Leccion 3.3 - Ángulos de Referencia y Gráficas de...
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Leccin 3.3
ngulos de Referenciay Grficas de
Funciones Trigonomtricas
12/11/2017 Prof. Jos G. Rodrguez Ahumada 1 de 23
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Actividades 3.3
Referencia Texto: Seccn 6.4 Valores de las
Funciones Trigonomtricas; Problemas impares 1-37
pgina 454 y 455 (416); Seccin 6.5 Grfica
Trigonomtricas; problemas impares 5 39, pginas 466
y 467(427)
Referencias del Web:
Videos ngulos Coterminales
Grficas de las Funciones Trigonomtricas
Grficas de las Funciones Trigonomtricas 2 (Seno)
Frecuencia de una funcin seno y coseno
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http://myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/algebra_trig_swokowski_14/pag416.pdfhttp://myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/algebra_trig_swokowski_14/pag427.pdfhttp://youtu.be/ugDRLk8kaOshttp://youtu.be/Dkdxks2ifBshttp://youtu.be/64SbPG1ikrEhttp://youtu.be/I_UiJJ-nYEY
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CLCULO DE VALORES
TRIGONOMTRICOS
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Sea t un nmero real y P = (a, b) un punto en el
crculo unitario asociado a t. Entonces:
Funciones recprocas
Funciones Circulares de ngulos
tan (tangente)a
b t
bt
at
sin ) (seno
cos (coseno)
bt
1csc )(cosecante
at
1sec (secante)
b
at cot e)(cotangent
(0, 1)
(-1, 0)
(0, -1)
(1, 0)
ty
x
P = (a, b)
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Ejemplo 6
Sea un punto en el crculo unitario asociado
a un nmero real t. Determine los valores
trigonomtricos de t si:
Solucin:
tan tb
a
154
14
15
4
15sin t
4
1cos t
4
15
41 ,
15
4
415
11csc
b
t
sec ta
1 1
14
4
15
1
415
41
cot
b
at
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Ejemplo 1
a) Encuentre los signos de sin , cos , tan siel lado terminal del ngulo se encuentra
en el cuadrante IV.
Solucin:
b) Encuentre el signo de 285.
c) Encuentre el signo de tan7
6.
d) Encuentre el signo de cos 2.
cos > 0
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sin < 0
t < 0
sin 285 < 0
tan7
6> 0
cos 2 < 0
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Relaciones especiales para recordar
)1,0(2
)0,1(
)1,0(2
3
)0,1(2
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90 =
180 =
270 =
360 =
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Relaciones especiales para recordar
)2
1,
2
3(
6
2
2,
2
2
4
)2
3,
2
1(
3
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30 =
45 =
60 =
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Ejemplo 2
Use su calculadora para aproximar los siguientes valores
trigonomtricos a cinco lugares decimales (Nota: Asegrese
que su calculadora est en modalidad de radianes o grados
segn aplique).
1) sin 5.3
2) cos 153615"
3) tan
5
4) sec
5
5) cot 85
6) 2 38
0.83227
0.72654
1.23607
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0.08749
= sin 38 2 0.37904
0.96314
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NGULOS DE REFERENCIA
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Sea un ngulo en posicin estndar. El ngulo de referencia es el
ngulo positivo agudo formado por entre su lado terminal y el eje de x.
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Ejemplo 3
Encuentre el ngulo de referencia de:
a) 210o
b)
c)
3
4
30180210
3
3
3
4
3
4
4
7
4
72
4
7
4
8
4
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3
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Ejercicios - ngulos de referencia
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ECUACIONES
TRIGONOMTRICAS Es una ecuacin entre dos expresiones que
contienen valores trigonomtricos
= 0.45
2 x 1 = 0
2 5 + 6 = 0
sin = 0.45
2 sin 3x 1 = 0
2 5 tan + 6 = 0
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Ejemplo 4
Determine
Como
Entonces
Y
En su calculadora:
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2
1,
2
3
6
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sin
6=1
2
) = []
11
21 0.542Determine
En su calculadora
. ) =
1 0.542 0.572815168
1 0.8139
Determine el ngulo en grados tal que
Ajuste modalidad de su
calculadora para grados. Luego, ..
. ) =
1 0.8139 54.47874114
11
2
6
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Ejemplo 5 Resuelva la ecuacin en el intervalo [0,2) tal que:
Paso 1 - Encuentre el nmero o ngulo de referencia
Como
Paso 2 Identifique cuadrantes que coinciden con el signo del valor
trinomtrico
Seno es positivo en el cuadrante I y II,
Paso 3 Determine soluciones
Como senos es positivo, la primera solucin coincide con el nmero de
referencia:
4. El del cuadrante II se calcula as:
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sin =2
2
Las dos soluciones son:
4,3
4
4
2
2,2
21
2
2=
4
4es el nmero de referencia.
4
4=3
4
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Ejemplo 6
Resuelva la ecuacin en el intervalo [0,2) tal que:
Paso 1 - Encuentre el nmero o ngulo de referencia
Como
Paso 2 Identifique cuadrantes
Seno es negativo en el cuadrante III y IV,
Paso 3 Determine soluciones
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sin = 3
2
3
+
3=4
3
3
1
2,3
21
3
2=
3
3es el nmero de referencia.
En el cuadrante III se calcula as:
3
2
3=5
3
En el cuadrante IV se calcula as:
Las dos soluciones son:
4
3,5
3
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Ejemplo 7
Resuelva la ecuacin en el intervalo [0,2) tal que:
Paso 1 - Encuentre el nmero o ngulo de referencia
Como
Paso 2 Identifique cuadrantes
Seno es negativo en el cuadrante III y IV,
Paso 3 Determinar soluciones
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sin = 0.85
1.015985294
+ 1.015985294
4.157577947
1 0.85 1.0159852941.015985294
es el nmero de referencia (aprox.)
En el cuadrante III se calcula as:
1.015985294
2 1.015985294
= 5.267200013
En el cuadrante IV se calcula as:
Las dos soluciones son:
4.157577947,5.267200013
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GRFICAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMTRICAS SENO Y COSENO
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( , )
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Grfica de f(x) = sin x
1 x 1
(,)
..., 2, , 0, , 2, ...Los interceptos en ocurren cuando =
2
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1
1
El Dominio es:
El Rango es:
El valor mnimo que puede asumir es:
El valor mximo que puede asumir es:
La funcin repite sus valores cada (periodo)
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Grficas de = sin
|| se conoce como la amplitud de la funciny determina el valor mximo y mnimo.
El Dominio ser:
axa
(,)
..., 2, , 0, , 2, ...
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El rango ser:
Los interceptos ocurrirn en:
El valor mximo y mnimo
que puede asumir son: a a
Su periodo es: 2
=
=
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Grficas de = sin
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El Dominio ser:
axa
(,)
El rango ser:
Los interceptos ocurrirn en:
Los valores mximos y mnimos que puede asumir son: a a
Su periodo es:
=
=
22
,3
,
2
,
, 0 ,
,2
,3
,
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Ejemplo 1 Bosquje grfica de = sin
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2
La amplitud es:
Los interceptos ocurrirn en:
Los valores mximos y mnimos que puede asumir son: 2 2
Su periodo es:
=
2
, 0 ,
1 3
,2
1 3
,
=
=2
1 3
= 6
= , 0 , 3 , 6,
=2 =
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Grfica de y = cos x
xy sin
xy cos
)sin(cos2 xx
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