Ley de Ampère y ley de Biot y Savart para distribucuiones ...

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 1

Magnetostática

• Definición.

• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.

• Ley de Biot y Savart.

• Ley de Ampère.

• Campo en puntos alejados. Momento magnético.

– Comportamiento en el infinito.

– Corrientes ligadas.

• Energía Magnética.

– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.

– Sistemas de corrientes filiformes.

– Coeficientes de inducción. Autoinducción.

– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.

• Transporte de energía.

• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall

J.L. Fernández JambrinaEyM 5b-1

Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución.

• Se escoge el eje de simetría como eje z.

– Por la simetría de translación no puede haber variación con z:

– Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera componente z:

– Por la simetría de revolución el campo no esfunción de ϕ, salvo la variación propia de :

– No puede haber componente radial porqueno se cumpliría:

» Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial.

• En definitiva:

0=⋅∇ Br

( )ϕρ= ,HHrr

( ) ( )ϕϕρ+ρϕρ= ϕρ ˆ,ˆ, HHHr

( ) ( )ϕρ+ρρ= ϕρ ˆˆ HHHr

ϕ̂

( )ϕρ= ϕ ˆHHr

( )vJ J zz= ρ $

Z




Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución. (2)

• Escogiendo contornos que sean circunferenciasen planos z=cte y centradas en el eje z:

• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:

( )

( )πρρ

=⇒

ρ=ρρπ=⋅

πρ=ϕρ

⋅=⋅

ϕ

ρ

ϕ

π

ϕ

∫∫∫

∫

∫∫∫

2

2

2

0

2

0

IH

IdJSdJ

HdH

SdJldH

z

S

SC

rr

rrrr

( )ϕ

πρρ

= ˆ2

IHr

( )vJ J zz= ρ $

Z

( )vH H= ϕ ρ ϕ$

( ) ρρπ=ρ ∫ρ

dJI z

0

2


• En el caso de una línea de corriente indefinida de valor que circule sobre el eje z:

– Por lo tanto:

• En el caso de que la corriente se distribuya uniforme-mente en un hilo de radio a:

– La corriente encerrada en la región interior es y:

ϕπρ

= ˆ2

IHr

a

Z

I

( ) azaIzJJ z <ρ≤π=ρ= 0;ˆˆ 2

0

r

ϕρ

π= ˆ2 2a

IH i

r

ϕπρ

= ˆ2

IHe

r

0 a 2a 3a0

1 2ππππa

ρρρρ

ρρρρ

ππππ2 2a

1

2πρπρπρπρ

( )H ϕϕϕϕ ρρρρ

2

2

0)(a

IIρ

=ρ

Línea de Corriente Indefinida

0I

0)( II =ρ




Cable Coaxial

• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos contrarios en cada conductor. Suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor:

• La corriente que fluye en el interiorde la circunferencia de radio ρ es:

( ) ( )

ρ<

<ρ<−π−

<ρ<

<ρ≤π

=ρ=

c

cbzbcI

ba

azaI

zJJ z

;0

;ˆ

;0

0;ˆ

ˆ22

2

r

( )

ρ≤

≤ρ≤−

ρ−≤ρ≤

≤ρ≤ρ

=ρρπ=⋅=ρ ∫∫∫ρ

ρ

c

cbbc

cI

baI

aa

I

dJSdJI z

S

;0

;

;

0;

2

22

22

2

2

0

rr


Cable Coaxial. (2)

• Y el resultado final es:

• Obsérvese que no se genera campo en el exterior del cable.

( ) ( ) ( )

( )

ρ≤

≤ρ≤ϕ−ρρ−

π

≤ρ≤ϕρπ

≤ρ≤ϕρ

π

=ϕπρρ

=ϕρ= ϕ

c

cbbc

cI

baI

aa

I

IHrH

;0

;ˆ2

;ˆ1

2

0;ˆ2

ˆ2

ˆ

22

22

2

rr

0 a 2a

1

aρ

ϕπaH2

c

bc

ab

1.1

2

=

=




Solenoide Indefinido

• Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide indefinido la distribución de corriente puede representarse por una densidad de corriente superficial:

– n es el número de espiras por unidad de longitud(altura en la figura).

• Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco.

• La simetría de rotación garantiza la independencia respecto de ϕ:

• El campo no puede tener componente ϕ: la circulación a lo largo de una circunferencia de z constante centrada en el eje z debe ser cero porque no fluye corriente a través de ella.

• Si el campo tuviera componente radial no se cumpliría que:

ϕ=ϕ= ϕ ˆˆ nIJJ S

r

0=⋅∇ Br

( ) ( )ρ= HrHrrr

( ) ( )zHrH zˆρ=

rr

I

Z

a


• Escogiendo contornos como , exterior al solenoide, rectangular y con dos lados paralelos al eje z:

• Análogamente, con contornos como el , interior

• Y con contornos como el , uno de los lados paralelos dentro del solenoide y el otro fuera:

Solenoide Indefinido (2)

I

a

CB

( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==ρ⇒ρ−ρ=⋅=>ρ∫ eazizez

AC

HHLHHldHrr

( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==ρ⇒ρ−ρ=⋅=<ρ∫ iazizez

BC

HHLHHldHrr

CC

CA

[ ] nIHHLHHldHnIL eiei

CC

=−⇒−=⋅= ∫rr

CA

CB

CC

L

ρρρρ iρρρρe




Solenoide Indefinido (3)

• Recordando que el campo creado por un solenoide en su centro cuando su longitud tiende a infinito es:

• Resulta que:

• Y por tanto:

• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, y este campo es constante, con componente axialy con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.

( ) znIzBlimctezh

c

ˆµ==∞→

r

0; == ei HnIH

( )

<

<≤=

ρρ

a

aznIrH

;0

0;ˆrr


• Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección constante que fluye sobre un plano indefinido.

• Supongamos que el plano es el z=0 y que la corriente lleva dirección +x.

– Como las fuentes no varían ni con xni con y, el campo tampoco lo hará.

– Los elementos de corriente orientados según x: el campo no puede tener componente x.

– dado un elemento de corriente y un punto de cálculo de campo, siempre existe el elemento simétrico que cancela la componente z

( ) ( )zHrHrrr

=

( ) ( ) ( )zzHyzHrH zyˆˆ +=

rr dIv

1dBv

2

dIv

2

dBv

1

dB dBv v

1 2++++

z

y

x

( ) ( )yzHrH yˆ=

rr

Hoja Indefinida de Corriente

J J xS ==== 0$

z

y

x

xJJ xˆ=

r




– La componente y es constante a ambos lados de la hoja y es discontinuo en ella:

» Calculando circulaciones a lo largo de contornos como los de la figura:

– Por simetría cabe suponer:

– Finalmente:

Hoja Indefinida de Corriente (2)

z

y

vJ xs / / $

L

CA

CB

CCL

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) 00

0

0

0

0

JHHLHHldHLJ

HHLzHzHldH

HHLzHzHldH

yyyyC

C

yz

yyB

C

yz

yyA

C

=−⇒−=⋅=

=⇒−=⋅=

=⇒−=⋅=

+−+−

−

<

+−

+

>

+−

∫

∫

∫

rr

rrr

rrr

( )

<

>−=

0;2ˆ

0;2ˆ

0

0

zJy

zJyrHrr

0=+ −+yy HH


• Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d.

• El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.

– Se escoge el eje Z coincidiendo con el eje del solenoide y el origen en el centro del solenoide.

– Si las espiras están muy próximas se pueden aproximar por una corriente superficial:

– Por la simetría de revolución el campo no dependerá de ϕϕϕϕ:

– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte:

Solenoide Toroidal

<<−=ρπ

−

<<−=ρπ

<ρ<−=ρπρ

−

<ρ<=ρπρ

=

22;ˆ2

22;ˆ2

2;ˆ2

2;ˆ2

hzhbzb

NI

hzhaza

NI

bahzNI

bahzNI

JS

r

( )zzHH ˆˆ +ρρ=rr

b

a

h




Solenoide Toroidal (2)

– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte, solo habrá flujo neto de corriente (NI)cuando estén dentro del solenoide:

– Respetando la simetría, el otro tipo de líneas de campo que puede haber serían las contenidas en planos ρρρρ=cte, pero deberían estar generadas por corrientes según ϕϕϕϕ, que no existen.

– El campo sólo tendrá componente según ϕϕϕϕ:

– El campo en el interior es como el creado por una línea de corriente.

• El campo queda confinado en el interior del solenoide.

rH

NIh z h a b

resto

=− < < < <

2

2 2

0

πρπρπρπρϕϕϕϕ ρρρρ$ ;

;

<ρ<<<−

πρ=ϕ

resto

bahzhNI

H

;0

22;2


Distribuciones de corriente axial con simetría de translación.

• Se trata de distribuciones de corriente con una dirección constante e invariantes según esta dirección.

– Por ejemplo, si la dirección de invarianza es :

• Las expresiones habituales,

pueden dar problemas ya que suponen que la distribución es finita y que se cumplen las correspondientes condiciones en el infinito.

• La solución es considerar elementos de corriente indefinidos en la dirección de la corriente y asociados a un dS:

– La corriente de estos elementos es:

– y el campo, utilizando su propio eje z.

– Ahora hay que utilizar un mismo eje z común.

( ) ( )zyxJrJ zˆ,=

rr

( ) ( )∫∫∫

′

′′−

′−×′

πµ

=V

Vdrr

rrrJB

34

rr

rrrrr

$z

dSJSdJdI z=⋅=rr

$z

S

dS

dIJ

J

zdSJBd ϕ

πρµ

= ˆ2

r




Distribuciones de corriente axial (2)con simetría de translación.

• Generalizando la expresión del campo:

– Utilizando un origen de coordenadas general:

• Sumando las contribuciones:

• Para distribuciones superficiales y lineales:

– Todos los vectores son de dos dimensiones:

Y

X

Z

YJ

XJ

ZJr

′r

rr

r r rr r rJ = − ′J

J

zJ

J

z rzr

dSJdSJBd

rr

r×

π

µ=ϕ

πρµ

= ˆ2

ˆ2

2

( )rrzrr

SdJBdrrr z

J′−×

′−π

′µ=⇒′−=

rrrr

rrrrˆ

22

( ) ( ) ( )∫∫ ′

′−

′−×′

πµ

=S

Sdrr

rrrJrB

22

rr

rrrrrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫ −

−×π

µ=′

′−

′−×′

πµ

=i i

ii

C

S

rr

rrzIrBld

rr

rrrJrB

22

ˆ

22rr

rrrr

rr

rrrrrr

ρρ=+= ˆˆˆ yyxxrr

Las integrales se

extienden a la

traza de la

distribución sobre

la sección

transversal.


Ejemplo: Tira de corriente.

• Calculando en todo el espacio:

– La densidad de corriente es:

( ) ( ) ( )∫ ′

′−

′−×′

πµ

=C

S ldrr

rrrJrB

22

rr

rrrrrr

( )( )

( ) ( ) ( )( )

′−+−=′−×′

′−+=′−

′−+=′−

⇒

′=′

+=

yxxxywIrrrJ

xxyrr

xxxyyrr

xxr

yyxxr

Sˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ 222

rrrr

rr

rr

r

r

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

−+++

+

+−

−=

=

′−+−

′−=

=′′−+

′−+−=

−

−∫

2

2ln2

ˆˆ

2arctg

2arctg

2

ln2

ˆˆarctg

2

ˆˆ

2

2

22

2

2

22

2

2 22

wxy

wxyyx

y

wx

y

wx

w

I

xxyy

xy

xx

w

I

xdxxy

yxxxy

w

IrB

w

w

w

w

πµ

πµ

πµrr w

X

Y

zw

IJS

ˆ=r

w

IX

Y

Z




Ejemplo: Tira de corriente. (2)

• Las funciones arcotangente son las encargadas de modelar la discontinuidad de la componente x correspondiente a la densidad de corriente.

( ) ( )( )

++−+

+

+−

−−=

2

2ln2

ˆˆ

2arctg

2arctg

2 2

22

wxy

wxyyx

y

wx

y

wx

w

IrB

πµrr


Ejemplo: Línea biplaca.

• Limitando el cálculo al plano de simetría:

– Trabajando con el conductor superior:

( ) ( ) ( )∫ ′

′−

′−×′

πµ

=C

S ldrr

rrrJrB

22

rr

rrrrrr

( )( )

( ) ( ) ( )( )

′+−−=′−×′

′+−=′−

′−−=′−

⇒

′+=′

=

yxxdywIrrrJ

xdyrr

xxydyrr

xxyd

r

yyr

Sˆˆ2

2

ˆˆ2

ˆˆ2

ˆ222

rrrr

rr

rr

r

r

( ) ( )( )

( )( ) xdy

w

w

Ixdy

yx

dy

x

w

I

xdxdy

yxxdy

w

IyyB

w

w

w

w

ˆ2

arctg2ln2

ˆˆ

2arctg

2

2

ˆˆ2

2ˆ

2

2

22

2

2 22

−πµ

−=

′+−+

−

′

πµ

−=

=′′+−

′+−πµ

−=

−

−∫r

Id

w

I

w

d/2

X

Y

zw

IJ S

ˆ=r

X

Y

Z




Ejemplo: Línea biplaca. (2)

• Superponiendo los campos de ambos conductores.

• En el origen:

• Para líneas muy anchas:

– w>>d

( ) xdy

w

dy

w

w

Ix

dy

w

w

Ix

dy

w

w

IyyB ˆ

2arctg

2arctgˆ

2arctgˆ

2arctgˆ

−

−+π

µ=

+πµ

+−π

µ−=

r

( )yBx

d=wd=w/5

2 0 25 10

7

0

5 107

1 106

y

w=2

( ) xd

w

w

IB ˆarctg

20

πµ

=r

( )

( ) 0ˆ22

2/

ˆˆ22

2/

=

π−

ππµ

±=

>∞→

µ=

π+

ππµ

=

<∞→

xw

IyB

dywlim

xw

Ix

w

IyB

dywlim

r

r


Ejemplo: Línea biplaca. (3)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

• Líneas de campo: w=2, d=0.4


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