Laplace(Primera Version)
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Transformada de Laplace
Juan Carlos Chavarrıa Morales1
1Departamento de Matematica, Universidad Tecnica Federico Santa Marıa.
Junio 2008
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Estructura
1 DefinicionExistencia
2 PropiedadesPropiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
3 Funciones DiscontinuasEscalon Unitario
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Estructura
1 DefinicionExistencia
2 PropiedadesPropiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
3 Funciones DiscontinuasEscalon Unitario
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Estructura
1 DefinicionExistencia
2 PropiedadesPropiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
3 Funciones DiscontinuasEscalon Unitario
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Estructura
1 DefinicionExistencia
2 PropiedadesPropiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
3 Funciones DiscontinuasEscalon Unitario
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones DiscontinuasExistencia
Definicion
La funcion F (s) o L [f ](s) es la Transformada de Laplace de lafuncion f(t) dada por
F (s) =
∫ ∞
0f(t)e−st dt, (1)
para todos los valores de s donde esta integral impropia converge.
Ejemplo
Calcular la transformada de Laplace de f(t) = eat.
Pregunta
¿Cuando existe la Transformada de Laplace?
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones DiscontinuasExistencia
Definicion
La funcion F (s) o L [f ](s) es la Transformada de Laplace de lafuncion f(t) dada por
F (s) =
∫ ∞
0f(t)e−st dt, (1)
para todos los valores de s donde esta integral impropia converge.
Ejemplo
Calcular la transformada de Laplace de f(t) = eat.
Pregunta
¿Cuando existe la Transformada de Laplace?
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones DiscontinuasExistencia
Definicion
La funcion F (s) o L [f ](s) es la Transformada de Laplace de lafuncion f(t) dada por
F (s) =
∫ ∞
0f(t)e−st dt, (1)
para todos los valores de s donde esta integral impropia converge.
Ejemplo
Calcular la transformada de Laplace de f(t) = eat.
Pregunta
¿Cuando existe la Transformada de Laplace?
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones DiscontinuasExistencia
Existencia
Definicion
Se dice que una funcion es seccionalmente continua sobre unintervalo [a, b] si posee un numero finito de discontinuidades ytiene un lımite finito cuando t tiende a un punto de discontinuidad.
Teorema
Sea f(t) seccionalmente continua para t ≥ 0 que satisface
|f(t)| ≤ Meαt, M, α ∈ R, (2)
entonces la transformada de Laplace (1) existe ∀s > α.
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones DiscontinuasExistencia
Existencia
Definicion
Se dice que una funcion es seccionalmente continua sobre unintervalo [a, b] si posee un numero finito de discontinuidades ytiene un lımite finito cuando t tiende a un punto de discontinuidad.
Teorema
Sea f(t) seccionalmente continua para t ≥ 0 que satisface
|f(t)| ≤ Meαt, M, α ∈ R, (2)
entonces la transformada de Laplace (1) existe ∀s > α.
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Propiedades
Teorema
1 Linealidad.1 L [c · f(t)](s) = c ·L [f(t)](s).2 L [f(t) + g(t)](s) = L [f(t)] + L [g(t)](s).
2 Transformada de la Derivada.L [f ′(t)](s) = sL [f(t)](s)− f(0).
3 Transformada de la Integral. L [∫ t0 f(x) dx](s) =
1
sL [f(t)](s)
Demostracion
1 La transformada de Laplace es una integral.
2 Usar definicion e integracion por partes. Para el caso integrales analogo.
Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace
DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Propiedades
Teorema
1 Linealidad.1 L [c · f(t)](s) = c ·L [f(t)](s).2 L [f(t) + g(t)](s) = L [f(t)] + L [g(t)](s).
2 Transformada de la Derivada.L [f ′(t)](s) = sL [f(t)](s)− f(0).
3 Transformada de la Integral. L [∫ t0 f(x) dx](s) =
1
sL [f(t)](s)
Demostracion
1 La transformada de Laplace es una integral.
2 Usar definicion e integracion por partes. Para el caso integrales analogo.
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Propiedades
Teorema
1 Linealidad.1 L [c · f(t)](s) = c ·L [f(t)](s).2 L [f(t) + g(t)](s) = L [f(t)] + L [g(t)](s).
2 Transformada de la Derivada.L [f ′(t)](s) = sL [f(t)](s)− f(0).
3 Transformada de la Integral. L [∫ t0 f(x) dx](s) =
1
sL [f(t)](s)
Demostracion
1 La transformada de Laplace es una integral.
2 Usar definicion e integracion por partes. Para el caso integrales analogo.
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Propiedades
Teorema
1 Linealidad.1 L [c · f(t)](s) = c ·L [f(t)](s).2 L [f(t) + g(t)](s) = L [f(t)] + L [g(t)](s).
2 Transformada de la Derivada.L [f ′(t)](s) = sL [f(t)](s)− f(0).
3 Transformada de la Integral. L [∫ t0 f(x) dx](s) =
1
sL [f(t)](s)
Demostracion
1 La transformada de Laplace es una integral.
2 Usar definicion e integracion por partes. Para el caso integrales analogo.
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Propiedades
Teorema
1 Linealidad.1 L [c · f(t)](s) = c ·L [f(t)](s).2 L [f(t) + g(t)](s) = L [f(t)] + L [g(t)](s).
2 Transformada de la Derivada.L [f ′(t)](s) = sL [f(t)](s)− f(0).
3 Transformada de la Integral. L [∫ t0 f(x) dx](s) =
1
sL [f(t)](s)
Demostracion
1 La transformada de Laplace es una integral.
2 Usar definicion e integracion por partes. Para el caso integrales analogo.
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
EDO’s de primer orden
Ejemplo
Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.
Solucion
Usando Laplace
1 L [y′] = L [y − 4e−t]
2 sL [y]− y(0) = L [y]− 4L [e−t] (¡Problema Algebraico!)
3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)
4
L [y] =1
s− 1− 4
(s− 1)(s + 1)(3)
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
EDO’s de primer orden
Ejemplo
Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.
Solucion
Usando Laplace
1 L [y′] = L [y − 4e−t]
2 sL [y]− y(0) = L [y]− 4L [e−t] (¡Problema Algebraico!)
3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)
4
L [y] =1
s− 1− 4
(s− 1)(s + 1)(3)
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
EDO’s de primer orden
Ejemplo
Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.
Solucion
Usando Laplace
1 L [y′] = L [y − 4e−t]
2 sL [y]− y(0) = L [y]− 4L [e−t] (¡Problema Algebraico!)
3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)
4
L [y] =1
s− 1− 4
(s− 1)(s + 1)(3)
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
EDO’s de primer orden
Ejemplo
Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.
Solucion
Usando Laplace
1 L [y′] = L [y − 4e−t]
2 sL [y]− y(0) = L [y]− 4L [e−t] (¡Problema Algebraico!)
3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)
4
L [y] =1
s− 1− 4
(s− 1)(s + 1)(3)
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
EDO’s de primer orden
Ejemplo
Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.
Solucion
Usando Laplace
1 L [y′] = L [y − 4e−t]
2 sL [y]− y(0) = L [y]− 4L [e−t] (¡Problema Algebraico!)
3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)
4
L [y] =1
s− 1− 4
(s− 1)(s + 1)(3)
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Transformada Inversa
Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).
El primer termino es la transformada de et.
Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.
Luego L [y] = 2s+1 −
1s−1 .
Y entonces y(t) = 2e−t − et.
Pregunta
¿Que hemos introducido?
Definicion
La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Edo’s de Primer Orden
Ejemplo
Circuito RC. Es modelado por la ecuacion diferencial:
RCvc + vc = v(t); v(0) = v0
�
�
�
�����
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Circuito RC
Aplicando Laplace:
1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]
2 L [vc] =RCv(0)
RCs + 1+
L [v]
RCs + 1.
3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).
4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.
5 L [v0] =1
s; L [b cos at] = b
s
s2 + a2y
L [b sen at] = ba
s2 + a2.
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Circuito RC
Aplicando Laplace:
1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]
2 L [vc] =RCv(0)
RCs + 1+
L [v]
RCs + 1.
3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).
4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.
5 L [v0] =1
s; L [b cos at] = b
s
s2 + a2y
L [b sen at] = ba
s2 + a2.
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Circuito RC
Aplicando Laplace:
1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]
2 L [vc] =RCv(0)
RCs + 1+
L [v]
RCs + 1.
3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).
4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.
5 L [v0] =1
s; L [b cos at] = b
s
s2 + a2y
L [b sen at] = ba
s2 + a2.
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Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Circuito RC
Aplicando Laplace:
1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]
2 L [vc] =RCv(0)
RCs + 1+
L [v]
RCs + 1.
3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).
4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.
5 L [v0] =1
s; L [b cos at] = b
s
s2 + a2y
L [b sen at] = ba
s2 + a2.
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Circuito RC
Aplicando Laplace:
1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]
2 L [vc] =RCv(0)
RCs + 1+
L [v]
RCs + 1.
3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).
4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.
5 L [v0] =1
s; L [b cos at] = b
s
s2 + a2y
L [b sen at] = ba
s2 + a2.
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DefinicionPropiedades
Funciones Discontinuas
Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa
Circuito RC
Aplicando Laplace:
1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]
2 L [vc] =RCv(0)
RCs + 1+
L [v]
RCs + 1.
3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).
4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.
5 L [v0] =1
s; L [b cos at] = b
s
s2 + a2y
L [b sen at] = ba
s2 + a2.
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DefinicionPropiedades
Funciones DiscontinuasEscalon Unitario
Escalon unitario
Definicion
La funcion escalon unitario se define como
µa(t) =
{0; si t < a1; si t ≥ a
(4)
Teorema
L [µa(t)](s) =e−as
s.
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