Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 1/15

Álgebra LinealMa1010

Matrices ElementalesDepartamento de Matemáticas

ITESM

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 2/15

Matriz Elemental

Una matriz n× n se llama matriz elemental sipuede obtenerse de la matriz identidad In×n pormedio de sólo una operación elemental derenglón, es decir:■ intercambiando los renglones i y j,■ multiplicando el renglón i por una constante c

diferente de cero, o■ sumando al renglón i el renglón j multiplicado

por la constante c.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15

Ejemplo

Son matrices elementales de intercambio:

E1 =

[

0 1

1 0

]

, E2 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Porque

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15

Ejemplo

Son matrices elementales de intercambio:

E1 =

[

0 1

1 0

]

, E2 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15

Ejemplo

Son matrices elementales de intercambio:

E1 =

[

0 1

1 0

]

, E2 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;■ E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3; y

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15

Ejemplo

Son matrices elementales de intercambio:

E1 =

[

0 1

1 0

]

, E2 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 =

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;■ E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3; y■ E3 corresponde a R2 ↔ R3 sobre I3×3.

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Ejemplo

Son matrices elementales de multiplicación:

E4 =

[

5 0

0 1

]

, E5 =

1 0 0

0 −7 0

0 0 1

, E6 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2/5

Porque

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15

Ejemplo

Son matrices elementales de multiplicación:

E4 =

[

5 0

0 1

]

, E5 =

1 0 0

0 −7 0

0 0 1

, E6 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2/5

Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15

Ejemplo

Son matrices elementales de multiplicación:

E4 =

[

5 0

0 1

]

, E5 =

1 0 0

0 −7 0

0 0 1

, E6 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2/5

Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;■ E5 corresponde a R2 ← −7R2; sobre I3×3 y

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15

Ejemplo

Son matrices elementales de multiplicación:

E4 =

[

5 0

0 1

]

, E5 =

1 0 0

0 −7 0

0 0 1

, E6 =

1 0 0

0 1 0

0 0 2/5

Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;■ E5 corresponde a R2 ← −7R2; sobre I3×3 y■ E6 corresponde a R3 ←

2

5R3 sobre I3×3.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15

Ejemplo

Son matrices elementales de eliminación:

E7 =

[

1 1/3

0 1

]

, E8 =

1 0 0

0 1 −5

0 0 1

, E9 =

1 0 0

0 1 0

0 7 1

Porque

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15

Ejemplo

Son matrices elementales de eliminación:

E7 =

[

1 1/3

0 1

]

, E8 =

1 0 0

0 1 −5

0 0 1

, E9 =

1 0 0

0 1 0

0 7 1

Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15

Ejemplo

Son matrices elementales de eliminación:

E7 =

[

1 1/3

0 1

]

, E8 =

1 0 0

0 1 −5

0 0 1

, E9 =

1 0 0

0 1 0

0 7 1

Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;■ E8 corresponde a R2 ← R2 − 5R3 sobre I3×3; y

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15

Ejemplo

Son matrices elementales de eliminación:

E7 =

[

1 1/3

0 1

]

, E8 =

1 0 0

0 1 −5

0 0 1

, E9 =

1 0 0

0 1 0

0 7 1

Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;■ E8 corresponde a R2 ← R2 − 5R3 sobre I3×3; y■ E9 corresponde a R3 ← R3 + 7R2 sobre I3×3.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 6/15

NotasLas operaciones elementales sobre los renglonesde una matriz son reversibles, es decir es posibleretornar a la matriz inicial haciendo otra operaciónelemental.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 6/15

NotasLas operaciones elementales sobre los renglonesde una matriz son reversibles, es decir es posibleretornar a la matriz inicial haciendo otra operaciónelemental.En general:

Operación Elemental Operación inversa correspondiente

Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj

Ri ← cRi Ri ← (1/c)Ri

Ri ← Ri + cRj Ri ← Ri − cRj

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R3 ← R3 + 5R1 esR3 ← R3 − 5R1,y

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15

Ejemplo

■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R3 ← R3 + 5R1 esR3 ← R3 − 5R1,y

■ La inversa de R2 ← R2 − 4R3 es R2 ← R2 − 4R3.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15

Matrices y operaciones elementales

Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15

Matrices y operaciones elementales

Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:

Si AOp−→ A1, entonces EA = A1

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15

Matrices y operaciones elementales

Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:

Si AOp−→ A1, entonces EA = A1

Es decir que

El resultado de aplicarle a la matriz A laoperación elemental Op equivale a multiplicarla matriz A por la izquierda por la matrizelemental asociada a Op.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 9/15

Ejemplo

Una operación del método de eliminacióngaussiana es

3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 9/15

Ejemplo

Una operación del método de eliminacióngaussiana es

3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

Esta corresponde a

1 0 0

0 0 1

0 1 0

3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

=

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 10/15

Ejemplo

Una operación del método de eliminacióngaussiana es

3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←R1−6R2

−−−−−−−−→

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 10/15

Ejemplo

Una operación del método de eliminacióngaussiana es

3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←R1−6R2

−−−−−−−−→

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

Esta corresponde a

1 −6 0

0 1 0

0 0 1

3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1

=

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 11/15

Ejemplo

Una operación del método de eliminacióngaussiana es

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←1/3R1

−−−−−−→

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 1

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 11/15

Ejemplo

Una operación del método de eliminacióngaussiana es

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←1/3R1

−−−−−−→

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 1

Esta corresponde a

1

30 0

0 1 0

0 0 1

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 1

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 12/15

Las matrices elementales son invertibles

Toda matriz elemental es matriz invertible. Másaún, si E es una matriz elemental, E−1 se obtieneal invertir la operación elemental que produjo a Ea partir de la identidad I.

operación elemental operación elemental

matriz elemental matriz elemental

operación inversa

matriz asociada

matriz inversa

matriz asociada

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 13/15

Ejemplo

Si

E1 =

[

1 −3

0 1

]

, E2 =

[

0 1

1 0

]

, E3 =

[

1 0

0 −4

]

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 13/15

Ejemplo

Si

E1 =

[

1 −3

0 1

]

, E2 =

[

0 1

1 0

]

, E3 =

[

1 0

0 −4

]

entonces:

E1−1 =

[

1 3

0 1

]

, E2−1 =

[

0 1

1 0

]

, E3−1 =

[

1 0

0 −1

4

]

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 14/15

Matrices elementales en la equivalencia de matrices

1. A ≡ B si y sólo si existen matrices elementalesE1,...,Ek tales que:

B = Ek Ek−1 . . . , E1 A

2. La forma escalonada de una matriz cuadrada A

es In×n o bien tiene un renglón de ceros.3. Sean A y B matrices n× n, si A o B no son

invertibles entonces AB tampoco es invertible.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.

5. Las columnas de A son linealmente independientes.

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.

5. Las columnas de A son linealmente independientes.

6. Las columnas de A generan a Rn.

Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave

Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.

5. Las columnas de A son linealmente independientes.

6. Las columnas de A generan a Rn.

7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R

n.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.

5. Las columnas de A son linealmente independientes.

6. Las columnas de A generan a Rn.

7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R

n.

8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todovector ~b ∈ R

n.

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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15

Resultado Clave

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible

2. A es el producto de matrices elementales.

3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.

4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.

5. Las columnas de A son linealmente independientes.

6. Las columnas de A generan a Rn.

7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R

n.

8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todovector ~b ∈ R

n.

9. El sistema homogéneo A ~x = ~0 tiene sólo la solución trivial~x = ~0.