Lección 1.2: Interceptos, Valor MáXimo Valor MíNimo Ce L
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INTERCEPTOS EN X y Y,
VALOR MÁXIMOY VALOR MÍNIMO
UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.2.2
J. Pomales CeLJ. Pomales
Objetivos
Al finalizar podrás identificar en una función de grado 1, 2 o 3:
– Ceros de la función (raíces)– Interceptos en “y” (ordenada en el origen)– Puntos máximos o mínimos (vértice)
Todas las gráficas presentadas aquí fueron creadas con el GeoGebra. A menos que se especifique lo
contrario todas son infinitas en sus extremos.
¿Cuál es el grado de cada función?
f(x) = 2x
g(x) = x2 + x + 1
h(x) = x3 + x2 + x + 1
GRADO 1
GRADO 2
GRADO 3
¿Recuerdas cómo es la forma de las gráficas de estas funciones?
¿Qué son los ceros de la función?
J. Pomales
1. Es la solución de f(x) = 0
2. Se le llama también raíces de la función o interceptos en x.
3. La gráfica de f(x) cruza al eje x en el cero de la función.
4. Algunas funciones poseen una o más interceptos en x o no tienen raíces.
¿Cómo calcular los ceros de la función?
1. El grado del polinomio determina el máximo de ceros de la función.
2. Iguala la función a cero, f(x) = 0.
3. Despeja la variable. Siempre es favorable tratar de factorizar la función.
4. Puedes escribir la solución (si existe) usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:
(x,0) La x corresponderá al valor obtenido en el Paso 3.
EjemplosCalcula los ceros de la función
4
4044
04
4)( )1
−=−+=−++
=++=
x
x
x
xxf
Intercepto en x(-4,0)
Representación gráfica de la solución
3 1
3033 1011
0)3( 0)1(
−=−=−+=−++−+=−++
=+=+
xx
xx
xx
EjemplosCalcula los ceros de la función
0)3)(1(
0342
=++=++
xx
xx
Interceptos en x(-1,0) y (-3,0)
34)( )2 2 ++= xxxf
Representación gráfica de la solución
1
1011
0)1( 0
−=−+=−++
=+=
x
x
xx
EjemplosCalcula los ceros de la función
0)1)(1(
0)12(
022
23
=++=++=++
xxx
xxx
xxx
Interceptos en x(0,0) y (-1,0)
xxxxf ++= 23 2)( )3
Representación gráfica de la solución
• Es el lugar donde la gráfica toca o corta el eje de y
• Se le conoce por ordenada en el origen.
• Valor de f(0) = y, esto es cuando la x = 0
¿Qué es intercepto en y?
¿Cómo calcular el intercepto en y?
• Evalúa la función f(0). Esto es, sustituir las x por 0 y luego resolver las operaciones.
• Escribir la solución usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:
(0,y) La y corresponderá al valor obtenido en el Paso 1.
Ejemplos Calcula los interceptos en y
4)0(
40)0(
4)( )1
=+=+=
f
f
xxf
Intercepto en y(0,4)
Representación gráfica de la solución
Ejemplos Calcula los interceptos en y
Intercepto en y(0,3)
3)0(
300)0(
3)0(40)0(
34)( )22
2
=++=
++=++=
f
f
f
xxxf
Representación gráfica de la solución
Ejemplos Calcula los interceptos en y
Intercepto en y(0,0)
0)0(
000)0(
0)0(20)0(
2)( )323
23
=++=
++=++=
f
f
f
xxxxf
Representación gráfica de la solución
• Son los puntos más altos y más bajos en la gráfica de una función
• La función lineal y la cúbica tienen valores máximos y mínimos infinitos.
• La función cuadrática tendrá valor máximo o mínimo según su forma.
• También se le llama vértice.
¿Qué son valores máximos o mínimos?
Datos de la función cuadrática
• Forma general:f(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0
• Su gráfica es una curva en forma de U• Dependiendo del coeficiente de la variable
cuadrada (a) será la forma en que abre la gráfica– Coeficiente (+) : U abre hacia arriba, con un mínimo– Coeficiente (–) : ∩ abre hacia abajo, con un máximo
• Su gráfica se llama parábola
Datos de la función cuadráticaf(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0
• Eje de simetría: recta vertical que divide la gráfica en 2 partes iguales. Su ecuación es
• Esta ecuación me permite calcular los valores máximos o mínimos de la parábola
a
bx
2−=
¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola?
• La ecuación cuadrática debe estar en la forma estándar:f(x) = ax2 + bx + c
• Calcula el eje de simetría y sustituye ese valor en la función dada.
• El valor obtenido forma parte del par ordenado que corresponde al valor máximo o mínimo según sea el caso.
f(x) = 3x2 – 5x + 2En la ecuación dada, a = 3 y b = -5, por lo
tanto la ecuación del eje de simetría es
Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos
Halla el valor máximo o mínimo
6
5
)3(2
5
2=−=−=
−
xóa
bx
Ejemplo 1
Halla el valor máximo o mínimo
f(x) = 3x2 – 5x + 2
Como la función tiene a > 0, la gráfica abre hacia arriba y tiene un punto mínimo en
12
1
12
24
12
50
12
25
1
2
6
25
12
25
26
5
1
5
36
25
1
3
26
55)(
36
253
26
55
6
53
6
52
−
−
−
−
−
=
++=
++=
+
+
=
+
+
=
+
−
=
f
−
12
1,
6
5
a
Ejemplo 1
Halla el valor máximo o mínimo
f(x) = 3x2 – 5x + 2
Así se vería la gráfica de esta función:
Un valor mínimo en
−
12
1,
6
5
−
12
1,
6
5
Ejemplo 1
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3En la ecuación dada, a = -1.5 y b = 6, por lo
tanto la ecuación del eje de simetría es
Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos
Halla el valor máximo o mínimo de
21
2
3
6
)5.1(2
6
2===−=−= −a
bx
Ejemplo 2
Halla el valor máximo o mínimo de
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3
Como la función tiene a < 0, la gráfica abre hacia abajo y tiene un punto máximo en
( ) ( ) ( )( )
9
36
3126
31245.1
32625.12 2
=+=
++=++=
++=
−
−
−f
( )9,2
a
Ejemplo 2
Halla el valor máximo o mínimo de
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3
Así se vería la gráfica de esta función:
Un valor máximo en
( )9,2
Ejemplo 2
En resumen
• Ordenada en el origen – Punto donde la función toca o corta al eje y
• Raíces – Puntos donde la función toca o corta al eje x
• Vértice – Punto máximo o mínimo, en este caso de la parábola