‘Las esencias son como los

números’

Vacío metafísico y materia primera a la luz de

la matemática divina propuesta por Leibniz

Tesis para optar al título de Pregrado en Filosofía

Por: Andrea Catalina Melo Reyes

Director: Tomás Andrés Barrero

Universidad de los Andes

Departamento de Filosofía

Bogotá, 2017

Contenido

Introducción…………………………………………………………….…….1

1. Análisis de las nociones: vacío, puntos mínimos y materia…….…..…......6

1.1 La imposibilidad del vacío físico.….…………………………….……….6

1.2 La necesidad del vacío metafísico..………………………………….…...7

1.3 Una posible incompatibilidad……………………………………….........9

1.4 La distinción entre materia primera y segunda.…………………………10

2. Los puntos matemáticos en el análisis geométrico de Cavalieri y Galileo. 14

2.1 Materia primera y puntos matemáticos…………………….…………….14

2.2La demostración de Galileo……………………………………………….15

2.3De Galileo a Cavalieri………………………………………………….....17

2.4De Cavalieri a Leibniz……………………………………………….…....19

3. ¿Matemáticos o metafísicos? combinatoria, análisis binario y metafísica…20

3.1 Combinatoria: matemática y metafísica……………………………….…20

3.2De las definiciones a la naturaleza de los puntos mínimos.………………23

3.3 La variación y el análisis binario o análisis geométrico doble…………...25

3.4 El lugar de los puntos mínimos en el proyecto de la matemática divina….28

Consideraciones finales………………………………………………………29

Agradecimientos

Quisiera expresar mi más profundo reconocimiento al profesor Tomás Barrero, cuya

amabilidad, comprensión, diligencia y enseñanza fueron indispensables en la dirección y

desarrollo de este escrito. A Carlos Granada, quien exaltó mi fervor por Leibniz y cuya

devoción y amabilidad ayudaron a concretar los últimos trazos de este texto. A la profesora

Catalina González, quien procuró a mi favor documentos muy valiosos y cuya enseñanza fue

fundamental para infundir vigor en el estudio de estos temas tan vitales. Y, finalmente, a

Gonzalo Melo, cuya viveza, entusiasmo y amor siempre han dirigido un ensayar como éste.

Así mismo, ha sido de provecho la ayuda y consejo de Nicolás Vaughan, Myriam Díaz, Diana

Reyes, Víctor Salazar, Alejandro Goyeneche, César Quintana, Angie Valles, Armando

Pinzón, César Quintero, María Fernanda Reyes y María Camila Ballesteros.

Ya desde Pitágoras los hombres se convencieron de que en

los números se esconden los máximos misterios.

G.W. Leibniz

Nota preliminar

Los textos de Leibniz usados en esta tesis corresponden a traducciones en español publicadas

por las editoriales Gredos, Tecnos, Taurus, Editora Nacional y Ediciones Pontificia

Universidad Católica de Chile, que no siguen una notación canónica. Me disculpo con los

lectores de este escrito, ya que tales ediciones, al ser tan limitadas en términos de notación,

podrían dificultar la búsqueda y cotejo de referencias puntuales. Así mismo, los textos que

he empleado podrían considerarse opúsculos o escritos menores de Leibniz; sin embargo,

nos permiten observar una faceta diferente de Leibniz como filósofo y por esa razón me he

concentrado en ellos, dejando de lado obras más conocidas, en las que parece expresarse una

doctrina leibniciana “oficial”. El Leibniz que emerge de los opúsculos es un filósofo

universal, crítico de la escolástica y de los atomistas, y cuya metafísica parece provenir

enteramente de su matemática.

1

Introducción

Estas palabras preliminares son concebidas como una forma de amortiguar lo que podría ser,

tal vez, una caída o, más bien, la entrada hacia aquello a lo cual Russell se refirió al hablar

de las matemáticas, es decir, el umbral que conduce a un tema en el que no sabemos nunca

si lo que decimos es verdadero, si se cumple efectivamente o siquiera si es posible de

aprehender en su totalidad por el entendimiento humano. Es por esta razón que este escrito

consiste, sobre todo, en un ensayar; un ensayar y probar en torno a una de las posibilidades

a que da lugar el pensamiento de Leibniz.

Javier Echeverría, en su “Estudio introductorio. G. W. Leibniz, la pluralidad infinita”, esboza

muy bien las cuatro características principales de Leibniz como pensador: fue un racionalista,

tenía una actitud y talante armonizador e integrador, afirmaba rotundamente un pluralismo

ontológico y mantenía una estrecha relación entre la reflexión filosófica y la investigación

científica (cf. Echeverría XV-XVII).

Leibniz fue un racionalista practicante que intentó resolver de manera racional un gran

número de problemas de todo tipo durante su vida. Esta actitud contrasta con la de otros

sabios de su época, como Newton, quien dedicó casi toda su vida a la alquimia y rehuyó

sistemáticamente la discusión pública. Sin embargo, Leibniz también atribuyó una gran

importancia a los datos de los sentidos, fiándose muy bien de diferentes experimentaciones,

mediciones y observaciones.

No obstante, las nociones que serán esbozadas en el presente escrito jugarán mucho más con

la imagen de un Leibniz racionalista que con uno empirista, en este sentido me serviré aquí

de la figura de un pensador que intenta dar solución a problemas de talante metafísico con

postulados y definiciones matemáticas. Ahora bien, aunque Leibniz fue conocido como un

filósofo eminentemente racionalista, parece que evitaba denigrar cualquier sistema

filosófico, como se puede observar en algunas de sus cartas. Este rasgo lo convirtió en un

pensador inclusivo y armonizador, no solo en el ámbito de la filosofía, sino también en el de

la política y la teología, por mencionar unos pocos. Su carácter integrador estuvo

2

acompañado por una afirmación fundamental y absoluta de un pluralismo ontológico. La

ontología pluralista de Leibniz, como lo muestra perfectamente Javier Echeverría (cf. XVI),

consiste primeramente en la afirmación de la existencia de una pluralidad de posibilidades

de mundo; en segundo lugar, en la afirmación de la infinitud de las mónadas y las sustancias

individuales que conforman el universo; en tercer lugar, en el establecimiento de principios

lógicos y filosóficos que permitirían investigar las posibilidades de mundo y las mónadas.

De este modo, Leibniz se manifiesta como un pluralista en cuestiones metodológicas y

epistemológicas, que llegó a buscar contribuciones de culturas diferentes a la suya, por

ejemplo, los chinos, y reconoció también distintas definiciones específicas y constituyentes,

como se manifiesta en el tercer capítulo de esta tesis. Finalmente, Leibniz fue capaz de

mantener una relación constante y estrecha entre la reflexión filosófica y la investigación

científica, comparándose en este sentido, según Echeverría, con Aristóteles. Este rasgo será

patente en este escrito, donde las definiciones matemáticas se entrecruzarán de manera

estrecha con definiciones fundamentales o esenciales de la metafísica.

Las anteriores características hacen que Leibniz pueda “ser considerado como un hombre

universal e incluso como uno de los últimos hombres universales, en el sentido renacentista

del término” (Echeverría XVII). Como lo ha sugerido a grandes rasgos el profesor Tomás

Barrero, en su reseña al texto Isaac Newton. Obra y Contexto. Una introducción de José

Granés, este talante universal fue una característica de algunos filósofo-científicos del siglo

XVII. Sin embargo, los hombres universales de la época, que como Leibniz, Spinoza y

Newton fueron en muchos aspectos pensadores de la multiplicidad, a su vez eran controlados

por la esfera pública. Leibniz, especialmente, era un gran diplomático que estableció

estrechas relaciones de amistad con la reina consorte de Prusia, Sofía Carlota de Hannover,

y algunos otros personajes pertenecientes a la nobleza, al mismo tiempo que se desenvolvía

como un gran filósofo y científico. En su obra se percibe por doquier esta tensión

fundamental entre el filósofo científico y el hombre público de los grandes tratados, que

intenta mediar entre posiciones extremas aparentemente irreconciliables, posiciones que él

mismo expresa en cartas y otros opúsculos que he tenido en cuenta como material

fundamental de esta tesis.

3

Como ya ha sido anotado, el lector observará que en su mayoría los textos usados en esta

tesis son pequeños opúsculos de Leibniz escritos en periodos muy distintos de su producción

intelectual. Esto responde a una intención implícita pero clara: he prestado atención a estos

opúsculos, que podrían ser calificados como obras menores, porque, en la historia de la

filosofía, pensadores como Leibniz, que hacen parte de una tradición de hombres universales

como los del Renacimiento, han sido rezagados a un par de grandes obras, sin hacer justicia

a la bella multiplicidad, pluralidad y carácter integrador de su pensamiento. Tales

simplificaciones suelen conspirar contra la comprensión de una obra filosóficamente

compleja como la de Leibniz, quien ha sido vilipendiado en la academia por algunos

historiadores y estudiantes de filosofía que actúan como el Petit Volontaire de la crítica

pesimista e indecorosa, y acusan a Leibniz de ser aquel hombre simple que intentó explicar

la esencia del ser humano con la mera invención de las mónadas y la creencia “intransigente

y cándida” de pensar que estamos en el mejor de los mundos posibles.

La lectura del Leibniz de los opúsculos refleja una maravillosa complejidad y la posibilidad

de entablar un diálogo interno con su obra. Es por ello que de estos se podrían extraer las

bellas y muchas veces incomprendidas consecuencias del pensamiento de Leibniz. Esta

monografía pretenderá construir un Leibniz “inédito”, uno que intente hacer justicia a la

multiplicidad y pluralidad de voces escuchadas y atendidas por este gran pensador.

Esta investigación pretende dar cuenta de algunas de las posibilidades interpretativas que se

abren en ciertos textos de Leibniz sobre las nociones de vacío, vacío metafísico y materia

primera –también llamada fuerza primitiva de soportar o resistir–, de manera tal que se

ofrezca a quien lee un intento de comprensión y no una lectura “correcta” de tales nociones.

Así pues, esta tesis en un esfuerzo por ofrecer caminos en dos direcciones interpretativas, tal

vez inesperadas, al hablar sobre los conceptos mencionados, pero enmarcadas en el ámbito

de la metafísica leibniciana: una dirección geométrica e histórica y otra sistemática y

referente al arte combinatorio.

Empezando por la distinción entre las nociones de vacío físico y vacío metafísico –el primero

asignable en la serie de momentos y lugares del espacio y el tiempo; el segundo inasignable

en esta serie y dado metafísica y matemáticamente en la interposición de puntos mínimos,

4

metafísicos o matemáticos–, intentaré justificar lo que algunos pensarían como una total

incompatibilidad o incoherencia en la obra de Leibniz: la existencia del vacío metafísico.

Las dos posibles lecturas en las que aquí me empeño no constituirían concepciones

totalmente disímiles sino complementarias. La primera sería un atisbo inicial que intenta

responder a la manera en que estos puntos matemáticos podrían ser justificados

geométricamente y el modo en que se presentarían a una noción específica de materia. El

primer momento corresponde a una lectura que propone una reconstrucción histórica, a la luz

de algunas ideas que influyeron fuertemente en Leibniz. La segunda lectura responde a la

pregunta por cómo estos puntos podrían ser dispuestos en la matemática divina y en la

metafísica de Leibniz utilizando evidencia interna de su obra.

“Nada existe que no admita el número” observó Leibniz en su escrito de 1680 titulado

“Historia y elogio de la lengua o característica universal”. De ahí se sigue que el número sea

poco menos que una figura metafísica y la aritmética una “cierta estática universal con la que

se exploran las potencias de las cosas” (Leibniz 2011f 48). Esta idea de pensar el mundo

como algo que ha sido escrito en caracteres matemáticos, si bien no es el tema principal que

se desarrolla en esta tesis, es aquello hacia lo que dirige el ensayar que aquí se presenta. De

ahí que las dos líneas argumentativas de este escrito converjan y encuentren su justificación

en lo que yo llamaría el cálculo de las esencias de la matemática divina.

Es sabido que en su juventud Leibniz se entusiasmó con el estudio de la lengua de la

naturaleza o lengua adánica, en la cual se defendería la posibilidad de realizar

descubrimientos mediante números y caracteres (Leibniz 2011f 48). Pero, si bien estas ideas

lograron tener una gran influencia en Leibniz, él hizo uso de ellas para embarcarse en un

proyecto nuevo, según el cual sería legítimo comprobar los razonamientos y las

probabilidades mediante el cálculo y la demostración: la característica universal. Esta

diferiría notablemente de la lengua adánica, pues poseería nociones, notaciones y sistemas

de signos matemáticos creados por el ingenio de Leibniz.

Teniendo en cuenta lo anterior, el presente estudio sobre el vacío metafísico y los puntos

mínimos que componen un cierto tipo de materia integraría dos importantes exigencias del

proyecto leibniciano: por un lado, la idea de que el mundo está escrito en caracteres

5

matemáticos y, por otro, el arte combinatorio, en el cual se sustentaría la característica

universal. La primera exigencia ya estaría latente en la segunda sección de este texto, donde,

mediante una demostración geométrica que se remonta a Galileo, se pone en juego la

existencia de los puntos indivisibles que componen un cierto tipo de materia. La segunda se

evidenciaría mucho más, junto con la primera exigencia, en la tercera sección de este texto,

donde entraría en juego la combinatoria para develar la disposición de los puntos mínimos

en la metafísica de Leibniz.

Este escrito comenzará explorando, en la sección 1, cómo la posición de Leibniz con respecto

al vacío podría parecer inconsistente. En algunos pasajes de su obra, Leibniz sostiene que el

vacío es incompatible con el pleno físico de la naturaleza, mientras que en otros lugares,

podríamos decir de corte más metafísico, arguye que la existencia de un vacío metafísico es

indispensable para entender la noción de materia primera. De ahí que intentemos mostrar

cómo sería posible enfrentar esta aparente contradicción en relación con la noción de vacío.

Para ello seguiré las dos líneas argumentativas ya mencionadas, la primera esbozada en la

sección 2 de este texto y la segunda en la sección 3.

En la sección 2 doy una visión retrospectiva de la noción de puntos matemáticos, siguiendo

las reflexiones y demostraciones de dos filósofos y matemáticos que influenciaron

notablemente la obra de Leibniz: me refiero a Galileo y Cavalieri. En este primer momento

me concentraré en la reflexión sobre los puntos matemáticos desde un análisis geométrico,

donde aquello que está en juego es una geometría demostrativa de los indivisibles originarios

de la materia fluida. La segunda línea argumentativa, desarrollada en la sección 3, centra su

atención en algunos textos de Leibniz y discurre en un análisis de su arte combinatorio a la

luz de los puntos mínimos, lo que conducirá a su análisis binario, que desembocará en un

estudio sobre el lugar que ocupan los puntos mínimos en la metafísica de Leibniz.

Aquello que resultará de estas dos líneas argumentativas será una concepción matemática y

metafísica de los puntos mínimos y el llamado vacío metafísico, así como una defensa de la

compatibilidad del vacío físico y el vacío metafísico. Dos desenlaces que podrían abrir

camino a la lectura de la noción de continuidad, discontinuidad, infinito e infinitesimal en la

obra de Leibniz.

6

1. Análisis de las nociones de vacío, puntos mínimos y materia

1.1 La imposibilidad del vacío físico

Enfrentado a las posiciones atomistas de algunos filósofos, Leibniz observa cómo no hay

vacío de formas ni en el espacio ni en el tiempo, puesto que, bajo la creación divina, algo

perfecto ha de ser preferido a muchos imperfectos equipolentes entre sí (cf. Leibniz 2011a

75). Entonces, ya que Dios colocó en este mundo toda perfección posible, entre ellas la

existencia, y como la materia existente es más perfecta que el vacío, de modo que no podría

haber un lugar o un tiempo asignable en el que no existiera algo, Leibniz concluye que

“mantener el vacío en la naturaleza es atribuir a Dios una producción muy imperfecta, es

violar el gran principio de la necesidad de una razón suficiente” (Leibniz 1980 85).

Además de lo anterior, Leibniz les critica a los atomistas que piensen lo originario del mundo

como un conjunto de corpúsculos duros que no pueden doblarse ni dividirse, es decir, como

mera solidez o dureza, lo cual sería, para él, el fundamento de intento de derivar del

movimiento la existencia del vacío, ya que estos corpúsculos sólidos precisarían vacío para

conseguir el movimiento. Sin embargo, para Leibniz aquello que es originario es la fluidez y

no la solidez o dureza, como defienden los atomistas, razón por la cual pensar que el vacío

es justificable, en cuanto que condición necesaria para el movimiento de los sólidos, resulta

ser una concepción totalmente refutable, según el filósofo de Leipzig (cf. Leibniz 1983 171).

De ahí que, en el ámbito de la dinámica, el vacío no sea necesario para explicar el movimiento

de los cuerpos.

Un tercer argumento propuesto por Leibniz en contra de los defensores del vacío es aquél

que se sigue de considerar el espacio como una propiedad de las sustancias. Dicho argumento

es esgrimido en contra de Clarke y Newton. Tanto Leibniz como Clarke parecen defender

una concepción en la cual el espacio es entendido como una propiedad. Sin embargo, para

Leibniz se trata de un orden derivado de la posibilidad que tienen las sustancias de ser

situables entre ellas, mientras que para Clarke se trata solamente de una propiedad o

consecuencia de la existencia de un ser infinito y eterno, es decir, de Dios. A partir de este

argumento dado por Clarke, Leibniz observa que el espacio vacío que defiende aquél ha de

ser también una propiedad. Sin embargo, ¿de cuál sustancia sería dicha propiedad? (cf.

Leibniz 1980 73, 79). Para Leibniz sería inconcebible pensar que el vacío sea una propiedad

7

de Dios, como lo señala Clarke, puesto que habría en su esencia partes vacías y llenas y, en

consecuencia, sujetas a un cambio perpetuo. Esta imagen recuerda a Leibniz al Dios estoico

que, como un animal divino, es el universo entero. De modo que pensar a Dios como un

universo entero, donde aquello que está en el tiempo se halla a su vez en la esencia de Dios

o donde el espacio infinito es lo mismo que la inmensidad de Dios, es un galimatías (cf. id.

111).

1.2 La necesidad del vacío metafísico

Si bien Leibniz esgrime los anteriores argumentos en contra de aquellos que defienden la

noción de vacío, en su texto “Sobre los secretos de lo sublime, o sobre la suma de las cosas”,1

escrito en 1676, luego de exponer claramente cómo no hay vacío de formas ni en el espacio

ni en el tiempo, intenta hacer algunas consideraciones sobre aquello que se sigue de la

“plenitud de mundo” (Leibniz 2011a 76), es decir, del mundo entendido como el conjunto de

una infinidad de sustancias individuales que se encuentran formando una serie continua.

Para reflexionar sobre dicha plenitud, Leibniz medita acerca de la naturaleza de los dos

estados característicos de lo que es: el sólido y el líquido, dando ya indicios de lo que luego

afirmará en sus Nuevos ensayos, a saber, que la fluidez, aunque contenga un grado menor de

perfección que los sólidos, es lo más originario (Leibniz 1983 171).

Leibniz empieza su reflexión considerando el movimiento de un sólido en un líquido, del

cual parece seguirse que

una materia perfectamente fluida no es más que una multitud de infinitos puntos, o de cuerpos

tan pequeños como fuera posible pensar, o sea, que necesariamente hay un vacío metafísico

expandido por doquier, lo cual no es contrario al pleno físico. (2011a 76. Énfasis añadido)

Tal vacío metafísico parecería ser, grosso modo, una noción inconsistente con aquello que

suele decir Leibniz acerca del vacío en su discusión con los atomistas. Sin embargo, vale la

1 Este texto es anterior a la cuarta carta dirigida a Clarke (1716) y al escrito de los Nuevos ensayos sobre el

entendimiento humano (1703), dos textos en los que se exponen algunas reflexiones importantes sobre el vacío.

De modo que quien se enfrente a este escrito podría decir que uso aquí un opúsculo que precede a unos textos

en los que se podrían defender ideas totalmente distintas, lo cual sugeriría que hay un cambio en las ideas en

Leibniz y no una continuidad, como aquí intento defender. Sin embargo, el texto de 1676 desarrolla un

planteamiento de Leibniz donde ya está la idea que versa sobre la perfección de lo material frente a lo vacío; en

consecuencia, Leibniz parecería tener aquí ya una noción completa y patente de lo que para él sería la plenitud

de mundo.

8

pena considerarlo con más detenimiento, puesto que, en primera instancia, existe acá una

distinción nominal; no se trata ya de vacío sino de vacío metafísico, término que no fue

empleado en los argumentos de Leibniz contra los defensores del vacío. Además de esto, se

trata, como veremos, de un vacío que es consistente con el pleno físico, lo cual no ocurre con

la noción de vacío sin más.

Un vacío metafísico es, para Leibniz, “un vacío minúsculo, verdadero y real”2 (2011a 76),

inasignable y compatible con el pleno físico. Se trata de un vacío que no existe actualmente

ni en el tiempo ni en el espacio, que son continuos, sino más bien en un tipo de materia

entendida como multiplicidad sin continuidad, razón por la cual tal vacío metafísico no

corresponde con aquel que se contempla en ciertas versiones de la dinámica. Nótese entonces

cómo la idea de vacío metafísico se entrelaza estrechamente con una noción de materia que

no se corresponde con aquella que se da de manera actual en el espacio y en el tiempo.

De modo que la materia entendida como multiplicidad, propone Leibniz, parece ser un

discreto que, al tener un sólido moviéndose dentro de ella, “se verá reducida a un estado de

liquidez o divisibilidad”, con lo cual se asemejará a un “fluido perfecto” que contiene en sí

una multitud de puntos (Leibniz 2011a 76-77). Así pues, la materia, que está compuesta de

puntos, es un ser discreto, contiguo, que puede encontrar su unidad o bien en el movimiento,

o bien en una mente perfectísima o Dios (cf. ibíd.).

Este tipo de materia, que no se da ni en el espacio ni en el tiempo, es, al igual que el vacío

metafísico, real y existente. De hecho, para Leibniz, la realidad y existencia de un ser discreto

y contiguo, como posibilidad o potencia, aumenta la posibilidad de los existentes y la armonía

de las cosas (cf. 2011a 77), de modo tal que la realidad y existencia de este tipo de materia

es producto de una necesidad formal y conceptual, dados otros principios del sistema

leibniciano.

2 Leibniz observa explícitamente cómo el vacío metafísico y los puntos que componen la materia fluida son

verdaderos, reales y existentes. Sin embargo, se trata de existencias reales que lo son solo en potencia y

posibilidad, como lo aclararé más adelante. Es por ello que en el desarrollo de este texto haré la distinción entre

dos tipos de realidades y existencias, las dos verdaderas para Leibniz: la primera, lo existente y real actual, que

puede ser estudiado bajo la mecánica y las leyes de la física; la segunda, lo existente y real en potencia, que,

como se verá, puede ser estudiado desde el ámbito de las matemáticas y la metafísica.

9

Se había mencionado anteriormente, al hablar de la imposibilidad del vacío físico, cómo

Leibniz observó que no hay vacío ni en el espacio ni en el tiempo, puesto que bajo la creación

divina algo perfecto ha de ser preferido en lugar de muchos imperfectos equipolentes entre

sí. Sin embargo, como fue mostrado anteriormente, Leibniz defendería una noción de vacío

metafísico, que no se da en la serie espacio-temporal de momentos y lugares, puesto que este

ayudaría a aumentar la cantidad de posibles existentes en acto, con lo cual aumentaría

también la armonía de las cosas. De esto resulta entonces que el vacío metafísico podría

liberarse de la primera objeción esbozada en la sección 1.1.

Además, Leibniz observa cómo sería importante considerar la posibilidad de que cualquier

parte de dicha materia discreta sea conmensurable respecto a cualquier otra. De ahí que

formule una conjetura sobre la naturaleza de estas partes, las cuales podrían consistir en una

multitud de puntos metafísicos o matemáticos. Al respecto, el filósofo de Leipzig observa

que, de tratarse de puntos matemáticos, y no metafísicos o mínimos, estos podrían ser

llamados indivisibles de Cavalieri. Sin embargo, no llega a reflexionar, aquí, sobre su

segunda opción, esto es, que se trate de puntos mínimos o metafísicos. Aun así, afirma que

el líquido se compone de puntos perfectos que encuentran su unidad en la mente (divina) y

el movimiento (cf. Leibniz 2011a 77-78).

1.3 Una posible incompatibilidad

Encontramos hasta ahora dos nociones de vacío: por un lado, una primera que se daría en el

ámbito de la física y que corresponde a un espacio o un tiempo asignable en el que no existe

algo. Por otro lado, una segunda que corresponde al ámbito de la materia y se deriva de su

multiplicidad, noción que es inasignable a un espacio y a un tiempo, y que, aun así, no es

contraria al pleno físico. Esta última noción es la que acepta Leibniz, mientras que disiente

con la primera.

Considero que en los pasajes citados en la sección anterior Leibniz no se refiere a la materia

entendida como una realidad espacial y perceptible por los sentidos, la cual constituye el

mundo físico y puede ser diferenciable por una serie de propiedades manifiestas; más bien,

habla de una materia que, si bien se relaciona con el ámbito físico –en cuanto que, al ser

constituida por la división de infinitos puntos, aumenta la posibilidad de los existentes–,

corresponde más al ámbito de estudio de la metafísica o bien de la matemática. Entonces,

10

¿de qué tipo puede ser la materia que, asemejándose a un fluido perfecto, le es propio ser

discreta y no continua, y que, además, posee vacíos metafísicos inasignables?

Para esclarecer más esta noción de materia discreta y no continua, me gustaría proseguir con

una exposición de lo que los escolásticos llamaron materia primera y materia segunda, dos

nociones que, como veremos a continuación, ejercieron gran influencia en Leibniz. Se

realizará este excurso con el fin de examinar si estas dos nociones podrían darnos luces acerca

de aquello a lo que Leibniz podría referirse en estos pasajes sobre la materia fluida y discreta.

A partir de ahí, proseguiré con el análisis de la materia desde el ámbito de la matemática, en

el cual se seguiría el indicio dado por Leibniz sobre los indivisibles de Cavalieri.

1.4 La distinción entre materia primera y segunda

En algunos pasajes de su obra, Leibniz se ocupa de la materia primera y la materia segunda,

una distinción que proviene de la tradición escolástica. Tal distinción, que se entrevió ya en

la obra de Aristóteles, fue retomada por los escolásticos, especialmente por Tomás de Aquino

y Francisco Suárez. Leibniz, en sus textos, suele referirse a “la escuela” y no a un pensador

específico de la tradición escolástica; no obstante, puede ser que Leibniz, al referirse a “la

escuela” en los pasajes acá referenciados, esté pensando más en la distinción hecha por

Suárez que en la de Aquino3.

Sin embargo, no me ocuparé acá de una lectura especialmente cuidadosa sobre tales nociones

según estos dos autores medievales, sino que, más bien, me ceñiré a la aproximación que

hace Julia Jorati en una reciente exposición de la distinción entre materia primera y segunda

en la tradición escolástica, tal como la incorpora Leibniz a su propio sistema. En el artículo

titulado “Leibniz’s Ontology of Force”, Jorati ha relacionado la noción escolástica de materia

primera con la propuesta de la metafísica madura de Leibniz. Joriati ha intentado mostrar que

el autor de los Nuevos ensayos propone un sistema ontológico basado en la noción de fuerza

y que ese sistema es un desarrollo o superación de la antigua distinción escolástica entre la

materia primera y segunda.

3 Que sea tal vez la distinción hecha por Francisco Suárez, y no la de Tomás de Aquino, la que este acá en juego

es una sugerencia que agradezco al profesor Nicolás Vaughan, cuya exposición de contraargumentos a esta tesis

ha ayudado a moldear muy acertadamente los trazos finales de este escrito.

11

Las relaciones entre la versión escolástica y la interpretación de Leibniz de dicha distinción

son, entonces, objeto de polémica. Leibniz no parecería sugerir una simple asimilación de la

aproximación escolástica, razón por la cual llegó a decir que tal distinción no fue

correctamente entendida por “la escuela”, de ahí que sugiera una vigorosa reelaboración a

partir de un nuevo concepto de materia. En su escrito El espécimen de dinámica, Leibniz

observa cómo aquello denominado por los escolásticos “materia primera”, si es interpretado

correctamente, constituye lo mismo que la “fuerza primitiva de soportar y resistir”, gracias

a la cual un cuerpo no es penetrado por otro. Por su parte, la materia segunda se relaciona

con la “fuerza derivativa de soportar”, la cual “se muestra de forma variada en la materia

segunda” (cf. Leibniz 1991 60).

Respecto a la lectura que hace Leibniz sobre la materia primera y segunda en el pasaje aquí

expuesto, observa Julia Jorati que la fuerza primitiva de soportar es análoga a la materia

primera de los escolásticos en tres aspectos importantes: 1) en ser el constituyente pasivo de

las sustancias, 2) en no poseer ninguna actualidad independientemente del constituyente

activo de las sustancias y 3) en ser aquella que hace de la sustancia una cosa material con

propiedades físicas, como la impenetrabilidad y la resistencia (cf. Jorati 8). Así mismo, tanto

la fuerza derivativa de soportar como la materia segunda son relacionadas por Joriati con las

formas sustanciales (cf. id. 10). De modo que estas dos fuerzas o estos dos tipos de materia

constituyen, en su relación de pasividad y acción, una sustancia completa (cf. id. 9).

Ahora bien, si solamente en la relación dada entre la materia segunda y la materia primera se

forma una sustancia completa,4 esto señalaría que la materia segunda no tiene posibilidad de

ser en sí misma una sustancia completa sin –por llamarlo así– la acción de la potencia de la

materia primera. Por ejemplo, si pensamos en la semilla de una higuera, observaríamos cómo

la semilla existe en potencia en relación con el árbol de higos, que existiría en acto; sin

embargo, el árbol no sería tal sin tener como condición necesaria una semilla.5 Esta

4 Esta sustancia completa es análoga a lo que me referiré posteriormente con el nombre de “vínculo sustancial”. 5 Si bien este ejemplo ayuda a ilustrar la necesidad de lo potencial o posible en las cosas, no existe en la sustancia

completa, compuesta por la materia primera y la materia segunda, una conexión temporal análoga a la de la

semilla en relación con el árbol, principalmente porque la materia primera no podría evaluarse bajo las leyes de

la mecánica que operan en el tiempo y en el espacio. Por esta razón el vínculo sustancial compuesto por la

materia primera y segunda posee una conexión que surge de una necesidad metafísica. Esto lo explicaré mejor

más adelante, al hablar del vínculo sustancial que acompaña naturalmente a las mónadas.

12

interpretación me lleva a no estar de acuerdo con aquello que señala Jorati sobre la pasividad

de la materia primera, puesto que la potencia, en cuanto que capacidad generativa, no es mera

pasividad. Así, la materia primera es potencia de forma y de materia física, y hace de la

sustancia una cosa material con propiedades físicas, como la impenetrabilidad y la

resistencia, a lo que llamaría yo una capacidad generativa en potencia y no una mera

pasividad. De modo que disiento de Jorati en el punto uno, pero concuerdo con ella en el

punto dos y tres de la relación de la materia primera de los escolásticos con la fuerza primitiva

de soportar.

La materia primera es, siguiendo la lectura de Jorati, aquella que solo es en potencia y que,

junto con la actividad de la materia segunda, constituye una sustancia completa, razón por la

cual se encuentra sujeta a toda forma. Además, Leibniz agregaría una tercera propiedad, en

la cual la materia primera juega un papel fundamental en las propiedades físicas de las

sustancias, específicamente en la solidez.

Leibniz observa, en sus Nuevos ensayos, escritos en 1703, cómo la materia perfectamente

fluida, que tiene sus partes no ligadas unas con otras, corresponde a la materia primera,

entendida como una cualidad originaria (cf. Leibniz 1983 257). La materia primera, al ser

perfectamente fluida, es multiplicidad. Sin embargo, si bien dicha materia primera es

múltiple, ésta encuentra su unidad o bien en el movimiento, o bien en una mente perfectísima

o Dios (Leibniz 2011a 77). Así, Leibniz aceptaría la multiplicidad de puntos que componen

la materia primera y la unidad en cuanto que producto de la mente perfectísima de Dios.

Pero ¿es la materia primera ingenerable e incorruptible? Leibniz, en sus “Cartas a Des

Bosses”, escritas en 1712, observa cómo las potencias activa y pasiva, es decir, la materia

segunda y primera, están contenidas en el vínculo sustancial o esencia del compuesto (cf.

Leibniz 2011b 259). Este vínculo sustancial, observa Leibniz apoyando lo dicho por Des

Bosses, es ingenerable e incorruptible y corresponde a la sustancia misma de lo compuesto

(cf. id. 257). Se podría especular que Leibniz acepta que las mónadas son aquello que

corresponde a la sustancia de lo compuesto. Sin embargo, esta sustancia de lo compuesto

puede ser independiente de las mónadas y, de hecho, puede existir sin ellas. No obstante, lo

que me interesa aclarar es el hecho de que Leibniz, si bien no habla de la ingenerabilidad e

incorruptibilidad de la materia primera, observa cómo el vínculo sustancial, en el cual se

13

contiene la materia primera y segunda, es, de hecho, ingenerable e incorruptible. Que de lo

anterior pueda derivarse la ingenerabilidad e incorruptibilidad de la materia primera es algo

probable; empero, será mejor retomar esta discusión luego de considerar la naturaleza de los

puntos en los cuales estaría dividida la materia fluida o materia primera, como también se

retomará luego la exposición hecha por Leibniz sobre la relación entre el vínculo sustancial

y las mónadas.

Gracias a las consideraciones que acabo de esbozar, tenemos ahora más claridad sobre el tipo

de materia que, asemejándose a un fluido perfecto, le pertenece a aquello que es contiguo y

que, además, posee vacíos metafísicos inasignables, ya que, como se observó antes, dicha

materia corresponde a lo que los escolásticos llamaron materia primera. Así, el vacío

metafísico, inasignable, minúsculo, verdadero, real y compatible con el pleno físico, es uno

que se da en la materia primera, la cual es entendida como fluidez originaria que solo es en

potencia, que no posee forma y que, junto con la materia segunda, constituye una sustancia

completa.

Ahora bien, si consideráramos la segunda objeción hecha por Leibniz en contra de la

existencia del vacío físico, objeción que fue expuesta en la sección 1.1, según la cual Leibniz

se muestra contrario a aquellos que intentan derivar del movimiento de los sólidos la

existencia del vacío, se observaría, siguiendo lo dicho en la presente sección, que el vacío

metafísico subsiste en una materia fluida que es originaria o anterior a los sólidos. De esto

resulta que el vacío metafísico no podría derivarse del movimiento de los sólidos, sino que,

más bien, es su condición de posibilidad. Así, el vacío metafísico podría liberarse de la

segunda objeción.

Ahora que logramos dilucidar en qué consiste la materia primera en relación con la materia

segunda, quisiera reflexionar sobre la naturaleza de la multiplicidad de los puntos que

componen la materia primera. De ahí que entre a considerar la conjetura de Leibniz, según

la cual se afirma cómo los puntos separados por el vacío metafísico se corresponden con

puntos matemáticos o con puntos mínimos o metafísicos. De este análisis podría seguirse la

posibilidad de que cualquier punto de la materia sea conmensurable con cualquier otro. Así

mismo, este análisis podría ser de gran ayuda para explicar el carácter inasignable del vacío

metafísico. Por ahora, este carácter inasignable podría darse por su cualidad de potencia, ya

14

que, al ser en potencia y no en acto, no hay un espacio o un tiempo en el cual el vacío

metafísico pueda ser asignado. Sin embargo, un análisis matemático de los puntos que

componen la materia primera ampliaría nuestra comprensión de qué significa ser inasignable.

2. Los puntos matemáticos en el análisis geométrico de Cavalieri y

Galileo

2.1 Materia primera y puntos matemáticos

Como dije anteriormente, Leibniz, en su escrito “Sobre los secretos de lo sublime o sobre la

suma de las cosas”, exhorta al lector a considerar la división de la materia fluida en puntos

metafísicos o en puntos matemáticos. De modo que “los puntos matemáticos pueden ser

llamados indivisibles de Cavalieri, si no son metafísicos o mínimos” (Leibniz 2011a 77). En

este pasaje, Leibniz no considera aquello en lo que consistiría la noción de indivisible de

Cavalieri. Sin embargo, esto es algo que podríamos entrar a considerar acá.

Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo Galilei, escribió un tratado sobre el uso de los

indivisibles, llamado Geometria indivisibilibvs continvorvm: noua quadam ratione promota,

que ha sido considerado uno de los principales textos precursores del cálculo infinitesimal.

En esta obra, Cavalieri considera el área de una figura dada como el conjunto de todas las

líneas rectas paralelas que la atraviesan (cf. Struik 209). Tales líneas, que designó como

omnes líneas figurae, son llamadas también los indivisibles (indivisibilia) de una figura dada

(cf. Cavalieri 1968 113-114). De modo similar, Cavalieri consideró el volumen de un sólido

como la suma de las áreas de las figuras planas que componen dicho sólido.

Manuel Luna Alcoba observa que Cavalieri “[n]unca estuvo demasiado seguro de que

hubiese que otorgar realidad física o matemática a sus indivisibles” (1996 37). De igual

modo, Luna Alcoba hace especial hincapié en el carácter estrictamente geométrico del

análisis de Cavalieri. Por su parte, Margherita Barile y Anna Maria Pastore realizan una

lectura de Cavalieri en la cual entran en juego las ideas de su maestro Galileo, de modo que

la infinidad de líneas rectas que son asimilables a puntos pueden ser comparables con los

últimos componentes de la materia. De ahí que se pueda llegar a la conclusión de que la

superficie de un sólido se forma a partir de la superposición de un número infinito de líneas

15

de anchura minúscula (Barile y Pastore 2003). Margherita Barile y Anna Maria Pastore,

contrario a lo que afirma Manuel Luna, sí parecen adjudicar un cierto tipo de realidad a los

indivisibles de Cavalieri, realidad que, si bien no sería necesariamente física, es una en la

cual entra en juego aquello que es lo originario de la materia.

No creo prudente el juicio que hace Manuel Luna sobre los indivisibles de Cavalieri,

principalmente porque en Geometria indivisibilibvs continvorvm, un texto por cierto bastante

extenso, entran en juego fundamentalmente demostraciones geométricas de las cuales sería

difícil derivar un juicio de verdad que niegue la posible realidad física o matemática de tales

indivisibles, como lo intenta hacer Luna. Por el contrario, la dilucidación que hacen

Margherita Barile y Anna Maria Pastore de los indivisibles de Cavalieri me parece acertada,

en la media en que sigue los postulados de Galileo Galilei. La conexión entre Galileo y

Cavalieri es plausible, ya que el interés de este último por las matemáticas fue enormemente

estimulado por su encuentro con el polímata de Pisa, de quien llegó a considerarse discípulo

(cf. O’ Connor y Robertson 2014). De modo que, conduciré mis siguientes reflexiones por el

camino recorrido por Margherita Barile y Anna Maria Pastore, es decir, por aquél en el que

se sigue una lectura atenta a los postulados de Galileo para dilucidar la noción que se esconde

detrás de los indivisibles en Cavalieri.

2.2 La demostración de Galileo

Galileo Galilei, en sus Diálogos acerca de dos nuevas ciencias, desarrolla una demostración

geométrica,6 con el fin de probar que en una extensión continua puede ser reconocible la

existencia de infinitos vacíos.

Para probar lo anterior, Galileo supone realiza una demostración geométrica suponiendo un

polígono equilátero y equiángulo, en su caso un hexágono, descrito en torno a un centro (G)

y con los ángulos ABCDEF, semejante a este polígono imagina uno más pequeño,

concéntrico con el anterior, y que denota con los ángulos HIKLMN. Además de esto, Galileo

sugiere prolongar indefinidamente una línea recta que se extiende desde el punto A, pasando

6 La prueba geométrica acá descrita constituiría una demostración clásica y no analítica, es decir, se trata de una

demostración construida, literalmente, con regla y compás, derivada del mero ejercicio ilustrativo de una

imagen geométrica y no de fórmulas geométricas intrincadas, a la manera de la geometría analítica. Lo anterior

es resaltado acá, tal como lo ha señalado el profesor Tomás Barrero luego de que esta tesis fuera llevada a

escrutinio.

16

por el punto B, hasta el punto S, lo mismo propone hacer con el polígono pequeño, es decir,

trazar una recta del lado HI al punto T (cf. Galilei 49-50).

Luego de esto, Galileo exhorta a imaginar un movimiento del polígono mayor sobre la línea

que se denota AS y a imaginar el polígono menor como llevado por el movimiento del

polígono mayor. Lo que sucederá entonces es que el lado BC coincidirá con la línea BQ, que

es de igual magnitud. Y si el polígono continúa su movimiento, entonces el lado CD

coincidirá con la línea QX, lo que sucederá también con los otros lados del polígono y los

segmentos de la recta AS. Por su parte, el polígono pequeño, siguiendo el movimiento del

polígono mayor, encontrará su lado IK con la línea OP, describiendo el arco IO (véase Figura

1). Así, en un primer movimiento completo del hexámetro, el lado BC se posaría sobre BQ,

el lado IK sobre la línea OP y el punto G se situaría en C. Ahora bien, luego de repetir el

mismo movimiento sobre las rectas S, V y T, el hexámetro mayor haría seis líneas iguales

sin interrupción alguna sobre la línea AS, el polígono menor haría seis líneas iguales, pero

sin continuidad, y el punto G coincidiría con la recta GV solo en seis puntos.

Figura 1. Demostración del desplazamiento de los polígonos ABCDEF y el círculo con centro en A

Fuente: Galilei (50).

Nota: los arcos punteados representan los recorridos por los lados de las figuras en relación con los puntos

demarcados sobre la línea recta.

Ahora bien, el proceso anteriormente descrito se cumpliría, de la misma forma que con el

hexámetro, con cualquier par de polígonos semejantes, concéntricos y conexos sin importar

su número de lados. Pero ¿qué ocurriría con una figura con lados infinitos, el círculo? Este

podría parecer un problema intrincado, puesto que, al observar la Figura 1, los puntos de la

17

circunferencia menor parecerían no separarse de la recta CE, como sí lo hacía el hexágono

menor con la recta HT. Sobre esto, Galileo observa que, siguiendo el ejemplo del polígono,

la línea recorrida por los infinitos lados del círculo grande, dispuestos consecutivamente, es

igual en longitud a la recorrida por los infinitos lados del menor, pero en este último caso,

con la interposición de otros tantos espacios vacíos entre esos lados; y así como los lados no

son finitos en número, sino infinitos, así también los vacíos interpuestos no son finitos, sino

infinitos: es decir, aquéllos son infinitos puntos plenos todos; y éstos son infinitos puntos, en

parte plenos y en parte vacíos. (Galilei 53)

Galileo propone entonces que entre mayor sea el número de lados de una figura geométrica,

los vacíos interpuestos que se dibujarían por un polígono menor y concéntrico en una línea

recta serán cada vez menores, dado el movimiento de un polígono mayor de igual número de

lados. Entonces entre mayor sea el número de lados del polígono, menor será la magnitud de

los vacíos interpuestos. Sin embargo, este vacío nunca se anulará, sino que tenderá siempre

a cero7 en la medida en que el número de lados del polígono sea mayor, como lo que sucede

con el círculo. Y tal como es infinito el número de lados, es también infinito el número de

puntos que dibuja el polígono menor.

Galileo propone además imaginar la división de una línea en partes no finitas, es decir, en

“sus infinitos indivisibles”, de modo que pueda ser concebida como si se prolongara

indefinidamente y con la interposición de infinitos vacíos indivisibles no extensos. Para

Galileo, los puntos plenos de esta línea podrían ser considerados como los componentes

primarios, originarios, no extensos de la materia de los sólidos, los cuales, al ser pensados en

el espacio, no estarían interpuestos con espacios extensos vacíos sino con infinitos vacíos no

extensos (cf. Galilei 53).

2.3 De Galileo a Cavalieri

La exposición anterior nos ha conducido a considerar que la demostración geométrica que

hace Galileo, sobre el hecho de que pueda probarse en una extensión continua la existencia

de infinitos vacíos, nos podría servir para dilucidar las nociones que fundamentan los

7 Con respecto a esto, es interesante observar cómo ya desde Galileo podemos encontrar referencias implícitas

y primigenias de la noción de límite.

18

indivisibles de Cavalieri. Me gustaría proseguir ahora con aquello que aportaría Galileo a la

lectura que hacemos de aquél.

Cavalieri consideró el área de una figura como el conjunto de todas las líneas rectas paralelas

que la atraviesan y el volumen de un sólido como la suma de las áreas de figuras planas que

lo componen. Galileo, por su parte, no hace un análisis geométrico en términos de áreas, sino

que más bien se concentra en la demostración de los infinitos indivisibles que son trazados

por el movimiento imaginario de un círculo en una línea recta.

La demostración de Galileo no va desde los sólidos hacia los puntos mínimos y originarios

que pueden componerlos, sino que la lleva a cabo por medio de hipótesis geométricas, no

contradictorias, y de las cuales se deriva la existencia de tales puntos que, a su vez, son los

componentes primarios, no extensos, de la materia de los sólidos. Cavalieri, por su parte,

propone trazar las líneas rectas paralelas que podrían componer una figura dada, las cuales

pueden ser indivisibles y comparables con puntos. Alguien podría decir que tal diferencia en

los procedimientos de los dos geómetras nos conduciría a un abismo entre las dos teorías.

Sin embargo, cabe pensar que, al haber una extensa referencia sobre los indivisibles en la

obra de Galileo, Cavalieri seguramente tomó la noción de los indivisibles de los trabajos y

las demostraciones hechas por el polímata de Pisa, lo cual no es insostenible si se tienen en

cuenta los escritos de Galileo sobre Cavalieri y, además, porque es un hecho histórico la

amplia correspondencia que Cavalieri tenía con su maestro. De ahí que pueda decirse que

Cavalieri usó la teoría de los indivisibles de Galileo para realizar un trabajo que representa

un indudable aporte a la historia de las matemáticas: el cálculo de áreas y volúmenes de

sólidos por medio del método de los indivisibles.

Además de lo anterior, volviendo a lo dicho por Margherita Barile y Anna Maria Pastore,

Galileo, de hecho, compara la noción de indivisible con los componentes últimos de la

materia, en otras palabras, con sus componentes primarios no extensos e infinitos. Adjudicar

realidad física a estos puntos indivisibles, como lo pone en duda totalmente Manuel Luna,

puede ser problemático, no porque Cavalieri no esté seguro de ello, sino más bien porque, al

tratarse de puntos no extensos, no podrían ser evaluados bajo las leyes de la física, como lo

señala Leibniz. A tales puntos se les podría adjudicar, de hecho, una realidad matemática.

Pero en qué consistiría tal realidad es algo que podría evaluarse considerando algunas

19

reflexiones hechas por Leibniz sobre la matemática. Será importante, entonces, reanudar la

reflexión que hace Leibniz sobre los puntos en los cuales se encuentra dividida la materia

primera, en conjunción con la noción de indivisible de Cavalieri, leída desde las

demostraciones hechas por Galileo.

2.4 De Cavalieri a Leibniz

Leibniz, en su texto “Sobre los secretos de lo sublime, o sobre la suma de las cosas”, apela a

una demostración en torno al hecho de que cualquier parte de la materia sea conmensurable

a cualquier otra, “sea un círculo; dicho círculo es a su diámetro como un número es a otro

número. Se trata de ver si esta tesis es correcta” (Leibniz 2011a 77). Si bien Leibniz

solamente pone en juego tales nociones sin realizar realmente una demostración, que dice

haber llevado a cabo en “otro lugar”, sí consideró demostraciones matemáticas y geométricas

a la hora de realizar un análisis sobre los puntos en los que podría estar dividida la materia

fluida. Y, de hecho, justo luego de esta consideración, exhorta a tener en cuenta la división

de la materia fluida en puntos metafísicos o en puntos matemáticos, observando que, de ser

puntos matemáticos, pueden ser llamados indivisibles de Cavalieri.

Siguiendo una lectura guiada por las demostraciones hechas por Galileo, lo que ha sido

rescatado sobre los indivisibles de Cavalieri es a) el hecho de que estos puntos encuentran su

justificación en demostraciones matemáticas, b) que son puntos considerados como los

componentes primarios no extensos e indivisibles de la materia de los sólidos y c) que, si

bien fundamentan la materia de los sólidos, no pueden ser estudiados bajo las leyes de la

física. Estas tres conclusiones no resultan contradictorias con las tesis leibnicianas sobre la

materia fluida. En primer lugar, Leibniz intenta dar una demostración matemática de los

puntos que componen dicha materia. En segundo lugar, sostiene que dichos puntos no son

extensos, son indivisibles y que son los componentes últimos de la materia. Finalmente,

afirma que son puntos mínimos que no podrían ser estudiados por las leyes de la física.

He considerado hasta ahora los puntos que componen la materia fluida como puntos

matemáticos. Sin embargo, Leibniz, al hacer una disyuntiva entre los puntos matemáticos o

metafísicos, atiende también a la idea de que se traten de puntos metafísicos. Dado lo anterior,

me pregunto si acaso los puntos matemáticos no podrían ser considerados también como

puntos metafísicos, ¿esto sería entrar en una contradicción? Una opción sería considerar los

20

puntos matemáticos, o indivisibles de Cavalieri, como la única forma en la que podrían

presentarse los componentes mínimos de la materia fluida; no obstante, aún no quedaría muy

claro en qué consistiría la relación entre los puntos mínimos que componen la materia fluida

con la materia segunda. Por esta razón, entrar a evaluar los puntos matemáticos como puntos

metafísicos podría dilucidar un poco más el problema. Pero ¿existe alguna forma, en la teoría

de Leibniz, de vincular las estructuras matemáticas con las consideraciones metafísicas? En

la Disertación acerca del arte combinatorio, del año 1666, Leibniz realiza algunas

consideraciones de las cuales sería posible evaluar los puntos matemáticos como partes

fundamentales de la metafísica de Leibniz. Quisiera entonces entrar a evaluar tales

consideraciones.

3. ¿Matemáticos o metafísicos? Combinatoria, análisis binario y

metafísica

3.1 Combinatoria: matemática y metafísica

Leibniz comienza su Disertación acerca del arte combinatorio8 observando que “[l]a

aritmética es el lugar de esta doctrina” (1992 27). Así, el estudio de Leibniz, que, como

veremos, es metafísico en su más alto grado, toma la aritmética como la ciencia que puede

aclarar las nociones más básicas del pensamiento y del ser humano. La aritmética no se toma

como una ciencia aparte de la que la metafísica saque provecho, sino que, de hecho, hace

parte indisoluble de un estudio metafísico.

Lo anterior evidencia el doble carácter del arte combinatorio. Ahora bien, si situamos el

problema de los puntos matemáticos o metafísicos que componen la materia fluida dentro de

la propuesta más general de Leibniz de realizar una característica universal según el arte

combinatorio, se observará cómo la disyunción entre puntos matemáticos o metafísicos se

difumina, dado el carácter indisoluble de estas dos doctrinas.

8 Para quienes no estén familiarizados con esta ciencia, Leibniz la define, en su escrito de 1679 “Sobre la síntesis

y el análisis universal”, como aquella “ciencia […] en la que se trata de las formas de las cosas, o sea, de las

fórmulas en general, a saber, la cualidad en general, o sea, lo semejante y lo desemejante, en cuanto unas y

otras fórmulas surgen combinadas entre sí de a, b, c, etc.” (Leibniz 2011e 46).

21

En el capítulo titulado “¡Con Dios!”, Leibniz empieza haciendo algunas consideraciones

sobre aquello que es la metafísica. Para Leibniz, la metafísica trata tanto del ente como de

sus afecciones. La afección del ente puede ser absoluta, llamada cualidad, o relativa, llamada

cantidad. De modo que el tratamiento de la cualidad y la cantidad pertenecen a la metafísica.

La unidad es “lo abstracto que tiene lo uno”, y lo uno es aquello que pensamos en forma

simultánea en un acto del intelecto; por ejemplo, Leibniz invita a pensar en un número de

gran magnitud por medio de un “acto ciego del entendimiento”9. La totalidad, o el “todo

abstracto de las unidades”, es llamada número. De modo que la cantidad es el “número de

las partes” que se presenta siempre en relación o razón con otro.

Para Leibniz, los escolásticos creyeron falsamente que el número nace solamente de la

división del continuo y que no puede aplicarse a las cosas incorpóreas. Más bien, dice

Leibniz, el número es una figura incorpórea que nace de la unión de cualesquiera de los

entes, por ejemplo, “de Dios, del Ángel, del Hombre, del Movimiento, que juntos son cuatro”

(1992 31).

El número es entonces un “universalísimo” que pertenece a la metafísica. La mathesis10,

llamada también matemática, “extrae partes de varias disciplinas que tratan en el interior de

ellas la cantidad […] partes que, a causa del conocimiento, con razón, se han juntado en una

sola unidad” (Leibniz 1992 33). Una vez reconocemos el carácter de esta empresa intelectual,

podemos entender con más claridad algunas de las nociones centrales de las que Leibniz se

sirve en sus discusiones metafísicas.

9 Con “acto ciego del entendimiento” Leibniz se referiría a un acto que no es totalmente premeditado, en el que

las partes que pueden componer tal número no son sumadas o puestas en relación. Es un acto del intelecto que

se da en la simultaneidad del número y el pensamiento. 10 La mathesis universalis es conocida por ser uno de los grandes proyectos cartesianos, se trata del

descubrimiento de Descartes de pensar el método de certeza de la matemática como uno aplicable a todos los

contenidos (cf. Villalobos 246). Así pues, la expresión mathesis universalis es empleada para transmitir el ideal

cartesiano de una ciencia universal modelada sobre las matemáticas, pero más amplia y abstracta en su alcance

(cf. Cottingham 114). Leibniz retoma este ideal cartesiano, pero lo modifica siguiendo su propio estudio del

análisis de los caracteres chinos, la progresión geométrica doble y el arte combinatoria, lo que conduciría a su

characteristica universalis.

22

Se entiende variación como un cambio de relación11. Las variaciones por excelencia hacen

referencia a la variabilidad de un orden, por ejemplo, cuatro cosas pueden trasponerse de

veinticuatro maneras diferentes. Y la cantidad de todas las variaciones sería la variabilidad.

Existen dos géneros de variaciones, las complexiones y el lugar.

El número o la totalidad pueden ser divididos en “partes totales menores”, que son el

fundamento de las complexiones. Por ejemplo, un todo ABC tiene como partes menores AB,

BC, AC. Así, para que una complexión se establezca, el todo mayor debe dividirse en partes

iguales y mínimas, de modo que, por la variación de las mínimas partes, el todo menor

también varíe.

Además de esto, puede haber variación en la disposición de las mínimas partes, o lo unitario;

esta variación es llamada lugar. Leibniz observa que el lugar es o bien absoluto, o bien

relativo, dependiendo de la disposición de las unidades, ya sea en una línea recta o en un

círculo. Al disponerse en línea recta, lo hacen en un sitio absoluto, el de las partes con el todo

según un orden. Las partes, al disponerse en un círculo, lo hacen en un sitio relativo, es decir,

el de las partes con las partes, lo que se llama vecindad.

Ahora bien, las complexiones y el lugar pertenecen a la metafísica, que es también la doctrina

del todo y las partes.

Volvamos ahora a la discusión anterior. Se había dicho que Leibniz parecía situar al lector

frente a una disyuntiva sobre la naturaleza de los puntos que conforman la materia primera.

Para Leibniz, los puntos que constituyen la materia primera eran o bien metafísicos, o bien

matemáticos. Sin embargo, lo que nos hemos encontrado en su disertación es que la

metafísica, como un estudio del ente y sus afecciones, del todo y las partes, está totalmente

ligada con lo que llamó Descartes mathesis, denominado ahora matemática.

La propuesta de Leibniz de realizar toda una serie de definiciones y ponerlas en relación se

enmarca en su interés de crear una característica o lenguaje universal. El arte combinatorio

11 La definición que da Leibniz es la siguiente: “[v]ariación aquí debe entenderse como un cambio de relación.

Por tanto, una cosa es el cambio de sustancia, otra el de cantidad, otra el de calidad; nada más cambia en una

cosa, sino sólo el respecto, el lugar, o la conjunción [de éstos] con algún otro aspecto” (1992 32). La variación,

en términos generales, hace referencia a los cambios en los accidentes del ente. Sin embargo, siguiendo la línea

argumentativa de Leibniz, este se referiría acá a un ámbito metafísico de los entes.

23

trataría entonces de hacer un análisis de las ideas hasta llegar a sus componentes

significativos y, partiendo de ahí, se podría llevar a cabo la síntesis o combinación de tales

significados originarios (cf. Correia 17)

Ahora bien, la combinatoria se presenta bajo dos aspectos, principalmente, como un estudio

metafísico, pero también como un estudio aritmético. Leibniz, al ir tras las ideas más

generales del pensamiento humano, observa que cualquier todo, ya sea existente o mental,

tiene partes, ya sean existentes o posibles (conceptuales). Ahora bien, al tomar el todo y las

partes en sí mismos o, mejor dicho, la unidad como lo abstracto que tiene lo uno y la totalidad

como el todo abstracto de las unidades, entonces la cantidad, que es el número de las partes,

pertenece propiamente a la metafísica. Pero al estudiar las partes de un todo, en cuanto que

cantidad dada en relación con algo extrínseco a las partes, se observa que llegamos al ámbito

de la aritmética y el cálculo.

Dadas las anteriores definiciones y, además, expuesta la noción de Leibniz según la cual la

matemática y la aritmética harían parte de su gran proyecto metafísico, se podría realizar

ahora un análisis de algunas de las anteriores definiciones, con el fin de dilucidar un poco

más la naturaleza de los puntos que componen la materia fluida.

3.2 De las definiciones a la naturaleza de los puntos mínimos

Quisiera comenzar por aclarar dos asuntos que se dejaron abiertos antes de comenzar el

análisis de los puntos matemáticos como indivisibles: el primero, sobre la conmensurabilidad

de los puntos mínimos; el segundo, sobre su carácter inasignable. Se había preguntado si, en

efecto, cualquier punto de la materia era conmensurable con cualquier otro. Ahora bien, si

seguimos la definición de las complexiones, observaremos cómo estas operan siguiendo el

axioma de que la totalidad puede ser dividida en partes totales menores y además que, para

que una complexión sea establecida, el todo mayor debe dividirse en partes iguales y

mínimas. Hemos aclarado ya que, de hecho, los puntos que componen la materia fluida son

indivisibles, o sea, mínimos. Ahora, si se acepta que los indivisibles pueden ser evaluados

desde el ámbito de la aritmética, en la cual es aceptado el axioma de la división de una

totalidad mayor en partes totales menores, se observa cómo aritméticamente los puntos en

los que se divide la materia fluida son también iguales y, además, conmensurables en un

24

sentido estrecho del término o, más bien, conmensurables bajo el análisis del arte

combinatorio. Sobre la conmensurabilidad de cualquier punto de la materia con cualquier

otro punto, podría decirse, por ahora, que, siguiendo el arte combinatorio, cada punto puede

estar sujeto, en relación con otros puntos, a la complexión, la variación, el orden y el lugar.

Sobre el carácter inasignable del vacío metafísico, podría observarse que, en puntos

anteriores, la asignabilidad de algo era dada según la posición relativa que puede ocupar una

cosa en la serie de momentos y lugares del tiempo y el espacio; a este respecto, el carácter

inasignable de los puntos mínimos que conforman la materia fluida se da porque no hay un

espacio o un tiempo en el que los puntos mínimos puedan ser asignados, ya que son

únicamente en potencia. Ahora bien, tomando en cuenta que se trata de puntos matemáticos

o metafísicos, los puntos mínimos tienen un carácter abstracto, lógicamente hablando, en

relación con la materia segunda, lo cual hace que sean inasignables en el campo del espacio,

el tiempo y la dinámica. Se trata de puntos lógicos que se enmarcan en un ámbito anterior,

no solo al lenguaje, sino al propio ser del ser humano, es decir, se ubican en el ámbito de las

razones formales (Leibniz 2011c 212).

En cuanto a la relación de los puntos indivisibles con la unidad y el número, podría

observarse que la unidad sería entendida acá como cada uno de los puntos que componen la

materia fluida y, dado que el número es la totalidad o el todo abstracto de las unidades,

entonces el número correspondería a la totalidad de unidades o puntos mínimos que

componen a la materia fluida. Ahora bien, ya he señalado antes cómo los puntos que

componen la materia fluida poseen, para Leibniz, una magnitud infinita, pero ¿es el infinito

un número? Sí, ya que este se correspondería con el todo abstracto de las unidades, es decir,

con una totalidad de puntos mínimos de magnitud infinita.

Si se buscara considerar la variación o el cambio de relación que podrían tener los puntos

mínimos que componen la materia fluida, se observaría que lo dicho hasta ahora no podría

darnos muchas luces sobre la disposición que cada uno de los puntos mínimos tienen entre

sí. Entonces, ¿cómo podría entenderse esta variación o cambio de relación? Leibniz, en su

interés por realizar una característica universal, dedicó gran parte de su tiempo al estudio de

los caracteres chinos Fo-Hi, de los cuales derivó su descubrimiento del análisis binario. Este,

según Leibniz, podría ser de gran ayuda a la hora de pensar la variabilidad de los puntos

25

mínimos, principalmente por dos razones: la primera, porque el análisis binario de Leibniz

está totalmente pensado desde su perspectiva del arte combinatorio; la segunda, porque en su

análisis binario entran en juego dos nociones fundamentales para abordar la naturaleza de los

puntos metafísicos: la nada y la unidad.

3.3 La variación y el análisis binario o análisis geométrico doble

Leibniz, en su carta “Al padre Joachim Bouvet”, escrita en 1701, observa cómo su nuevo

cálculo numérico presenta una “admirable representación de la creación” (2011d 409). Lo

anterior porque, según tal método, todos los números se escribirían mezclando el cero y la

unidad, así como “todas las criaturas proceden únicamente de Dios y la nada”. De ahí que,

para el análisis del cálculo, Leibniz decidiera considerar una progresión que fuera “la más

simple posible”, que sería, para él, la progresión binaria, también llamada progresión

geométrica doble.

La progresión binaria consiste básicamente en que todos los números reales pueden formarse

de la combinación entre I y 0. Así, tal como I0 significa diez, I00 significa cien y I000 significa

mil en la progresión decimal, en la progresión binaria I0 sería dos, I00 sería cuatro, I000 sería

ocho, I0000 sería dieciséis, I00000 sería treinta y dos, etcétera.

I 1 I0I 5

I I

-------- --------

I0 2 II0 6

I I

-------- -------

II 3 III 7

I... I...

-------- ------

I00 4 I000 8

I ...

--------

Figura 2. Construcción de los números 1 a 8 según la progresión

binaria.

Fuente: Leibniz (2011d 410)

26

Sobre la construcción de otros números de la progresión binaria, Leibniz observa que esta se

haría siguiendo el formato presentado en la Figura 2. Así, si I + I = I0, que equivaldría a dos,

entonces el número tres sería I0 + I = II, cuatro sería II + I = I00, etcétera. Las construcciones de

estos números serían, para Leibniz, una “maravillosa armonía” constituida por periodos

regulares (cf. 2011d 410-411), tal como se observa, para él, en la Figura 3.

00000 0 I0000 16

0000I 1 I000I 17

000I0 2 I00I0 18

000II 3 I00II 19

00I00 4 I0I00 20

00I0I 5 I0I0I 21

00II0 6 I0II0 22

00III 7 I0III 23

0I000 8 II000 24

0I00I 9 II00I 25

0I0I0 10 II0I0 26

0I0II 11 II0II 27

0II00 12 III00 28

0II0I 13 III0I 29

0III0 14 IIII0 30

0IIII 15 IIIII 31

Figura 3. Construcción que muestra los periodos regulares de los

números del 0 al 31 según la progresión binaria.

Fuente: Leibniz ( 2011d 411)

Si bien muestro acá las construcciones que hace Leibniz por medio de la progresión binaria

hasta el número treinta y uno, él continúa su análisis considerando los números cubos y

cuadrados, y muestra cómo cualquier número podría formarse a partir de la combinación del

cero y la unidad en la progresión geométrica doble (cf. Leibniz 2011d 412-413).

Dicha progresión sería entonces, para Leibniz, una que podría abrir el estudio de una ciencia

nueva, dados los grandes usos que puede tener para algunas prácticas importantes. “En una

palabra, en su interior se esconde una aritmética completamente nueva, maravillosamente

fecunda en teoremas, puesto que en todo tipo de series la expresión misma de los números

está regulada” (Leibniz 2011d 412-413). Se trataría entonces del análisis más perfecto.

Aun así, lo que para Leibniz es más importante destacar es aquello que resulta de pensar que

las esencias son como los números, es decir, de considerar que las esencias más originarias

27

de todo aquello que conocemos son, realmente, aquello que fundamenta el análisis de la

progresión geométrica doble. En este sentido, si todos los números pueden formarse por la

combinación entre la unidad y el cero, es decir, entre lo que es uno y la nada, de modo que

la nada sería aquello que ayuda a diversificar la combinación de las unidades, entonces esto

se asemejaría para Leibniz con los dos principios fundamentales: Dios y la nada. Dios, quien

en su excelencia creó todas las cosas de la nada. Se trata aquí del dios de las perfecciones y

la nada de los vacíos de esencia (cf. Leibniz 2011d 414).

Si se tiene en cuenta este pequeño esbozo del análisis de la progresión geométrica doble,

quien se enfrente con este texto podría notar cómo la variabilidad ha entrado a jugar ya un

papel muy importante en la transposición de la unidad y el cero, a partir de lo cual se logran

diferentes combinaciones mediante los distintos cambios de relación. Así mismo, las

complexiones forman parte del análisis de la progresión geométrica doble, puesto que de una

totalidad infinita de lo binario se pudieron lograr partes menores, como I0, II, I00, etcétera,

siendo las partes iguales y mínimas cada una de las unidades y la variación lograda mediante

la interposición de los ceros en las unidades. También el lugar jugaría un papel muy

importante en el análisis de la progresión geométrica doble. Sin embargo, no sería muy claro

para el entendimiento humano el sitio absoluto que ocuparía cada parte con el todo según un

orden, lo que no pasaría con la vecindad, dado que las partes se disponen siempre entre ellas

en una relación relativa.

Ahora bien, si aplicáramos el análisis de la progresión geométrica doble al análisis de los

puntos mínimos, se observaría cómo estos podrían admitir la variabilidad, la complexión y

el lugar, gracias al vacío metafísico. De modo que si tomamos el vacío metafísico -siendo, al

igual que la nada, aquello que ayuda a diversificar la combinación de las unidades- como

análogo al cero y los puntos mínimos como análogos a la unidad, podrían formarse

innumerables combinaciones sujetas a la complexión y el lugar, tal como lo acabo de

mostrar12. Pero teniendo en cuenta lo dicho por Leibniz, que “las esencias son como los

12 Sin embargo, cabe preguntarse qué ocurriría en combinaciones tales como II00I o 000I0, en las cuales dos

ceros aparecen en una relación de vecindad, ya que, extrapolando esto a los diferentes vacíos metafísicos,

¿podríamos encontrar acaso dos vacíos mínimos en una relación de vecindad? Sí, puesto que, bajo la matemática

divina, esto aumentaría el número de las combinaciones de posibles existentes y al haber un número mayor de

posibilidades, entonces aumenta también la actualidad de los existentes.

28

números”, ¿de qué servirían las innumerables combinaciones de los puntos mínimos de la

materia fluida en el proyecto divino?

3.4 El lugar de los puntos mínimos en el proyecto de la matemática divina

Algunos podrían decir que pensar en una estructura general, con una metafísica determinante

y una física, falla en la medida en que las posibilidades o esencias anteriores a la existencia

física, imaginarias y ficticias son lo determinante del sistema. Leibniz sopesa este argumento

en su escrito de 1697 “Sobre la originación radical de las cosas” y observa que “ni estas

esencias ni las que llaman verdades eternas que se refieren a ellas son ficticias, sino que

existen, por decirlo así, en cierta región de las ideas, es decir, en Dios mismo” (2011c 212).

De modo que tanto las posibilidades como las verdades eternas existen, además, porque las

cosas existentes no pueden proceder más que de las existentes. Pero es preciso que ellas

tengan existencia en un sujeto absoluto y metafísicamente necesario, Dios, “por el cual […]

se realicen estas cosas que de otra manera serían imaginarias” (ibíd.).

Así, “las razones del mundo están ocultas en algo extramundano, diferente del

encadenamiento de los estados o serie de cosas, cuyo agregado constituye el mundo” (Leibniz

2011c 212). Sin embargo, Leibniz observa que, para explicar de qué modo las verdades

físicas nacen de las verdades esenciales o metafísicas, se debe reconocer que en las cosas

posibles o esencia hay una “pretensión a la existencia”, es decir, que “la esencia tiende por

sí misma a la existencia”. De lo que se sigue que todas las cosas posibles tienden a la

existencia en proporción al grado de perfección que implican, es decir, en proporción al grado

mayor de esencia o posibilidad (cf. id. 209-210).

De ahí que, entre las inagotables combinaciones de los posibles13, exista aquélla mediante la

cual sobreviene el mayor grado de esencia o posibilidad. ¿Pero de qué modo podría

13 Dado que Leibniz acepta la existencia de infinitos grados de infinitos (cf. Luna 215), sería importante

considerar cómo las combinaciones posibles del vacío y la unidad son contenidas en un grado mayor de infinito

en comparación con los existentes en acto. De modo tal que, al haber más combinaciones de los posibles, se

aumenta también la posibilidad de los existentes.

29

garantizarse el mayor grado de posibilidad de los posibles? A este respecto, Leibniz observa

que

siempre hay en las cosas un principio de determinación que se debe sacar de una

consideración del máximo o mínimo, a saber, que se garantice el máximo efecto con el

menor gasto, por así decirlo. Y aquí, el tiempo, el lugar o, para decirlo con una palabra,

la receptividad o la capacidad del mundo puede ser considerada como el gasto, o sea, el

terreno en el que se debe edificar lo más ventajosamente que se pueda. Pero la variedad

de formas en el mundo responde a la comodidad del edificio y a la multitud y elegancia

de las habitaciones. Y sucede como en ciertos juegos en los que hay que llenar todas las

casillas de un tablero según leyes determinadas. (Leibniz 2011c 210)

En ese sentido, el cambio de lo posible a lo actual se haría mediante el cálculo del máximo

posible respecto a la capacidad del orden de lo existente en acto. De esto resultaría entonces

una manera en la cual se realiza la determinación del máximo de esencia en el origen de las

cosas: una matemática divina o mecánica metafísica14. De modo que el mundo viene a ser la

realización de la máxima producción de posibles (cf. Leibniz 2011c 211).

Si bien Leibniz no atribuye a los puntos mínimos o metafísicos un carácter explícito de

posibilidad, en cuanto que fundamento del famosísimo argumento de los mundos posibles,

sí observa, en “Sobre los secretos de lo sublime, o sobre la suma de las cosas”, cómo la

división de la materia en infinitos puntos mínimos es cierta y posible, puesto que aumenta la

posibilidad de los existentes y la armonía de las cosas (cf. Leibniz 2011a 77). De ahí que

Leibniz observe cómo la división de la materia fluida constituye de alguna forma una

condición formal, al determinar la posibilidad de los existentes y la armonía de las cosas.

Pero ¿acaso se podría llegar a pensar la posibilidad de los puntos mínimos como análoga a la

posibilidad de las esencias originarias esbozadas en el escrito “Sobre la originación radical

de las cosas”?

14 Si bien Leibniz llama “mecánica metafísica” a la matemática divina, esto no debe hacer pensar a los lectores

que Leibniz intente estudiar los fundamentos originarios de lo existente en acto desde los postulados de la física

mecánica. Leibniz la llama así, debido a que en tal mecánica actuarían principios tan congénitos a las esencias

o a la metafísica (por ejemplo, la tendencia de los posibles a la existencia) como lo son a la física la tendencia

a la gravedad o el peso de los cuerpos.

30

Las esencias originarias de las cosas y los puntos mínimos poseen las siguientes propiedades

análogas: a) un carácter formal, primario y originario sobre lo que constituiría el mundo

físico, b) un carácter de potencia o de posibilidad, c) ser gobernados por la posibilidad de

construcción de infinitas combinaciones y d) ser objeto de agencia del estudio de una

matemática metafísica. Tales propiedades análogas podrían sugerir la identificación de las

esencias originarias con los puntos mínimos de la materia fluida.

Sin embargo, al pensar en el cálculo maximizador de las esencias, que supone la existencia

de combinaciones en las cuales adviene a la existencia la mayor cantidad de esencia o

posibilidad, se observa que es difícil pensar cómo algunas de las combinaciones de los puntos

mínimos podrían sugerir una mayor cantidad de esencia o posibilidad. Podría pensarse que

las combinaciones del tipo II, III, IIII, IIIII, etcétera, que no contienen la nada o el cero en sus

construcciones, serían aquellas que poseerían la mayor cantidad de esencia o perfección y

estarían seguidas por aquellas construcciones que poseen el mínimo posible de ceros. Sin

embargo, como se vio anteriormente, tanto el cero como la nada y el vacío metafísico son

importantes para pensar la variabilidad en la combinación de las unidades. Entonces, no

sabría a ciencia cierta cómo podrían darse las combinaciones de los puntos mínimos, en las

cuales adviene a la existencia la mayor cantidad de esencia o posibilidad. No obstante, sería

claro cómo el análisis de los máximos podría ser cualitativo y exige, bajo los preceptos de

una matemática divina, el máximo posible de esencia. Preceptos cualitativos que no podrían

develarse fácilmente desde el entendimiento humano, ya que corresponderían, más bien, a

una mente o entendimiento divino.

Ahora bien, como se expuso en puntos anteriores, Leibniz, en las “Cartas a Des Bosses”,

observa cómo la materia segunda y primera están contenidas en el vínculo sustancial o

esencia del compuesto (cf. 2011b 259). El vínculo sustancial constituye formalmente la

sustancia corporal o compuesta que acompaña las mónadas y es efecto del entendimiento y

la voluntad divina, consistiendo en fenómenos que Dios percibe mediante la ciencia de la

visión15.

15 “Se trata de la ciencia media de la visión, propuesta por Fonseca y Molina, según la cual Dios vería el porvenir

como en un espejo” (Echeverría 251. Nota al pie). De modo que “Dios ve las cosas exactamente tal como son,

según la verdad geométrica, aunque sepa también cómo aparece cada cosa a cualquier otro; y así, contiene en

sí todas las apariencias de manera eminente” (Leibniz 2011b 251).

31

El vínculo sustancial no es análogo a las mónadas, no es un modo de las mónadas, como

tampoco las mónadas son una parte sustancial de los cuerpos. El vínculo sustancial es algo

sobreañadido a las mónadas, existe aparte de ellas y estas pueden existir aparte de él; en otras

palabras, es natural respecto a las mónadas, pero no requiere de ellas (cf. Leibniz 2011b 254-

260).

Dado que el vínculo sustancial acompaña naturalmente a las mónadas, este responde a las

afecciones de la mónada en el curso de la naturaleza, a sus percepciones y apetitos, pero es

absoluto, no sufre de generación ni corrupción –lo que pasa también con la mónada–.

Empero, el vínculo sustancial puede cambiar y acomodarse a otras mónadas (cf. Leibniz

2011b 254, 257).

De modo que la sustancia compuesta o vínculo sustancial consistiría en la fuerza activa y

fuerza pasiva primitivas –materia primera y materia segunda–, “de las que proceden las

cualidades, las acciones y las pasiones del compuesto que son captadas por los sentidos” (cf.

Leibniz 2011b 262).

Los puntos mínimos que componen la materia fluida poseerían entonces un doble carácter de

posibilidad: el primero, que consiste en constituir los posibles originarios y fundamentales

de los existentes actuales mediante la combinatoria y variabilidad de infinitas partes

compuestas por la nada y la unidad; el segundo, que consiste en ser parte del vínculo

sustancial que acompaña naturalmente a las mónadas.

Así pues, si consideráramos la tercera objeción hecha por Leibniz en contra de los defensores

del vacío físico, la cual fue expuesta acá en la sección 1.1 y según la cual el vacío podría

pensarse como una propiedad de Dios, observaríamos que, siguiendo lo dicho en la presente

sección, la matemática divina no correspondería con una propiedad de Dios, sino que, más

bien, siguiendo la teoría de Leibniz sobre la multiplicidad de grados de infinito, el infinito

que compone las esencias y las posibilidades de las cosas, si bien encuentra su unidad en

Dios, ocuparía un grado infinito menor que el que se encontraría en Dios en cuanto que

plasma aquello sobre lo cual Él obraría por medio de la matemática divina. Por lo tanto, el

vacío metafísico, que comparte la esfera de las esencias, no es una propiedad de Dios en

cuanto que trata de un grado infinito menor en comparación con el infinito divino.

32

Consideraciones finales

Empecemos, pues, por dar una visión retrospectiva del asunto tratado en este ensayo. En la

primera sección mostré algunos de los argumentos de Leibniz esgrimidos en contra de los

defensores del vacío, luego entré a considerar el vacío metafísico y la materia en la cual se

contiene tal vacío. Expuse entonces la noción de vacío metafísico y realicé algunas conjeturas

sobre la naturaleza de tal materia, para finalmente considerar la materia primera y la materia

segunda de los escolásticos, lo que ayudó a iluminar el concepto de vacío metafísico desde

un indispensable punto de vista histórico.

En la segunda sección realicé una lectura retrospectiva de la noción de puntos matemáticos

siguiendo las reflexiones y demostraciones de Galileo y Cavalieri, concentrándome en la

reflexión de los puntos matemáticos desde un análisis geométrico, donde aquello que está en

juego es una geometría demostrativa de los puntos originarios que componen la materia

fluida. Sobre este punto observé cómo tanto Leibniz como Cavalieri coinciden en tres

aspectos: el primero, según el cual los puntos mínimos encuentran su justificación en

demostraciones matemáticas; el segundo, en el cual se sostiene que dichos puntos no son

extensos, sino que son indivisibles y son los componentes últimos de la materia; finalmente,

que son puntos mínimos que no podrían ser estudiados por las leyes de la física.

En la tercera sección me concentré en un análisis de las nociones de la combinatoria de

Leibniz a la luz de lo dicho en el segundo apartado sobre los puntos mínimos. En busca de

explicar la variabilidad, esto desembocó en el análisis binario, donde sugerí entender la

disposición de los puntos mínimos en términos no solo de la combinatoria, sino también del

análisis geométrico doble o análisis binario. Luego de observar cómo los puntos mínimos

poseen un carácter formal, primario y originario sobre lo que constituiría el mundo físico, de

ver cómo tienen un carácter de potencia o posibilidad, así como también considerar el hecho

de que están sujetos a la construcción de infinitas combinaciones y, por último, observar que

son condiciones del estudio de una matemática metafísica, destaqué cómo los posibles

originarios y fundamentales de los existentes actuales son sujetos al arte combinatorio y a la

variabilidad de infinitas partes compuestas por la nada y la unidad, y, al ser parte de la materia

33

fluida, mostré como también son parte del vínculo sustancial que acompaña naturalmente a

las mónadas.

Quisiera ahora retomar las tres principales objeciones hechas por Leibniz al vacío para

someter a examen la noción de vacío metafísico acá propuesta. Este ensayo comenzó

observando cómo Leibniz en muchos de sus escritos se muestra opuesto a la noción de vacío,

básicamente por las siguientes razones: la primera, según la cual no hay vacío de formas, ni

en el espacio ni en el tiempo, puesto que, bajo la creación divina, algo perfecto ha de ser

preferido en lugar de muchos imperfectos equipolentes entre sí (cf. Leibniz 2011a 75). La

segunda, en la que se muestra contrario a aquellos que intentan derivar del movimiento de

los sólidos la existencia del vacío. La tercera, que se sigue de considerar el espacio como una

propiedad de las sustancias y que consiste en que sería inconcebible pensar que el vacío sea

una propiedad de Dios, puesto que habría en su esencia partes vacías y llenas, y, en

consecuencia, sujetas a un cambio perpetuo.

Sin embargo, siguiendo el contenido de este ensayo, ¿la noción de vacío metafísico podría

liberarse de las anteriores tres objeciones? Si consideramos el primer argumento, se ha

observado ya que el vacío metafísico no se da ni en el espacio ni en el tiempo y que, además,

si bien bajo la creación divina algo perfecto ha de ser preferido a muchos imperfectos

equipolentes entre sí, el vacío metafísico ayudaría a aumentar la cantidad de posibles

existentes en acto, con lo cual aumentaría la armonía de las cosas. De lo que resulta que el

vacío metafísico podría liberarse de la primera objeción.

Consideraré ahora la segunda objeción. Se ha observado ya que el vacío metafísico no se

deriva del movimiento de los sólidos, sino que, más bien, subsiste en una materia fluida que

es originaria o anterior a los sólidos. Además, se ha explicado ya cómo la materia primera,

que es fluida, y la acción de la materia segunda son contenidas en la sustancia completa o

sustancia corporal, de modo tal que estas dos materias serían aquellas de las cuales proceden

las cualidades, las acciones y las pasiones del compuesto captadas por los sentidos. De lo que

resulta que el vacío metafísico no podría derivarse del movimiento de los sólidos, sino que,

más bien, es su condición de posibilidad. Así, el vacío metafísico podría liberarse de la

segunda objeción.

34

Entro ahora a evaluar la tercera objeción. Había mostrado ya cómo Leibniz observa que “ni

[las] esencias ni las que llaman verdades eternas que se refieren a ellas son ficticias, sino que

existen, por decirlo así, en cierta región de las ideas, es decir, en Dios mismo” (2011c 212).

De modo que tanto las posibilidades como las verdades eternas encuentran su existencia en

un sujeto absoluto y metafísicamente necesario, Dios, “por el cual […] se realicen estas cosas

que de otra manera serían imaginarias” (ibíd.). Lo primero que se muestra es una posible

incompatibilidad entre dos pasajes, el primero en el que se afirma que es inconcebible pensar

que el vacío sea una propiedad de Dios, como se esgrime en las cartas de Leibniz a Clarke;

el segundo en el que se afirma que las esencias anteriores a la existencia física, tales como

los puntos mínimos y el vacío metafísico, se encuentran en Dios mismo, lo cual es expuesto

en el escrito “Sobre la originación radical de las cosas”. Sin embargo, decir que algo se

encuentra en algo no significa necesariamente que esta primera cosa sea una propiedad de lo

segundo. Leibniz aseguró en su argumento contra Clarke que pensar el vacío como una

propiedad de Dios se asemejaría a pensar en Dios como un universo entero, donde aquello

que está en el tiempo está a su vez en la esencia de Dios, o donde el espacio infinito es lo

mismo que la inmensidad de Dios, lo cual sería para Leibniz un galimatías (cf. 1980 111).

Ahora bien, Leibniz acepta la existencia de infinitos grados de infinitos (cf. Luna 215), con

lo cual, diría yo, el infinito que compone las esencias y las posibilidades, si bien encuentra

su unidad en Dios, consiste en un grado menor de infinito que la inmensidad e infinitud

divina. Este grado de infinito menor se encontraría en Dios en cuanto que plasma aquello

sobre lo cual Él obraría por medio de su matemática divina, pero no es una propiedad de

Dios en la medida en que se trata de un grado de infinito menor en comparación con la

infinitud divina. De este modo, el vacío metafísico podría liberarse de la tercera objeción.

Este ensayo, como lo dije en la introducción, estuvo encaminado por la idea de pensar el

mundo como algo que ha sido escrito en caracteres matemáticos. Sin embargo, lo hecho hasta

ahora constituiría apenas un opúsculo de lo que sería un análisis más completo de las

nociones de la metafísica de Leibniz en las que incluiría la continuidad, el infinito y los

infinitesimales, que, eventualmente, podrían leerse también en términos de una combinatoria

y, probablemente, en términos de un análisis binario.

35

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