LEYES DE KIRCHHOFF

I. OBJETIVO:

Comprobar en forma experimental la primera y segunda ley de Kirchhoff.

II. FUNDAMENTO TEORICO:

Leyes De Kirchhoff

Las leyes (o Lemas) de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de la corriente y el potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.

Estas leyes nos permiten resolver los circuitos utilizando el conjunto de ecuaciones al que ellos responden.

Las leyes de Kirchhoff son una consecuencia directa de las leyes básicas del Electromagnetismo (Leyes de Maxwell) para circuitos de baja frecuencia. Aunque no tienen validez universal, forman la base de la Teoría de Circuitos y de gran parte de la Electrónica.

Antes de empezar debemos tener en cuanta los siguientes conceptos:

Rama.- También se la conoce como brazo de la red y está formada por un número determinado de elementos en serie. Una rama es el conjunto de elementos conectados entre dos nudos.

Nudo: Constituye cualquiera de los puntos de unión en una red, aquellos en los que convergen dos o más ramas. Un nudo es cualquier punto del circuito donde se conectan tres terminales o más de diferentes componentes.

Malla: Se llama malla en un circuito a cualquier camino cerrado. Una malla es un circuito que se puede recorrer sin pasar dos veces por el mismo punto.

Se dice que un circuito esta resuelto cuando se han determinado el voltaje y la corriente a través de cada elemento. La Ley de Ohm (La cual ya ha sido vista anteriormente) es una ecuación importante para determinar la solución. Sin embargo, dicha ley puede no ser suficiente para proporcionar una solución completa. Como veremos al tratar de resolver el circuito de abajo (Figura 1.1) es necesario utilizar las leyes de Kirchhoff para resolver este circuito, así como la mayoría de circuitos.

Figura 1.1 (Modelo de circuito de la linterna con variables de voltaje y corrientes asignadas.)

Como se puede observar se han marcado las variables de las corrientes y de los voltajes asociados con cada resistor y la corriente asociada con la fuente de voltaje (El marcado incluye las polaridades de referencia). Los puntos indicadores de terminales son los puntos de principio y fin de un elemento de circuito individual. Un nodo es un punto en donde se encuentran dos o más elementos de circuito. Como se verá a continuación, es necesario identificar nodos para usar la ley de la corriente de Kirchhoff. En la figura 1.1 los nodos son a, b, c y d. El nodo d conecta a la batería con el foco y en esencia se extiende por toda la parte superior del diagrama, aunque usamos un solo punto por comodidad. Los puntos en cada lado del interruptor indican sus terminales, pero sólo es necesario uno para representar un nodo, así que sólo se indica uno como nodo c.

Para el circuito que se representa en la figura 1.1 podemos identificar siete incógnitas: Is, I1, Ic, il, V1, Vc y Vl. Se recuerda que Vs es un voltaje conocido, porque representa la suma de los voltajes entre los terminales de las dos celdas secas, un voltaje constante de 3V. El problema es encontrar las siete variables desconocidas. Por el álgebra, se sabe que para encontrar n cantidades desconocidas debe de resolver n ecuaciones simultáneas independientes. De la ley de Ohm, se sabe que tres de las ecuaciones necesarias son:

V1 = I1 x R1 (Ecuación 1.2) Vc = Ic x Rc (Ecuación 1.3) Vl = il x Rl (Ecuación 1.4)

La interconexión de elementos de circuito impone algunas restricciones en relación entre voltajes y corrientes. Estas restricciones son conocidas como leyes de Kirchhoff, en honor a Gustav kirchhoff, quien fue el primero en establecerlas en

un artículo publicado en 1948. Las 2 leyes que establecen las restricciones en forma matemática son conocidas como la ley de Kirchhoff de la corriente y la ley de Kirchhoff del voltaje. Ahora podemos enunciar la ley de Kirchhoff de la corriente:

1. PRIMERA LEY KIRCHHOFF : La suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo de un circuito es igual a 0.

Para usar la ley de Kirchhoff de la corriente, debe asignarse a cada corriente en el nodo un signo algebraico según una dirección de referencia. Si se otorga un signo positivo a una corriente que sale del nodo, debe asignarse uno negativo a una corriente que entra al nodo. Por el contrario, si se determina un signo negativo a una corriente que entra al nodo. Aplicando la ley de Kirchhoff de la corriente a los cuatro nodos en el circuito de la figura 1.1, y usando la conversión de que las corrientes que salen del nodo son consideradas positivas, se obtienen cuatro ecuaciones:

• Nodo A Is – I1 = 0 (Ecuación 1.5) • Nodo B I1 + Ic = 0 (Ecuación 1.6) • Nodo C - Ic – il = 0 (Ecuación 1.7) • Nodo D il – Is = 0 (Ecuación 1.8)

Observe que las ecuaciones 1.5 – 1.6 – 1.7 – 1.8 no forman un sistema independiente por que cualquiera de las cuatro puede obtenerse de las otras tres. En cualquier circuito con n nodos, pueden derivarse n – 1 ecuaciones de corriente independientes de la ley para corriente de Kirchhoff. Si no consideramos la ecuación 1.8 tenemos 6 ecuaciones independientes, es decir, las ecuaciones desde la 1.2 hasta la 1.7. Aún es necesaria una más, que podemos obtener de la ley del voltaje de Kirchhoff. Antes de enunciar la ley de Kirchhoff del voltaje, debemos definir lo que es una trayectoria cerrada o lazo. Comenzando en un nodo seleccionado arbitrariamente, trazamos una trayectoria cerrada en un circuito a través de elementos básicos seleccionados del circuito y regresamos al nodo original sin pasar por ningún nodo intermedio más de una vez. El circuito de la figura 1.1 tiene una trayectoria cerrada o lazo. Por ejemplo, tomando al nodo a como el punto de partida, y recorriendo el circuito en el sentido de las manecillas del reloj, formamos la trayectoria cerrada pasando por los nodos d, c, b, y regreso al nodo a.

∑i=1

n

I i=I 1+ I2+ I 3+…………+ I n=0

Ahora podemos enunciar la ley del voltaje de Kirchhoff:

2. SEGUNDA LEY KIRCHHOFF : La suma algebraica de todos los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es igual a 0.

Para emplear la ley del voltaje de Kirchhoff, debemos asignar un signo algebraico (una dirección de referencia) a cada voltaje en el lazo. Mientras recorremos la trayectoria cerrada, un voltaje aparecerá ya sea como una elevación o como una caída en la dirección de recorrido. Si se asignan valores positivos a las elevaciones de voltaje, deben de asignarse valores negativos a las caídas de voltaje. Por el contrario, si se determinan valores negativos a las elevaciones de voltaje, se deberán otorgar valores positivos a las caídas de voltaje.

Ahora aplicamos la ley del voltaje de Kirchhoff al circuito mostrado en la figura 1.1. Elegimos trazar la trayectoria cerrada en el sentido de las manecillas del reloj, asignando un signo algebraico positivo a las caídas de voltaje. Si se empieza en el nodo d, se obtiene la siguiente expresión:

Vl – Vc + V1 – Vs = 0

Que representa la séptima ecuación independiente necesaria para determinar las siete variables desconocidas del circuito mencionadas antes. Por lo tanto con estas siete ecuaciones tenemos la formulación necesaria para resolver las dudas sobre las diferentes variables. Este resumen sirve para enunciar las leyes de Kirchhoff las cuales mas adelante y gracias a las técnicas analíticas, podremos resolver circuitos de una manera mas rápida y sencilla.

Por ultimo veremos un pequeño resumen de los pasos que debemos seguir para conseguir un análisis de un circuito.

Primero, observe que si conoce la corriente en una resistencia, también conoce el voltaje a través de ella, debido a que la corriente y el voltaje están directamente relacionados por la ley de Ohm. Así, puede asociar sólo una variable desconocida con cada resistor, ya sea el voltaje o la corriente. Seleccione, digamos, la corriente como variable desconocida. Entonces, una vez que resuelva la corriente desconocida en el resistor, puede encontrar el voltaje a través del resistor. En general si se conoce la corriente en un elemento pasivo, puede encontrar el voltaje a través de él, reduciendo de una manera importante el número de ecuaciones simultáneas a resolver. Por ejemplo, en el circuito de la figura 1.1, eliminamos los voltajes Vc, Vl y V1 como incógnitas. Así, al final la tarea analítica se reduce a resolver cuatro ecuaciones simultáneas en lugar de siete.

La segunda observación general se relaciona con las consecuencias de conectar sólo dos elementos para formar un nodo. De acuerdo a la ley de Hirchhoff de la corriente, cuando se conectan sólo dos elementos a un nodo, si conoce la corriente en uno de los elementos, también la conocemos en el

segundo elemento. En otras palabras, se necesita definir sólo una corriente desconocida para los dos elementos. Cuando únicamente dos elementos se conectan a un solo nodo, se dice que los elementos están en serie. La importancia de esta segunda observación es obvia cuando usted nota que cada nodo en el circuito mostrado en la figura 1.1 involucra sólo dos elementos. Por lo que nada más que se necesita definir una corriente desconocida. La razón es que las ecuaciones 1.5 – 1.6 y 1.7 conducen directamente a

Is = I1 = - Ic = il

Lo que establece que si se conoce la corriente de algunos de los elementos, las conoce todas. Por ejemplo, si decidimos usar Is como la incógnita se eliminan I1, Ic y il. El problema se reduce en determinar una incógnita, es decir Is.

Ejemplo Sume los voltajes alrededor de cada trayectoria designada en el circuito que se indica en la figura 1.2.

Figura 1.2 (El nodo d va por todo el circuito)

Solución: Al escribir las ecuaciones empleamos un signo positivo para las caídas de voltaje. Las cuatro ecuaciones son:

• Trayectoria a - V1 + V2 + V4 – Vb – V3 = 0 • Trayectoria b - Va + V3 + V5 = 0 • Trayectoria c Vb – V4 – Vc – V6 – V5 = 0 • Trayectoria d - Va – V1 + V2 – Vc + V7 – Vd = 0

RESISTORES O RESISTENCIAS

Las resistencias pueden ser para uso electrónico o industrial. Resistencias en Electrónica Se aplican en circuitos para obtener diferentes voltajes y corrientes,

polarizar transistores y circuitos integrados, las de uso más común son de 10

hasta 1 M aunque se consiguen de valores menores y mayores.

Las dos primeras bandas indican las dos primeras cifras del valor del resistor, la tercera banda indica cuantos ceros hay que aumentarle al valor anterior para obtener el valor final del resistor.

La cuarta banda nos indica la tolerancia y si hay quinta banda, ésta nos indica su confiabilidad

Código De Colores

Su usan normalmente 4 bandas de color, las tres primeras indican el valor nominal en ohmio y la ultima es una tolerancia indicada como porcentaje del valor nominal. Los colores usados y su equivalente son:

Se leen las dos primeras franjas como dígitos, la tercera es el número de ceros que se agregan o la potencia de 10 por la que hay que multiplicar los dígitos, el valor se lee en ohmio. Un caso especial es cuando aparece color oro en la tercera franja el factor multiplicador es 0.01 y cuando es color plata el factor multiplicador es 0.1.

Los fabricantes de resistencias solo producen resistencias con ciertos valores nominales, que dependen de la tolerancia usada, esos valores se les llama la serie de números preferidos, a continuación aparece una tabla que indica esos números para tolerancia de 5%.

En el mercado solo se consiguen resistencias con esos valores y sus múltiplos en potencias de diez, por ejemplo en la tabla aparece el número 27 significa que en el mercado hay resistencias de 0.27 , 2.7 , 27 ,Ω Ω Ω 270 , 2.7 K , 27 K Ω Ω Ω, 270 K , 2.7 M . Para otras tolerancias seΩ Ω obtienen como Standard EIA Decade Values.

III. MATERIALES Y EQUIPOS:

Una fuente de 12 V.

Resistencias.

Multímetro.

Un panel de montaje.

Cables conectores.

Código de colores.

IV. PROCEDIMIENTO

Armar el circuito según la figura de la siguiente gráfica:

Con el voltímetro calibrar la fuente a 12V. Mediante el uso del código de colores encontrar los valores de cada una de las

resistencias, comprobarlas mediante el uso del voltímetro.

Mediante el uso del amperímetro medir las corrientes en cada resistencia, teniendo en cuenta que para medir dicha corriente eléctrica el amperímetro se debe conectar en serie.

Mediante el uso del voltímetro medir las caídas de tensiones en cada una de las resistencias, teniendo presente que para medir dichos voltajes se debe conectar en paralelo el voltímetro en cada una de las resistencias.

V. RESULTADOS

Tabla Nº 01: Valores De Resistencias.

Resistencia

R(Ω)Código de

coloresMultímetr

oR1R2R3R4R5

TABLA 02: Valores De Corrientes Eléctricas.

Nº R(Ω) I(mA)12345

Total

TABLA 03: Valores De Voltajes

Nº R(Ω) Voltaje(v)12345

Total

VI. CUESTIONARIO:

1. ¿Con Los Valores Obtenidos En La Segunda Tabla Comprobar La Primera Ley De Kirchhoff?

∑i=1

n

I i=I 1+ I2+ I 3+…………+ I n=0

Entonces para:

Nodo A: I=I 1+ I 2

I=?? ?mA

I 1+ I 2=? ??=?? m A

Nodo B: I 2=I 3+ I 4

I 2=??? mA

I 3+ I 4=?? ?=??? m A

2. ¿Con Los Valores Obtenidos En La Tercera Tabla Comprobar La Segunda Ley De Kirchhoff?

La segunda ley nos dice que la suma algebraica de las elevaciones y caídas de potencial a lo largo de una malla completa de cualquier circuito siempre es cero.

V=R1 x I 1 V=R2 x I 2+R3 x I 3 V 3=R4 x I 4+R5 x I 5

Resolviendo:

V=V 1=??? Voltios

R2 x I 2=??? ??? ?=???? Voltios R3 x I 3=?? ???? ???=? ??Voltios R4 x I 4=¿??? ?=???Voltios R5 x I 5=¿??? ??=??? ?Voltios

Se obtiene:

V 1=? ??Voltios V 2=? ??Voltios V 3=? ??? Voltios V 4=??? ?Voltios V 5=¿?? ?Voltios

3. Con Los Resultados Obtenidos Encontrar Los Posibles Errores Cometidos.

Un posible error cometido fue trabajar con muy pocos decimales, esto hace parecer que los resultados encontrados estén lejos del resultado esperado, es decir encontramos errores demasiado altos.

Si al momento de tomar los apuntes de los datos encontrados hubiésemos puesto una escala más pequeña en el multímetro, los datos hubiesen sido más precisos, es decir los errores hubiesen sido mínimos.

4. ¿Los Resultados Obtenidos Mediante El Uso Del Multímetro, Coinciden Con Los Obtenidos Mediante Las Leyes De Kirchhoff? Explique.

No todos los datos calculados mediante las leyes de Kirchhoff coinciden con respecto a los datos experimentales obtenidos por los multímetros, ya que influyen varios factores, pero sus valores se encuentran muy cercanos del valor real, esto se debe a que al momento de tomar los datos, hay pequeñas fluctuaciones en el multímetro por consiguiente se debe tomar un valor medio, y esto hace variar el resultado.

5. ¿De Acuerdo Al Circuito Del Experimento Realizado Al Sumar Las Caídas De Tensiones De Las 5 Resistencias No Es Igual Al Voltaje De La Fuente? Explíquelo.

Las sumas no dan exactamente el resultado esperado, pues estamos trabajando con el voltímetro que solo nos proporciona pocos decimales; además al momento de realizar el experimento, se consume energía, esta energía consumida se transforma en energía calorífica.

VII. CONCLUSIÓNES:

Demostramos experimentalmente que las caídas de tensiones en serie de cada resistencia van a ser iguales al voltaje de entrada, lo cual no ocurre cuando es en paralelo que se demuestra que los voltajes son iguales en cada resistencia.

Los datos resultaron casi exactos porque se utilizó correctamente el multitester al medir: intensidad de corriente y resistencia eléctrica.

Pudimos comprobar la primera y la segunda ley de kirchhoff con un margen de error muy pequeño por lo cual podemos decir que el experimento fue un éxito.

VIII. RECOMENDACIONES:

Antes de empezar con el experimento, debemos de tratar de verificar que los instrumentos que usaremos para el experimento estén en buenas condiciones.

El encargado de realizar las mediciones, debe estar concentrado en el trabajo a realizar, caso contrario, esto conllevaría a hacer un pésimo trabajo.

Debemos cerciorarnos antes de empezar con el experimento de laboratorio, verificar si el circuito eléctrico está bien diseñado antes de encender la fuente.

También es importante que aprendamos a trabajar en el marco de los instrumentos que tengamos disponibles. Los instrumentos nunca serán ideales, y es virtud del experimentador aprender a identificar las fuentes de errores, evaluarlas y si es posible eliminarlas o hacer las correcciones que se necesiten.

Todo lo anterior va a ser fundamental para nuestro futuro desempeño en los distintos laboratorios que vamos a encontrar en nuestra carrera. No sólo es importante medir bien, lo mejor que podamos con los aparatos que disponemos, sino que es primordial que estemos conscientes de las limitaciones de su medida, de cuán precisas son y de cuán exactas son.

En la vida real nadie nos dirá cuál debe ser el resultado, nuestro criterio y capacidades bien formadas nos permitirán tomar decisiones para resolver las situaciones que se nos presenten.

Debemos buscar la manera como interpretar los distintos fenómenos que visualicemos con respecto al desarrollo del informe

IX. REFERENCIA:

Koller A, Leyes de Kirchhoff

http://www.pdf-search-engine.com/ejemplos-de-la-ley-de-kirchhoff-pdf.html

http://copernico.escuelaing.edu.co/ceciba/dep_cnaturales/upload/file/Laboratorios/FISE/Leyes%20de%20Kirchhoff.pdf