Leccion 4 Factor de Intensidad de Tensiones Con Problemas
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Modos básicos de aplicación de las tensiones sobre una grieta
Modo I (modo de abertura) corresponde a separación de las caras de la grieta
bajo la acción de tensiones normales;
Modo II (modo de deslizamiento) refiere al desplazamiento de los labios bajo
la acción de tensiones de corte perpendiculares al frente de grieta;
Modo III (modo de desgarre) se produce por deslizamiento y cizalladura de los
labios de la fisura, en una dirección paralela al frente de grieta.
Ecuaciones de las tensiones elásticas en los puntos
próximos a una grieta
- A partir de los conceptos de tensión
plana y deformación plana
- Ecuaciones de equilibrio
- Ecuaciones de compatibilidad para
las deformaciones
- Función de Airy de la tensión
- Solución de la ecuación
biharmónica
- Funcion compleja de Westergard
para placas cargadas biaxialmente
- Se obtienen los desplazamientos
para modo I
- Factor de intesidad de tensiones en
modo I
Westergard (1939), Irwin (1957)
2
3sin
2sin1
2cos
2 r
aX
2
3sin
2sin1
2cos
2 r
aY
2
3cos
2cos
2sin
2 r
aXY
Tensión plana y deformación plana:
tensiones y desplazamientos en
coordenadas cartesianas y cilindricas
Mode I:
Tenión plana (plane stress)
Deformación plana (plane strain)
Mode III: Mode II:
Linear Elastic Crack-tip Fields
(tension plana y deformación plana)
Funciones angulares del factor de intensidad de
tensiones para los tres modos de fractura
-Los detalles de la tensión aplicada y
geometría entran sólo a través de K !!!
Para una placa infinita con una grieta
central pasante: K = ( a)1/2
- Pero para cada modo la forma del
campo de tensiones es distinto !!!
- Principio de superposición : para un
modo determinado, los valores de K son
aditivos
- Las expresiones de las tensiones y los
desplazamientos se reducen a formulas muy
sencillas:
CARACTERISTICAS DEL
CAMPO DE TENSIONES
Variación de la tensión normal al plano de la grieta
Fig. 4.3 Tensión normal al plano de la grieta
en modo I
r
yy
= 0
zona dominada por la singularidad
r
K I
2
Si examinamos la componente de la tensión a lo largo de la dirección del eje
x, tenemos (línea discontínua): yy
El valor de la tensión tiende a
infinito cuando r tiende a cero.
Esto es debido a que se ha
supuesto que el ángulo de
curvatura de la punta de la
grieta es cero y que el material
es sólo elástico. En realidad,
necesariamente debe tener un
valor finito tanto el radio como
la tensión a partir de la cual el
material deja de ser elástico.
A medida que nos alejamos de
la punta la tensión tiende a
cero lo cual no es válido. La
expresión desarrollada para la
tensión es válida solamente a
distancias muy pequeñas de la
punta de la grieta
Factores de intensidad de tensiones para otras geometrías
- Probetas con una grieta en el borde en
una placa semi-infinita (Semi infinite edge
notched specimens)
- Anchura finita con una grieta central
pasante (Finite width centre cracked
specimens)
- Anchura finita con una entalla en el
borde ( Finite width edge notched
specimen)
- Probetas con la fuerza sobre la grieta
(Crack-line loading specimens)
-Grietas Elípticas / Semielípticas
(Elliptical / Semielliptical cracks)
W
afaCK I * *
edge notched finite width
Anchura finita con una grieta central pasante (Finite width
centre cracked specimens) :
W
a
a
WaK I tanIrwin:
Isida: 36 term power series approx.
Brown:
W
aaK I secFeddersen:
32
200.12152.1256.01W
a
W
a
W
a
W
af
f(a/W)
Single edge notched
(SEN)
Double edge notched
(DEN)
Finite-width
edge-notched
specimens:
SEN:
DEN:
42 3
1.122 1.122 0.820 3.768 3.040
21
I
a a a a
W W W WK a
a
W0.5% accurate
for any a/W
2 3 4
1.122 0.231 10.550 21.710 30.382I
a a a aK a
W W W W
0.5% accurate
for a/W < 0.6
Probetas con una grieta en el
borde en una placa semi
infinita (Semi infinite edge
notched specimens). Bordes
libres: la grieta se abre más
que en una placa infinita
resultando en un aumento del
12% en el factor de intensidad
de tensiones
1.12IK a
Dos soluciones importantes desde el punto de vista práctico
Probetas con una fuerza puntual
sobre la grieta (Crack-line loading
specimens)
(P: fuerza por unidad de espesor)
xa
xa
a
PK IA
xa
xa
a
PK IB
Para una fuerza en el centro
a
PK I
KI disminuye cuando la grieta
aumenta de longitud !
Grieta bajo una presión interna (la fuerza por unidad
de espesor en dx es Pdx, siendo P la presión interna)
dxxa
xa
xa
xa
a
Pdx
xa
xa
a
PK
aa
a
I
0
aPa
x
a
Padx
xa
a
a
PK
aa
I
0022
arcsin22
El mismo resultado que para una tensión externa
Solución muy útil para:
- Placas con remaches o
tornillos
- Problemas donde hay
presión interna
Grietas elípticas
Las grietas se forman en realidad en
discontinuidades de la superficie como
por ejemplo se muestra en las figuras
Ejemplo:
grieta en
una esquina
en una
sección
longitudinal
en la
intersección
de un
recipiente a
presión.
Empezaremos considerando
situaciones ideales:
• Grietas elípticas inmersas en el
interior del material.
•Grietas semi-elípticas superficiales
Solución de Irwin:
41
2
2
22 cossin
c
aaK I
a/c 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.000 1.016 1.051 1.097 1.151 1.211 1.277 1.345 1.418 1.493 1.571
Gieta circular:
1*
/ 2IK a
Grieta elíptica en un medio infinito bajo Modo I
2 22 2
20
( )1 sin
c ad Q
c
Where : elliptic integral of the second type
KI varia a lo
largo del frente
de grieta
I
aK
I
a aK
c
max. at = /2:
min. at = :
Durante el crecimiento de
una grieta elíptica ésta
tenderá a ser circular :
importante en problemas
de fatiga
Las grietas que se producen en servicio tienen generalmente una forma irregular, pero al propagarse por
fatiga o por corrosión bajo tensión suelen adquirir una forma próxima a la forma elíptica si se trata de una
grieta en el interior, o semielíptica si se trata de una grieta superficial. En este último caso suele ser
costumbre llamar 2c a la longitud del eje mayor de la elipse y a al semieje menor.
2 22 2
20
( )1 sin
c aQ d
c
Donde Q1/2 es la integral elíptica:
Para = /2
2
3
8 8
aQ
c
Existe una aproximación para
con un error menor del 5%.
Grieta semielíptica en la superficie
Grietas superficiales semi-elípticas
Generalmente, en la práctica, el tipo de grieta más común es una grieta
semielíptica o de un cuarto de elipse superficial. La presencia de superficies
libres significa que debemos añadir factores correctores a las expresiones
para grietas en el interior. En el caso de la grieta elíptica superficial, la
presencia de la superficie se tienen en cuenta mediante un factor de 1.12,
mientras que una grieta de un cuarto de elipse típica de una esquina el factor
es 1.2.
También hay que tener en cuenta la presencia de la otra superficie delante de
la grieta si el espesor no es mu grande comparado con la profundidad de la
grieta.
Las soluciones más exactas para grietas semielípticas superficiales son las
obtenidas por Raju y Newman y que se basan en cálculos por elementos
finitos. En este caso el factor de intensidad de tensiones se escribe
Donde (ver figura siguiente) W>>c y el valor de C depende de a/c, a/B y .
Los valores de C se indican en la tabla.
/KI C a
Grieta superficial semielíptica sometida a tracción
Factores de intensidad de tensiones para una grieta semielíptica superficial en
una placa de dimensiones finitas, de acuerdo a Newman y Raju
/KI C a
Factores de intensidad de tensiones para grietas superficiales semi-elípticas: la
solución de Newman y Raju (la más exacta) en comparación con otras
aproximaciones
IK
a
Q
SUPERPOSICION DE FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES
1) Grieta bajo una
presión interna:
2) Grieta
superficial
semielíptica en un
recipiente a
presión
0D
I
C
I
B
I
A
I KKKK aKK C
I
D
I P aPK P
I
aCPK P
I
B
RPH B
aCPRaCK H
IH
aB
RCP
KKK P
IIIH
1
3) Grietas
emanando de un
agujero cargo una
carga P siendo el
agujero pequeño
comparado con las
grietas
W
af
a
PaK I
22
where P is the force per unit
thickness
Applications of Fracture Mechanics to Crack Growth at Notches
S
S
l l 2c
2a
1*12.1*
2
tK
cL
Example:
2c = 5 mm, L* = 0.25 mm
2c = 25 mm, L* = 1.21 mm
L* : transitional crack length
For crack length l ≥ 10% c: crack
effective length is from tip to tip!!!
(including notch)
Numerical Solution:
Newman 1971
Consequences:
For relatively small (5-10 % notch size) cracks at a hole or at a notch, the stress
intensity factor K is approximately the same as for a much larger crack with a
length that includes the hole diameter / notch depth.
plane
window
Reading: Fatige and the Comet Airplane (taken from S. Suresh, Fatigue of Materials)
Edge crack at window Crack in groove of a pressurized cylinder
Lager effective crack length by a contribution of a notch !
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PAREDES
DELGADAS
Cuando un recipiente tal como por ejemplo una tubería contiene un fluido a altas
presiones. Las tensiones que se desarrollan en las paredes se pueden deducir
equilibrando las fuerzas ejercidas por la presión con las tensiones desarrolladas
en el interior. Esto se muestra en la figura tanto para tensión axial como para la
tensión tangencial
Para un cilindro de pared delgada (t<<r) las ecuaciones son
Pr Pr;
2z
t t
La tensión tangencial es el doble de la axial .
Obtención de factores de intensidad de
tensiones
Existen Handbooks en los cuales pueden encontrarse
factores de intensidad de tensiones.
Obviamente para geometrías complicadas o cargas
variables es muy probable que el factor de intensidad de
tensiones no haya sido determinado o no pueda
expresarse de una forma analítica sencilla.
Cuando no se encuentran, entonces debe realizarse un
cálculo por elementos finitos.
En las siguientes transparencias se ofrecen algunos
factores de intensidad de tensiones para geometrías
sencillas y que a menudo se utilizan.
Relación entre G y K
• Consideremos una grieta pasante en
una placa infinita bajo desplazamiento
constante en sus extremos.
Supongamos que la grieta aumenta su
longitud en a a lo largo del plano de la
grieta en la dirección x. Una vez
extendida cerramos de nuevo la grieta
ejerciendo unas fuerzas sobre su
superficie de magnitud igual a la
componente yy del campo de tensiones
que existía cuando la grieta no se había
extendido en a. Estas fuerzas son
después relajadas hasta cero con lo cual
la grieta vuelve a abrirse hasta el valor
sin tensión aplicada sobre sus caras y
que denominamos uy.
a
uy
Relación entre G y K
• El trabajo realizado sobre el sistema por las tensiones yy durante
los desplazamientos uy a lo largo del eje y es igual al cambio en
energía disponible para la fractura al disminuir el área de la grieta
en S:
• El trabajo realizado (la energía mecánica) es igual al cambio en la
energía disponible para la fractura (en este caso sólo energía
elástica), ya que las fuerzas externas no realizan trabajo al estar la
placa bajo desplazamiento total fijo (u= constante):
( )u
dUS
dS
y
12 ( )u ( )
2yy u
S
dUdS S
dS
Puesto que G se define como:
( )u
dUG
dS
Entonces
0
2 1lim
2yy y
SS
G u dSS
Para la unidad de espesor
00
2 1lim
2
a
yy ya
BG u dx
B a
a
uy
Necesitamos conocer los valores de yy y uy. En el sistema x’-y’, que tiene su
origen en la punta de la grieta cuando la tensión sobre ella ha sido relajada.
Hemos visto que en el sistema x’y’ en tensión plana:
y
4 ( ')4 'u
2 2
IIK xK r
E E
Lo cual es válido para x’<0 que es el caso que nos
interesa. De la figura tenemos que x’= (x- a).
Por tanto
4 ( ')4 ' 4
2 2 2
II Iy
K xK r K a xu
E E E
a
uy
Por otra parte las tensiones vienen dadas por
0, 02
Iyy
Kpara x y
x
Por tanto,
2
0 00 0
22 1 4lim lim
2 2 2
II I
a a
KK K a x a xG dx dx
a E ax E x
Realizando el cambio de variables x= a sen2z, se puede demostrar que el valor
de la integral es a/2. Por tanto para tensión plana:
2I
I
KG
E
a
uy
En el caso de deformación plana se encuentra:
2
2/(1 )
I
I
KG
E
Modos II y III
De forma similar, se puede demostrar que en el caso de deformación
plana para los modos II y III se tiene
221 II
IIK
=GE
2
1 IIIIII
K= +G
E
La energía total disponible para la fractura en modo mixto de carga puede calcularse fácilmente mediante la suma de las energías de los
diferentes modos
222 21
1
IIII II III I II
KG G G G K K
E (4.62)
Condición de fractura
Debido a la relación existente entre G y K y considerando que en la lección
anterior se estableció que la fractura ocurre cuando G alcanza un valor crítico
(Gc), también podemos afirmar que la fractura ocurrirá cuando el valor de K
alcance un valor crítico que se representa por Kc y que se denomina tenacidad
de fractura. En tensión plana ambos están relacionados por :
Mientras que en deformación plana la relación es:
En modo I se suele reservar el simbolo KIc para la tenacidad de fractura en
deformación plana, mientras que la tenacidad de fractura en tensión plana se
representa mediante KC .
2c
Ic
KG
E
2
2/(1 )
Ic
Ic
KG
E v
ESTABILIDAD DE LA FRACTURA
De forma análoga a las consideraciones realizadas para la estabilidad de la fractura en
términos de G, la estabilidad de la fractura se puede escribir en términos de K
dG/dc > 0, dK/dc > 0, (inestable)
dG/dc < 0, dK/dc < 0, (estable)
ADITIVIDAD DE LOS FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES.
Para materiales con un comportamiento elástico lineal, los componentes individuales de
esfuerzo, deformación y desplazamiento que actúan bajo un mismo modo de carga sobre
una grieta son aditivos. Sin embargo, los correspondientes valores de G asociados a los
distintos factores de intensidad de tensiones no lo son. Es decir,
total A B C
I I I IK K K K (4.63)
pero en cambio, total
I II IIIK K K K (4.64)
El principio de superposición permite determinar factores de intensidad de tensiones para
configuraciones complejas si éstas pueden resultar de la superposición de configuraciones
más sencillas.
FRACTURA EN MODO MIXTO
Cuando dos o más modos de carga actúan simultáneamente, los valores
de G correspondientes a cada modo pueden sumarse a fin de
obtener la energía total disponible para la fractura:
2 21 12 2E EI II I I II IIG G G G K G K
La fractura ocurrirá cuando G alcance
un valor crítico y en primera aproximación,
se puede suponer que la condición
de fractura es 2 2 2I II IcK K K
Esta ecuación predice que KIIc = KIc y que el lugar geométrico es un círculo con radio KIc.
En la práctica esto no se cumple y la condición de fractura más real es
2 2
1I II
Ic IIc
K K+ =K K
.
círculo:
elipse:
IK
IIK
IcK
IIcK
=IcK IIcK
2 2 2I II IcK K = K
2 2
1I II
Ic IIc
K K+ =
K K
Condiciones de fractura en modomixto para aleaciones de aluminio
KIIc
KIIc
0 25 50 75
2024-T3, tensión plana
DTD 5050, deformación plana
0
50
25
KII,
MP
am
MPa m
Trayectoria de la grieta
Si la tensión aplicada no es perpendicular al plano de la grieta,entonces aparecen dos modos de carga, modo I y modo II, y el
camino que sigue la grieta, en general, no es coplanar con el de la
grieta inicial
Los factores de intensidad de tensiones en modo I y II se determinanconsiderando las tensiones normales y tangenciales al plano de la
grieta,
(0) 2cosI I
K K (4.82)
(0) cos senII I
K K (4.83)
siendo el ángulo entre el plano horizontal y el plano inicial de la
grieta. KI(0)
es el factor de intensidad de tensiones en modo I cuando
es igual a cero.
TRAYECTORIA DE LA GRIETA
x
y
(º)0 15 30 45 60 75 90
Án
gulo
de p
ropag
ació
n (
90
º+)
0
15
30
45
60
90
75 Normal a la tensión remota
Criterio de Gmax
Ensayo Biaxial
Trayectoria de la grieta bajo cargas biaxiales
Consideremos que la grieta además de estar inclinada, está sometida a una
tensión biaxial, cuyas componentes principales son 1 y 2, siendo 1 la
mayor de las dos. es el ángulo entre la grieta y la dirección 2. Podemos
aplicar el principio de superposición para obtener los valores del factor de
intensidad de tensiones en ambos modos de carga
(0) 2 2(cos sen )
I IK K B (4.94)
(0) (cos sen )(1 )
II IK K B (4.95)
donde B es la relación de biaxialidad, definida como
2
1
B (4.96)
Áng
ulo
de
pro
pag
ació
n (
90º
+)
B = 0.75
B = 0.00
B = 0.50
B = 0.25
1
2
0
15
30
45
60
90
75
(º)0 15 30 45 60 75 90
x
y
Áng
ulo
de
pro
pag
ació
n (
90º+
)
B = 0.75
B = 0.00
B = 0.50
B = 0.25
1
2
0
15
30
45
60
90
75
(º)0 15 30 45 60 75 90
x
y
Trayectoria de la grieta bajo cargas biaxiales
El máximo factor de intensidad de tensiones y la máxima energía disponible para
la fractura se obtienen para un ángulo óptimo, *, el cual depende de la relación
de biaxialidad. En la figura se ilustra el efecto de B y sobre el ángulo de
propagación. Nótese que cuando B > 0 y = 90 , resulta * = 0, es decir, la
propagación ocurre en el plano de la grieta, puesto que la misma está sobre el
plano principal y sometida a carga en modo I
2
1
B
OTROS FACTORES DE
INTENSIDAD DE TENSIONES
MPORTANTES
EJEMPLOS Y PROBLEMAS
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Fractura de una placa con una grieta central.
Una placa gruesa con una grieta central pasante de 80 mm tiene 200 mm de anchura y está en deformación plana. La placa ha sido fabricada con una aleación de aluminio y la tensión de fractura es de 100 MPa. a)¿Cuál es la tenacidad de fractura de la aleación?. b) ¿Cuál sería la carga que produciría la fractura para la misma longitud de grieta en:
1) una placa infinita
2) una placa de 120 mm. de anchura?
SOLUCIÓN:
a) Utilizando la expresión de K en términos de la función secante,
Donde la función secante se define mediante:
I apK = a (a
w)sec
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Puesto que ap= 100 MPa, a= 0.04 m, W= 0.2 m, a/w = 0.2, sec ( a /w) = 1.236.
Por consiguiente, KI = 39.4 MPa m1/2
Este valor puede considerarse igual a la tenacidad de fractura, KIc, si la placa es muy gruesa y estamos en deformación plana como se indica en el enunciado.
(b).
(1) Cuerpo infinito con grieta central pasante:
Obtenemos: F = 111.1 MPa
(2) Placa finita agrietada en el centro
w = 0.12 m, a/w = 0.333, sec ( a/w) = 2,
Por tanto,
F= 78.6 MPa
I apK = a
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Consideremos una placa con una grieta en el borde de longitud c sometida a una tensión uniforme A y una fuerza F por unidad de espesor que actúa para abrir los labios de la fisura tal como se muestra en la Figura 2. (a) Determinar la tensión para producir la propagación inestable de la grieta. b) ¿Cual es el valor de la energía disponible para l fractura, G? Considere que el factor de intensidad de tensiones correspondiente a la fuerza F viene dado por:
Fig. 2. Grieta en el borde con tensiones remotas uniformes y fuerzas lineales en la
boca de la grieta.
K = K + K = ( c) +2 F
( c)A F A
1/2
1/2
Donde F = fuerza por unidad de espesor, = término constante superficial (igual a 1.12)
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
SOLUCIÓN
Debido a la aditividad de los factores de intensidad de tensiones, el factor de intensidad de tensiones total viene dado por:
Donde el último término es el factor de intensidad de tensiones de una grieta pasante de longitud c en el borde de una placa infinita y sobre la cual actúa una fuerza F por unidad de espesor en el borde.
La función K(c) se representa en la Figura para un valor fijo de F y dos valores distintos de A. (La utilización de escalas logarítmicas permite diferenciar claramente las regiones en que domina cada uno de los dos términos de la ecuación (líneas discontinuas de pendientes 1/2 y -1/2).
La condición de fractura K = KIc está representada por una línea horizontal discontinua.
Supongamos que la grieta está inicialmente determinada por F cuando A = 0, o sea que cI = (1/ )
(2 F/KIc)2. Si A < M (curva inferior) la recta horizontal K = Kc intersecta la curva sólida en dos puntos:
en c = cI’‘ >cI lo cual corresponde a un equilibrio estable (dK/dc<0); y en c = cF, lo cual corresponde a un
equilibrio inestable (dK/dc>0). Más incrementos en A hacen que cI’ se expanda establemente hasta
que K = KC, y cF simultáneamente se contrae hasta que finalmente c= cI’ = cF = cM. La tensión crítica A
= M se calcula imponiendo que dK/dc = 0 en K = KC. Imponiendo estas dos condiciones tenemos un
sitema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:
K = K + K = ( c) +2 F
( c)A F A
1/2
1/2
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Grafico de K normalizado con respecto a KC para dos valores de la tensión aplicada
cF
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Vale la pena señalar que la tensión de rotura no depende del tamaño de la grieta inicial.
Otro punto importante que es necesario remarcar es el cálculo de G en un caso como el presente en que existe superposición de cargas aplicadas.
Obsérvese que si las cargas operaran por separado, las energías disponibles para la fractura en cada caso por separado serían GA = KA
2/E‘ y GF = KF2/E'.
MM
=2F
cM
C
2c = (
4 F
K)
G = (K +K ) / E = (K + K 2 K K ) / EA F2 2
A F A F2
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Se debe diseñar un recipiente a presión con un acero de alto límite elástico capaz de resistir presiones de 60 MPa. El diámetro interno es de 750 mm. y el espesor de la pared debe ser superior a 1.25 cm.
El diseñador puede elegir uno de los seis aceros cuyas propiedades están resumidas en la Tabla 1.
Los medios de control no destructivos de que se dispone no pueden detectar fisuras menores de 1 cm. ¿Qué acero se debe escoger para utilizar la mínima cantidad de material? Suponga que los defectos son grietas superficiales semi-circulares y que las paredes del recipiente pueden considerarse delgadas y que por tanto la presión y la tensión tangencial dentro de las paredes del recipiente están relacionadas mediante
Acero A B C D E F
e(MPa) 1790 1520 1240 1240 960 750
KIc(MPa m) 90 120 150 240 290 190
=pd
2t= 350MPa
Considere también que el factor de forma del factor de intensidad de tensiones
viene dado en la gráfica adjunta
Parámetro de forma, Q
0.4
0.3
0.2
0.1
00.5 1.0 1.5 2.0
Rel
ació
n d
e a
spec
to,
/2a
c
2c
a
superficial
2c
2a
interna
y = 0.00
y
y
y
= 0.60
= 0.80
= 1.00
I 1.12a
KQ
2
2 0.212y
Q2
2
3
8 8
a
c
Extrapolando los valores de Q para a/2c=0.5, obtenemos
2,4 y 2,18 cuando el cociente / ys varía desde 0 a 1
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
SOLUCIÓN
Supondremos que en la pared interna del recipiente a presión existe una fisura superficial
semicircular de longitud 1 cm. y de profundidad 0.5 cm. El factor de intensidad de
tensiones KI en una buena aproximación viene dado por la expresión:
Puesto que los únicos datos son d=0.75 m, a=0.005 m y a/2c=0.5, no es posible obtener KI.
Además Q es una función de la tensión, y por tanto de t. Sin embargo, este factor varía
entre 2,4 y 2,18 cuando el cociente / ys varía desde 0 a 1. Un cálculo rápido aproximado
puede realizarse simplemente admitiendo que Q tiene su valor mínimo, es decir, 2,18, lo
que conduce a sobreestimar el espesor t, por tanto conduce a la seguridad.
Acero A:
t = 1.1260x0.75
2x90
0.005
2.18= 0.02377m
1.122
I
pd aK
t Q
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Acero B: t = 0.01783 m Tabla 2. Cálculos de las tensiones en MFE
Acero C: t = 0.01426 m
Acero D: t = 0.00891 m
Acero E: t = 0.00738 m
Acero F: t = 0.001126 m
Para los aceros C, D, E y F las tensiones son superiores al límite elástico de los aceros. El cálculo del espesor de la pared debe ser realizado mediante la condición convencional
= y (El valor de la presión considerado ya tiene un factor de seguridad, de manera que por esta razón no es necesario incluirlo).
Acero C, Acero D, t = 0.01815 m
Acero E, t = 0.02344 m Acero F, t = 0.03000 m
Estos nuevos espesores así como los que fueron calculados antes para los aceros A y B, son todos superiores al límite inferior de 1,25 cm. El espesor más delgado se obtiene para el acero B y es de 1.78 cm. Hay que destacar que el acero seleccionado no es el de mayor límite elástico ni el de mayor tenacidad.
Acero A B C D E F
=pd/2t 946.5 1261.9 1577.8 2525.2 3048.8 1998.2
t =pd
2=
60x0.75
2x1240= 0.01815m
y
Problema
(Diseño en términos de límite elástico)
FS= 1.5
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Un disco con un agujero en el centro es puesto en rotación, aparece una tensión circunferencial proporcional al cuadrado de la velocidad angular w en la periferia del agujero.
Esta tensión es igual a:
Donde r y R son los radios interior y exterior del disco, D es la masa del volumen del material y es el coeficiente de Poisson. El disco ha sido fabricado con un acero con las siguientes propiedades:
Por otra parte, r = 2,5 cm. y R = 5 cm.
Suponiendo que existe una fisura radial de longitud a = 2.5 mm. en la periferia del agujero, ¿a qué velocidad el disco se romperá?
=3+
4R [1+
1-
3+(
r
R) ]2 2 2
y Ic3=1930MPa; K = 44MPa m = 7.8kg / dm ; = 0.3;
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Se admitirá que
Ésta es válida si r/a es mayor o igual a 10. La eliminación de entre (w) y KI ( ) da:
Donde NC es la velocidad crítica en vueltas por minuto (N = 30w/ ). Con los valores numéricos propuestos se obtiene, NC = 15596. Si se hubiera realizado el cálculo en base a la tensión de rotura del material, se tendría:
Se constata pues que la utilización de la mecánica de la rotura disminuye a la mitad la velocidad de rotación admisible.
IK =1.12 a
c 1
4
Ic
2 2N = 13.5551
a
K
[(3+ ) R + (1- ) r ]
cu
2 2N = 19.098[(3+ ) R + (1- ) r ]
= 32542
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Los recipientes a presión utilizados en la generación de energía son usualmente de gran
espesor y operan en un intervalo de temperaturas desde temperatura ambiente hasta
temperaturas elevadas y deben diseñarse con un criterio “fail-safe” (rotura segura). Un
determinado recipiente esférico se propone que opera a una presión (p) de 40 MPa y a unas
temperaturas desde 0ºC hasta 300ºC. El espesor de la pared (t) es de 100 mm y el diámetro
(D) es 2m. Se ha sugerido utilizar dos aceros distintos:
Acero A: Para este acero, KC = (150 + 0.05T) MPa m½ donde T es la temperatura de
operación en grados centígrados y el limite elástico varia linealmente entre 549 MPa a 0ºC y
300 MPa a 300ºC.
Acero B: Aquí KC = (100 + 0.25T) MPa m½, y varía linealmente entre 650 MPa a 0ºC hasta
500 MPa a 300ºC.
Determine gráficamente, mediante inspección, el rango de temperaturas en el cual cada uno
de estos aceros será más seguro con respecto a la fractura. Las fisuras pasantes pueden
suponerse críticas y el factor de intensidad de tensiones para tales fisuras es:
La tensión de membrana en la pared del recipiente puede tomarse pD/4t y a es la
profundidad de la grieta .
22
2
1 0.5
C
YS
aK
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Solución
La solución de este problema se reduce a determinar los valores requeridos de KC para evitar
la fractura a varias temperaturas en el intervalo operativo, es decir, 0ºC, 100ºC, 200ºC y
300ºC para ambos aceros. Estos valores pueden graficarse en términos de los valores
aplicados de KI a las mismas temperaturas y el mayor margen entre los valores aplicados y
los requeridos de tenacidad se ve claramente. El problema puede resolverse también
analíticamente.
La tensión de membrana es:
Aunque el diseño esta basado en la fuga antes de la rotura, la disminución de presión
causada por la grieta pasante no es conocida. Por tanto es conservador considerar que la
presión sobre las caras internas de la fisura no disminuye. Por tanto el factor de intensidad de
tensiones total será la suma de la tensión de membrana y la presión, o sea, 240 MPa. El
diseño de fuga antes de la rotura requiere que el recipiente tolere una grieta pasante de
profundidad a=t y suponemos que la grieta es semcircular (2c =a) donde 2c es la longitud
de la fisura en la superficie. Como no tenemos información sobre el grado de excentricidad de
las fisuras, hemos supuesto que la fisura es semicircular y que a=t donde t es el espesor. Por
tanto el valor requerido de la tenacidad viene dado por:
40 2.0200
4 4 0.1
pD xMPa
t x
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
22
2
240 0.1
2401 0.5
c
YS
x xK
Estos datos se representan en la grafica.
Claramente la tenacidad del acero A es mayor y
por tanto ofrece unos márgenes de seguridad
mayores pero sólo hasta la temperatura de
212ºC. Por encima de esta temperatura, el acero
B es la mejor opción ya que su tenacidad
aumenta muy rápidamente con la temperatura.
La tabla proporciona los valores requeridos de la
tenacidad de fractura para estas dos aleaciones.
KCB
KCA
Valores requeridos de Kc
B A
Problema de Fractura
.
0ºC 100ºC 200ºC 300ºC
Acero
A
Límite Elástico
MPa 540 460 380 300
Valor requerido de KC
MPa m½ 141.7 144.7 150.3 163.1
Valor real de Kc
MPa m½ 150 155 160 165
Acero
B
Límite Elástico
MPa 650 600 550 500
Valor requerido de KC
MPa m½ 139.4 140.2 141.4 143.0
Valor real de KC
MPa m½ 100 125 150 175
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Un conocido filántropo ofrece una recompensa de 100000 Euros a quien se cuelgue de
una cuerda durante un tiempo mínimo de un minuto. La cuerda está unida a una placa de
vidrio de 3000 cm de longitud, 10 cm de ancho y 0.127 cm de espesor. Existen algunos
detalles que hacen la situación un poco complicada:
1) La placa de vidrio tiene un grieta central pasante de 1.62 cm de longitud orientada de
forma perpendicular al lado mayor de la placa y paralela al suelo. La tenacidad de fractura
del vidrio es 0.83 MPa m½.
2) La cuerda está suspendida sobre un pozo que contiene serpientes verdes un poco
enojadas.
3) Demuestre que sus conocimientos de mecánica de la fractura son suficientes para saber
si es una gran oportunidad de ganar dinero fácil, o, por el contrario, está delante de un
falso filántropo malvado y tacaño que quiere evitar gastar en la compra de comida para las
serpientes.
El factor de intensidad de tensiones viene dado por:
donde
K Y a
2 3
1 0.256 11.52 12.2a a a
YW W W
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
SOLUCIÓN
El tamaño de la placa es un tamaño finito, por tanto necesitamos utilizar la corrección Y para placas finitas. Las dimensiones de la placa son también necesarias para determinar la tensión a partir de la fuerza (=peso de la persona) que actúa sobre la placa.
Puesto que 2a= 16.2 mm, a= 8.1 mm y W= 100 mm, tenemos que Y = 1.035
La tensión aplicada viene dada por:
Para una persona de peso igual a 60 kg
Por consiguiente, el factor de intensidad de tensiones es igual a:
FF peso A area
A
260 9.814.63 /
100 1.27
xN mm
x
1.035 4.63 0.0081 0.76K Y a x x MPa m
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Este cálculo está basado en el peso promedio de un estudiante de esta
asignatura. Por consiguiente, con los conocimientos actuales de mecánica
de la fractura y con algo de valor, podría intentar ganar la recompensa.
Pero tenga presente que el margen de seguridad es pequeño y que el
vidrio en presencia de humedad sufre un proceso conocido como fatiga
estática que puede hacer crecer una grieta aun cuando KI sea inferior a
KIC. Por tanto, mi recomendación es que antes de tomar ninguna decisión
consulte un libro y vea si la fatiga estática podría tener alguna influencia
en su futuro.
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
Una planta de procesamiento químico contiene un conjunto de reactores similares que
operan a temperaturas en el intervalo entre -70ºC a 350ºC. Se desea usar una misma
aleación para fabricar todos los reactores. La tenacidad de fractura y el límite elástico de la
aleación escogida son:
KC = (63 + T/10) MPa m½ en el intervalo de temperatura -100ºC a +400ºC
Las paredes de los reactores tienen un espesor de 15 mm y se diseñan según el criterio de
goteo antes que rotura. El factor de intensidad de tensiones es:
a) En base a las propiedades del material determine gráficamente la temperatura a la cual
es más probable que el material se deforme en lugar de romperse, es decir, cuando el
criterio de diseño de fractura frágil no es correcto y debe utilizarse el criterio de control de
la deformación plástica.
b) ¿Se puede utilizar la mecánica de la fractura a las temperaturas más altas? Determine el
rango de temperaturas en el cual se puede aplicar cada criterio.
Temperatura ºC -100 0 100 200 300 400
Límite elástico, MPa 550 450 412 400 362 300
K a
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
SOLUCIÓN
Supongamos condiciones de tensión plana en el recipiente. Entonces la zona plástica viene
dada por:
Simplemente grafiquemos el límite elástico y la tensión de rotura en función de la
temperatura, ya que la grafica es útil para el diseñador, aunque el problema también se
puede resolver analíticamente. El cambio en tenacidad de fractura es lineal.
Puesto que el criterio es el de goteo antes de rotura, podemos suponer que la grieta crítica en
la fractura vendrá dada por el espeor de la pared del recipiente, o sea, 15 mm. Por ejemplo
para
2
12p y
YS
Kr r
0.015 56 ( 70ºC)cK MPa m
El cálculo entonces da valores de la tensión de fractura de 258 MPa a -70ºC, y repitiendo el cálculo pero ahora para 350ºC obtenemos 451 Mpa. Por tanto la tensión de fractura es de 258 MPa a -70ºC, y 451 MPa a 350ºC.
70ºC
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
A continuación se muestra la grafica y el
punto de intersección está alrededor de
221ºC. Simplemente la probabilidad de
que ocurra fractura a temperaturas por
debajo de este punto es mucho mayor
mientras que a temperaturas superiores
ocurrirá plastificación antes que la rotura.
La hipótesis de tensión plana es crítica
para la respuesta ya que un estado biaxial
de tensión no conduce a un aumento en el
límite elástico. Sin embargo permanece la
pregunta de si el tamaño de la zona
plástica delante de la punta de la grieta es
suficientemente pequeño para utilizar
LEFM.
Fractura y Fatiga de Materiales, ETSEIB
Problema de Fractura
De la ecuación de la zona plástica está claro que al aumentar la temperatura la zona
plástica aumenta. Consideremos el caso 220ºC - KC = 85 MPa m½ y limite elástico = 395
MPa;
Este valor es igual al espesor de la pared del recipiente pero también igual a la longitud
de la fisura. Por tanto, no se cumplen las condiciones de la LEFM y debería utilizarse
mecánica de la fractura elastoplástica.
Para ver si la LEFM es aplicable a alguna temperatura dentro del rango operativo,
podemos examinar la situación a -100ºC – (KC = 53 MPa m½ y el límite elástico = 550
MPa), por tanto:
Este valor es aproximadamente igual a 1/5 del espesor de la pared y la LEFM puede ser
válida.
21 85
0.0147395
pr m
21 53
0.00296550
pr m
Pregunta. Lowhaphandu and Lewandowski [Scripta Mater. 38, 1811(1998)] studied the
effect of crack tip radius on the stress intensity factor at failure for a specific material, as
summarized in the graph below. (Note that they call crack tip radius “notch root radius” and
stress intensity factor at failure “fracture toughness”.)
(a) Using the stress at the tip of an elliptical hole, calculate the stress at the crack tip (as a
function of applied stress) for the largest and smallest crack tip radius considered. (This is
an single edge-crack with initial crack length a of 25 mm).
Using this relation with a = 25 mm, we find
that σ = 21σ0 for R = 250 μm and σ = 20001
σ0 for R = 2.5 Angstroms. (Note that it was
assumed an “atomically sharp” crack tip
radius for the second example, even though
it is known that the crack is NOT
atomistically sharp. Anything ≤ 1 μm is
acceptable, however.)
Solution: Consider the equation given the stress σ at the tip of a crack with length a and radius
of curvature R where σ0 is the applied (global or far-field) stress.
(b) Are your results from part (a) consistent with the results in the graph below (i.e., consistent
with the fact that at the largest crack tip radius we measure has the largest stress intensity
factor)? Explain why they are or are not consistent.
Solution: Yes these results are consistent. These results suggest that a sharper crack tip acts as
a stronger stress concentrator than a more blunt crack tip. Therefore it would will take less
stress to reach the “critical stress intensity” needed to fracture the material.