Lección 3 Diseño de componentes magnéticos para convertidores electrónicos de potencia...

Lección 3

Diseño de componentes magnéticos para convertidores

electrónicos de potencia

Universidad de Oviedo

Diseño de Sistemas Electrónicos de Potencia

4º Curso. Grado en Ingeniería en Tecnologías y Servicios de Telecomunicación

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

¿Por qué un tema dedicado a los componentes magnéticos?

• Realizan dos funciones importantísimas en la conversión de la

energía eléctrica:

- Transferencia directa de energía eléctrica con posible cambio de

escalas de tensión y corriente y obtención de aislamiento galvánico

entre entrada y salida Þ transformadores

- Almacenamiento de la energía eléctrica en forma de energía en un

campo magnético para su posterior transferencia Þ bobinas (con

uno o varios devanados)

• Frecuentemente deben diseñarse a medida

• En potencias pequeñas, sí se encuentran componentes “estandarizados”

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Partes de un componente magnético

Núcleo de material magnético (ferrita, polvo de

hierro, aleaciones férricas amorfas, Fe, Fe Si, etc.)

Soporte para albergar el

devanado (carrete, “bobbin”)

Devanado o devanados (de hilo de

cobre con barniz aislante, pletinas o cintas

de cobre, pistas de circuito impreso, etc.)

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Montaje :

- Se parte del carrete

- Se devanan los devanados o bobinados

- Se introducen los núcleos magnéticos

- Se sujeta todo el conjunto

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Puede haber una zona en la que el

circuito magnético esté interrumpido.

Es el entrehierro (“gap”)

Sin entrehierro

Con entrehierro

CO

MP

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EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Distintos tipos de

entrehierros

Con núcleos estándar Con núcleos a medida

CO

MP

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TE

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AG

NÉ

TIC

OS

Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes

• Núcleos en

“E”

E

E plano

EFD

Todos estos son de

columnas de base

rectangular (en algunos

casos redondeadas)

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Núcleos en

“E”

Son núcleos de columna

central de base circular

EC

ETD

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Núcleos en

“E”

Todos estos también son

de columna central de

base circular, pero más

blindados

EQ ER

EP

CO

MP

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EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Núcleos muy blindados tipo P (“potcores”)

PT

PQ

CO

MP

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TE

S M

AG

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TIC

OS


• Núcleos muy blindados tipo RM

RM/IRM

RM/ILP

CO

MP

ON

EN

TE

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AG

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TIC

OS


• Núcleos muy poco blindados

U

En marco y barra

• Núcleos en U:

- Con separación de los devanados

- Muy interesante para alta tensión

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de una parte

• En electrónica de potencia normalmente son toroides

lm

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Teoría básica de los componentes magnéticos

• En el estudio de la teoría básica de los componentes

magnéticos, vamos a suponer que el núcleo es toroidal

S

l

Sd)t

Dj(ldH

Una de las Ecuaciones de Maxwell

S

l

inSdjldH

Particularización al componente magnético

H

ld

SS

j

ni

Ley de Ampère

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Ahora ya partimos

de:inldH

l

• Suponemos que el campo magnético fuera del

núcleo es despreciable y que tiene el mismo

módulo en todo él (sección uniforme), de tal forma

que:

m

l

lHldH

(lm es la longitud media del toroide)

• Por

tanto:inlH m

n

i

• Llamamos “Fuerza magnetomotriz” (Fmm) a

n·i:mmm lHinF

lm

ni

H

Ley de Ampère para un toroide de sección uniforme y sin entrehierro

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Se ha supuesto que todo el campo magnético

está en el núcleo férrico. Aplicamos las

relaciones entre H y B (sin saturación, es decir,

en zona de comportamiento lineal del núcleo):

HBHB FeFe

• Por otra

parte:rFe0Fe

rFe0

mmm

lBinF

• Sustituyendo en la fórmula de la Ley de Ampère, queda:

• Por tanto:

rFe0Fe

BBH

lm

ni

H

Otra forma de expresar la Ley de Ampère para un toroide de sección uniforme y sin entrehierro

B

,Fe

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Por otra parte, definimos el flujo

magnético f como:

rFe0

mmm A

linF

• Sustituyendo de nuevo en la en la fórmula

de la Ley de Ampère, queda:

A

ABAdB

Otra forma más de escribir la Ley de Ampère para un toroide con sección uniforme y sin entrehierro

lm

ni

B

Fe

A

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Esta es la Ley de Ampère aplicada a un

núcleo de sección uniforme y sin entrehierro.

¿Cómo sería la Ley de Ampère si hubiera

entrehierro?

• Para estudiar este caso, hace falta recordar el

comportamiento del campo magnético en un

cambio de medio

B

B

B

FeH

gH

FeH

• La densidad de

flujo es la

misma en

ambos medios

• La intensidad

de campo

magnético

cambia con el

medio

lm

ni

B

Fe

A

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


ni

B

FeH

B

gH

»lm

g

• Suponemos que hay

entrehierro en el toroide

• Suponemos que el

campo magnético en el

entrehierro sigue la

misma trayectoria que en

el núcleo

Ley de Ampère para el toroide con sección uniforme y con entrehierro

gHlHinF gmFemm

gHlHldHldHinF gmFe

g

0 g

l

0 Femm

m

• Por tanto:

Despreciable

CO

MP

ON

EN

TE

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AG

NÉ

TIC

OS


ni

B

FeH

B

gH

»lm

g

• Aplicamos las relaciones entre H y B

(sin saturación, es decir, en zona de

comportamiento lineal del núcleo):

HBHB

• Por otra

parte:rFe0Fer0 0g y

g

lBinF

rFe

m

0mm

• Sustituyendo en la fórmula de la Ley de Ampère, queda:

• Por tanto:

rFe0FeFe

BBH

0g

BH

y

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


ni

B

FeH

B

gH

»lm

g

gl

AinF

rFe

m

0mm

entonces la Ley de Ampère queda:A

•

Como

:

A

ABAdB

Otra forma de escribir la Ley de Ampère para un toroide con sección uniforme y con entrehierro

• Esta es la Ley de Ampère aplicada a un núcleo de sección

uniforme. ¿Cómo sería la Ley de Ampère si la sección no fuera

uniforme?

• Para estudiar este caso, hace falta recordar una de las

propiedades básicas de los campos magnéticos: son campos de

divergencia nula (adivergentes)

CO

MP

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EN

TE

S M

AG

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TIC

OS


2A1A

A

22

ointrec A

11

21

AdBAdBAdB

ointrec

0AdB

• Forma integral de la condición de divergencia nula (el flujo neto

que atraviesa una superficie cerrada es nulo) :

• Como sólo hay flujo distinto de

cero en A1 y A2, la condición

anterior se puede escribir como:

• Por

tanto:22112A1A ABAB

A2

1B

2B

2A

1A

A1

11 A

B

2

2 AB

y

• El flujo es el mismo en

todas las secciones

• La densidad de flujo no

ni

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


gA1

• Toroide con zonas de distinto área y con

entrehierro

rFe01rFe0

11Fe A

BH

A2

l1a

l1b

l2

mrF

e f

gHlH)ll(HinF g22Feb1a11Femm

• Aplicando la Ley de Ampère queda:

01rFe02

2

rFe01

b1a1mm A

g

A

l

A

llinF

rFe02rFe0

22Fe A

BH

010

1g A

BH

xgFe2Fe1mm )(inF

CO

MP

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EN

TE

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AG

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TIC

OS


ni

gA1

A2

l1a

l1b

l2

mrF

e f

rFe01

b1a1Fe1 A

ll

• Reluctancia de la zona de sección A1 en el material férrico:

rFe02

2Fe2 A

l

• Reluctancia de la zona de sección A2 en el material férrico:

01g A

g

• Reluctancia del entrehierro (de sección A1):

xmm inF

rx0x

xx A

l

Ley de Ampère para un toroide

xgFe2Fe1mm )(inF

CO

MP

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EN

TE

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AG

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TIC

OS


ni

gA1

A2

l1a

l1b

l2

mrF

e f

• Equivalencia magnética-eléctrica

xmm inF

rx0x

xx A

l

Ley de Ampère para un componente de un único circuito magnético

VEE

R1

R2

R3

iEE

xEEEEem RiVF

xx

xx A

lR

Ley de Ohm para un circuito de una única malla

CO

MP

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EN

TE

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AG

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TIC

OS


ni

gA1

A2

l1a

l1b

l2

mrF

e f

• Equivalencia magnética-eléctrica

VEE

R1

R2

R3

iEE

• Fuerza magnetomotriz

• Flujo magnético

• Reluctancia

• Permeabilidad absoluta

• Fuerza electromotriz (tensión)

• Corriente eléctrica

• Resistencia

• Conductividad

Þ

Þ

Þ

Þ

CO

MP

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TE

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TIC

OS


• Equivalencia magnética-eléctrica en circuitos con varias ramas

f1=B1·A1f2=B2·A2

f3=B3·A3

A2

A3

A1

2B

3B

1B

f1 = f2 + f3(consecuencia de la adivergencia de B)

2j

1j

3ji1=j1·A1

i2=j2·A2

i3=j3·A3

A2

A1

A3

i1 = i2 + i3(Kirchhoff)

También es válida

CO

MP

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TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS



g

llat

lc/2

AlatAc

llat

lc/2

rFe0lat

latlat A

l

rFe0c

cc A

l

0cg A

g

RlatRlat

Rc

Rg

Þ Rlat

Þ Rg

Þ Rc

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS



2c

gRlatRlat

Rc

Rg

latlat 2

c

VEEi

i1

i2

i3

gclat

gclatlat

EE1

RRR

)RR(RR

Vi

gclat

gclatlat

1 )(in

f1

• Ejemplo: cálculo de i1

n

CO

MP

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TE

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AG

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TIC

OS


• Reducción de un núcleo no toroidal a uno toroidal

RlatRlat

Rc+Rg

VEE

Rc+Rlat/2+Rg

VEE

glat

lat 2c

i

n

ig

2lat

c

n

CO

MP

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EN

TE

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AG

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TIC

OS


• Datos de un fabricante

Ae

le

E30/15/7

Ve » Aele

CO

MP

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TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Datos de un fabricante

rFe0x

xFe A

l

FerFe0

x

x

A

l

E30/15/7

2lat

cFe

latlat c

Valor desde el que se puede calcular la reluctancia total del circuito magnético

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Datos de un fabricante: Introducción de un entrehierro

gngn gn

g gg

g = 2gn g = gn

g = gn

A2 A2

A1

A1 = 2A2

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Concepto de autoinducción (o inductancia)

x

in

- Por la Ley de Ampère sabemos que:

- Definimos autoinducción:i

nL

2L

x

2

nAn

i

nL

- Por tanto:

AL recibe el nombre de permeancia. Muchas veces se representa por P

CO

MP

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EN

TE

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AG

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TIC

OS


• Cálculo de la autoinducción con entrehierro desde la permeancia AL sin entrehierro, AL0

0Lg

20L

g0L

2

gFe

2

x

2

A1

nA

A1

nnnL

- Por tanto:

Fe0L

1A

- Partimos de:

0Le0

20L

AA

g1

nAL

0eg A

g

- Como , entonces:

Siendo:

AL0: Permeancia sin entrehierro

n: número de espiras

g: longitud del entrehierro

Ae: Área efectiva de la sección del núcleo

m0: permeabilidad del vacío (4p10-7 Hm-1)

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Relación entre la tensión eléctrica y magnitudes magnéticas

TS

l

Sdt

BFEMldE

Una de las Ecuaciones de Maxwell

Particularización al componente magnético

Ley de Faraday

S

B

+

-v

ST

TS S tnSd

t

BnSd

t

B

tnv

Por tanto:

n

A

B

fld

E

j

+

-v FEMv FEMA

B

,E

j

(Nos interesa con estos signos tal y como es )j

CO

MP

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TE

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AG

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TIC

OS


• Relación entre la tensión eléctrica y corriente eléctrica

- Usando la definimos autoinducción, , obtenemos:i

nL

t

iLv

y como i sólo puede cambiar

con el tiempo:

dt

diLv

+

-v

L

i

Otra forma de expresar la Ley de Faraday

CO

MP

ON

EN

TE

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TIC

OS

Teoría básica de los componentes magnéticos Resumen

gL

Ae

f

n

+

-v

i

0LFe A

1

0eg A

g

0Lg

20L

A1

nAL

dt

diLv

• Los componentes magnéticos se estudian reduciendo el

comportamiento de su núcleo al de un toroide equivalente con

posible entrehierro

• El comportamiento tensión-corriente del componente nos lo da la

ley de Faraday:

eAn

iLB

• La inductancia L del componente magnético depende del número

de espiras al cuadrado y de la reluctancia del núcleo y del

entrehierro, según la fórmula:

• La densidad de flujo en

el núcleo magnético

vale:

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

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TIC

OS

Diseño de componentes magnéticos

gLn

+

-v

i

• Vamos a estudiar tres

casos:

L1

n1

+

-v1

i1

n2

+

-v2

i2

L2

L1

n1

+

-v1

i1

n2

+

-v2

i2

L2

g

- Bobinas con un único devanado

(almacenar energía eléctrica)

- Transformadores

(cambiar la escala de tensión y

corriente y aislamiento galvánico)

- Bobinas con varios devanados

(almacenar energía eléctrica,

cambiar la escala de tensión y

corriente y aislamiento galvánico)

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de bobinas con un único devanado

gLn

+

-v

i

• Datos de partida:

- Valor de la inductancia deseada, L

- Forma de onda de la corriente por la bobina. En particular,

valor máximo de la corriente, imax

- Características del núcleo de partida. En particular, de su

permeancia sin entrehierro, AL0 y sus dimensiones (Ae y lm)

• Datos a obtener:

- Necesidad o no de entrehierro. Si es necesario, su longitud, g

- Número de espiras, n

- Diámetro del conductor del devanado, d

- Verificación de si nos vale núcleo magnético a usar

Diseño no optimizado

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


gLn

+

-v

i

• Proceso de cálculo:

- Realizar el cálculo completo con un tamaño determinado de

núcleo. Su elección se basa en la experiencia previa del

diseñador.

- El cálculo anterior debe incluir la determinación de la longitud

del entrehierro, si éste es necesario (caso más habitual)

- Con el número de espiras calculado, estimación de las

pérdidas en los devanados en función del grosor del hilo

empleado. La sección total de hilo conductor debe caber en el

núcleo

- En caso que el diseño no se juzgue adecuado, cambiar de

tamaño y/o forma del núcleo


CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


L

n

i

• Diseño sin entrehierro (habitualmente no es válido):

- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de L y de imax


0L

20L A

LnnAL

e

0Lmax

e

maxmax A

LAi

An

iLB

Normalmente Bmax > Bsat (300-400 mT),

por lo que el diseño no es válido

(el valor de AL0 no es el supuesto inicialmente

al estar el núcleo saturado y haber perdido,

por tanto, sus propiedades magnéticas)

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Diseño con entrehierro:

- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de L, de imax y de la

Bmax deseada, siempre menor que la de saturación

- Calculamos n:

Diseño no optimizado L

n

i g

maxe

max

e

maxmax BA

iLn

An

iLB

(se debe elegir un número

entero, el mayor más próximo)

- Calculamos g:

1

L

nA

A

Ag

AA

g1

nAL

20L

0L

e0

0Le0

20L

- Ahora ya conocemos n y g. El siguiente paso es calcular las

pérdidas y reconsiderar el diseño

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS



• Las pérdidas se dividen en:

- Pérdidas en el devanado (vulgarmente, pérdidas en el cobre)

- Pérdidas en el núcleo (vulgarmente, pérdidas en el hierro)

• Para calcular las pérdidas en el devanado hace falta:

- Calcular el valor eficaz de la forma de onda de la corriente

- Calcular el valor de la resistencia del devanado

• Para calcular la resistencia del devanado hace falta:

- Calcular la longitud del hilo del devanado

- Calcular la sección del hilo del devanado

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS



• Cálculo de la longitud del hilo del devanado

(ejemplo de sección circular):

nr2l mCu

rm

• Cálculo de la sección del hilo del devanado

- Sección total de cobre en la “ventana” del

núcleo:

n2

dA

2

Cu

(d es el diámetro del hilo de cobre)

- Sección total de la “ventana” del núcleo: AW

- Como el hilo de cobre no se ajusta perfectamente en la ventana, hay

parte del área que no es posible llenar y queda vacía. Se define el

“factor de ventana” fW:

W

CuW A

Af (típicamente fW » 0,3)

AW

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS



- Como el devanado debe caber en la ventana,

se debe cumplir:

n

fA2dfAA WW

WWCu

- Supongamos que toda la sección de cobre es

útil para la circulación de corriente. Entonces la

resistencia del devanado vale:

rm

AW

WWCu

2m

2

Cu

CuCu fA

nr2

2d

lR

- Pérdidas en el devanado:2Lef

CuWW

2m2

LefCuCu ifA

nr2iRP

Para un núcleo dado, las pérdidas en el devanado crecen con n2

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

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TIC

OS

Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado

¿Es útil de verdad toda la sección de cobre para la circulación de

corriente eléctrica? Hay que hablar de los efectos “pelicular” y

“proximidad”

- Efecto pelicular: en un conductor aislado que conduce corriente

eléctrica con una componente de alterna, el campo magnético variable

que ésta genera redistribuye de forma no uniforme la densidad de

corriente en el conductor, produciéndose zonas en las que casi no hay

conducción de corriente

- Efecto proximidad: como el efecto pelicular, pero en presencia de un

campo magnético producido por la conducción de corriente por otros

trozos de conductor

Conductor macizo en continua

Conductor macizo único en alterna

Conductor macizo no único en alterna

Múltiples conductores paralelos en alterna

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

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TIC

OS


• Concepto de profundidad pelicular (“skin”)

o profundidad de penetración:

f

1

0CuS

ds

• A 60 Hz Þ ds= 8,5 mm

• A 100 kHz Þ ds= 0,21 mm

• A 1 MHz Þ ds= 0,067 mm

(esto ocurriría con sólo alterna; en la mayoría de las bobinas de los convertidores hay una fuerte componente de continua, por lo que la situación no es tan grave)

• La mejor manera de aprovechar la sección de

cobre es sustituir el conductor macizo por otro

compuesto por muchos conductores de diámetro

menor de 2ds. Esto encarece el devanado.

• El hilo “litz” se basa en este principio

>2ds

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Pérdidas en el núcleo de un componente magnético

- Por histéresis

La curva B-H real tiene histéresis. El funcionamiento del componente describe un área en la curva B-H que define las pérdidas por histéresis

- Por corrientes inducidas en el núcleo (“eddy currents”)

El flujo magnético variable induce corrientes en el propio núcleo. La circulación de estas corrientes provoca pérdidas

Es importante que el material férrico del núcleo tenga alta resistividad eléctrica

HFe

BFe

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

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TIC

OS


• Cálculo analítico de las pérdidas en el núcleo

- Las pérdidas crecen con la componente de alterna de la densidad de

flujo y con la frecuencia. Una fórmula empírica aproximada es:

yp

xeFe BfVkP Siendo:

k: una constante

Ve: volumen efectivo del núcleo

f: frecuencia de la componente alterna

Bp: valor de pico de la componente alterna de la

densidad de flujo

x: exponente muy variable

y: exponente de valor próximo a 2

e

pp An

iLB

2e

2

2p

2xe

Fe An

iLfVkP

Para un núcleo dado y a una frecuencia fija,

las pérdidas en el núcleo decrecen con n2

Siendo:Ae: área efectiva del núcleo

ip: valor de pico de la componente alterna de la

corriente

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


- Los valores de k, x e y se pueden obtener

desde curvas de pérdidas suministradas

por los fabricantes de núcleos

yp

xeFe BfVkP

yp

x

e

Fe BfkV

P

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Pérdidas totales:

2e

2

2p

2xe

CuWW

22Lefm

FeCuT An

iLfVk

fA

nir2PPP

PFe

PT

PCu

n

Pér

did

as

- Ahora ya conocemos las pérdidas totales en la bobina. Si éstas son

suficientemente bajas, el diseño es adecuado. En caso contrario

habrá que elegir un núcleo mayor.

- Sin embargo, hay otra forma de enfocar el diseño. Se trata de

intentar trabajar a mínimas pérdidas, partiendo de elegir n para

pérdidas mínimas.

Diseño realizado

Diseño de optimización de pérdidas

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de bobinas con un único devanado Diseño optimizado

22e

2p

2xe2

CuWW

2Lefm

T n

1·

A

iLfVkn

fA

ir2P

PFe

PT

PCu

n

Pér

did

as

- En esta función, el mínimo se alcanza cuando PFe = Pcu. Por tanto:

2op

2e

2p

2xe2

opCuWW

2Lefm

n

1·

A

iLfVkn

fA

ir2

42e

2Lefm

CuWW2p

2xe

op Air2

fAiLfVkn

Sin embargo, este diseño no

garantiza que la densidad de

flujo esté por debajo de la de

saturación. Por tanto, hay

que comprobarlo

nop

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de bobinas con un único devanado Diseño optimizado

PFe

PT

PCu

n

Pér

did

as

nop

- Si Bop < Bsat, entonces el

diseño es posible.

eop

maxop An

iLB

- Sabemos que:

- Si Bop > Bsat, entonces el

diseño no es posible. Hay que

elegir otro núcleo o hacer un

diseño no optimizado

B

n

Bsat

nop

Bop

B

n

Bsat

nop

Bop

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión

• En todo lo desarrollado hasta ahora se ha supuesto que no hay flujo disperso por el aire

• Vamos a valorar su influencia en la inductancia de la bobina

• Para ello, es preciso estudiar la densidad de energía asociada al campo magnético:

v

V BdHw

ni

B

FeH

B

gH

»lm

g

• Si aplicamos esto a un

componente magnético sin flujo

disperso, queda:

g

g

Fe

FeV BdHBdHw

gFeV www

rFe0

2

Fe 2

Bw

0

2

g 2

Bw

Por tanto:

Siendo:

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


rFe

m

0

2e

FeFeFe

l

2

BAVwW

g2

BAVwW

0

2e

ggg

m

rFe

Fe

g

l

g

W

W

• Habitualmente, . Ejemplo:

g » 1 mm; lm» 70 mm; mrFe» 2200

1W

W

Fe

g

14,3170

2200

W

W

Fe

g

La mayor parte de la energía se

almacena en el entrehierro in

Baja energía

Alta energía

• La energía total almacenada

vale:

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


in

Baja energía

Alta energía

• ¿Es esto extraño?

No, es lo mismo que pasa en el equivalente eléctrico

Siendo Rg >>RFe

VEE

RFe

Rg

Baja potencia

Alta potencia

• Cuanto más pequeña es la suma de reluctancias, más energía se almacena en el núcleo

• Para una suma de reluctancias dada, cuanto mayor es la del entrehierro, más se almacena en él

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Analicemos ahora lo que ocurre con el flujo disperso

- Representamos la fuerza magnetomotriz Fmm(x)

en la ventana

- Aplicamos la Ley de Ampère a los caminos que

describe el flujo disperso:

nini2/3

ni/3

W1WW1WFeFemm l)x(Hl)x(HlH)x(F

Fmm(x)

x

W1

mmW l

)x(F)x(H

l1W

- La densidad de energía en la ventana vale:

2

)x(H

2

)x(B)x(w

2W0

0

2W

W

- Y la energía en el volumen de las ventanas vale:

WV

W

2W0

W dV2

)x(HW

(así podremos calcular HW(x))

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


- Por tanto:

WV

W2

W0

W dV)x(H2

W

- Por otra parte: 2dW iL

2

1W

- Por tanto:2

V

W2

W0

d i

dV)x(H

L W

siendo Ld la inductancia de dispersión

- En nuestro ejemplo: nini2/3

ni/3

Fmm(x)

x

l1W

l2W l2Wa

l3W

2

W1

Wa2W2W30

d nl

l32

llL

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Modelo equivalente eléctrico sin dispersión:

VEE

RFe

Rg

• Modelo equivalente eléctrico con dispersión:

RFe

VEE Rg

i1

RW

i2

iT

i1

gFe

EE1 RR

Vi

gFe1

in

21L

gFe

2

1 nAn

L

Por tanto:

Siendo: gFe

1L

1A

inAin

RR

Vi 1L

gFe1

gFe

EE1

inAin

R

Vi LW

W2

W

EE2

in)AA( LW1LT

Por tanto: d12

W1LT LLn)AA(L

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• En conclusión, la inductancia total es la suma de la teórica sin dispersión más la de dispersión:

d1T LLL 2

1L1 nAL

gFe1L

1A

2LWd nAL

WLW

1A

i

L1 Ld

LT

W1

Wa2W2W30

LW l

l32

llA

0Le0

0L1L

AA

g1

AA

l1W

l2Wl2Wa

l3W

g/2

- En nuestro ejemplo:

+

-v1

+

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de transformadores

• En una primera aproximación, vamos a despreciar el flujo

disperso. Analizamos la teoría básica de un transformador

• Relaciones entre n1, n2, L1 y L2:

L1

n1 n2

L2

io1

+

-v2

io2=0

• Colocamos una fuente de tensión en un

devanado. Ocurren los siguientes

fenómenos:

f

- Se produce un flujo magnético f y una corriente io1, de acuerdo con la

Ley de Faraday:

210L1 nAL 2

20L2 nAL 22

21

2

1

n

n

L

L

- Como el otro devanado está

atravesado por el mismo flujo:

2

2

1

122 n

v

n

v

dt

dnv

- Y como está en vacío: 0i 2o

L1

n1 n2

L2

Sin flujo disperso

dt

dnv 11

1

0

t

t

11

1o1o

11 dtvL

1i

dt

diLv

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


i2

• Ahora colocamos una resistencia en la salida de tensión v2.

Obligatoriamente circulara una corriente i2:

- Pero, el flujo tiene que estar determinado por la Ley de Faraday.

¿Cómo se compatibilizan ambas “obligaciones”?

2

22 R

vi

121

22

2 Ln

nL

11

22 v

n

nv

+

-v1

+

i1

+

-v2

f

L1n1 n2

L2

Sin flujo disperso

R2

- También obligatoriamente la corriente i2 tiene que generar un

flujo f2: 22

22 i

n

L

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• El flujo total debe ser f. Asimismo, i2 crea un nuevo flujo f2.

Obligatoriamente se debe crear otro flujo f1 para cancelar el efecto de

f2:

i2

121

22

2 Ln

nL

11

22 v

n

nv

+

-v1

+

i1

+

-v2

f

L1n1 n2

L2 R2

22

21o

1

12121 i

n

Li

n

L

- Y también:

1

1

11 i

n

L 2

12

211o1 i

Ln

Lnii

- Teniendo en cuenta la relación entre L1 y L2, se obtiene:

21

21o1 i

n

nii

Sin flujo disperso

Por tanto:

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


11

22 v

n

nv i2

+

-v1

+

i1

+

-v2

L1n1 n2

L2 R2 21

21o1 i

n

nii

Sin flujo disperso

io2=0

+

-v1

+

io1

+

-v2

L1n1 n2

L2

0i 2o 11

22 v

n

nv

1

0

t

t

11

1o dtvL

1i

2

22 R

vi

1

0

t

t

11

1o dtvL

1i

Resumen:

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de transformadores Sin flujo disperso

11

22 v

n

nv

21

21o1 i

n

nii

2

22 R

vi

1

0

t

t

11

1o dtvL

1i

• Representación:

Transformador ideal (ni siquiera magnético)

io1

L1

n1:n2

v1

+

-

v2

+

-

i2i1 i2n2/n1

R2+

i2

+

nv1

ni2

v1

+

-

v2

+

-

i1i

i2i1i

1:n

v1

+

-

v2

+

-

v2 = v1n i2 = i1i/n

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Terminología habitual:

i1 i2’

Transformador ideal

im

Lm

n1:n2

v1

+

-

v2

+

-

i2

R2+

11

22 v

n

nv

'iii 2m1 2

22 R

vi

1

0

t

t

1m

m dtvL

1i

21

22 i

n

n'i

• Lm es la inductancia magnetizante. Aquí se ha “referido” al primario

del transformador, pero se puede referir al secundario o a cualquier otro devanado (si existe). Interesa que sea lo mayor posible

• Lm caracteriza el hecho de que el transformador electromagnético

transfiere energía creando y compartiendo flujo magnético

• La corriente por Lm es la corriente magnetizante im. En general

interesa que sea lo menor posible

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Procedimiento de diseño:

- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de v1, del intervalo de

tiempo ton = t1 - t0 en el que va a crecer el flujo (tiempo en el que v1 es,

por ejemplo, positiva), del valor de B en t0 (es decir, de B0) y del valor

máximo deseado de B (es decir, de Bmax), siempre menor que la de

saturación

- Calculamos n1 desde la Ley de Faraday:

1

0

1

0

t

t

1e0max

1

t

t

1e1

0maxe11 dtvABB

1ndtv

An

1BBB

dt

dBAnv

1

212 v

vnn - Calculamos n2 en función de v2:

- Asignamos a cada devanado la mitad de la ventana. Calculamos la

sección de los conductores y las pérdidas como en las bobinas (en el

caso de los transformadores, el efecto proximidad es muy importante)

- Si el diseño no nos satisface, se recalcula con otro núcleo. También

es posible adaptar el diseño optimizado a los transformadores

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• El transformador tiene como misión transformar, no almacenar, energía eléctrica. Sin embargo, siempre se almacena una parte de energía eléctrica en la inductancia magnetizante

• ¿Debe colocarse un entrehierro en el circuito magnético de un

transformador para que su núcleo férrico no se sature? No, si trabaja como tal

• ¿Por qué un entrehierro soluciona los problemas de saturación en una bobina y no en un transformador?

• Transformador: el la densidad de flujo la fija la tensión:

2

1

t

tee dtv

An

1B

dt

dBAnv luego B decrece al crecer n

y

0Le0

20L

AA

g1

nAL

0Le0

0L

ee AA

g1

AL

A

i

An

iLB

luego B decrece

al crecer g

• Bobina: la densidad de flujo la fija la corriente y depende de la

reluctancia del circuito magnético, que se puede modificar con g:

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


i2

+

-v1

+

i1

+

-v2

L1n1 n2

L2 R2

f

0LFe

A

1=Âå

i®f

VEE2®n2i2VEE1®n1i1

FeFeR

• Modelo equivalente eléctrico de las magnitudes magnéticas en el transformador

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de transformadores Con flujo disperso

• Hay que valorar el campo magnético disperso. Para ello representamos la fuerza magnetomotriz a lo largo de una ventana del núcleo

l1W

n1·i1

n1·i1-n2·i2

n1n2

Fmm(x)

xl2W1l2W2

i1

Transformador real

n1:n2

v1

+

-

v2

+

-

i2

21

V

W2

W0

1d i

dV)x(H

L W

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Calculamos la intensidad del campo magnético a lo largo de una ventana del núcleo para después obtener la inductancia de dispersión

n1·i1/l1W

x

H(x)H(x)2

x

21

W3W1H0

21

V

W2

W0

1d i

llA

i

dV)x(H

L2

W

n1i1

n1i1-n2i2

Fmm(x)

xl2W1l2W2

n1i1

n1i1-n2i2

n1i1

n1i1-n2i2n1i1-n2i2

Fmm(x)

xl2W1l2W2

Fmm(x)

xl2W1l2W2

Fmm(x)

xl2W1l2W2

La inductancia de dispersión es proporcional al área .2H

A

2HA

2

w2

W

H

l

0 W3W12

WW3W1

V

W2

W Alldx)x(HlldV)x(H

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


Con flujo disperso

• ¿Qué se puede hacer para disminuir la inductancia de dispersión? Disminuir los valores de H en la ventana

l1W

Fmm(x)

x

n2/3 2n1/3 2n2/3 n1/3

H(x)2

x

n1·i1-n2·i2n1·i1/3

-n1·i1/321

W3W1H01d i

llAL

2

El entrelazado de

devanados disminuye la

inductancia de dispersión

2HA

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


n2/3 2n1/3 2n2/3 n1/3

Con entrelazadon2 n1Sin entrelazado

H(x)2

x2H

A

Alta Ld

Baja Ld

x

H(x)22H

A

n2i2 n1i1

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Modelo equivalente eléctrico de las magnitudes magnéticas en el transformador

Con flujo disperso

3Feg2FeÂ

1Fe

1Fe

VEE2

RFe2 RFe1

RFe1

Rg

RFe3VEE2

VEE1 VEE1

RFe3

RFe1

RFe1

RFe2

Rg

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Simplificamos el equivalente eléctrico

Con flujo disperso

VEE2

RFe2 RFe1

RFe1

Rg

RFe3VEE2

VEE1 VEE1

RFe3

RFe1

RFe1

RFe2

Rg

VEE2

RFe2 RFe1

Rg

RFe3

RFe1 VEE1

VEE2

RFe2 2RFe1+RFe3

Rg VEE1

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Seguimos simplificamos el equivalente eléctrico

Con flujo disperso

• Supongamos que dejamos el devanado secundario en circuito abierto

Þ n2i2 = 0 Þ sustituimos la fuente de tensión VEE2 del

equivalente eléctrico por un cortocircuito

g2Fe

g2Fe1Fe1eq RR

RR'RR

g2Fe1Fe

g2Fe1Fe

g2Fe

g2Fe1Fe

1eq

R1

R1

'R1

R1

R1

'R1

RR

RR'R

1

R

1

VEE2

RFe2 2RFe1+RFe3

Rg VEE1

VEE2

RFe2 RFe1’

Rg

VEE1

RFe2 RFe1’

Rg

Req1

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Ahora volvemos al circuito magnético

Con flujo disperso

g2Fe1Fe

g2Fe1Fe

1eq

R1

R1

'R1

R1

R1

'R1

R

1

g2Fe1Fe

g2Fe1Fe

1eq11

'1

11'1

1

• Multiplicamos por n12 tenemos en cuenta la relación entre

reluctancias e inductancias:

1d21Fe11Fe

1d21Fe11Fe1eq

g

21

2Fe

21

1Fe

21

g

21

2Fe

21

1Fe

21

1eq

21

LLL

LLLL

nn'

n

nn'

n

n

• Siendo:

1Fe

21

11Fe '

nL

2Fe

21

21Fe

nL

g

21

1d

nL

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


2d12Fe22Fe

2d12Fe22Fe2eq

g

22

1Fe

22

2Fe

22

g

22

1Fe

22

2Fe

22

2eq

22

LLL

LLLL

n'

nn

n'

nn

n

• Repetimos lo anterior, pero ahora dejando el primario en circuito

abierto Þ n1i1 = 0 Þ sustituimos la fuente de tensión VEE1 del

equivalente eléctrico por un cortocircuito. Siguiendo idéntico procedimiento, obtenemos:

• Siendo:

2Fe

22

22Fe

nL

1Fe

22

12Fe '

nL

g

22

2d

nL

• Por tanto:2

1

211Fe12Fe n

nLL

2

1

221Fe22Fe n

nLL

2

1

21d2d n

nLL

1d11Fe21Fe

1d11Fe21Fe

2

1

22eq LLL

LLL

n

nL

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


• Resumen de lo obtenido

Con flujo disperso

Primario Secundario

Leq1 Leq2

1d21Fe11Fe

1d21Fe11Fe1eq LLL

LLLL

1d11Fe21Fe

1d11Fe21Fe

2

1

22eq LLL

LLL

n

nL

n1:n2

v1

+

-

v2

+

-

i2

LFe11LFe21

Ld1

Primario Secundario

i1 i2n2/n1

Transformador idealModelo en “p”

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


n1:n2

LFe1

Ld11

Primario Secundario

Transformador ideal

Ld21

n2n1

• Con otras estructuras, las inductancias parásitas encajan mejor con un modelo en “T”

Modelo en “T”

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS


n1:n2

Lm1

Ld1

Primario Secundario

Transformador ideal

• El la práctica, se trabaja con un modelo simplificado de ambos. Se basa en una inductancia de dispersión y en la inductancia magnetizante

• La inductancia de dispersión Ld1 se determina midiendo la

impedancia del primario con la salida en cortocircuito

• La inductancia magnetizante Lm1 se determina midiendo la

impedancia del primario con la salida en circuito abierto y restando a

esta medición el valor de Ld1

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de bobinas con varios devanados

• Realizan las misiones de las bobinas (almacenar energía) y

de los transformadores (cambiar la escala tensión-corriente

y suministrar aislamiento galvánico)

• Para poder realizar correctamente las funciones de una

bobina, habitualmente necesitan entrehierro

• Para poder realizar correctamente las funciones de un

transformador, el acoplamiento entre devanados debe ser lo

mejor posible (baja inductancia de dispersión)

• Al contrario que en un transformador, la inductancia

magnetizante referida a un devanado debe tener un valor

concreto: la inductancia deseada para ese devanado

• Las inductancias de todos los devanados están

relacionadas entre sí al estar en el mismo núcleo:

2n

n23

322

221

1

n

L...

n

L

n

L

n

L

CO

MP

ON

EN

TE

S M

AG

NÉ

TIC

OS

Diseño de bobinas con varios devanados

• Ejemplo de bobina con dos

devanados

Entrehierro Con entrelazado

Lección 3 Diseño de componentes magnéticos para convertidores electrónicos de potencia...

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