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LECTURAS RECOMENDADAS

La mayor parte de los cursos y tratados generales sobre Análisis Matemático, dedicanalgunos capítulos a las ecuaciones diferenciales ordinarias, algunos de notable calidad. Portanto, en nuestras notas bibliográficas, no presentaremos ninguno de estos textos, entre otrascosas porque harían excesivamente larga estos apuntes y porque el lector puede decidir por elmismo si las consulta o no. Es decir, presentaremos aquí, una colección de textos (quehemos ordenados por secciones en cuanto a su grado especialización en los temas tratadosaquí) y artículos considerados los más apropiados para ser consultados por nuestros lectores yque en general, no fueron tratados en el cuerpo del trabajo.

1. Dan una adecuada introducción a la teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias,muchos de ellos con capítulos dedicados a la Teoría Cualitativa y a la Estabilidad, lossiguientes textos:

[Bi81] Bibikov, Yu.N.-"Ecuaciones Diferenciales Ordinarias", Editorial Univ. de Leningrado,1981 (en ruso).[Els69] Elsgoltz, L.-"Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional", Editorial Mir, Moscú,1969.[Fe85] Fedoriuk, M.V.-"Ecuaciones diferenciales ordinarias", Nauka, Moscú, 1985 (en ruso).[Kam76] Kamke, E.-"Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias, Nauka, Moscú, 1976(en ruso).[KarRo76] Kartasiev, A.P. y B.L.Rozhdestvenskii-"Ecuaciones Diferenciales Ordinarias yfundamentos del Cálculo Variacional", Naúka, Moscú, 1976.[MeGraHingGon87] Mederos, O.; R. Grau; R. Hing y L.A. González-"Ecuacionesdiferenciales ordinarias", Pueblo y Educación, La Habana, 1987.[MoBrown72] Morris, M. y E.A. Brown-"Ecuaciones diferenciales", Aguilar, Madrid,1972.[Si91] Simmons, G.F.-"Differential Equations with Applications and Historical Notes",McGraw-Hill, 1991.[Si93] Simmons, G.F.-"Ecuaciones Diferenciales", McGraw-Hill/Interamericana de España,S.A., Madrid, 1993.[Sa64] Saaty, T.L. and J. Bram-"Nonlinear Mathematics", McGRaw-Hill Kogakusha, 1964.[TiVaShes85] Tíjonov, A.N.; A.B. Vasilieva y A.G. Shesnikov-"Ecuacionesdiferenciales", Nauka, Moscú, 1985 (en ruso).[Zwi89] Zwillinger, D.-"Handbook of Differential Equations", Academic Press, New York,1989.

Complementados con las colecciones de ejercicios:

[Ay75] Ayres, F.-"Ecuaciones diferenciales", MacGraw-Hill, México, 1975.[[Fi65] Filipov, A.F.-"Colección de ejercicios de ecuaciones diferenciales", Nauka,Moscú, 1965 (en ruso).[Ju58] Julia, G.-"Exercises d'Analyse", Gauthier-Villars, París, 1958.[KiKrasMa79] Kiseliov, A.; M. Krasnov y G. Makarenko-"Problemas deecuaciones diferenciales ordinarias", Mir, Moscú, 1979.

Exposición clara y rigurosa de ecuaciones diferenciales, siguiendo los cánones clásicos,útiles por sus diversas aplicaciones a la física, ingeniería y la biología, son los conocidos:

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[Kells76] Kells, L.M.-"Ecuaciones diferenciales elementales", Ediciones del Castillo, Madrid,1976.[LeyClaAranMe85] Leyva, P.; M.S. Claro; M.A. Aranguren y O. Mederos-"Ecuacionesdiferenciales y sus aplicaciones", Pueblo y Educación, La Habana, 1985.[Spi75] Spiegel, M.-"Ecuaciones diferenciales aplicadas", UTEHA, México, 1975.

En el marco de más de 500 páginas, contiene lo más esencial de los conocimientos modernossobre ecuaciones diferenciales ordinarias, la magnífica obra:

[Kap68] Kaplan, W.-"Ordinary Differential Equations", Edición R. La Habana, 1968.

Una exposición rigurosa y que apela extremadamente a la intuición es el magnífico:

[Hur66] Hurewicz, W.-"Lectures on Ordinary Differential Equations", Edición R. La Habana,1966.

Con una orientación más profunda, de gran precisión y rigor, conteniendo interesantes ejemplosy ejercicios (de hecho el mayor porciento está dedicado a ellos) es:

[Pet66] Petrovski, I.G.-"Ordinary Differential Equations", Prentice-Hall, 1966.

Clásicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, con numeroso tópicosrelacionados con los presentados aquí es:

[Pon81] Pontriaguin, L.S.-"Ecuaciones Diferenciales Ordinarias", Pueblo y Educación, LaHabana, 1981.

Excelente y claro, de nivel elemental, pero con enfoque preciso de sus temas:

[Ford55] Ford, L.R.-"Differential equations", MacGraw-Hill, New York, 1955.

Una exposición clara y bien planeada de temas especiales de las ecuaciones diferenciales,con énfasis sobre funciones especiales cuyas propiedades se estudian partiendo de lasecuaciones diferenciales y con algunos capítulos dedicados al estudio cualitativo son loslibros:

[BirRo64] Birkhoff, G. and G.C.Rota-"Ordinary Differential Equations", Ginn and Company,1964.[Tri61] Tricomi, F.G.-"Differential Equations", Blackie and Son Ltd, 1961.

Caracterizado por la presentación elegante y lúcida aunque breve por el uso exclusivo denotaciones con vectores y matrices, conteniendo numerosos temas de interés actual, talescomo comportamiento asintótico de sistemas lineales y no lineales, problemas decontorno, estabilidad, perturbaciones y teoría de Poincaré-Bendixson, es el excelente librocon numerosos ejercicios muchos de los cuales amplían el texto e indicaciones para suresolución:

[CoLe55] Coddington, E.A. and N. Levinson-"Theory of ordinary differential equations",McGraw-Hill, New York, 1955.

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Orientado hacia las aplicaciones bioquímicas y de química bioorgánica, presentando losfundamentos generales de sistemas dinámicos, es el texto dirigido a investigadores:

[Vol85] Volkehstein, M.V.-"Biofísica", Mir, Moscú, 1985.

Sobre diversas aplicaciones al análisis y diseño de sistemas, o sea, sistemas físicos cuyocomportamiento es descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias ointegrodiferenciales lineales, con vínculos muy estrechos a las Series e Integrales de Fourier,Transformadade Laplace y sus aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, son lostextos:

[CouKo] Coughanowr, D.R. and L.B.Koppel-"Process Systems Analysis and Control",Revolucionaria, La Habana, 1981.[Cu58] Cunningham, W.J.-"Introduction to Nonlinear Analysis", McGraw-Hill, NewYork, 1958.[Ka62] Kaplan, W.-"Operational Methods for Linear Systems", Adisson-Wesley, 1962.[ThaPas81] Thaler, G.J. and M.P.Pastel-"Analysis and Design of nonlinear Feedback ControlSystems", Revolucionaria, La Habana, 1981.

Tratado general destinado a servir de libro de texto, con énfasis en los métodos de solución, esde destacar los casos integrables de la Ecuación de Riccati, es el amplio:

[Mat63] Matveev, N.M.-"El método de integración de las ecuaciones diferencialesordinarias", Escuela Superior, Moscú, 1963 (en ruso).

Con conferencias de rico contenido, siguiendo las direcciones clásicas, sobre ecuacionesdiferenciales y ecuaciones integrales, es la obra:

[Yo60] Yosida, K.-"Lectures on Differential and Integral Equations", Interscience, 1960.

Notable tanto por la riqueza de su contenido que la hace de gran utilidad para especialistas,como por el cuidado y precisión con que ha sido escrita, es la magnífica obra, consideradael texto básico de más alta exigencia técnica y que reduce los problemas de ecuacionesdiferenciales a problemas sobre aplicaciones, a problemas topológicos o a problemas dondeel uso de teoremas de punto fijo y otros hechos del análisis funcional son necesarios, es lamagnífica obra:

[Hart64] Hartman, P.-"Ordinary Differential Equations", Willey & Sons, New York-London-Sydney, 1964.

Son considerados también obras básicas importantes, las siguientes:

[HirSma74] Hirsch, M.W. and S.Smale-"Differential Equations Dynamical Systems and LinearAlgebra", Academic Press, New York and London, 1974.[Sza67] Szarski, J.-"Differential Inequalities", PWN 43, Warszawa, 1967.

2. Con una marcada orientación hacia la construcción del aparato matemático de la MecánicaClásica, que va desde los grupos y álgebras de Lie, hasta la geometría simpléctica y la teoría

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ergódica, dedicándole una parte considerable a los principios variacionales y la dinámicaanalítica es:

[Ar78] Arnold, V.I.-"Mathematical Methods of Classical Mechanichs", Springer, 1978.

Por su alto valor histórico, con múltiples aplicaciones a la Mecánica Celeste, entre ellos elProblema de los N Cuerpos, el estudio de la existencia de soluciones periódicas, etc, es eltrascendental:

[Po57] Poincaré, H.-"Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste", 3 tomos, Dover, NewYork, 1957.

Con temas especiales de la Mecánica Celeste, entre ellos los Métodos de Poincaré, deLiapunov, así como las investigaciones de Lichtenstein y Wavre es el pequeño libro:

[Jar58] Jardetzki, W.S.-"Theories of figures of celestial bodies", Interscience Publishers, Inc.New York, 1958.

Con una recopilación de diversos métodos cuantitativos y cualitativos de la teoría de lasoscilaciones: Teoría de Poincaré, estabilidad, de Krylov y Bogoliubov, método de lastransformaciones puntuales, con múltiples referencias a los trabajos de Andronov, as5i 1comodiversas aplicaciones a la Mecánica Clásica, es el excelente librito:

[Mi67] Minorski, N.-"Théorie des Oscillations", Gauthier- Villars, París, 1967.

Dedicado al estudio de sistemas no lineales, entre ellos los sistemas óptimos y autoregulables,exponiendo la teoría con múltiples ejemplos, resueltos por el método del Plano de Fases y delinealización armónica, así como la aplicación de estos conocimientos a sistemas de mandocon diferentes grados de indeterminación de sus parámetros y acciones externas es el libro:

[Ne87] Netushil, A.-"Teoría del mando automático", Editorial Mir, Moscú, 1987.

Abarcando los principales resultados de Kolmogorov, Arnold, Moser y el propio autor, dirigidopor igual a matemáticos y físicos, que aunque no desarrolla las demostraciones en detalle,recoge en cambio artículos de Kolmogorov y Kelley es la obra:

[Abra67] Abraham, R.-"Foundations of Mechanics", W.A. Benjamín, Inc. New York-Amsterdam, 1967.

Sobre los fundamentos generales de la teoría de oscilaciones no lineales, tanto en lo referente amétodos cualitativos, como cuantitativos, ocupando un lugar importante los métodos deMandelshtam-Andronov, trata:

[BuNeiFu90] Butenin, N.V.; YuI. Neimark y N.A. Fufaev-"Introducción a la teoríade oscilaciones no lineales", Mir, Moscú, 1990.

Dirigido a matemáticos y científicos y a estudiantes de matemáticas y ciencias, conteniendola estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales y en diferencias, un tópico de ciertadificultad, en el que emplea el método de la ecuación adjunta, es la obra:

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[BellCoo63] Bellman, R. and R. Cooke-"Differential-Difference Equations", AcademicPress, 1963.

El estudio de ciertos problemas relacionados con la Teoría de la Estabilidad, para ecuacionesdiferenciales lineales (homogéneas y no homogéneas), englobados bajo el nombre de"admisibilidad" y "dicotomía" y dirigido a lectores interesados en ecuacionesdiferenciales, más que a especialistas de análisis funcional, se encuentra en la obra:

[MaScha66] Massera, J.L. and J.J. Schaffer-"Linear Differential Equations" andFunctionl Spaces", Academic Press, New York and London, 1966.

Una visión actual de la Teoría Cualitativa de los Sistemas Dinámicos, que es al mismo tiempo,introductoria y bastante amplia en sus perspectivas, especialmente en cuanto a aspectos deestabilidad estructural y genericidad, y donde se hace un amplio uso de los teoremas deHartman-Grobman, Kupka-Smale y Peixoto, se brinda en:

[PaMe77] Palis Jr, J. y W. de Melo-"Introducaó aos sistemas dinámicos", IMPA, CNPq, 1977.

Similar en propósito a la anterior, y que es la primera obra escrita en Cuba sobre el tópico, es:

[Bries73] Brieskorn, E.-"Teoría Cualitativa de Sistemas Dinámicos", La Habana, 1973.

Enfocando el estudio de propiedades cualitativas, en conocimientos avanzados de topologíay análisis funcional, y escrita teniendo en cuenta los mejores logros de las escuelas polaca yfrancesa, es:

[Bor67] Borsuk,K.-"Theory of Retracts", PWN, Warszawa, 1967.

3. Con una exposición elemental de la Teoría de la Estabilidad, pero desarrollandoinstructivos ejemplos es el pequeño texto:

[Kras83] Krasnov, M.L y otros-"Funciones de variable compleja. Cálculo operacional.Teoría de la estabilidad", Editorial Mir, Moscú, 1983.

Dirigido al concepto clásico de estabilidad en el sentido de Liapunov y a algunos problemasrelacionados con el mismo, por ejemplo los relacionados con la estabilidad condicional y elProblema de Aizerman y donde mycho teoremas aparecen en los ejercicios, es:

[Bou80] Boudonov, N.-"Teoría de la Estabilidad", U.H. 1980.

Del mismo autor, donde aparecen en la primera parte los resultados relativos a la TeoríaCualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y en la segunda parte, los resultadoscorrespondientes a la Teoría Cualitativa Local, con problemas ordenados de maneracreciente atendiendo a su dificultad es:

[Bou1] Boudonov, N.-"Teoría Cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias", U.H. s/f.

Dedicado íntegramente al Método de las Funciones de Liapunov, su uso en variadosproblemas que van desde la estabilidad en sentido global hasta la existencia de solucionesperiódicas, pasando por múltiples ejemplos de investigaciones, principalmente soviéticas, es:

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[Bar70] Barbashin, E. A.-"Funciones de Liapunov", Naúka, Moscú, 1970 (en ruso).

Consagrado al estudio de ecuaciones lineales y del tipo Emdem-Fowler, así como suclasificación atendiendo a la naturaleza oscilatoria de sus soluciones y dedicando amplioespacio al estudio asintótico de soluciones acotadas y no acotadas es el libro:

[KiChan90] Kiguradze, I.T. y T.A. Chanturia-"Propiedades asintóticas de las soluciones deecuaciones diferenciales ordinarias no autónomas", Fizmatlit, Moscú, 1990 (en ruso).

Es de interés por la actualidad de temas presentados, casi todos desarrollados pormatemáticos soviéticos, por ejemplo el dedicado a la estabilidad global asintótica en sistemasno autónomos, el compendio:

[Dem67] Demidovich, B. P.-"Conferencias sobre la teoría matemática de la Estabilidad",Naúka, Moscú, 1967 (en ruso).

Con extensiones a espacios abstractos, de variados problemas de la teoría de ecuacionesdiferenciales en general, y de la teoría de la estabilidad en particular, son los textos siguientes,recomendados para una segunda lectura:

[Krein67] Krein, S.G.-"Ecuaciones diferenciales lineales en espacios de Banach", Nauka,Moscú, 1967 (en ruso).[DaKrein70] Daletski, Y.L. y M.G. Krein-"Estabilidad de las soluciones de ecuacionesdiferenciales en espacios de Banach", Nauka, Moscú, 1970 (en ruso).

He dejado para el final de esta sección, los dos textos que más influencia han ejercido sobre mí,y a los que debo gran parte de mi formación.

Con una gran variedad de artículos que tratan directamente con el Segundo Método deLiapunov, que lo entienden o lo usan como una herramienta, pero excluyendo los métodostopológicos y otros, tal como el de Perron, es la magnífica obra:

[Hah63] Hahn, W.-"Theory and Application of Liapunov's Direct Method", Prentice-Hall,Englewood Cliffs, New Jersey,1963.

La monografía más completa sobre el Segundo Método de Liapunov y sus aplicaciones, ydonde se discute la estabilidad y acotamiento de las soluciones, así como algunos tópicosrelacionados, y donde se muestra la amplitud y potencia de este método con un vastocampo de investigaciones realizadas como ejemplo, es:

[Yos66] Yoshizawa, T.-"Stability theory by Lyapunov's Second Method", Math. Soc. of Japan,1966.

Obras de carácter histórico sobre este tema no abundan, más bien todo lo contrario,presentamos aquí una pequeña muestra que ilustra lo anterior.

[Ar86] Arnold, V.I.-"Catastrophe Theory", Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-New York-Tokyo, 1986,

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[BaBoChent85] Babenko, K.I.; N.N. Bogoliubov y N.N. Chentsov(eds)-"M.V. Keldish.Colección de trabajos. Matemática", Nauka, Moscú, 1985 (en ruso).[Bo94] Bonilla, E.-"La Universidad de Cambridge, la Universidad de Newton",Miscelánea Matemática 20, 1994, 15-27.[BuRe94] Bustamante, J. y J.A.Repilado-"Sobre la estabilidad asintótica bajo cualquierperturbación inicial de un sistema autónomo de ecuaciones", Rev. Ciencias Mat., VII(1986), 33-36,[Go89] Gómez, X.-"Un enfoque a los sistemas dinámicos", Ciencia(1989) 40, 233-243.[Ke69] Kennedy, A.C.-"Is there an elementary proof of Peano's existence theorem for first orderdifferential equations?", AMM, 76(1969) 1043-1045,[KomLevSe77] Komkov, G.D.; B.V. Levshin y L.K. Smirnov-"Academia de Cienciasde la URSS", 2 tomos, Nauka, Moscú, 1977 (en ruso).[Ni85] Nikolski, S.M.(ed)-"A.N. Kolmogorov. Colección de trabajos. Matemática yMecánica", Nauka, Moscú, 1985 (en ruso).[Ma95] "Triálogo sobre Ricardo Mañé", Matemática Universitária, SBM, no.18, 1995, 2-18.[Ma56] Massera, J.L.-"Contribution to stability theory", Ann. of Math. 64(2), 182-206 (1956),[Maw88] Mawhin, J.-"The forced pendulum: A paradigma for nonlinear analysis anddynamical systems", Expo. Math. 6(1988), 271-287.[Maw93] Mawhin, J.-"Nonlinear oscillations: one hundred years after Liapunov andPoincaré", ZAMM 73(1993) 4-5, T54-T62.[Maw94] Mawhin, J.-"The centennial legacy of Poincaré and Lyapunov in ordinary differentialequations", Rend. Circ. Mat. Palermo, Serie II, Supplemento N.34 (1994), 9-46.[Ná95a] Nápoles, J.E.-"Acerca de la importancia de la Ecuación de Riccati"(II), RevistaPerfiles de la Física y su Enseñanza, ISPH, Vol.1, No.3, 1995, 36-39.[Ná95b] Nápoles, J.E.-" Un circuito eléctrico y algunas aplicaciones", Revista Perfiles dela Física y su Enseñanza, Instituto Superior Pedagógico de Holguín, Vol.1, No.1, 1995,pp.44-47.[Ná95c] Nápoles, J.E.-"Una nota sobre el Teorema de Sarkovskii", Lecturas Matemáticas(UNC-SCM), Vol.16, No.2, 1995, 211-214.[Ná96a] Nápoles, J.E.-"Apuntes a la Teoría de las Catástrofes" (I), Revista Perfiles dela Física y su Enseñanza, ISPH, Vol.II, No.2, 1996, 38-43.[Ná96b] Nápoles, J.E.-“De Lagrange hasta Arnold. Observaciones metodológicas a una historiade las ecuaciones diferenciales ordinarias”, Publicación Interna, Instituto Superior Pedagógicode Holguín, 1996, 129 p.[Ná96c] Nápoles, J.E.-“De las cavernas a los fractales. Conferencias de historia de laMatemática”, Publicación Interna, Instituto Superior Pedagógico de Holguín, 1996, 283 p.[Ná97] Nápoles, J.E.-“Acotamiento, estabilidad y oscilación en sistemas bidimensionales”,Publicación Interna, Instituto Superior Pedagógico de Holguín, 1997, 282 p.[Ná98] Nápoles, J.E.-"El legado de las ecuaciones diferenciales ordinarias.Consideraciones (auto)críticas", Boletín de Matemática (UNC, Colombia), V(1998), 53-79.[Ná1] Nápoles, J.E.-"Apuntes a la Teoría de las Catástrofes" (II), Revista Perfiles de laFísica y su Enseñanza, ISPH, Vol.II, No.3, 1996, por aparecer.[Ná2] Nápoles, J.E.-"Euler. Del Análisis a la Topología", dado a publicar.[Ná3] Nápoles, J.E.-"Ecuaciones diferenciales y contemporaneidad", dado a publicar.[Ná4] Nápoles, J.E.-"Cien años de Teoría Cualitativa. Algunas observaciones", dado apublicar.[Ná5] Nápoles, J.E.-"Las ecuaciones diferenciales como signos de los tiempos", dado apublicar.[Ná7] Nápoles, J.E.-"Vibraciones de un tambor fractal", dado a publicar.

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[NáNe94] Nápoles, J.E. y C. Negrón-"De la Mecánica Analítica a las ecuacionesdiferenciales ordinarias", Revista LLULL (España), Vol.17 (No.32) 1994, 190-206.[PoSte80] Poston, T. y I. Stewart-"Teoría de las Catástrofes y sus Aplicaciones", Mir, Moscú,1980 (en ruso),[ReNá88] Repilado, J.A. y J.E. Nápoles-"Acerca de la importancia de la Ecuación deRiccati", Bol. Orbita Científica, ISPEJV, No.1-2, 1988, 27-31.[Pra87] Prada, B.I.-"Reflexiones en torno a ciertos aspectos de la epistemología newtoniana",Revista Integración (UIS-Colombia), Vol.5, No.1, 1987, 7-23.[ReBerMo89] Repilado, J.A.; J. Bermúdez y D. Morales-"Apuntes biográficos deSofía V. Kovalevskaya", Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, año V, no.27,IV-VIII.[ReSa89] Repilado, J.A. y A. Salas-"Apuntes biográficos sobre la vida de AlexanderMijailovich Liapunov", Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, año V, no.27, IV-VIII.[Si76] Simó, C.-"El Problema de n cuerpos", Publicacions de la Secció de MatemátiquesUniversitat Autónoma de Barcelona, no.2, 1976, 33-68.[Sma] Smale, S.-"Topology and Mechanics", I y II, Inventiones math. 10 y 11, 305-331 y 45-64(1970),[Sma67] Smale, S.-"Differentiable Dynamical Systems", Bull. of the A.M.S. 73 (1967) 747-817,[So93] Sotomayor, J.-"O Elipsóide de Monge", Matemática Universitária, SBM, no.15, 1993,33-47.[Uz77] Uzgider, E.-"Dynamic Stability of Columns Subjeted to Impulsive Loadings", Bull.Thecnical Univ. of Estambul, 31(1977), 124-143,[VlaMar83] Vladimirov, V.S. y I.I. Markush-"Vladimir Andréievich Steklov. Sabio yorganizador de la ciencia", Mir, Moscú, 1983.[Wa73] Walter, J.-"On elementary proofs of Peano's existence theorem", AMM, 80(1973) 282-286,[Wa71] Walter, W.-"There is an elementary proof of Peano's existence theorem", AMM,78(1971) 170-173,

Dr. Juan E. Nápoles Valdes