50101.646

340.816.3616.1816.21101.625

435.716.0416.1216.02101.606

530.815.9315.9515.96101.595

625.89.689.679.6561.611

720.99.989.8910.0661.663

815.910.7210.6710.6861.782

910.86.146.066.1032.033

105.87.898.018.0432.660

2. a) Grafica de T vs (

b) Calculo de ( a partir del periodo T, cuando T es minimo

Para ello se calculara a partir de las siguientes relaciones:

Primero hacemos a T en funcin de (, entonces reemplazamos () en ()

Luego hay dos formas de resolverlo:

1. Aplicando el criterio de la primera derivada, derivamos respecto a (

para T mnimo,

Quedando

Pero IG es igual a:

, reemplazando en tenemos:

Reemplazando los datos: a = 3.75 cm ; b = 102.6 cm

Obtenemos (=29.63 T=1.5442. Como tenemos T en funcin de (, lo graficamos usando el programa MATLAB 7.0 , y obtenemos que para T mnimo, (=29.63 y T=1.544, dndonos el mismo resultado (Apndice A), pero de una manera mas rpida que la anterior.

c) Comparacin de ( obtenido en a) y b), y su respectivo periodo

Los resultados obtenidos de a) son: (=30.08 y T=1.595

b) son: (=29.63 y T=1.544d) Para deducir dos puntos con el mismo periodo, trazamos una recta horizontal, (en la grafica de T vs () y afirmamos que son correspondientes al hueco # 4 y hueco # 63. Tabla 2

# de huecoEje de oscilacin ( (cm)(periodo)2T 2(S2)LONGITUD2(2 (cm2)Momento de

Inercia (Kg.cm2)

150,82.812580.646635.20

245,82.712097.645772.19

340,82.641664.645011.66

435,72.581274.494283.26

530,82.54948.643643.39

625,82.60665.643115.20

720,92.76436.812688.00

815,93.17252.812347.82

910,84.13116.642077.09

105,87.0833.641909.00

4. Grafico de I1 vs (2

5. Por comparacin obtener IG y M

Del grafico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos:

Y=1.861X + 1873.9

Donde X=(2

Y=I

Reemplazando queda : I =1.861(2 + 1873.9

comparando con la formula I = m.L2 + IGTenemos:

m= 1.861 Kg.

IG = 1873.9 Kg.cm26. Obtencin del error experimental para IGAplicando la formula para una barra homognea:

Donde: a: ancho de la barra

b: largo de la barra

m: masa

Reemplazando los datos tenemos IG = 1644.36 Kg.cm2El error experimental es:

7. Hallando la longitud del pndulo simple equivalente

Como Sabemos el perodo del pndulo simple es :

Pero para el pndulo fsico el perodo es :

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

Para el hueco 8:

Momento inercia = 2347.82 Kg.cm2Masa = 1.872 Kg( L = 35.41cm8) Demostracin de las relaciones utilizadas

Demostracin de la relacin (13.1)

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la grfica, el peso mg causa un momento de torsin de restitucin:

El signo negativo implica que el momento de torsin es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsin ( es proporcional a sen(, no a ( , pero si ( es pequeo podemos aproximar sen( por ( en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S

Quedando:

Pero la ecuacin de movimiento es:

Remplazando:

ecuacin diferencial

Pero

Demostracin del teorema de steiner (relacin 13.2)

El teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido respecto de un eje de rotacin que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del slido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

El trmino intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posicin xC del centro de masa desde el centro de masa. Quedando:

OBSERVACIONES

En los diferentes casos las oscilaciones que dio el pndulo simple, el ngulo inicial con el que se solt no es el mismo, tiene una ligera variacin.

El tiempo medido para cada caso de oscilacion sufre variaciones debido a la precision del cronometro.

La cuchilla q sostiene a la barra metlica no es un eje fijo (como se indica tericamente) tiene pequeas vibraciones, esto provoca una propagacin de errores.

El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilacin (terico y experimental) son diferentes debido a que no se consideran los huecos que tiene la barra.

CONCLUSIONES

El clculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometra conocida, es ms fcil calcularlo utilizando el pndulo fsico.

En un pndulo fsico, cuanto mas se acerca el eje de oscilacin al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta.

En un pndulo fsico y simple el ngulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armnico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armnico amortiguado).

En el experimento se pudo hallar la longitud de un pndulo simple equivalente a la barra metlica, utilizando previamente el periodo experimental.

En el experimento se pudo poner a prueba las formulas de pndulo fsico hechas en clases.

En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no se consideran en los resultados como son la temperatura, la fuerza de friccin del aire.

RECOMENDACIONES

Para que los resultados sean ms precisos se recomienda tener en cuenta las masas de los huecos de la barra.

Se recomienda limpiar la barra de las manchas hechas por el uso de otros experimentos.

Para tener una mejor precisin a la hora de medir el tiempo de oscilacin con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.

BIBLIOGRAFIA

Facultad de Ciencias.(Universidad Nacional de Ingeniera), Manual de laboratorio de fsica general, 2004, Pg. 81.

Separata de movimiento oscilatorio(Universidad Nacional de Ingeniera);Jos Casado Marqus, docente de la UNI, Pg. 8

Mecnica Racional(Dinmica),editorial Libros Tcnicos, Jorge Das Mosto; Pg. 233.

www.sociedadcolombianadefisica.org.co/revista/Vol36_1/articulos/pdf/3601056.pdf www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdfAPENDICE

Apndice A

Para la grafica de T vs L, programamos en MatLab 7.0 lo siguiente:

%LvsT

L=4:1/1000:60

T=2*pi*sqrt((1644.36+1.872*L.^2)./(1.872*981*L))

comet(L,T)

plot(L,T)

grid on

ylabel('T (s)')

xlabel('L (cm)')

y la grafica fue

i

_1238001705.unknown

_1238261371.unknown

_1238262124.unknown

_1238272169.unknown

_1238272170.unknown

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