LES MATEMÀTIQUES DE LA

MATÈRIA DE TECNOLOGIES

(2n d’ESO)

Núria Magrins Oller INS Gorgs Curs 2009-2010

1

ÍNDEX

1. Introducció ........................................................................................... 2

1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material .............................. 2

1.2. Aportació de la matèria de Tecnologies a la comp. matemàtica .. 3

1.3. Coordinació de les programacions ............................................... 3

1.4. Estructura del dossier.................................................................... 4

2. Consideracions generals...................................................................... 4

2.1. Aproximacions decimals................................................................ 4

2.2. Aproximació dels euros.................................................................. 5

2.3. Regla de tres.................................................................................. 5

2.4. Consideració final.......................................................................... 5

3. Introducció a l’estudi de les màquines.................................................. 6

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Canvis d’unitat. Relació amb factors de conversió Introducció a l’àlgebra. Equacions de primer grau Concepte de proporcionalitat......................................................... 6

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?............................ 6

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?............................. 6

3.3.1. Canvis d’unitat. Relació amb factors de conversió.............. 6

3.3.2. Introducció a l’àlgebra. Equacions de primer grau .............. 9

3.3.3. Concepte de proporcionalitat............................................... 18

4. Magnituds elèctriques........................................................................... 19

4.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Introducció a l’àlgebra. Equacions de primer grau Proporcionalitat.............................................................................. 19

4.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?............................ 19

4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?............................. 19

4.3.1. Introducció a l’àlgebra. Equacions de primer grau .............. 19

4.3.2. Proporcionalitat.................................................................... 21

2

1. INTRODUCCIÓ 1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material El nostre centre, l’IES Gorgs de Cerdanyola del Vallès, està duent a terme un Pla de Millora aprovat pel Departament d’Educació. Aquest Pla de Millora té com un dels seus objectius prioritaris millorar els resultats de les competències bàsiques de l’alumnat en tots els àmbits curriculars. Una de les primeres accions realitzades va ser la posada en funcionament d’una coordinació interdepartamental per tal de debatre sobre la transversalitat de les competències bàsiques i les connexions entre les matèries. D’aquestes reunions interdepartamentals va sorgir la idea d’incorporar la comprensió lectora com a contingut de totes les àrees. Aquesta idea es va desenvolupar i posar en pràctica durant el curs 2008-2009. A finals del mateix curs, el centre –tant a nivell de l’equip directiu, com de tot el claustre del professorat- va manifestar la voluntat de treballar seriosament en el sentit de millorar la competència matemàtica implicant-hi totes les àrees que tinguin relació amb les matemàtiques.

En el decret pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria, el Departament d’Educació precisa que la competència matemàtica té un caràcter transversal a totes les matèries i que per millorar-la cal que els aprenentatges dels continguts matemàtics s’orientin cap a la seva utilització a la vida diària i a les altres àrees del coneixement. Tradicionalment, però, estem acostumats a un model educatiu molt compartimentat en matèries o assignatures on les matemàtiques solen ser tractades sense connexió amb les altres matèries. Cal que el nostre alumnat pugui veure les matemàtiques com un valor instrumental que ajuda a l’aprenentatge de les altres disciplines. A més, establir connexions entre els continguts matemàtics i els no matemàtics contribueix clarament a donar sentit als primers, ja que mostra el seu origen i les seves aplicacions. Una altra necessitat que se’ns planteja a l’hora de mirar les matemàtiques de manera interdisciplinar és l’acurada selecció i seqüenciació de continguts. Cal optimitzar l’ensenyament dels continguts matemàtics presents en els currículums de les diferents àrees, aconseguint que la duplicitat que es produeix a l’hora de treballar els aspectes matemàtics es faci de manera coordinada tant en el temps com en el procediment. Cal, doncs, que coneguem quines matemàtiques treballem a cada àrea, com les treballem i en quin moment. Quan treballem un mateix concepte des de diferents matèries, cal que el professorat ho tinguem present i que els alumnes vegin pautes coherents i el puguin interrelacionar. Per acabar, voldria afegir la importància que aquest material pot tenir per al professorat. Per una banda, ha de servir als docents experts, tant de Matemàtiques com de Tecnologies, per reflexionar sobre la nostra metodologia a l’hora de ensenyar les matemàtiques i de connectar les dues matèries. I, per altra banda, pot ser un material molt útil per al professorat de nova incorporació al centre, ja que disposarà d’una guia sobre com treballar les matemàtiques que apareixen a les Tecnologies en cada curs.

3

1.2. Aportació de la matèria de Tecnologies a la competència matemàtica

El decret del Departament d’Educació pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria detalla la contribució de la matèria de Tecnologies a l’assoliment de la competència matemàtica de la següent manera: “Participa en el desenvolupament de la competència matemàtica per mitjà de l’ús d’eines matemàtiques, de manera contextualitzada, en la mesura que proporciona situacions d’aplicabilitat a diversos camps i facilita la visibilitat d’aquestes aplicacions i de les relacions entre els diferents continguts matemàtics. Les eines matemàtiques especialment presents en la matèria estan relacionades amb la resolució de problemes pràctics de l’entorn: mesura i càlcul de magnituds bàsiques, l’ús d’escales, la lectura i interpretació de gràfics, i la resolució de problemes basats en l’aplicació d’expressions matemàtiques referides a principis i fenòmens físics.” 1.3. Coordinació de les programacions Un cop analitzats els continguts matemàtics presents en les matèries de Ciències socials, Ciències de la naturalesa, Tecnologies i Educació visual i plàstica de 1r i 2n d’ESO, el departament de Matemàtiques ha reestructurat la seva programació per tal d’adaptar-la al màxim a les necessitats de les altres matèries. Tot i això, no ha estat possible fer una seqüenciació dels continguts a l’assignatura de Matemàtiques de manera que s’expliqui a l’alumnat tot el necessari abans que es treballi a les altres matèries. Per intentar solucionar aquest fet, s’han realitzat dues accions. Al començament d’alguns trimestres s’ha introduït a l’assignatura de Matemàtiques el TEMA 0. En aquest tema es donen nocions bàsiques de continguts matemàtics directament aplicables a d’altres assignatures i que s’estudiaran durant el trimestre. Per exemple, en el TEMA 0 del primer trimestre de 2n d’ESO es farà un repàs de les equacions de 1r grau apreses a 1r d’ESO i s’aplica a les fórmules del treball, potència o llei de palanques. Per altra banda, s’ha fet una proposta sobre la metodologia a emprar en cada un dels continguts matemàtics que apareixen a l’assignatura en qüestió. D’aquesta forma, si encara no s’han fet a la classe de matemàtiques, el professorat de Tecnologies sabrà com es treballaran aquests continguts i li podrà servir d’orientació. Cada departament disposarà d’una graella-resum on constaran els continguts matemàtics treballats a cada matèria en cada trimestre. Per últim, s’aconsella adaptar al màxim, també, la programació de la matèria de Tecnologies per tal d’optimitzar l’assoliment dels continguts matemàtics presents en el currículum d’aquesta matèria.

4

1.4. Estructura del dossier

El present dossier està estructurat de la forma següent: en primer lloc, hi ha un apartat de CONSIDERACIONS GENERALS. A partir d’aquí, cada un dels apartats següents porta el títol del TEMA de la matèria de Tecnologies on apareixen continguts matemàtics. En cada un d’aquests apartats hi ha tres parts que s’expliquen a continuació: TEMA Continguts matemàtics que s’hi utilitzen. En aquest apartat només s’escriuen els títols dels continguts matemàtics necessaris per a aquest tema.

Quan es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat es diu en quin moment del curs es treballa a la classe de matemàtiques cada un dels continguts descrits en l’apartat anterior, segons la nova programació. Cal tenir present que durant el curs 2010-2011 es començarà a aplicar la nova programació de Matemàtiques només a 1r d’ESO. A 2n d’ESO s’aplicarà a partir del curs 2011-2012. Cal posar atenció als continguts que es treballen a les dues matèries gairebé alhora ja que, segons la dinàmica del grup-classe, no sempre es pot seguir la temporització de la programació.

Com es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat s’explica la metodologia emprada, a la classe de matemàtiques, per assimilar cada un dels continguts descrits en el primer apartat. Cal tenir en compte que aquest dossier va dirigit al professorat i, per tant, s’han omès moltes parts que sí que es fan a l’aula i, en canvi, es defineixen conceptes necessaris per al professorat que no són estrictament necessaris per a l’alumnat. Per introduir un concepte nou a la classe de matemàtiques es solen plantejar problemes concrets per resoldre i, sempre que es pot, contextualitzats. Es provoca una discussió sobre la forma de resoldre el problema plantejat i finalment s’ordenen les idees sorgides i es defineix el concepte o el mètode que s’està estudiant. Finalment, i dins d’aquest apartat, de vegades hi ha unes Recomanacions a tenir en compte quan es treballen aquells conceptes de més difícil assimilació per part de l’alumnat o aquells procediments on cometen més errors. 2. CONSIDERACIONS GENERALS 2.1. Aproximacions decimals Si la solució d’un problema és un nombre amb moltes xifres decimals, cal fer una aproximació d’aquest nombre. A la classe de matemàtiques sempre recomanem fer l’arrodoniment del nombre en qüestió amb dues o tres decimals, com a màxim. Arrodonir un nombre a dos decimals (fins als centèsims) significa donar la millor aproximació amb dues xifres decimals del nombre. Això s’aconsegueix observant la tercera xifra decimal. Si aquesta és una xifra menor que 5, l’arrodoniment es farà tallant

5

als centèsims (truncament). Si la tercera xifra decimal és més gran o igual a 5, l’arrodoniment s’aconsegueix sumant un centèsim al truncament. Per exemple si volem arrodonir a dos decimals el nombre A = 45,67385...., observem que la tercera xifra decimal és un 3 (menor que 5). L’arrodoniment del nombre A amb dos decimals serà, doncs, A ~ 45,67. Si volem fer el mateix amb el nombre B = 0,24515...., com que la tercera xifra decimal és un 5 (major o igual que 5), l’arrodoniment del nombre serà B ~ 0,25. Si volem arrodonir els nombres A i B amb tres decimals, haurem d’observar la quarta xifra decimal i seguir el mateix procés. Així, doncs, A ~ 45,674 i B ~ 0,245. 2.2. Aproximació dels euros Els nombres que indiquen quantitats d’euros sempre cal donar-los amb dues xifres decimals. Si el resultat d’una operació amb euros ens dóna més de dues xifres decimals, hem de fer l’arrodoniment i si només té una xifra decimal, hem d’escriure en el lloc dels centèsims (cèntims d’euro) un 0. Si no es fa d’aquesta forma, pot portar a confusió a l’hora d’interpretar la lectura d’aquest nombre d’euros. Per exemple, si diem que un objecte val vint-i-quatre amb tres, no sabem si ens referim a vint-i-quatre euros i tres cèntims o a vint-i-quatre euros i 30 cèntims ja que 24,03 ≠ 24,3 = 24,30. Cal escriure 24,30 € i llegir vint-i-quatre amb 30. 2.3. Regla de tres Sobre l’aplicació de la regla de tres simple, cal fer notar que és correcta només en alguns casos. Aquests casos es descriuen en els apartats corresponents del dossier. No obstant això, l’alumnat tendeix a aplicar-la també, en d’altres situacions on el seu ús és incorrecte. En aquest dossier i en cada cas concret es dóna una alternativa fàcil i entenedora a la regla de tres. 2.4. Consideració final

I, per últim, voldria remarcar el fet que quan l’alumnat es troba davant d’un problema que ha de resoldre, l’objectiu final és trobar-hi la bona solució. No és tan important el mètode utilitzat per arribar a aquesta solució, sempre que sigui correcte. Com a docents, hem d’estar oberts a diferents formes de resoldre un problema i a diferents formes d’ensenyar a resoldre un problema. Si davant un concepte a assolir, una part de l’alumnat té grans dificultats, cal reflexionar i buscar alternatives per intentar minimitzar aquestes dificultats. Aquest dossier és un material obert que podem anar canviant i millorant entre tots, curs rere curs, i que espero que us sigui de molta utilitat.

6

3. INTRODUCCIÓ A L’ESTUDI DE LES MÀQUINES

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen

CANVIS D’UNITAT. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

CONCEPTE DE PROPORCIONALITAT

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

CANVIS D’UNITAT. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ

Els canvis d’unitats de longitud es treballen només començar el curs de 1r d’ESO. Els canvis d’unitats de volum, capacitat i massa es treballen durant el mes d’octubre de 2n d’ESO. Alhora s’explicarà la relació entre els canvis d’unitats treballats a matemàtiques i els factors de conversió. INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU Al tercer trimestre de 1r d’ESO es fa una introducció a l’àlgebra i es treballen equacions de primer grau senzilles, sense parèntesis ni sumes ni restes de fraccions. A mitjans del 2n trimestre de 2n d’ESO s’aprofundeix en les equacions de primer grau. CONCEPTE DE PROPORCIONALITAT

A 1r d’ESO es treballa la proporcionalitat. Es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals i introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... A 2n d’ESO, a finals d’octubre i durant el mes de novembre, es repassen els conceptes sabuts i es treballen més a fons les magnituds inversament proporcionals.

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

3.3.1. CANVIS D’UNITAT. RELACIÓ AMB FACTORS DE CONVERSIÓ

En aquest dossier s’inclou la relació dels canvis d’unitat amb els factors de conversió, ja que en el llibre de text de la matèria de Tecnologies de 2n d’ESO hi ha alguns exemples en què s’utilitza aquest mètode. A classe de matemàtiques, els canvis d’unitat d’una magnitud qualsevol es fa sempre multiplicant o dividint pel número adequat. És un mètode fàcil de raonar i permet fer tots els canvis utilitzats a Matemàtiques sense problemes.

7

A Física i Química, gairebé sempre es fan els canvis d’unitat a partir dels factors de conversió. Amb els factors de conversió es té un mètode sistemàtic de transformació d’unitats, que és especialment útil en canvis complexos. Per exemple, quan cal canviar més d’una unitat de mesura alhora. En aquests casos, multiplicar i dividir diverses vegades es fa molt feixuc. És important que l’alumnat relacioni aquestes dues formes de canvi d’unitats i és per això que, des de la classe de matemàtiques, s’explica aquesta relació.

Un factor de conversió és una fracció on hi ha la mateixa mesura

expressada amb diferent unitat al numerador i al denominador. Com que el numerador i el denominador són la mateixa mesura, aquesta fracció és equivalent a 1 i en multiplicar-la per qualsevol valor, aquest no varia.

Una mesura de qualsevol magnitud consta d’un número i de la unitat en la qual s’ha mesurat. Per veure la relació d’un canvi d’unitat amb el factor de conversió és important veure aquesta mesura com el producte del número per una unitat de mesura. Per exemple, 24 quilòmetres és el mateix que 24 vegades 1 quilòmetre ( 24 km = 24 · 1 km).

A la classe de matemàtiques es faran tots els passos necessaris per explicar el raonament dels factors de conversió. Cal, però, comentar a l’alumnat que en la utilització dels factors de conversió no es fan tants passos, ja que el seu interès és disposar d’un mètode sistemàtic i pràctic per canviar d’unitats.

Exemple

1. Convertim 24 km a m:

- Sense factors de conversió: Per passar de km a m multipliquem per 1 000 ja que 1 km són 1 000 m:

24 km = 24 · 1 km = 24 · 1 000 m = 24 000 m

- Amb factors de conversió: Multipliquem els 24 km per una fracció equivalent a la unitat on en el denominador aparegui la unitat que volem canviar i en el numerador la unitat que volem tenir:

m00024m000124km1

km1m000124

km1

m0001km124

km1

m0001km24

km1

m0001km24km24

L’última fracció és equivalent a la unitat .

8

La velocitat d’un mòbil és el quocient entre el desplaçament que ha realitzat i

el temps que ha tardat a fer-lo. Les unitats de la velocitat s’obtenen dividint les unitats de longitud entre les unitats de temps.

temps

ntdesplaçamevelocitat

La unitat de la velocitat del Sistema Internacional és el s

m. Una altra unitat de

velocitat molt utilitzada és el h

km. A la pràctica, aquestes unitats s’escriuen:

m/s i km/h i es llegeixen metre per segon (metre que recorre el mòbil en un segon) i quilòmetre per hora (quilòmetres que recorre el mòbil en una hora).

Exemple

1. La velocitat d’una bicicleta és de 24 km/h. A quina velocitat va en m/s?

- Sense factors de conversió: Primer veiem quants metres recorre en una hora. Com que cada quilòmetre és igual a 1 000 m, ho multipliquem per 1 000: 24 km/h = 24 · 1 000 m/h = 24 000 m/h Recorre 24 000 m en una hora. Volem saber quants metres recorre en un segon. Com que en 1 h hi ha 3 600 s, haurem de dividir per 3 600:

24 000 m/h = 6003

00024m/s ~ 6,67 m/s.

- Amb factors de conversió:

km1s6003h1

m0001h1km124

km1

m1000

s6003

h1

h1

km124

h1

km24h/km24

s6003

m00024

h1

h1

km1

km1

s6003

m000124

~ 6,67 m/s

Les dues últimes fraccions són iguals a la unitat.

9

3.3.2. INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU - Classe de matemàtiques. 1r d’ESO

L’àlgebra és la part de les matemàtiques que utilitza lletres com a símbols per expressar nombres desconeguts (per resoldre un problema) o bé per

expressar fórmules o lleis (producte de fraccions: db

ca

d

c

b

a

). S’utilitza molt

en altres àrees del coneixement com la física, la química, la tecnologia, la informàtica, ....

A Matemàtiques, les fórmules o lleis es solen simbolitzar amb les primeres lletres de l’alfabet: a, b, c, .... i els nombres desconeguts que hem de descobrir per resoldre un problema es solen simbolitzar amb les darreres lletres de l’alfabet: x, y, z, ....

Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres units per

operacions aritmètiques.

- Si en una expressió algebraica hi apareixen lletres diferents, cada lletra representa un nombre diferent i a la inversa; per representar dos nombres diferents cal utilitzar lletres diferents.

- Com que les lletres representen nombres, totes les propietats de càlcul

amb nombres són igualment aplicables a les lletres.

Exemple

1. A un repartidor de pizzes li paguen 19 € diaris més 2 € per pizza repartida.

Quant cobra el dia que reparteix una pizza? I el dia que en reparteix dues? I el que en reparteix 3? Troba una expressió algebraica que signifiqui el que cobrarà un dia que ha repartit p pizzes.

1 pizza: 19 + 2 = 21 € 2 pizzes: 19 + 2 + 2 = 23 € 3 pizzes: 19 + 2 + 2 + 2 = 19 + 2 · 3 = 19 + 6 = 25 € 4 pizzes: 19 + 2 + 2 + 2 + 2 = 19 + 2 · 4 = 19 + 8 = 27 € p pizzes: 19 + 2 · p = ??? Si no sabem el nombre de pizzes que ha repartit, no sabem els diners que ha cobrat, però tenim l’expressió que ho simbolitza: 19 + 2 · p

Notació: Per facilitar l’escriptura, sempre que no porti a confusió, el símbol del producte (·) no s’escriu. Si hi ha un producte d’un nombre i una lletra, sempre s’escriu el nombre al davant. Així, p·4 s’escriu 4p, a·b s’escriu ab, 3·(2+x) s’escriu 3(2+x), ......

El valor numèric d’una expressió és el resultat numèric que s’obté en substituir les lletres per nombres donats i fer les operacions indicades.

10

Exemple

1. El repartidor de pizzes de l’exemple anterior cobra 19 + 2p € si ha repartit p

pizzes. Si avui ha tingut molta feina i ha repartit 13 pizzes, quant ha cobrat?

p = 13 → 19 + 2·13 = 19 + 26 = 45 Resposta: Avui ha cobrat 45 €.

Un terme o sumand d’una expressió algebraica és una expressió on hi

poden haver nombres i lletres amb només multiplicacions i/o divisions. Cada terme o sumand està separat dels altres termes per sumes i/o restes. Per

exemple, l’expressió 3xy té un sol terme, x23

x té dos termes x2i

3

x,

2x + 3y - 5 té tres termes 2x, 3y i -5,.....

Operacions amb expressions algebraiques (suma i resta)

Sumar un nombre de vegades el mateix número és el mateix que multiplicar aquest número pel nombre de vegades que el sumem: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5·3 = 15 De la mateixa manera, sumar un nombre de vegades una mateixa lletra (que simbolitza un número) és el mateix que multiplicar la lletra pel nombre de vegades que la sumem: x + x + x + x + x = 5 · x = 5x (el resultat no es pot saber si desconeixem el valor numèric de x.

Exemples

1. 2x + 3x = 2 · x + 3 · x = x + x + x + x + x = 5 · x = 5x → 2x + 3x = 5x

2. 4x – x = 4 · x – x = x + x + x + x – x = x + x + x = 3 · x = 3x → 4x – x = 3x

3. z + 3y = z + y + y + y → No representa el mateix nombre sumat quatre

vegades i, per tant, no podem fer aquesta operació.

4. 4 + 2x = 4 + x + x → No sabem quin nombre és x i, per tant, no podem fer aquesta operació.

NOTA: Cal insistir a l’alumnat que 4 + 2x ≠ 6x, ja que no s’ha respectat la prioritat d’operacions (primer el producte abans que la suma i entre el 2 i la x hi ha un producte). En canvi, (4 + 2)·x = 6x.

5. 4x – 4 – 6x + 12x + 6 = 6x12x64x4 4x – 6x + 12x – 4 + 6 =

10x + 2.

6. t + 2x + x – 3 + 4t = t + 4t + 2x + x – 3 = 5t + 3x – 3

11

En cada terme d’una expressió algebraica ens podem trobar números i/o lletres. De les lletres en direm part literal.

Dos termes o sumands són semblants si tenen la mateixa part literal. Per

exemple, 2x és un terme semblant a -4x, 2x no és semblant a 3y, 5y no és semblant a 8 i 3p és semblant a p.

Resum per sumar i restar expressions algebraiques

- Per saber si es pot sumar o restar alguns dels termes d’una expressió

algebraica, cal separar, encara que sigui mentalment, cada un dels seus termes o sumands.

- Després s’ha d’observar quina és la part literal de cada un dels termes.

- Si hi ha dos o més termes semblants, és a dir, amb la mateixa part literal, es

podran agrupar (sumar o restar). Si hi ha dos o més termes que només són números, evidentment també s’han de sumar o restar. Cal anar amb molt de compte amb el signe (positiu o negatiu) de cada terme.

Recomanacions

Cal recordar sovint a l’alumnat l’omissió del símbol del producte (·) entre un número i una lletra. Se’ls oblida amb molta facilitat que 2a significa 2 · a, és a dir, 2 vegades a o bé a + a. Això porta molts problemes a l’hora d’operar amb

expressions algebraiques i, per tant, a l’hora de resoldre equacions.

Per operar amb expressions algebraiques i, com a conseqüència, per resoldre equacions és molt important, també, que l’alumnat tingui clar què és un terme o sumand. Separar mentalment els termes d’una expressió i visualitzar-los clarament els ajuda molt.

A la classe de matemàtiques, cal utilitzar lletres diferents a les típiques x, y,... perquè l’alumnat pugui relacionar, en altres assignatures, que el que està fent és el mateix que fem a Matemàtiques quan treballem àlgebra.

Equacions de primer grau

De vegades, per resoldre un problema va bé expressar algebraicament el que explica l’enunciat d’aquest problema. A la solució numèrica del problema, que d’entrada és desconeguda, se li assigna una lletra, anomenada incògnita. A Matemàtiques, aquesta lletra sol ser la x, però pot ser qualsevol altra.

Per tenir una equació, cal tenir una igualtat entre dues expressions

algebraiques on hi ha una o més incògnites. Quan es conegui el valor de les incògnites que fan certa la igualtat es tindrà la solució de l’equació i, com a conseqüència, es podrà resoldre el problema.

12

Una equació de primer grau amb una incògnita és una equació en la què

només hi ha una incògnita i aquesta apareix elevada a 1.

És molt important que l’alumnat tingui clar què significa la solució d’una equació: el valor numèric de la incògnita que fa que la igualtat es compleixi. És per això que es fan molts exercicis com els que s’expliquen a continuació.

Es resolen mentalment equacions molt senzilles, inicialment amb context i més endavant en abstracte i es va augmentant molt lentament el grau de dificultat.

Exemples

1. x + 7 = 12 → x = 5 2. y + 15 = 13 → y = –2

3. 4z = 80 → 4 · z = 80 → z = 20

4. 6 t = 42 → – 6 · t = 42 → t = – 7

5. 3v + 11 = 44 → v = 11

6. 215

x → x = 30

7. 3

2

15

y → y = 10

8. 225

6x

→ x = 44

Donada una equació i diferents valors numèrics es fa comprovar a l’alumnat si aquests valors numèrics són solució o no de l’equació.

A partir d’aquí, es posa un exemple d’una equació difícil de resoldre mentalment o per tempteig. Es veu la necessitat de trobar un mètode per descobrir el valor de la incògnita.

Aquest mètode té com a fonament dues idees: - Si tinc dues expressions algebraiques iguals (equació) qualsevol operació que faci en una d’elles (sumar, restar, multiplicar, dividir, ..) cal fer-la en l’altra expressió a fi que la igualtat es mantingui. - Cal anar fent operacions als dos membres de l’equació (cada una de les expressions algebraiques igualades) fins arribar a l’objectiu desitjat, que és

13

tenir la incògnita sola a un membre de la igualtat, la qual cosa es coneix com aïllar la incògnita.

Es treballa el mètode a partir d’exemples concrets. Es comença amb equacions senzilles, que fins i tot es podrien resoldre mentalment, i es va augmentant el grau de dificultat. Abans de començar a aplicar el mètode, cal observar l’equació amb atenció, veure clarament cada un dels termes o sumands que la componen, quins termes tenen lletra i quins són números sols. Després, cal reduir termes semblants en cada membre de l’equació, si s’escau, i pensar quines operacions cal fer per tenir la incògnita aïllada.

Exemples

1. 3x + 5 = 32

Tenim tres termes: 3x i 5 al primer membre de l’equació i 32 en el segon. Primer aïllarem el terme que porta x, és a dir, 3x. Per això cal fer desaparèixer el 5. Ho farem restant 5 als dos membres. 3x + 5 – 5 = 32 – 5 → 3x = 27 → 3 · x = 27 Només tenim un terme que porta lletra, 3 · x, a un membre de l’equació. Per tenir la x aïllada cal fer desaparèixer el 3. Això ho aconseguirem dividint els dos membres per 3.

3

27

3

x3

Simplificant les dues fraccions obtenim que x = 9, que és la

solució de l’equació. NOTA: Gran part de l’alumnat ha resolt aquesta equació mentalment però, a més, ha començat a veure un mètode per resoldre equacions més difícils. És important que es faci la comprovació, a l’equació inicial, de la solució trobada.

2. 5y – 2 = 6y + 8

Tenim quatre termes: 5y i –2 al primer membre i 6y i 8 al segon. Per aïllar el terme que porta y cal que n’hi hagi un de sol i no els podem agrupar si no són al mateix membre. Primer, doncs, traurem el terme 6y de la dreta restant 6y als dos membres. 5y – 2 – 6y = 6y + 8 – 6y Agrupem els termes semblants: – y – 2 = + 8 Per arribar a tenir la x sola, cal treure el – 2. Ho farem sumant 2 als dos membres.

14

– y – 2 + 2 = + 8 + 2 → – y = + 10 Multipliquem o dividim els dos membres per – 1 per obtenir y. (– y) · (– 1) = (+ 10) · (– 1) → y = – 10

La incògnita ha de tenir el valor – 10 perquè la igualtat sigui certa.

3. 3

z7

Aquesta equació es resol mentalment sense cap dificultat. Usant el mètode, hauríem de multiplicar els dos membres de l’equació per 3 per tenir aïllada la z.

z213

3z213

3

z37

o el que és el mateix z = 21.

4. x

75

Per resoldre aquesta equació tenim dos mètodes:

a. Cal tenir la incògnita al numerador. La traurem del denominador multiplicant els dos membres per x.

7x5x

x7x5x

x

7x5

Per tenir la x aïllada hem de dividir per 5.

5

7x

5

7

5

x5 x = 1,4

A Matemàtiques, solem deixar la solució en forma de fracció irreductible.

b. Utilitzant la propietat estudiada en el tema de fraccions que diu que si tenim dues fraccions equivalents, el producte creuat coincideix.

7x517x5x

7

1

5

x

75

A partir d’aquí, es continua igual que en el primer mètode.

5. 15

2

6

x

Per resoldre aquesta equació també tenim dos mètodes:

15

a. Multipliquem els dos membres de l’equació pel mínim comú múltiple

dels denominadors, que en aquest cas és 30.

5

4x

5

4

5

x54x5

15

60x5

15

302

6

30x30

15

230

6

x

b. Com que tenim dues fraccions equivalents, el producte creuat

coincideix.

5

4x

15

12x

15

12

15

x1512x1562x15

15

2

6

x

- Classe de matemàtiques. 2n d’ESO

Es repassa l’àlgebra i les equacions de 1r grau apreses a 1r d’ESO.

Es comencen a fer mentalment els passos de sumar, restar, multiplicar o dividir els dos membres de l’equació per un número, sense necessitat d’escriure tots els passos.

Es resolen equacions aplicades a d’altres assignatures.

Exemples NOTA: Aquests exemples es podran fer a la classe de matemàtiques només si l’alumnat ha treballat prèviament aquest tema a la classe de Tecnologies. 1. Volem moure un objecte de 2 000 N de pes. Agafem una barra de 2,5 m de

longitud. Recolzem la barra en un punt de suport situat a 0,5 m d’un extrem on pengem l’objecte. Quina força caldrà fer a l’altre extrem de la barra per iniciar el moviment?

La incògnita és la força que hem de fer per moure l’objecte. La lletra assignada és F i la llei de la palanca ens diu que:

16

F · d1 = R · d2 on R és la resistència o càrrega a contrarestar i d1 i d2 les

distàncies del punt de suport a la força i a la resistència respectivament.

Substituïm els valors coneguts a l’equació: F · 2 = 2 000 · 0,5 Arreglem el segon membre de l’equació multiplicant els

nombres: F · 2 = 1 000 Dividim els dos membres de l’equació per 2 per obtenir la

incògnita (ho fem mentalment en el primer membre).

500F2

0001F

Resposta: Cal fer només una força de 500 N per aixecar aquest objecte de 2 000 N.

2. Volem muntar un polispast per poder aixecar pesos de 1 500 N. La força que podem fer per aixecar aquests pesos és de 250 N. Quantes politges o nombre de cables per subjectar les politges inferiors necessitem? Considerem el pes de les politges inferiors nul. La incògnita és el nombre de politges total o, el que és el mateix, el nombre de cables que subjecten les politges inferiors del polispast. Li assignem la lletra n. La fórmula que ens relaciona la força que cal fer per aixecar una càrrega amb un polispast és:

n

QRF

on R és la resistència o càrrega, Q el pes de les politges inferiors

i n el nombre de cordes o cables que subjecten les politges inferiors.

Com que les unitats són adequades, trobarem la incògnita, és a dir, la n resolent l’equació: Substituïm els valors coneguts a l’equació:

n

5001250

n

05001250

Multipliquem per n els dos membres de l’equació (ho fem mentalment en el segon membre, sense escriure el producte): 250 · n = 1 500

17

Dividim per 250 els dos membres de l’equació (mentalment en el primer membre):

6n250

5001n

Resposta: El polispast ha d’estar format per 6 politges.

Es treballa la propietat distributiva, les operacions amb fraccions i el producte d’expressions algebraiques, tot amb números i lletres, per aprofundir en l’àlgebra.

Es resolen equacions de 1r grau amb parèntesis i fraccions.

NOTA: No es detallarà aquí tota la metodologia utilitzada a la classe de matemàtiques per treballar aquests dos últims punts, ja que no és de cap utilitat per a la matèria de Tecnologies de 2n d’ESO.

Recomanacions

Tot i que, actualment, molts professors de matemàtiques encara fem servir les frases: “El que està sumant passa restant, el que està multiplicant passa dividint, etc..”, per explicar la resolució d’equacions, la tendència és evitar-les.

Els passos escrits en la resolució d’una equació són els mateixos si diem que sumem, multipliquem, ... els dos membres d’una equació pel mateix nombre i fem mentalment aquelles operacions evidents. D’aquesta forma l’alumnat ha de ser capaç de raonar en cada moment el pas que està fent i el perquè el fa sense que suposi més esforç d’escriptura. La idea és evitar els típics errors que es fan en resoldre equacions. A continuació es mostren dues equacions resoltes per alumnes de 3r d’ESO extretes de dos treballs de recerca realitzats per alumnes de 2n de batxillerat durant el curs 2009-2010.

18

En el cas d’una equació amb la incògnita en el denominador, com la que s’ha

resolt en un exemple anterior n

5001250 , es recomana fer tots els passos

descrits i no fer mai directament el canvi 250

5001n

n

5001250 . Els

alumnes amb dificultats no entenen el que s’està fent i ho apliquen malament en d’altres situacions.

L’alumnat relaciona millor les equacions d’altres assignatures amb les equacions que es resolen a Matemàtiques si primer es substitueixen els valors coneguts i després s’aïlla la incògnita que no pas si el procés és l’invers, primer aïllar la incògnita a la fórmula general i després substituir els valors coneguts.

3.3.3. CONCEPTE DE PROPORCIONALITAT

A classe de matemàtiques de 1r d’ESO es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals, introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... Tota aquesta part està inclosa en el dossier de Tecnologies de 1r d’ESO.

El concepte de proporcionalitat apareix en aquest tema en parlar de l’avantatge mecànic. L’avantatge mecànic (i) relaciona la força o resistència (R) que pot contrarestar una màquina simple amb la força (F) que cal aplicar-

li. La relació és: F

Ri , per tant, l’avantatge mecànic ens indica quantes

vegades més petita és la força F que hem d’aplicar-hi, que la resistència que cal vèncer. Amb la mateixa màquina, si es dobla el valor de la resistència que hem de vèncer haurem de doblar el valor de la força per fer-ho, és a dir, resistència i força són magnituds directament proporcionals.

19

4. MAGNITUDS ELÈCTRIQUES

4.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen

INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU PROPORCIONALITAT

4.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Al tercer trimestre de 1r d’ESO es fa una introducció a l’àlgebra i es treballen equacions de primer grau senzilles, sense parèntesis ni sumes ni restes de fraccions. A mitjans del 2n trimestre de 2n d’ESO s’aprofundeix en les equacions de primer grau. PROPORCIONALITAT

A 1r d’ESO es treballa la proporcionalitat. Es treballen els conceptes de magnitud, magnituds proporcionals, magnituds directament proporcionals i introducció a les magnituds inversament proporcionals, constant de proporcionalitat, reducció a la unitat, ... A 2n d’ESO, a finals d’octubre i durant el mes de novembre, es repassen els conceptes sabuts i es treballen més a fons les magnituds inversament proporcionals.

4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

4.3.1. INTRODUCCIÓ A L’ÀLGEBRA. EQUACIONS DE PRIMER GRAU

La introducció a l’àlgebra i les equacions de 1r grau treballades a 1r i a 2n d’ESO estan explicades en l’apartat anterior “INTRODUCCIÓ A L’ESTUDI DE MÀQUINES”. En aquest apartat, només hi posarem un parell d’exemples d’aplicació de les equacions de 1r grau. Exemples NOTA: Aquests exemples es podran fer a la classe de matemàtiques només si l’alumnat ha treballat prèviament aquest tema a la classe de Tecnologies.

1. Calcula la intensitat del corrent d’un circuit que alimenta un motor de 1,4

kW, si té una tensió de 220 V. La fórmula que relaciona intensitat (I), potència (P) i tensió (V) és :

20

P = V · I Dades: P = 1,4 kW = 1400 W i V = 220 V Incògnita: I Substituïm els valors coneguts amb les unitats adequades a la fórmula: 1400 = 220 · I Dividim els dos membres de l’equació per 220 (mentalment en el segon):

220

1400I → I ~ 6,36

Resposta: El corrent d’aquest circuit té una intensitat de 6,36 A

aproximadament.

2. Calcula la tensió a la qual està connectada una làmpada que té una resistència de 440 Ω i consumeix 0,5 A.

La llei d’Ohm ens diu que R

VI on I és la intensitat del corrent, V la tensió

i R la resistència. Dades: R = 440 Ω i I = 0,5 A Incògnita: V Substituïm els valors coneguts amb les unitats adequades a la fórmula:

440

V5,0

Multipliquem els dos membres de l’equació per 440 (mentalment en el primer membre): 0,5 · 440 = V → V = 220

Resposta: La tensió a la qual està connectada aquesta làmpada és de 220 V

3. Calcula la resistència d’un receptor que és travessat per un corrent de 3 A

quan està connectat a 125 V.

La llei d’Ohm ens diu que R

VI on I és la intensitat del corrent, V la tensió

i R la resistència. Dades: I = 3 A i V = 125 V

21

Incògnita: R Substituïm els valors coneguts amb les unitats adequades a la fórmula:

R

1253

Multipliquem els dos membres de l’equació per R (mentalment en el segon membre): 3 · R = 125 Dividim els dos membres de l’equació per 3 (mentalment en el primer):

3

125R → R ~ 41,67

Resposta: La resistència d’aquest receptor és de 41,67 Ω.

Recomanacions

L’alumnat relaciona millor les equacions d’altres assignatures amb les equacions que es resolen a Matemàtiques si primer es substitueixen els valors coneguts i després s’aïlla la incògnita que no pas si el procés és l’invers, primer aïllar la incògnita a la fórmula general i després substituir els valors coneguts.

4.3.2. PROPORCIONALITAT

En el dossier de la matèria de Tecnologies de 1r d’ESO està explicat com es tracta una part del tema de la proporcionalitat. En el present dossier s’exposarà la part que es treballa a 2n d’ESO.

Quan es repassa el concepte de magnituds directament proporcionals es posa com a exemple la relació entre la intensitat del corrent elèctric d’un circuit i la tensió que hi apliquem. Només es farà en cas que ja s’hagi treballat a la classe de Tecnologies.

R

VI

aresistènci

tensióensitatint

Suposem que tenim un receptor de 10 Ω de resistència. Fem una taula de valors que ens doni la intensitat del corrent del circuit segons la tensió que li apliquem.

Tensió (V)

1 10 50 125 220

Intensitat (A)

0,1 1 5 12,5 22

22

Si fem el quocient de cada parell de valors (tensió i intensitat) obtenim un valor constant, la resistència del receptor que és la constant de proporcionalitat. Per tant, tensió i intensitat són magnituds directament proporcionals.

Dues magnituds són inversament proporcionals si el producte entre un

valor d’una de les magnituds i el valor corresponent a l’altra magnitud es manté constant. Això fa que si doblem el valor d’una de les magnituds, el valor corresponent de l’altra magnitud queda dividit per 2, si el tripliquem, el corresponent queda dividit per 3, si un el dividim per 2, el corresponent es duplicarà, etc. El producte entre dos valors corresponents ens dóna la constant de proporcionalitat o raó de proporcionalitat inversa.

Exemples

1. El nombre de paletes que hi ha construint un edifici i els dies que tarden a

acabar-lo. El producte de dos valors corresponents es mantindrà constant. (Cal suposar que tots els paletes treballen al mateix ritme i cada dia igual)

Paletes 12 6 4 3

Dies 40 80 120 160

El nombre de paletes i els dies que tarden a acabar un edifici són magnituds

inversament proporcionals. La constant o raó de proporcionalitat inversa és 480 ja que 12 · 40 = 6 · 80 = 4 · 120 = 3 · 160 = 480. Observem que quan es duplica el nombre de paletes, el nombre de dies queda reduït a la meitat, si el nombre de paletes es divideix per 3, el nombre de dies es triplica,.....

2. Si en un circuit elèctric apliquem sempre la mateixa tensió; aleshores, la

intensitat del corrent és inversament proporcional a la resistència que ofereix.

R

VI

aresistènci

tensióensitatint

Suposem que tenim un làmpada connectada a un circuit de 220 V. Fem una taula de valors que ens doni la intensitat del corrent del circuit segons la resistència que ofereix:

Resistència (Ω)

10 50 100 500 1000

Intensitat (A)

22 4,4 2,2 0,44 0,22

Si fem el producte de cada parell de valors ens dóna un valor constant que és la tensió (220 =constant de proporcionalitat inversa). Per tant, resistència i

23

intensitat són magnituds inversament proporcionals sempre que hi hagi la mateixa tensió. Si la resistència es duplica, la intensitat es redueix a la meitat, si hi ha una resistència cinc vegades més gran, la intensitat és cinc vegades més petita,.....

Recomanacions

Un error molt comú entre l’alumnat és pensar que dues magnituds són directament proporcionals si quan augmenta una, augmenta l’altra. Cal remarcar que no n’hi ha prou amb aquest fet sinó que quan una de les magnituds augmenta el doble, l’altra també ha d’augmentar el doble, si una es triplica, l’altra també es triplica, .... Hi ha moltes relacions entre magnituds en què en augmentar una, també augmenta l’altra però no de forma proporcional. És millor evitar la frase: “quan una magnitud augmenta , l’altra també” i substituir-la per “quan una magnitud augmenta el doble, l’altra també augmenta el doble, ...”

El mateix passa amb les magnituds inversament proporcionals. No n’hi ha prou de dir que quan una augmenta, l’altra disminueix, sinó que cal dir que quan una de les magnituds es duplica, l’altra queda dividida per dos, etc...