Ing. Greiza Lucena

PROBABILIDADES

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTALUNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL“LISANDRO ALVARADO” “LISANDRO ALVARADO”

DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍASDECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍASDEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICADEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICA

CATEDRA ESTADÍSTICA ICATEDRA ESTADÍSTICA IBARQUISIMETOBARQUISIMETO

TEORÍA DE PROBABILIDADLa teoría de la probabilidad es un modelamiento matemático del

fenómeno del azar o aleatoriedad. Entre los conceptos básicos se tienen:

Experimento:Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos.

Ejemplos:Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o Sello;

Seleccionar una parte para inspeccionar la Defectuosa o no defectuosa; Lanzar un dado1, 2, 3, 4, 5, 6; Jugar un partido de fútbol Ganar, perder, empatar

Experimentos aleatorios:Son aquellos experimentos en los cuales los resultados no son

esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idénticas. Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

- Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.- Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.- Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.- Se genera una función que indica el comportamiento de la variable en el

experimento.

TEORÍA DE PROBABILIDAD Espacio muestral:

Es aquel conjunto que contiene a todos los resultados de un experimento aleatorio. Se denota por la letra S, E o la letra griega Ω. De acuerdo a la cantidad de elementos que posee el espacio muestral, se puede clasificar en: finito o infinito: Finito o Infinito: Numerable (discreto) y No Numerable (continuo).

Punto muestral:Es cada uno de los elementos del espacio muestral (S).

Suceso o evento: Es cualquier subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral.

Ejemplo: Si se lanza una moneda al aire 2 veces, el hecho de que sólo resulte cara es un suceso del espacio muestral.

TEORÍA DE PROBABILIDADTipos de sucesos:

Suceso cierto o seguro: es aquel que siempre ocurre.Suceso imposible: es aquel que no puede ocurrir.Sucesos mutuamente excluyentes: son aquellos que no

pueden ocurrir simultáneamente, por lo que no tienen elementos comunes.

Ejemplo: lanzar una moneda al aire, el obtener cara o sello es un suceso mutuamente excluyente.

Sucesos independientes: son aquellos donde la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

TEORÍA DE PROBABILIDAD Sucesos complementarios: dos sucesos son

complementarios si la no aparición de uno de ellos obliga a que ocurra el otro.

Ejemplo: Si A es el suceso de sacar un número par con un dado, el complemento es sacar un número impar. Sucesos colectivamente exhaustivos: los

eventos A1, A2, ..., An son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos da el espacio muestral.

Evento elemental o simple: es un evento formado por un solo punto del espacio muestral.

Eventos solapados: se dice que dos eventos A y B son solapados si tienen uno o varios puntos en común.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Unión: se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B, al conjunto C formado por los elementos que pertenezcan a A o a B.

Notación simbólica: AυB = {x | x є A o x є B}

Intersección: se llama intersección de dos conjuntos A y B, al conjunto C formado por los elementos comunes a A y a B.

Notación simbólica: A∩B = {x | x e A y x e B}

Diferencia: se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en este orden, al conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

Notación simbólica: A - B = {x | x e A y x э B}

TEORÍA DE CONJUNTOS Complemento de un conjunto: el complemento de

un conjunto A, se denota por AC o A’ y es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal pero que no pertenecen a A.Nota: se supone que todos los conjuntos bajo investigación en cualquier aplicación de una teoría de conjuntos están contenidos en algún conjunto grande fijo denominado conjunto universal.

Notación simbólica: Ac = {x | x e U y x э A}

NOTA: Un evento no es otra cosa que un CONJUNTO. Por lo tanto, los conceptos de teoría de conjuntos se emplearán construir nuevos eventos a partir de eventos dados.

MÉTODOS DE CONTEO REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:

Si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n1n2 formas. Esto es, si A y B son conjuntos finitos, entonces, el número de elementos del producto cartesiano A x B está dado por:

n1(A) x n2(B)

La extensión de la regla de la multiplicación con k experimentos se puede expresar en términos de conjuntos como sigue:

Si A1,A2,..,Ak son k conjuntos finitos, entonces, el número de elementos del producto cartesiano A1 x A2 x…Ak es igual a:

n1(A1) x n2(A2 )x… x nk(Ak )

MÉTODOS DE CONTEO PERMUTACIÓN:

Es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. El número de permutaciones de n objetos diferentes es

n!=1*2* . .*n Como la primera casilla se puede llenar de cualquiera de las n maneras, la segunda de cualquiera de las (n-1) maneras,…, y la última casilla de sólo una manera. Entonces aplicando la regla de la multiplicación, se tiene que la caja se puede llenar de n(n-1)(n-2)...1 maneras.

Así, el número de permutaciones de n objetos diferentes está dado por

nPn = n!

MÉTODOS DE CONTEOVariación sin repetición (importa el

orden de colocación de los objetos):Si se consideran n objetos diferentes y se

escogen r de estos objetos, con 0 ≤ r ≤ n y permutamos el r elegido. Entonces se tendrá:

n(n-1)(n-2)...(n-(r-1)) maneras de arreglar los objetos seleccionados. Así, el número de maneras de elegir r objetos entre n objetos diferentes viene dado por

nPr = !

!

rn

n

MÉTODOS DE CONTEO Permutaciones cunado no todos los objetos son diferentes:

El número de formas de partir o permutar un conjunto de n objetos en r celdas con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y así sucesivamente, es

donde, n1 + n2 +…+ nr = n

!!...!

!,...,, 2121 rr nnn

nnnn

n

MÉTODOS DE CONTEOCOMBINACIONES sin repeticiones:

Consideremos nuevamente n objetos diferentes. Esta vez interesa contar el número de combinaciones en que podemos escoger r de esos n objetos sin considerar el orden.

!!

!

rnr

n

r

nCrn

TEORÍA DE PROBABILIDAD Probabilidad:

Es la medida de la oportunidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra, asignando un número entre 0 y 1 a dicha medida.

Tipos de enfoques:- Enfoque clásico o a priori de la probabilidad: este enfoque se aplica

cuando se usa la hipótesis de resultados igualmente probables como la base para asignar probabilidades. Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles (todos igualmente factibles), entonces la probabilidad del suceso es:

- Enfoque de frecuencia relativa: en este enfoque se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empíricas, teniéndose en cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un suceso en el pasado y se estima la probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de estos datos históricos.

Un problema al aplicar este enfoque es el de hacer estimaciones con un número insuficiente de observaciones.

- Enfoque subjetivo: es aquel que se utiliza para asignar una probabilidad a

un suceso que no ha ocurrido nunca, según nuestro mejor criterio. Por ejemplo, la probabilidad de que una mujer sea elegida presidente de Venezuela; como no hay datos históricos en que apoyarse, debemos recurrir a nuestra opinión y creencias para hacer una estimación subjetiva.

nesobservaciodetotalnúmero

pasadoelenocurridohasucesoelquevecesdenúmerop

n

hp

Definición axiomática o matemática de la probabilidad:

El tratamiento moderno de la teoría de probabilidad es axiomático en el uso de la teoría de conjuntos.

En un experimento aleatorio con un espacio muestral Ω, se asigna a cada suceso A de este espacio muestral un número P(A) que se llama probabilidad de A, el cual satisface los siguientes axiomas:

Axioma 1: La probabilidad de todo suceso debe ser no negativa,

Axioma 2:

Axioma 3: Para cualquier sucesión infinita de sucesos disjuntos A1,

A2, …..

0 P(A)

1)( P

n

iii APAP

11

Propiedades adicionales de la probabilidad:

1.

2.

3. Si A es un subconjunto de B entonces

4. Si A y B son sucesos no mutuamente excluyentes, entonces:

Regla de Adición.

0P

SPAAPAP c ,1

BAPBPAPBAP

BPAP

Regla de la Adición

Esta regla afirma que el valor de la unión de un número finito arbitrario de sucesos se puede obtener de la siguiente forma:

El objetivo principal de esta regla es calcular probabilidades que pueden expresarse en la forma

nn

lkjilkji

kjikji

jiji

n

ii

n

iAAAPAAAAPAAAPAAPAPAP ...1...)( 21

1

11

)()(

)()()()()()(

CBAPCBP

CAPBAPCPBPAPAUBUCP

BAP

Probabilidad condicionalSupóngase que se realiza un experimento

aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, se quiere estudiar ahora la forma en que cambia la probabilidad de un suceso A cuando se sabe que otro suceso B ha ocurrido.

Interesa evaluar la probabilidad de que A ocurra, sabiendo que el conjunto de resultados incluidos en B, también implican la OCURRENCIA de A.

Si A y B son dos sucesos cualesquiera tales que P(B)>0, entonces

BAPBPBAPBP

BAPBAP

Eventos independientes Dos sucesos son independientes

cuando la ocurrencia de un suceso no afecta la ocurrencia del otro suceso. Si A y B son sucesos independientes es natural pensar que la probabilidad de que A y B sucedan es igual al producto de sus probabilidades individuales.

A y B son independientes, si sólo si

y

De otra forma A y B son dependientes.

APBAP BPABP

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓNEn un experimento que involucra dos

sucesos A y B que no son independientes, a menudo es conveniente calcular la probabilidad de que ambos sucesos ocurran utilizando una de las dos ecuaciones siguientes:

Si A y B son independientes:

BPAPBAPABP *

BAPBPBAPABP

ABPAPBAPABP

PROBABILIDAD TOTAL O REGLA DE ELIMINACIÓN

Si los eventos B1,B2,…,Bk constituyen una partición del espacio muestral Ω tal que para i = 1,2,…,k, entonces para cualquier evento A de Ω,

ik

ii

k

ii PBPPAP

11

TEOREMA DE BAYE

Si los eventos B1,B2,…,Bk constituyen una partición del espacio muestral Ω tal que para i = 1,2,…,k, entonces para cualquier evento A en Ω tal que ,

k

iii

rrk

ii

rr

BAPP

BAPP

AP

APAP

11

EJERCICIOS Una mezcla de dulces contiene 6 mentas, 4 chicles y 3 chocolates. Si

una persona realiza una selecciona al azar de uno de ellos, encuentre la probabilidad de obtener:

Una menta. Un chicle o un chocolate.

La probabilidad que Paula apruebe Estadística es 2/3 y la probabilidad de que apruebe Matemáticas es 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambas asignaturas es de ¼, ¿cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos una de las dos asignaturas?

Se carga un dado de tal manera que un número par tiene el doble de oportunidad de salir que un número impar. Si A es el evento en el que se da un número menor que cuatro en un solo lanzamiento encuentre P(A).

Si las probabilidades de que un mecánico automotriz repare 3,4,5,6,7,8 o mas vehículos en un día hábil cualquiera de la semana son:0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que le dé servicio al menos a 5 carros el siguiente día de trabajo?

Supongamos que de todos los individuos que compran cierta computadora, el 60% incluye un programa procesador de texto en su compra, 40% incluye un programa de hoja de cálculo y 30% incluye ambos tipos de programas. Si se selecciona al azar un computador, encuentre la probabilidad de que el computador tenga un procesador de texto dado que tiene instalado el de hoja de cálculo.

EJERCICIOS La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es

0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión: Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo. Salió a tiempo, dado que llegó a tiempo.

Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después del otro sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

Una población de hombres presenta tres características ser casado (A), tener un grado de educación Superior (B) y ser originario de un estado específico (C). Se sabe que el 5% de ellos tienen las tres características, 15% tienen un grado de educación superior pero no están casados ni son originarios de ese estado específico, el 25% son solos casados, 50% son originarios de ese estado específico, 40% tiene un grado de educación superior, 15% están casados y son originarios de ese estado específico; 10% tienen solamente un grado de educación superior y son del estado específico. Determinar:

Encuentre la probabilidad de que este casado dado a que tiene un grado de educación superior.

La probabilidad que no tiene un gado educación superior dado a que esta casado o es originario de un estado específico. b

EJERCICIOS Una bolsa contiene cuatro bolas blancas

y tres negras, y una segunda bolsa contiene tres blancas y cinco negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?

Se carga una moneda de modo que la cara tiene una posibilidad de ocurrir dos veces mayor que el sello. Si se lanza tres veces la moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos sellos y una cara?

EJERCICIOS Una compañía tiene el siguiente sistema

para aceptar una producción de artículos: de una caja de 25 artículos para embarcar se prueba una muestra de tres, si encuentra dos defectuoso se regresa la caja y se revisa el lote completo, sino se embarca; determinar:

- La probabilidad que una caja que tiene 5 defectuosos se embarque. - La probabilidad que una caja que tiene 3 defectuoso se regrese.