Calculo 1.Lectura No. 2. Propiedades de las funciones.

Hugo E. Zamora C.

Calculo 1. Lectura No. 2. Propiedades de las funciones. Crecimiento y Decrecimiento

Seccion 1: Introduccion

Los fenomenos de la naturaleza, sociales, economicos o las situaciones del diario vivir se intentan captar atraves de la identificacion de regularidades y por consiguiente de patrones de comportamiento de sus elementos.Por lo tanto, es deseable que los objetos con los que se intenta representar los fenomenos o situaciones mencionadoslogren capturar los elementos referidos. Se estudian algunas propiedades de las funciones que permiten el propositosenalado.

Seccion 2: Crecimiento y Decrecimiento

Los graficos que informan sobre hechos sociales permiten hacer conjeturas sobre el comportamiento futuro. Elgrafico de la figura 1 muestra los datos de personas infectadas con un virus en un lapso de 6 semanas. De acuerdocon la grafica es factible presumir que a medida que transcurra el tiempo (en semanas), el numero de infectadoscrecera. La presuncion se basa en una lectura del comportamiento de la grafica de la funcion que representa elfenomeno descrito.

Figura 1: Propagacion de un virus

Una funcion f es creciente en un intervalo abierto I , si para todo a y b elementos de I se cumple que: si a < bentonces f(a) < f(b)

Asimismo, una funcion f es decreciente en un intervalo abierto I, si para todo a y b elementos de I se cumpleque: si a < b entonces f(a) > f(b)

2.1: Ejemplos

1. Conocer la grafica de una funcion, permite darse una idea de los intervalos del dominio donde es creciente ydecreciente. En la figura 2 se tiene una funcion f cuyo dominio es el conjunto de los numeros reales. Se puedeestimar que f es creciente en (−∞,−2) y en (0, 2). Ahora, f es decreciente en (−2, 0) y en (2,∞). Noteseque no hay certeza en las afirmaciones anteriores, pues la grafica no da la informacion precisa de cual es elvalor o valores x del dominio hasta los que crece o decrece la funcion. Un estudio de otras propiedades delas funciones (maximos y mınimos) soluciona la situacion planteada.

2. Si se conoce la expresion algebraica que define una funcion f , y un intervalo contenido en su dominio, sepuede estudiar el crecimiento o decrecimiento de la funcion en dicho intervalo. Veamos el comportamientode f(x) =

√2x− 1 en el intervalo I = (1,∞).

Como Df = [12 ,∞),entonces I ⊂ Df . Se toman dos numeros reales a y b en I, tales que a < b. Se compara1

1Una forma de comparar dos numeros reales x y y se establece ası: x < y si y solo sı y − x > 0

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Calculo 1. Lectura No. 2. Propiedades de las funciones. Funciones pares y Funciones impares

Figura 2: Crecimiento y decrecimiento de una funcion

f(a) con f(b) para identificar la relacion que se da entre estos dos valores. Se tiene: f(a) =√

2a− 1 yf(b) =

√2b− 1

Por lo tanto f(b) − f(a) =√

2b− 1 −√

2a− 1. Ası que se analiza esta ultima expresion para determinarque tipo de numero real representa: positivo, negativo o cero. Observe que la expresion es una diferencia,por lo tanto no hay certeza sobre el tipo de numero real que representa. La utilizacion de propiedades delas operaciones y del orden de numeros reales permite una transformacion de la expresion y su respectivoanalisis, ası:

√2b− 1−

√2a− 1 = (

√2b− 1−

√2a− 1)

√2b− 1 +

√2a− 1√

2b− 1 +√

2a− 1

=(2b− 1)− (2a− 1)√

2b− 1 +√

2a− 1

=2(b− a)√

2b− 1 +√

2a− 1

Esta ultima expresion presenta las siguientes caracterısticas: Como a < b entonces b− a es un real positivo.Como a ∈ (1,∞] y b ∈ (1,∞] entonces a > 1 y b > 1, o sea que 2a− 1 y 2b− 1 son numeros reales positivos.

¿Por que? En resumen si b− a > 0, 2a− 1 > 0 y 2b− 1 > 0, entonces la expresion2(b− a)√

2b− 1 +√

2a− 1> 0.

Lo que quiere decir que f(b)− f(a) > 0. En consecuencia: Si a < b entonces f(a) < f(b), lo que significa quef es creciente en I

Seccion 3: Funciones pares y Funciones impares

La identificacion de simetrıas con respecto a un punto o una recta, caracteriza la busqueda de regularidades enun objeto. Movimientos geometricos como la rotacion alrededor de un punto y la reflexion respecto de una rectapermiten la identificacion de la regularidad mencionada. Para las funciones, conocer informacion acerca de sussimetrıas es elemento valioso en su estudio.

La figura 3 muestra la grafica de una funcion f que es simetrica con respecto al eje vertical, pues para cadapunto (x, y) de la grafica, se tiene que su simetrico respecto a dicho eje, es decir el punto (−x, y) tambien esta enla grafica de f . Una funcion con esta caracterıstica se denomina una funcion par.

Figura 3: Funcion par

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Calculo 1. Lectura No. 2. Propiedades de las funciones. Funcion Uno a Uno

Asimismo la figura 4 muestra la grafica de una funcion g que es simetrica con respecto al origen del sistema decoordenadas, pues para cada punto (x, y) de la grafica se tiene que su simetrico respecto a dicho punto, es decir elpunto (−x,−y) tambien esta en la grafica de g. La funcion g se denomina una funcion impar

Figura 4: Funcion impar

3.1: Ejemplos

1. Si se conoce la expresion algebraica que define una funcion f se puede determinar si f es par. Para ello,notese que la definicion dada para funcion par es equivalente a afirmar que: Una funcion f es par si paratodo x ∈ Df se tiene que f(x) = f(−x). Ası que si f es la funcion definida por f(x) = 3x2 − 1, se tiene quef(−x) = 3(−x)2− 1, es decir que f(−x) = 3x2− 1 y por consiguiente f(x) = f(−x). Se afirma entonces quef es una funcion par.

2. Senalar que una funcion f es impar es equivalente a afirmar que para todo x ∈ Df se tiene que f(−x) = −f(x)(Muestre un ejemplo de una funcion que sea impar). La declaracion que ‘Toda funcion creciente en su dominioes impar’, se puede refutar (es decir afirmar que no es cierto), mostrando un contraejemplo, o sea una funcionque es creciente en su dominio, pero que tiene algun x ∈ Df para el cual f(−x) 6= −f(x).

Considere la funcion f(x) = x + 1 que es creciente en su dominio. (Compruebe este hecho). f(2) = 3 yf(−2) = −1, ası que f(−2) 6= −f(2) y en consecuencia f no es impar.

Seccion 4: Funcion Uno a Uno

Las propiedades de las imagenes de una funcion proveen informacion util que permite visualizar su grafica.Si el rango Rf de una funcion f tiene la caracterıstica que cada elemento es imagen de uno y solo un elementodel dominio D, se afirma que f es una funcion uno a uno. (Esboce las graficas de una funcion f que posea estacaracterıstica y de una funcion g que no tenga la propiedad).

4.1: Ejemplos

1. Mostrar que una funcion f es uno a uno, equivale a mostrar que si a y b son dos elementos del dominiode f y sucede que f(a) = f(b), entonces a = b. Ası que para probar que g(x) = 2

x−2 es una funcion uno

a uno, se toman a ∈ Df y b ∈ Df con f(a) = f(b). Es decir 2a−2 = 2

b−2 . Como a 6= 2 y b 6= 2 entonces2(b− 2) = 2(a− 2) y por lo tanto b = a.

2. Otra forma de comprobar que una funcion f es uno a uno consiste en mostrar que si a y b son dos elementosdel dominio de f y sucede que a 6= b entonces f(a) 6= f(b). La afirmacion: ‘Si una funcion es decrecienteen su dominio entonces es uno a uno’, es verdadera, pues si f es una funcion decreciente en su dominio D,significa que si a y b son dos elementos del dominio de f y sucede que a < b, entonces f(a) > f(b), o tambienque si a y b son dos elementos del dominio de f y sucede que a > b, entonces f(a) < f(b), hechos que seresumen en: Si a 6= b entonces f(a) 6= f(b)

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Calculo 1. Lectura No. 2. Propiedades de las funciones. Ejercicios

3. La aseveracion ‘Toda funcion impar es uno a uno’ no es verdadera. Para ello se puede mostrar un contra-ejemplo, es decir una funcion que sea impar pero no uno a uno. La grafica 5 es un contraejemplo de laafirmacion.

Figura 5: Funcion impar y no uno a uno

Seccion 5: Ejercicios

Utilice las definiciones y ejemplos de la lectura para desarrollar los ejercicios propuestos.

1. Para cada una de las funciones dadas, determine su crecimiento o decrecimiento en el intervalo I senalado.

a) f(x) = −1 +3

2xen I = (0,∞)

b) g(x) =1− x

x− 2en su dominio.

c) h(x) =2− 3x

5en su dominio.

d) m(x) = −x2 + 1 en I = (−∞, 0)

e) r(x) = 3√x en su dominio.

f ) t(x) = k en su dominio. (k un numero real)

2. Determinar si cada una de las siguientes funciones es par, impar o no es par ni impar.

a) f(x) = −1− 1

x

b) g(x) =1

x2− x4 − 1

c) h(x) = 3√−x

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Calculo 1. Lectura No. 2. Propiedades de las funciones. Ejercicios

3. ¿Son uno a uno cada una de las siguientes funciones?

a) f(x) = 13−x

b) g(x) = 1− x2

c) h(x) = −√

1− x

d) k(x) = −4

4. Esboce la grafica de funciones que cumplan las condiciones especificadas en cada ıtem. Si no es posibleconstruir la grafica, explıquelo.

a) f es una funcion uno a uno, impar y decreciente.

b) g es una funcion par y no es uno a uno.

c) h es una funcion que no es par, no es uno a uno, ni es decreciente

5. Determine si cada afirmacion es verdadera o falsa. Si es verdadera, elabore un procedimiento que use lasdefiniciones dadas en la lectura para asegurarlo. Si la afirmacion es falsa construya un contraejemplo.

a) Toda funcion impar es creciente.

b) Si una funcion es uno a uno, entonces es creciente.

c) Toda funcion uno a uno es impar.

d) Toda funcion creciente en su dominio es uno a uno.

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