UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICE-RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA

Participante:

Soto Reny

C.I: 22.186.095

Sección: SAIA A

Cátedra: Estructura Discreta

Prof. Méndez Domingo

Barquisimeto, noviembre del 2016

Leyes de la Álgebra

La algebra es una generalización de la aritmética. En ella, se

utilizan símbolos para representar números. La generalización es una

manera de maneja expresiones que contienen cantidades desconocidas o

incógnitas, es un rasgo característico del algebra. Los símbolos son

números y se combinan por medio de operaciones básicas de la

aritmética. Su uso puede facilitar la transparencia. Ahora bien, las leyes

de algebra se define como las equivalencias lógicas que nos permiten

reducir representaciones complejas y expresarlos en forma más sencilla.

Por otra parte, son llamadas leyes lógicas, y representan formas

proposicionales en la que si se sustituyen sus variables por los

enunciados correspondiente el resultado será una proposición

lógicamente verdadera.

Es de suma importancia la comprensión de las leyes básicas ya

que son parte fundamental de una buena comprensión de cómo utilizar el

álgebra. Frecuentemente se cometen el error de simplemente aprender

cómo resolver problemas algebraicos sin ningún pensamiento acerca de

cómo las reglas algebraicas y las leyes se derivan. Los números

obedecen a varias leyes fundamentales que, pese a la familiaridad de sus

resultados, ponen de manifiesto aspectos básicos de las operaciones

algebraicas más comunes.

Ley 1: A U B * B U A. La demostración de que ambos miembros de

luna ecuación conducen a resultados idénticos es una técnica frecuente

empleada en todas las ramas de la matemática. Esta ley es conocida

como Ley Conmutativa establece que el orden en que se suman dos

números no influye en el resultado de la suma.

Ejemplo:

B

A

A

B

Ley 2: (A U B) * C = A * (B U C). Ambos miembros, pues, son

iguales. Esta ley se conoce como Ley Asociativa establece que el modo

de agrupar los números que suman no influye en el resultado. Como la ley

conmutativa, la asociativa son válidas tanto para la adición como para la

multiplicación. Análogamente, la ley asociativa no se cumple en la

sustracción y la división. Aso en lo general

A – (B - C) ≠ (A – B) – C

A / (B / C) ≠ (A / B) / C

Por ejemplo, sean A = 7, B = 6, C = 8. El miembro de la izquierda

es (7 + 6) + 8 = 21. El miembro de la derecha es igual 7 + (6 + 8) = 21.

Como en el caso de la multiplicación, pues, el miembro de la izquierda es

igual al de la derecha.

Ley 3: A U (B U C) = (A U B) U (A U C). Esta ley puede

demostrarse por medio del área de un rectángulo. Es conocida como Ley

Distributiva, esta establece que cuando se multiplican un numero por la

suma de otros dos, el resultado es igual a la suma de dos términos: el

producto del primero por el segundo y el producto del primero por el

tercero. En esta ley se basa la supresión de paréntesis.

Ejemplo:

A

B C

El área total del rectángulo se puede obtener multiplicando a por la

suma de b y c o sumando el producto de a y b con el producto de a y c. la

suma de cuadrados es la misma en ambos casos.

Mientras que basa un solo contraejemplo para refutar un

enunciado, la comprobación de la verdad de un enunciado mediante

ejemplos no constituye una prueba de él. Dado que las leyes 1 a 3 sobre

operaciones numéricas valen para todos los enteros positivos y negativos,

estas leyes no pueden demostrarse enumerando todos los posibles

ejemplos, ya que hay un número infinito de ellos.

Existen otras leyes como lo son ley de identidad enunciado que

afirma la igualdad entre dos expresiones matemáticas para todos los

valores de sus variaciones. Es similar a una ecuación, pero con la

salvedad de utilizar el símbolo ≡ en vez de = es decir, P U F ° P, P U F °

F, P U V ° V Y P U V ° P. las identidades suelen escribirse con el símbolo

= a menos que haya alguna especial para destacar su carácter.

Ley idempotentes

P U P ° P.

Ley complementación

p u ~ p ° v (tercio excluido)

p u ~ p ° f (contradicción)

~~ p ° p (doble negación)

~ v ° f ~ f ° v

Ley De Morgan

~ {p u q} ° ~ p u ~ q

~ {p u q } ° ~ p u ~ q

Equivalencia Notables

a. p® q º ~ p ú q (ley del condicional)

b. p« q º (p® q) ù (q® p) (ley del bicondicional)

c. p ú q º ( p ù ~ q ) ú ( q ù ~ p ) (ley de disyunción exclusiva)

d. p® q º ~ q® ~ p (ley del contrarrecíproco)

e. p ù q º ~ ( ~ p ú ~ q )

f. ( (p ú q ) ® r ) º ( p ® r ) ù (q ® r ) (ley de demostración por casos)

g. (p® q) º (p ù ~ q ® f) (ley de reducción al absurdo)

Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros pueden

ser probadas. Para esto, sólo se tiene que verificar que el bicondicional

correspondiente es una tautología. Para muestra, vamos a probar dos de

estas leyes, dejando el resto como ejercicio para el lector.

Un ejemplo utilizando todas estas leyes es el siguiente:

(P ^ r) -> q ≡ (q -> ¬r) -> (p -> ¬r)

(q ->¬r) -> (p->¬r)

≡ ¬ (¬q ⱽ ¬r) (¬p ¬r) Ley del condicionalⱽ ⱽ≡ (¬(¬q) ^ ¬(¬r)) (¬p ¬r) Ley de Morganⱽ ⱽ≡ (q ^ r) (¬p ¬r) Doble Negaciónⱽ ⱽ≡ (q (¬p ¬r)) ^ (r (¬p ¬r)) Ley Distributivaⱽ ⱽ ⱽ≡ (q (¬p ¬r)) ^ ((r ¬r) ¬p) Ley Asociativa yⱽ ⱽ ⱽ ⱽ

Conmutativa

≡ (q (¬p ¬r)) ^ (ᶷ v ¬p) Ley de tercio excluidoⱽ ⱽ

≡ (q (¬p ¬r)) ^ ⱽ ⱽ ᶷ Ley de Identidad

≡ q (¬p ¬r) Ley de Idemⱽ ⱽ≡ ¬p ¬r q Ley Conmutativaⱽ ⱽ≡¬ (p ^ r) q Ley de Morganⱽ≡ p ^ r -> q