Lecture 12 representación espacial de señales

2S 2009 - I. Zamora Unid IV - Rep Space Sñls Dig1

Comunicaciones II

Conferencia 12: Representación espacial de señales digitalesUNIDAD IV: REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE SEÑALES DIGITALES

Instructor: Israel M. Zamora, MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Outline• Revisión al concepto vectorial• Ortogonalidad• Representación geométrica• Representación geométrica para un espacio n-

dimensional• Propiedades Vectoriales• Modelo de sistema digital vectorial• Conversión formas de onda a vectores espaciales• Representación Espacial de Señales• Ilustración• Algoritmo de ortogonalización Gram-Schmidt

– Procedimiento– Ejemplo


Revisión al concepto vectorial

• Definición de Vector:– Un segmento lineal dirigido– Su longitud es denominada la longitud del vector– Su dirección es denominada su dirección

a b

Vector a Vector b

•a y b son vectores con distintas direcciones y distintas longitudes•a y c son vectores iguales en longitud y dirección (paralelos).•Producto escalar a•b : producto resultante de la longitud de la proyección del vector a sobre el vector b multiplicado por la longitud del vector b:

c

Vector c

γ

a

ba•b=|a| |b| cos(γ), con |a| y |b| las longitudes de los vectores a y b respectivamente


Ortogonalidad

• Vectores ortogonales:– Cuando el ángulo definido por sus direcciones es recto (π/2 ó 90°)

a

b

Vector a

Vector bγ=90°

• Producto escalar o interno de vectores ortogonales es igual a cero:

a•b=|a| |b| cos(π /2 )=0


Representación geométrica

• En espacio Euclideano para el vector x

-Considerando vector en un plano bidimensional: x=(x1, x2)-Dirección de vectores unitarios

ortogonales ϕ1 y ϕ2

-Considerando vector en un espacio tridimensional: x=(x1, x2, x3)-Dirección de vectores unitarios

ortogonales ϕ1,ϕ2 y ϕ3

ϕ2

ϕ2

x2

x1

ϕ1

x=x1ϕ1+x2ϕ2

x1

x2

x3

ϕ1

ϕ3x=x1ϕ1+x2ϕ2+x3ϕ3


Representación geométrica para un espacio n-dimensional

Un vector x=(x1, x2, x3, ..., xn) de N-orden, puede representarse como una

combinación lineal de los n vectores unitarios ortogonales ϕ1, ϕ2, ϕ3,..., ϕN

∑=

ϕ=

ϕ++ϕ+ϕ+ϕ=n

j

x

...x

1j

N321

j

n321

x

xxxx

Con ϕj vectores unitarios de n-orden:

)1,....,0,0,0(

)0,....,0,1,0(

)0,....,0,0,1(

=

==

n

2

1

ϕ

ϕϕ


Propiedades Vectoriales

Longitud del vector: ∑=

=⋅=n

jjx

1

22xxx

Independencia: Un conjunto de vectores de m dimensiones, x1, x2,...,xm, es independiente si ninguno de los vectores de ese conjunto puede representarse como combinación lineal de los vectores restantes del conjunto, es decir:

)(constantea ;aaaa jm321 ∀=++++ 0321 mx...xxx

Si un espacio contiene un máximo de n vectores independientes, todo vector en ese espacio puede expresarse como una combinación lineal de estos n vectores independientes.


Propiedades Vectoriales

Vectores base: Son los n vectores independientes en un espacio n-dimensional

Vectores ortonormales: Son vectores ortogonales con longitud unitarias, de un espacio n-dimensional. Satisfacen la propiedad del producto punto o interno:

1

0

=≠

=ϕ⋅ϕji

jiji

Dado un vector x, sus cómponentes xj pueden determinarse de la forma siguiente:

jjx ϕ⋅= x


Modelo vectorial de sistema digital

( ) mm TMR /log2=

im

{ }1-M0,1,..., ∈im

Fuente deMensajes

CodificadorVectorial

ModuladorVectorial

Sumidero deMensajes

DecodificadorVectorial

DemoduladorVectorial

Un mensaje cada Tm segundos

),...,s,s(s iNii 21=is{ },...,M,i)t(si 21=

{ }im { })t(si

Una señal cada TS segundos

Al canal físico

∑)t(n

)t(n)t(s)t(r ii +=

),...,r,r(r iNii 21=irim̂

Decisión:Muestra debe procurarmínima probabilidadde error ( corresponda a mi )im̂

)t(ri


Del modelo

Fuente de Mensaje:

Un símbolo mensaje mi cada Tm segundos, hay m diferentes símbolos y todos ocurren con igual probabilidad,

{ } i , ∀==M

emitidomPP ii

1

Codificador Vectorial:

Mapeo de un símbolo a un vector de valor real de dimensión N≤M,

),...,s,s(sm iNiii 21=is

Modulador Vectorial:

Mapeo de un vector de valor real a una forma de onda de valor real en un intervalor 0≤t≤TS con energía finita,

∞<= ∫T

ii

i

dt)t(sE

)t(s

0

2

is


Del modelo

Canal de formas de onda:

Sistema LTI, ancho de banda acomoda si(t) sin distorsión, y el ruido es agregado.

Donde n(t) es ruido blanco aditivo Gaussiano.

Sii Tt0 ),t(n)t(s)t(r ≤≤+=

Demodulador Vectorial:

Mapeo de la señal recibida a un vector de valor real y dimensión N,

),...,r,r(r)t(r iNiii 21=ir

Detector o Decodificador Vectorial:

Mapea ri a uno de los m mensajes,

La decisión se toma de acuerdo a un criterio estadístico de optimización para reducir la probabilidad de error de símbolo,

m̂ir

{ } { }i

M

iiiie mPmmm̂PP ∑

=

≠=1


Conversión formas de onda a vectores espaciales

Considere “V” como un espacio lineal Euclideano, sobre un campo numérico complejo “C”:

3. Linealidad: Cba,V,β,α,α ,β,αbβ,αaβ, bαaα 212121 ∈∈><+><>=+<

2. Positivo de facto: 0) si0( 0, ==≥>< ααα,

1. Simetría: V ∈>=<>< βα, ,βα,βα,

0. Notación del producto escalar, para dos vectores, α y β: >< βα,

Producto escalar (interno o punto) de un espacio Euclideano


Conversión formas de onda a vectores espaciales

Extensión para señales de energía finita:

•Si la señal s(t) puede especificarse mediante una n-ada, entonces también es un vector

)(constantea 0;aaaa jN321 ∀=ϕ++ϕ+ϕ+ϕ N321 ...

•Espacio de Señales: Se definen n señales ϕ1, ϕ2, ϕ3,..., ϕN, como independientes, si

satisfacen:

•Si toda señal si(t) de un cierto espacio de M señales, se puede representar como una

combinación lineal de n señales independientes {ϕj}, entonces se tiene un espacio de

señales de N dimensiones,

∑=

≤≤=ϕ=N

1jjiji Tt0 M1,2,...,i (t),s(t)s

∫ ϕ>=ϕ=<T

0 jijiij (t)dt(t)s(t)(t),ss

•Donde los coeficientes sij se obtiene como:NOTA: sij es la proyección de

si sobre ϕ j


Representación Espacial de Señales

•Producto Escalar o Interno de dos señales de valor real s(t) y y(t) sobre un intervalo [0,T] se define como:

∫>=<T

0s(t)y(t)dty(t)s(t),

•Norma o longitud de una señal s(t) se define como:

0)( E(t)dtss(t)s(t),s(t) 21/2T

0

21/2 ≥=

=>=< ∫

•Conjunto de señales ortogonales: Un conjunto de N forma de ondas de señales se denomina ortogonales si,

≠

==ϕϕ>=ϕϕ< ∫ ji 0

ji c(t)dt(t)(t)(t), jT

0 jiji

•Representación Espacial: Una vez especificadas las señales base {ϕj}, podemos

representar la señal s(t) mediante una N-ada (si1, si2, si3,...,siN)


Representación Espacial de Señales

≠=

=ϕϕ>=ϕϕ< ∫ ji 0

ji 1(t)dt(t)(t)(t),

T

0 jiji

•Si, , energía unitaria, entonces el conjunto de señales {ϕ1 } se denomina ortonormal, i.e.,

1E i.e. j, 1c jj =∀=

•Otra vez, para un conjunto ortonormal, los coeficientes sij de una señal si(t) se obtiene por:

∫ ϕ>=ϕ=<T



Ilustración

Un espacio de señales consta de cuatro señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) como se muestra en la figura:

s1(t)

1

-0.5

1 2t

s2(t)

1

-0.5

12 t

s3(t)

1

1 2

t

-1

s4(t)

1

12 t

-1

0.5

Vectores Ortonormales:

ϕ1(t)

1

-0.5

1

2t

ϕ 2(t)

1

1 2 t

-1


Ilustración

Puede demostrarse por simple inspección que las señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t)

pueden expresarse como combinaciones lineales de las señales ortonormales ϕ1(t) y ϕ2(t) según se muestra:

(t)s(t)s(t)s(t)s 2i21i1

2

1jjiji ϕ+ϕ=ϕ= ∑

=

(t)0.5-(t)(t)s(t)s(t)s(t)s 21212111

2

1jj1j1 ϕϕ=ϕ+ϕ=ϕ= ∑

=

(t)(t)0.5(t)s(t)s(t)s(t)s 21222121

2

1jj2j2 ϕ+ϕ−=ϕ+ϕ=ϕ= ∑

=

(t)(t)s(t)s(t)s(t)s 2232131

2

1jj3j3 ϕ−=ϕ+ϕ=ϕ= ∑

=

(t)(t)0.5(t)s(t)s(t)s(t)s 21242141

2

1jj4j4 ϕ+ϕ=ϕ+ϕ=ϕ= ∑

=

( )50 11 .,(t)s −=

( )1 502 ,.(t)s −=

( )103 , -(t)s =

( )1504 , .(t)s =


Ilustración

Representación espacial de las señales s1(t), s2(t), s3(t) y s4(t) en un espacio vectorial

euclideano definido por las señales ortonormales ϕ1(t) y ϕ2(t) según la figura de abajo:

ϕ2(t)

1

-0.5

10.5-0.5-1

-1

0.5

ϕ1(t)

s2(t) s4(t)

s3(t)

s1(t)

•Qué procedimiento permite determinar los vectores ortonormales ϕ j(t)? los coeficientes sij? la representación espacial/vectorial de las señales? • El algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt.

( )50 11 .,(t)s −=

( )1 502 ,.(t)s −=

( )103 , -(t)s =

( )1504 , .(t)s =


Algoritmo de Ortogonalización Gram-Schmidt

• Algoritmo mediante el cual se determinan las N señales independientes y ortogonales de longitud unitaria (ortonormales) ϕ1, ϕ2, ϕ3,..., ϕN, que permiten, a través

de una combinación lineal de las mismas, representar las M señales de energía finita s1(t), s2(t), s3(t),...,sM(t) en

un espacio vectorial euclideano de N-orden.


Consideraciones

• Cualquier señal si(t) en un conjunto de M señales de energía

puede ser representada por una combinación lineal de un conjunto de N funciones de señales ortonormales donde N≤M.

{ }Mi1 (t)si ≤≤

{ }Nj1 (t)j ≤≤ϕ

Tt0 M.1,2,...,i ,(t)s(t)sN

1jiji ≤≤=ϕ= ∑

=j

Donde:

∫ ϕ>=ϕ=<T



Consideraciones

• Note que:

( )

ϕ

ϕϕ

⋅=

(t)

(t)

(t)

s,...,s,s(t)s

N

2

1

iNiii

21

Matricialmente:

(t)(t) sobre n de s proyecció que es la s

ponde aado corresuyo result(t)dt c(t)s

jiij

j

T

i

ϕ

ϕ∫0

• También: ( )iNi2i1 s,...,s,s=is


Procedimiento de Gram-Schmidt en detalle

(t)dt(t)s(t)(t),s s donde

(t)s(t)s

que talN,1,2,...,jy Tt0 para

MN:(t)}{ :bases esortonormal Funciones

j

T

0 ijiij

1jiji

j

ϕϕ

ϕ

ϕ

∫

∑

>==<

=

=≤≤

≤

=

N

j

M1,2,...,iy Tt0 para (t)}{s señalesM i =≤≤Entrada:

Salida:



==

=

==ϕ

=

∫T

0

2111

21

1

1

1

1

11

11

(t)dts(t)sE que Recuerde

E

(t)s

unitaria) (longitud (t)s(t)s

(t)g(t)g

(t)

)(dirección (t) s (t)g

2

Paso 1:

unitaria energía tiene (t)y

E sdonde

(t) s (t) E (t)s

1

2111

11112

11

ϕ=

ϕ=ϕ=



(t))(t)(g (t)s(t)s(t)g 1212122 ϕ⊥ϕ−=

)(dirección 0(t)(t),g 12 >=ϕ<⇒

(t)g de anormalizad versión la es (t) 22ϕ

∫ ϕ=T

0 1221 (t)dt(t)ss

Paso 2:

Calcule:

Fije:

dt(t)sET

0

22 2∫=Calcular la norma de g2(t):



2 2212

1212

2

22

sE

(t)s(t)s(t)g(t)g

(t)−

ϕ−==ϕ

2 22

2 221

22

2T

0

22

21

21

2

sE

s2sE

(t)dtg (t)g

−=

+−=

= ∫Paso 2 (cont.):

Fije:

0(t)dt(t) quey

1dt(t)(t)

2

T

0 1

T

0

22 2

=ϕϕ

=ϕ=ϕ

∫∫Tenemos que:



2

1n

1j

2nn nj

sE(t)g ∑−

=

−=

1-n2,..., 1,j ,(t)(t),ss jnnj =>ϕ=<

∫==T

0

22

nn (t)dts(t)sEn

unitaria) (longitud (t)g(t)g

(t)n

nn =ϕ

Paso n: Calcule:

sE

(t)s(t)s

2

1n

1j

2n

1n

1jjnjn

nj∑

∑−

=

−

=

−

ϕ−=

)(dirección (t)s(t)s(t)g1n

1jjnjnn ∑

−

=

ϕ−=



0.(t) dé

que (t) s señalcualquier ignore te simplemencaso,

este En (t). (t),...,(t), de ncombinació una

por aconsiderad ya sidohaya no que componente

tiene no (t) sque ya 0(t) modo, este De

0.(t)s(t) sque sucederPuede

.procesadas son(t)s(t),...,s(t),s

señaleslas todas que hasta continúa sentoprocedimie Este

n

n

1-n21

nn

1n

1jjnjn

M21

=ϕ

ϕϕϕ

=ϕ

=ϕ= ∑−

=


Ejemplo

Un conjunto de cuatro formas de onda se ilustra abajo. Encuentre un conjunto ortogonal para este conjunto de señales aplicando el procedimiento de Gram-Schmidt.

s1(t)

1

-0.5

1 2 t

s4(t)

1

-0.5

1 2 t3

s3(t)

1

-1

1 2 t3

s2(t)

1

1 2

t

-1


Ejemplo

2t0 ,2

1

2

(t)s(t)

2E entonces

2tdt1(t)sE con E

(t)s(t)

2t0 1,(t) s (t)g

221

1

221

3

0

2

0

22

1121

11

11

≤≤==ϕ

=

=====ϕ

≤≤==

∫

Paso 1:

unitaria energía tiene (t)y

2 sdonde

(t) s (t) 2 (t)s

1

211

11112

1

ϕ=

ϕ=ϕ=


Ejemplo

(t)s(t)s(t)s(t)g 212122 =ϕ−=

)(dirección 0(t)(t),g 12 >=ϕ<⇒

(t)g de anormalizad versión la es (t) 22ϕ

0(t)dt2

1dt

2

1

(t)dt(t)s(t)dt(t)ss

2

1 2

1

0 2

3

0 12

T

0 1221

=−+=

ϕ=ϕ=

∫∫

∫∫Paso 2:

Calcule:

Fije:

( ) ( ) 2dt1-dt1dt(t)sE2

1

21

0

2T

0

22 2

=+== ∫∫∫Para calcular la norma de g2(t):


Ejemplo

≤≤−

≤≤=ϕ

=−

ϕ−==ϕ

2t1 2

1

1t0 2

1

(t)

(t)s2

1

sE

(t)s(t)s

(t)g

(t)g(t)

2

2

2

222 2212

1212

2

22

222

2 22

2 221

22

2T

0

22

2EsE

s2sE

(t)dtg (t)g

21

21

2

==−=

+−=

= ∫Paso 2 (cont.):

Fije:


Ejemplo

Paso 2 (cont.):

0(t)dt(t) quey

1dt(t)(t)

2

T

0 1

T

0

22 2

=ϕϕ

=ϕ=ϕ

∫∫

Note que:


Ejemplo

2 2-dt2

11dt

2

11-

(t)dt(t)s(t)dt(t)ss

2

1 2

1

0 2

3

0 23

T

0 2332

=−⋅+⋅=

ϕ=ϕ=

∫∫

∫∫

Paso 3: Calcule:

0dt2

11dt

2

11-

(t)dt(t)s(t)dt(t)ss

2

1 2

1

0 2

3

0 13

T

0 1331

=⋅+⋅=

ϕ=ϕ=

∫∫

∫∫


Ejemplo

( ) ( )∫∫∫∫=+=

===3

1

21

0

2

3

0

23

T

0

23

2

33

3dt1dt1-

(t)dts(t)dts(t)sE

Paso 3Cont.:

( )(t)2(t)s

(t)2(t)0-(t)s

(t)s-(t) s-(t) s

(t)s(t)s(t)s(t)s(t)g

22

3

22

13

2321313

2

1jj3j3

13

1jj3j33

ϕ+=

ϕ−−ϕ⋅=

ϕϕ=

ϕ−=ϕ−= ∑∑=

−

=


Ejemplo

3t0 (t)2(t)s(t)g

(t)g(t) 2

23

3

33 ≤≤ϕ+==ϕ

Paso Cont. 3:

( ) ( ) 12222 =−−−=

−−=−= ∑−

=

2

2 2232

13

1j

233

03

ssEsE(t)g32313j


Ejemplo

1y s 0,s

2(t)dt(t)ss

:que calcularse Puede

4342

T

0

21441

==

=ϕ= ∫

(t)s(t)s(t)s(t)s 3214 ++=

0(t)-(t)2(t)s(t)g 312

44 =ϕϕ−=

Paso 4:

(t)(t)(t)s

(t)-(t)(t)(t)(t)s

314

23214

ϕ+ϕ=

ϕϕ+ϕ+ϕ=2

222

2

222


Ejemplo

En resumen, el conjunto de señales ortonormales ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t) se grafican abajo.

ϕ1(t)

1 2 t

ϕ 2(t)

1 2

t

ϕ 3(t)

1

1 2 t3

2 2

1

2 2

1

2 2

1−


Ilustración

La representación espacial se muestra en la gráfica de abajo.

ϕ2(t)

ϕ1(t)

s2(t)

s3(t)

s1(t)

ϕ3(t)

2 2

2 2− 2 2

2 2

2 2−

2 2−

1

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