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LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

INTRODUCCIÓN

Soy de esas personas que no tolera consumir bebidas ni alimentos muy calientes.

Desde una temprana edad, siempre me he cuestionado cuánto tardará en enfriarse mi

comida. Por obvias razones, cuando era un niño de 5 años no podía responder a mi

inquietud. Sin embargo, hoy en día con 15 años, gracias al tema de funciones (uno de

mis temas favoritos del área de matemáticas), puedo calcular en cuánto tiempo

aproximadamente mi taza de leche (por ejemplo) estará a una temperatura adecuada

para mi gusto. Se preguntarán en qué me baso para dicho propósito. La respuesta es en

la ley de enfriamiento de Newton.

Según Hewitt (2007), “Un objeto a temperatura diferente de la de sus alrededores

terminará alcanzando una temperatura igual a la de sus alrededores” (p. 316). Ante esta

afirmación, Isaac Newton (1643 – 1727) propuso una ley sobre el enfriamiento, la cual

“establece que la temperatura de un objeto calentado disminuye de manera exponencial

con el tiempo, hacia la temperatura del medio que lo rodea” (Sullivan, 2006, p. 469)

La función de la ley de Newton del enfriamiento tiene como fórmula:

T(t) = Tamb + (Ti – Tamb)e-kt, donde T(t) es la temperatura del objeto o cuerpo en función del tiempo, Tamb es la

temperatura del ambiente en la que se encuentra el objeto, Ti es la temperatura inicial

del cuerpo, t el tiempo y k una constante. Cabe mencionar que esta función también se

acomoda al calentamiento de un cuerpo (cuando está a una temperatura menor a la del

medio que lo rodea).

La presente exploración matemática tiene como objetivo comprobar que la ley de

enfriamiento de Newton se modela a una función exponencial con base e para verificar

su certeza y correcta aplicación. Para ello, se ha diseñado un método experimental que

permitió medir la variación de temperatura de un cuerpo sólido (arena) y uno líquido

(jugo de naranja) utilizando el censor de temperatura de un Spark, en un intervalo de

tiempo que fue medido con un cronómetro. Cabe resaltar que, se trabajó con tres estados

distintos por cuerpo: muy caliente (temperaturas muy altas), caliente (temperaturas

altas) y frío (temperaturas bajas). Esto se realizó con el fin de observar un decrecimiento

exponencial cuando se calientan los objetos y, para verificar si existe un crecimiento

exponencial cuando la temperatura inicial del cuerpo se encuentra por debajo de la

temperatura del ambiente en el que se encuentra.

DESARROLLO

Para empezar, es indispensable conocer las temperaturas ambientales en que se

llevaron a cabo las experiencias, al ser la Tamb un dato perteneciente a la fórmula de la

ley de enfriamiento de Newton. Éstas están expuestas en la siguiente tabla, teniendo en

cuenta que, cuando se realizaron las mediciones con el jugo de naranja, todas se

realizaron el mismo día; por ende, la temperatura ambiental fue la misma. Caso contrario

2

con las mediciones con el cuerpo sólido (arena), ya que, éstas se hicieron en tres días y

horas diferentes.

TEMPERATURAS AMBIENTALES DE LAS EXPERIENCIAS

Cuerpo Estado del cuerpo Temperatura Ambiental (°C)

Arena (sólido)

Muy caliente 27.5

Caliente 26.9

Fría 26.8

Jugo de naranja (líquido)

Muy caliente

28.4 Caliente

Frío

Los datos brutos de la temperatura respecto al tiempo obtenidos en la

experimentación fueron los que se exhiben en las doce tablas a continuación:

3

4

A partir de los datos se calcula cuáles serían las funciones que modelan la

variación de temperatura en los seis casos. Como en todo crecimiento y decrecimiento

exponencial hay una constante k, primero hallaremos ese valor para el sólido (arena).

Teniendo en cuenta la fórmula de la ley del enfriamiento de Newton, reemplazando los

datos de Tamb y Ti en ésta, obtenemos las siguientes tres funciones:

Arena muy caliente: 𝑇(𝑡) = 27.5 + (111.4 − 27.5)𝑒−𝑘𝑡 ⟹ 𝑇(𝑡) = 27.5 + 83.9𝑒−𝑘𝑡

Arena caliente: 𝑇(𝑡) = 26.9 + (83.8 − 26.9)𝑒−𝑘𝑡 ⟹ 𝑇(𝑡) = 26.9 + 56.9𝑒−𝑘𝑡

Arena fría: 𝑇(𝑡) = 26.8 + (1.8 − 26.8)𝑒−𝑘𝑡 ⟹ 𝑇(𝑡) = 26.8 − 25𝑒−𝑘𝑡

Para calcular el valor de k en cada uno de los tres casos, reemplazamos todos los

valores de sus respectivas tablas de datos experimentales por t (tiempo) y por T(t)

(temperatura) y hallamos un promedio por cada uno. Luego, promediamos los tres

valores y el resultado será la constante k para el sólido arena en las tres funciones. Con

el propósito de cumplir este objetivo, despejamos k en la fórmula de la ley de Newton

del enfriamiento para obtener una generalización.

𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎𝑚𝑏 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)𝑒−𝑘𝑡 ⟹ 𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏 = (𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)𝑒

−𝑘𝑡

⟹𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏

(𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)= 𝑒−𝑘𝑡 ⟹ 𝐥𝐧

𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏

(𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)= 𝐥𝐧 𝑒−𝑘𝑡 ⟹ ln

𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏

(𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)= −𝑘𝑡

∴ 𝑘 =ln𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎𝑚𝑏

(𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)

−𝑡

De esta manera se tiene:

𝑘 =ln(

𝑇(𝑡)−27.5

83.9)

−𝑡 𝑘 =

ln(𝑇(𝑡)−26.9

56.9)

−𝑡 𝑘 =

ln(26.8−𝑇(𝑡)

25)

−𝑡

Muy caliente Caliente Fría

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Reemplazando los valores mencionados en el anterior párrafo, tendremos los

siguientes valores de k:

Por lo tanto, el promedio de los tres valores de k para la arena será:

�̅� =0.140 + 0.122 + 0.108

3= 0.123̂ ≈ 0.123

A partir de ello, empezamos a determinar las funciones exponenciales según la

ley de enfriamiento de Newton. La primera (con la arena muy caliente) sería:

𝑻(𝒕) = 𝟐𝟕. 𝟓 + 𝟖𝟑. 𝟗𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟑𝒕

A continuación, se proseguirá a hacer una comparación entre los valores de las

temperaturas determinados experimentalmente y los hallados a partir de una tabulación

de datos de la función determinada por la ley de Newton del enfriamiento, acompañados

del cálculo de la diferencia absoluta y porcentual entre los datos.

TEMPERATURA DE LA ARENA MUY

CALIENTE (°C) I

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la función (ley de enfriamiento)

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 111.4 111.4 0.0 0.0

1 96 101.7 5.7 5.9

1.5 91.3 97.3 6.0 6.6

2 86.9 93.1 6.2 7.1

2.5 82.9 89.2 6.3 7.6

3 79.4 85.5 6.1 7.7

3.5 76.2 82.1 5.9 7.7

4 73.2 78.8 5.6 7.7

4.5 70.4 75.7 5.3 7.5

5 68 72.9 4.9 7.2

5.5 65.6 70.2 4.6 7.0

6 63.4 67.6 4.2 6.6

6

6.5 61.5 65.2 3.7 6.0

7 59.6 63.0 3.4 5.7

7.5 57.9 60.1 2.2 3.8

8 56.3 58.9 2.6 4.6

8.5 54.8 57.0 2.2 4.0

9 53.4 55.2 1.8 3.4

9.5 52.1 53.6 1.5 2.9

10 50.8 52.0 1.2 2.4

10.5 49.6 50.6 1.0 2.0

11 48.5 49.2 0.7 1.4

11.5 47.5 47.9 0.4 0.8

12 46.4 46.7 0.3 0.6

12.5 45.5 45.5 0.0 0.0

13 44.6 44.5 0.1 0.2

13.5 43.8 43.4 0.4 0.9

14 43.1 42.5 0.6 1.4

14.5 42.4 41.6 0.8 1.9

15 41.7 40.8 0.9 2.2

Promedio 2.8 4.1

Para comprobar si la diferencia entre los valores hallados en la experimentación

y los calculados a partir de la función exponencial determinada es significativa, se realizó

una prueba estadística llamada t-student o t-test.

Según Kazmier (2006) la distribución t es un colectivo de distribuciones normales

que tienen una distribución levemente diferente para cada uno de los distintos grados

de libertad, los cuales, señalan el número de valores “libres de variar” en la muestra que

sirve como base para el intervalo de confianza (p. 148). Si el valor del estadístico t es

menor que su respectivo valor crítico para tantos grados de libertad, la diferencia entre

los promedios no será significativa; pero, si es mayor, sí lo será.

El análisis de los datos llevado a cabo en una hoja de cálculo de Microsoft Office

Excel 2014 arrojó los siguientes resultados:

Datos Experimentales

Datos de la función

Media 62.14 64.77333333

Varianza 328.148 398.1282299

Observaciones 30 30

Grados de libertad 58

Estadístico t 0.535199315

P(T<=t) dos colas 0.594594009

Valor crítico de t (dos colas) 2.002465459

El valor del estadístico t es de 0.535, el cual, es menor que su valor crítico

correspondiente a 58 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, podemos afirmar que la

7

diferencia entre los valores hallados en la experimentación y los calculados a partir de la

función exponencial determinada NO ES SIGNIFICATIVA. Sin embargo, para

comprobar que los datos experimentales se pueden modelar a una función exponencial

con base e, realizamos el diagrama de dispersión y hallamos el coeficiente de correlación

(R2) exponencial para dicha regresión. A continuación, se exhibirá la gráfica que muestra

la nube de puntos y su línea de mejor ajuste exponencial con su respectiva ecuación y su

R2 correspondiente.

El coeficiente de correlación es alto y fuerte, por lo que sí se pueden modelar estos

datos a una función exponencial con base e. La cuestión es: ¿los valores que se obtienen

a partir de la ecuación de esta línea de tendencia exponencial serán más cercanos a los

datos experimentales que con los resultados que arroja la ley de enfriamiento de

Newton? Para ello compararemos los valores calculados a partir de estas dos primeras

funciones hallando la diferencia absoluta y porcentual que separan a sus datos, tal como

se hizo anteriormente.

TEMPERATURA DE LA ARENA MUY CALIENTE (°C) II

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la ecuación de la línea de tendencia

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 111.4 95.6 15.8 14.2

1 96 89.9 6.1 6.4

1.5 91.3 87.2 4.1 4.5

2 86.9 84.6 2.3 2.6

2.5 82.9 82.1 0.8 1.0

3 79.4 79.6 0.2 0.3

3.5 76.2 77.2 1.0 1.3

4 73.2 74.9 1.7 2.3

4.5 70.4 72.6 2.2 3.1

5 68 70.5 2.5 3.7

5.5 65.6 68.3 2.7 4.1

6 63.4 66.3 2.9 4.6

y = 95.582e-0.061x

R² = 0.9687

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (min)

Relación Tiempo - Temperatura (Datos experimentales)

8

6.5 61.5 64.3 2.8 4.6

7 59.6 62.4 2.8 4.7

7.5 57.9 60.5 2.6 4.5

8 56.3 58.7 2.4 4.3

8.5 54.8 56.9 2.1 3.8

9 53.4 55.2 1.8 3.4

9.5 52.1 53.5 1.4 2.7

10 50.8 51.9 1.1 2.2

10.5 49.6 50.4 0.8 1.6

11 48.5 48.9 0.4 0.8

11.5 47.5 47.4 0.1 0.2

12 46.4 46.0 0.4 0.9

12.5 45.5 44.6 0.9 2.0

13 44.6 43.2 1.4 3.1

13.5 43.8 42.0 1.8 4.1

14 43.1 40.7 2.4 5.6

14.5 42.4 39.5 2.9 6.8

15 41.7 38.3 3.4 8.2

Promedio 2.5 3.7

Los promedios de las diferencias absoluta y porcentual de esta última tabla (2.5

y 3.7%) son menores que los que les precedían (2.8 y 4.1%). Por lo tanto, la ecuación de

la línea de tendencia de la gráfica arroja valores más cercanos a los experimentales que

la función de la ley de Newton del enfriamiento.

Ahora, realizaremos el mismo procedimiento con las dos funciones restantes.

Empezaremos por la arena caliente. Su función viene a ser:

𝑻(𝒕) = 𝟐𝟔. 𝟗 + 𝟓𝟔. 𝟗𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟑𝒕

La tabla comparativa respectiva entre los datos experimentales y los de la función

de la ley de enfriamiento de Newton, que incluye las diferencias absoluta y porcentual,

es la siguiente:

TEMPERATURA DE LA ARENA

CALIENTE (°C) I

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la función (ley de enfriamiento)

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 83.8 83.8 0.0 0.0

0.5 81 80.4 0.6 0.7

1 77.1 77.2 0.1 0.1

1.5 73.4 74.2 0.8 1.1

2 70.1 71.4 1.3 1.9

2.5 67.2 68.7 1.5 2.2

3 64.6 66.2 1.6 2.5

3.5 62.3 63.9 1.6 2.6

4 60.2 61.7 1.5 2.5

9

4.5 58.3 59.6 1.3 2.2

5 56.6 57.7 1.1 1.9

5.5 54.9 55.8 0.9 1.6

6 53.4 54.1 0.7 1.3

6.5 52 52.5 0.5 1.0

7 50.7 51.0 0.3 0.6

7.5 49.5 49.5 0.0 0.0

8 48.4 48.2 0.2 0.4

8.5 47.3 46.9 0.4 0.8

9 46.3 45.7 0.6 1.3

9.5 45.4 44.6 0.8 1.8

10 44.5 43.5 1.0 2.2

10.5 43.7 42.5 1.2 2.7

11 42.9 41.6 1.3 3.0

11.5 42.2 40.7 1.5 3.6

12 41.5 39.9 1.6 3.9

12.5 40.9 39.1 1.8 4.4

13 40.3 38.4 1.9 4.7

13.5 39.7 37.7 2.0 5.0

14 39.2 37.1 2.1 5.4

14.5 38.7 36.5 2.2 5.7

15 38.2 35.9 2.3 6.0

Promedio 1.1 2.4

Los resultados del t-test entre los valores comparados son:

Datos

Experimentales Datos de la

función

Media 53.36451613 53.09964666

Varianza 177.3430323 202.574369

Observaciones 31 31

Grados de libertad 60

Estadístico t 0.075660316

P(T<=t) dos colas 0.939941062

Valor crítico de t (dos colas) 2.000297822

El valor del estadístico t es de 0.076, el cual, es menor que su valor crítico

correspondiente a 60 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, la diferencia entre los

valores hallados en la experimentación y los calculados a partir de la función

exponencial determinada, nuevamente, ES INSIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó

la siguiente nube de puntos de los valores experimentales con su línea de mejor ajuste

exponencial y su respectiva ecuación, además de hallar su coeficiente correlación (R2).

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El coeficiente de correlación es alto y fuerte; aunque, menor que el del primer

caso. Pese a ello, de todas maneras sí se pueden modelar estos datos a una función

exponencial con base e. Las diferencias absoluta y porcentual entre los valores de esta

ecuación y los experimentales se encuentran en la siguiente tabla:

TEMPERATURA DE LA ARENA CALIENTE (°C) II

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la ecuación de la línea de tendencia

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 83.8 76.0 7.8 9.3

0.5 81 74.1 6.9 8.5

1 77.1 72.3 4.8 6.2

1.5 73.4 70.4 3 4.1

2 70.1 68.7 1.4 2.0

2.5 67.2 66.9 0.3 0.4

3 64.6 65.3 0.7 1.1

3.5 62.3 63.6 1.3 2.1

4 60.2 62.0 1.8 3.0

4.5 58.3 60.5 2.2 3.8

5 56.6 58.9 2.3 4.1

5.5 54.9 57.4 2.5 4.6

6 53.4 56.0 2.6 4.9

6.5 52 54.6 2.6 5.0

7 50.7 53.2 2.5 4.9

7.5 49.5 51.9 2.4 4.8

8 48.4 50.6 2.2 4.5

8.5 47.3 49.3 2.0 4.2

9 46.3 48.1 1.8 3.9

9.5 45.4 46.8 1.4 3.1

10 44.5 45.7 1.2 2.7

10.5 43.7 44.5 0.8 1.8

11 42.9 43.4 0.5 1.2

y = 76.045e-0.051x

R² = 0.9632

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (min)

Relación Tiempo - Temperatura (Datos experimentales)

11

11.5 42.2 42.3 0.1 0.2

12 41.5 41.2 0.3 0.7

12.5 40.9 40.2 0.7 1.7

13 40.3 39.2 1.1 2.7

13.5 39.7 38.2 1.5 3.8

14 39.2 37.2 2 5.1

14.5 38.7 36.3 2.4 6.2

15 38.2 35.4 2.8 7.3

Promedio 2.1 3.8

En esta oportunidad, estos últimos promedios de las diferencias (2.1 y 3.8%)

resultan ser mayores que los mismos entre los datos experimentales y los que se obtienen

a partir de la función que propuso Newton (1.1 y 2.4%). Por ello, en este caso sería más

conveniente usar la ley del matemático-físico inglés para modelar el enfriamiento.

Ahora, es turno de realizar el mismo procedimiento con los datos de la arena fría.

La función de la ley de enfriamiento de Newton es:

𝑻(𝒕) = 𝟐𝟔. 𝟖 − 𝟐𝟓𝒆−𝟎.𝟏𝟐𝟑𝒕

La tabla comparativa entre los datos experimentales y los de esta última función,

que incluye las diferencias absoluta y porcentual entre los datos, es la siguiente:

TEMPERATURA DE LA ARENA FRÍA

(°C) I

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la función (ley de enfriamiento)

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 1.8 1.8 0.0 0.0

0.5 2.3 3.3 1.0 43.5

1 3.5 4.7 1.2 34.3

1.5 4.6 6.0 1.4 30.4

2 6 7.3 1.3 21.7

2.5 7.3 8.4 1.1 15.1

3 8.6 9.5 0.9 10.5

3.5 9.7 10.5 0.8 8.2

4 10.7 11.5 0.8 7.5

4.5 11.7 12.4 0.7 6.0

5 12.6 13.3 0.7 5.6

5.5 13.5 14.1 0.6 4.4

6 14.3 14.8 0.5 3.5

6.5 15 15.6 0.6 4.0

7 15.7 16.2 0.5 3.2

7.5 16.3 16.9 0.6 3.7

8 16.9 17.5 0.6 3.6

8.5 17.5 18.0 0.5 2.9

9 18 18.5 0.5 2.8

9.5 18.5 19.0 0.5 2.7

12

10 19 19.5 0.5 2.6

10.5 19.4 19.9 0.5 2.6

11 19.8 20.3 0.5 2.5

11.5 20.2 20.7 0.5 2.5

12 20.6 21.1 0.5 2.4

12.5 20.9 21.4 0.5 2.4

13 21.2 21.7 0.5 2.4

13.5 21.5 22.0 0.5 2.3

14 21.8 22.3 0.5 2.3

14.5 22.1 22.6 0.5 2.3

15 22.3 22.8 0.5 2.2

Promedio 0.7 7.7

Los resultados del t-test entre los valores comparados son:

Datos

Experimentales Datos de la

función

Media 14.62258065 15.28873169

Varianza 41.14247312 39.10569236

Observaciones 31 31

Grados de libertad 60

Estadístico t 0.414034

P(T<=t) dos colas 0.680325576

Valor crítico de t (dos colas) 2.000297822

El estadístico t es de 0.414, el cual, es menor que su valor crítico correspondiente

a 60 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, la diferencia entre los valores hallados en la

experimentación y los calculados a partir de la función propuesta por Isaac Newton NO

ES SIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó la siguiente nube de puntos de los valores

experimentales con su línea de mejor ajuste logarítmica, su respectiva ecuación y R2;

porque, la función logarítmica es la inversa de la exponencial.

y = 6.97ln(x) + 2.5357R² = 0.9573

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (min)

Relación Tiempo - Temperatura (Datos Experimentales)

13

El coeficiente de correlación es alto y fuerte, por lo que sí se pueden modelar estos

datos a una función logarítmica natural; a pesar de que, su R2 sea menor que en los dos

anteriores casos. En la tabla a continuación, se presentarán las diferencias absoluta y

porcentual entre los valores de esta ecuación de mejor ajuste y los experimentales:

TEMPERATURA DE LA ARENA FRÍA (°C) II

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la ecuación de la línea de tendencia

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 1.8 ∄ ∄ ∄

0.5 2.3 -2.3 4.6 200.0

1 3.5 2.5 1.0 28.6

1.5 4.6 5.4 0.8 17.4

2 6 7.4 1.4 23.3

2.5 7.3 8.9 1.6 21.9

3 8.6 10.2 1.6 18.6

3.5 9.7 11.3 1.6 16.5

4 10.7 12.2 1.5 14.0

4.5 11.7 13.0 1.3 11.1

5 12.6 13.8 1.2 9.5

5.5 13.5 14.4 0.9 6.7

6 14.3 15.0 0.7 4.9

6.5 15 15.6 0.6 4.0

7 15.7 16.1 0.4 2.5

7.5 16.3 16.6 0.3 1.8

8 16.9 17.0 0.1 0.6

8.5 17.5 17.5 0.0 0.0

9 18 17.9 0.1 0.6

9.5 18.5 18.2 0.3 1.6

10 19 18.6 0.4 2.1

10.5 19.4 18.9 0.5 2.6

11 19.8 19.2 0.6 3.0

11.5 20.2 19.6 0.6 3.0

12 20.6 19.9 0.7 3.4

12.5 20.9 20.1 0.8 3.8

13 21.2 20.4 0.8 3.8

13.5 21.5 20.7 0.8 3.7

14 21.8 20.9 0.9 4.1

14.5 22.1 21.2 0.9 4.1

15 22.3 21.4 0.9 4.0

Promedio 0.9 14.0

En este caso, los promedios de las diferencias absoluta y porcentual (0.9 y 14.0%)

resultan ser mayores que los mismos entre los datos experimentales y los que se obtienen

a partir de la ley de Newton del enfriamiento (0.7 y 7.7%). Por ello, para la arena fría,

sería más conveniente emplear lo establecido por Newton para modelar, ahora, un

crecimiento exponencial.

14

Culminado el análisis de los datos con el sólido (arena), proseguimos a realizar

un procedimiento semejante con el líquido (jugo de naranja). Teniendo en cuenta la

fórmula de la ley de Newton del enfriamiento, reemplazando los datos de las

temperaturas ambiental e inicial en ésta, obtenemos las siguientes tres funciones:

Jugo muy caliente: 𝑇(𝑡) = 28.4 + (76.8 − 28.4)𝑒−𝑘𝑡 → 𝑇(𝑡) = 28.4 + 48.4𝑒−𝑘𝑡

Jugo caliente: 𝑇(𝑡) = 28.4 + (47.3 − 28.4)𝑒−𝑘𝑡 → 𝑇(𝑡) = 28.4 + 18.9𝑒−𝑘𝑡

Jugo frío: 𝑇(𝑡) = 28.4 + (9.6 − 28.4)𝑒−𝑘𝑡 → 𝑇(𝑡) = 28.4 − 18.8𝑒−𝑘𝑡

Despejando k en cada una de las tres ecuaciones obtenemos:

𝑘 =ln(

𝑇(𝑡)−28.4

48.4)

−𝑡 𝑘 =

ln(𝑇(𝑡)−28.4

18.9)

−𝑡 𝑘 =

ln(28.4−𝑇(𝑡)

18.8)

−𝑡

Muy caliente Caliente Fría

Reemplazando los datos brutos de t (tiempo) y T(t) (temperatura) en las

ecuaciones anteriores, tendremos los siguientes valores de k:

Por lo tanto, el promedio de los tres valores de k para la arena será:

�̅� =0.067 + 0.058 + 0.043

3= 0.056

A partir de ello, empezamos a determinar las funciones exponenciales según la

ley de enfriamiento de Newton. La primera (con el jugo muy caliente) sería:

𝑻(𝒕) = 𝟐𝟖. 𝟒 + 𝟒𝟖. 𝟒𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟔𝒕

La tabla que contiene la diferencia porcentual y la diferencia absoluta entre los

datos experimentales y los de la función de la ley de enfriamiento de Newton con el jugo

de naranja muy caliente es la siguiente:

15

TEMPERATURA DEL JUGO MUY

CALIENTE (°C) I

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la función (ley de enfriamiento)

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 76.8 76.8 0.0 0.0

0.5 73.9 75.5 1.6 2.2

1 71.7 74.2 2.5 3.5

1.5 69.9 72.9 3.0 4.3

2 68.4 71.7 3.3 4.8

2.5 67.1 70.5 3.4 5.1

3 66 69.3 3.3 5.0

3.5 65 68.2 3.2 4.9

4 64.1 67.1 3.0 4.7

4.5 63.2 66.0 2.8 4.4

5 62.5 65.0 2.5 4.0

5.5 61.7 64.0 2.3 3.7

6 61 63.0 2.0 3.3

6.5 60.4 62.0 1.6 2.6

7 59.7 61.1 1.4 2.3

7.5 59.2 60.2 1.0 1.7

8 58.6 59.3 0.7 1.2

8.5 58 58.5 0.5 0.9

9 57.5 57.6 0.1 0.2

9.5 57 56.8 0.2 0.4

10 56.6 56.0 0.6 1.1

10.5 56.1 55.3 0.8 1.4

11 55.7 54.5 1.2 2.2

11.5 55.2 53.8 1.4 2.5

12 54.8 53.1 1.7 3.1

12.5 54.4 52.4 2.0 3.7

13 54 51.8 2.2 4.1

13.5 53.6 51.1 2.5 4.7

14 53.2 50.5 2.7 5.1

14.5 52.8 49.9 2.9 5.5

15 52.4 49.3 3.1 5.9

Promedio 1.9 3.2

Los resultados del t-student entre los valores comparados son:

Datos

Experimentales Datos de la

función

Media 60.66129032 61.20775887

Varianza 43.25178495 68.89295866

Observaciones 31 31

Grados de libertad 60

Estadístico t 0.287313848

P(T<=t) dos colas 0.774913975

16

Valor crítico de t (dos colas) 2.000297822

El valor del estadístico t es de 0.287, el cual, es menor que su valor crítico

correspondiente a 60 grados de libertad (2.00). Entonces, la diferencia entre los valores

hallados en la experimentación y los calculados a partir de la función de decrecimiento

exponencial de Newton determinada ES INSIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó la

siguiente nube de puntos de los valores experimentales con su línea de mejor ajuste

exponencial y su ecuación correspondiente con su coeficiente de correlación:

El R2 es alto y fuerte, por lo que sí se pueden modelar estos datos a una función

exponencial con base e. En la siguiente tabla, se muestran las diferencias absoluta y

porcentual entre los valores de esta ecuación de mejor ajuste y los experimentales:

TEMPERATURA DEL JUGO MUY CALIENTE (°C) II

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la ecuación de la línea de tendencia

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 76.8 71.5 5.3 6.9

0.5 73.9 70.6 3.3 4.5

1 71.7 69.8 1.9 2.6

1.5 69.9 69.0 0.9 1.3

2 68.4 68.2 0.2 0.3

2.5 67.1 67.5 0.4 0.6

3 66 66.7 0.7 1.1

3.5 65 65.9 0.9 1.4

4 64.1 65.2 1.1 1.7

4.5 63.2 64.4 1.2 1.9

5 62.5 63.7 1.2 1.9

5.5 61.7 63.0 1.3 2.1

6 61 62.2 1.2 2.0

6.5 60.4 61.5 1.1 1.8

7 59.7 60.8 1.1 1.8

y = 71.454e-0.023x

R² = 0.9533

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (min)

Relación Tiempo - Temperatura (Datos Experimentales)

17

7.5 59.2 60.1 0.9 1.5

8 58.6 59.4 0.8 1.4

8.5 58 58.8 0.8 1.4

9 57.5 58.1 0.6 1.0

9.5 57 57.4 0.4 0.7

10 56.6 56.8 0.2 0.4

10.5 56.1 56.1 0.0 0.0

11 55.7 55.5 0.2 0.4

11.5 55.2 54.8 0.4 0.7

12 54.8 54.2 0.6 1.1

12.5 54.4 53.6 0.8 1.5

13 54 53.0 1.0 1.9

13.5 53.6 52.4 1.2 2.2

14 53.2 51.8 1.4 2.6

14.5 52.8 51.2 1.6 3.0

15 52.4 50.6 1.8 3.4

Promedio 1.1 1.8

En este caso, los promedios de las diferencias absoluta y porcentual (1.1 y 1.8%)

son menores que sus semejantes entre los datos experimentales y los que se obtienen a

partir de la ley de Newton del enfriamiento (1.9 y 3.2%). A causa de ello, la ecuación de

la línea de tendencia exponencial de la gráfica arroja valores más cercanos a los

experimentales que la función determinada a partir de la ley de Newton.

Ahora, realizaremos el mismo procedimiento con las dos funciones restantes.

Empezaremos por el jugo caliente. Su función viene a ser:

𝑻(𝒕) = 𝟐𝟖. 𝟒 + 𝟏𝟖. 𝟗𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟔𝒕

La tabla comparativa respectiva entre los datos experimentales y los de la función

de la ley de enfriamiento de Newton anterior, junto a las diferencias absoluta y

porcentual, es la siguiente:

TEMPERATURA DEL JUGO

CALIENTE (°C) I

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la función (ley de enfriamiento)

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 47.3 47.3 0.0 0.0

0.5 46.3 46.8 0.5 1.1

1 45.5 46.3 0.8 1.8

1.5 44.9 45.8 0.9 2.0

2 44.5 45.3 0.8 1.8

2.5 44 44.8 0.8 1.8

3 43.7 44.4 0.7 1.6

3.5 43.3 43.9 0.6 1.4

4 43 43.5 0.5 1.2

4.5 42.7 43.1 0.4 0.9

18

5 42.4 42.7 0.3 0.7

5.5 42.1 42.3 0.2 0.5

6 41.8 41.9 0.1 0.2

6.5 41.7 41.5 0.2 0.5

7 41.5 41.2 0.3 0.7

7.5 41.3 40.8 0.5 1.2

8 41.1 40.5 0.6 1.5

8.5 40.8 40.1 0.7 1.7

9 40.7 39.8 0.9 2.2

9.5 40.5 39.5 1.0 2.5

10 40.3 39.2 1.1 2.7

10.5 40.1 38.9 1.2 3.0

11 40 38.6 1.4 3.5

11.5 39.8 38.3 1.5 3.8

12 39.6 38.1 1.5 3.8

12.5 39.5 37.8 1.7 4.3

13 39.4 37.5 1.9 4.8

13.5 39.2 37.3 1.9 4.8

14 39.1 37.0 2.1 5.4

14.5 38.9 36.8 2.1 5.4

Promedio 0.9 2.2

Los resultados del t-test entre los valores comparados son:

Datos Experimentales Datos de la función

Media 41.8333333 41.3663598

Varianza 5.16988506 10.0964249

Observaciones 30 30

Grados de libertad 58

Estadístico t 0.65461488

P(T<=t) dos colas 0.51554665

Valor crítico de t (dos colas) 2.00246546

El valor del estadístico t es de 0.655, el cual, es menor que su valor crítico

correspondiente a 58 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, podemos afirmar que la

diferencia entre los valores hallados en la experimentación con el jugo caliente y los

calculados a partir de la función exponencial que propuso Isaac Newton, NO ES

SIGNIFICATIVA. Sin embargo, se realizó la siguiente nube de puntos de los valores

experimentales con su línea de mejor ajuste exponencial, su correspondiente ecuación y

el coeficiente de correlación respectivo de la línea de tendencia:

19

El coeficiente de correlación es fuerte y alto, por lo que sí se pueden modelar estos

datos a una función exponencial con base e; aunque, el R2 del caso previo (jugo muy

caliente) era ligeramente mayor. En la tabla siguiente, se exhiben las diferencias absoluta

y porcentual entre los valores de esta ecuación de mejor ajuste y los experimentales:

TEMPERATURA DEL JUGO CALIENTE (°C) II

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la ecuación de la línea de tendencia

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 47.3 45.5 1.8 3.8

0.5 46.3 45.2 1.1 2.4

1 45.5 45.0 0.5 1.1

1.5 44.9 44.7 0.2 0.4

2 44.5 44.4 0.1 0.2

2.5 44 44.2 0.2 0.5

3 43.7 43.9 0.2 0.5

3.5 43.3 43.6 0.3 0.7

4 43 43.4 0.4 0.9

4.5 42.7 43.1 0.4 0.9

5 42.4 42.9 0.5 1.2

5.5 42.1 42.6 0.5 1.2

6 41.8 42.4 0.6 1.4

6.5 41.7 42.1 0.4 1.0

7 41.5 41.9 0.4 1.0

7.5 41.3 41.6 0.3 0.7

8 41.1 41.4 0.3 0.7

8.5 40.8 41.1 0.3 0.7

9 40.7 40.9 0.2 0.5

9.5 40.5 40.6 0.1 0.2

10 40.3 40.4 0.1 0.2

10.5 40.1 40.1 0.0 0.0

11 40 39.9 0.1 0.3

y = 45.519e-0.012x

R² = 0.9505

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (min)

Relación Tiempo - Temperatura (Datos Experimentales)

20

11.5 39.8 39.7 0.1 0.3

12 39.6 39.4 0.2 0.5

12.5 39.5 39.2 0.3 0.8

13 39.4 38.9 0.5 1.3

13.5 39.2 38.7 0.5 1.3

14 39.1 38.5 0.6 1.5

14.5 38.9 38.2 0.7 1.8

Promedio 0.4 0.9

Estos últimos promedios de las diferencias absoluta y porcentual (0.4 y 0.9%)

resultan ser menores que sus similares entre los datos experimentales y los que se

obtienen a partir de la función de la ley de enfriamiento Newton (0.9 y 2.2%). A raíz de

ello, se puede afirmar que con la ecuación de mejor ajuste exponencial de la gráfica se

obtienen valores más cercanos a los experimentales que con la función determinada a

partir de lo propuesto por el físico-matemático inglés.

Ahora, es turno de realizar el mismo procedimiento con los datos del jugo frío.

La función de la ley de Newton del enfriamiento es:

𝑻(𝒕) = 𝟐𝟖. 𝟒 − 𝟏𝟖. 𝟖𝒆−𝟎.𝟎𝟓𝟔𝒕

La tabla comparativa entre los datos experimentales y los que arroja la función

determinada previamente con la ley de Newton, que incluye las diferencias absolutas y

porcentuales entre estos valores, está dada a continuación:

TEMPERATURA DEL JUGO DE

NARANJA FRÍO (°C) I

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la función (ley de enfriamiento)

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 9.6 9.6 0.0 0.0

0.5 10.1 10.1 0.0 0.0

1 10.6 10.6 0.0 0.0

1.5 11 11.1 0.1 0.9

2 11.4 11.6 0.2 1.8

2.5 11.7 12.1 0.4 3.4

3 12 12.5 0.5 4.2

3.5 12.4 12.9 0.5 4.0

4 12.7 13.4 0.7 5.5

4.5 13.1 13.8 0.7 5.3

5 13.3 14.2 0.9 6.8

5.5 13.7 14.6 0.9 6.6

6 13.9 15.0 1.1 7.9

6.5 14 15.3 1.3 9.3

7 14.3 15.7 1.4 9.8

7.5 14.6 16.0 1.4 9.6

8 14.9 16.4 1.5 10.1

8.5 15.2 16.7 1.5 9.9

21

9 15.5 17.0 1.5 9.7

9.5 15.7 17.4 1.7 10.8

10 15.9 17.7 1.8 11.3

10.5 16.2 18.0 1.8 11.1

11 16.4 18.2 1.8 11.0

11.5 16.6 18.5 1.9 11.4

12 16.7 18.8 2.1 12.6

12.5 16.9 19.1 2.2 13.0

13 17.1 19.3 2.2 12.9

13.5 17.3 19.6 2.3 13.3

14 17.6 19.8 2.2 12.5

14.5 17.8 20.1 2.3 12.9

15 17.9 20.3 2.4 13.4

Promedio 1.3 8.1

Los resultados de la prueba t entre los valores comparados son:

Datos

Experimentales Datos de la

función

Media 14.3903226 15.6564904

Varianza 5.99090323 10.3944092

Observaciones 31 31

Grados de libertad 60

Estadístico t 1.74158525

P(T<=t) dos colas 0.08707201

Valor crítico de t (dos colas) 2.00029782

El valor del estadístico t es de 1.742, el cual, es menor que su valor crítico

correspondiente a 60 grados de libertad de 2.00. Por lo tanto, la diferencia entre los

valores experimentales y los hallados a partir de la función exponencial que propuso

Newton ES INSIGNIFICATIVA. No obstante, se realizó el siguiente diagrama de

dispersión con los valores experimentales en el que se incluyen la línea de mejor ajuste

logarítmico con su respectiva ecuación y su coeficiente de correlación correspondiente;

debido a que, la función logarítmica es la inversa de la exponencial.

y = 2.6024ln(x) + 9.8774R² = 0.9105

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tem

per

atu

ra (

°C)

Tiempo (min)

Relación Tiempo - Temperatura (Datos Experimentales)

22

El coeficiente de correlación es alto, por lo que sí se pueden modelar estos datos

a una función logarítmica neperiana. Pese a ello, es menester señalar que los dos R2 del

cuerpo liquido (jugo de naranja) que antecedían a este último son mayores (más fuertes).

En la tabla a continuación, se muestran las diferencias absoluta y porcentual entre los

datos que se obtienen empleando esta última ecuación de mejor ajuste exponencial y los

experimentales:

TEMPERATURA DEL JUGO DE NARANJA FRÍO(°C) II

Tiempo (min)

Datos experimentales

Datos de la ecuación de la línea de tendencia

Diferencia absoluta

Diferencia porcentual (%)

0 9.6 ∄ ∄ ∄

0.5 10.1 8.1 2.0 19.8

1 10.6 9.9 0.7 6.6

1.5 11 10.9 0.1 0.9

2 11.4 11.7 0.3 2.6

2.5 11.7 12.3 0.6 5.1

3 12 12.7 0.7 5.8

3.5 12.4 13.1 0.7 5.6

4 12.7 13.5 0.8 6.3

4.5 13.1 13.8 0.7 5.3

5 13.3 14.1 0.8 6.0

5.5 13.7 14.3 0.6 4.4

6 13.9 14.5 0.6 4.3

6.5 14 14.7 0.7 5.0

7 14.3 14.9 0.6 4.2

7.5 14.6 15.1 0.5 3.4

8 14.9 15.3 0.4 2.7

8.5 15.2 15.4 0.2 1.3

9 15.5 15.6 0.1 0.6

9.5 15.7 15.7 0.0 0.0

10 15.9 15.9 0.0 0.0

10.5 16.2 16.0 0.2 1.2

11 16.4 16.1 0.3 1.8

11.5 16.6 16.2 0.4 2.4

12 16.7 16.3 0.4 2.4

12.5 16.9 16.5 0.4 2.4

13 17.1 16.6 0.5 2.9

13.5 17.3 16.7 0.6 3.5

14 17.6 16.7 0.9 5.1

14.5 17.8 16.8 1.0 5.6

15 17.9 16.9 1.0 5.6

Promedio 0.6 4.1

Estos promedios de las diferencias absoluta y porcentual (0.6 y 4.1%) resultan ser

menores que sus semejantes entre los datos experimentales y los que se obtienen usando

la función exponencial del matemático-físico inglés (1.3 y 8.1%). Por lo tanto, se puede

23

afirmar que, empleando la ecuación de mejor ajuste de la gráfica, se obtienen valores

más cercanos a los experimentales que con la función determinada a partir de lo

propuesto por Newton.

CONCLUSIONES

Tras terminar el análisis completo de los datos, podemos afirmar que se cumplió

con el objetivo general de la exploración mencionado en la introducción. Esto se debe a

la inferencia de las siguientes conclusiones:

En primer lugar, la diferencia entre los valores obtenidos experimentalmente y

mediante la función de la ley de Newton del enfriamiento NO ES SIGNIFICATIVA. La

justificación de esta afirmación se basa en la prueba estadística realizada entre ambas

muestras: t-student al 95% de confianza. El estadístico t obtenido en los 6 casos es menor

que su valor crítico para 58 y 60 grados de libertad (que es de aproximadamente 2.0).

Asimismo, la probabilidad encontrada [P(T<=t) dos colas] en todos los casos es mayor a

0.05; lo que reafirma que la diferencia es insignifcativa.

En segundo lugar, el enfriamiento de los cuerpos sí se puede modelar con una

función exponencial de base e. Es cierto que los valores obtenidos experimentalmente y

mediante la función de la ley de enfriamiento de Newton no son iguales. Sin embargo,

los valores experimentales, al ubicarlos en un diagrama de dispersión y calcular el

coeficiente de correlación exponencial correspondiente (R2), éstos son altos (mayores a

0.9). Además, al determinar la ecuación que se ajusta a esa nubes de punto, ésta emplea

el número e como base. Lo que es cierto es que, en el caso de esperar que un cuerpo frío

se caliente, la función modelada es una logarítmica, una función especial que guarda

relación con la exponencial al ser su función inversa (f-1).

En tercer lugar, la correcta aplicación de la ley de enfriamiento de Newton se basa

en el pronóstico de la variación de la temperatura de un cuerpo en un intervalo de

tiempo, cuando no se tiene al alcance una herramienta que permita calcular una línea de

tendencia exponencial con su respectiva ecuación. Esto se afirma por lo mencionado en

la primera conclusión y la comparación de las medias de las diferencias absolutas y

porcentuales entre: los valores experimentales versus los valores obtenidos a partir de lo

propuesto por Newton, y, los valores experimentales versus los valores obtenidos

usando la ecuación de la línea de tendencia exponencial. Sólo en 2 casos de 6, las

diferencias señalaban que los valores obtenidos empleando la función de la ley de

enfriamiento de Newton se acercaban más a los experimentales. Por ende, es altamente

aconsejable usar utilitarios tecnológicos como hojas de cálculo o softwares que permitan

modelar funciones en reemplazo de la ecuación de Newton.

En cuanto al proceso que se siguió, éste ha sido riguroso a la metodología

científica. Luego de observar que existe una función propuesta por Newton,

cuestionarme si el enfriamiento se modela a un decrecimiento exponencial con base e y,

dar una respuesta tentativa a dicha interrogante (hipótesis); se prosiguió con la parte

experimental que tuvo la limitación de que en 2 casos (arena muy caliente y jugo de

naranja caliente), en el registro de datos brutos, se midió una temperatura menos (29 en

24

vez de 30). Esto hizo que se pierda la uniformidad en la medición de datos. De haber

tenido los treinta en ambos casos, hubiera aumentado la exactitud al momento de hallar

el valor de la constante k de la función exponencial de Newton. Obviando ello, se

continuó con un análisis de datos basado en el objetivo de la investigación (exploración):

pruebas estadísticas t con un nivel de confianza del 95% para demostrar que la diferencia

entre los valores experimentales y los encontrados mediante la función de la ley de

Newton del enfriamiento no es significativa; diagramas de dispersión de los datos brutos

con sus respectivas líneas de mejor ajuste exponencial o tendencia, sus respectivos

coeficientes de correlación (R2) y sus ecuaciones correspondientes para asegurar que el

enfriamiento se puede modelar como una función exponencial con base e; y, cálculos de

diferencias absolutas y porcentuales entre los valores experimentales con los

determinados mediante la ley de enfriamiento y mediante la ecuación de mejor ajuste

para comprobar qué modelación es más precisa respecto a los datos hallados a partir de

la experimentación y, de esta forma, concluir cuál sería la correcta aplicación de la ley

propuesta por el matemático-físico inglés.

En mi opinión, la trascendencia de esta exploración radica en que no sólo se

puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton en la vida cotidiana, tal como lo describí

en la primera página del trabajo; sino también, en los campos de ingeniería metalúrgica

y siderúrgica y de química (ámbito que involucra mi futuro profesional). En el primer

caso, se podría aproximar el tiempo de enfriamiento de metales fundidos o calentados;

y, en el segundo, se pueden estimar los tiempos de reacción hasta lograr el equilibrio

gracias al enfriamiento de la misma. Es más, en estos casos, al contar con instrumentos

más avanzados y sofisticados y un ambiente de trabajo en que influirán menos factores

externos (luz solar, viento, distracción del ojo humano al tomar los datos, entre otros)

para la determinación de la constante k (por ejemplo), las predicciones del tiempo que

tardará un cuerpo en enfriarse serán más exactas.

Para finalizar, la presente exploración matemática me ha permitido incrementar

sustancialmente mi admiración por el matemático, físico y filósofo Sr. Isaac Newton;

debido a que, me parece increíble que en siglos anteriores, sin contar con los avances

tecnológicos que tenemos hoy en día, haya propuesto una ley que se puede aplicar sin

ningún problema para predecir el tiempo que tarda el enfriamiento o calentamiento de

un cuerpo.

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REFERENCIAS:

Hewitt, P. (2007). Física conceptual (10ª ed.). México, D. F.: Pearson Educación

Kazmier, L. J. (2006). Estadística aplicada a administración y economía (4ª ed.). México, D.F.:

McGraw Hill

Ley de Enfriamiento de Newton (2014). Recuperado de http://ciencia-basica-

experimental.net/newton.htm#

PRÁCTICA 8: Ley de Enfriamiento de las sustancias (s.f.) [versión Adobe Reader]

Recuperado de http://www.fisica.uson.mx/manuales/fis-gen/fisgen-

lab08.pdf

Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría (7ª ed.). México D. F.: Pearson Educación