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LECCIÓN 2: SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
JUSTIFICACIÓN:
Ya que uno de los objetivos generales del curso de Ecuaciones
Diferenciales es el de hallar las funciones desconocidas que satisfacen la
ecuación diferencial, se procederá a definir lo que significa que una función sea
solución de una ecuación diferencial, así como mostrar los diversos tipos de
soluciones que hay.
A menudo se plantean problemas en donde debe resolverse una ecuación
diferencial sujeta a condiciones impuestas a la función solución o a sus
derivadas. Es por ello que aquí también se estudiarán los problemas de valor
inicial y los problemas de valor de frontera, por medio de los cuales se
obtienen soluciones particulares a una ecuación diferencial.
OBJETIVOS:
El estudiante podrá:
1- Comprobar si una función dada es solución de una ecuación diferencial.
2- Identificar si una función dada es una solución general, una solución
particular o una solución singular de una ecuación diferencial dada.
3- Obtener a partir de la solución general soluciones particulares a
problemas de valor inicial y a problemas de valor de frontera.
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PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
INTRODUCCIÓN:
¿Qué estudiamos en la lección pasada?
♦ La ecuación diferencial
♦ La diferencia entre ecuación diferencial ordinaria y ecuación diferencial
parcial.
¿En qué consiste esta diferencia?
♦ La ecuación diferencial ordinaria involucra una función desconocida o
variable dependiente y sus derivadas respecto de una sola variable
independiente.
♦ La ecuación diferencial en derivadas parciales involucra una función
desconocida o variable dependiente y sus derivadas respecto de dos o más
variables independientes.
Muy bien. ¿Que otro aspecto estudiamos en la clase pasada?
♦ También estudiamos el orden y el grado de una ecuación diferencial
¿Cuál es la diferencia entre estos dos términos?
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♦ El orden de la ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que
aparece en la ecuación diferencial, mientras que el grado de la ecuación
diferencial es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden en la
ecuación diferencial.
Exactamente. ¿Qué otro punto tratamos en la clase pasada?
♦ Hablamos de las características de una ecuación diferencial lineal
¿Cuáles son esas características?
♦ La función desconocida o variable dependiente y sus derivadas deben ser
de grado uno; además los coeficientes, es decir, lo que multiplica a la función
desconocida y a sus derivadas debe depender solo de la o las variables
independientes.
Correcto. Hoy continuaremos estudiando algunas definiciones básicas
relacionadas con las ecuaciones diferenciales.
Solución de una Ecuación Diferencial:
Cuándo se da la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 y se pide obtener las
soluciones ¿qué entienden ustedes por solución de esa ecuación?
♦ Los valores de x que satisfacen la ecuación.
En este caso ¿cuántos valores puede tomar x?
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♦ Si se resuelve la ecuación se consiguen dos valores para x, estos son: x
= 2 y x = 3
Muy bien. Si ahora se les pidiera obtener las soluciones de la ecuación
cosx = 0 ¿cuántos valores de x satisfacen la ecuación?
♦ Infinitos, ya que cualquier múltiplo de π/2 servirá como solución. Es
decir, todo x = (2k-1) π/2 con k tomando cualquier valor entero es tal que cos
x = 0.
Revisemos el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1:
Determinar la curva ς del plano que pase por el punto (1, 1) y tal que la
pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos sea igual a la abscisa
del punto correspondiente.
Según vimos en la Lección 1, la ecuación diferencial asociada a este
problema es:
xdx
)x(yd=
donde y = y(x) es la ecuación de la curva ς a determinar.
¿Qué pasos sugieren ustedes que sigamos para determinar la función
y(x) que satisface la ecuación diferencial?
♦ Debemos despejar dy(x) y luego integrar.
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Muy bien, hagámoslo. Despejando dy(x) se tiene
d y(x) = x dx
Integrando a ambos lados
∫ ∫= dxx)x(dy
Resolviendo las integrales ¿qué obtienen?
♦ Se obtiene la función y(x)
y(x) = 2
2x + C
Correcto. Hemos obtenido la ecuación de la curva ς y decimos que y(x)
= 2
2x + C es una solución de la ecuación diferencial xdx
)x(yd= ¿saben por
qué?
♦ Porque al derivar la función y(x) respecto de x y sustituir en la ecuación
diferencial se obtiene una igualdad.
Exacto. ¿Cuántas curvas se han obtenido que satisfacen la ecuación
diferencial?
♦ Infinitas, una por cada valor real que se le asigne a la constante C de
integración.
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Observen que en el enunciado del problema dicen que la curva ς que se
está buscando, pasa por el punto (1, 1) ¿qué significa esto para ustedes?
♦ Significa que las coordenadas del punto (1, 1) satisfacen la ecuación de
la curva ς es decir, si x = 1, y = 1 se sustituyen en la ecuación de la curva se
satisface la igualdad.
Muy bien. Hagamos la sustitución a ver que resulta.
1 = C2
21+
De aquí resulta que C = 21
¿Qué se hace con el valor que se obtuvo para la constante de integración
C?
♦ Se sustituye en la ecuación de la curva ς
Correcto, escribamos lo que resulta
y (x) = 21
2
2x+
La función y(x) = 2
2x + C se denomina solución general de la
ecuación diferencial xdx
)x(yd= ; la función y (x) =
21
2
2x+ se denomina
solución particular.
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Abran sus guías en la página 8 y leamos las definiciones de solución,
solución general y solución particular que allí aparecen.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una solución de una ecuación diferencial es toda función que sustituida
en la ecuación diferencial la reduce a la identidad.
La
qu
a) b)
c)
E
v
d
guía
minu
PRO
arbit
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
solución general para una ecuación diferencial es una toda función
e satisface las condiciones siguientes:
Es independiente de las derivadas.
Tiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación
diferencial.
Verifica o satisface la ecuación diferencial.
SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
s toda solución que se obtiene de la solución general asignándole
alores numéricos a las constantes arbitrarias según ciertas condiciones
adas sobre la variable dependiente y/o sus derivadas.
Procedan ahora a resolver los Problemas 1, 2, 3 y 4 que aparecen en su
en las páginas 7 y 8. Reúnanse en grupos de tres personas. Tienen cinco
tos para resolverlos.
BLEMA 1:
Verifique que la función y = A senx + B cosx, siendo A y B constantes
rarias, es solución para la ecuación diferencial y'' + y = 0
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PROBLEMA 2:
Verifique que la función y = 5 senx - 3 cosx, es solución para la
ecuación diferencial y'' + y = 0
PROBLEMA 3:
Verifique que la función y = Cx - C2, siendo C una constante
arbitraria, es solución para la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0
PROBLEMA 4:
Verifique que la función y = 2x - 4, es solución para la ecuación
diferencial (y')2 - xy' + y = 0
Veamos que pasos siguieron para realizar cada uno de los problemas.
♦ Calculamos las derivadas de las funciones dadas, las sustituimos en la
ecuación diferencial y verificamos que la igualdad se satisface.
Observen los Problemas 1 y 2. Si ustedes hacen una comparación ¿qué
semejanzas obtienen?
♦ En ambos aparece la misma ecuación diferencial y'' + y = 0
Muy bien. ¿Podrían establecer alguna relación entre la solución
propuesta en el Problema 1 y la solución propuesta en el Problema 2?
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♦ La solución del Problema 2, y = 5 senx - 3 cosx, se obtiene a partir de
la solución del Problema 1, y = A senx + B cosx, asignándole a la constante
arbitraria A, el valor 5 (A = 5) y a la constante arbitraria B, el valor -3 (B = -3).
¿Que nombre recibe la solución y = A senx + B cosx (siendo A una
constante arbitraria) de la ecuación diferencial y'' + y = 0?
♦ Recibe el nombre de solución general de la ecuación diferencial
¿Qué nombre recibe la solución y = 5 senx - 3 cosx, de la ecuación
diferencial y'' + y = 0?
♦ Recibe el nombre de solución particular de la ecuación diferencial
Realicemos el mismo análisis para los Problemas 3 y 4. Observen los
Problemas 3 y 4. Si ustedes hacen una comparación ¿qué semejanzas
obtienen?
♦ En ambos aparece la misma ecuación diferencial
(y')2 - xy' + y = 0
Muy bien. ¿Podrían establecer alguna relación entre la solución
propuesta en el Problema 3 y la solución propuesta en el Problema 4?
♦ La solución del Problema 4, y = 2x - 4, se obtiene a partir de la solución
del Problema 3, y = Cx - C2, asignándole a la constante arbitraria C, el valor
2 (C = 2).
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¿Que nombre recibe la solución y = Cx - C2 (siendo C una constante
arbitraria) de la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0?
♦ Recibe el nombre de solución general de la ecuación diferencial
¿Qué nombre recibe la solución y = 2x - 4, de la ecuación diferencial
(y')2 - xy' + y = 0?
♦ Recibe el nombre de solución particular de la ecuación diferencial
Hemos visto en el Problema 3 que la solución general de la ecuación
diferencial
(y')2 - xy' + y = 0
es la función y = Cx - C2 (siendo C una constante arbitraria). De acuerdo
con el Problema 4 una solución particular para dicha ecuación diferencial, es la
función y = 2x - 4, la cual se obtiene de la solución general asignándole a la
constante arbitraria C el valor 2 (C = 2).
Consideremos ahora la función 2x41y = ¿será esta función solución de
la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0?
¿Qué deben hacer para comprobarlo?
♦ Debemos calcular la derivada de la función y sustituirla en la ecuación
diferencial a ver si se satisface.
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Correcto, comprobémoslo. Calculando la derivada de la función
2x41y = , se obtiene x
21'y = . Sustituyendo en la ecuación diferencial
(y')2 - xy' + y = 0
resulta:
02x212x
212x
412x
212x
412x
41x
21x
2x
21
=−=+−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Es decir, la función 2x41y = satisface la ecuación diferencial
Muy bien. Recordando la definición de solución particular para una
ecuación diferencial ¿Podrían decir que la función 2x41y = es una solución
particular para la ecuación diferencial (y')2 - xy' + y = 0?
♦ No, ya que la función 2x41y = no puede obtenerse de la solución
general y = Cx - C2, asignándole a la constante arbitraria C un valor real.
Más aún, ¿Saben ustedes que tipo de curvas representa la solución
general?
♦ Son rectas paralelas.
Correcto. ¿Qué tipo de curva representa la función 2x41y = ?
♦ Es una parábola.
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Muy bien. A este tipo de solución que no se obtiene de la solución
general se le denomina solución singular.
Abran su guía en la página 9 y leamos la definición de solución
singular que allí aparece.
l
m
P
a
d
b
SOLUCIÓN SINGULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una solución singular de una ecuación diferencial es aquella solución
que no puede obtenerse de la solución general dándole valores
específicos a las constantes arbitrarias.
Realicen el Problema 5 que aparece en sus guías en la página 9 luego de
a definición de solución singular. Trabajen en forma individual. Tienen dos
inutos.
ROBLEMA 5:
Dada la ecuación diferencial y' - xy1/2 = 0
) Compruebe que cada una de las funciones dadas a continuación es solución
e la ecuación diferencial dada
0y;16
2xy;2
C4
2xy ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
) Identifique que tipo de solución es cada una de ellas.
¿Qué pasos siguieron para responder la parte a)?
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♦ Calcular la derivada de la función, sustituir la función y su derivada en la
ecuación diferencial y luego verificar que se satisface la igualdad.
Muy bien. ¿Qué pasos siguieron para identificar que tipo de solución es
cada una de las funciones dadas?
♦ Observamos cada función y determinamos las características de cada una
de ellas. La primera solución tiene constantes arbitrarias, por lo tanto es la
solución general. La segunda solución se obtiene de la solución general,
asignándole a la constante arbitraria C el valor cero (C = 0), por lo tanto es la
solución particular. La tercera solución no puede obtenerse de la solución
general ya que no existe ningún valor real que se asigne a la constante arbitraria
C en la solución general y que de allí resulte dicha solución, por la tanto, esa es
la solución singular
El problema 6 les queda como asignación, a fin de que consoliden los
aspectos tratados hasta el momento.
PROBLEMA 6:
Dada la ecuación diferencial 2y1'y −=
a) Compruebe que cada una de las funciones dadas a continuación es solución
de la ecuación diferencial dada
y = sen (x + C); y = cosx; y = 1; y = - 1
c) Identifique que tipo de solución es cada una de ellas.
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Problemas de Valor Inicial y Problemas de Valor de Frontera:
Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una
ecuación diferencial se resuelve sujeta a condiciones dadas que la función
desconocida debe satisfacer. Analicemos el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2:
Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su
aceleración en cualquier tiempo t ≥ 0 está dad por a = 16 - 24t. Encuentre la
posición x de la partícula P medida del origen O a cualquier tiempo t > 0 ,
asumiendo que inicialmente, esto es t = 0, está localizada en x = 2 y está
viajando a una velocidad v = -5.
¿Qué representa la variable x?
♦ La variable x representa desplazamiento.
Muy bien. ¿Qué representa la variable t?
♦ La variable t representa tiempo.
Correcto. Según lo visto en el curso de Física I ¿recuerdan cómo se
puede expresar la aceleración en términos de la derivada?
♦ La aceleración en términos de la derivada se puede expresar como
2dt
x2d)t(a =
41
Muy bien. Entonces de acuerdo a la primera frase del enunciado del
problema se tiene que
t24162dt
x2d)t(a −==
Esta es la ecuación diferencial asociada al problema que estamos
resolviendo.
¿Qué otros datos podemos extraer del enunciado del problema?
♦ Los datos que tenemos, según el enunciado del problema son que para el
tiempo t = 0, el desplazamiento es x = 2 y la velocidad es v = -5.
Recuerdan ¿cómo se expresa la velocidad en términos de la derivada?
♦ La velocidad en términos de la derivada se expresa
dtdx)t(v =
Observen que tenemos como datos, condiciones sobre la función x y su
derivada, esto es, x (0) = 2 y x' (0) = -5.
¿Saben qué significa el signo menos en la velocidad?
♦ El signo menos significa que la partícula P no viaja hacia la derecha sino
hacia la izquierda.
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¿Qué procedimiento sugieren que sigamos para obtener el
desplazamiento x en función del tiempo, a partir de la ecuación diferencial
asociada al problema?
♦ El procedimiento que se debe seguir es integrar dos veces respecto de t,
la ecuación diferencial asociada al problema
t24162dt
x2d−=
Correcto. Si integramos una vez, ¿qué resulta?
♦ Resulta que
( )∫ ∫ −==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ dtt2416
dtdx
dtdxd 1C2t12t16 +−=
¿Qué se obtiene al relacionar las ecuaciones dtdx)t(v = y
1C2t12t16dtdx
+−= ?
♦ Se obtiene que la velocidad viene expresada por la función
1C2t12t16)t(v +−=
¿Cómo determinan el valor de la constante C1?
♦ El valor de la constante arbitraria C1 se determina despejando C1 de la
ecuación y usando la condición dada t = 0, v
= -5
1C2t12t16)t(v +−=
43
Muy bien. Entonces ¿cuánto vale C1?
♦ C1 = v (t) - 16 t + 12 t2 = -5 -16 (0) + 12 (0)2 = -5
¿Qué se hace con el valor obtenido de C1 = -5?
♦ Se sustituye en la ecuación 1C2t12t16dtdx)t(v +−== y resulta que
52t12t16dtdx)t(v −−==
Integrando por segunda vez ¿qué se obtiene?
♦ x (t) = ∫∫ +−−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−= 2Ct53t42t8dt52t12t16dx
es decir, 2Ct53t42t8)t(x +−−=
¿Cómo determinan el valor de C2?
♦ El valor de C2 se obtiene despejando C2 de la ecuación
y usando la condición dada x = 2 para t = 0 2Ct53t42t8)t(x +−−=
Correcto. Entonces ¿cuánto vale C2?
♦ C2 = x(t) - 8t2 + 4t3 + 5t = 2 -8 (0)2 + 4 (0)3 + 5 (0) = 2
¿Qué se hace con el valor obtenido de C2 = 2?
44
♦ Se sustituye en la ecuación y resulta que
2Ct53t42t8)t(x +−−=
2t53t42t8)t(x +−−=
La función es la ley de variación del
desplazamiento x de la partícula P en función del tiempo t.
2t53t42t8)t(x +−−=
Si en el enunciado se cambian las condiciones dadas, es decir si se
cambian las condiciones x (0) = 2 y x' (0) = -5 ¿La ley de variación del
desplazamiento x en función del tiempo dará la misma ecuación?
♦ No.
¿Podrían explicar por qué?
♦ Porque al cambiar las condiciones iniciales los valores de las constantes
arbitrarias serían otros.
Exactamente. Entonces debemos decir que la función
es la solución particular de la ecuación
diferencial
2t53t42t8)t(x +−−=
t24162dt
x2d−= , según las condiciones dadas x(0) = 2 y
x' (0) = -5.
Analicemos otro ejemplo
45
EJEMPLO 3:
Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su
aceleración en cualquier tiempo t ≥ 0 está dada por a (t) = 16 - 24t.
Encuentre la posición x de la partícula P medida del origen O a cualquier
tiempo t > 0, asumiendo que inicialmente, esto es t = 0, está localizada en x =
2 y que para t = 1 está localizada en x = 7.
Observen este enunciado y el del Ejemplo 2 ¿qué semejanza hay?
♦ Que es el enunciado es prácticamente el mismo. Se refiere a la misma
familia de curvas.
Exactamente. Entonces ¿cuál será la ecuación diferencial asociada?
♦ La ecuación diferencial asociada es la misma que la del Ejemplo
anterior: t24162dt
x2d−=
¿En qué se diferencia el enunciado de este Ejemplo 2 con el del Ejemplo
3?
♦ Se diferencian en que las condiciones son otras. Aquí x (0) = 2
y x (1) = 7
¿Cómo obtienen la ley de variación del desplazamiento x en función del
tiempo t?
46
♦ Integrando dos veces, respecto de t, la ecuación diferencial asociada al
problema.
Correcto. Integrando una vez ¿Qué se obtiene?
♦ Se obtiene (∫ ∫ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ dtt2416
dtdxd ) , o equivalentemente
1C2t12t16dtdx
+−=
¿Se puede hallar el valor de C1?
♦ No
¿Por qué?
♦ Porque no se conoce ninguna condición sobre x'
Si integra nuevamente ¿Qué resulta?
♦ Resulta ∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−= dt1C2t12t16)t(xd o equivalentemente
x (t) = 8t2 - 4t3 + C1 t + C2
¿Qué deben hacer ahora para obtener los valores de las constantes
arbitraria C1 y C2?
♦ Utilizar de las condiciones dadas x (0) = 2, x (1) = 7
47
¿Cuáles son entonces los valores de C1 y C2?
♦ Usando la primera condición x(0) = 2 se obtiene que C2 = 2. Luego
usando la condición x (1) = 7 y el valor de C2 = 2 resulta que C1 = 1
¿Cómo queda la ley de variación del desplazamiento x en función del
tiempo t?
♦ Queda que x (t) = 8t2 - 4t3 + t + 2
Si en el enunciado se cambian las condiciones dadas, es decir si se
cambian las condiciones x (0) = 2 y x (1) = 7 ¿la ley de variación del
desplazamiento x en función del tiempo dará la misma ecuación?
♦ No.
¿Podrían explicar por qué?
♦ Porque al cambiar las condiciones los valores de las constantes
arbitrarias serían otros.
Exactamente. Entonces debemos decir que la función
es una solución particular de la ecuación
diferencial
2t3t42t8)t(x ++−=
t24162dt
x2d−= , según las condiciones x(0) = 2 y x (1) = 7
¿Qué diferencia hay entre las condiciones dadas para el Ejemplo 2 y las
condiciones dadas para el Ejemplo 3?
48
♦ En el Ejemplo 2 se dan condiciones sobre la función desconocida "x(t)"
y su derivada en un mismo valor de t, mientras que en el Ejemplo 3 se dan
condiciones solo sobre la función desconocida "x(t)" en dos valores distintos de
la variable independiente "t".
Excelente. Abran sus guías en la página 10 y leamos las definiciones de
problema de valor inicial y problema de valor de frontera que allí aparecen
Un problema de v
solución particul
sujeta a condici
especificadas en u
se conocen como
Un problema
una solución
sujeta a cond
más valores d
como condicio
Realicen el
en grupos de tres. D
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
alor inicial es un problema que busca determinar una
ar de la ecuación diferencial asociada al problema,
ones sobre la función desconocida y sus derivadas
n valor de la variable independiente. Tales condiciones
condiciones iniciales.
PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA
de valor de frontera es un problema que busca determinar
particular, de la ecuación diferencial asociada al problema,
iciones sobre la función desconocida especificadas en dos o
e la variable independiente. Tales condiciones se conocen
nes de frontera.
Problema 7 que está en la página 11 de sus guías. Reúnanse
isponen de cinco minutos para ello.
49
PROBLEMA 7:
Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en
cualquier punto (x, y) de ella, es igual a 2x. Halle la ecuación de la curva ς sí
esta pasa por el punto (2, 5).
Revisemos como resolvieron el Problema 7.
Si y = y (x) es la ecuación de la curva ς a determinar y (x, y(x)) es un
punto cualquiera de la curva ς ¿cómo se escribe la pendiente de la recta
tangente a la curva ς en el punto (x, y(x)), en términos de la derivada?
♦ Se escribe dx
)x(yd
Correcto, la pendiente de la recta tangente a la curva ς en un punto
cualquiera (x, y(x)) de la curva es igual a la derivada de la ecuación de la curva
evaluada en el punto. De acuerdo al enunciado del problema ¿ A quién es igual
esa pendiente?
♦ La pendiente de la recta tangente es igual a 2x
Muy bien. Entonces podemos escribir dx
)x(yd = 2x
¿Qué procedimiento se debe seguir para hallar la función y(x)?
♦ Se debe integrar respecto de x
50
¿Qué queda cuando se integra?
♦ Queda∫ ∫= dxx2)x(yd o equivalentemente y (x) = x2 + C
¿Qué tipo de solución es y(x) = x2 + C?
♦ Es la solución general
¿Cuántas constantes arbitrarias involucra la solución general?
♦ Una sola constante arbitraria
¿Cuántas condiciones nos están dando en el enunciado del problema?
♦ Nos están dando una sola condición
¿Cómo hacen para obtener la curva que pasa por el punto (2, 5)?
♦ Se deben sustituir x = 2, y = 5 en la solución general
Hagámoslo y veamos que resulta: 5 = 4 + C, esto es, C = 1
¿Qué hacen con el valor que obtuvieron de C = 1?
♦ Se sustituye en la solución general y resulta que y (x) = x2 + 1
¿Qué tipo de solución es y (x) = x2 + 1?
51
♦ Es una solución particular
Diremos entonces que y(x) = x2 + 1 es la solución particular del
problema de valor inicial ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
5)2(y
x2dxdy
Los Problemas 8, 9 y 10 quedan como asignación.
PROBLEMA 8:
Compruebe que la función y = C1 x + C2 x lnx es la solución general
de la ecuación diferencial x2 y'' - xy' + y = 0.
Luego obtenga la solución del problema de valor inicial
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==
=+−
1)1('y3)1(y
0y'xy''y2x
PROBLEMA 9:
Compruebe que la función y = C1 + C2 cosx + C3 senx es la solución
general de la ecuación diferencial y''' + y' = 0.
Luego obtenga la solución del problema de valor inicial
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=π=π=π
=+
1)(''y2)('y
0)(y0'y'''y
52
PROBLEMA 10:
Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su derivada tercera
en cualquier punto (x, y) de ella es igual a senx Determine la ecuación de la
curva que pasa por los puntos (0,2), (π, π) y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π 1,
2
Realicen el Problema 11 de la página 12 de sus guías. Continúen
trabajando en grupos de tres. Tienen cinco minutos.
PROBLEMA 11:
Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su derivada segunda
en cualquier punto (x, y) de ella es igual a3x
1 . Halle la ecuación de la curva sí
esta pasa por los puntos (1, 2) y (-1, 2).
Revisemos que hicieron para resolver el Problema 11.
Si y = y (x) es la ecuación de la curva ς a determinar, de acuerdo con
el enunciado del problema ¿cuál es la ecuación diferencial asociada al
problema?
♦ La ecuación diferencial asociada al problema es 2
2
dxyd = 3x
1
Bien. ¿Qué procedimiento deben seguir ahora para hallar la función
y(x)?
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♦ Se debe integrar indefinidamente dos veces, respecto de x, la ecuación
diferencial asociada.
Correcto. ¿Que se obtiene al integrar la primera vez?
♦ Se obtiene ∫ ∫=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ dx
3x
1dxdyd o equivalentemente
1C2x2
1dxdy
+−=
¿Será posible en este paso conseguir el valor de la constante arbitraria
C1?
♦ No, ya que no conocemos ninguna condición sobre la derivada y'
¿Qué obtienen al integrar por segunda vez?
♦ Se obtiene ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= dx1C
2x2
1dy o equivalentemente
y (x) = 2Cx1Cx2
1++
¿Qué tipo de solución es esta?
♦ Es la solución general
¿Cuántas constantes arbitrarias tiene la solución general?
54
♦ Tiene dos constantes arbitrarias.
¿Cuántas condiciones nos están dando en el enunciado del problema?
♦ Nos están dando dos condiciones
¿Qué deben hacer ahora para obtener la ecuación de la curva que pasa
por los puntos (1, 2) y (-1, 2)?
♦ Para el punto (1, 2) se sustituye, en la solución general,
x = 1, y = 2; así se obtiene: 2 = 2C1C21
++ o equivalentemente C1 +
C2 =23 . De forma similar se procede con el punto (-1, 2), se sustituye en la
ecuación general x = -1, y = 2; así se obtiene
2 = 2C1C21
+−− o equivalentemente C2 - C1 = 25
¿Cómo proseguimos ahora para obtener los valores de las constantes
arbitrarias C1 y C2?
♦ Resolvemos el sistema de ecuaciones que se forma con las dos
ecuaciones que obtuvimos al sustituir las coordenadas de los puntos (1, 2) y (-
1, 2) en la solución general. Esto es, resolvemos el sistema
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
=+
25CC
23CC
21
21
55
¿Que valores se obtienen para C1 y C2 al resolver el sistema de
ecuaciones?
♦ Se obtiene C1 = - 21 y C2 = 2
¿Que hacen ahora con esos valores de C1 y C2?
♦ Los valores de C1 y C2 se deben sustituir en la solución general
y (x) = 2Cx1Cx2
1++ . Así se tiene que, y (x) = 2x
21
x21
+−
¿Qué tipo de solución es esta?
♦ Es una solución particular
Diremos entonces que y (x) = 2x21
x21
+− es la solución particular
del problema de valor de frontera
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−=
=
2)1(y2)1(yx1
dxyd
32
2
Si reflexionamos un momento acerca del número de constantes
arbitrarias que tiene la solución general, el número de condiciones dadas en el
enunciado, tanto del Problema 7 como del Problema 11, y el orden de las
ecuaciones diferenciales asociadas a cada problema ¿Qué relación podemos
extraer?
56
♦ Que el número de condiciones dadas en el enunciado de un problema de
valor inicial o de un problema de valor de frontera siempre coincide con el
número de constantes arbitrarias que tendrá la solución general; más aún
coincide con el orden de la ecuación diferencial.
Los Problemas 12, 13 y 14 quedan como asignación.
PROBLEMA 12:
Compruebe que la función y = C1 cos4x + C2 sen4x es la solución
general de la ecuación diferencial y'' + 16 y = 0.
Luego resuelva el problema de valor de frontera
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
==+
08
y
0)0(y0y16''y
PROBLEMA 13:
Compruebe que la función y = C1 x2 + C2 x4 + 3 es la solución general
de la ecuación diferencial x2 y'' - 5 x y' + 8 y = 24.
Luego resuelva el problema de valor de frontera
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=+−
152y3)1(y
24y8'yx5''y2x
57
PROBLEMA 14:
Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de modo tal que su
aceleración instantánea está dada como una función del tiempo t por
a (t) = 10 - 12t2. En los tiempos t = 2 y t = 3, la partícula está localizada en x
= 0 y x = - 40 respectivamente. Encuentre la posición x de la partícula P en
cualquier instante t
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta lección?
♦ Estudiamos lo que significa que una función sea solución de una
ecuación diferencial
¿Cómo chequeamos que una función es solución de una ecuación
diferencial?
♦ Sustituyendo la función y sus derivadas en la ecuación diferencial y
viendo que se satisface la igualdad
¿Cuantos tipos de soluciones pueden obtenerse para una ecuación
diferencial?
♦ Vimos que para una ecuación diferencial se puede obtener solución
general, solución particular y / o solución singular.
¿Qué diferencia hay entre cada tipo de solución?
58
♦ La solución general contiene tantas constantes arbitrarias como orden
tenga la ecuación diferencial.
♦ La solución particular se obtiene de la solución general asignándole a las
constantes arbitrarias valores específicos según condiciones dadas sobre la
variable dependiente y / o sus derivadas.
♦ La solución singular no puede obtenerse de la solución general.
¿Qué tipo de problemas se pueden plantear que nos conduzcan también
a obtener soluciones particulares?
♦ Los problemas de valor inicial y los problemas de valor de frontera.
¿Que semejanzas y que diferencias esenciales hay en estos problemas?
♦ En ambos se busca obtener soluciones particulares a una ecuación
diferencial. La diferencia radica en que en el problema de valor inicial las
condiciones se dan sobre la variable dependiente y sus derivadas en un valor de
la variable independiente, mientras que en el problema de valor de frontera las
condiciones se dan sobre la variable dependiente en uno, dos o más valores de
la variable independiente.
¿Que relación importante establecimos entre el número de condiciones
que se dan en un problema de valor inicial o un problema de valor de frontera,
el orden de la ecuación diferencial asociada al problema y el número de
constantes arbitrarias de la solución general a cada problema?