U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 1 LOS PRINCIPIOS DEL ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1. DEFINICIN. Un vector es un elemento matemtico que tiene tres elementos: Mdulo o tamao Direccin Sentido 2.REPRESENTACINESQUEMTICA.Todovectorestarepresentadoporunalneacontinua,que tiene un origen y una flecha que indica su sentido, es decir: 3.NOMBRAMIENTODEUNVECTOR.Aligualquetodoslosobjetostienessusnombres,todovector puedesernombradoutilizandolasletrasdelalfabeto,yaseanmaysculasominsculas,algunas notaciones comunes son: . ,, etc E d , b , Av t r Todas estas notaciones representan vectores, pero para una mejor comprensin utilizaremos la notacin universal, que es: Ar. Antes de seguir adelante, hagamos un breve repaso de trigonometra: 4. REPASO DE TRIGONOMETRA EN EL PLANO. Relacin de ngulos: Tringulos Rectngulos: Mdulo o tamaoDireccinSentidoMdulo o tamaoDireccinSentido abcabc Teorema de Pitgoras: 2 2 2b a c + =Relacin de ngulos: [ ] rad2 90 = = + Relaciones Trigonomtricas: tg ;ctgsen ;csccos sec ;bacossen;tgcbcos;ca sen ; abcossen;tgca;coscbsen1 1 1= = = = = == = = = = Sistema Sexagesimal: 60 1 60 1== Sistema Ingls Sistema Centesimal: 100`` 1`100` 1g== Sistema Francs. Sistema Radinico : [ ]g100 90 rad2= =U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 2 Tringulos Oblicungulos: Conversin del seno al coseno y viceversa:( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ctg 90 tg sen 90 cos cos 90 sen= = = Identidades Trigonomtricas: cdpcdp Ley de Senos: ( ) ( ) ( ) senpsencsend= =Ley de Cosenos:( )( )( ) cos d p d p ccos c d c d p cos c p c p d2222 2 22 2 22 2 2 + = + = + = Relacin de ngulos:[ ] rad 180 = = + + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )22 cos 1 cos; 22 cos 1 sen cos cos21 cos cos sen sen21 cos sen cos cos21 sen sen tg tg 1 tg tg tg sen sen cos cos cos cos sen cos sen sen1 2cos 2sen 1 sen cos 2 cos cos sen 2 2 sen1 cos sen2 22 2 2 22 2+== + + = + + = + = = = = = = === +mm ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) par) (Funcin cos cosimpar) (Funcin sen senZ n ; 21n x0 x cosZ n ; n x0 x sen2 sen2 2sen cos cos2 cos2 2cos cos cos2 sen2 2cos sen sen2 cos2 2sen sen sen= = ||

\|+ = = = =||

\| ||

\| += ||

\| ||

\| += +||

\| ||

\| += ||

\| ||

\| += + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 360 cos ; 0 360 sen 0 270 cos ; 1 270 sen1 180 cos ; 0 180 sen 23150 cos ;21150 sen21120 cos ;23120 sen 2160 cos ;2360 sen2245 cos ;2245 sen2330 cos ;2130 sen0 90 cos ; 1 90 sen1 0 cos ; 0 0 sen: Notables Angulos= = = = = = = = = = = == = = == = = = 2: mc E Por =U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 3 5.REPRESENTACINDELMDULODEUNVECTOR.Elmdulodecualquiervectorest representado por la siguiente notacin: A vectordel MduloAA vectorAr rr r ste mdulo representa el tamao o magnitud de una cantidad vectorial 6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES.Una cantidad se dice vectorial cuanto parasudeterminacinserequieredetreselementos:Mdulo,DireccinySentido.Encambiouna cantidadsediceescalarcuandoparasuespecificacinsoloserequieredeunasolacantidadquees precisamente su magnitud, nmero escalar, algunos de los ejemplos de estas cantidades son: etc. Masa , m ; ElctricaCargaQ ; a Temperatur T ; distanciad; tiempo t: Escalares Cantidadesetc. , Elctrico Campo E ; Fuerza F ; n Aceleraci a ; Velocidad v; Posicin r: s Vectoriale Cantidades: : : : :: : : : :r rr r r 7.COMPONENTESCARTESIANASRECTANGULARESDEUNVECTORENELPLANO.Para obtenerdichascomponentes,selosdebedescomponeresdecir,proyectaralvectorenlosejes cartesianos: Donde: y direccin la en A vectordel Componente Ax direccin la en A vectordel Componente Ayxrr De la figura anterior puede verse que si se conocen el mdulo del vector y la direccin, pueden obtenerse las componentes como: ( ) ( ) sen A A ; cos A Ay xr r= = En cambio si se conocen las componentes cartesianas, el modulo y la direccin pueden obtenerse de las siguientes expresiones: ( ) ( ) ( )|||

\|= = + =xyxyy xAAtgAAtg ; A A A12 2 r Es decir, los problemas que involucran vectores en el plano tienen soluciones conocidas que se los puede resolver utilizando las anteriores relaciones. ArxAyAxyArArxAyAxyAr U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 4 8.COMPONENTESCARTESIANASORECTANGULARESDEUNVECTORENELESPACIO. Anlogamentealcasoanteriorparaobtenerdichascomponentes,selosdebedescomponeresdecir, proyectar al vector en los ejes cartesianos del plano espacial: Donde: z eje del respecto ngulo y eje del respecto ngulo x eje del respecto ngulo Directores ngulosy direccin la en B vectordel Componente By direccin la en B vectordel Componente Bx direccin la en B vectordel Componente Bres Rectangula s Componentezyxrrr Uniendo los vrtices de cada componente con el vector, tenemos tringulos rectngulos a resolver: Por otro lado tenemos: xyzzBxByBBrxyzzBxByBBr xyzzBxByBBrxBBrxyzzBxByBBrxBBr Por lo cual tenemos: ( ) ( )( ) BBcos BBcos ;BBcoszyxrr r== = MismosquesedenominanCosenos Directores, ya que direccional al vector. xyzzBxByBBr( ) ( )2 2y xB B +zBxyzzBxByBBr( ) ( )2 2y xB B +zB Por el teorema de Pitgoras: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2222 2 z y xz y xB B B BB B B B+ + = + ||

\|+ =rr Quesedenomina;ElteoremadePitgorasenel espacio. U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 5 Finalmente, realizando la operacin: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 2 2 22222 2 22 2 22 2 2= + + = =+ +=|||

\|+|||

\|+|||

\|= + + cos cos cosBBBB B BBB BBBBcos cos cosz y xzyxrrrr r r 9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO. Cuando se trata del plano cartesiano nos hacemos referencia a problemasbidimensionales,esdecirlosejesxy,enestecasosehabladecuadrantesyestndados por: 10.SIGNOSDELPLANOESPACIAL.Cuandosetratadelplanoespacialnoshacemosreferenciaa problemas tridimensionales, es decir los ejes x y - z, en este caso se habla de octantes y estn dados por: 11. TIPOS DE VECTORES. Dentro del anlisis vectorial existen una infinidad de vectores, algunos de los cuales son: 11.1VectoresParalelos.Sonvectoresquepuedentenerelmismosentidosentidoopuesto,yson aquellos de la forma: x +I Cuadrante II CuadranteIII Cuadrante IV Cuadrantex y +y x +I Cuadrante II CuadranteIII Cuadrante IV Cuadrantex y +y Cuyos signos son: ( )( )( )( )( ) + + + +, Cuarto, Tercero, Segundo, Primeroy , x Signos Cuadrante x +x y +y z +z I OctanteII Octante III OctanteIV OctanteV OctanteVI Octante VII OctanteVIII Octantex +x y +y z +z I OctanteII Octante III OctanteIV OctanteV OctanteVI Octante VII OctanteVIII Octante Cuyos signos son: ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) + + + ++ ++ + + + + +, , Octavo, , Sptimo, , Sexto, , Quinto, , Cuarto, , Tercero, , Segundo, , Primerozy , , x Signos Octante BrBrcrcrsentido mismo del Paraleloslos antiparale opuestossentidos del ParalelosBrBrcrcrsentido mismo del Paraleloslos antiparale opuestossentidos del Paralelos U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 6 11.2VectoresConcurrentes.Sonvectoresquepuedenconcurriraunpuntopuedenconcurrirdeun punto,y son aquellos de la forma: 11.3 Vectores Colineales. Son vectores que estn ubicados a lo largo de una sola lnea y pueden tener el mismo sentido sentidos opuestos y estn dados del siguiente modo: 11.4 Vectores Coplanares. Son vectores que estn ubicados en un mismo plano, y estn dados por: 11.5 Vectores Perpendiculares. Son vectores que forman un ngulo recto, y estn dados por: 11.6VectorCeronulo.Esaquelvectorqueserepresentapor:0rycuyomduloestdadopor: 0 0 =r crdrerarbrbrcrdrerarpunto un de es Concurrentpunto un a es Concurrentcrdrerarbrbrcrdrerarpunto un de es Concurrentpunto un a es Concurrent sentido mismo del Colinealesopuestossentidos de Colinealessentido mismo del Colinealesopuestossentidos de Colineales arbrarbr U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 7 11.7VectoresUnitarios.Sonaquellosvectorescuyomduloestdadoporlaunidadyselos representan generalmente por: 1 AAA=

A Unitario Vector A Vector rr r A los vectores unitarios se los denomina tambin VERSORES. 12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO. En el plano x y, los vectores unitarios estn dados por: 13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO. En el plano x y - z, los vectores unitarios estn dados por: 14.REPRESENTACINDEUNVECTORDEFORMAVECTORIAL.Pararepresentarunvectorde formavectorialyaseaenelplanoenelespaciosedebeutilizarlascomponentescartesianas rectangulares y los vectores unitarios (versores), es decir: ( ) ( )( ) ( ) ( )

+ + = + + =+ = + == =2z2y2x z y x2y2x y xx xA A A A k A j A i A A : espacio el en vectorial cin RepresentaA A A j A i A A : plano el en vectorial cin RepresentaA A i A A :eje un en vectorial cin RepresentaA Vectorr rr rr rr 15. OPERACIONES VECTORIALES. Existen diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar con los vectores, algunos de los cuales son: vectorial Producto Tripleescalar Producto Triplevectorial `Productoescalar Productocin MultiplicaSustracin Resta / Adicin Suma x +x y +y ij1 j1 i==x +x y +y ij1 j1 i== x +x y + y i1 k1 j1 i===jkz +z x +x y + y i1 k1 j1 i===jkz +z U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 8 15.1 Suma y/o resta de vectores. Para sumar y/o restar vectores, existen dos mtodos por los cuales se los puede realizar, estos son: El mtodo analtico El mtodo grfico a) Mtodo analtico para sumar y/o restarvectores. ( ) ( ) ( ) kB A jB A iB A B AkB jB iB BkA jA iA Az z y y x xz y xz y x3 : por dados estn que ; V B, A : vectores los Sean + + = + + =+ + =r rrrr r b)MtodoGrficoparasumary/orestarvectores.SeanlosvectoresD , C , B, Ar r r r,queestn representados por: c) Propiedades de la suma y/o resta de vectores. Las principales propiedades son: ( ) ( )( )0 0 ) 50 ) 4) 3) 2) 1, :3r rr r rr r r rr r r r r rr r r rr r r= = = + = + = AA A B r A r B A r C B A C B A A B B A R r y V C , B A Sean 15.2ProductoEscalarproductointernoentrevectores.Slosepuedemultiplicarescalarmente entre vectores y se los representa por el smbolo: o y se lo define como: z z y y x xz y xz y x3B A B A B A B AkB jB iB BkA jA iA A + + = + + =+ + = : por dados estn que ; V B, A : vectores los Seanrorrrr r Esdecirelresultadodestaoperacinesunescalarnumero,otradefinicinalternativadeeste producto escalar es: BrArCrDrBrArCrDrSrD C B A Sr r r r r+ + + =BrArCrDrBrArCrDrSrD C B A Sr r r r r+ + + = BrArCrDrPrD C B A Pr r r r r + =BrArCrDrPrD C B A Pr r r r r + = U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 9 ( ) cos B A B AkB jB iB BkA jA iA Az y xz y x3 = + + =+ + =r r rorrrr r : por dados estn que ; V B, A : vectores los Sean a) Propiedades del producto escalar entre vectores. Las principales propiedades son: ( )( ) ( ) ( )( )A A A A A A ngulo un B y A entre cos B A B Alos antiparaleson B y A B A B Asentido mismo del paralelosson B y A B A B Alares perpendicuson B y A B ASiA B r A B A r B A r C A B A C B A A B B A R r y V C , B A Seanror r r rorr r r r rorr r r r rorr r r r rorr r rorrorror ror rorror ror r rorror rorr r r= = = = = == = = = = ) 60: ) 50 0 ) 4) 3) 2) 1, :23 15.3ProductoVectorialproductocruzentrevectores.Slosepuedemultiplicarvectorialmente entre vectores y se los representa por el smbolo: x y se lo define como: ( ) ( ) ( ) kB A B A jB A B A iB A B AB B BA A AkjiB AkB jB iB BkA jA iA Ax y y x x z z x y z z yz y xz y xz y xz y x3 : por dados estn que ; V B, A : vectores los Sean + = = + + =+ + =r rrrr r Elresultadodestaoperacinesotrovector,quenadatienequeverconlosvectoresoriginales.Otra definicin alternativa para el mdulo del vector resultante de sta operacin es: ( ) sen B A B AkB jB iB BkA jA iA Az y xz y x3 = + + =+ + =r r r rrrr r : por dados estn que ; V B, A : vectores los Sean En cuyo caso sta resultante obedece la regla de la mano derecha, es decir: ArBrArBr ArBrArBr ArBrB Ar r 90 90ArBrB Ar r 90 90 U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 10 a) Propiedades del producto vectorial entre vectores. Las principales propiedades son: ( )( ) ( ) ( )( )0 ) 60: ) 50 0 0 ) 4) 3) 2) 1, :3r r rr r r r r rr r r r r rr r r r rr r r r rr r r r r rr r r r r r rr r r rr r r= = = = = = = = = = A A ngulo un B y A entre sen B A B Alares perpendicuson B y A B A B Alos antiparale y/o paralelosson B y A B ASiA A B r A B A r B A r C A B A C B A A B B A R r y V C , B A Sean b) Interpretacin geomtrica del productoVectorial entre dos vectores. Deladefinicin alternativa para el mdulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: ( ) sen B A B A = r r r r, en cuyo caso tenemos la siguiente interpretacin geomtrica: De las figuras anteriores puede verse que el rea del paralelogramo formado entre los vectores B Ar ryes idntico al rea del rectngulo equivalente, es decir: ( ) B A sen B Ar r r r = = = rectngulo del rea amo paralelogr del rea Por lo cual, sea:B Ar ry vectores los entre formado amo paralelogr del reaA = , entonces: B Ar r = A Esdecir;elmdulodelproductovectorialentredosvectoresrepresentaelreaqueencierradichos vectores al formar una figura geomtrica denominado paralelogramo. 15.4 Triple Producto Escalar entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores cualesquiera, y cuyo resultado arroja un escalar nmero, y se define de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) ( )x y y x z x z z x y y z z y xz y xz y xz y xz y xz y xz y x3C B C B A C B C B A C B C B AC C CB B BA A AC B AkC jC iC CkB jB iB BkA jA iA A + = = + + =+ + =+ + = : por dados estn que ; V C, B, A : vectores los Seanr rorrrrr r r ArBr( ) sen BrBrAramo ParalelogrArBr( ) sen BrBrAramo Paralelogr Ar( ) sen Br RectnguloAr( ) sen Br Rectngulo U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 11 a) Propiedades del triple producto escalar entre vectores. Las principales propiedades son: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) A A : que ya V B , A A B A

coplanares vectores son C y B A C B AsiC B vector al lar perpendicu es A C B ASiC , B A vectores los porformado pedo paralelep del Volumen C B A A C B B A C C B A A C B C B A R r y V C , B A Sean0 0 ) 6, 00: ) 5, ) 3) 2) 1, :33r r r r r r rorr r r r rorr r r r rorr r r r rorr ror r ror r rorror r r rorr r r= = = = = = = = b) Interpretacin geomtrica del Triple producto Escalar entre vectores.De la definicin alternativa paraelmdulodelproductovectorialentrodosvectorescualesquieratenemos: ( ) sen B A B A = r r r r,y deladefinicinalternativadelproductoescalarentrevectores,tenemoslasiguienteinterpretacin geomtrica: ( ) ( ) ( ) ( ) cos sen C B A cos C B A C B A = = r r r r r r r ror Por lo cual de la figura puedeverse que elvolumen del paraleleppedo curvo es idntico alvolumen del paraleleppedo curvo pero ahora los lados tienen diferentes valores, es decir: ( ) ( ) cos A sen C B recto pedo paralelep del Volumen curvo pedo paralelep del Volumen = =r r r Por lo cual, sea:C B , Ar r ry vectores los entre formado pedo paralelep del Volumen V = , entonces: ( ) C B A Vr ror =Paraasegurarqueelvolumenseaunacantidadpositiva,yaquesecorreelriesgodequeelproducto escalar resulte una cantidad negativa, es conveniente aplicar valor absoluto, por lo cual: ( ) C B A Vr ror = Esdecir;elvalorabsolutodeltripleproductoescalarentretresvectoresrepresentaelvolumenque encierra dichos vectores al formar una figura geomtrica denominado paraleleppedo. . 15.5TripleProductoVectorialentrevectores.Definidoexclusivamaneteparatresvectores cualesquiera, y cuyo resultado arroja otro vector, y se define de la siguiente manera: BrArCrC Br r 90 90curvo pedo ParalelepBrArCrC Br r 90 90curvo pedo Paralelep Br( ) cos Ar( ) sen Crrecto pedo ParalelepBr( ) cos Ar( ) sen Crrecto pedo ParalelepBr( ) cos Ar( ) sen Crrecto pedo Paralelep U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 12 ( ) ( ) ( )C B A B C A C B AkC jC iC CkB jB iB BkA jA iA Az y xz y xz y x3r ror r ror r r rrrrr r r : por dados estn que ; V C, B, A : vectores los Sean = + + =+ + =+ + = a) Propiedades del triple producto vectorial entre vectores. Las principales propiedades son: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) B B : que ya V B , A B B A A C B B C A C B A C B A B C A C B A C B A C B A R r y V C , B A Sean0 0 ) 4) 3) 2) 1, :33r r r r r r r r rr ror r ror r r rr ror r ror r r rr r r r r rr r r= = = = 16.TRANSFORMACINDEUNVECTORCUALQUIERAAUNITARIO.SeaArcualquiervector,que no es unitario, para convertirlo en unitario se debe realizar la operacin: AAArr= 17.OPERACIONESVECTORIALESYESCALARESCONLOSVERSORESUNITARIOSENEL PLANO Y ESPACIO. PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO Problema 1 Determinar el valor delBr y el ngulopara que el vector resultante de los tres vectores sea nulo, para los clculos considere que:4 = Ar y 6 = Cr. 0 kjkiji1 kkjjii= = == = =o o oo o o: escalar cin Multiplica ijkikjjkijikkijkji0 kkjjii = = = = = = = = =

: vectorial cin Multiplicar BrArCrxyBrArCrxy Solucin.SeaSrelvectorsumaqueestdadopor: C B A Sr r r r+ + = ,descomponiendocadavectorensus componentes tenemos:j sen C i cos C Cj cos A i sen A A ; j sen B i cos B B r r rr r r r r r+ = = + =, Perosegnelproblema:4 = Ary6 = Cr,porlocualel vector suma ser: U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 13 ( ) ( ) j sen sen B cos i cos cos B sen S6 46 4 + + + + =r r r Pero por condicin del problema:j i S00 0 + = = r r, por lo cual dos vectores son iguales; si y solo si sus componentes son iguales; de este modo queda: (b)sen sen B cos(a) cos cos B sen0 6 40 6 4= + + = + rr Resolviendo(a)y(b),entoncesdividiendolaecuacin(a)por cos ylaecuacin(b)por sen y recordando que;ctgsencosytgcossen= = tenemos: ) (bB ctg) (a B tg' 6 4' 6 4+ = =rr Multiplicando(a)por(b)yrecordandoque;1 = ctg tg ,tenemos: ( )( )236 6 6 16 B B Br r r = + =, B 20 16 362= = r5 2 = Br y de la ecuacin (a): |||

\|=461Btgr 9 , 20 = Problema 2Sean los vectores:k4 j2k2 j32 + = + = i m B ; i Ar r , determinar: a) El valor de m tal que el ngulo entre ambos vectores sea de 60 b) Sim = 1, calcular la siguiente operacin:( ) ( ) [ ] A B A A A B Ar r r r ror r + Solucin.a)Recordandoladefinicindeproductoescalartenemos:cos B A B A =r r ror,segnel problema; 60 = ,porlocualcalculandolosmdulosantesdeinsertarenlaanteriorecuacin; ( ) 17 2 3 22 2 2= + + = Ary ( ) 20 4 22 2 2 2+ = + + = m m Br,luegocalculandoelproductoescalarde ambosvectores;m m B A 2 14 8 6 2 + = + + =ror;finalmenteinsertandoenlaecuacindeladefinicin; 60 20 17 2 142cos m m + = + , como 21 60= cos, entonces la anterior ecuacin se transforma en: 340 17 4 282+ = + m mElevando al cuadrado para hacer perder la raz cuadrada, se reducea:0 444 2242= m m , resolviendo la ecuacin cuadrtica para m: 251952 224 = m90 2262 1 m y m b) si1 = m , entonces los vectores sern: k j i B ; k j i A42 232 + = + =r r,y por propiedades del producto vectorial:0r r r= A A , entonces, solo debe realizarse la operacin:A Br r , que est dado por: ( ) ( ) ( ) k j i k j ik j iA B 684 38 212 42 3 24 2 1 + + = + + + = = r r Por lo cual la operacin dada ser:( ) ( ) [ ] k j i A B A A A B A 68 + + = + r r r r ror r Problema3.Elcosenodelnguloquedebenformardosvectoresdeigualmduloparaquesu resultante sea la mitad del valor de uno de ellos es: ninguno ed c b a )85)57)75)87) Solucin. Sean los vectoresB yAr r cuyos mdulos son iguales, y su configuracin es: U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 14 Considerandoque:12 2= + sen cos ysegnlacondicindelproblema:A Sr r 21= ,porlocual tenemos: 412 2 2 221= + + = cos cos A Ar r 87 = cos Problema 4. Completar las siguientes frases. a)Sielproductoescalardedosvectoresesceroentoncesestos vectores son: Perpendiculares b)Sielproductovectorialdedosvectoresesnulo,entoncesestos vectores son: Paralelos antiparalelos c)Elvalorabsolutodelresultadodeltripleproductoescalarentre tres vectores es el: Volumendelparaleleppedo formado poi los tres vectores. d) El modulo de un vector unitario es:uno e) Por que el modulo de un vector cualquiera no puede ser negativoYaque,parahallarelmdulo sedebeelevarcada componentealcuadradopara luego sacar la raz cuadrada. Problema 5.Dadoel vectorbrcuyo ngulo respecto del eje +z es60,y ngulorespecto deleje +yes 120 de forma que su modulo vale 5; se pide hallar: a) las componentes del vector br respecto de los ejesx , y , z. b) El ngulo que forma respecto del eje +x. c) Representar al vectorbr en forma vectorial d) Grafique e identifique en que octante est ubicado. e) Hallar el vector unitario asociado al vectorbr Solucin.a)Deladefinicindecosenosdirectores,sea: , , losngulosqueformaconlosejes z y x , , respectivamente,entonces:( ) ( ) ( ) ;bbcosbbcos ;bbcoszyxr r r = = = ,delascondiciones del problema:5 60 , 120 = = = b , r , por lo cual: ( ) ( )25 25= = = =z z y yb cos b b y;b cos b b r r y de la definicin de mdulo de un vector: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25225252552 22 2 222 2 2 2 = =||

\|||

\| = = + + =x z y x z y xb b b b b b b b br r. ArBrArBr Descomponiendo los vectores: j sen B i cos B B;i A A r r r r r+ = =Y considerando que:B Ar r= , la resultante ser: ( ) j sen A i cos A A B A S r r r r r r+ + = + =Cuyo mdulo es: ( ) 2 2 2 22 1 1 sen cos cos A sen cos A S + + + = + + =r r r U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 15 b)Delaecuacin:( ) 45525 = |||||

\|= |||

\|= =+ 1bx 1 xcosbbcosbbcosxr r ,porotrolado cuando sta componente en x es negativa: 135525= |||||

\|= 1bcosx. c) El vector representado de forma vectorial ser: + = + = + + =octante Tercer k j i b octante Cuarto k j i bk b j b i b bz y x252525252525 rrr d) La grfica correspondiente ser: Problema 6.Sean los vectores dados en la siguiente figura: Solucin. a)De la figura los vectores expresados de forma vectorial sern:k j i B ; j i A34242 = =r r y k j i C ;622 + + =r x +x y +y z +z 252525252525brbrx +x y +y z +z 252525252525brbr e) El vector unitario asociado al vector brser: + =+ =+ =+ = =k j ik j ibk j ik j ibbbb21212152525252121215252525 rr x +y +z +ArBrCrabc642===cbax +y +z +ArBrCrabc642===cba Hallar: a) Los VectoresAr,Br y Cr en forma vectorial. b) El ngulo entre los vectoresAryCr. c)Elvolumendelparaleleppedoformadoporlos vectoresAr,Br y Cr. d)( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] C A C B A A C B A Cr ror r ror r r ror e)( ) [ ] ( ) ( ) B C A A C B A Cr r r r r r r r f)( )( )( ) C AC AC Arorrorror g)( ) ( ) ( ) C A B C Ar r r r r U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 16 b)Deladefinicindeproductoescalar:( ) ( )C AC Acos cos C A C A r rrorr r ror= = |||

\|= C AC Acos r rror1 ,calculandocadatrminoporseparado:( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 0 2 4 2 2 + + = C Aror 4 = C Aror,( ) ( ) ( ) 5 2 20 0 4 22 2 2= = + + = A Ar ry( ) ( ) ( )2 2 26 2 2 + + = Cr 11 2 44 = = Cr, por lo cual: ||

\| =11 2 5 241cos 7 , 97 = c)Elvolumendelparaleleppedoformadoporlosvectoresestadadoporlaoperacin:( ) C B A Vr ror = , entonces: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 60 2 4 2 2 0 2 3 6 2 4 2 3 6 4 26 2 23 4 20 4 2= + = = C B Ar ror,por lo cual el volumen ser:60 60 = = V d)Paracalcular:( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] C A C B A A C B A Cr ror r ror r r ror ,observemosqueeltermino( ) C A Cr rormultiplicaalotrotrmino,ycuyoresultadodestacantidadesunnmero,yelresultadode: ( ) [ ] ( ) B A A C B A Cr ror r r ror esunvector,porlocuallamultiplicacindeunnmeroporunvectores posibleyel resultado ser otro vector,ya que el nmero no haceotra cosa que aumentar o disminuir al vector,peroobservemosqueporpropiedades:( ) ( ) ( ) 0 = = = C C A A C C C A Cr ror r ror r roryaque: 0r r r= C C , por lo cual( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 0r r ror r ror r r ror= C A C B A A C B A C e)Paralaoperacin:( ) [ ] ( ) ( ) B C A A C B A Cr r r r r r r r ,calculemosporpartes:0r r r= A A ,porlo cual( ) ( ) 0r r r r r= B C A A ,luego:k j ik j iB A166123 4 20 4 2 + = = r ryluego: ( ) k j ik j iB A C121046816 6 126 2 2 + = = r r r,y( ) [ ] k j ik j iC B A C2424326486 2 212 104 68 + = = r r r r finalmente:( ) [ ] ( ) ( ) k j i B C A A C B A C242432648 + = r r r r r r r r f)( )( )( ) C AC AC Arorrorror,delanteriorinciso:4 = C Arorentonces: ( )( )( )( )( )( ) / = = = C AC AC A256256144 4 44rorrorror, es decir no existe la raz par de un nmero negativo. U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 17 g)laoperacin( ) ( ) ( ) C A B C Ar r r r r haciendoporpartes: k j ik j iC A412246 2 20 4 2 + + = = r r, luego: ( ) k j ik j iB C A7264203 4 24 12 24 + = = r r ry ( ) ( ) k j ik j iA B C A481442880 4 272 64 20 = = r r r r y finalmente: ( ) ( ) ( ) k j ik j iC A B C A28816327686 2 248 144 288 + = = r r r r rEntonces: ( ) ( ) ( ) k j i C A B C A2881632768 + = r r r r r Problema 7. Demostrar la ley de los senos y de los cosenosde forma vectorial. Solucin. De la siguiente configuracin: Finalmente: ( ) ( ) ( ) sencsenbsenarrr= = . PorotroladoparalaleydeCosenos,delafigurapuedeverseque: = + c b arrr ( ) ( ) b a b a c b b a b b a a a b a b a c crorrr rrorror ror rorrrorr ror222 2+ + = + + + = + + = ,yaqueelproducto escalaresconmutativo,utilizandosudefinicinalternativa,tenemos: ( ) + + = 180 222 2cos b a b a crrrr r, como el coseno de la resta de ngulos est dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sen sen cos cos cos = + = 180 180 180 Finalmente la ley de cosenos para el lado del vectorcr ser:( ) cos b a b a c + =rrrr r222 2, de forma anloga se pueden obtener para otros lado. Problema 8.Demostrar las siguientes relaciones por las propiedades de los vectores: arbrcrarbrcr Ley de Senos: Utilizandolainterpretacindelmdulodelproductovectorial,elreadel tringulo anterior ser: ( ) ( ) ( ) a b b c c a Arr rr r r = = =212121 Y como:a ar r = , entonces: ( ) ( ) ( ) sen a b sen b c sen c a = = rr rr r r212121 U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 18 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ] A B2A B A A A f) A 2 kA kjA jiA ie)2C B A A C C B B A d)D C B A C D B A D C B A c)0 B A C A C B C B A b) 2B A2B2A2B A a)r r r r r r r r r r rr ror r r r ror r r r ror r r ror r r r rr r r r r r r r r r ror r r r r = = + + = = = + + = Solucin.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 2 2 21 cos B A sen B A sen B A B A = = = r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 222 2 2 2B A B A cos B A B A cos B A B Aror r r r r r r r r r r = = = dondees el ngulo entre los vectoresB y Ar r. b)utilizando la definicin alternativa del triple producto vectorial y recordando que el producto escalar es conmutativo tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0r r ror r ror r ror r ror r ror r ror r r r r r r r r r= + + = + + B A C A B C A C B C A B C B A B C A B A C A C B C B A c)( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]D B A C C B A D D C B A C D B A D C B Ar r ror r r ror r ror r r ror r r r r r = = haciendorotar dos veces en el triple producto escalar( ) [ ] ( ) [ ] D C B A C D B Ar r ror r r ror = d)Utilizando la propiedad del triple producto vectorial, recordadn que el producto escalar es conmutativo y considerando la propiedad ciclica del triple producto escalr tenemos: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]= = A C C B C A C B B A A C C B B Ar ror r r ror ror r r r r ror r ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] C B C B A C C B A B A A C B C C C B A B A Aror r ror r r roror r r r ror r r roror r r = = Luego:( ) ( ) ( ) ( ) C B A C A A A B B C C Br r r r r roror ror ror = = = ,finalmentereemplazandoenlaanterior ecuacin:( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]2C B A A C C B B Ar ror r r r ror r = . e)SeaelvectorArdelaforma:k a j a i a Az y x + + =r,entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k A k A k k j A j A j j i A i A i i k A k j A j i A i rorororororor r r + + = + + , recordandoque: z y xa A k a A j , a A i yk k j j i i = = = = = =rororo o o o, 1 ,setieneque: ( ) ( ) ( ) ( ) A A A k a j a i a A k A k j A j i A iz y xr r r r r r r2 3 3 = = + + = + + f)( ) [ ] ( ) ( ) [ ] A B A B A A B A A A B A A B A A Ar r r r r r r ror r ror r r r r r = = = 2 2 Problema 9. Calcular el rea del tringulo de vrtices:(-2 , 1 , 0) , (3 , 0 , 6)y (4 , 5 , -1). Solucin. Dibujando los puntos en el plano espacial, tenemos: U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 19 Entonces: ( ) ( ) ( ) 2886 26 41 232 2 2= + + = G Fr r, luego el rea del tringulo ser: 22886= A. Problema 10. Analizar cuando:B A B Ar r r r = + Solucin.Seanlosvectores 3, V B A r r,entoncesporpropiedades: ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A B A B Ar ror r r r r r r ror r+ + = + + = + +2,desarrollandoelladoderecho,tenemos: 2 22 B B A A B B A B B A A A B Ar ror r ror ror ror ror r r+ + = + + + = +,porotrolado: ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A B A B Ar ror r r r r r r ror r = = 2,desarrollandoigualqueenelanteriorcaso: 2 22 B B A A B B A B B A A A B Ar ror r ror ror ror ror r r+ = + = ,entoncesambosdesarrolloserniguales si y solo si:B alar perpendicu es A B A B A B Ar r ror r r r r0 = = + , es decir ambos resultados sern iguales solamente cuando los vectores sern ortogonales. Problema11.Encontrarunvectoryrqueseacolinealalvector:( ) 1 - 1, 2, b =r,detalformaquese verifique:3 b y =ror. Solucin.Comosequierequeelvectoryrseacolinealalvectorbr,entoncessecumpleque: R m b my =rr, por lo tanto de la condicin: ( ) ( )233bm b b mb b m b yrror ror ror= = = =, por otro lado: 6 2 = + = b k j i br r, entonces:( ) k j i b my 263 + = =rrk j i y2121 + = r Problema12.Determineelvectorresultantez y xr r r+ + entrminosdelosvectoresarybr.Eldibujo muestra a una semicircunferenciainscrita en un rectngulo. Los vectoresz y xr r r, ,forman 60 , 45y 30 respectivamente con la horizontal. x +x y +y z +z arbrcr1P2P3PFrGrx +x y +y z +z arbrcr1P2P3PFrGr Elvectorquecorrespondealpunto1es: j i b 2 + =r,elcorrespondientealpunto2: k i a63 + =ryelcorrespondientealpunto3es: k j i c 54 + =r,porotrolado,delafigurapuede versetambinque: k j i c b F b F c 46 + = = = +rr r r rr,porotro lado:k j i c a G a G c75+ = = = +r rrrrr, finalmente el rea del tringulo estar dado por: k j ik j iG F G F A2641237 5 11 4 6 21+ + = = =r r r r U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 20 Delafiguraanteriortenemos:c d zrrr+ = ,perocomoR nb n d b con paralelo es d = r r r ry R ma m c a con paralelo es c = r r r r,porlocual:a m b n zrrr+ = ,ahorahallemosnym, multiplicando escalarmente la anterior ecuacin porbr y luego porar tenemos: ( ) ( )( )( )= = = + = = = = + = + =bcos znbcos b zb bb zn b a m b b n b zacos zmacos a za aa zm a a m a b n a za m b n zbarrrrrrorrorrorror rorrrrr rrorrorror rorrorrrrroro 30 30 60 6022 Ya que0 = b aror pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el tringulo issceles: Y ( ) ( )4330 30 = = cos cos n, finalmente: a b zrrr2343+ =, de forma anloga deben hacerse para los demas vectores:R q p a q b p y + = ,rrr, por lo tanto:( ) ( )( )( )= = = + = = = = + = + =bcos ypbcos b yb bb yp b a q b b p b yacos yqacos a ya aa yq a a q a b p a ya q b p ybarrrrrrorrorrorror rorrrrr rrorrorror rorrorrrrroro 45 45 45 4522 arbrxryrzrarbrxryrzr Solucin. trabajando para el vectorzr, tenemos: arbrzrcrdr 30arbrzrcrdr 30 30ararzra brr2 = 30ararzra brr2 = Por la ley de cosenos: ( ) ( ) 30 2 30 22 2 2cos a z cos z a z a a = + =r r r r r r rLuego: ( ) ( ) ( ) 30 30 2230 2 cosbzcosbzycosaz= = = rrrrrr por lo cual: ( ) ( )2360 30 2 = = cos cos m U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 21 Ya que0 = b aror pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el tringulo issceles: Y ( ) ( )2145 45 = = cos cos p, finalmente: a b yrrr+ =21,Finalmente para el ltimo vector tenemos:: R s r a s b rx + = ,rrr, por lo tanto:( ) ( )( )( )= = = + = = = = + = + =bcos xrbcos b xb bb xr b a s b b rb xacos xsacos a xa aa xs a a s a b ra xa s b rxbarrrrrrorrorrorror rorrrrr rrorrorror rorrorrrrroro 60 60 30 3022 Ya que0 = b aror pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el tringulo issceles: Y ( ) ( )4160 60 = = cos cos r , finalmente: a b xrrr2341+ =, por lo cual el resultado buscado es: ( ) b a a b a b a b z y xrr rrrrrrr r r231 32343212341+ + = + + + + + = + + . Problema13.Hallarelngulo entrelasdiagonalesdeuncubodelado a ,comose muestraenla figura: Por la ley de cosenos: ( ) ( ) 45 2 45 22 2 2cos a y cos y a y a a = + =r r r r r r rLuego: ( ) ( ) ( ) 45 45 2245 2 cosbycosbyy cosay= = = rrrrrr por lo cual:( ) ( ) 1 45 45 2 = = cos cos q 45araryra brr2 = 45araryra brr2 = Por la ley de cosenos: ( ) ( ) 60 2 60 22 2 2cos a x cos y a x a a = + =r r r r r r rLuego: ( ) ( ) ( ) 60 60 2260 2 cosbxcosbxy cosax= = = rrrrrr por lo cual: ( ) ( )2330 60 2 = = cos cos s 60ararxra brr2 = 60ararxra brr2 = U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 22 Solucin. Expresando las diagonales de forma vectorial como se muestra: Problema 2. ElvectordiagonalCr,estdadopor:kjiC a a a + + =r,mientrasqueelotro vectordiagonalestdadopor:kjiE a a a + =r,luegodeladefinicinde productoescalar:( )||||

\|= =E CE Ccos cos E C E C1r rrorr r ror ,luego calculando cada termino: ( )70.531cos3 3cosE ; 3 C ; E C1212 2 2 2 2 2 2 2 2 2= ||

\|=|||

\|= + + = = + + = = + = a aaa a a a a a a a a a ar r ror U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 23 PROBLEMAS DE ENTRETENIMIENTO Problema 1. Los vectoresar ybr forman un ngulo de 60, sabiendo que:5 a =r y8 b =r ;calcular b arr+yb arr . Problema 2. Para el paraleleppedo: OA = 3 , OB =4 y OC = 5; hallar el ngulo formado por los vectores: kj2 w y e d c 2 b 2 a v + = + + + =r rrrrr r Problema3.SilosvrticesdeunpolgonodecuatroladosestnubicadosenlospuntosP(0,0), Q ( 4 , 0 ) , R ( 5 , 4 )y S ( 2 , 3 ). Hallar el rea de dicho polgono. Tambin hallar el ngulo menor de entre los ngulos interiores del polgono. Problema4.Hallarelvalordemparaquelosvectores , k j i A + =r

k j i 2 B + =r k m j i m C y + =r sean coplanares. Problema5.Determinarelreadelparalelogramoquetienecomodiagonalesalosvectores: k j i b , k j i a43

2 3 + = + =rr. Problema6.Demostrar vectorialmentequelasmediatricesdeuntriangulocualquierasecortanenun punto. Problema 7. Demostrar vectorialmente que las medianas de un triangulo se cortan en un punto. Problema 8. Demostrar que si se unen dos vrtices de uno de los lados no paralelos de un trapecio, con elpuntomediodelotroladonoparalelo,seobtieneuntriangulocuyareaeslamitaddelreadel trapecio. Problema 9.Calcular el rea del tringulo de vrtices: a) (5 , -2) , (-1 , 2)y(-3 , 8)b) (-5 , -1) , (8 , -4)y(1 , -1) c) (5 , 9 , -2) , (-3 , 2 , -5)y (1 , 2 , 3)d) (2 , 0 , 0) , (0 , 5 , 0)y (0 , 0 ,-2) Problema 10.Determinar el Volumen del paraleleppedo determinado por: a) (1 , -2 , -5) , (1 , 5 , 0)y (2 , 0 , 2)b) (2 , 1 , 3) , (3 , 1 , 6)y (4 , -2 , 1) B O A C ar dr br cr er U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 24 Problema 11.Demostrar las siguientes relaciones por las propiedades de los vectores: ( ) [ ] [ ]( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0?? = + + = + += + + = = d b a c d a c b d c b a d)a c c b b aducido de: l valor re , hallar e 0 c b a mplen:ios que cu res unitar son vecto c yb , a c)Si b u b u u b)B4A B A A A A a)r ror rrrorr rrorrror ror rorrrrr rrrrrrr rr r r r r r r Problema12.Dadoelvectorj6 i2 b ;j2 i3 a + = + =rr,encontrarelvectorcrquesemuestraenla figura, que es perpendicular al vectorar. Problema 13. En el trapecio de la figura, formado por los vectorescy b , arrr; se conoce que: AE = 2 ED ; AF =5 FB ; Hallar el valor de HCAH y HFEH, se conoce tambin que:a 3 brr= 2.Los cuatro vectores que se muestran en la figuraposeen mdulos de la misma magnitud igual a 5. Calcularel modulo del vector suma de los cuatro vectores, y el nguloentre el vector suma y el vectorAr. . Problema15.Seanlosvectores;k 3 c yj 3 b ; i 6 a = = =rrr.Determineelvolumendelparaleleppedo formado por los vectoresR L , Nr r ryy que estn dados por: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] a c c c R y c i a j b j L ;k a k j a j i a i Nr r r rrr rr rr r rr = = + + = br cr ar Problema 12 ar D C crE H AF B br Problema 13 Er Fr BrCr Dr Ar Problema14.Losseisvectoresquesemuestranenlafiguraposeen mdulosdelamismamagnitudiguala2 .Calcularelmodulodel vector suma de los cuatro vectores, y el ngulo entre el vector suma y el vector Ar

U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 25 2.Los cuatro vectores que se muestran en la figuraposeen mdulos de la misma magnitud igual a 5. Calcularel modulo del vector suma de los cuatro vectores, y el nguloentre el vector suma y el vectorAr. 3. Identificar los siguientes puntos en el plano y/o espacio;. Problema 17. Un jugador de Golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la pelota 12 [m] hacia el Norte, el segundo golpe 6 [m] al surestey el tercer golpe 3 [m] al suroeste. Qu desplazamiento y en que direccin seria necesario apuntar para hacer un hoyo en un solo golpe?. Problema18.Supongaqueusteddecidedarunpaseomatinal,ypartiendodelapuertadesucasa, recorre100[m]haciaelNorte,100[m]haciaelEsteyFinalmente200[m]haciaelNorte.Culfueel desplazamiento total que usted efectu en forma vectorial del inicio al final?. Cul la direccin y sentido de su desplazamiento? DrCr Ar Br Problema16.Loscuatrovectoresquesemuestranenlafigura poseen mdulos de la misma magnitud igual a 5. Calcular el modulo delvectorsumadeloscuatrovectores,yelnguloentreelvector suma y el vector Ar

Problema 19.Un automvil viaja 7 [Km] hacia elNorte.Cambiaentoncesdedireccinensu viajeyalfinalsedetienecuandoesta17 [Km]alsuroestedesupuntodepartida. Encuentreeldesplazamientodelautomvilen la segunda parte de su viaje y la direccin.

7 [km] d 17 [km] Problema20.Dosvectorestienenmagnitudes iguales, por ejemplo 10 [cm], estn orientados como se muestraenlafigura,ysusumavectorialesrr. Encontrar:a)elmduloderr,b)elnguloqueforma rr con el eje x.

105 br rr ar 30

10 [cm] b a = =rr brerdr[ ] cm 6[ ] cm 6brerdr[ ] cm 6[ ] cm 6 Problema21.Calcularelmdulodelaresultante de los vectores mostrados segn la figura. U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 26 Problema 24. Demostrar utilizando las propiedades vectoriales: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] { } ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]4c b a b a a c a c c b c b b arrorrr r ror r rrrr rr = Problema25.Seanlosvectores;k c yj b ; i a = = =rrr.Determineelvolumendelparaleleppedo formado por los vectoresR y L , Nr r r y que estn dados por: ( ) [ ] c b a c c Rc i a k b j Lk a j a k i a N i jrror r rrr rr rr r rr((

||

\|||

\|||

\| = = + + = Problema 26. Demostrar que si se unen dos vrtices de uno de los lados no paralelos de un trapecio, con elpuntomediodelotroladonoparalelo,seobtieneuntriangulocuyareaeslamitaddelreadel trapecio. Problema 22. En el cuadrado de la figura, hallarn, dado que:a n brr= , C es puntomedio.Laslneassegmentadassonparalelasyperpendicularesalos vectores. Problema 23. Determinar el rea del paralelogramo que tiene como diagonales a los vectores: k 4 j 3 i bk 2 j i 3 a + = + =rr. AYUDA: Sedebedemostrarutilizando vectores: A A213= Problema27.Eneltrapecioisscelesdedimensionesmostradas, hallar la magnitud del vector resultante del sistema de vectores si A, BsonpuntosmediosdesusrespectivosladosylospuntosC,D dividen en tres partes iguales al lado inclinado. Problema 28. Determinar el rea del paralelogramo que tiene como diagonales a los vectores: k j i bk 2 j 2 i 2 a =+ =rr. U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 27 Problema 29. Demostrar utilizando las propiedades vectoriales: 0 c b a a c c b b a: Sirrrr r r rr rr= + + = = Problema30.Seanlosvectores;k c yj b ; i a = = =rrr.Determineelvolumendelparaleleppedo formado por los vectoresR L , Nr r ryy que estn dados por: ( ) [ ] c b a c c Rc i a k b j Lk a j a k i a N i jrror r rrr rr rr r rr((

||

\|||

\|||

\| = = + + = Problema 31. Encontrar los ngulos que forman las diagonales de un cubo Problema 33. Demostrar utilizando las propiedades vectoriales: ( ) ( ) ( ) [ ] 0 b a b a b a = + +rrrrorr Problema 36. Dados los vectores 3, R V U r r, demuestre la identidad: Problema32.Expresarelvectork j i A 2+ + =rcomola sumadeunvectorMrparaleloak j i B 4 + =rydeotroNr perpendicular aBr. Problema 34. Demuestre que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente. Problema35.Demuestrequeelngulo inscrito en una semicircunferencia es recto U.M.S.A. U.C.B. E.I.S.P.D.M. FSICA DIDCTICA APLICADA ANLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIOAutor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 28 ||

\| + =2 241V U V U V Ur r r r ror Problema38.Enlafiguralospuntosa,b,c,d,e,yf,determinanunhexgonoregulardelado2 unidades. Hallar el modulo del vector resultante en el sistema mostrado. Problema37.Determineelmodulodelaresultantedeloscuatro vectoresmostradosenlafiguraenfuncindelradiodelcirculo,y determineelnguloformadodelaresultanteconelvector cr. (Realizar el ejercicio expresando los vectores en forma vectorial) e fD a d b c d A B C