Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855) Es muy útil para calcular campos eléctricos de...
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Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855)Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de carga altamente simétricas.
Flujo:A
A
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A
dx
Densidad de partículas =
PasaronAdxpartículasen un tiempo dt
Por unidad de tiempo pasaron Av partículas, donde v es la velocidad de las partículas. Esto es lo que se llama el flujo: = vA.
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dx dx
Densidad de partículas =
cos ’=
v
A’ = v A’ = v A cos = v A
Flujo de materia.
es un vector perpendicular al área y su módulo esigual al área.
Campo de velocidades v.
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Flujo para un campo vectorial arbitrario.
Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector representando un elemento de área en ese punto se define el elementode flujo por:
d = F da. daF
AF
da
da
F
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E
da
q
Eda
Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido a una carga eléctrica q colocada en el centro:
= ∫ E da. = ∫q
r2r rda.
r
ke = 4keq
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r
R
Angulo sólido
dAR
dAr
d= dAR
R2=
dAr
r2
dr =
q
keqr2
dAr
dR =keq
R2
dAR = q
R2
R2
r2dAr = dr ke
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q
dAR = dA’cos
dA’
dAR
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dA’= ke q
R2
r dA’. =ke q
R2
dA’ cos k eq
R2= dAR = dR
El flujo a través de cualquier superficie que contenga a lacarga q0 es el mismo.
E da.= ∫ =
q1
q2
; E = E0 + E1 + E2
q0
4keq0 + 4keq1 + 4keq2
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= 4 ∫ ( r ) dV distribución continua de cargas
= 4 ∑i=1
Nqi distribución discreta de N cargas.
∫ ( r ) dVE da.∫ =
E da.∫ ∑i=1
Nqi=
Ley de Gauss
ke
ke
4 ke
4 ke
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x
y
z
dx
dEy
E
Ey= ∫-
∞
∞
cos R2
R
d
dx
RdRd = dx cos
= ∫d
r
R
r = R cos
= -
∫r
cos d
= 2ke r
keke ke
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r
r
E da.∫L
= 4ke L
=> Er L 2r == 4keL
=>2ke Er = r
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Plano de carga no conductor
++ +++
+
+
++
++
+
++
+ ++
+
++
+
++
+
+
+
++
+
++
+
EE
A
= 2EA = o
+ +
+
E = 2o
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Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente:
E1= 0
y
E = ^E2 = 0
j
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Conductor
A
E+
+
+
+
+ +
+
+
+
++
+ +
+ ++
Cargas en la superficie.Campo es nulo en el interior.Campo perpendicular a la superficie.Campo es mayor donde la curvatura es mayor.
= EA =Ao
E = o
Justo fuera del conductor:
muy pequeño
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Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados:
P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio Rcon densidad de carga uniforme . Encuentre el campo eléctrico a a una distancia r < R del eje.
r
RE =
r
2o
r
L
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∫ E da = ∫ E r da r = E 2 r L ^^ = o
ley de Gauss
r2 L
Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso de la simetría del problema.
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Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera de radio R.
R
343RQ
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i) Rr r
3
33
33
34
43
34
Rr
QrRQ
rQ Rr
Aplicando ley de Gauss:
rR
QE
RQr
rE
30
30
32
4
4
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ii) Rr r
0
24
QEr
20
14 rQ
E
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R
E
r
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Cascarón esférico delgado de radio R
20
14 rQ
E
afuera0Eadentro
R
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P53, P55
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3Q
a
b
c
-Q
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i) cr
0
2 24
QrE
20
12 rQ
E
ii) brc
0E Interior del conductor
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iii) arb
rrQk
rr
QE
QrE e ˆ
3ˆ
1433
4 2200
2
iv) ar
raQk
raQ
E
aQr
rE
e 33
0
30
32
34
3
34
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a b c r
E
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a
b
c
conductordescargado
no conductor cargadohomogéneamente
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i) Campo en r < a
32
3
414 r
qrEadE
oo
r
luego:
rr
Eo
ˆ3
ii) Campo en a < r < b
32 3
4con ˆ
4aQr
r
QE
o
iii) Campo en b < r < c
0E
interior del conductor
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iv) Campo en r > c
32 3
4con ˆ
4aQr
r
QE
o
v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor
conductor; delinterior superficie laen carga la es donde
00
s
o
s
q
qQadadE
luego:
24 :entoncesy
b
QQqs
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vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor.
Puesto que el conductor está descargado la carga totalsobre esta superficie es
Qqq sc luego:
24 c
Qc
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P60
a
2a
r
r1
Ex = 0
aEy =
3o
a
Campo en lacavidad esférica
x
y
No hay campo gravitacional.
Esfera no conductoracon una cavidad ycargada uniformemente.
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rrRR
krRQ
krE ee
03
3
3 334
)(
La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas y de densidad Queda entonces una esfera completa de radioR= 2a con densidad de carga y una esfera de radio a condensidad de carga –
el campo de la esfera de radio R es:
y el de la esfera de radio a es:
10
13
3
13 334
)( rraa
kra
QkrE e
aea
En el punto ;r
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Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo dentro de la cavidad:
103
rrET
pero ,1 arr
luego,
aarrET
00 33
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Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.
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Problema 3
Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad de carga como se muestra en la figura
y
xa2aa
Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.
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Problema 7
Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidadparalela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Ademásse encuentra cargado uniformemente con densidad de carga
x
y
R2 R
Encuentre el campo en la cavidad yen el punto xRr ˆ
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Solución.
Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 yotro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de cargauniforme y el segundo una densidad de carga uniforme –.
R
Ro
RR r
rE ˆ
2
En la cavidad:
rr
Eo
R ˆ22
r
Rr
xRrrR ˆ
xR
EEEo
RR ˆ22
En xRr
xR
Eo
R ˆ4
xR
Eo
R ˆ22
xR
EEEo
RR ˆ22
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P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de carga positiva uniforme .
x
y
Campo en este punto está enla dirección x.
vista de canto
Aplicamos Gauss al cilindro A
x
EA = x
o
E = x o
i
x