Lean Sigma · Web viewUn productor de vinos quiere saber la composición química del vino con...

Lean Sigma

Mínimos Cuadrados Parciales (PLS)

Dr. Primitivo Reyes Aguilar / enero 2010

Modelo Lineal General P. Reyes / enero 2010

Contenido

MODELO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARCIALES (PLS) - Minitab..........................................3

MODELO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARCIALES (PLS) – Statgraphics................................11

Resumen......................................................................................................................... 11

2


MODELO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARCIALES (PLS) - Minitab

Un productor de vinos quiere saber la composición química del vino con relación a evaluaciones sensoriales. Se tienen 37 muestras de vino cada uno descrito por 17 concentraciones de elementos (Cd, Mo, Mn, Ni, Cu, Al, Ba, Cr, Sr, Pb, B, Mg, Si, Na, Ca, P y K) y la calificación sobre el aroma del vino de un panel de jueces. Se quiere predecir la calificación de aroma a partir delos 17 elementos y determinar que la técnica PLS es apropiada dado que la relación de predictores a muestras es bajo. No. Cd Mo Mn Ni Cu Al Ba Cr Sr

1 0.005 0.044 1.51 0.122 0.83 0.982 0.387 0.029 1.23

2 0.055 0.16 1.16 0.149 0.066 1.02 0.312 0.038 0.975

3 0.056 0.146 1.1 0.088 0.643 1.29 0.308 0.035 1.14

4 0.063 0.191 0.959 0.38 0.133 1.05 0.165 0.036 0.927

5 0.011 0.363 1.38 0.16 0.051 1.32 0.38 0.059 1.13

6 0.05 0.106 1.25 0.114 0.055 1.27 0.275 0.019 1.05

7 0.025 0.479 1.07 0.168 0.753 0.715 0.164 0.062 0.823

8 0.024 0.234 0.906 0.466 0.102 0.811 0.271 0.044 0.963

9 0.009 0.058 1.84 0.042 0.17 1.8 0.225 0.022 1.13

10 0.033 0.074 1.28 0.098 0.053 1.35 0.329 0.03 1.07

11 0.039 0.071 1.19 0.043 0.163 0.971 0.105 0.028 0.491

12 0.045 0.147 2.76 0.071 0.074 0.483 0.301 0.087 2.14

13 0.06 0.116 1.15 0.055 0.18 0.912 0.166 0.041 0.578

14 0.067 0.166 1.53 0.041 0.043 0.512 0.132 0.026 0.229

15 0.077 0.261 1.65 0.073 0.285 0.596 0.078 0.063 0.156

16 0.064 0.191 1.78 0.067 0.552 0.633 0.085 0.063 0.192

17 0.025 0.009 1.57 0.041 0.081 0.655 0.072 0.021 0.172

18 0.02 0.027 1.74 0.046 0.153 1.15 0.094 0.021 0.358

19 0.034 0.05 1.15 0.058 0.058 1.35 0.294 0.006 1.12

20 0.043 0.268 2.32 0.066 0.314 0.627 0.099 0.045 0.36

21 0.061 0.245 1.61 0.07 0.172 2.07 0.071 0.053 0.186

22 0.047 0.161 1.47 0.154 0.082 0.546 0.181 0.06 0.898

23 0.048 0.146 1.85 0.092 0.09 0.889 0.328 0.1 1.32

24 0.049 0.155 1.73 0.051 0.158 0.653 0.081 0.037 0.164

25 0.042 0.126 1.7 0.112 0.21 0.508 0.299 0.054 0.995

26 0.058 0.184 1.28 0.095 0.058 1.3 0.346 0.037 1.17

27 0.065 0.211 1.65 0.102 0.055 0.308 0.206 0.028 0.72

28 0.065 0.129 1.56 0.166 0.151 0.373 0.281 0.034 0.889

29 0.068 0.166 3.14 0.104 0.053 0.368 0.292 0.039 1.11

30 0.067 0.199 1.65 0.119 0.163 0.447 0.292 0.058 0.927

31 0.084 0.266 1.28 0.087 0.071 1.14 0.158 0.049 0.794

32 0.069 0.183 1.94 0.07 0.095 0.465 0.225 0.037 1.19

33 0.087 0.208 1.76 0.061 0.099 0.683 0.087 0.042 0.168

3


34 0.074 0.142 2.44 0.051 0.052 0.737 0.408 0.022 1.16

35 0.084 0.171 1.85 0.088 0.038 1.21 0.263 0.072 1.35

36 0.106 0.307 1.15 0.063 0.051 0.643 0.29 0.031 0.885

37 0.102 0.342 4.08 0.065 0.077 0.752 0.366 0.048 1.08

No. Pb B Mg Si Na Ca P K Aroma

1 0.561 2.63 128 17.3 66.8 80.5 150 1130 3.3

2 0.697 6.21 193 19.7 53.3 75 118 1010 4.4

3 0.73 3.05 127 15.8 35.4 91 161 1160 3.9

4 0.796 2.57 112 13.4 27.5 93.6 120 924 3.9

5 1.73 3.07 138 16.7 76.6 84.6 164 1090 5.6

6 0.491 6.56 172 18.7 15.7 112 137 1290 4.6

7 2.06 4.57 179 17.8 98.5 122 184 1170 4.8

8 1.09 3.18 145 14.3 10.5 91.9 187 1020 5.3

9 0.048 6.13 113 13 54.4 70.2 158 1240 4.3

10 0.552 3.3 140 16.3 70.5 74.7 159 1100 4.3

11 0.31 6.56 103 9.47 45.3 67.9 133 1090 5.1

12 0.546 3.5 199 9.18 80.4 66.3 212 1470 3.3

13 0.518 6.43 111 11.1 59.7 83.8 139 1120 5.9

14 0.699 7.27 107 6 55.2 44.9 148 854 7.7

15 1.02 5.04 94.6 6.34 10.4 54.9 132 899 7.1

16 0.777 5.56 110 6.96 13.6 64.1 167 976 5.5

17 0.232 3.79 75.9 6.4 11.6 48.1 132 995 6.3

18 0.025 4.24 80.9 7.92 38.9 57.6 136 876 5

19 0.206 2.71 120 14.7 68.1 64.8 133 1050 4.6

20 1.28 5.68 98.4 9.11 19.5 64.3 176 945 6.4

21 1.19 4.42 87.6 7.62 11.6 70.6 156 820 5.5

22 0.747 8.11 160 19.3 12.5 82.1 218 1220 4.7

23 0.604 6.42 134 19.3 125 83.2 173 1810 4.1

24 0.767 4.91 86.5 6.46 11.5 53.9 172 1020 6

25 0.686 6.94 129 43.6 45 85.9 165 1330 4.3

26 1.28 3.29 145 16.7 65.8 72.8 175 1140 3.9

27 1.02 6.12 99.3 27.1 20.5 95.2 194 1260 5.1

28 0.638 7.28 139 22.2 13.3 84.2 164 1200 3.9

29 0.831 4.71 125 17.6 13.9 59.5 141 1030 4.5

30 1.02 6.97 131 38.3 42.9 85.9 164 1390 5.2

31 1.3 3.77 143 19.7 39.1 128 146 1230 4.2

32 0.915 2 123 4.57 7.51 69.4 123 943 3.3

33 1.33 5.04 92.9 6.96 12 56.3 157 949 6.8

34 0.745 3.94 143 6.75 36.8 67.6 81.9 1170 5

35 0.899 2.38 130 6.18 101 64.4 98.6 1070 3.5

36 1.61 4.4 151 17.4 7.25 103 177 1100 4.3

4


37 1.77 3.37 145 5.33 33.1 58.3 117 1010 5.2

Instrucciones de Minitab:

7 File > Open worksheet > WINEAROMA.MTW.

2 Stat > Regression > Partial Least Squares.

3 En Responses, seleccionar Aroma.

4 En Predictors, seleccionar Cd-K.

5 En Maximum number of components, teclear 17.

6 Pulsar Validation, y seleccionar Leave-one-out. Pulsar OK.

7 Pulsar Graphs, y seleccionar Model selection plot, Response plot, Std Coefficient plot, Distance plot, Residual versus leverage plot, y Loading plot. Quitar selección de Coefficient plot. Pulsar OK en cada caja de diálogo.

Los resultados son los siguientes:

PLS Regression: Aroma versus Cd, Mo, Mn, Ni, Cu, Al, Ba, Cr, ...

Number of components selected by cross-validation: 2Number of observations left out per group: 1Number of components cross-validated: 17

Model Selection and Validation for Aroma

Components X Variance Error SS R-Sq PRESS R-Sq (pred) 1 0.225149 16.5403 0.598569 22.3904 0.456585 2 0.366697 12.3044 0.701374 22.1163 0.463238 3 8.9938 0.781720 23.3055 0.434377 4 8.2761 0.799139 22.2610 0.459726 5 7.8763 0.808843 24.1976 0.412726 6 7.4542 0.819087 28.5973 0.305945 7 7.2448 0.824168 31.0924 0.245389 8 7.1581 0.826274 30.9149 0.249699 9 6.9711 0.830811 32.1611 0.219451 10 6.8324 0.834178 31.3590 0.238920 11 6.7488 0.836207 32.1908 0.218732 12 6.6955 0.837501 34.0891 0.172660 13 6.6612 0.838333 34.7985 0.155442 14 6.6435 0.838764 34.5011 0.162660 15 6.6335 0.839005 34.0829 0.172811

5


16 6.6296 0.839100 34.0143 0.174476 17 6.6289 0.839117 33.8365 0.178789

Se muestra el modelo óptimo con dos componentes, definido como el que tiene el mayor R^2, en este caso es 0.46.

Analysis of Variance for Aroma

Source DF SS MS F PRegression 2 28.8989 14.4494 39.93 0.000Residual Error 34 12.3044 0.3619Total 36 41.2032

En el ANOVA anterior seindica que el modelo es significativo a un alfa de 0.05 ya que P = 0.000

161412108642

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Components

R-Sq

optimal

FittedCrossval

Variable

PLS Model Selection Plot(response is Aroma)

En esta gráfica la línea vertical indica que el modelo óptimo tiene dos componentes. Se puede ver que la capacidad predictiva de los modelos con más de cuatro componentes decrece rápidamente.

En esta gráfica se observa que la R^2 para dos componentes es de 70.1% y una R^2 de predicción de 46.3%. Un modelo de cuatro componentes tiene una R^2 de 79.9% pero una R^2 de predicción menor (46%).

Al comparar la R^2 de predicción del PLS de dos componentes (46%) se ve que es mayor a la R^2 de predicción de 17 componentes del método de mínimos cuadrados en rojo de (17.88%).

6


L a Varianza X indica la cantidad de variancia en los predictores que es explicada por el modelo. En este ejemplo, el modelo de dos componentes explica el 36.7% de la varianza en los predictores.

876543

8

7

6

5

4

3

Actual Response

Calcu

late

d Re

spon

se

FittedCrossval

Variable

PLS Response Plot(response is Aroma)

2 components

En esta gráfica como los puntos se encuentran en un patrón lineal, el modelo ajusta adecuadamente a los datos, no se observan diferencias significativas entre los puntos de respuesta ajustada y los de validación cruzada.

161412108642

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

Predictors

Stan

dard

ized

Coef

ficie

nts

PLS Std Coefficient Plot(response is Aroma)

2 components

7


La gráfica de coeficientes estandarizados para los predictores, se utiliza para interpretar la magnitud y signo de los coeficientes. Los elementos Sr, B, Mo, Ba, Mg, Pb y Ca tienen los coeficientes estandarizados más grandes y por tanto mayor impacto en el aroma. Los elementos Mo, Cr, Pb y B son positivos en relación al aroma, mientras que Cd, Ni, Cu, Al, BA y Sr están relacionados en forma negativa.

0.20.10.0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.3

Component 1

Com

pone

nt 2 K

P

Ca

Na

Si

Mg

BPb

Sr

Cr

Ba

Al

CuNi

Mn

Mo

Cd

PLS Loading Plot

En esta gráfica de carga se compara la influencia relativa de los predictores en la respuesta. En este ejemplo, el Cu, Mn tienen líneas muy cortas, indicando baja carga y no se relaciona con el aroma. Los elementos Sr, Mg y Ba tienen líneas largas, indicando que tienen cargas altas y están más relacionadas con el aroma.

0.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Distance From X

Dist

ance

From

Y

PLS Distance Plot2 components

8


La gráfica de distancia y la gráfica de residuales vs apalancamiento muestra outliers y apalancamientos. Se puede usar el Brushing para comparar al resto de los datos.

Las observaciones 14 y 32 tienen un valor de distancia mayor en el eje Y. Las observaciones en filas 7, 12 y 23 tienen un valor mayor de distancia en el eje X.

1.00.80.60.40.20.0

2

1

0

-1

-2

Leverages

Stan

dard

ized

Resid

ual

0.108

PLS Residual Versus Leverage(response is Aroma)

2 components

La gráfica de residuos vs apalancamiento confirma estos hallazgos, mostrando que: Las observaciones 14 y 32 son outliers, porque están fuera de la líneas horizontales de

referencia. Las observaciones en filas 7, 12 y 23 tienen valores extremos de apalancamiento, ya que

están a la derecha de la línea vertical de referencia.

9


MODELO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARCIALES (PLS) – Statgraphics

Resumen

El procedimiento Mínimos Cuadrados Parciales (PLS – Partial Least Squares) está diseñadopara construir un modelo estadístico que relaciona múltiples variables independientes X conmúltiples variables dependientes Y. El procedimiento es mucho más útil cuando hay muchosfactores y el objetivo principal es predecir las variables respuesta. Los mínimos cuadradosparciales (PLS) son ampliamente usados por ingenieros químicos y quimiométricos paracalibración espectrométrica.

StatFolio de Ejemplo: pls.sgp

Datos de Ejemplo:El archivo spectra.sf6 contiene los espectros observados de n = 33 muestras que contienenconcentraciones conocidas de dos aminoácidos, tirosina (tyrosine) y triptofano (tryptophan). Losespectros están medidos a k = 30 frecuencias. Una porción de los datos, tomados de McAvoy etal. (1989), se muestra a continuación:

SampleTryptophan Tyrosine f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12

17mix35 0.00003

0.00000001 -6.215 -5.809 -5.114 -3.963 -2.897 -2.269 -1.675 -1.235 -0.9 -0.659 -0.497 -0.395

19mix35 0.0000297 0.0000003 -5.516 -5.294 -4.823 -3.858 -2.827 -2.249 -1.683 -1.218 -0.907 -0.658 -0.501 -0.4

21mix35

0.00002925

0.00000075 -5.519 -5.294 -4.501 -3.863 -2.827 -2.28 -1.716 -1.262 -0.939 -0.694 -0.536 -0.444

23mix35 0.0000285 0.0000015 -5.294 -4.705 -4.262 -3.605 -2.726 -2.239 -1.681 -1.25 -0.925 -0.697 -0.534 -0.437

25mix35 0.000027 0.000003 -4.6 -4.069 -3.764 -3.262 -2.598 -2.191 -1.68 -1.273 -0.958 -0.729 -0.573 -0.47

27mix35 0.0000225 0.0000075 -3.812 -3.376 -3.026 -2.726 -2.249 -1.919 -1.541 -1.198 -0.951 -0.764 -0.639 -0.57

29mix35 0.000015 0.000015 -3.053 -2.641 -2.382 -2.194 -1.977 -1.913 -1.728 -1.516 -1.317 -1.158 -1.029 -0.963

28mix35 0.0000075 0.0000225 -2.626 -2.248 -2.004 -1.839 -1.742 -1.791 -1.786 -1.772 -1.728 -1.666 -1.619 -1.591

26mix35 0.000003 0.000027 -2.37 -1.99 -1.754 -1.624 -1.56 -1.655 -1.772 -1.899 -1.982 -2.074 -2.157 -2.211

24mix35 0.0000015 0.0000285 -2.326 -1.952 -1.702 -1.583 -1.507 -1.629 -1.771 -1.945 -2.115 -2.297 -2.448 -2.585

22mix35

0.00000075

0.00002925 -2.277 -1.912 -1.677 -1.556 -1.487 -1.63 -1.791 -1.969 -2.203 -2.437 -2.655 -2.844

10


20mix35 0.0000003 0.0000297 -2.266 -1.912 -1.688 -1.546 -1.5 -1.64 -1.801 -2.011 -2.277 -2.545 -2.823 -3.094

18mix35

0.00000001 0.00003 -2.258 -1.9 -1.666 -1.524 -1.479 -1.621 -1.803 -2.043 -2.308 -2.626 -2.895 -3.214

trp2 0.00010.00000001 -5.922 -5.435 -4.366 -3.149 -2.124 -1.392 -0.78 -0.336 -0.002 0.233 0.391 0.49

mix5 0.00009 0.00001 -3.932 -3.411 -2.964 -2.462 -1.836 -1.308 -0.796 -0.39 -0.076 0.147 0.294 0.394

mix4 0.000075 0.000025 -2.996 -2.479 -2.099 -1.803 -1.459 -1.126 -0.761 -0.424 -0.144 0.06 0.195 0.288

mix3 0.00005 0.00005 -2.128 -1.661 -1.344 -1.16 -0.996 -0.877 -0.696 -0.495 -0.313 -0.165 -0.042 0.032

mix6 0.00001 0.00009 -1.14 -0.757 -0.497 -0.362 -0.329 -0.412 -0.513 -0.647 -0.772 -0.877 -0.958 -1.04

43trp6 0.0000010.00000001 -5.915 -5.918 -6.908 -5.428 -4.117 -5.103 -4.66 -4.351 -4.023 -3.849 -3.634 -3.634

59mix6 0.0000009 0.0000001 -5.903 -5.903 -5.903 -5.082 -4.213 -5.083 -4.838 -4.639 -4.474 -4.213 -4.001 -4.098

51mix6 0.00000075

0.00000025 -5.907 -5.907 -5.415 -4.843 -4.213 -4.843 -4.843 -4.483 -4.343 -4.006 -4.006 -3.912

49mix6 0.0000005 0.0000005 -5.419 -5.091 -5.091 -4.648 -4.006 -4.846 -4.648 -4.483 -4.343 -4.22 -4.22 -4.22

53mix6 0.00000025

0.00000075 -5.083 -4.837 -4.837 -4.474 -3.826 -4.474 -4.639 -4.838 -4.837 -4.639 -4.639 -4.641

57mix6 0.0000001 0.0000009 -5.082 -4.836 -4.639 -4.474 -3.826 -4.636 -4.638 -4.638 -4.837 -5.082 -5.082 -5.408

41tyro6

0.00000001 0.000001 -5.104 -4.662 -4.662 -4.358 -3.705 -4.501 -4.662 -4.859 -5.104 -5.431 -5.433 -5.918

28trp5 0.000010.00000001 -5.937 -5.937 -5.937 -4.526 -3.544 -3.17 -2.573 -2.115 -1.792 -1.564 -1.4 -1.304

37mix5 0.000009 0.000001 -5.109 -4.865 -4.501 -4.029 -3.319 -3.07 -2.569 -2.207 -1.895 -1.684 -1.516 -1.423

33mix5 0.0000075 0.0000025 -4.366 -4.129 -3.781 -3.467 -3.037 -2.939 -2.593 -2.268 -1.988 -1.791 -1.649 -1.565

31mix5 0.000005 0.000005 -3.79 -3.373 -3.119 -2.915 -2.671 -2.718 -2.555 -2.398 -2.229 -2.085 -1.971 -1.902

35mix5 0.0000025 0.0000075 -3.321 -2.97 -2.765 -2.594 -2.446 -2.548 -2.616 -2.617 -2.572 -2.55 -2.508 -2.487

39mix5 0.000001 0.000009 -3.142 -2.812 -2.564 -2.404 -2.281 -2.502 -2.589 -2.706 -2.842 -2.964 -3.068 -3.103

26tyro5

0.00000001 0.00001 -3.037 -2.696 -2.464 -2.321 -2.239 -2.444 -2.602 -2.823 -3.144 -3.396 -3.742 -4.063

tyro2 0.00000001 0.0001 -1.081 -0.71 -0.47 -0.337 -0.327 -0.433 -0.602 -0.841 -1.119 -1.423 -1.75 -2.121

Sample f13 f14 f15 f16 f17 f18 f19 f20 f21 f22 f23 f24 f25 f26 f27 f28 f29 f30

17mix35 -0.335 -0.315 -0.333 -0.377 -0.453 -0.549 -0.658 -0.797 -0.878 -0.954 -1.06 -1.266 -1.52 -1.804 -2.044 -2.269 -2.496 -2.714

19mix35 -0.345 -0.323 -0.342 -0.387 -0.461 -0.554 -0.665 -0.803 -0.887 -0.96 -1.072 -1.272 -1.541 -1.814 -2.058 -2.289 -2.496 -2.712

21mix35 -0.384 -0.369 -0.377 -0.421 -0.495 -0.596 -0.706 -0.824 -0.917 -0.988 -1.103 -1.294 -1.565 -1.841 -2.084 -2.32 -2.521 -2.729

23mix35 -0.381 -0.359 -0.369 -0.426 -0.499 -0.591 -0.701 -0.843 -0.925 -0.989 -1.109 -1.31 -1.579 -1.852 -2.09 -2.316 -2.521 -2.743

25mix35 -0.422 -0.407 -0.422 -0.468 -0.538 -0.639 -0.753 -0.887 -0.968 -1.037 -1.147 -1.357 -1.619 -1.886 -2.141 -2.359 -2.585 -2.792

27mix35 -0.528 -0.525 -0.55 -0.606 -0.689 -0.781 -0.909 -1.031 -1.126 -1.191 -1.303 -1.503 -1.784 -2.058 -2.297 -2.507 -2.727 -2.97

29mix35 -0.919 -0.915 -0.933 -0.981 -1.055 -1.157 -1.271 -1.409 -1.505 -1.546 -1.675 -1.88 -2.14 -2.415 -2.655 -2.879 -3.075 -3.319

28mix35 -1.575 -1.58 -1.619 -1.671 -1.754 -1.857 -1.982 -2.114 -2.21 -2.258 -2.379 -2.57 -2.858 -3.117 -3.347 -3.568 -3.764 -4.012

26mix35 -2.267 -2.317 -2.369 -2.46 -2.545 -2.668 -2.807 -2.951 -3.03 -3.075 -3.214 -3.376 -3.685 -3.907 -4.129 -4.335 -4.501 -4.599

24mix35 -2.696 -2.808 -2.913 -3.03 -3.163 -3.265 -3.376 -3.534 -3.642 -3.721 -3.858 -4.012 -4.262 -4.501 -4.704 -4.822 -4.956 -5.292

22mix35 -3.032 -3.214 -3.378 -3.503 -3.646 -3.812 -3.958 -4.129 -4.193 -4.262 -4.415 -4.501 -4.823 -5.111 -5.113 -5.294 -5.29 -5.294

11


20mix35 -3.376 -3.572 -3.812 -4.012 -4.262 -4.415 -4.501 -4.705 -4.823 -4.823 -4.956 -5.111 -5.111 -5.516 -5.524 -5.806 -5.806 -5.806

18mix35 -3.568 -3.907 -4.193 -4.423 -4.825 -5.111 -5.111 -5.516 -5.516 -5.516 -5.516 -5.806 -5.806 -5.806 -5.806 -5.806 -6.21 -6.215

trp2 0.54 0.563 0.541 0.488 0.414 0.313 0.203 0.063 -0.028 -0.097 -0.215 -0.411 -0.678 -0.953 -1.208 -1.418 -1.651 -1.855

mix5 0.446 0.46 0.443 0.389 0.314 0.22 0.099 -0.033 -0.128 -0.197 -0.308 -0.506 -0.785 -1.05 -1.313 -1.529 -1.745 -1.97

mix4 0.337 0.354 0.33 0.274 0.206 0.105 -0.009 -0.148 -0.242 -0.306 -0.424 -0.626 -0.892 -1.172 -1.425 -1.633 -1.877 -2.071

mix3 0.069 0.079 0.05 -0.006 -0.082 -0.179 -0.295 -0.436 -0.523 -0.584 -0.706 -0.898 -1.178 -1.446 -1.696 -1.922 -2.128 -2.35

mix6 -1.104 -1.162 -1.233 -1.317 -1.425 -1.543 -1.661 -1.804 -1.877 -1.959 -2.034 -2.249 -2.502 -2.732 -2.964 -3.142 -3.313 -3.576

43trp6 -3.572 -3.513 -3.634 -3.572 -3.772 -3.772 -3.844 -3.932 -4.017 -4.023 -4.117 -4.227 -4.492 -4.66 -4.855 -5.428 -5.103 -5.428

59mix6 -4.001 -4.001 -3.907 -4.001 -4.098 -4.098 -4.206 -4.098 -4.213 -4.213 -4.335 -4.474 -4.639 -4.838 -4.837 -5.085 -5.41 -5.41

51mix6 -3.83 -3.83 -3.755 -3.912 -4.006 -4.001 -4.213 -4.213 -4.335 -4.483 -4.483 -4.642 -4.841 -5.088 -5.088 -5.415 -5.415 -5.415

49mix6 -4.11 -4.11 -4.11 -4.22 -4.22 -4.343 -4.483 -4.483 -4.65 -4.65 -4.846 -4.846 -5.093 -5.091 -5.419 -5.417 -5.417 -5.907

53mix6 -4.641 -4.639 -4.639 -4.837 -4.838 -4.838 -5.083 -5.082 -5.083 -5.41 -5.41 -5.408 -5.408 -5.9 -5.41 -5.903 -5.9 -6.908

57mix6 -5.082 -5.08 -5.408 -5.408 -5.408 -5.408 -5.408 -5.408 -5.408 -5.9 -5.9 -5.9 -5.9 -5.9 -5.9 -5.9 -6.908 -6.908

41tyro6 -5.918 -5.918 -5.431 -5.918 -5.918 -5.918 -5.918 -5.918 -5.918 -5.918 -5.918 -6.908 -5.918 -5.918 -6.908 -6.908 -5.918 -5.918

28trp5 -1.244 -1.213 -1.24 -1.292 -1.373 -1.453 -1.571 -1.697 -1.801 -1.873 -2.008 -2.198 -2.469 -2.706 -2.99 -3.209 -3.384 -3.601

37mix5 -1.367 -1.348 -1.374 -1.415 -1.503 -1.596 -1.718 -1.839 -1.927 -1.997 -2.118 -2.333 -2.567 -2.874 -3.106 -3.313 -3.579 -3.781

33mix5 -1.52 -1.509 -1.524 -1.58 -1.665 -1.758 -1.882 -2.037 -2.09 -2.162 -2.284 -2.465 -2.761 -3.037 -3.27 -3.52 -3.709 -3.937

31mix5 -1.86 -1.837 -1.881 -1.949 -2.009 -2.127 -2.23 -2.381 -2.455 -2.513 -2.624 -2.827 -3.117 -3.373 -3.586 -3.785 -4.04 -4.366

35mix5 -2.488 -2.487 -2.529 -2.593 -2.688 -2.792 -2.908 -3.037 -3.149 -3.189 -3.273 -3.467 -3.781 -4.029 -4.241 -4.501 -4.669 -4.865

39mix5 -3.182 -3.268 -3.361 -3.411 -3.517 -3.576 -3.705 -3.849 -3.932 -3.932 -4.029 -4.234 -4.501 -4.664 -4.86 -5.104 -5.431 -5.433

26tyro5 -4.398 -4.699 -4.893 -5.138 -5.14 -5.461 -5.463 -5.945 -5.461 -5.138 -5.14 -5.138 -5.138 -5.463 -5.461 -5.461 -5.461 -5.461

tyro2 -2.449 -2.818 -3.11 -3.467 -3.781 -4.029 -4.241 -4.366 -4.501 -4.366 -4.501 -4.501 -4.668 -4.668 -4.865 -4.865 -5.109 -5.111

La columna de más a la izquierda identifica cada muestra (sample). Las siguientes 2 columnasson concentraciones conocidas de los aminoácidos. Las 30 columnas restantes contienen losespectros medidos. Nota: concentraciones originalmente iguales a 0 se pusieron a 1.0E-8 paraque se pudiera realizar la transformación logarítmica.A continuación se muestra el espectro observado para una muestra típica:

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Las primeras 18 muestras se usarán como grupo de entrenamiento para estimar un modelo depredicción. Entonces el modelo se probará en las 15 muestras restantes.

Ingreso de DatosLa caja de diálogo solicita los nombres de las columnas que contienen a las variablesdependientes Y e independientes X:

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• Y: una o más columnas numéricas que contienen las n observaciones para las variablesdependientes Y. Se pueden ingresar nombres de columnas o expresiones deSTATGRAPHICS.

• X: una o más columnas numéricas que contienen los n valores para las variablesindependientes X.

• Selección: selección de un subgrupo de datos. Las filas seleccionadas se usarán como elgrupo de entrenamiento. Las filas así elegidas pueden usarse como un grupo de prueba paravalidar el modelo ajustado.

En el ejemplo, se tomaron los logaritmos base 10 de las concentraciones para crear dos variablesdependientes. Todas las 30 frecuencias se ingresaron en el campo de las VariablesIndependientes. La entrada en el campo Selección hará que las primeras 18 filas se usen comogrupo de entrenamiento.

Modelo EstadísticoAl igual que en regresión múltiple, el objetivo de los mínimos cuadrados parciales (PLS) esconstruir un modelo lineal de la forma

Y = Xβ + E (1)

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donde Y es una matriz n por m que contiene los n valores estandarizados de las m variablesdependientes, X es una matriz n por p que contiene los valores estandarizados de las p variablespredictoras, β es una matriz p por m de parámetros del modelo, y E es una matriz n por m deerrores. A diferencia de la regresión múltiple, el número de observaciones n puede ser menor queel número de variables independientes p.

Sin embargo, en vez de estimar β directamente, se extraen primero c componentes. Luego loscoeficientes se calculan a partir del producto de dos matrices:

β = WQ (2)

donde W es una matriz p por c de pesos que transforman a X en una matriz T de valores de losfactores de acuerdo con

T = XW (3)

y Q es una matriz de coeficientes de regresión (cargas) que expresan la dependencia entre Y y losvalores de los factores:

Y = TQ + E (4)

La matriz de variables independientes también puede representarse en términos de P una matriz cpor p de cargas de factores como

X = TP + F (5)

donde F es una matriz n por p de desviaciones.

Parte de la tarea al realizar un análisis de mínimos cuadrados parciales (PLS) es determinar elnúmero apropiado de componentes c. Si se establece c demasiado bajo o demasiado alto, elmodelo puede no dar buenas predicciones para las futuras observaciones.

Resumen del AnálisisEl Resumen de Análisis muestra información sobre el modelo ajustado. La sección de arriba de lasalida resume los datos de entrada y presenta un análisis de varianza para cada variabledependiente.

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Se incluyen en la salida:

• Resumen Estadístico: un indicador del número (p) de variables X y (m) del número devariables Y.

• Número de Casos Completos: el número de observaciones n en el grupo deentrenamiento.

• Número de Componentes Extraídos: el número de componentes c usado para ajustar elmodelo. c no puede ser mayor que el menor de p y (n – 1).

• Validación Cruzada: el método para validar el modelo de predicción. Dependiendo delas Opciones del Análisis, un grupo de prueba interno o externo puede ser usado paraayudar a elegir el número de componentes.

• Análisis de Varianza: una tabla de ANOVA para cada una de las variables dependientes.Valores pequeños de P (por debajo de 0.05 si se trabaja al nivel de significancia del 5%)indican que el modelo es estadísticamente significativo.

En el ejemplo anterior, se extrajeron 10 componentes. Los modelos resultantes son predictoressignificativos para las concentraciones de ambos aminoácidos., ya que ambos valores de P sonextremadamente pequeños.

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La segunda parte de la salida ilustra la utilidad del modelo con diferente número decomponentes:

Para cada variable dependiente, las tablas muestran:

• % de Variación en Y: el porcentaje de la suma de cuadrados total corregida para elgrupo de entrenamiento explicada por cada componente conforme es agregado alajuste.

• R-Cuadrada: el porcentaje acumulado del total de la variación explicada por losmodelos con el número indicado de componentes, en una escala de 0% a 100%.

• Cuadrado Medio PRESS: cuadrado medio de los errores de predicción, calculado apartir del grupo de prueba de validación cruzada (PRESS, Prediction Error Sum ofSquares – Suma de Cuadrados del Error de Predicción). Esta estadística escomparable al cuadrado medio de los residuos de la tabla de ANOVA, excepto que la

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primera se calcula a partir de las predicciones para las observaciones cuando éstas nose emplean para ajustar el modelo. Al elegir el número de componentes a extraer, sedebe buscar un modelo con un cuadrado medio PRESS pequeño.

• R Cuadrada de Predicción: uno menos la razón del Cuadrado Medio PRESS para elnúmero indicado de componentes al valor cuando se ajusta un modelo con sólo untérmino constante. Valores altos indican buenos modelos.

La R Cuadrada de Predicción alcanza un pico para LOG10(Tryptophan) en 3 componentes, ypara LOG10(Tyrosine) en 9 componentes.

La última sección de la salida presenta una tabla similar para los porcentajes de la variación totalen las variables X y Y explicada conforme aumenta el número de componentes.

La última columna muestra la R Cuadrada de Predicción promedio a través de todas lasvariables dependientes. El promedio alcanza un pico en 7 componentes, sugiriendo que unmodelo con siete componentes sería una buena elección.

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Este gráfico es útil para visualizar cuántos componentes tienen que extraerse. Advierta que elporcentaje de variación para PRESS aumenta a lo largo de 7 componentes.Nota: En el resto de este documento, se mostrarán los resultados para un modelo con 7componentes.

Opciones del Análisis

• Número de componentes: el número de componentes a incluir en el modelo. Este númerono puede exceder al menor del número de variables independientes y n – 1.

• Método de Validación: el método para validar de forma cruzada el modelo. Esto consiste en

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usar el modelo para predecir observaciones excluidas del ajuste del modelo. Se pueden usarlos siguientes métodos:

1. Ninguno – no se lleva a cabo la validación cruzada.

2. Sacar uno a la vez – el modelo se vuelve a ajustar n veces, cada vez dejando fuera 1 delas observaciones y volviendo a ajustar el modelo usando las otras n – 1. Luego laobservación omitida se predice con el modelo del que fue excluida.

3. Sacar cada k-ésima – éste es similar al método #2, excepto que sólo cada k-ésimaobservación es omitida y luego predicha. Esto acorta el proceso en grandes conjuntos dedatos.

4. Dejar fuera bloques de k – las observaciones se remueven en grupos de k, el modelo sevuelve a ajustar, y se predicen las k observaciones.

5. Usar casos no seleccionados – si hizo uso del campo Seleccionar en la caja de diálogodel ingreso de datos, los casos excluidos por esa selección se usarán como casos deprueba. En el ejemplo, el campo Seleccionar eligió las primeras 18 filas para usarlas como grupo deentrenamiento para el modelo, formando con las 15 filas restantes un grupo de prueba.

Coeficientes de RegresiónLa table de Coeficientes de Regresión muestra los coeficientes estimados de los modelosajustados. Se exhiben ambos coeficientes, estandarizados y sin estandarizar. A continuación semuestra una pequeña sección de la salida:

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El modelo sin estandarizar muestra la ecuación ajustada en la métrica de las medicionesoriginales. Por ejemplo, el modelo para la primera variable dependiente es

log(Tryptopan) = -4.851 – 0.105f1 + 0.113f2 – 0.126f3 + 0.406f4 + … (6)

El modelo estandarizado reexpresa cada una de las variables en una forma estandarizadasubstrayendo su media muestral y dividiendo entre su desviación estándar muestral. Expresandolas nuevas variables como Y, X1, X2, y así sucesivamente, el modelo estandarizado para dos datosmuestrales es

Y = – 0.160X1 + 0.173X2 – 0.171X3 + 0.423X4 + … (7)

Mientras que el modelo sin estandarizar es útil para hacer predicciones para nuevas muestras, loscoeficientes del modelo estandarizado se comparan más fácilmente entre sí cuando las variablespredictoras tienen diferentes unidades.

Gráfica de CoeficientesLa Gráfica de Coeficientes presenta una de dos cantidades:

1. Los coeficientes de regresión estandarizados β para cada variable dependiente.

2. Las cargas Q del componente para cada variable dependiente.

El ejemplo a continuación grafica las β’s:

Los coeficientes proveen un tipo de firma para cada variable dependiente. Advierta el grancoeficiente negativo para f4 cuando predice LOG10(Tyrosine).

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Opciones de Ventana

• Eje Y: la cantidad y valor a graficar en el eje vertical.

• Primer Y/Comp: el índice de la primer variable o componente a incluir en el gráfico.

• Última Y/Comp: el índice de la última variable o componente a incluir en el gráfico.

• Primer X: el índice de la primer variable independiente a incluir en el gráfico.

• Última X: el índice de la última variable independiente a incluir en el gráfico.

Pesos y Cargas de los Componentes

La tabla de Pesos y Cargas de los Componentes identifica cada uno de los componentes que seextrajeron de los datos. A continuación se muestra una porción de la tabla:

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Se incluyen en la tabla:

1. Q, la matriz c por m de cargas (coeficientes de regresión) que relaciona la matriz devalores de los factores T con la variable dependiente Y:Y = TQ + E (8)

2. W, la matriz p por c de pesos de los factores, que crean los valores de los factores a partirde los valores estandarizados de las variables independientes de acuerdo conT = XW (9)

Gráfico de Componentes 2DLa opción Gráfico de Componentes 2D presentará la matriz T de puntajes de los factores o lasmatrices W y P de los pesos de los componentes. En el caso de la matriz de valores de losfactores, el gráfico toma la siguiente forma:

Se seleccionan dos factores, para por cada eje, y se grafican n puntos que representan las n filasen las correspondientes columnas de T. En situaciones donde los factores son interpretables, estegráfico muestra el valor de cada una de las muestras para estos factores.Si se eligen los pesos de los componentes, el gráfico tiene la siguiente forma:

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Se eligen dos componentes, uno para cada eje, y se grafican p + m puntos que representan las pvariables independientes y las m variables dependientes. A partir de esta gráfica, se puede vercómo cada una de las variables originales afecta a los componentes derivados.

Opciones de Ventana

• Graficar – Elija columnas de ya sea la matriz T de valores del factor o de la matriz W de lospesos del componenete.

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• Componente en Eje X: Seleccione uno de los c componentes para que se grafique en el ejehorizontal.

• Componente en Eje Y: Seleccione uno de los c componentes para que se grafique en el ejevertical.

Gráfica de Componentes 3D

La opción Gráfica de Componentes 3D es análoga al gráfico 2D excepto que se eligen trescomponentes.

Opciones de Ventana

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• Graficar – Elija columnas de ya sea la matriz T de valores del factor o de la matriz W de lospesos del componente.

• Componente en Eje X: Seleccione uno de los c componentes para que se grafique en el ejehorizontal.

• Componente en Eje Y: Seleccione uno de los c componentes para que se grafique en el ejeque se extiende hacia atrás al interior de la pantalla.

• Componente en Eje Z: Seleccione uno de los c componentes para que se grafique en el ejevertical.

Predicciones y Residuos

La ventana de Predichos y Residuos presenta información para las observaciones en el grupo deentrenamiento, observaciones en el grupo de prueba, y/o cualesquiera nuevas filas que hayansido agregadas a la hoja de datos que contengan valores para las variables independientes perovalores faltantes para Y. La última opción le permite emplear el modelo para hacer prediccionespara las observaciones no incluidas ni en el grupo de entrenamiento ni en el de prueba.La tabla a continuación muestra parte de la salida para los datos del ejemplo:

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Se incluye una tabla por separado para cada variable dependiente. Se incluyen en la tabla:

• Fila – el número de la fila en la hoja de datos.

• Y – el valor observado de la variable independiente, si lo hay.

• Predicho – el valor Yˆ predicho a partir del modelo ajustado.

• Residuo – el valor del residuo para la i-ésima observación de la j-ésima variabledependiente se calcula con

• Residuo Estandarizado – para los casos en el grupo de entrenamiento, un residuoEstudentizado internamente calculado dividiendo cada residuo entre una estimación de suerror estándar, dado por

donde hi es el punto nivelador del i-ésimo caso.

Opciones de Ventana

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Las filas mostradas pueden incluir:

1. Residuos atípicos en el grupo de entrenamiento: cualquiera hileras en el grupo deentrenamiento con residuos estandarizados que excedan de 2 en valor absoluto.

2. Todo el grupo de entrenamiento: todas las hileras del grupo de entrenamiento.

3. Conjunto de prueba: todas las hileras del grupo de prueba.

4. Filas con respuestas vacías: filas con valores vacías para una o más de las variablesdependientes.

Observados versus Predichos

Este gráfico muestra los valores de una variable dependiente elegida versus los valores predichospor el modelo ajustado:

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Si el modelo ajusta bien, los puntos debieran alinearse a lo largo de la línea diagonal.

Opciones de Ventana

Elija la variable dependiente que desee graficar.

Puntos Leverage

Cuando se ajusta un modelo PLS, no todas las observaciones tienen la misma influencia en laestimación de los coeficientes en el modelo ajustado. Aquéllas con valores atípicos de lasvariables independientes tienden a tener más influencia que las otras.. La ventana de Puntos

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Leverage muestra cualesquiera observaciones que tienen una inusual influencia en el modeloajustado:

El punto leverage es una estadística que mide la influencia de cada observación en el modelofinal. Las observaciones se ponen en la lista si tienen más de 3 veces el leverage de un puntopromedio. Las observaciones con altos puntos leverage deben examinarse de cerca para estarseguros de que son válidas, ya que una observación con punto leverage alto que es también unvalor atípico puede distorsionar gravemente al modelo estimado.

En los datos de la muestra, no hay puntos leverage altos.

Gráficas de Distancia para Residuos

Las Gráficas de Distancia para Residuos grafican la distancia del origen a los residuos de X o Yque corresponden a cada caso en el grupo de entrenamiento. Los gráficos pueden usarse paradeterminar qué casos se desvían más de los valores predichos.

Las Laa distancias se expresan como la suma de cuadrados de la diferencia entre los valoresobservados y predichos de las variables estandarizadas. Para las variables Y, los residuos sonelementos de la matriz E de dimensiones n por m en la ecuación

Y = Xβ + E (12)

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Para las variables X, los residuos son elementos de la matriz F de dimensiones n por p en laecuación

X = TP + F (13)

Salvar ResultadosSe pueden salvar en la hoja de datos los siguientes resultados:1. Valores predichos – los valores predichos de la(s) variable(s) dependiente(s).2. Residuos Y – los residuos para cada variable dependiente.3. Residuos Estandarizados Y – los residuos estandarizados para cada variable dependiente.4. Residuos PRESS – los residuos PRESS para cada variable dependiente.5. Residuos X – los residuos para cada variable independiente.6. Leverages – los puntos niveladores para cada uno de los n casos.7. Distancias Y – la distancia de los residuos Y para cada uno de los n casos.8. Distancias X – la distancia los residuos X para cada uno de los n casos.9. Pesos de Componentes – la matriz W de pesos.10. Cargas de factor Y – la matriz Q de cargas de los factores.11. Cargas de factor X – la matriz P de cargas de los factores.12. Matriz de valores – la matriz T de valores.

Cálculos

El programa usa el algoritmo NIPALS (Nonlinear Iterative Partial Least Squares, MínimosCuadrados Parciales Iterativos No Lineales) para extraer los componentes, después detransformar primero cada variable de manera que tengan una media de 0 y una desviaciónestándar de 1.

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