LIBRO de Operaciones Financier As

LIBRO: Operaciones FinancierasEste libro trata de una recopilación de las operaciones financieras agrupadas en cincograndes áreas, muy interrelacionadas entre ellas, pero al mismo tiempo con rasgosparticulares: capitalización, rentas, préstamos, empréstitos y valores mobiliarios.

El enfoque pretendido ha sido el de combinar el rigor de las operaciones conplanteamientos prácticos que huyen de los desarrollos matemáticos complejos, dandoespecial importancia a la resolución de supuestos prácticos.

La obra va dirigida a personas que en su trabajo necesitan conocimientos financieros,así como a alumnos de Formación Profesional de la rama administrativa, universitariosy opositores que tienen que superar algún ejercicio de operaciones financieras.

Introducción CAPÍTULO 1. Capitalización simple CAPÍTULO 2. Capitalización compuesta. CAPÍTULO 3. Rentas CAPÍTULO 4. Préstamos CAPÍTULO 5. Empréstitos CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios

IntroducciónCuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien agastarlo -satisfaciendo alguna necesidad-, o bien a invertirlo para recuperarlo en unfuturo más o menos próximo, según se acuerde.

De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad,estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nosresulte suficiente. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidezestablece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo sonpreferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio delconsumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valorobjetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puededefinir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, elprecio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.

Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:

Por el riesgo que se asume. Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un

tiempo. Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tresvariables, a saber:

La cuantía del capital invertido, El tiempo que dura la operación, y El tanto de interés al que se acuerda la operación.

Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía(C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

Finalmente, en una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales(aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremosrefiriéndonos a capitales equivalentes, cuya definición se dará más adelante, si bien seadelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario leresulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrarhoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos que amboscapitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes.

De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar unopor otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación.Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida queestamos dispuestos a asumir en una operación concreta.

Para que una operación financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinienteslas cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor yacreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los quefinalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dichasustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático(una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de uncapital en el tiempo.

Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podránsustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operacionesfinancieras.

1. OPERACIÓN FINANCIERA

1.1. CONCEPTO

Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro uotros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una leyfinanciera.

En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja(cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así,por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente

supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagosperiódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, laoperación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.

La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan trespuntos:

1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital (es) porotro(s).

2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de laaplicación de una ley financiera.

3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma dedeterminar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan laoperación, resultado de la consideración de los intereses generados.

1.2. ELEMENTOS

1.2.1. Personales

En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone adisposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará,incrementados en el importe de los intereses.

La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor seconsiderará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando eldeudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta actuaciónpor ambas partes se le denomina la contraprestación de la operación financiera.

En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de laspartes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiemposupone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá queconsiderar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca sonaritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resultenfinancieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y contraprestaciónen el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciríala igualdad numérica entre ambas.

Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de uncapital que incluso se pueden solapar en el tiempo.

1.2.2. Temporales

Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se ledenomina origen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de laoperación financiera se le llama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempoque transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la operación financiera,durante el cual se generan los intereses.

1.2.3. Objetivos

La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: lacuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, eltanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado.

1.3. CLASES

1. Según la duración:

A corto plazo: la duración de la operación no supera el año. A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.

2. Según la ley financiera que opera:

Según la generación de intereses:o En régimen de simple: los intereses generados en el pasadono se

acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, interesesen el futuro.o En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se

acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro. Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:

o De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro.o De actualización o descuento: sustituye un capital futuro porotro capital

presente.

3. Según el número de capitales de que consta:

Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación. Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital enla prestación

y/o en la contraprestación.

2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉSSe entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar entanto por cien (%), o en tanto por uno.

Si en el momento t1 disponemos de un capital Q y éste se convierte en un capital C2 enun determinado momento t2, el rédito de la operación será:

Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final, no setiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha generado eserendimiento. Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tantode interés (i).

Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:

Rédito y tanto coincidirán cuando el intervalo de tiempo es la unidad.

EJEMPLO

Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 dispo nible dentro de unaño. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual?

Pero si la operación dura 2 años:

Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte tem poral, noocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendo invariable el resto deelementos, inversamente proporcional al plazo de la ope ración.

CAPÍTULO 1. Capitalización simple 1. Operaciones en régimen de simple 2. Equivalencia financiera de capitales

3. Descuento de efectos 4. Cuentas corrientes 5. Crédito bancario: la póliza de crédito

1. Operaciones en régimen de simpleLas operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida quese van generando no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no sonproductivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculansiempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de interés vigente en cada período.

Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año).

1.1. Capitalización simple 1.2. Tantos equivalentes 1.3. Descuento simple

1.1. Capitalización simple1.1.1. Concepto

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otroequivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera enrégimen de simple.

1.1.2. Descripción de la operación

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata dedeterminar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condicionesen las que la operación se contrata (tiempo -n- y tipo de interés -i-).

Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de losintereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hastael final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial.

1.1.3. Características de la operación

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producirnuevosintereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, altanto deinterés vigente en dicho período.

Gráficamente para una operación de tres períodos:

1.1.4. Desarrollo de la operación

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al iniciodel mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolucióndel montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i)

Momento 2:C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i)

Momento 3:C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i)

...

Momento n:Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i

Cn = C0 x (1 + n x i)

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constantetodos los períodos.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalizaciónsimple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datoscualesquiera, se podría despejar el cuarto restante.

Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que sehan generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempreha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuálsea).

EJEMPLO 1

Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años enrégimen de capitalización simple.

C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640 €

EJEMPLO 2

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000euros al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interésun punto porcentual.

En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al serdiferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultadode añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre elcapital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate.

C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180 €

1.1.5. Cálculo del capital inicial

Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, laduración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + n x i)

despejando C0 resulta:

EJEMPLO 3

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros paracomprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?

1.1.6. Cálculo de los intereses totales

Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capitalinicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in

C0 x (i1 + i2 + ... + in)

Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple:

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i

C0 x i x n

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos:

In = Cn - C0

EJEMPLO 4

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada período:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x0,07 x 4 = 84 €

También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384

In = 384 - 300 = 84 €

EJEMPLO 5

¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?

In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €

1.1.7. Cálculo del tipo de interés

Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final yduración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple ydespejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + n x i)

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):

Despejar el tipo de interés, dividiendo por n la expresión anterior:

EJEMPLO 6

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5años se obtenga un montante de 1.500 euros.

1.1.8. Cálculo de la duración

Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo deinterés, partiendo de la fórmula general de la capitalización simple y despejando lavariable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuación anterior):

Cn

--- = 1 + n x i

C0

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

Cn

--- - 1 = n x i

C0

Despejar la duración n, dividiendo por i:

EJEMPLO 7

Un capital de 2.000 euros colocado a interés simple al 4% anual asciende a 2.640 euros.Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

1.2. Tantos equivalentesNormalmente los tipos de interés suelen venir expresados en términos anuales, pero nosiempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayoría de las ocasiones, laacumulación de los intereses al capital inicial se hace en períodos más pequeños (meses,trimestres, semestres, ...).

La cuestión es ¿por el hecho de modificar la frecuencia de cálculo de intereses mebeneficiaré o, por el contrario, me veré perjudicado? En este sentido, lo lógico es pensarque cualquiera que sea el número de veces que se calculen los intereses, al final elimporte total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operaciónno se vea afectado.

En consecuencia, si se cambia la frecuencia de cálculo de los intereses habrá quecambiar el importe del tanto de interés aplicado en cada caso. Surge el concepto detantos equivalentes.

1.2.1. Concepto

Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que sontantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismoperíodo de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final omontante.

1.2.2. Relación de tantos equivalentes

Los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen lasiguiente expresión:

i = ik x k

donde k se denomina frecuencia de capitalización y se define como el número departes iguales en las que se divide el período de referencia (considerando como tal elaño), pudiendo tomar los siguientes valores:

k = 2 -> semestre i2 = tanto de interés semestral

k = 3 -> cuatrimestre i3 = tanto de interés cuatrimestral

k = 4 -> trimestre i4 = tanto de interés trimestral

k = 12 -> mes i12 = tanto de interés mensual

EJEMPLO 8

Determinar el montante resultante de invertir 700 euros durante 3 años en las siguientescondiciones:

a) Interés anual del 12%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,12) = 952 €

b) Interés semestral del 6%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,06 x 2) = 952 €

c) Interés mensual del 1%

Cn = 700 x (1 + 3 x 0,01 x 12) = 952 €

1.3. Descuento simpleSe denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de uncapital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación dela ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización.

1.3.1. Características de la operación

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (yrestar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tantode interés vigente en dicho período.

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn)cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que sequiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa elcapital futuro) y tanto de interés aplicado.

El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) seráde cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capitalfuturo deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capitaldesde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa,anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera.

Gráficamente:

Elementos:

D: Descuento o rebaja.Cn: Valor final o nominal.C0: Valor actual, inicial o efectivo.i ó d: Tanto de la operación.

Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entreambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión:

D = Cn – C0

Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de interesesque experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, porlo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe elcapital futuro). Se cumple:

D = Capital x Tipo x Tiempo

Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremosante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica:

Descuento racional, matemático o lógico, y Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en estetipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que sequiere sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual seránecesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.

1.3.2. Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo deinterés efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual queocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendoahora la incógnita el capital inicial (C0).

Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, paraposteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

• Cálculo del capital inicial:

CnC0 = -------------

1 + n x i

• Cálculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x iDr = Cn – C0 = Cn – -------------- = --------------

1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x iDr = C0 x i x n = --------------- x i x n = -----------------

1 + n x i 1 + n x i

1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando untipo de descuento (d).

En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormenteel capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodosdescontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular losintereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + … + Cn x d = Cn x n x d

<---------------------------------->n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn – Dc = Cn – Cn x n x d = Cn x (1 – n x d)

C0 = Cn x (1 – n x d)

EJEMPLO 9

Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros convencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y eldescuento de la operación.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuentoracional):

100C0 = ---------------- = 76,92 €

1 + 3 x 0,1

Dr = 100 – 76,92 = 23,08 €

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08 €

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal(descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30 €

C0 = 100 – 30 = 70 €

o bien:

C0 = 100 x (1 – 3 x 0,1) = 70 €

1.3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes

Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipode descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo

porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo deintereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuentoracional (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo 9.

No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relaciónentre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad uotra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno deinterés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidadesde descuentos: Dr = Dc.

Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente:

Cn x n x i------------- = Cn x n x d1 + n x i

Y simplificando, dividiendo por Cn x n:

i------------ = d1 + n x i

Obteniéndose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:

Análogamente, conocido d se podrá calcular el tanto i:

La relación de equivalencia entre tipos de interés y descuento, en régimen de simple, esuna función temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tiposde interés como valores tome la duración (n) de la operación y al revés (no hay unarelación de equivalencia única entre un i y un d).

id = -------------

1 + n x i

di = --------------

1 – n x d

EJEMPLO 10

En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de interés es del 10% anual. ¿Qué tipo dedescuento anual deberá aplicarse para que ambos tipos de descuento resultenequivalentes?

Si i = 10%

Entonces se ha de cumplir:

0,1d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923%

1 + 3 x 0,1

Comprobación:

Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de interés del 10%(descuento racional):

100C0 = ---------------- = 76,92 €

1 + 3 x 0,1

Dr = 100 – 76,92 = 23,08 €

Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antescalculado del 7,6923% (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08 €

C0 = 100 – 23,08 = 76,92 €

o bien:

C0 = 100 (1 – 0,076923 x 3) = 76,92 €

2. Equivalencia financiera de capitalesCuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentesmomentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesantedesde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los demás). Paradecidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantías, setendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados.Además, la comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todoslos capitales a un mismo momento y ahí efectuar la comparación.

Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o máscapitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen elmismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en unmomento determinado se utilizará la capitalización o el descuento.

2.1. Principio de equivalencia de capitales: concepto 2.2. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de capitales

2.1. Principio de equivalencia decapitales: concepto

Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, sonequivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen lamisma cuantía.

Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales queintervengan en la operación.

Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferentecualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por elcontrario, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremospreferencia y, en consecuencia, lo elegiremos.

Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, notiene por qué cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no secumpla en ningún otro momento). Consecuencia de esta circunstancia será quela elección de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectará ycondicionará el resultado.

2.2. Aplicaciones del principio deequivalencia: sustitución de capitalesLa sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantíasdiferentes a las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambasalternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar enun mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A estemomento de tiempo donde se realiza la valoración se le denomina época o fecha focal o,simplemente, fecha de estudio.

Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar deacuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:

Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos. Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar

este dato varía el resultado del problema. Tanto de valoración de la operación. Decidir si se utiliza la capitalización o el descuento.

Casos posibles:

1. Determinación del capital común.2. Determinación del vencimiento común.3. Determinación del vencimiento medio.

2.2.1. Determinación del capital común

Es la cuantía C de un capital único que vence en el momento t, conocido, y quesustituye a varios capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en t1, t2, … , tn,respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y tiempos.

Para su cálculo se valorarán en un mismo momento al tanto elegido, por una parte, loscapitales de los que se parte y, por otra, el capital único desconocido que los va asustituir.

Si la equivalencia se plantea en 0:

Realizando la valoración con tipo de interés (i):

de donde se despejará C.

Realizando la valoración a tipo de descuento (d):

C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d)

despejando finalmente C, queda:

Si el estudio se realiza en el momento t, habrá que tener en cuenta que aquellos capitalesque tengan un vencimiento inferior a t habrá que capitalizarlos (empleando un tipo deinterés i), mientras que aquellos capitales con vencimientos superiores habrá quedescontarlos, pudiéndose emplear bien un tipo de interés o bien de descuento.


Se despejará C, pues todo lo demás se conoce.

EJEMPLO 11

Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y10 meses, respectivamente.

Propone sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 meses.

Se pide:

Calcular el importe a pagar si la operación se concierta al 8% de interés simple anual.

1.er caso: fecha de estudio en 0:

C = 11.032,53 €

2.º caso: fecha de estudio en 9:

C = 11.033,56 €

2.2.2. Determinación del vencimiento común

Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye avarios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todosellos conocidos.

Se tiene que cumplir:

Para obtener este vencimiento habría que proceder de la misma forma que en el caso delcapital común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único.Así, por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de interés (i):


simplificando:

Realizando la valoración a tipo de descuento (d):


se quitan los paréntesis y queda:

C1 - C1 x t1 x d + C2 - C2 x t2 x d + ... + Cn - Cn x tn x d = C - C x t x d

reordenando en el primer miembro:

C1 + C2 + ... + Cn - d [C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn] = C - C x t x d

de donde se despeja t.

EJEMPLO 12


De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.200euros.

Se pide:

Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de interés simple anual.La fecha de estudio es el momento cero.

t = 11,41 meses

2.2.3. Determinación del vencimiento medio

Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye avarios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todosellos conocidos.


C = C1+ C2 +... + Cn

El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que varía es la cuantía del capitalúnico que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser iguala la suma aritmética de las cuantías a las que sustituye.

Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d,quedaría así:


quitando los paréntesis:

C1 - C1 x t1 x d + C2 - C2 x t2 x d + ... + Cn - Cn x tn x d = C - C x t x d

reordenando en el primer miembro:

dividiendo la ecuación por – d:

En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmética ponderada de losvencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales losfactores de ponderación.

EJEMPLO 13


De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.000euros.

Se pide:

Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de descuento simpleanual. La fecha de estudio es el momento cero.

t = 8,55 meses

De otra forma:

3. Descuento de efectos3.1. CONCEPTOEl descuento bancario es una operación financiera que consiste en la presentación de untítulo de crédito en una entidad financiera para que ésta anticipe su importe y gestione

su cobro. El tenedor cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero,descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados.

3.2. CLASIFICACIÓNSegún el título de crédito presentado a descuento, distinguimos:

Descuento bancario, cuando el título es una letra de cambio.

– Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de unaprestación de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente.– Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de unpréstamo concedido por el banco a su cliente.

Descuento no cambiario, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro(pagarés, certificaciones de obra, facturas, recibos ).

3.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTOEl importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o líquido, y seobtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costesoriginados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos).

Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula enfunción del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo deinterés aplicado por la entidad financiera.

tIntereses = N x ------- x d

360

siendo:

N: Nominal del efecto.t: Número de días que el banco anticipa el dinero.d: Tipo de descuento anual, en tanto por uno.

Comisiones: también denominado quebranto o daño, es la cantidad cobrada por lagestión del cobro de la letra que realiza el banco.

Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades:

Un porcentaje sobre el nominal.

Una cantidad fija (mínimo).

Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientesconceptos: el timbre, correspondiente al IAJD y el correo, según la tarifa postal.

EJEMPLO 14

Se desea descontar una letra de 3.250 euros cuando aún faltan 60 días para suvencimiento en las siguientes condiciones:

Tipo de descuento: 14% anual. Comisión: 3‰ (mínimo 5 euros). Otros gastos: 2 euros.

Se pide:

Conocer el efectivo recibido por el cedente.

Nominal 3.250,00

Intereses (3.250 x 0,14 x 60/360)Comisión protesto (3.250 x 0,003)Otros gastos

75,839,752,00

Total gastos 87,58

Efectivo------------3.162,42

3.4. LETRA DEVUELTAEs aquella que se devuelve al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento porparte del librado.

Si la letra había sido descontada previamente, el banco se la cargará en cuenta delcliente, junto con los gastos originados por el impago.

Gastos de devolución:

– Comisión de devolución.– Correo.

Gastos de protesto:

– Comisión de protesto.– Coste del protesto.

Intereses:

Cuando el banco cobre con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letradevuelta por impagada. Se calcularán sobre la suma del nominal de la letraimpagada más el importe de todos los gastos originados por el impago, por elperíodo transcurrido entre vencimiento y cargo.

EJEMPLO 15

Llegado el vencimiento de la letra del ejemplo 14, ésta es devuelta por impagada,cargándose en la cuenta del cedente por los siguientes conceptos:

Comisión de devolución: 1‰. Comisión de protesto: 2‰. Correo: 2,50 euros.

Se pide:

Determinar el importe adeudado en la cuenta corriente del cedente.

Nominal .. 3.250,00

Comisión devoluc. (3.250 x 0,001) .Comisión protesto (3.250 x 0,002) .Correo ..

3,256,502,50

Total gastos . 12,25

Adeudo en c/c .------------3.262,25

3.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓNSe designa así a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta,junto con los gastos que originó su devolución.

Se trata de determinar cuál ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal quetodos los gastos se le repercutan a quien los originó (el librado).

Para su cálculo se tratará como una letra que se emite y descuenta en unas condicionesnormales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que sedesea recuperar –nominal impagado más los gastos de la devolución más los gastos delgiro y descuento de la nueva letra–) y el nominal es desconocido (que hay que calcular).

EJEMPLO 16

Finalmente para recuperar la letra devuelta por impagada del ejemplo 15 se llega alacuerdo de girar una nueva letra con vencimiento a 30 días, en las siguientescondiciones:

Tipo de descuento: 15%. Comisión: 3‰. Otros gastos: 10 euros.

Se pide:

Determinar el importe de la nueva letra.

E’ = N’ – (I’ + C’ + F’)

3.262,25 = N’ – N’ x 0,15 x 30/360 – 0,003 x N’ – 10

N’ = 3.323,77 €

3.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOSEn ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al bancocon un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por períodos temporales,para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales.

El documento en el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura denegociación.

Proceso de liquidación:

Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa. Sumar cada una de las tres siguientes columnas:

– Importe nominal.– Importe intereses.– Importe comisiones.

Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte. El importe líquido resultante de la negociación se obtendrá restando del nominal

total de la remesa el montante de todos los gastos habidos.

EJEMPLO 17

Se presenta a descuento la siguiente remesa de efectos:

Efecto Nominal Días de descuento

ABC

30.00020.00015.000

202530

Las condiciones del descuento son:

Tipo descuento: 12%. Comisión: 5‰ (mínimo 90 euros). Correo: 6 euros/efecto.

Se pide:

Descontar la remesa anterior.

Solución:

Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión Correo

ABC

30.00020.00015.000

202530

12%12%12%

200,00166,67150,00

5‰5‰

mínimo

15010090

666

65.000 516,67 340 18

Nominal 65.000,00

Interés .ComisiónCorreo ..

516,67340,0018,00

Total gastos .. 874,67

Efectivo .-------------64.125,33

4. Cuentas corrientes4.1. DEFINICIÓNUn contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relacionescomerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe delas operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha queseñalen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, perodonde más se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes.

Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depósito y decrédito.

Una cuenta corriente de depósito es un contrato bancario por el que el titular puedeingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previoaviso. En la cuenta corriente de crédito es el banco quien concede al cliente (acreditado)la posibilidad de obtener financiación hasta una cuantía establecida de antemano (límitedel crédito).

Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata más de uninstrumento de gestión en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuentade su cliente, cuantas operaciones son inherentes al «servicio de caja», pueden llegar aconvertirse en una fuente de financiación (descubierto bancario).

4.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTESLas cuentas corrientes de depósito se pueden clasificar según diversos criterios.

I. Según sus titulares:

Individual: abierta a nombre de un solo titular. Conjunta: cuando hay dos o más titulares, exigiéndose que cualquier acto deba

ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firmade todos ellos.

Indistinta: cuando hay dos o más titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellosde los fondos utilizando únicamente su firma.

II. Según el devengo de interés:

Cuentas corrientes sin interés: son aquellas en las que no se paga ningún tantopor el aplazamiento de los capitales.Para hallar la liquidación bastará calcular la diferencia entre el Debe y el Haberde dicha cuenta.

Cuentas corrientes con interés: en este caso los capitales producen interés por elperíodo que media entre la fecha valor de la operación y la fecha de liquidaciónde la cuenta.

En las cuentas corrientes con interés, éste puede ser:

Recíproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica elmismo tanto de interés.

No recíproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismoque el aplicado a los capitales acreedores.

Para liquidar estas cuentas no bastará con calcular la diferencia entre las sumas del Debey del Haber sino que deberemos hallar también el interés.

4.3. NORMAS DE VALORACIÓNValorar una operación en una cuenta bancaria es adjudicarle una fecha a efectos delcálculo de intereses. En este sentido hay que diferenciar entre la fecha donde tiene lugarla operación (fecha operación) y la que se considera para el cómputo de intereses (fechavalor).

La Circular 8/1990 del Banco de España establece las condiciones mínimas devaloración que deben aplicar las entidades financieras, distinguiendo entre operacionesde abono y de adeudo.

ABONOS

Clase de operaciones Fecha de valoración a efectosdel devengode intereses

1. Entregas en efectivo.

1.1. Realizadas antes de las 11 de lamañana.1.2. Las demás.

El mismo día de la entrega.El día hábil siguiente a laentrega.

2. Entregas mediante cheques, etc.

2.1. A cargo de la propiedad entidad El mismo día de la entrega.

(sobre cualquier oficina).2.2. A cargo de otras entidades (1).

Segundo día hábil siguiente ala entrega.

3. Transferencias bancarias, órdenes de entregay similares.

3.1. Procedentes de la propia entidad.3.2. Procedentes de otras entidades.

El mismo día de su orden enla oficina de origen.El segundo día hábil siguientea su orden en la oficina deorigen (2).

4. Descuento de efectos. Fecha en la que comienza elcálculo de intereses (3).

5. Presentación de recibos de carácterperiódico, cuyo adeudo en cuenta haautorizado previamente el deudor.

El mismo día del adeudo.

6. Venta de divisas. El día hábil siguiente al de lacesión de las divisas.

7. Venta de valores. El día hábil siguiente a lafecha de la venta en Bolsa.

8. Abono de dividendos, intereses y títulosamortizados, de valores depositados.

El mismo día del abono.

9. En cuentas de tarjetas de crédito, de garantíade cheques y similares.

El mismo día.

10. Otras operaciones. Véanse notas.

(1) Incluido el Banco de España.(2) A cuyo efecto esta fecha deberá constar en la información referente a latransferencia.(3) En el cálculo de intereses no se incluirá el día del vencimiento del efecto.

ADEUDOS

Clase de operaciones Fecha de valoración a efectos del devengode intereses

1. Cheques.

1.1. Pagados porventanilla o porcompensación interioren la oficina librada.1.2. Pagados en firmepor otras oficinas o

El mismo día de su pago.El mismo día de su pago, acuyo efecto la oficina pagadora estampará su sellocon indicación de la fecha de pago. Si faltase esterequisito se adeudará con valor del día de su cargoen cuenta.

entidades.

2. Reintegros odisposiciones.

El mismo día de su adeudo en la cuenta librada.

3. Órdenes detransferencia, órdenes deentrega y similares.

El mismo día de su orden (1).

4. Efectos devueltos.

4.1. Efectosdescontados.4.2. Chequesdevueltos.

El día de su vencimiento.El mismo día de valoración que se dio al abonarlosen cuenta.

5. Recibos de carácterperiódico cuyo adeudoen cuenta ha autorizadopreviamente el deudor.

5.1. A cargo deldeudor.5.2. Devolución delcliente.

Fecha del adeudo.La valoración aplicada en el abono.

6. Compra de divisas. El mismo día de la entrega de las divisas.

7. Compra de valores. El mismo día de la compra en bolsa.

8. Efectos domiciliados. Los efectos cuyo pago se domicilie en una entidadde depósito, tanto en el propio efecto como en elaviso de cobro, serán adeudados en la cuenta delibrado con valor día del vencimiento, tanto siproceden de la propia cartera de la entidaddomiciliada como si le han sido presentados porentidades a través de la Cámara de Compensación ode una cuenta interbancaria.

9. Derivados de tarjetasde crédito y similares.

Según contrato de adhesión.

10. Otras operaciones. Véanse notas.

(1) En las transferencias ordenadas por correo se entenderá por fecha de la orden la derecepción en la entidad.

Notas:

a) En todas las demás operaciones no contempladas expresamente, los adeudos yabonos se valorarán el mismo día en que se efectúe el apunte, si no se producemovimiento de fondos fuera de la entidad. En caso contrario, los abonos se valorarán eldía hábil siguiente a la fecha del apunte.

b) La consideración de los sábados como días hábiles o inhábiles deberá estar enfunción de la clase de operación de que se trate. Si su formalización hubiese deretrasarse por imperativos ajenos a la entidad (pagos a Hacienda, operaciones de bolsa,Cámara de Compensación, etc.) será día inhábil. En los restantes casos, en que laoperación pueda formalizarse en el día, será considerado hábil. …/…

4.4. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTESConocidos los capitales y el tanto de interés, que se fija de antemano, sólo falta hallar eltiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tresmétodos: directo, indirecto y hamburgués. A continuación se comentará brevemente elfuncionamiento de los dos primeros y se estudiará con más detalle el métodohamburgués, que es el sistema que actualmente se emplea.

4.4.1. Método directo

Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días quemedian desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidación.

4.4.2. Método indirecto

En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hastauna fecha fija denominada época. Ello supone un cálculo de intereses que no secorresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidacióndeben rectificarse.

4.4.3. Método hamburgués o de saldos

Este método recibe el nombre de hamburgués porque se usó por primera vez enHamburgo. Y de saldos porque los números comerciales se calculan en base a los saldosque van apareciendo en la cuenta (y no en función de los capitales).

Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este método son los siguientes:

1. Se ordenan las operaciones según fecha-valor.2. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales.Cada vez que hagamos una anotación cambiará el saldo de la cuenta.3. Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del últimovencimiento a la fecha de cierre.4. Se calculan los números comerciales multiplicando los saldos por los días y secolocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor.5. A partir de aquí terminaremos la liquidación del siguiente modo:

1. Cálculo del interés.

Intereses deudores = Suma de números deudores x Multiplicador fijo del bancoIntereses acreedores = Suma de números acreedores x Multiplicador fijo delcliente

El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de interés deliquidación (anual) entre el total de días del año (360 ó 365).

2. Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores.3. Cálculo del saldo a cuenta nueva.

EJEMPLO 18

Liquidar por el método hamburgués la siguiente cuenta, cuyo titular, Óscar de Lózar, harealizado los siguientes movimientos:

Fecha Concepto Cuantía Signo

06-0514-0523-0511-06

Ingreso aperturaCheque a compensar a su favorCheque c/cIngreso en efectivo

35.00020.0005.000

10.000

HaberHaberDebe

Haber

Las condiciones de liquidación son las siguientes:

Fecha de liquidación el 30 de junio Por cada apunte una comisión de 3 euros IRC: 15% El interés anual aplicado es el 6%

Liquidación del período 06-05 al 30-06.

Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días Númerosacreedores

06-0514-0523-0511-06

IngresoaperturaCh./ comp. s/fCheque c/cIngresoefectivo

35.00020.0005.000

10.000

HHDH

35.00055.00050.00060.000

HHHH

891919

280.000495.000950.000

1.140.000

30-06 55 2.865.000

Cálculo de los números comerciales acreedores:

Cálculo de los intereses acreedores:

Retención impuestos (15% de 470,96) = 70,64

Comisión de administración (número de apuntes) = 3 x 4 = 12

Saldo después de la liquidación: 60.000 + 470,96 – 70,64 – 12 = 60.388,32

EJEMPLO 19

Liquidación por el método hamburgués de la siguiente cuenta corriente, cuya titular esla señora Manuela Jiménez Orgaz, en la que se aplican las siguientes condiciones:

Tipo anual de interés para saldos acreedores: 1% Tipo anual de interés para descubiertos: 12% Comisión sobre mayor descubierto: 2% sobre el mayor saldo descubierto

contable en el período de liquidación. Fecha de liquidación: 30 abril. La entidad bancaria utiliza 365 para calcular los intereses deudores y acreedores. IRC: 15%

A lo largo del período se han producido los siguientes movimientos:

Fecha Concepto Cuantía Vencimiento

01-0314-0314-0327-0330-0310-04

AperturaIngreso en efectivoLetra a su cargoTransferencia a su favorRecibo luzEntrega en efectivo

030.0006.000

18.00045.00020.000

01 marzo15 marzo05 marzo28 marzo

03 abril11 abril

35.000 x 8 =55.000 x 9 =50.000 x 19 =60.000 x 19 =

Total

280.000495.000950.0001.140.000----------------2.865.000


FechaOperac.

Concepto Cuantía

Signo

FechaValor

Saldos

Signo

Días

Númerosacreedores

Números

Deudores

14-0314-0327-0330-0310-04

Letra as/cargoIngresoefectivoTransferencia s/fRecibo luzEntregaefectivo

6.00030.00018.00045.00020.000

DHHDH

05-0315-0328-0303-0411-04

6.00024.00

042.00

03.00017.00

0

DHHDH

10136819

312.000(1)

252.000(2)

323.000(3)

60.000(5)

24.000(6)

30-04 56 887.000(4)

84.000(7)

Saldo antes de la liquidación: 17.000.

Cálculo de los números comerciales acreedores:

Cálculo de los intereses acreedores:

Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete):

(1) 24.000 x 13 =(2) 42.000 x 6 =(3) 17.000 x 19 =

Total

312.000252.000323.000------------887.000

Intereses (15-03 a 28-03) = 24.000 x 13/365 x 0,01 = 8,55

Cálculo de los números comerciales deudores:

Cálculo de los intereses deudores:

Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete):

Cálculo de retenciones sobre los intereses acreedores (rendimiento de capitalmobiliario):

15% x 24,30 = 3,65

Cálculo de comisión sobre mayor descubierto:

La comisión se calcula sobre los saldos en fecha operación, no en fecha valor. Por tanto,para ver si procede ésta habrá que ordenar los movimientos según se han producidorealmente (fecha operación).

Fecha operac. Concepto Cuantía Signo Saldos Signo Días

Intereses (28-03 a 03-04) = 42.000 x 6/365 x 0,01 =Intereses (11-04 a 30-04) = 17.000 x 19/365 x 0,01 =

Total

6,908,85--------24,30

(5) 6.000 x 10 =(6) 3.000 x 8 =

Total

60.00024.000---------84.000

14-0314-0327-0330-0310-04

Letra a s/cargoIngreso efectivoTransferencia s/fRecibo luzEntrega efectivo

6.00030.00018.00045.00020.000

DHHDH

6.00024.00042.0003.000

17.000

DHHDH

0136819

30-04 46

Se podrá cobrar una comisión sobre el mayor descubierto en fecha operación (en elsupuesto de que ocurriera más de uno durante el período liquidado). Estando prohibidaslas comisiones de apertura y similares en los descubiertos en cuenta corriente porvaloración. Así pues, de acuerdo con las fechas operación, sólo se ha producido undescubierto provocado por el pago del recibo de la luz el 30 de marzo por importe de3.000 sobre el que se aplicará el 2% establecido:

2% x? 3.000 = 60

Saldo después de la liquidación: + 17.000 + 24,30 – 27,62 – 3,65 – 60 = + 16.933,03

5. Crédito bancario: la póliza de créditoDifícil es encontrar una empresa que no disponga de al menos una póliza de créditocontratada con una entidad financiera. Y ello es porque al mismo tiempo que comoinstrumento de financiación (la más usada) es la vía a través del cual se articula granparte de los cobros y pagos de la actividad ordinaria.

En primer lugar, conviene diferenciar el crédito frente al conocido préstamo bancario.La diferencia está básicamente en dos puntos:

El crédito permite la disposición gradual de las cantidades necesarias, en lacuantía y por el tiempo que se desee. Mientras que en el préstamo se dispone deuna sola vez de toda la cantidad prestada.

En la póliza se paga por la cantidad dispuesta y en función del tiempo dedisposición. Por el contrario, en el préstamo se paga por el total aunque no sehaya usado.

Los créditos se formalizan en una póliza en la que se establecen las condiciones defuncionamiento: límite del crédito, tipo de interés, comisiones, frecuencia deliquidación, etc., instrumentándose a través de una cuenta bancaria que funciona y seliquida de forma parecida a las cuentas corrientes y que permite cuantificar cómo se hausado el dinero del banco y, en consecuencia, calcular el coste de la operación.

5.1. COSTES DERIVADOS DEL USO DE UNAPÓLIZA DE CRÉDITO

Intereses: calculados sobre los diferentes saldos vigentes, en función del tiempo de suvigencia y del tipo contratado:

Intereses deudores (o normales), por aquella parte del crédito que se hayadispuesto, siempre que no haya superado el límite contratado.

Intereses excedidos, por aquella parte dispuesta por encima del límite de créditoacordado.

Comisión de apertura: en función del límite de crédito concedido (cuantía que, enprincipio, podemos disponer como máximo), pagadera de una sola vez al principio.

Comisión de disponibilidad: en función del saldo medio no dispuesto, es lo que hay quepagar por la parte del crédito contratado (límite) y no utilizado.

Comisión de excedido: sobre el mayor saldo excedido, es decir, sobre la parte utilizadapor encima del límite del crédito.

Se habla de comisión sobre el mayor saldo excedido, porque solamente se podrá cobraruna comisión de excedido por cada período de liquidación, por lo que calculará sobre elmayor habido en dicho intervalo de tiempo.

5.2. LIQUIDACIÓN DE LA CUENTA DE CRÉDITOLa liquidación de estas cuentas se lleva a cabo por el método hamburgués, sistema querealiza los cálculos a partir de los saldos que va arrojando la cuenta a medida que seregistran, por orden cronológico, los movimientos que se vayan produciendo.

Los pasos para la liquidación son:

1. Cálculo del saldo de la cuenta cada vez que se realiza un nuevo movimiento.2. Hallar los días que cada saldo está vigente.3. Cálculo de los números comerciales, multiplicando cada saldo por los días que

está vigente, clasificando los números a su vez en: deudores, excedidos yacreedores, según que los saldos sean deudores, excedidos o acreedores,respectivamente.

Esto debe hacerse así porque después se aplica distinto tanto de interés al saldodeudor de los saldos excedidos del crédito (los que superan el límite contratado),así como a los saldos acreedores (a favor del cliente), aunque tal situación no esmuy frecuente.

4. La suma de números deudores, excedidos y acreedores.5. Cálculo de los intereses, que serán:

Intereses deudores = Números deudores x Multiplicador deudorIntereses excedidos = Números excedidos x Multiplicador excedidoIntereses acreedores = Números acreedores x Multiplicador acreedor

El multiplicador fijo es el cociente entre el tipo de interés a aplicar (en tanto poruno) y el número de días que tiene un año (360 ó 365).

Una vez calculados los intereses, se cargarán en cuenta los deudores y losexcedidos y se abonarán los intereses acreedores.

6. Se calculan y se cargan en cuenta:

La comisión sobre saldo medio no dispuesto, teniendo en cuenta que:

Saldo medio no dispuesto = Límite de crédito – Saldo medio dispuesto

siendo:

Saldo medio dispuesto =Suma de números deudores-------------------------------------Días que dura el crédito

7.La comisión sobre el saldo mayor excedido.

8. Por último se halla el saldo a cuenta nueva como diferencia entre el Debe y elHaber de capitales.

EJEMPLO 20

El señor don Javier Casal de Blas ha contratado con su banco una póliza de crédito enlas siguientes condiciones:

Límite de crédito: 20.000 euros Interés deudor (dentro del crédito concedido): 10% Interés excedido: 22% Interés acreedor: 1% Comisión de disponibilidad: 5‰ trimestral Comisión por máximo excedido: 1‰ trimestral Liquidación por trimestres vencidos.

A lo largo del primer período de liquidación se han producido los siguientesmovimientos:

15-04 Concesión de la póliza. Cargo de 400 euros por comisiones.20-04 Pago de una factura de 5.000 euros10-05 Pago de un talón de 10.000 euros

A lo largo del segundo período de liquidación se han producido los siguientesmovimientos:

08-08 Pago facturas varias 6.000 euros16-09 Ingreso en efectivo de 22.000 euros

A partir de estos datos se realizarán las siguientes liquidaciones:


Fecha

Concepto

Cuantía

Signo Saldo Sign

oDías

Númerosdeudores

Númerosexcedidos

Númerosacreedores

15-0420-0410-05

Comisión aper.PagofacturaPagotalón

4005.000

10.000

DDD

4005.40015.40

0

DDD

52066

2.000108.0001.016.40

0

15-07 91 1.126.40

0

Cálculo de los números comerciales deudores:

Cálculo de los intereses deudores:

Cálculo de la comisión de disponibilidad:

Saldo medio no dispuesto = 20.000 – 12.378,02 = 7.621,98

Comisión por disponibilidad = 0,005 x 7.621,98 = 38,11

Saldo después de la liquidación: – 15.400 – 312,89 – 38,11 = – 15.751,00

400 x 5 =5.400 x 20 =

15.400 x 66 =

2.000108.000

1.016.400-------------

Total 1.126.400

Liquidación del período 15-07 al 15-10

Fecha Concepto Cuantí

aSigno Saldo Sign

oDías

Númerosdeudores

Númerosexcedidos

Númerosacreedores

15-0708-0816-09

LiquidaciónPagofacturaIngresoefectivo

3516.000

22.000

DDH

15.751

21.751

249

DDH

243929

378.024780.000 68.289

7.221

15-10 92 1.158.02

4 68.289 7.221

Cálculo números deudores Cálculo números excedidos Cálculo números acreedores

15.751 x 24 = 378.02420.000 x 39 = 780.000

-----------------------------

1.751 x 39 = 68.289 249 x 29 = 7.221

Total 1.158.024

Cálculo de los intereses

Cálculo de la comisión de disponibilidad

Saldo medio no dispuesto = 20.000 – 12.587,22 = 7.412,78

Comisión por disponibilidad = 0,005 x 7.412,78 = 37,06

Cálculo de la comisión por máximo excedido:

Comisión por único excedido = 0,001 x 1.751,00 = 1,75

Saldo después de la liquidación: + 249 – 321,67 – 41,73 + 0,20 – 37,06 – 1,75 = –153,01

CAPÍTULO 2. Capitalizacióncompuesta.Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, adiferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasana formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez interesesen períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es unacapitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cadaperíodo se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan losintereses de períodos anteriores).

1. Capitalización compuesta 2. Tantos equivalentes 3. Tanto nominal (Jk) 4. Descuento compuesto 5. Equivalencia de capitales en compuesta

1. Capitalización compuesta1.1. CONCEPTO

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente convencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalizacióncompuesta.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓNEl capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0)de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se vanacumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n), pudiéndose disponerde ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓNLos intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevosintereses en los períodos siguientes.

Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente alinicio de dicho período.

Gráficamente para una operación de tres períodos:

1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓNEl capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al iniciodel mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolucióndel montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i)Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) == C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2

Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) == C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3

…Momento n:

Cn = C0 x (1 + i)n

Expresión que permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de

compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de laoperación.

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. En caso contrariohabrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalizacióncompuesta) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera,despejar el cuarto restante.

EJEMPLO 1

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años enrégimen de capitalización compuesta.

C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 €

Si se hubiese calculado en simple:

C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 €

La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por losintereses generados y acumulados hasta el final.

1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIALPartiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, laduración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + i)n

de donde se despeja C0:

EJEMPLO 2

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros paracomprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?

C0 =1.500

-----------------(1 + 0,06)2

= 1.334,99 €

1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALESConocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

In = Cn – C0

EJEMPLO 3

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?300 I4?

C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 €In = 393,24 – 300 = 93,24 €

1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉSSi se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final yduración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta ydespejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + i)n

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:Cn---- = (1 + i)n

C0

Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):

Despejar el tipo de interés:

EJEMPLO 4

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03

1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓNConocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo deinterés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta ydespejar la variable desconocida.

Punto de partida:

Pasar el C0 al primer miembro:

Extraemos logaritmos a ambos miembros:

Aplicamos propiedades de los logaritmos:

Despejar la duración:

EJEMPLO 5

Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202

n =log Cn – log C0

----------------------log (1 + i)

log 3.202 – log 2.000= ------------------------------

log 1,04= 12 años

1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LACAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTASi el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10%efectivo anual, durante 6 años, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al finalde cada período en un caso y otro:

Años 1 2 3 4 5 6

En simple.......... 1.100,00 1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00 1.600,00

En compuesta... 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 1.771,56

Donde se observa que el montante obtenido en régimen de simple va aumentandolinealmente, cada año aumentan 100 euros (los intereses del año, generados siempre porel capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operación en compuesta, cada añose van generando más intereses que en el período anterior: la evolución no es lineal sinoexponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada año mayor(los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes).

Gráficamente:

Transcurrido un período (1 año si se considera tipos anuales) el montante coincide enambos regímenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia,siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores.

De la misma forma, se cumple que para períodos inferiores al año el montante es mayoren régimen de simple y, a partir del año, es mayor en compuesta. Éste es el motivo de lapreferencia de la capitalización simple en operaciones a corto plazo y la compuesta parael largo plazo.

2. Tantos equivalentesLa definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, estoes, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantosequivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo períodode tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.

Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuenciadel cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar paraque la operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantosde interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguienteexpresión:

i = ik x k

Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen decompuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, elcálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuantomayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antesgenerarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuenciade acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado.

Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de untipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo deintereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinarel montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientescondiciones:

1. Interés anual del 12%

Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

2. Interés semestral del 6%

Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60

3. Interés trimestral del 3%

Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se estárealizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentestipos aplicados.

Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante finalsiga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES ENCOMPUESTALos tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguienterelación:

1 + i = (1 + ik)k

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica:

El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que setome (habitualmente el año).

Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuántotiempo se acumulan los intereses, dentro del período, al capital para producirnuevos intereses.

Esta relación se obtiene a partir de la definición de equivalencia vista anteriormente,obligando a que un capital (C0) colocado un determinado período de tiempo (n años)genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulación deintereses (i o ik):Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido será:

Cn = C0 x (1 + i)n

Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido será:

Cn = C0 x (1 + ik)nk

Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir laigualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación es lamisma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses–,se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que secumpla esa igualdad de montantes:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk

Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk

Quedando finalmente:

(1 + i ) = (1 + ik)k

Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e ik, para queproduzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.

El valor de i en función de ik será:

i = (1 + ik)k – 1

El valor de ik en función de i será:

ik = (1 + i)1/k – 1

EJEMPLO 6

Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año a un tanto del12% efectivo anual, suponiendo:

1. Devengo anual de intereses:

i = 0,12Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00 €

2. Devengo semestral de intereses:

Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de cálculo essemestral, habrá que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anualde partida, para después calcular el montante.

i2 = (1 + 0,12)1/2 – 1 = 0,05830Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00 €

3. Devengo trimestral de intereses:

Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente alanual conocido.

i4 = (1 + 0,12)1/4 – 1 = 0,028737Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00 €

Los resultados son los mismos, debido a la utilización de intereses equivalentes.

3. Tanto nominal (Jk)Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior deequivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades detiempo, los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser conscientesde la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En estepunto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unidadhabitual (en años) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: eltanto nominal.

El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando lafrecuencia de capitalización k por el tanto k-esimal:

Jk = ik x k

Expresión pensada para pasar fácilmente de un tanto referido al año (el tanto nominal) aun tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional.

Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o ik) onominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (también conocido comoanualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de él seobtienen tantos efectivos con los que sí se harán los cálculos necesarios.

A continuación se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantosefectivos anuales.

Tabla de conversión de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE)

La fórmula de cálculo es:

i = (1 + ik)k – 1 = (1 + Jk/k)k – 1

Frecuencia de capitalización

k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

Interés nominal Anual Semestral Trimestral Mensual

8% 8,000% 8,160% 8,243% 8,300%

9% 9,000% 9,202% 9,308% 9,381%

10% 10,000% 10,250% 10,381% 10,471%

11% 11,000% 11,303% 11,462% 11,572%

12% 12,000% 12,360% 12,551% 12,683%

El tipo de interés efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medidaque aumenta el número de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal estácalculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y sólo en ésa; si se quierecambiar a otra unidad distinta, habrá que volver a recalcular el tanto nominal, para queel resultado final no cambie.

Tabla de conversión de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos nominales

La fórmula de cálculo es:

Jk = ik x k = [(1 + i)1/k – 1] x k

Frecuencia de capitalización

k = 1 k = 2 k = 4 k = 12

Interésefectivo anual Anual Semestral Trimestral Mensual

8% 8,000% 7,846% 7,771% 7,721%

9% 9,000% 8,806% 8,711% 8,649%

10% 10,000% 9,762% 9,645% 9,569%

11% 11,000% 10,713% 10,573% 10,482%

12% 12,000% 11,660% 11,495% 11,387%

El tipo de interés nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medidaque aumenta el número de capitalizaciones anuales.

Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de untanto nominal, éste deberá ser diferente en función de la frecuencia de capitalizaciónpara la cual se haya calculado.

4. Descuento compuesto4.1. CONCEPTOSe denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de uncapital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación dela ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la decapitalización.

4.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓNLos intereses son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar)nuevos intereses en el futuro y, por tanto.

Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del períodoanterior, al tanto de interés vigente en dicho período.

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn)cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se

quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa elcapital futuro) y tanto aplicado.

El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) seráde cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capitaldeja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde elpresente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar suvencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera.

Al igual que ocurría en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional ycomercial, según cuál sea el capital que se considera en el cómputo de los intereses quese generan en la operación:

Descuento racional. Descuento comercial.

4.3. DESCUENTO RACIONALPara anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los interesesde un período el capital al inicio de dicho período, utilizando el tipo de interés vigenteen dicho período. El proceso a seguir será el siguiente:

Gráficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue:

Período n: Cn

Período n–1:

Cn-1 = Cn – In = Cn – Cn-1 x i

Cn-1 x (1 + i) = Cn

CnCn-1 = -------------

(1 + i)

Período n–2:

Cn-2 = Cn-1 – In-1 = Cn-1 – Cn-2 x i

Cn-2 x (1 + i) = Cn-1

Cn-1 CnCn-2 = ------------ = ------------

(1 + i)1 (1 + i)2

Período n–3:

Cn-3 = Cn-2 – In-2 = Cn-2 – Cn-3 x i

Cn-3 x (1 + i) = Cn-2

Cn-2 CnCn-3 = ----------- = ----------

(1 + i)1 (1 + i)3

Período 0:

C0 = C1 – I1 = C1 – C0 x i

C0 x (1 + i) = C1

C1 CnC0 = ---------- = ------------

1 + i (1 + i)n

Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resultade la anticipación del capital futuro. Se trata de la operación de capitalizacióncompuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y sepretende determinar el capital actual.

De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la capitalización compuesta, Cn= C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0):

Cn

C0

= ----------

(1 + i)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicialobtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dr), o descuento propiamentedicho:

Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

EJEMPLO 7

Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Siel pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si laoperación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto?¿Cuánto noshabremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000C0 = -------------- = 20.732,10 €

1,053

Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90 €

De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90 €

4.4. DESCUENTO COMERCIALEn este caso se considera generador de los intereses de un período el capital al final dedicho período, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho período. El proceso aseguir será el siguiente:

Gráficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue:

Período n: Cn

Período n-1:

Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)

Período n-2:

Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2

Período n-3:

Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) =

= Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)3

Período 0:

C0 = Cn x (1 - d)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicialobtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dc):

Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]

Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 años. Si el pago sehace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación seconcierta a un tipo de descuento del 10% anual? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por elpago anticipado?

C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90 €

Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10 €

De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:

Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10 €

4.5. TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTOEQUIVALENTESUna vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando uncapital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados serándiferentes según se realice por un procedimiento u otro.

Sería conveniente encontrar la relación que deben guardar los tantos de interés y lostantos de descuento para que el resultado de la anticipación fuera el mismo cualquieraque sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relación de equivalenciaentre tantos de descuento y de interés.

Esta relación de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en unoy otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos Dr = Dc,por tanto:

simplificando, dividiendo por Cn:

Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por – 1:

1---------- = (1 - d)n

(1 + i)n

Finalmente, extrayendo raíz n a la ecuación, queda la relación de equivalencia buscada:

11 – d = --------

1 + i

El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i será:

id = ---------

1 + i

Análogamente, encontraremos un tipo de interés equivalente a un d:

di = ---------

1 – d

Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duraciónde la operación. Por tanto, se cumple que para un tanto de interés solamente habrá untipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin teneren cuenta el tiempo en la operación.

EJEMPLO 9

Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Siel pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si laoperación se concierta…?

1.er caso: a un tipo de interés del 5% anual compuesto (descuento racional):

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

24.000C0 = -------------- = 20.732,10 €

1,053

2.º caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial):

C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00 €

Por tanto, aplicando un tipo de interés y de descuento idénticos los resultados sondistintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que elcapital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) y en consecuenciamenor el ahorro por la anticipación.Para conseguir el mismo resultado habría que calcular el tipo de descuento equivalenteal 5% de interés mediante la relación de equivalencia:

0,05d = ------------ = 0,047619

1 + 0,05

Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado será:

C0 = 24.000 x (1 – 0,047619)3 = 20.732,10 €

5. Equivalencia de capitales encompuestaPara comprobar si dos o más capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener elmismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales.

El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o más capitalessituados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferenciapor uno de ellos.

Ya vimos en las operaciones en simple la definición y utilidad de la equivalencia decapitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendoválidos. La diferencia fundamental viene dada porque en régimen de compuesta la fechadonde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operación, por tanto, sila equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si nose cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.

5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DEEQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALESLa sustitución de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentesa las anteriores sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambasalternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar enun mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudiéndoseplantear los siguientes casos posibles:

5.1.1. Determinación del capital común

Es la cuantía C de un capital único que vence en t, conocido, y que sustituye a varioscapitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellosconocidos.

5.1.2. Determinación del vencimiento común

Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye avarios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todosellos conocidos.


5.1.3. Determinación del vencimiento medio

Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye avarios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todosellos conocidos.


C = C1 + C2 + ... + Cn

EJEMPLO 10

Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y10 años, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tresdeudas por una sola a pagar a los 9 años.

Se pide:

Calcular el importe a pagar en ese momento si la operación se concierta al 8% de interéscompuesto anual.

1.er caso: fecha de estudio en 0:

2.000 4.000 5.000 C----------- + ---------- + ----------- = ---------

1,086 1,088 1,0810 1,089

resultando:

C = 11.469,05 €

2.º caso: fecha de estudio en 9:

5.0002.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C

1,08resultando:

C = 11.469,05 €

EJEMPLO 11

Un señor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5años, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno sólo, acordándose laoperación a un tipo de interés del 6%, calcular el momento del cobro único en lossiguientes supuestos:

1.º La cuantía a recibir fuera de 12.000 euros.

2.º La cuantía a recibir fuera de 13.000 euros.

1.er caso: vencimiento común

5.000 8.000 12.000----------- + ----------- = -----------

1,063 1,065 1,06t

12.0004.198,10 + 5.978,07 = ----------

1,06t

12.00010.176,17 = -----------

1,06t

12.0001,06t = ----------------

10.176,17

12.000log ----------------

10.176,17 0,071597t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 años

log 1,06 0,025306

2.º caso: vencimiento medio

5.000 8.000 13.000---------- + --------- = ------------

1,063 1,065 1,06t

13.00010.176,17 = -----------

1,06t

13.000log ----------------

10.176,17 0,106359t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 años

log 1,06 0,025306

Nota. En compuesta no se puede aplicar la fórmula vista en régimen de simple para elcálculo del vencimiento medio:

C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tnt = vencimiento medio = --------------------------------------------

C1 + C2 + ... + Cn

CAPÍTULO 3. Rentas 1. Rentas 2. Rentas constantes 3. Rentas variables en progresión geométrica 4. Rentas variables en progresión aritmética 5. Rentas fraccionadas 6. Rentas continuas 7. Rentas a interés simple

1. RentasHasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de uncapital único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo,hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número decapitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, ... Entodas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de unoen uno, como lo hemos hecho hasta ahora.

Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea dedesplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata deunas «fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupode capitales a la vez.

1.1. CONCEPTOLa renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes detiempo.

Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

Existencia de varios capitales, al menos dos. Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales

consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera quesea).

1.2. ELEMENTOS Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta. Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital. Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta.

Término: cada uno de los capitales que componen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

Gráficamente:

1.3. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN ELMOMENTO t (Vt)Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos lostérminos de la renta a dicho momento de tiempo t.

Casos particulares

Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es,resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero.

Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado dedesplazar todos los términos de la renta al momento n.

1.4. CLASES

1.4.1. Según la cuantía de los términos

Constante: cuando todos los capitales son iguales. Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose

distinguir:– Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente.– Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden.

- En progresión geométrica.- En progresión aritmética.

1.4.2. Según el número de términos

Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales. Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales.

1.4.3. Según el vencimiento del término

Pospagable: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo. Prepagable: los capitales se sitúan a principio de cada período.

1.4.4. Según el momento de valoración

Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final. Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen. Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.

1.4.5. Según la periodicidad del vencimiento

Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo queel tanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada.

No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempodistinta a la del tanto de valoración.

Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menorque aquella en la que viene expresada el tipo de valoración de la renta.

1.4.6. Según la ley financiera

Simple: emplea una ley financiera a interés simple, para desplazar los capitales. Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.

Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesarioclasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de lacombinación que presente habrá que aplicar una u otra, según proceda.

A las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el valor actual yfinal y para ello bastará con recordar la fórmula matemática que permite sumar una seriede términos que varían en progresión geométrica, creciente o decreciente. Estasexpresiones son las siguientes:

a1 - an x rS = ------------------

1 - r

fórmula de la suma de n términos en progresión decreciente,

an x r - a1S = -----------------

r - 1

para el caso de la suma de n términos en progresión creciente, donde a1 es el primertérmino de la progresión, an es el último término y r es la razón que siguen los términos.

2. Rentas constantesLas rentas de cuantía constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o nounitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas oanticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.

2.1. RENTA CONSTANTE, UNITARIA,TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA YENTERAVamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene unnúmero determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final delperíodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos ytanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente secalculará en régimen de compuesta (renta compuesta).

2.1.1. Cálculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante más fácil, la que tiene como término la unidad(renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontandoen régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada unode los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguienteterminología anùi, donde n representa el número de capitales e i el tanto de valoración:

que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:

que se puede calcular con la siguiente expresión:

que permite sumar n términos en progresión decreciente, donde a1 es el primer términode la progresión, an es el último término y r es la razón.

Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificandoposteriormente:

expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre síhasta su origen al tanto de interés i.

Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto deencontrarnos con una renta constante cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actualse representa por Anùi y se obtendría de la siguiente forma:

Sacando factor común el término c:

Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable,inmediata y entera de n términos, anùi:

La expresión Anùi indica, pues, que la renta es constante de cuantía diferente de launidad.

EJEMPLO 1

Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euroscada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

Moviendo los capitales uno a uno:

Utilizando la renta:

EJEMPLO 2

Calcular el valor de la imposición que tendremos que realizar en un banco que capitalizaal 12% de interés efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 euros alfinal de cada uno de los próximos 5 años.

Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal,pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre laimposición y los reintegros, aquélla debe coincidir con el valor actualizado de estosúltimos. Así, la imposición inicial será el valor actual de la renta formada por losreintegros al tanto que genera la operación.

2.1.2. Cálculo del valor final

Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal –n capitales–,pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir,valoraremos todos los términos de la renta en su final (momento n), quedandográficamente así:

Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizandoen régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentracada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguienteterminología snùi siendo n el número de capitales e i el tanto de valoración:

Que no es sino la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón r = 1+ i, que se puede calcular con la siguiente expresión:

donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón.

Aplicando dicha fórmula a los términos capitalizados de la renta y simplificandoposteriormente queda:

Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hastasu final empleando el mismo tanto de valoración:

por tanto el valor final de la renta será la capitalización de su valor actual.

Comprobación:

En el supuesto de ser los términos de cuantía c, el valor final (Snùi) se calculará así:

Simplificando, tomando factor común el término c:

Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n términos,pospagable, inmediata y entera, snùi:

Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:

EJEMPLO 3

Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cadauno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

Desplazando los capitales uno a uno:

V3 = 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331 €


Capitalizando el valor actual:

V3 = 248,69 x (1 + 0,1)3 = 331 €

EJEMPLO 4

Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 años, si imponemos al final decada uno de ellos 20.000 euros siendo el tipo de interés de la cuenta el 12% efectivoanual.

El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por lasimposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de interésde la propia cuenta.

EJEMPLO 5

Calcular el número de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final decada año para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual.

En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una rentaconstante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que sedesea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términosde la renta (n) que constituyen las imposiciones.

y mediante logaritmos se despeja la incógnita n:

2.2. RENTAS PREPAGABLESVamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene unnúmero determinado de capitales), prepagable (los términos vencen al principio delperíodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos ytipo de interés están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente secalculará en régimen de compuesta (renta compuesta).


Comenzaremos por la renta constante que tiene como término la unidad (renta unitaria),cuya representación gráfica es la siguiente:

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontandoen régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capitalhasta el origen se obtiene el valor actual que notaremos por änùi:

que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:

que se puede calcular con la siguiente expresión:

Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificandoposteriormente:

expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre síhasta su origen, al tanto de interés i.

Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando porseparado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto de capitales (n – 1) comorenta pospagable inmediata:

Para rentas constantes cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual (Änùi) seobtiene valorando en el origen cada uno de esos capitales:

Sacando factor común c:

Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, prepagable, inmediatay entera, änùi:

La expresión Änùi indica que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad.

Nota: los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de lasrentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son elresultado de capitalizar un período las rentas pospagables.

EJEMPLO 6

Calcular el valor actual y final de una renta de tres términos anuales situados aprincipios del año de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

• Valor actual



• Valor final


V3 = 100 x (1 + 0,1)3 + 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) = 364,10 €


Capitalizando el valor actual:

V3 = 273,55 x (1 + 0,1)3 = 364,10 €

2.3. RENTAS PERPETUASLas rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es infinito. Por este motivoa este tipo de rentas sólo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor final, ytodo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable,etc.

El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulasempleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de capitales (n)trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con elconcepto matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y por tanto, elnúmero de capitales) tiende a infinito.

En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:

• Renta unitaria:

• Renta no unitaria:

Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso dela definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de

calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta consideradapospagable.

• Renta unitaria:

• Renta no unitaria:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 euros siel tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientescasos:

a) Si los capitales son pospagables.

b) Si los capitales son prepagables.

a) Pospagables:

b) Prepagables:

2.4. RENTAS DIFERIDASSon aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entreel origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimientode la renta.

Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata devalorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido.

Gráficamente quedaría:

Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:

Sacando factor común:

quedará:

Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n términos),pospagable, inmediata y entera (anùi), que posteriormente se descuenta como un capitalúnico, al mismo tipo (i), durante el período de diferimiento (d). Por tanto, se obtendríael mismo resultado si valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y secalcula su valor actual) y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solocapital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto deinterés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería:

Analíticamente quedaría así:

Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d/anùi,donde n representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y d, elperíodo de diferimiento.

Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad (no unitaria) todo lodicho seguiría siendo válido y bastaría con multiplicar el valor de la renta unitaria por lacuantía del término.

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular esel valor final de la renta, aplicando la definición de valor final se ratará como una rentainmediata, aunque también se podría obtener dicho valor final a partir del valor actualdiferido:

Vn = V0 x (1 + i)n = Vt x (1 + i)d+n

EJEMPLO 8

Calcular el valor actual y final de una renta cuya duración es de 5 años, con términosanuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3años. Tanto de valoración 11% efectivo anual.

Se trata de una renta diferida 3 años, con términos prepagables y 5 términos.

• Valor actual:

• Valor final:

El diferimiento no afecta al valor final, que se podía haber calculado como el de unarenta inmediata de 5 términos prepagables:

2.5. RENTAS ANTICIPADASSon aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entreel final de la renta y el momento de valoración se denomina período de anticipación dela renta.

Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata devalorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido.

Gráficamente quedaría:

Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:

Vn+h = (1 + i)h + (1 + i)h+1 + (1 + i)h+2 + ... + (1 + i) h+n-1

Sacando factor común (1 + i)h quedará lo siguiente:

Vn+h = (1 + i)h x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1]

Donde el corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n términos),pospagable, inmediata y entera (snùi), que posteriormente se capitaliza como un capitalúnico, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). Por tanto, si primero sevalora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solocapital, se obtendría el mismo resultado.

Analíticamente quedaría así:

Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h/s nùi,donde n representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y h, elperíodo de anticipación.

La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizarácomo si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación entrediferentes valores de la renta:

Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuantía diferente ala unidad (no unitarias).

EJEMPLO 9

Calcular el valor actual y final de una renta de 3 términos anuales de 1.000 eurospagaderos por vencido si la valoración al 7% anual se efectúa a los 8 años decomenzada la renta.

Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoración se realiza 5 años después dehaberse hecho efectivo el último capital. No obstante, la anticipación no afecta al valoractual que se resolverá como una renta inmediata.

• Valor actual:

• Valor final:

también:

V8 = V0 x (1 + 0,07)8 = 2.624,32 x (1 + 0,07)8 = 4.509,06 €

3. Rentas variables en progresióngeométricaEste tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempocuyas cuantías son variables siguiendo una ley en progresión geométrica, esto es, cadatérmino es el anterior multiplicado por un mismo número (que se denomina razón de laprogresión geométrica) y que notaremos por q.

Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y larazón de la progresión (q).

3.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓNGEOMÉTRICA, TEMPORAL, POSPAGABLE,INMEDIATA Y ENTERAVamos a estudiar una renta variable (términos que siguen una progresión geométrica),temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencenal final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera(términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se digaexpresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).


La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ellollevaremos, uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de larenta i, desde donde está cada capital hasta el origen, obteniéndose el valor actual, quese nota con la siguiente terminología: A(c; q) nùi, expresión que recoge la informaciónde la renta (n términos al tanto i) y también datos de la progresión que siguen loscapitales (primer término –c– y razón de la progresión –q–):

Sacando factor común:

c----------(1 + i)

se obtiene:

donde el corchete es la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón:

qr = --------

1 + i

Aplicando la expresión que suma términos que siguen esta ley:

a1 – an x rS = ---------------------

1 – r

siendo a1 el primer término de la progresión, an, el último término y r, la razón.

Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el valor actual de larenta queda de la siguiente forma:

de donde finalmente se puede obtener:

expresión que solamente se podrá utilizar cuando q ≠ 1 + i.

Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresión del valor actual quedará de la siguienteforma:

sacando factor común:

El corchete, al simplificarse, no es más que la suma aritmética de n veces la unidad,quedando el valor actual así:


A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otromomento, utilizando la relación que existe entre los valores financieros en los diferentesmomentos de tiempo. En concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valoractual antes calculado.

EJEMPLO 10

Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que elprimer año va a ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de formaacumulativa para un horizonte temporal de 4 años.

a) Suponiendo una tasa de valoración del 7%.b) Suponiendo una tasa de valoración del 5%.

a) Valorando al 7%:

b) Valorando al 5%:

Nota. A idénticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales ala fecha de estudio.

3.2. RENTAS PREPAGABLESPara una renta variable con términos en progresión geométrica, temporal (n capitales),pospagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representación gráfica quedade la siguiente forma:


Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primercapital, que ya está en el origen y el resto de capitales, n–1, como renta pospagableinmediata de n–1 términos:

Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todoslos términos.


Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.

3.3. RENTAS PERPETUASEl cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como las demásrentas perpetuas, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiendea infinito:

resultando finalmente que el límite, y por tanto el resultado del valor actual, está enfunción de la relación existente entre el valor de la razón de la progresión (q) y (1 + i), ysólo tendrá sentido financiero cuando q < 1 + i, quedando el siguiente valor actual:

3.4. RENTAS DIFERIDAS

Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origende la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta.

Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se consideracomo inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dichovalor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuentocompuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamentesería:

El resultado final quedaría así:

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula comoen una renta inmediata.

3.5. RENTAS ANTICIPADASSon aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el período deanticipación de la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momentode su valoración.

Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y posteriormentecapitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h).También se podrá valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta elpunto deseado.

El resultado será:

La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizarácomo si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como encualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:

Vn Vn+hV0 = --------------- = ----------------

(1 + i)n (1 + i)n+h

EJEMPLO 11

Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15semestres si para el primer período ascienden a 500 euros y se estima un incrementosemestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteniéndose constante a partirde entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo semestral.

Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería aleatoria. Porel contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros términos (renta enprogresión geométrica inmediata) y a continuación los 5 últimos (renta constante ydiferida), podremos emplear fórmulas de rentas.

Así:

4. Rentas variables en progresiónaritméticaEste tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías van variando y lohacen siguiendo una ley en progresión aritmética, esto es, cada término es el anterioraumentado (o disminuido) en una misma cuantía (que se denomina razón de laprogresión aritmética) y que notaremos por d, siempre expresada en unidadesmonetarias.

Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y larazón de la progresión (d).

4.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓNARITMÉTICA, TEMPORAL, POSPAGABLE,INMEDIATA Y ENTERAVamos a estudiar una renta variable en progresión aritmética, temporal (tiene unnúmero determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final delperíodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos ytanto están en la misma unidad de tiempo).


La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontandoen régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están hasta elorigen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología A(c; d) nùi,expresión que además de recoger la información de la renta, recoge la información de laprogresión (c; d):

de donde finalmente se puede obtener la siguiente expresión:

que se puede convertir en esta otra fórmula de cálculo:

Nota: se ha prescindido del desarrollo matemático de esta demostración, reflejando elresultado final del mismo.


A partir del valor actual se podrá calcular cualquier otro valor financiero, utilizando larelación que existe entre los diferentes valores financieros en los distintos momentos detiempo:

Valor final:

EJEMPLO 12

Hallar el valor actual y final de una corriente de gastos anuales vencidos de un negocioque el primer año van a ser 2.000 euros y se espera que aumenten 100 euros cada año,suponiendo una tasa de valoración del 7% y para un horizonte temporal de 4 años.

• Valor actual:

• Valor final:

Nota: a idénticos resultados se hubiera llegado si valoramos uno a uno los capitales enla fecha de estudio.

4.2. RENTAS PREPAGABLESEn este caso, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o final (según proceda) dela renta pospagable.

4.3. RENTAS PERPETUASEl cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como para cualquierrenta perpetua, a través del límite cuando la duración (n) tiende a infinito:

resultando finalmente:

Todas las fórmulas se han desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 0), esdecir, que los términos van aumentando, aunque siguen siendo válidas para el casocontrario, bastaría con cambiar el signo de la razón (d) en las fórmulas.

4.4. RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADASSerán diferidas cuando se valoran con anterioridad a su origen y anticipadas cuando sevaloran después de su final.

Como en cualquier otro tipo de renta, se pueden establecer relaciones entre diferentesvalores de la renta. Así:

Vn Vn+hV0 = ------------ = --------------

(1 + i)n (1 + i)n+h

5. Rentas fraccionadasEl fraccionamiento de las rentas consiste en dividir cada período de varios sub-períodos(k) asociando a cada subperíodo un capital. Por tanto, el fraccionamiento de una rentade n períodos la transforma en otra de n x k términos referidos a otros tantossubperíodos.

A la hora de estudiar este tipo de rentas distinguiremos entre:

Rentas fraccionadas constantes. Rentas fraccionadas en progresión geométrica. Rentas fraccionadas en progresión aritmética.

Todas las fórmulas vistas hasta ahora son válidas para rentas enteras, ya fueranconstantes o variables. Pero, ¿servirán para cuando la renta es fraccionada? La respuesta

es afirmativa, siempre que se hagan los ajustes previos para convertirlas en rentasenteras.

5.1. RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTESSon aquellas en las que la unidad de tiempo en la que viene expresado el tanto de interésde la renta es mayor que el tiempo del término, cualquiera que sea una y otra.

Para resolver este tipo de rentas fraccionadas se puede proceder de dos formas distintas,que lógicamente llegan al mismo resultado final:

Utilizando el tanto equivalente. Utilizando el factor de transformación (o de conversión).

5.1.1. Método del tanto equivalente

Se trata de transformar el tipo de interés del problema en otro equivalente en la mismaunidad de tiempo que los capitales de la renta.

5.1.1.1. Rentas fraccionadas pospagables

Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo lostérminos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (enla unidad del período), la representación gráfica será:

En primer lugar, a partir del tipo de interés i se calcula el tanto equivalente que vengaexpresado en la unidad de los capitales (k-ésimos), para ello utilizaremos la relación detantos equivalentes en compuesta:

ik = (1 + i)1/k – 1

Resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), pospagable,inmediata y entera (al tanto ik):

Si queremos calcular el valor actual se deberían actualizar a un tanto ik todos loscapitales:

Finalmente:

Para el caso de renta perpetua:

El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de larenta al tanto ik, quedará de la siguiente forma:

o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:

EJEMPLO 13

Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto devaloración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales pospagables.

Al venir el tipo de la renta en años y los términos en trimestres, la renta es fraccionada.Teniendo otras características: constante, temporal (20 términos trimestrales),pospagable e inmediata.

Para su cálculo se convierte el tipo anual en un tipo trimestral equivalente, tratándosecomo una renta entera.

5.1.1.2. Rentas fraccionadas prepagables

Si seguimos la renta del caso anterior, pero introduciendo un único cambio consistenteen que los capitales se sitúan al principio de cada subperíodo, la situación queda así:

resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), prepagable,inmediata y entera (al tanto ik):

El valor actual se calcula actualizando a un tanto ik todos los capitales:

Finalmente:


El valor final se calculará, a partir de los términos de la renta, uno a uno hasta el final dela renta al tanto ik:


5.1.2. Método del factor de transformación

En este caso se trata de emplear los datos del problema y la informacióncomplementaria que se suministraría. En principio, lo normal será contar con tablas devalores actuales unitarios (anùi) , y de tantos nominales [Jk (i)], referidos al tanto i delsupuesto.

Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo lostérminos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (enla unidad del período). La representación gráfica será:

Para el cálculo del valor actual partimos de la expresión empleada anteriormente con elmétodo del tanto equivalente:

Pero ahora, en lugar de utilizar el tanto ik y trabajar con una renta de n x k términos,vamos a tener en cuenta las siguientes expresiones:

• La relación de tantos equivalentes en compuesta:

(1 + i) = (1 + ik)k

que generalizando para n períodos y elevando ambos miembros a (–1), queda:

(1 + i)-n = (1 + ik)-n x k

• El tanto nominal equivalente al tipo efectivo i:

Jk (i)

que nos permite conocer ik a partir del nominal:

Jk (i)ik = -----------

k

sustituyendo estos cambios en el valor actual de partida queda:

1 – (1 + i)-n 1 – (1 + i)-n

V0 = c x ------------------- = c x k x --------------------

Jk (i) Jk (i)---------

k

Si multiplicamos y dividimos el segundo miembro por i:

simplificando, queda:

siendo el cociente:

i-----------

Jk (i)

el denominado factor de transformación.

Al mismo resultado se hubiera llegado si sustituimos los k términos de un período porun único capital equivalente expresado en la unidad del tanto i y repitiendo esaoperación para el resto de períodos se habrá convertido la renta en entera (tanto devaloración y términos de la renta en la misma unidad de tiempo –en la unidad del tipode interés de partida–). Este capital equivalente puede tomarse al final del período(pospagable) o al principio (prepagable), sin que eso afecte al resultado final.Así, si el capital equivalente se considera pospagable, será el valor final de la rentaformada por los k términos fraccionados constantes llevados al final de período:

Una vez calculado X, se trataría de actualizar una renta constante, de n términos decuantía X, pospagable y entera.


El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de larenta al tanto ik:


Para rentas prepagables:

EJEMPLO 14

Se trata de resolver el ejemplo anterior a través del factor de transformación, por tanto,se pide el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto de valoraciónel 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales pospagables.Contamos con la siguiente información adicional:

EJEMPLO 15

Determinar el valor actual de una renta perpetua, siendo el tanto de valoración el 7%efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales prepagables. Se dispone, comoinformación adicional, del tanto nominal trimestral equivalente al 7% efectivo anual: J4(0,07) = 0,0682341.

Es una renta constante, perpetua, prepagable, inmediata y fraccionada (tanto devaloración anual y términos trimestrales).

5.2. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES ENPROGRESIÓN GEOMÉTRICASon aquellas en las que los términos siguen una progresión pero la razón de la variaciónse produce en una unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen dados loscapitales, cualquiera que sea el tipo de interés de la renta. Por ejemplo, el caso de larenta formada por las nóminas de un individuo que cobra mensualmente y tiene subidassalariales anuales calculadas sobre el sueldo del año anterior: los sueldos varíananualmente pero se mantienen constantes dentro del año.

Conviene recordar que las fórmulas de las rentas en geométrica utilizadas sólo sepueden aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta estánexpresados en la misma unidad (obligatoriamente la de la razón, para que hayaprogresión).

Por tanto, el ejemplo anterior (y cualquier caso parecido) no se podría resolveraplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión geométrica sin más.

Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce lavariación de los capitales (la unidad de la razón), lo que supondrá transformar, si esnecesario, el tanto de valoración del problema (a través de la expresión de tantosequivalentes en compuesta). Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienenconstantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período aotro (en el caso del ejemplo anterior, los sueldos se mantienen constantes dentro del añoy varían de un año para otro), y de la misma manera que se cambia el tipo de interés, sedeberán sustituir los términos por otros equivalentes en la unidad de la razón de laprogresión.

En el ejemplo de partida, la situación quedará gráficamente como sigue:

Se calculan términos anuales equivalentes a los términos constantes k-esimales:

No obstante, bastará con obtener el primero de ellos, porque según se observa los demásvarían en progresión con la razón de partida (q).Con carácter más general, una renta variable en progresión geométrica de razón q, contérminos k fraccionados, pospagables, temporal (de n períodos), al tanto i de valoración,la representación será la siguiente:

El cálculo del primer término equivalente c1 será:

y a continuación se tratará como una renta en progresión geométrica entera.

5.2.1. Valor actual

Si se quiere emplear una terminología en la que se aprecie el fraccionamiento, laexpresión del valor actual queda así:

Siendo:

k: la frecuencia de fraccionamiento.b x k: la suma aritmética de los capitales del primer período de la renta.q: la razón de la progresión.n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón).i: el tipo de interés en la unidad de tiempo de la razón.

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable,final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones yacomentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta.

5.2.2. Valor final

5.2.3. Prepagable

Es importante resaltar el hecho de que en las rentas prepagables, cuando se conviertenen pospagables multiplicando por (1 + tipo de interés) habrá que hacerlo con el tanto enel que vienen los capitales (1 + ik).

5.2.4. Perpetua

EJEMPLO 16

Calcular el valor actual de la siguiente renta:

Duración: 3 años.

Términos semestrales vencidos de 1.000 euros durante el primer año. Aumento anual acumulativo de los términos de un 10%. Tanto de valoración del 8% efectivo anual.

Se trata de una renta variable en progresión geométrica (aumento de tipo acumulativo)por años, con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata.

• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:

• Cálculo del valor actual empleando el término equivalente:

• Cálculo del valor final:

5.3. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES ENPROGRESIÓN ARITMÉTICAAl igual que en el caso de las geométricas fraccionadas, los términos varían, en estecaso de forma lineal (aumento/disminución constante), produciéndose la variación conuna unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen los capitales, cualquiera quesea el tipo de interés de la renta (por ejemplo, variación anual y capitales semestrales;variación trimestral y capitales mensuales, …).

Las fórmulas de las rentas en aritmética sólo se pueden aplicar cuando los términos, eltanto de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad(obligatoriamente la de la razón, para que haya progresión).

Por tanto, las situaciones anteriores (y cualquier caso parecido) no se podrán resolveraplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión aritmética sin más.

Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce lavariación de los capitales (la unidad de la razón), lo que supondrá transformar, si esnecesario, el tanto de valoración del problema (a través de la expresión de tantosequivalentes en compuesta). Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienenconstantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período aotro y de la misma manera que se cambia el tipo de interés, se deberán sustituir lostérminos por otros equivalentes en la unidad de la razón de la progresión.

Para el caso de una renta variable en la que los términos aumentan periódicamente unacantidad d (progresión aritmética de razón d), con términos fraccionados, pospagables,temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la representación será la siguiente:

Calculando el primero de los términos equivalentes (c1):

el resto de términos equivalentes se obtienen a partir del primero, porque varían enprogresión aritmética, siendo la razón el valor final de la renta que forma los aumentosconstantes (d):

Trabajando en la unidad de variación de los capitales (la de la razón):

5.3.1. Valor actual

Si se quiere emplear una terminología en la que se aprecie el fraccionamiento, laexpresión del valor actual queda así:

Siendo:

k: la frecuencia de fraccionamiento.b x k: la suma aritmética de los capitales del primer período de la renta.d x k: la suma aritmética de los aumentos de un período respecto a otro (razón de laprogresión).n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón).i: el tipo de interés en la unidad de tiempo de la razón.

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable,final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones yacomentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta.

5.3.2. Valor final

5.3.3. Prepagable

En las rentas prepagables, cuando se convierten en pospagables multiplicando por (1 +tipo de interés) habrá que hacerlo con el tanto en el que vienen los capitales (1 + ik).

5.3.4. Perpetua

EJEMPLO 17

Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

Duración: 3 años. Términos semestrales vencidos de 1.000 euros durante el primer año. Aumento anual de los términos de un 10% sobre las cuantías del primero de

ellos. Tanto de valoración del 8% efectivo anual.

Se trata de una renta variable en progresión aritmética (aumento de tipo lineal) por años,con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata.

Gráficamente:

• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:

• Cálculo del valor actual empleando el término equivalente:

• Cálculo del valor final:

6. Rentas continuasSerá una renta continua todo conjunto de capitales separados entre sí por períodosinfinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas se pueden entender como rentasfraccionadas donde el fraccionamiento tiende a ser infinito dentro de cada período.

En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia defraccionamiento del término sea superior a 12.

6.1. RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE,INMEDIATA Y CONTINUA

Comenzaremos por la unitaria, tomando como referencia la unidad en la que vieneexpresado el tanto, y subdividiendo los períodos en infinitos subperíodos.

Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable,inmediata y fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (anù i), el desarrolloes el siguiente:

por otra parte:

aplicando la regla de L'Hopital:

el resultado final es:

Cuando la renta es constante de cuantía c:

Iguales resultados se obtendrían si la renta se considera prepagable, puesto que al serinfinitesimal el subperíodo no hay diferencias entre el inicio y el final del mismo.

El cálculo del valor final se obtendría capitalizando el valor actual:

Las rentas perpetuas son aquellas cuya duración tiende a infinito. El valor actual deestas rentas se obtendrá con el concepto matemático del límite, cuando la duración de larenta tiende a infinito.

Cuando la renta es constante de cuantía c:

Conclusión: las rentas continuas, a efectos de cálculo, se pueden considerar como unarenta fraccionada con frecuencia de fraccionamiento superior a 12, pudiéndose aplicartodas las fórmulas de las rentas fraccionadas cambiando el Jk (i) por Ln (1 + i).

EJEMPLO 18

Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por unaempresa sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, siendo el tanto devaloración el 12% efectivo anual. Considérese año comercial.

Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración(año), se trata en principio de una renta fraccionada.

Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremoscomo renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.

Si se hubiese resuelto como renta fraccionada, a través del tanto equivalente, en cuyocaso habría que calcular el tanto diario a partir del tanto anual de partida, el resultadosería el siguiente:

Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos poruno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha tenido encuenta la consideración del límite que las otras expresiones sí que llevan implícitas.

6.2. RENTA CONTINUA VARIABLE ENPROGRESIÓN GEOMÉTRICASe trata de una renta fraccionada en progresión geométrica con la particularidad de queahora en lugar de haber un número finito de subperíodos consideraremos infinitos.

Considerándola temporal e inmediata, la representación gráfica será la siguiente:

El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:

EJEMPLO 19

Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos de una persona,sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, aumentando de maneraacumulativa un 3% cada año, siendo el tanto de valoración el 12% efectivo anual.Considérese año comercial.

Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración(año), se trata, en principio, de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuenciade fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5años e inmediata.

• Valor actual:

• Valor final:

No obstante, se podría haber resuelto como renta fraccionada, a través del término anualequivalente:

• Valor actual:

• Valor final:

Como se puede apreciar, al igual que en los ejemplos anteriores, existen ciertasdiferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema.

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: final, perpetuo,diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estoscálculos en cualquier tipo de renta.

6.3. RENTA CONTINUA VARIABLE ENPROGRESIÓN ARITMÉTICASe trata de una renta fraccionada en progresión aritmética, de razón d, con laparticularidad de que ahora en lugar de haber un número finito de subperíodosconsideraremos infinitos.

Partiendo de una renta temporal e inmediata, cuya representación gráfica es la quesigue, obtendremos el resto de posibles casos que nos podemos encontrar.

El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:

Siendo D la razón de la progresión aritmética:

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable,final, perpetuo, diferido y anticipado.

7. Rentas a interés simpleSe trata de valorar un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en undeterminado momento pero la duración de la operación no supera el año, por tanto, setrata de operaciones a realizar en régimen de simple.

A diferencia de lo que ocurría con las rentas valoradas en régimen de compuesta, en lasrentas en simple (que emplean leyes financieras en régimen de simple), por lasparticularidades de este tipo de leyes, habrá que distinguir a la hora de calcular valoresactuales y finales. De hecho, solamente se obtienen expresiones fáciles de emplearcuando los valores actuales se realizan a tipo de descuento y los valores finales a tipo deinterés.

7.1. VALOR ACTUALPara el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada aun tipo de descuento (d) la situación será:

Aplicando la definición de valor actual empleando descuentos comerciales simples:

V0 = c x (1 – d) + c x (1 – 2d) + c x (1 – 3d) + ... + c x (1 – nd)

Simplificando:

V0 = c x [(1 + 1 + … + 1) – (d + 2d + 3d + … + nd)]

Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundoes una suma de n términos en progresión aritmética, por tanto:

Si, en cambio, la renta fuera prepagable, manteniéndose las demás características sincambios, el cálculo será:

Aplicando la definición de valor actual empleando descuentos comerciales simples:

V0 = c + c x (1 – d) + c x (1 – 2d) + c x (1 – 3d) + ... + c x [1 – (n – 1) d]

Simplificando, igual que en el caso anterior:

Finalmente:

A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores actuales delos n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todosellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio.

En efecto, para el caso de términos, n términos pospagables, el vencimiento mediovendría dado por:

1 + 2 + 3 + … + nVm = --------------------------

n

Siendo el numerador la suma de n términos en progresión aritmética que será lasemisuma de los extremos por el número de términos, queda:

(1 + n) x n---------------

2 (1 + n) x n n + 1Vm = ------------------ = ------------------ = ---------

n 2n 2

Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un único capital de cuantía c x n:

resultando:

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería:

[0 + (n – 1)] x n----------------------

0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) 2Vm = ------------------------------------- = ----------------------

n n

(n – 1) x n n – 1Vm = ----------------------------- = -------------------

2n 2

Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

Obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:

EJEMPLO 20

Calcular el valor actual de la siguiente renta:

Duración: 1 año. Términos cuatrimestrales de 100 euros. Tipo de descuento: 2% simple cuatrimestral.

a) Suponiendo términos vencidos.b) Suponiendo términos prepagables.

a) Términos vencidos:


V0 = 100 x (1 – 0,02) + 100 x (1 – 2 x 0,02) + 100 x (1 – 3 x 0,02) = 288 €

Aplicando la fórmula:

b) Términos prepagables:


V0 = 100 + 100 x (1 – 0,02) + 100 x (1 – 2 x 0,02) = 294 €

Aplicando la fórmula:

7.2. VALOR FINALPara el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera lasituación será:

Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple:

Vn = c + c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x [1 + (n – 1) i]

Simplificando:

Vn = c x [(1 + … + 1) + (i + 2i + 3i + … + (n – 1)) i]

Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundoes una suma de n–1 términos en progresión aritmética (semisuma de los extremosmultiplicando por el número de términos), por tanto:

Resultando finalmente:

En el caso de una renta prepagable, manteniéndose sin cambios las demáscaracterísticas:

Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple:

Vn = c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x (1 + ni)

Simplificando:

Vn = c x [(1 + … + 1) + (i + 2i + 3i + … + ni)]

Siendo el primer paréntesis n y el segundo la suma de n términos en progresiónaritmética i + ni/2 x n, resulta:

Finalmente:

A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores finales delos n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todosellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio.

En efecto, para el caso de n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dadopor:

1 + 2 + 3 + … + nVm = --------------------------

n

Operando en el numerador:

(1 + n) x n----------------

2 (1 + n) x n n + 1Vm = -------------------- = ------------------ = ----------------

n 2n 2

Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

Resultando:

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería:

[0 + (n – 1)] x n----------------------

0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) 2 (n – 1) x nVm = ------------------------------------- = -------------------------- = --------------------

n n s2n

n – 1Vm = --------------

2

Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:

Tablas de interés

CAPÍTULO 4. Préstamos

1. Concepto de préstamo 2. Reembolso único sin pago periódico de intereses préstamo simple 3. Reembolso único con pago periódico de intereses préstamo americano 4. Amortización con términos amortizativos constantes método francés 5. Método de cuota de amortización constante método lineal 6. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión 7. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión 8. Préstamos diferidos 9. Préstamos con intereses fraccionados 10. Sistema de amortización Sinking-Fund 11. Préstamos con intereses prepagables 12. Valor finaciero del préstamo usufructo y nuda propiedad 13. Tantos efectivos 14. Préstamos con interés revisable 15. Tantos efectivos de los préstamos según el Banco de España

1. Concepto de préstamoEl préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple.En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra(llamada prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el(los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capitalprestado) en los vencimientos señalados en el contrato.

La operación de amortización consiste en distribuir con periodicidad la devolución delprincipal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida delpréstamo. Los pagos periódicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad dereembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operaciónde amortización y el de términos amortizativos que suele asignarse a estos pagos.

1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DEAMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOSSegún la finalidad a la que se destinen los términos amortizativos es posible admitirdiversas interpretaciones de amortización, es decir, diferentes formas de llevar a cabo laamortización (devolución) del capital inicial: es lo que se denomina «sistemaamortizativo» o «sistema de amortización» del préstamo.

a) Préstamos amortizables mediante reembolso único del principal al final de laoperación.

Sin pago periódico de intereses: préstamo simple. Con pago periódico de intereses: sistema americano.

b) Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódicos que constituyanrenta, esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas deamortización) con vencimientos periódicos, que se pagan conjuntamente con losintereses, formando los términos amortizativos.

Según la cuantía de los términos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos:

Términos amortizativos constantes. Términos amortizativos variables:

– Cuota de amortización constante.– Términos amortizativos variables en progresión geométrica.– Términos amortizativos variables en progresión aritmética.

Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra,sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada período.

Estudiando la evolución de la deuda pendiente se observa que ésta crece en el interiorde cada uno de los períodos en los que se divide la operación, para disminuir al final delos mismos como consecuencia de la entrega del término amortizativo.

Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de losperíodos: uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro dedisminución por el pago del término amortizativo.La suma de estos dos movimientosnos da la variación total de la deuda pendiente al final del período. Esta variaciónsupondrá una disminución de la deuda caso de ser el término amortizativo mayor quelos intereses generados en el período y supondrá un incremento de la deuda en elsupuesto contrario, es decir, la cuota de interés mayor que el término amortizativo. En elcaso concreto de que la cuantía del término amortizativo coincida con la cuota de interésno habrá variación de la deuda.

El gráfico de evolución de la deuda pendiente de un préstamo y los pagos realizadosdurante tres períodos será el siguiente:

1.2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DEAMORTIZACIÓN FRACCIONADALa terminología utilizada será la siguiente:

C0: Importe del préstamo, cantidad financiada.n: Número de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contraída la deuda.i: Tipo de interés efectivo convenido (coste de la financiación).ak: Término amortizativo al final del período k, pago total realizado por el prestatario encada vencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).

ak = Ik + Ak

Ik: Cuota de interés del período k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por elperíodo correspondiente.Ak: Cuota de amortización del período k, cantidad destinada a devolver deuda en cadavencimiento.Ck: Capital pendiente de amortización en el momento k. También se llama capital vivo,saldo de la operación o reserva matemática.mk: Capital total amortizado al final del período k.

1.3. GENERALIDADES1. Los intereses de cada período se calculan sobre el capital vivo a principio del período.

Ik = Ck-1 x i

2. El parámetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortización (A), eindirectamente el término amortizativo.3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmética de todas las cuotas deamortización.

C0 = A1 + A2 + … + An

4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmética de las cuotas de amortización quequeden por amortizar.

Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An

Aunque también se obtiene por la diferencia entre el importe del préstamo y el totalamortizado hasta ese momento.

Ck = C0 – (A1 + A1 + … + Ak) = C0 – mk

Sin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo másfrecuente consiste en fraccionar la devolución de la deuda destinando los términosamortizativos simultáneamente a pagar los intereses devengados en el período ycancelar parte de la deuda pendiente.

En estos casos resulta útil recoger en un cuadro el proceso de amortización del capital,reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en losdiversos vencimientos de la operación.

La denominación será la de cuadro de amortización, y en él vamos a reflejar lascuantías de los términos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de

amortización (Ak) correspondientes a cada uno de los períodos, así como las cuantíasdel capital vivo (Ck) y del capital amortizado (mk) referidos a cada período de laoperación.

El cuadro resultante es:

Períodos Términoamortizativo

interésCuota de

Cuota deamortización

Totalamortizado

Capitalvivo

012…n

–a1a2

–I1 = C0 x

i1I2 = C1 x

i2

–A1 = a1 – I1A2 = a2 – I2

–m1 = A1

m2 = A1 + A2

C0C1 = C0 –

A1C2 = C0 –A1 – A2

EJEMPLO 1

Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo:

Importe: 30.000 euros. Devolución del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuantía. Tipo de interés anual del 10%.

Gráficamente, el esquema de pagos de la operación es:

Cuadro de amortización:

(5) (4) (1) (2) (3)

Años Términoamortizativo

Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

13.000,0012.000,0011.000,00

3.000,002.000,001.000,00

10.000,0010.000,0010.000,00

10.000,0020.000,0030.000,00

30.000,0020.000,0010.000,00

Total 36.000,00 6.000,00 30.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro:

(1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento en pagos iguales delimporte del préstamo.(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizaciónpracticadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período lacuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo (C0) se leresta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cadaperíodo (3).(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

2. Reembolso único sin pago periódico deintereses préstamo simpleSe trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el finalde la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

Gráficamente:

Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada(cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por elimporte del préstamo más los intereses devengados y acumulados.

La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simplecomo en compuesta.

EJEMPLO 2

Se solicita el siguiente préstamo simple:

Capital prestado: 100.000 euros. Duración: 3 años. Interés del 12% anual.

Se pide:

Determinar el capital a devolver.

3. Reembolso único con pago periódicode intereses préstamo americanoSe trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el finalde la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

Gráficamente:

Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada(cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por elimporte del préstamo más los intereses devengados y acumulados.

La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simplecomo en compuesta.

EJEMPLO 2

Se solicita el siguiente préstamo simple:

Capital prestado: 100.000 euros. Duración: 3 años. Interés del 12% anual.

Se pide:

Determinar el capital a devolver.

4. Amortización con términosamortizativos constantes método francés

Este sistema de amortización se caracteriza porque:

Los términos amortizativos permanecen constantes, y El tanto de valoración permanece constante.

ambos durante toda la vida del préstamo.

De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidaddestinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que eltiempo va transcurriendo.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el préstamoes el siguiente:

Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que seamortiza el préstamo, a el término amortizativo e i el tipo de interés de la operación.

4.1. PASOS A SEGUIR

Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortizacióndel préstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo)y su descomposición en cuota de amortización (Ak) y cuota de interés (Ik), así comootros datos como capitales vivos en cada momento (Ck) sobre los que calcular losintereses y el total amortizado (mk).

4.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)

Los pagos constantes que se realizan durante la vida del préstamo incorporan, en parteel coste del aplazamiento (cuota de interés), en parte la devolución de una porción de ladeuda (cuota de amortización). Para eliminar los intereses bastaría con actualizar lostérminos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían lascuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.

Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe delpréstamo y la renta formada por los términos amortizativos:

de donde se despeja el término:

4.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización: ley de recurrencia

4.1.2.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente:

Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás seconoce).Período 2: a = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 – A1) x i + A2, y despejamos A2.Período 3: a = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 – A2) x i + A3, y despejamos A3.

y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización.

4.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas deamortización

Al ser constante el término amortizativo las cuotas de amortización necesariamentetendrán que ir creciendo, mientras que las cuotas de intereses decrecerán (porque se vancalculando sobre capitales vivos cada vez menores). Y además, lo hacen siguiendo unaley matemática (ley de recurrencia).

La ley de recurrencia es la relación en la que se encuentran dos términos consecutivos,en este caso, las cuotas de amortización y para buscarla se relacionan por diferencias lostérminos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

Período k: a = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPeríodo k+1: a = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

------------------------------------------a – a = (Ck-1 – Ck) x i + Ak – Ak+1

siendo Ck-1 – Ck = Ak, queda:

0 = Ak x i + Ak – Ak+1

de donde se obtiene:

Ak+1 = Ak x (1 + i)

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varíansiguiendo una progresión geométrica de razón 1 + i , por tanto, cualquier cuota se puedecalcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con caráctergenérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–:

Ak+1 = A1 x (1 + i)k

Es por esto, el aumento de las cuotas de amortización con el transcurso del tiempo, porlo que a este sistema se le conoce como método progresivo.

4.1.3. Cálculo de la primera cuota de amortización (A1)

Una vez calculada la primera cuota, todas las demás se podrán obtener aplicando la leyde recurrencia anterior. El cálculo de la primera cuota de amortización se puede realizarde dos formas posibles:

4.1.3.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del primer término amortizativo

Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1 ---> A1 = a – C0 x i

4.1.3.2. 2.ª posibilidad: por la definición de capital prestado

En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortizaciónes el importe del préstamo:

A1 + A2 + A3 + … + An = C0

Además en este sistema amortizativo todas las cuotas de amortización se pueden poneren función de la primera de ellas, como se ha visto anteriormente:

A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)n-1 = C0

Simplificando la expresión, sacando factor común en el primer miembro A1:

A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)n-1] = C0

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de ntérminos (el número de cuotas de amortización) al tanto del préstamo, por tanto:

de donde:

4.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)

Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto sepuede hacer de dos formas posibles:

• Por diferencia, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 – Ck

• Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha:

mk = A1 + A2 + … + Ak

Además todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de la primera deellas:

mk = A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)k-1

Simplificando la expresión:

mk = A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)k-1]

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de ktérminos al tanto del préstamo, por tanto:

4.1.5. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)

4.1.5.1. 1.ª posibilidad: a través de las cuotas de amortización

Bien considerando las cuotas de amortización ya satisfechas (método retrospectivo):

Bien considerando las cuotas de amortización pendientes (método prospectivo):

4.1.5.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer en términos financieros (nobastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que lostérminos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente lascantidades correspondientes.

4.1.5.3. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativospasados

En k se debe cumplir:

lo que se debe en k = [lo recibido – lo pagado]k

Por tanto en k:

4.1.5.4. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativosfuturos

En k se debe cumplir:

lo que supondría la cancelación total en k = [cantidades pendientes de pagar]k

Por tanto en k:

4.1.6. Cálculo de la cuota de interés del período k+1 (Ik+1)

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente aprincipios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo.

Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 4


Importe: 100.000 euros. Duración: 3 años. Tipo de interés: 10% anual. Términos amortizativos anuales constantes.

(1) (2) (3) (4) (5)

AñosTérmino

amortizativoCuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

40.211,4840.211,4840.211,48

10.000,006.978,853.655,59

30.211,4833.232,6336.555,89

30.211,4863.444,11

100.000,00

100.000,0069.788,5236.555,89

Total 120.634,44 20.634,44 100.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de lafórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios del períodocorrespondiente (5) y se pagan al final del período anterior.(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en elperíodo (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizaciónpracticadas hasta la fecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital vivo a principios de cada períodola cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se leresta el total amortizado (4) ya acumulado.

5. Método de cuota de amortizaciónconstante método linealEn este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos lamisma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (Ak) se mantiene constantedurante todo el préstamo.

Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés constante i, yamortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que:

A1 = A2 = A3 = … = An = A

5.1. PASOS A SEGUIREn este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas deamortización, fáciles de calcular, a continuación los intereses y, finalmente, los términosamortizativos.

5.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)

Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que,además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir:

C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n


C0A = --------

n


Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fechaserá la suma aritmética de las cuotas ya practicadas.

mk = A1 + A2 + … + Ak = A x k

5.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)

Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

5.1.3.1. 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será elimporte del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización yapracticadas

Ck = C0 – mk = C0 – [A + A + … + A] = C0 – A x k

5.1.3.2. 2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la sumaaritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar

Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An = (n – k) x A

5.1.4. Cálculo de cuota de interés del período k+1 (Ik+1)


Ik+1 = Ck x i

5.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak)

Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientesporque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en estecaso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguiránuna ley matemática.

5.1.5.1. 1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de supropia estructura, calculando la cuota de interés y añadiendo la cuota deamortización constante ya conocida

Período 1: a1 = I1 + A = C0 x i + APeríodo 2: a2 = I2 + A = C1 x i + A = (C0 – A) x i + A...

5.1.5.2. 2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos através de la ley de recurrencia que éstos siguen y que se obtiene al relacionar, pordiferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera

Período k: ak = Ik + A = Ck-1 x i + APeríodo k+1: ak+1 = Ik+1 + A = Ck x i + A-------------------------------------------------------

ak – ak+1 = (Ck-1 – Ck) x i

siendo: Ck-1 – Ck = A, queda:

ak – ak+1 = A x i


ak+1 = ak – A x i

lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantíaconstante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (A x i), porlo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos:

ak+1 = a1 – k x A x i

EJEMPLO 5

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 euros, al 10% de interésanual, amortizable en 3 años, con cuotas de amortización anuales constantes.

(5) (4) (1) (2) (3)


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

130.000,00120.000,00110.000,00

30.000,0020.000,0010.000,00

100.000,00100.000,00100.000,00

100.000,00200.000,00300.000,00

300.000,00200.000,00100.000,00

Total 360.000,00 60.000,00 300.000,00


(1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe delpréstamo en pagos iguales.

300.000A = ----------- = 100.000

3

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizaciónpracticadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital pendiente a principios de cadaperíodo la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamose le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cadaperíodo (3) y se pagan al final del mismo.(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

6. Método de amortización con términosamortizativos variables en progresiónEste método se caracteriza porque:

Los términos amortizativos varían en progresión geométrica, y El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante

toda la operación.

De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, amayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.

Además se pone de manifiesto que cuanto mayor es la razón de la progresión mayor esel importe de los intereses pagados a lo largo de toda la operación.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, aamortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión geométrica de razónconocida q, al tipo de interés i, es el siguiente:

6.1. PASOS A SEGUIR

6.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak)

Los pagos que se realizan durante la vida del préstamo incorporan la cuota de interés yla cuota de amortización. Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términosamortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas deprincipal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.

Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe delpréstamo y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos,cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.

Al desarrollar esta equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razónde la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del préstamo:

En ambos casos la variable desconocida y que se despeja es el primer términoamortizativo (a1), que será la incógnita a calcular.

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una progresióngeométrica, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a2 = a1 x qa3 = a2 x q = a1 x q2

...ak+1 = ak x q = a1 x qk

…an = an-1 x q = a1 x qn-1

6.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak)


Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás seconoce)Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 – A1) x i + A2, y despejamos A2,Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 – A2) x i + A3, y despejamos A3,



Al ser variable el término amortizativo, las cuotas de amortización normalmentetambién variarán, si bien el sentido de esta variación (creciente o decreciente) estará enfunción de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, sepuede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortizaciónconsecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dosperíodos consecutivos cualesquiera:

Período k: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPeríodo k+1: ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

------------------------------------------------------------------ak - ak+1 = (Ck-1 - Ck) x i + Ak - Ak+1

siendo: Ck-1 - Ck = Ak, queda:

ak - ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1

de donde:

Ak+1 = Ak x (1 + i) + ak+1 - ak

y como: ak+1 = ak x q, la expresión puede quedar:

Ak+1 = Ak x (1 + i) - ak x (1 - q)

expresión que permite calcular una cuota de amortización a partir de la cuota deamortización anterior.Ley que puede resultar poco práctica, ya que además de conocer la cuota deamortización anterior se debe considerar el término amortizativo de aquel período, porlo que quizá sea más práctico hacer uso del primer sistema de cálculo anteriormentecomentado.


Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto sepuede hacer de dos formas posibles:• Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 - Ck

• Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha:

mk = A1 + A2 + .... + Ak


En este tipo de préstamos el cálculo del capital vivo a través de las cuotas deamortización resulta poco práctico, salvo que nos encontremos muy cerca del principioo del final de la operación. Pretendemos buscar un sistema que permita calcular elcapital pendiente a partir de los términos amortizativos del préstamo.

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (nobastará con sumar y restar aritméticamente) puesto que los términos incorporanintereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.


en k se debe cumplir:


por tanto en k:

6.1.4.2. 2ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativosfuturos



por tanto en k:



Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 6

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 euros, al 10% de interésanual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando un 5% cada año deforma acumulativa.

(1) (2) (3) (4) (5)

AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

3.838,504.030,434.231,94

1.000,00716,15384,72

2.838,503.314,283.847,22

2.838,506.152,78

10.000,00

10.000,007.161,503.847,22

Total 12.100,87 2.100,87 10.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (términoamortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período(5).(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en elperíodo (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizaciónpracticadas hasta la fecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período lacuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo (C0) se leresta el total amortizado (4) ya acumulado hasta ese momento.

7. Método de amortización con términosamortizativos variables en progresiónEste método amortizativo se caracteriza porque:

Los términos amortizativos varían en progresión aritmética, y, El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante

toda la operación.

Es importante el estudio de la razón aplicada. De esta razón va a depender la va-riaciónque se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial ymayor será la final.

Además el importe de la razón es proporcional al total de los intereses paga-dos. Así,tenemos que a mayor razón, mayor es el importe de los intereses pagados y a la inversa.Esto se debe a que una mayor razón hace que al principio amorticemos un menorcapital, o que incluso el importe de la cuota no llegue a cubrir el importe de losintereses, con lo que éstos se acumularán al capital y volverán a generar intereses.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, aamortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión aritmética de razónconocida d, al tipo de interés i, es el siguiente:

7.1. PASOS A SEGUIR


Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del présta-mo y larenta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actualse pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.Al desarrollar esta equivalencia resulta la siguiente ecuación donde la variable adespejar será el primer término amortizativo (a1).

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una pro-gresiónaritmética, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d...ak+1 = ak + d = a1 + k x d...an = an-1 + d = a1 + (n - 1) x d

7.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak)


Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás seconoce)Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 - A1) x i + A2, y despejamos A2,Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 - A2) x i + A3, y despejamos A3,



Al ser variable el término amortizativo las cuotas de amortización variarán, de-pendiendo de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, sepuede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortiza-ciónconsecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dosperíodos consecutivos cualesquiera:

Período k: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPeríodo k+1: ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

---------------------------------------------ak - ak+1 = (Ck-1 - Ck) x i + Ak - Ak+1

siendo: Ck-1 - Ck = Ak, queda:

ak - ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1

además, se cumple:

ak+1 = ak + d


Ak+1 = Ak x (1 + i) + d

expresión según la cual cada cuota de amortización se puede obtener a partir de laanterior de manera fácil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota apartir de la del primer período, la expresión a aplicar será:


Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto sepuede hacer de dos formas posibles:

Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 – Ck

Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha:

mk = A1 + A2 + … + Ak


Como en el caso de los préstamos con términos amortizativos en progresión geométrica,la forma más fácil de calcular capitales pendientes será a partir de los términosamortizativos, realizados o pendientes, valorados financieramente en el momento en quese quiera calcular la deuda viva (momento k).




por tanto en k:

7.1.4.2. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativosfuturos



por tanto en k:



Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 7

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 euros, al 10% de in-terésanual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando 100 euros cada año.

(1) (2) (3) (4) (5)

AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

3.927,494.027,494.127,49

1.000,00707,25375,22

2.927,493.320,243.752,27

2.927,496.247,73

10.000,00

10.000,007.072,513.752,27

Total 12.082,47 2.082,47 10.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (términoamortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período(5).(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en elperíodo (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizaciónpracticadas hasta la fecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período lacuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le restael total amortizado (4) ya acumulado.

8. Préstamos diferidosTambién denominados préstamos con carencia, son aquellos en los que, desde suconcesión y durante una parte de su vida, no se realiza devolución de capital. Por tanto,los préstamos diferidos son aquellos en los que se retrasa el pago de la primera cuota deamortización.Puede ocurrir que durante este primer tiempo en el cual no se amortiza deuda, se vayanpagando periódicamente los intereses a medida que éstos se van devengando y con laperiodicidad acordada: estamos refiriéndonos a préstamos con carencia parcial. Cuandodurante este primer período no se realiza pago alguno, estamos ante una carencia total.En este último caso, los intereses devengados y no satisfechos se acumularán al capitalde partida (capitalización de intereses).

Una vez pasado el período de carencia, estaremos ante un préstamo normal cualquieraque sea el sistema de amortización que presente (francés, lineal, con términos enprogresión, ...).

Pueden darse dos situaciones:

8.1. CARENCIA CON PAGO DE INTERESES: CARENCIA PARCIAL

8.2. CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES: CARENCIA TOTAL

Importante. En ambos casos se plantea la amortización efectiva del préstamo desde d hasta ny el período de amortización es n – d.

El tipo más extendido es el de carencia de capital (parcial), esto es, durante el períodode carencia sólo pagamos intereses. Esto se debe a que en la gran mayoría de lasoperaciones las garantías solicitadas son las necesarias para el principal solicitado. Eneste sentido, en el caso de carencia total (sin pago de intereses) la deuda es mayor queaquella para la que se solicitaron las garantías.

Si bien es cierto que la carencia en los préstamos supone un alivio financiero durante uncierto período de tiempo al pagar sólo los intereses (o nada, en el caso de carencia total),el préstamo al final se encarece considerablemente, ya que una vez finalizado esteperíodo de diferimiento tendrá que hacer frente a unos pagos posteriores superiores.

EJEMPLO 8

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 100.000 euros, al 10% deinterés anual y 4 años de duración. Se amortizará por el sistema lineal con cuotas deamortización anuales, sabiendo que el primer pago de principal se realiza transcurridos3 años.

1.er caso: con pago de intereses durante el diferimiento.

100.000A = -------------- = 50.000

2

(5) (4) (1) (2) (3)

AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

01234

10.000,0010.000,0060.000,0055.000,00

10.000,0010.000,0010.000,00

5.000,0050.000,0050.000,00

50.000,00100.000,00

100.000,00100.000,00100.000,00

50.000,00

Total 135.000,00 35.000,00 100.000,00

2.º caso:

100.000 x (1,1)2 121.000A = ---------------------- = ------------ = 60.500

2 2

(5) (4) (1) (2) (3)

AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

01234

72.600,0066.550,00

12.100,006.050,00

60.500,0060.500,00

60.500,00121.000,00

100.000,00110.000,00121.000,00

60.500,00

Total 139.150,00 18.150,00 121.000,00

9. Préstamos con intereses fraccionados

Son aquellos préstamos en los que los intereses se hacen efectivos con mayor frecuenciaque la empleada para amortizar el principal, cualquiera que sea la unidad de tiempoelegida. Es decir, las cuotas de interés se pagan fraccionadamente dentro del período detiempo elegido para la amortización del capital, mientras que las cuotas de amortizaciónno se fraccionan y se abonan al final de dicho período.

Por lo tanto, lo que caracteriza al préstamo con intereses fraccionados es:

1. Las cuotas de amortización no se fraccionan, siguen venciendo al final de cadaperíodo (sea cuál sea el elegido).

2. Se fracciona el pago de intereses, es decir, en lugar de hacer un sólo pago juntocon la cuota de amortización al tanto efectivo expresado en la unidad de tiempode amortización (i), se hacen k pagos al tanto efectivo ik por cada pago deprincipal, resultando dividido el período en k subperíodos a efectos de pago deintereses.

Gráficamente, para un préstamo de tres años con amortización anual y pago semestralde intereses, la operación supondría los siguientes pagos:

El fraccionamiento se puede presentar en cualquiera de los sistemas de amortizaciónconocidos (francés, lineal, con términos en progresión, …) e, incluso, puede presentarsecon diferimiento. A continuación se estudia para los sistemas amortizativos másfrecuentes: lineal y francés.

9.1. Préstamo fraccionado con cuota de amortización constante 9.2. Préstamo francés fraccionado

9.1. Préstamo fraccionado con cuota deamortización constanteEn este préstamo los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del períodode amortización, mientras que las cuotas de amortización constantes no se fraccionan yse abonan al final del período.

Considerando que el importe del préstamo es C0, amortizable en n pagos, con un tipo deinterés constante i, expresado en la unidad en la que se amortiza el principal.

Por tanto, debe cumplirse que:

A1 = A2 = A3 = ... = An = A

En primer lugar se calculará todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización,ya calculadas, a continuación los intereses y, finalmente, por suma, los términosamortizativos.

9.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)


C0 = A1 + A2 + A3 + ... + An = A x n


C0A = ------

n

9.1.2. Cálculo del total amortizado después de t períodos (mt)

Conociendo lo que se amortiza en cada momento (A), el total amortizado hasta unafecha será la suma aritmética de las cuotas ya efectuadas.

mt = A1 + A2 + ... + At = A x t

9.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período t+1 (Ct)

Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será el importe delpréstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas

Ct = C0 - [A1 + A2 + ... + At] = C0 - mt = C0 - A x t

2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la suma aritméticade las cuotas de amortización aún pendientes de realizar

Ct = At+1 + At+2 + ... + An = (n - t) x A

9.1.4. Cálculo de las cuotas de intereses del período t+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente aprincipios de ese período (Ct), al tanto efectivo fraccionado (ik)vigente durante elmismo. Por tanto, dentro del período de amortización, habrá k pagos de intereses, cuyoimporte se calcula así: It+1 = Ct x ik


Los términos amortizativos se obtendrán finalmente como la suma de la cuota de interésy la cuota de amortización, cuando ésta tenga lugar (al final de cada período).

Así resulta para el período t:

Los primeros k–1 subperíodos sólo incluye intereses:

at, j = It+1

El último subperíodo, además de interés incluye la cuota de amortización delperíodo:

at, k = It+1 + At

EJEMPLO 9


Importe: 300.000 euros. Duración: 3 años. Cuotas de amortización anuales constantes. Intereses semestrales al 6% efectivo semestral.

(3) (4) (1) (2) (5)

Períodos Capitalvivo

Cuota deinterés


Totalamortizado

Términosamortizativos

1.1.1.2.

300.000,00300.000,00

18.000,0018.000,00

–100.000,00

–100.000,00

18.000,00118.000,00

2.1.2.2.

200.000,00200.000,00

12.000,0012.000,00

–100.000,00

100.000,00200.000,00

12.000,00112.000,00

3.1. 100.000,00 6.000,00 – 200.000,00 6.000,00

3.2. 100.000,00 6.000,00 100.000,00 300.000,00 106.000,00

Total 72.000,00 300.000,00 372.000,00


(1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe delpréstamo en tres pagos iguales.

300.000A = ------------- = 100.000

3

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizaciónpracticadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período lacuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le restael total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cadaperíodo (3) al tanto efectivo semestral.(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

9.2. Préstamo francés fraccionadoAl ser un préstamo fraccionado los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentrodel período de amortización, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan yse abonan al final del período.

Considerando que el importe del préstamo es C0, y el tipo de interés constante es ik,expresado en la unidad de tiempo en la que se pagan los intereses, durante n períodos,caben dos posibilidades de llevar a cabo el fraccionamiento en este tipo de préstamos:

Resultando constante el término amortizativo único equivalente que se situaríaen el momento de las amortizaciones.

Siendo constante la cuantía total satisfecha en el momento de amortizar (tantopor amortización como por intereses).

9.2.1. Resultando constante el término amortizativo único equivalente quese situaría en el momento de las amortizaciones

En este caso, al tratarse de un sistema francés y dado que el fraccionamiento sólo afectaa los intereses, se trata de calcular en primer lugar las cuotas de amortización (que seobtienen con las reglas vistas anteriormente para el caso del préstamo francés, sinfraccionamiento), a continuación los capitales pendientes y, finalmente, los intereses ytérminos amortizativos.

Pasos a seguir:

1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresadoen la unidad de tiempo en la que se amortiza el capital.

i = (1 + ik)k – 1

2.º Cálculo de la primera cuota de amortización, siguiendo las fórmulas empleadas en elpréstamo francés cuando no existe fraccionamiento de intereses, puesto que dichofraccionamiento sólo afecta a los intereses pero no a las cuotas de amortización que sesiguen calculando de la misma forma.

siendo n el número de cuotas de principal con las que amortizamos el préstamo.

3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que variarán en progresión geométricacreciente de razón (1 + i).

At+1 = At x (1 + i) = A1 x (1 + i)t

4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización,que se pueden calcular una a una y sumándose posteriormente, o bien, se pueden sumardirectamente a través de la ley que siguen:

5.º Cálculo del capital vivo, Ct, restando al capital pendiente del período anterior lacuota de amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo eltotal amortizado hasta el momento:

Ct = Ct-1 - At = C0 - mt

6.º Cálculo de las cuotas de interés, It+1, que se pagarán con la frecuencia acordada ysiempre a partir del capital pendiente a principios del período a que se refieraempleando el tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando losintereses (ik).

It+1 = Ct x ik

7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo seesté pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota deamortización.

Los primeros k–1 subperíodos (sólo intereses):

at, j = It+1

El último subperíodo (interés y amortización):

at, k = It+1 + At

Otro camino alternativo, válido para este tipo de préstamos, consiste en calcular eltérmino amortizativo anual equivalente para, a partir del mismo, calcular los capitalesvivos, las cuotas de interés y finalmente las cuotas de amortización y los términosamortizativos en cada momento.

Pasos a seguir:

1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresadoen la unidad de tiempo en la que se amortiza el capital.

i = (1 + ik)k - 1

2.º Cálculo del término amortizativo equivalente, siguiendo las fórmulas empleadas enel préstamo francés.

3.º Cálculo del capital pendiente a principios del período t + 1.

Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

4.º Cálculo de las cuotas de interés pagadas dentro del período t + 1.

Los intereses de cualquier subperíodo se calcularán a partir de la deuda pendiente aprincipios de ese período, al tanto efectivo fraccionado vigente durante el mismo.

It+1 = Ct x ik

5.º Cálculo de la cuota de amortización del período t + 1

Se debe mantener la equivalencia financiera entre el término amortizativo equivalentecalculado inicialmente y los pagos que realmente tienen lugar dentro del período, las kcuotas de interés k-esimal y la cuota de amortización satisfecha a final del período. Portanto, el término amortizativo equivalente, al final del período, debe coincidir con lascuotas de interés (conocidas) del período llevadas al final de dicho período más la cuotade amortización (que se desconoce). De esa equivalencia se obtendrá la cuota deamortización del período.

De donde se despejaría At+1.

El resto de cuotas de amortización se puede obtener de la misma forma, para cadaperíodo o bien, siguiendo la ley de recurrencia que mantienen (en progresión geométricade razón 1 + i).



at, j = It+1

El último subperíodo (intereses y amortización):

at, k = It+1 + At

EJEMPLO 10


Importe: 1.000.000 de euros. Duración: 3 años.

Sistema francés:– Cuotas de amortización anuales.– Intereses semestrales al 5% efectivo semestral.

I1,1 = I1,2 = C0 x 0,05I2,1 = I2,2 = C1 x 0,05I3,1 = I3,2 = C2 x 0,05

i = 1,052 - 1 = 10,25%

(3) (4) (1) (2) (5)


Cuota deinterés


Totalamortizado


1.1.1.2.

1.000.000,001.000.000,00

50.000,0050.000,00

–301.385,81

–301.385,81

50.000,00351.385,81

2.1.2.2.

698.614,19698.614,19

34.930,7134.930,71

–332.277,86

301.385,81633.663,67

34.930,71367.208,57

3.1.3.2.

366.336,33366.336,33

18.316,8218.316,82

–366.336,33

633.663,671.000.000,00

18.316,82384.653,15

Total 206.495,06 1.000.000,00 1.206.495,06


(1) Se calcula el importe de la primera cuota de amortización, a través de la fórmulaprevista para calcular A1 en el préstamo francés, y, a partir de ella, todas las demás,multiplicando la cuota anterior por 1,1025.


9.2.2. Siendo constante la cuantía satisfecha en el momento de amortizar(tanto por amortización como por intereses)

Pasos a seguir:

1.º Cálculo de la ley de recurrencia entre cuotas de amortización consecutivas, de formaque resulte constante la cuantía total pagada al final de cada período. Para elloobligamos a que el pago total a efectuar al final de dos períodos consecutivoscualesquiera coincida:

Pago total al final del período t:

At + Ct-1 x ik

Pago total al final del período t + 1:

At+1 + Ct x ik

Obligando a que sean iguales ambas cuantías, resulta:

At + Ct-1 x ik = At+1 + Ct x ik

Operando en la igualdad, pasando Ct x ik al primer miembro:

At + Ct-1 x ik - Ct x ik = At+1

Sacando factor común ik en el primer miembro:

At + (Ct-1 - Ct) x ik = At+1

Siendo:

Ct-1 - Ct = At

Resulta finalmente:

At + At x ik = At+1

De donde se obtiene:

At+1 = At x (1 + ik)

Siendo ik el tanto al que se va a calcular los intereses a pagar en cada subperíodo.

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varíansiguiendo una progresión geométrica de razón 1 + ik, por tanto, cualquier cuota se puedecalcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con caráctergenérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–:

At+1 = A1 x (1 + ik)t

2.º Cálculo de la primera cuota de amortización a través de la siguiente expresión:

En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortizaciónes el importe del préstamo:

A1 + A2 + A3 + ... + An = C0

Además, según la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización, se puedenponer todas en función de la primera de ellas:

A1 + A1 (1 + ik) + A1 (1 + ik)2 + ... + A1 (1 + ik)n-1 = C0


A1 x [1 + (1 + ik) + (1 + ik)2 + ... + (1 + ik)n-1] = C0

Siendo el corchete el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de ntérminos (el número de cuotas de amortización), al tanto ik al que se calculan las cuotasde interés, por tanto:

De donde:

3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que siguen como ley de recurrencia unaprogresión geométrica de razón (1 + ik).

A2 = A1 x (1 + ik)A3 = A2 x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)2

...At+1 = At x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)t

4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización,ya practicadas.

mt = A1 + A2 + ... + At

5.º Cálculo del capital vivo, Ct , restando al capital pendiente del período anterior lacuota de amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo eltotal amortizado hasta el momento:

Ct = Ct-1 - At = C0 - mt

6.° Cálculo de la cuota de interés, It+1, que se pagará con la frecuencia acordada ysiempre a partir del capital pendiente a principios del período a que se refieraempleando el tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando losintereses (ik).

It+1 = Ct x ik



at, j = It+1

El último subperíodo (interés y principal):

at, k = It+1 + At+1

EJEMPLO 11


Importe: 1.000.000 de euros. Duración: 3 años. Sistema francés:

– Cuotas de amortización anuales.– Intereses semestrales al 5% efectivo semestral.

Se ha de cumplir:

A1 + C0 x 0,05 = A2 + C1 x 0,05 = A3 + C2 x 0,05

(3) (4) (1) (2) (5)


Cuota deinterés


Totalamortizado


1.1.1.2.

1.000.000,001.000.000,00

50.000,0050.000,00

–317.208,56

–317.208,56

50.000,00367.208,56

2.1.2.2.

682.791,44682.791,44

34.139,5734.139,57

–333.069,00

317.208,56650.277,56

34.139,56367.208,56

3.1.3.2.

349.722,44349.722,44

17.486,1217.486,12

–349.722,44

650.277,561.000.000,00

17.486,12367.208,56

Total 203.251,38 1.000.000,00 1.203.251,38


(1) Se calcula el importe de la primera cuota de amortización, a través de la fórmulacorrespondiente, y, a partir de ella, todas las demás, multiplicando la cuota anterior por1,05.


10. Sistema de amortización Sinking-FundTambién se le conoce con el nombre de sistema de amortización con fondo deamortización.

Este sistema de amortización consiste en el pago periódico de los intereses alprestamista (préstamo americano), y al mismo tiempo una aportación a un fondo paraconstruir un capital, con el que cancelar el principal del préstamo americano a suvencimiento.

Desde un punto de vista operativo, al mismo tiempo que se contrata el préstamoamericano se abre un fondo asociado al préstamo. De esta forma, el prestatario de laoperación de amortización al mismo tiempo se le considera deudor en el préstamoamericano y acreedor en fondo que está constituyendo para devolver el préstamo.

Por tanto, los pagos a satisfacer por el prestatario pueden calcularse como suma de dosconceptos:

1. Los intereses de un préstamo de cuantía C0 al tanto de interés i (constante ovariable) estipulado en el contrato de préstamo, que serán siempre del mismoimporte, C0 x i (si el tipo no varía).

2. La aportación periódica a un fondo de una cuantía F, tal que invertida al tantodel fondo i', generalmente menor que i, reproduzca al final de la vida delpréstamo el capital C0 que tiene que entregar al prestamista.

Datos necesarios para el desarrollo de la operación

Del préstamo:

Importe: C0.Duración: n.Tipo de interés: i.Sistema de amortización: americano.

Del fondo:

Tipo de interés: i'.Frecuencia y cuantía (constante o variable) de las aportaciones.Duración: por defecto, la del préstamo.

Por lo que se refiere al préstamo, los términos amortizativos coincidirán con la cuota deinterés de cada período (C0 x i), salvo en el último pago en el que se incrementa en elimporte del principal (C0 x i + C0).

En cuanto al fondo que se va constituyendo para hacer frente a la devolución delpréstamo americano, éste va creciendo por dos motivos: las aportaciones periódicasefectuadas y por los intereses que genera el saldo que permanece acumulado en elmismo.

Para el cálculo de las aportaciones al fondo se tendrá en cuenta la equivalenciafinanciera entre las aportaciones efectuadas al fondo y el capital que se quiere constituirfinalmente (el importe del préstamo), empleando como tanto el aplicado al propio fondo(nunca el del préstamo). Al final de la operación se tiene que verificar lo siguiente:

Gráficamente:

De la equivalencia se obtiene una ecuación donde el primer miembro es el valor final dela renta (constante o variable, según se establezca) formada por las aportaciones alfondo y donde la única incógnita es el importe de las aportaciones a efectuar al fondo:

De donde se obtiene la cuantía a aportar (F) –en el caso de que ésta sea constante– o laprimera de ellas –en el caso de que las aportaciones constituyan renta en progresióngeométrica o aritmética– (Fi).

En cualquier caso, estas aportaciones al fondo de constitución no tienen la condición decuota de amortización, porque el importe del préstamo no decrece en el tiempo, sino quepermanece constante durante toda la vida del mismo (no hay amortización de capital).

Gráficamente esta operación conjunta préstamo-fondo se muestra en la siguiente figura(para tres períodos):

Estructura del cuadro del préstamo

Períodos Términoamortizativo

Cuotade

interés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

-I1I2

I3 + C0

-I1I2I3

---

C0

---

C0

C0C0C0C0

Estructura del cuadro del fondo

Períodos Aportación alfondo

Interesesfondo

Variaciónanual del

fondo

Capitalconstituido

Capitalpendiente

0123

-F1F2F3

--

I'2I'3

-F1

F2 + I'2F3 + I'3

-F1

F1 + F2 + I'2F1 + F2 + I'2 +

F3 + I'3

C0C0 – F1

C0 – F1 – F2 –I'2

C0 – F1 – F2 –I'2 – F3 – I'3

EJEMPLO 12

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 1.000 euros contratado al 15%de interés anual, amortizándose el principal de una sola vez a los 4 años y pagándoseanualmente los intereses.

Sabiendo que el prestatario se compromete a realizar aportaciones anuales constantes ypospagables en un fondo que devenga intereses del 10% anual, construir el cuadro deconstitución del capital, que permita hacer frente a la devolución del préstamo anterior.

Cuadro de amortización del préstamo


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

01234

150,00150,00150,00

1.150,00

150,00150,00150,00150,00 1.000,00 1.000,00

1.000,001.000,001.000,001.000,00

Total 1.600,00 600,00 1.000,00

Cuadro de constitución del capital

Cálculo de la aportación constante a realizar:

(1) (2) (3) (4) (5)

Años Aportación alfondo Intereses Variación anual

del fondoCapital

constituidoCapital

pendiente

01 215,47 215,47 215,47

1.000,00784,53

234

215,47215,47215,47

21,5545,2571,32

237,02260,72286,79

452,49713,21

1.000,00

547,51286,79

Total 861,88 138,12 1.000,00


(1) Cálculo de las aportaciones al fondo (F).(2) Los intereses se calculan sobre el capital constituido al principio del período.(3) Suma de la aportación al fondo (1) y los intereses generales durante el período (2).(4) En el primer período coincide con la aportación al fondo primero efectuado. Lossiguientes se obtienen añadiendo al capital constituido en el período anterior lavariación anual del fondo del período donde estamos (3).(5) El capital pendiente se obtiene de restar al capital inicial el capital constituido encada momento.

11. Préstamos con intereses prepagablesEste tipo de operaciones se caracteriza porque los intereses se pagan anticipadamente, alprincipio del período correspondiente, a tipos de interés prepagables (i*), mientras quelas cuotas de amortización siguen siendo pospagables.

El esquema de flujos de caja en un préstamo de cuantía C0, a amortizar en n pagos, a untanto de interés i* es el siguiente:

La estructura genérica del término amortizativo pagado en un momento k cual-quieraserá, por tanto, la siguiente:

ak = Ik+1 + Ak

Es decir, cada pago realizado incluye los intereses del período que empieza y la cuota deamortización correspondiente al período que acaba.

Para un préstamo amortizable en tres períodos el gráfico que recoge la evolución de ladeuda pendiente y la composición del término amortizativo será el siguiente:

EJEMPLO 13


Importe: 80.000 euros. Devolución del principal en tres pagos anuales vencidos de 10.000, 30.000 y

40.000 euros, respectivamente. Tipo de interés anual del 10% pagadero al principio de cada pe-ríodo.

Gráficamente, el esquema de pagos de la operación es:



Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

8.000,0017.000,0034.000,0040.000,00

8.000,007.000,004.000,00

10.000,0030.000,0040.000,00

10.000,0040.000,0080.000,00

80.000,0070.000,0040.000,00

Total 99.000,00 19.000,00 80.000,00

11.1. Caso particular método alemán 11.2. Préstamo con intereses prepagables y cuotas de amortización constante 11.3. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables

en progresión geométrica 11.4. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables

11.1. Caso particular método alemánEn este caso los términos amortizativos permanecen constantes, a1 = a2 = … = an = = a,manteniéndose también constante el tipo de interés i* para todos los períodos. Ademáshabrá que tener en cuenta un primer término en el origen que recoja los interesesprepagables del primer período. El esquema de la operación para un préstamo de cuantíaC0, amortizable en n períodos, es:

11.1.1. Pasos a seguir

11.1.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)

A) 1.ª posibilidad: a través de la equivalencia financiera en el origenEn el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debeser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo – i*, de los pagos que realizarádurante toda la operación. Al ser un interés anticipado el descuento será del tipocomercial.

C0 = C0 x i* + a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2 + ... + a x (1 - i*)n

Simplificando:

C0 - C0 x i* = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-1]

C0 x (1 - i*) = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-1]

En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de términos en progresióngeométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión:

1 - (1 - i*)n

C0 = a x ----------------i*

De donde se obtendrá el importe del término amortizativo del préstamo (a).

B) 2.ª posibilidad: a través de equiparación del préstamo a otro equivalente con interesesvencidos (francés)

A partir del tipo de interés anticipado (i*) calculamos el equivalente pospagable encompuesta:

i*i = ------------

1 – i*

El cambio de tipo afecta al importe del préstamo, que será el de partida minorado en losintereses del primer período que se pagan en el origen:

C'0 = C0 - C0 x i* = C0 x (1 - i*)

El resultado es un préstamo de cuantía C'0, interés vencido i, n períodos y términosamortizativos constantes (a). Planteando una equivalencia financiera en el origen entreel importe del préstamo y la renta formada por los términos amortizativos:

De donde se despeja el término:

11.1.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)

En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con elvalor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en elmomento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

Planteando la equivalencia en el momento k:

Ck = Ck x i* + a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2 + ... + a x (1 - i*)n-k

Simplificando:

Ck - Ck x i* = a x (1 - i*) x [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-k-1]

Ck x (1 - i*) = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-k-1]

De donde se obtiene la deuda pendiente:

1 – (1 – i*)n-k

Ck = a x ---------------------i*

Expresión similar a la obtenida para el cálculo del término amortizativo (paso 1.º), conla diferencia de la fecha donde están planteadas una y otra.

Además, en el origen se conoce la deuda pendiente (el importe del préstamo) y sedesconoce el término amortizativo, mientras que en k ocurre al contrario, se desconocela deuda pendiente y se conoce el importe del término amortizativo.

11.1.1.3. Cálculo de cuotas de amortización: ley de recurrencia (Ak)

A) 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente:

Período n: a = AnPeríodo n-1: a = Cn-1 x i* + An-1 = An x i* + An-1 -->

--> An = An x i* + An-1 --> An-1 = An x (1 - i*)Período n-2: a = Cn-2 x i* + An-2 = (An + An-1) x i* + An-2 -->

--> An = (An + An-1) x i* + An-2An-2 = An - Ani* - An-1i* = An x (1 - i*) - An-1i*

Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a laprimera.

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas deamortización

La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los términos amortizativosde dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

En k: a = Ik+1 + Ak = Ck x i* + AkEn k+1: a = Ik+2 + Ak+1 = Ck+1 x i* + Ak+1

-------------------------------------------a - a = i* x (Ck - Ck+1) + Ak - Ak+1

siendo: Ck - Ck+1 = Ak+1, queda:

0 = i* x Ak+1 + Ak - Ak+1


Ak = Ak+1 x (1 - i*)

En definitiva, las cuotas de amortización en este tipo de préstamos siguen unaprogresión geométrica decreciente de razón (1 – i*), empezando siempre por la últimacuota de principal, que coincide con el término amortizativo de ese último período deamortización del préstamo, pondremos todas a partir de la última:

Ak = An x (1 - i*)n-k

11.1.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)

Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dosmaneras posibles:

Por diferencias entre capitales pendientes consecutivos:

mk = C0 – Ck

Por suma de las cuotas de amortización practicadas:

mk = A1 + A2 + … + Ak

EJEMPLO 14


• Importe: 300.000 euros.• Duración: 3 años.• Tipo de interés: 10% anual prepagable.• Términos amortizativos anuales constantes.

AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

30.000,00110.701,11110.701,11110.701,10

30.000,0021.033,2111.070,11

–

89.667,9099.631,00

110.701,10

89.667,90189.289,90300.000,00

300.000,00210.332,10110.701,10

Total 362.103,33 62.103,32 300.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de lafórmula anterior.

1 – (1 – 0,1)3

300.000 = a x -------------------0,1

a = 110.701,11

(2) Conocido el término amortizativo del último período, también se conoce la cuota deamortización de ese período (ya que coinciden al no tener intereses ese término).(3) A su vez, la cuota de amortización del último período coincide con el capital vivo aprincipios del último período, y al aplicarle el tipo de interés se conocerá la cuota deinterés del año 3, que se safisface en el año 2.(4) Del pago hecho en el año 2, ya se sabe cuánto es interés (la cuota de interés del año3) y el resto, por diferencia, se destina a amortizar (cuota de amortización del año 2).(5) La deuda pendiente del penúltimo período será la suma del capital pendiente en elperíodo siguiente más la cuota de amortización del año 2.(6) El resto del cuadro se realiza de la misma manera, hasta llegar al momento inicialdonde solamente se pagan los intereses del primer período.

11.2. Préstamo con intereses prepagablesy cuotas de amortización constanteConsiderando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés anticipado i*, yamortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 = = ... = An =A


En este caso, al igual que ocurría cuando se vio el préstamo lineal con interesesvencidos, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas deamortización, fáciles de obtener, a continuación los intereses y, finalmente, los términosamortizativos.

11.2.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)


C0 = A1 + A2 + A3 + ... + An = A x n


C0A = --------

n


mk = A1 + A2 + ... + Ak = A x k

11.2.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)

El carácter prepagable de los intereses no afecta a las cuotas de amortización que siguesiendo pospagable.

A) 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo

El capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de lascuotas de amortización ya practicadas.

Ck = C0 - mk = C0 - [A + A + ... + A] = C0 - A x k

B) 2.ª posibilidad: por el método prospectivo

El capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aúnpendientes de realizar.

Ck = Ak+1 + Ak+2 + ... + An = (n - k) x A

11.2.1.4. Cálculo de cuota de interés de período k + 1 (Ik+1)

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente aprincipios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo, pero se pagan alprincipio de dicho período, así en el momento k (principios de k + 1) se pagan losintereses del período k + 1.

En k:

Ik+1 = Ck x i*

11.2.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak)

Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientesporque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este

caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguiránuna ley matemática.

1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de su propiaestructura, calculando la cuota de interés y añadiendo la cuota de amortizaciónconstante ya conocida:

En 0: a0 = I1 = C0 x i*En 1: a1 = I2 + A = C1 x i* + AEn 2: a2 = I3 + A = C2 x i* + A = (C1 - A) x i* + A...

2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos a través de la leyde recurrencia que éstos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dostérminos amortizativos consecutivos cualesquiera:´

En k: ak = Ik+1 + A = Ck x i* + AEn k+1: ak+1 = Ik+2 + A = Ck+1 x i* + A

-------------------------------------------ak - ak+1 = (Ck - Ck+1) x i* + A - A

siendo: Ck - Ck+1 = A

resulta:

ak - ak+1 = A x i*

De donde se obtiene: ak+1 = ak – A x i*, lo que indica que cualquier términoamortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían enprogresión aritmética de razón – (A x i*).

11.3. Préstamo con intereses prepagablescon términos amortizativos variables enprogresión geométricaEl esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos,con interés prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresióngeométrica de razón q, conocida, es:

Siendo: a1; a2 = a1 x q; a3 = a1 x q2; ...; an = a1 x qn-1


11.3.1.1. Cálculo del primer término amortizativo (a1)

En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debeser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo (i*), de los pagos que realizarádurante toda la operación:

C0 = C0 x i* + a1 x (1 - i*) + a2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n

puesto que los términos varían en progresión geométrica de razón q:

C0 = C0 x i* + a1 x (1 - i*) + a1 x q x (1 - i*)2 + ... + a1 x qn-1 x (1 - i*)n

donde todo es conocido salvo a1.

11.3.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k + 1 (Ck)

En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con elvalor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en elmomento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

Planteando la equivalencia en el momento k:

Ck = Ck x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n-k

Simplificando:

Ck = Ck x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+1 x q x (1 - i*)2 + ... + a k+1 x qn-k-1 x (1 - i*)n-k

Ck (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) + ak+1 x q x (1 - i*)2 + ... + ak+1 x qn-k-1 x (1 - i*)n-k

Ck (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q2 x (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1]Ck x (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q2 x (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1]

De donde se obtiene la deuda pendiente (Ck).

Ck = ak+1 x [1 + q (1 - 1*) + q2 (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1]

Siendo el corchete una suma de n–k términos (los que quedan pendientes desde la fechade estudio hasta el final), que varía en progresión geométrica de razón q x (1 – i*).

11.3.1.3. Cálculo de cuotas de amortización (Ak)

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente

Período n: an = AnPeríodo n-1: an-1 = Cn-1 x i* + An-1 = An x i* + An-1 --> An-1Período n-2: an-2 = Cn-2 x i* + An-2 = (An-1 + An) x i* + An-2 --> An-1

Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a laprimera.


Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dosmaneras posibles:

Por diferencia entre capitales pendientes consecutivos:

mk = C0 – Ck

Por suma de las cuotas de amortización practicadas:

mk = A1 + A2 + ... + Ak

11.4. Préstamo con intereses prepagablescon términos amortizativos variablesEl esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos,con interés prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresión aritméticade razón d, conocida, es:

Siendo: a1; a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; ...; an = a1 + (n-1)d

Los pasos a seguir serán los mismos que en el caso anterior, cuando los términos eranvariables en progresión geométrica.

12. Valor finaciero del préstamousufructo y nuda propiedadPartiendo de un préstamo cualquiera del que se conocen los componentes del cuadro deamortización (o al menos los pendientes desde la fecha de estudio hasta el final) y quegráficamente responde al siguiente esquema:

Si nos encontramos en un momento cualquiera k (fecha de valoración), los términosamortizativos pendientes (ak+1, ak+2, ..., an) representan para el acreedor (prestamista) underecho de cobro futuro y para el deudor (prestatario) una obligación de pago. Si en estepunto se quisiera cancelar anticipadamente la operación, el deudor debería entregar, enprincipio, la deuda pendiente (Ck).

Sin embargo, puede ocurrir que las condiciones del mercado hayan cambiado desde quese concertó la operación hasta la fecha actual. En este sentido, para determinar si esta

cancelación resulta o no conveniente, sería necesario valorar los términos amortizativospendientes con un criterio nuevo ajustado a las condiciones actuales, esto es, valorarlosal tanto que en el mercado se está aplicando para operaciones análogas.

Surge la necesidad de valorar el préstamo en condiciones de mercado. La valoración depréstamos implica, pues, conocer las cuantías de los pagos pendientes desde la fecha deestudio y su actualización a dicho momento a un tipo adecuado (tanto de mercado im).

Definiciones:

El acreedor (titular del capital pendiente) puede transferir los derechos que el préstamopor él concedido genera en su conjunto o segregados (por una parte los intereses y porotra el principal): surgen los conceptos de usufructo, nuda propiedad y valor delpréstamo.

Usufructo de un préstamo a principios del período k+1, Uk, es el resultado de actualizaral tanto de mercado (im) todas las cuotas de interés pendientes.

Nuda propiedad de un préstamo a principios del período k+1, Nk, es el resultado deactualizar al tanto de mercado (im) todas las cuotas de amortización pendientes.

Valor de un préstamo a principios del período k+1, Vk, es el resultado de actualizar altanto de mercado (im) todos los términos amortizativos pendientes.

Representa la cantidad que el deudor tendrá que pagar para cancelar su deuda o, desdeel punto de vista del prestamista, lo que debería recibir por transferir los derechosfuturos que el préstamo supone, en las condiciones actuales del mercado.

Para calcular el importe del valor, usufructo y nuda propiedad de un préstamo bastarácon aplicar las definiciones anteriores en la fecha de estudio elegida al préstamo objetode estudio, debiéndose conocer el tanto de mercado vigente en esa fecha.

EJEMPLO 15

A partir del siguiente préstamo:

Importe: 100.000 euros. Duración: 3 años. Tipo de interés: 10% anual. Términos amortizativos anuales constantes.

Se pide:

Calcular el valor, usufructo y nuda propiedad transcurrido un año de su concesión si enese momento el tanto de mercado (im) es del 7%.


AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

40.211,4840.211,4840.211,48

10.000,006.978,853.655,59

30.211,4833.232,6336.555,89

30.211,4863.444,11

100.000,00

100.000,0069.788,5236.555,89

Total 120.634,44 20.634,44 100.000,00

Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad:

Aplicando las definiciones teóricas:

Usufructo:

6.978,85 3.655,59U1 = --------------- + --------------- = 9.715,22

1,07 1,072

Nuda propiedad:

33.232,63 36.555,89N1 = --------------- + --------------- = 62.987,86

1,07 1,072

Valor:

40.211,48 40.211,48V1 = ---------------- + ---------------- = 72.703,08

1,07 1,072

También:

12.1. CASO PARTICULAR: FÓRMULA DE ACHARD

El método de cálculo basado en las definiciones exige conocer las cantidades destinadasal pago de intereses y de amortización en cada momento, desde la fecha de estudio yhasta el final del préstamo.

Un sistema alternativo, más práctico, sería la utilización del sistema de ecuacionessiguiente, que solamente se podrá emplear en el supuesto de que se cumplan los tressiguientes requisitos:

1. El tipo de interés del préstamo se mantenga constante desde la fecha de estudio hastael final.

2. El tanto de mercado (im) sea diferente al tanto del préstamo (i).3. El estudio se realice al principio de período.

El sistema es:

Se trata de un sistema con cuatro incógnitas (V, U, N, C). Para su resolución secalcularán previamente dos de ellas (aplicando las definiciones teóricas) y del sistema sedespejarán las dos restantes.En este sentido, si se trata de un préstamo lineal (cuota de amortización constante),como la cuota de amortización ya se conoce se calcularán previamente (aplicando lasdefiniciones teóricas) el capital vivo (Ck) y la nuda propiedad (Nk) y del sistema sedespejará usufructo (Uk) y valor (Nk).Por el contrario, si se trata de un préstamo francés (término amortizativo constante) ocon los términos amortizativos variables en progresión geométrica o aritmética, comolos términos amortizativos ya se conocen, se calcularán previamente (aplicando lasdefiniciones teóricas) el capital vivo (Ck) y el valor (Vk) y del sistema se despejaráusufructo (Uk) y nuda propiedad (Nk).

Nota: este sistema de ecuaciones también se puede aplicar cualquiera que sea el sistema deamortización, siempre que se cumplan los tres requisitos anteriores.

EJEMPLO 16

Resolver el ejemplo anterior aplicando el sistema de ecuaciones.

El sistema se puede aplicar puesto que se cumplen los tres requisitos exigidos,quedando de esta forma:

En primer lugar se calcula el capital vivo y valor del préstamo y, del sistema, se despejausufructo y nuda propiedad:

Capital vivo:

Valor:

Y a continuación se resuelve el siguiente sistema:

De esta forma, cuando se emplea el sistema no es necesario conocer los elementos delcuadro de amortización, lo que resulta interesante cuando son muchos los períodos aúnpendientes hasta la finalización del préstamo.

12.2. VALORACIÓN EN UNA FRACCIÓN DE PERÍODO

Las expresiones anteriores están demostradas para cálculos efectuados en momentosdonde tiene lugar amortización de capital (final de período –año–).

Si el cálculo se realizara en cualquier otro momento de tiempo las definiciones siguensiendo válidas pero el sistema práctico de ecuaciones no se podría aplicar directamente.

En este caso, con el sistema práctico se realizarán los cálculos a principios del período ydespués capitalizaremos hasta la fecha en la que se piden los valores. Estacapitalización se debe efectuar en régimen de compuesta y al tanto de mercado (im).

Valor del préstamo en k': Vk' = Vk x (1 + im)t

Nuda propiedad del préstamo en k': Nk' = Nk x (1 + im)t

Usufructo del préstamo en k': Uk' = Uk x (1 + im)t

12.3. VALORACIÓN DE PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS

Cuando nos encontramos con préstamos con intereses fraccionados, habrá que tener encuenta que el fraccionamiento afecta al usufructo e, indirectamente, al valor, pero no ala nuda propiedad. Para calcular valor, usufructo y nuda propiedad se pueden aplicar,sin más, las definiciones teóricas, pero el sistema de ecuaciones, aunque sigue siendoválido, deberá considerar el efecto del fraccionamiento en el usufructo y en el valor, yquedará de la siguiente forma, si el estudio se hace a principios del período t+1:

Al tratarse de un préstamo de interés fraccionado, para resolverlo, obligatoriamente, setendrá que calcular en primer lugar, y fuera del sistema, el capital vivo y la nudapropiedad (a través de las definiciones), y del sistema siempre despejar lo que se veafectado por el fraccionamiento: usufructo y valor.

EJEMPLO 17

A partir del siguiente préstamo:

Importe: 300.000 euros. Duración: 3 años. Cuotas de amortización anuales constantes. Intereses semestrales al 6% efectivo semestral.

Se pide:

Calcular valor, usufructo y nuda propiedad transcurrido un año de su concesión si en esemomento el tanto de mercado ( im) es del 5% efectivo semestral.Cuadro de amortización:

300.000,00A = ----------------- = 100.000,00

3

PeríodosCapital

vivoCuota deinterés


Totalamortizado


1.1.1.2.

300.000,00300.000,00

18.000,0018.000,00

-100.000,00

-100.000,00

18.000,00118.000,00

2.1.2.2.

200.000,00200.000,00

12.000,0012.000,00

-100.000,00

100.000,00200.000,00

12.000,00112.000,00

3.1.3.2.

100.000,00100.000,00

6.000,006.000,00

-100.000,00

200.000,00300.000,00

6.000,00106.000,00

Total 72.000,00 300.000,00 372.000,00

Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad:

1.er caso: aplicando las definiciones teóricas.

Usufructo:

12.000 12.000 6.000 6.000U2

1 = ----------- + ----------- + ---------- + ---------- = 32.432,171,05 1,052 1,053 1,054

Nuda propiedad:

100.000 100.000N1 = -------------- + ------------- = 172.973,20

1,052 1,054

Valor:

V 21 = U2

1 + N1 = 32.432,17 + 172.973,20 = 205.405,37

2.º caso: aplicando el sistema de ecuaciones.

El sistema se puede aplicar puesto que se cumplen los dos requisitos exigidos, quedandode esta forma:

En primer lugar se calcula el capital vivo y nuda propiedad y, del sistema, se obtiene elusufructo y el valor:

Capital vivo:

C1 = 2 x A = 200.000

Nuda propiedad:

Y a continuación se resuelve el siguiente sistema:

Por tanto:

0,06U2

1 = --------- x [200.000 – 172.973,20] = 32.432,170,05

V21 = 32.432,17 + 172.973,20 = 205.405,37

13. Tantos efectivosEl préstamo, como operación financiera, supone la existencia de una equivalenciafinanciera entre una prestación (el importe del préstamo) y una contraprestación (elconjunto de capitales que se desembolsan para su total devolución). Dicha equivalencia

se cumple para un tipo de interés que, de no existir ningún componente además delinterés, coincide con el tipo al que se haya contratado la operación.

El problema surge cuando existen «características comerciales» en el préstamo, es decir,capitales, condicionantes externos, que afectan a la prestación y/o a la contraprestaciónhaciendo que se modifique el valor financiero de las mismas, no cumpliéndose laequivalencia para el tipo de interés contractual. Es decir, cuando en el préstamo, ademásde devolverse el capital y pagarse intereses, existen otros pagos y cobros de diferentenaturaleza.

Surge así la necesidad de calcular un nuevo tipo que permita determinar la equivalenciaentre las cantidades «realmente» entregadas y recibidas en la operación, tanto para elacreedor (prestamista) como para el deudor (prestatario). Este nuevo tipo será unamedida real (efectiva) de la rentabilidad obtenida por el prestamista y del coste total(efectivo) soportado por el deudor, por todo aquello que afecte a una y otra parte.

13.1. TANTO EFECTIVO ACREEDOR O DELPRESTAMISTA (ia)Proporciona una medida de la rentabilidad realmente obtenida por el prestamista,considerando todas aquellos capitales que influyen en la misma, tanto para aumentarlacomo para minorarla.

Se obtendrá a partir de la siguiente equivalencia financiera:

PRESTACIÓN REALPRESTAMISTA

(lo entregado)(Importe préstamo + Gastos a

cargo del prestamista)

<----------------> CONTRAPRESTACIÓN REALPRESTAMISTA

(lo recibido)(Términos amortizativos)

Normalmente el prestamista no soporta gastos en la formalización de un préstamo.

13.2. TANTO EFECTIVO DEUDOR O DELPRESTATARIO (id)Será una medida del coste real que le supone el préstamo considerando además de losintereses todos los gastos soportados en la operación, cualquiera que sea su naturaleza.

Se obtendrá a partir de la siguiente equivalencia financiera:

PRESTACIÓN REALPRESTATARIO

(lo recibido)(Importe préstamo)

<----------------> CONTRAPRESTACIÓN REALPRESTATARIO

(lo entregado)(Términos amortizativos + Gastos)

Será el deudor quien soporte la mayoría de los gastos originados por el préstamo, talescomo: comisiones de estudio, de apertura, de administración, notariales, impuestos, …

EJEMPLO 18

Se presta un capital de 15.000 euros a amortizar en 4 años, por el sistema francés deanualidades constantes, con las siguientes características:

Tipo de interés: 12% anual. Gastos iniciales: 150 euros a cargo del prestatario. Gastos anuales de 50 euros a cargo del prestatario. Los gastos imputables al prestatario no son cobrados por el prestamista sino por

un tercero.

Se pide:

Tanto efectivo prestatario. Tanto efectivo prestamista.

Solución:

Cálculo del término amortizativo

Tanto efectivo prestatario

LO RECIBIDO POR ELPRESTATARIO <----------------> LO ENTREGADO POR EL

PRESTATARIO

• Tanto efectivo prestamista

LO ENTREGADO POR ELPRESTAMISTA <----------------> LO RECIBIDO POR EL

PRESTAMISTA

Nota: para el cálculo de los tantos efectivos será necesario disponer de una calculadorafinanciera, unas tablas financieras o bien tantear en la ecuación hasta encontrarlo.

En el caso del ia, no había necesidad de plantear la ecuación puesto que la rentabilidaddel prestamista viene determinada exclusivamente para el tipo de interés del préstamoque permanece constante. Por tanto, se cumple: ia = i = 12%

14. Préstamos con interés revisableLos préstamos se pueden clasificar atendiendo al interés aplicable durante toda la vidadel préstamo, pudiéndose distinguir los siguientes tipos:

a)Préstamos tipo fijo.

El tipo de interés aplicable durante toda la vida de la operación se mantiene constante yse fija en el momento de contratación.

b) Préstamos tipo variable (revisable).

El tipo de interés aplicable en la operación se obtiene tomando como base un índice

(tipo referencial) al que se suma un diferencial constante. El tipo de interés se ajustaráperiódicamente en función del comportamiento de la referencia tomada como base. Lasreferencias más utilizadas publicadas por el Banco de España son:

Índice de referencia de préstamos hipotecarios de los bancos. Índice de referencia de préstamos hipotecarios de las cajas de ahorros. Índice de referencia de préstamos hipotecarios del conjunto de entidades. Índice CECA. Deuda Pública Euribor a un año.

c) Préstamos tipo mixto.

Funcionan como un préstamo a tipo fijo durante un determinado período de tiempo yposteriormente se convierten en un préstamo de interés variable durante el resto de lavida de la operación.

En las operaciones de amortización con tipos de interés mixto o variable, en el momentode la contratación no se conocen los tipos de interés a aplicar durante los diferentesperíodos que dura la operación. En dicho momento se pacta el importe prestado, laduración de la operación, el tipo de interés a aplicar durante el primer período(denominado tipo de interés de salida), el tipo de interés de referencia, en base al cual seva modificando el tipo de interés de los restantes períodos y el diferencial a añadir altipo de referencia.

El período de revisión del tipo de interés puede ser trimestral, semestral, anual, etc.

Para la revisión de los tipos de interés existen diferentes alternativas, que determinaránla estructura definitiva de los pagos efectuados y, en consecuencia, la estructura delcuadro de amortización:

1. Recalculando la cuantía de los términos amortizativos.2. Manteniendo constante la cuantía de los términos amortizativos y modificando el

número de pagos a realizar: sistema de cuota fija.3. Manteniendo el plan de amortización inicial: plan de amortización sin cambios.

14.1. RECÁLCULO DEL TÉRMINO AMORTIZATIVO

En este caso para cada revisión del tipo de interés se calcula el término a pagar comouna nueva operación de amortización, donde el importe del capital será el capital vivoen ese momento; la duración de la operación, la vida remanente del préstamo; y el tipode interés, el vigente en ese momento y aplicándolo para el resto de la operación.

Así, se modificará el término amortizativo cada vez que haya una revisión del tipo deinterés, cambiando asimismo su composición.

14.2. MANTENIMIENTO DEL IMPORTE DEL TÉRMINO AMORTIZATIVOSIN CAMBIOS

El término amortizativo inicialmente calculado se va a mantener durante todo elpréstamo. En cada revisión del tipo de interés se plantea el préstamo como una nuevaoperación donde el importe del capital será el capital vivo en ese momento; el tipo deinterés, el vigente en ese momento y aplicándolo hasta el final; como términoamortizativo se mantiene el que se calculó inicialmente; por último, se calcula elnúmero de pagos a realizar en esa situación para la completa amortización del capitalpendiente.

De esta forma el importe de los pagos se mantiene sin cambios en su cuantía total, perola modificación del tipo de interés supondrá una nueva variación en la composición deltermino, de forma que una subida de tipo de interés se traduce en una mayor cuota deinterés y menor cantidad destinada a amortización (al revés, si se produce una rebaja detipos).

En esta modalidad de revisión de los tipos de interés lo que nunca se conocerá (hasta laúltima revisión) es el número de pagos constantes que se realizarán en total. Si los tiposvan disminuyendo, se acortará el número de pagos, y aumentará cuando los tipos deinterés futuros vayan creciendo.

14.3. PLAN DE AMORTIZACIÓN SIN CAMBIOS

Cuando se establece el plan de amortización fijo lo que se determina en el momento dela contratación es el capital prestado, la duración del préstamo, el tipo de interés desalida y las cuotas de amortización de cada período, que una vez establecidas seráninamovibles. En cada uno de los períodos de revisión del tipo de interés bastará conañadir a la cuota de amortización la nueva cuota de interés. Esta última se calculará,como en cualquier caso, como el producto del capital vivo por el tipo de interésaplicable en cada período, una vez revisado.

Al permanecer sin cambios las cuotas de amortización calculadas para todos y cada unode los períodos, y variar solamente las cuotas de interés como consecuencia de larevisión de tipos, los términos amortizativos (ak) se volverán aleatorios.

EJEMPLO 19

Se contrata un préstamo en las siguientes condiciones:

Importe: 1.000 euros. Duración: 3 años. Términos amortizativos trimestrales constantes. Tipo de interés nominal durante el primer año del 8%. Para el resto de años, EURIBOR + 1%, con revisiones anuales.

Supondremos que en la primera revisión dicho tipo será del 5% y en la segunda, el 3%.

Se pide:

Cuadro de amortización inicial. Cuadro resultante después de las revisiones previstas en los siguientes casos:

– Recalculando el término amortizativo.– Manteniendo el importe del término sin cambios.– Plan de amortización sin cambios.

Cuadro de amortización inicial

Se trata de un préstamo tipo francés, con término amortizativo constante y considerandocomo tipo de interés para toda la operación (12 trimestres) el que se aplica durante elprimer año (8% nominal), es decir, se calcula bajo el supuesto teórico de que el tipoinicial permanece constante durante toda la vida del préstamo.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

01234

0,020,020,020,02

94,5694,5694,5694,56

20,0018,5116,9915,44

74,5676,0577,5779,12

74,56150,61228,18307,31

1.000,00925,44849,39771,82692,69

5678

0,020,020,020,02

94,5694,5694,5694,56

13,8512,2410,59

8,91

80,7182,3283,9785,65

388,01470,33554,30639,95

611,99529,67445,70360,05

9101112

0,020,020,020,02

94,5694,5694,5694,56

7,205,453,671,85

87,3689,1190,8992,70

727,31816,41907,30

1.000,00

272,70183,59

92,70

Total 1.134,72 134,72 1.000,00

Revisión del tipo mediante el sistema del recálculo del término amortizativo

Para construir el cuadro definitivo partimos del cuadro inicial, que se va a mantener sincambios hasta pasado un año, fecha de la primera revisión del tipo de interés.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

01234

0,020,020,020,02

94,5694,5694,5694,56

20,0018,5116,9915,44

74,5676,0577,5779,12

74,56150,61228,18307,31

1.000,00925,44849,39771,82692,69

Realizado el cuarto pago, la deuda pendiente (692,69 euros) se tomará como importe deun nuevo préstamo, de duración los dos años –que aún faltan para concluirdefinitivamente el préstamo–, y empleando como tipo el que surja como consecuenciade la revisión (un nominal del 6%), con el mismo sistema de amortización (francés) y se«recalcula» el término amortizativo. Se obtiene una nueva trimestralidad (92,53 euros),con una nueva distribución entre interés y principal, vigentes hasta la nueva revisión.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

5678

0,0150,0150,0150,015

92,5392,5392,5392,53

10,399,167,916,64

82,1483,3884,6385,90

389,45472,83557,45643,35

610,55527,18442,55356,66

Pasados dos años (ocho pagos trimestrales), momento de la segunda revisión del tipo deinterés, se vuelve a realizar la operación efectuada en la primera revisión. En este caso,

el importe a considerar será la deuda pendiente en esa fecha (356,66 euros), duración unaño y como tipo el 4% nominal aplicable en ese momento.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

9101112

0,010,010,010,01

91,4091,4091,4091,40

3,572,691,800,91

87,8488,7289,6090,50

731,18819,90909,50

1.000,00

268,82180,10

90,50

Revisión del tipo mediante manteniendo el término amortizativo inicial sin cambios

También se parte del cuadro de amortización inicial calculado con un tipo único (8%nominal) para los tres años, que se va a mantener sin cambios hasta pasado un año,fecha de la primera revisión del tipo de interés.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

01234

0,020,020,020,02

94,5694,5694,5694,56

20,0018,5116,9915,44

74,5676,0577,5779,12

74,56150,61228,18307,31

1.000,00925,44849,39771,82692,69

En el momento de la primera revisión, aunque el tipo de interés cambie, se mantiene sinvariación el importe del término amortizativo inicialmente calculado (94,56 euros). Seplanteará un nuevo préstamo cuyo importe será la deuda aun pendiente (692,69 euros),con un nuevo tipo de interés –el vigente en esa fecha, 6% nominal–, siendo la incógnita

el número de pagos a efectuar. Y es que en este sistema, el número de pagos definitivosno se conocerá hasta la última revisión de tipos.

Al variar el tipo de interés se produce una nueva distribución de término amortizativo eninterés y principal.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

5678

0,0150,0150,0150,015

94,5694,5694,5694,56

10,399,137,856,55

84,1785,4386,7188,01

391,48476,91563,62651,64

608,52523,09436,38348,36

Pasados dos años, llega el momento de la segunda revisión del tipo de interés. Se vuelvea realizar la operación efectuada en la primera revisión. En este caso, el importe aconsiderar será la deuda pendiente en esa fecha (348,36 euros), el término 94,56 euros ycomo tipo el 4% nominal vigente en ese momento. Es en esta última revisión donde seobtendrá el número de pagos que teóricamente habrá que realizar para concluir laoperación. El cálculo será el siguiente:

de donde:

Y, aunque la duración del préstamo no se ha visto disminuida a pesar del descenso detipos, el importe del último pago será inferior al resto (como consecuencia del descensode tipos). Su cuantía se obtendrá de la siguiente equivalencia en la fecha de la últimarevisión del tanto:

de donde:

P = 73,11 €

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

9101112

0,010,010,010,01

94,5694,5694,5673,11

3,482,571,650,72

91,0891,9992,9172,39

742,71834,70927,61

1.000,00

257,29165,30

72,39

Revisión del tipo mediante manteniendo las cuotas de amortización sin cambios (con respectoal cuadro inicial)

Se toma como punto de partida el cuadro inicial calculado al principio para los tres añosde duración del préstamo. Dicho cuadro permanecerá sin cambios, a pesar de lasrevisiones de tipos, por lo que se refiere a las columnas de cuota de amortización, totalamortizado y capital vivo.

A medida que se vaya modificando el tipo a aplicar en cada período, se calcularán lasdiferentes cuotas de interés. Para el cálculo de los términos amortizativos, bastará consumar la cuota de interés (que cada trimestre se calcula al tipo nominal vigente en eseperíodo) y la cuota de amortización (la calculada en el cuadro inicial para toda laoperación) de cada uno de los trimestres.

Númeropago

Tipointerés


Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

0,020,020,02

94,5694,5694,56

20,0018,5116,99

74,5676,0577,57

74,56150,61228,18

1.000,00925,44849,39771,82

4 0,02 94,56 15,44 79,12 307,31 692,69

5678

0,0150,0150,0150,015

91,1091,5091,9292,34

10,399,187,956,69

80,7182,3283,9785,65

388,01470,33554,30639,95

611,99529,67445,70360,05

9101112

0,010,010,010,01

90,9691,8492,7393,63

3,602,731,840,93

87,3689,1190,8992,70

727,31816,41907,30

1.000,00

272,70183,59

92,70

La ventaja de este sistema es la facilidad para construir el cuadro ya que desde elprincipio se conocen las cantidades destinadas a amortizar capital y, por tanto, loscapitales pendientes. El importe de los términos amortizativos, no obstante, no puedeconocerse de antemano, dado que no se conocen los tipos de interés que van a estarvigentes en futuros períodos, siendo diferentes todos ellos, desde el momento de laprimera revisión del tipo de interés.

15. Tantos efectivos de los préstamossegún el Banco de España(Circular 8/1990, de 7 de septiembre, sobre transparencia de las operaciones yprotección a la clientela, modificado por las Circulares 22/1992, de 18 de diciembre;13/1993, de 21 de diciembre; 5/1994, de 22 de julio; 3/1996, de 27 de febrero)

El tipo de interés, coste o rendimiento efectivo deberá expresarse obligatoriamente enlos documentos contractuales a que se refiere la norma y que son, entre otros, lasoperaciones de préstamo o crédito, incluidas las instrumentadas mediante tarjeta decrédito, así como en las ofertas vinculantes sobre préstamos hipotecarios. Cuando loscréditos o préstamos se realicen a tipo variable, dicho coste tendrá efectos informativos,y se hará seguir de la expresión: «Variará con las revisiones del tipo de interés».

Para la confección y publicación del tipo de interés, coste efectivo, las entidadesdeberán atenerse a las siguientes normas:

a) Los tipos de interés se expresarán en tasas porcentuales anuales pagaderas a términovencido equivalentes.

b) La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala en cualquier fecha el valor actualde los efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación, por todos losconceptos, incluido el saldo remanente a su término, con las excepciones e indicaciones

que a este efecto se recogen a continuación, siguiendo la formulación matemáticadesarrollada en el anexo V de esta norma:

Siendo:

D: Disposiciones.R: Pagos por amortización, intereses u otros gastos incluidos en el coste o rendimientoefectivo de la operación.n: Número de entregas.m: Número de pagos simbolizados por R.tn: Tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la de la disposiciónn.tm: Tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la del pago m.ik: Tanto por uno efectivo referido al período de tiempo elegido para expresar los tn ytm en números enteros.

Por su parte, el tipo anual equivalente i (TAE) a que se refiere la indicada norma octavaes: i = (1 + ik )k – 1; siendo k el número de veces que el año contiene el período elegido.

En la información sobre el coste efectivo de estas operaciones se aplicarán las siguientesreglas:

1. En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones y demás gastos queel cliente esté obligado a pagar a la entidad como contraprestación por el créditorecibido o los servicios inherentes al mismo. No se considerarán a estos efectoslas comisiones o gastos que se detallan a continuación, aun cuando debe quedarexpresa y claramente indicado que la tasa anual equivalente no los incluye:

• Los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que le concedeel contrato, en particular, y en su caso, los gastos por transferencia delos fondosdebidos por el cliente.• Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastos notariales eimpuestos.• Los gastos por seguros o garantías. No obstante se incluirán las primas de losseguros que tengan por objeto garantizar a la entidad el reembolso del crédito encaso de fallecimiento, invalidez o desempleo de la persona física que hayarecibido el crédito, siempre que la entidad imponga dicho seguro comocondición para conceder el crédito.• En aquellos casos en que la entidad reciba ayudas, subsidios o subvenciones decarácter público, sólo se tendrán en cuenta para el cálculo de la tasa anualequivalente los importes efectivamente reintegrados por el beneficiario, deforma que aquellas subvenciones resulten excluidas de sus costes.

En cuanto a las comisiones y gastos repercutibles a cargo del prestatario,deberán responder a la prestación de un servicio específico indicándose lossupuestos, y, en su caso, la periodicidad de su aplicación.

2. Las liquidaciones correspondientes a cualquier clase de morosidad (ya sean decuotas de interés o de principal) se tratarán de forma independiente, conseñalamiento de las variables a que se refiere la liquidación.

En las operaciones a tipo de interés variable, el coste efectivo que se ha dereflejar en la documentación contractual se calculará bajo el supuesto teórico deque el tipo de referencia inicial permanece constante, durante toda la vida delcrédito, en el último nivel conocido en el momento de la celebración delcontrato. Si se pactara un tipo de interés fijo para cierto período inicial, se tendráen cuenta en el cálculo, pero únicamente durante dicho período inicial.Excepcionalmente, si el tipo inicial se aplicara durante un plazo de diez años omás, o durante la mitad o más de la vida del contrato, aplicándose al menosdurante tres años, en el cálculo del coste efectivo sólo se tendrá en cuenta esetipo inicial. Tal simplificación deberá advertirse adecuadamente.

En los documentos de liquidación que deben facilitarse periódicamente a losclientes, de conformidad con esta norma, el coste efectivo se calculará tomandoexclusivamente en cuenta el plazo pendiente de amortización y los conceptos decoste que queden por pagar si la operación sigue su curso normal. El costeefectivo así calculado se denominará «coste efectivo remanente».

En las operaciones a tipo de interés variable, las modificaciones queexperimenten los índices de referencia no se reflejarán en el «coste efectivoremanente» hasta tanto no afecten al tipo nominal de la operación.

EJEMPLO 20

El señor José Ruiz Sánchez ha solicitado un préstamo en el Banco Cef por importe de75.000 euros a pagar en 36 meses con cuotas mensuales a un tipo de interés nominal del17%. Los gastos son: comisión de apertura del 1% (con un mínimo de 700 euros) ygastos de estudio por 500 euros.

Don José se pregunta por el importe de la cuota y la TAE calculada según el Banco deEspaña que aparecerá en el contrato.

Solución:

Se trata de un sistema francés con mensualidades constantes cuyo importe será elsiguiente:

La TAE se obtendrá estableciendo el equilibrio financiero de la operación en el origen:

Finalmente, por tanteo, máquina financiera o tablas financieras se despeja i12:

EJEMPLO 21

La señorita Yovana De Lózar solicita un préstamo al banco H, siendo las característicasdel mismo las siguientes:

Importe del préstamo: 10.000 euros. Duración: 10 años. Vencimientos: mensuales. Tipos de interés:

– Durante el primer año: 10,75% (nominal anual pagadero mensualmente).

– EURIBOR a un año + 2%, con revisiones anuales.Último euribor año conocido a fecha de la contratación: 9,75%.

Comisión de apertura: 1,5%. Tasación: 22,50 euros.

Se pide:

1. Coste efectivo que deberá figurar en la escritura del préstamo.2. Si transcurrido un año, el referencial establecido es un 11% nominal anual

pagadero mensualmente, ¿cuál deberá ser la TAE que figure en los impresos deliquidación girados por la entidad?

Solución:

Punto 1

1. Determinación de la mensualidad para los 12 primeros meses:

2. Determinación del capital pendiente transcurrido un año (C12)

3. Cálculo del término amortizativo para los nueve años siguientes, tomando comonuevo tipo el siguiente (sistema del recálculo del término amortizativo). Que secalculará bajo el supuesto teórico de que el tipo de referencia vigente en elmomento de la contratación permanecerá constante en el momento de la revisión(dentro de un año) y en posteriores revisiones:

Referencial inicial + 2 puntos = 9,75% + 2% = 11,75%

4. El coste efectivo se obtendrá estableciendo el equilibrio financiero de laoperación en el origen, enfrentando el importe del préstamo a los pagos

realizados en la formalización (reales), los habidos durante el primer año (cuotasmensuales reales de 136,34 euros) y suponiendo que la cuota mensual para losrestantes nueve años es de 141,57 euros (ficticias), por lo que esta TAE asícalculada es una estimación del coste efectivo de la operación:

Punto 2

Transcurrido un año, el tipo de interés se revisa, siendo el siguiente:

Referencial aplicable + 2% = 11% + 2% = 13% nominal anual pagadero mensualmente

1. Nuevo término amortizativo para este segundo año, calculado igualmente por elsistema del recálculo, tomando como tipo de interés el tipo de referencia vigenteen ese momento que ya se conoce realmente (año 1, momento de la primerarevisión), y suponiendo que va a permanecer sin cambios hasta el final delpréstamo:

2. Nuevo coste efectivo calculado transcurrido un año desde la concesión:

Este coste efectivo se obtendrá estableciendo el equilibrio financiero de laoperación en el origen, enfrentando el importe del préstamo a los pagosrealizados en la formalización (reales), los habidos durante el primer año (cuotasmensuales reales de 136,34 euros), los pagos a efectuar durante el segundo año(148,25 euros), que también van a ser ciertos y suponiendo que la cuota mensualpara los restantes ocho años será de 148,25 euros (ficticios), por lo que esta TAEasí calculada es una estimación del coste efectivo de la operación, aunque algo

más próxima a la realidad que la calculada en el origen:

CAPÍTULO 5. Empréstitos 1. Concepto. Generalidades 2. Empréstito clase I. Tipo I. Puro 3. Empréstitos clase I. Tipo II 4. Empréstitos clase I. Tipo III 5. Empréstito de cupón periódico prepagable 6. Empréstitos clase II. Tipo I. Puro 7. Empréstito clase II. Tipo II 8. Tantos efectivos 9. Probabilidad en los empréstitos

1. Concepto. GeneralidadesLos empréstitos surgen cuando las necesidades de financiación son tan elevadas queresulta difícil obtener los fondos de un solo acreedor. Por ello se opta por fraccionar ladeuda en pequeños préstamos, representados en títulos, que son suscritos por un númeroelevado de prestamistas (obligacionistas o bonistas). Así, se puede definir el empréstitocomo un macro-préstamo de cuantía elevada que para facilitar el concurso de muchosacreedores se divide en partes iguales, las cuales se instrumentan en títulos. Cada una delas cuales recoge las condiciones generales del empréstito:

El nombre, capital, objeto y domicilio del emisor. El valor nominal, intereses, vencimientos, primas y lote de obligaciones, si las tuviera. Garantías de la emisión.

Los títulos incorporan un derecho de cobro de intereses y recuperación del nominal parael titular o poseedor del título. Estos derechos se convierten en la obligación para lasociedad emisora que se materializa en el pago de interés y devolución del nominal.

En el lenguaje financiero la parte igualitaria del empréstito se reconoce con variosnombres: título-valor, título, obligaciones, título de la obligación si la emisión se hace amás de cinco años y bonos cuando la emisión es a cinco o menos años.

1.1. PERSONAS QUE INTERVIENEN EN EL EMPRÉSTITO

El prestatario. Es el emisor, la entidad o sociedad que solicita dinero en préstamoemitiendo obligaciones que colocará en el mercado financiero. El prestatario «vende»obligaciones a los ahorradores.

El prestamista. Es la persona física o jurídica que presta el dinero. También se llamaobligacionista (o bonista) porque «compra» obligaciones (o bonos).

Intermediario financiero. Es la entidad que canaliza y hace coincidir los intereses ydeseos de la sociedad que emite el empréstito y de los ahorradores que deseanrentabilizar sus ahorros.

Normalmente son las entidades bancarias quienes colocan entre sus clientes elconjunto de obligaciones de un empréstito, cobrando una comisión por ello.

1.2. TERMINOLOGÍA

c: Valor nominal de un título (obligación o bono).n: Duración del empréstito.i: Tipo de interés del empréstito.c x i: Cupón o interés periódico de un título.N1: Número de títulos que componen la emisión de un empréstito.Nk: Número de títulos en circulación (pendientes de amortizar) a comienzos del períodok.Mk: Número de títulos que se amortizan al final del período k.mk: Total acumulado de títulos amortizados después de k sorteos, incluidos los delperíodo k.ak: Término amortizativo del período k. Es la contraprestación que la entidad emisora hade pagar al final del período k.c x N1: Valor nominal del empréstito.V: Precio de emisión de un título. Es la cantidad realmente pagada por el obligacionistacuando adquiere el título.

Si c = V -------------- > Emisión a la parSi c > V -------------- > Emisión bajo parSiendo pe la prima de emisión -------------- > pe = c – V

V x N1: Valor de emisión del empréstito. Resultante de multiplicar el número de títulosemitidos por el precio de emisión de éstos.

1.3. PRINCIPALES DERECHOS ECONÓMICOS DE LOS OBLIGACIONISTAS

Todo obligacionista tiene, como mínimo, los siguientes derechos:

1. Cobro de intereses. Se puede convenir que los intereses se abonen:

• Periódicamente, los intereses los cobran los títulos que en ese momento están encirculación. Es lo que se conoce como emisiones de cupón periódico.• De una sola vez, cobrando los intereses aquellos títulos que resulten amortizados encada período. Es lo que se conoce como emisiones de cupón acumulado.Puede ocurrir que todos o parte de los títulos que resulten amortizados en cada

período pierdan el derecho de cobro del cupón correspondiente al período del sorteo.Es lo que se denomina amortización seca o amortización ex-cupón.

2. Recuperación del dinero prestado. La sociedad emisora deberá reembolsar el importede las obligaciones en las condiciones fijadas en el momento de la emisión. Dichacantidad se denomina valor de reembolso del título (ck), pudiendo ocurrir:

ck = c -------------- > Amortización a la parck = c + p --------- > Amortización sobre la par (con prima)siendo p = Prima de amortización o reembolso

Clases de amortización:

A efectos de determinar el número de títulos que han de retirarse de la circulación cabendos posibilidades:

1. Amortización por sorteo. Periódicamente, previo sorteo, se amortiza un númerodeterminado de títulos.

2. Amortización única. Todos los títulos se amortizan de una sola vez al final de la vida delempréstito.

Además de los derechos anteriores, algunos títulos tendrán derecho a un lote (L). Setrata de una cantidad que reciben parte de las obligaciones que resultan amortizadas enun período en concepto de premio. Puede ser fijo o variable.

1.4. PROBLEMÁTICA DE LOS GASTOS DEL EMISOR DE UN EMPRÉSTITO

En toda emisión se pueden distinguir dos tipos de gastos:

1. Gastos iniciales (G)

Se caracterizan por:

• Ser gastos inherentes a la emisión (registros, publicidad, ...).• A efecto del cálculo financiero se consideran en el momento de la emisión, conindependencia de dónde se produzcan.

2. Gastos de administración (g)

Se caracterizan por:

• Tratarse de una comisión periódica que reciben las entidades que prestan el«servicio financiero» del empréstito, es decir, por encargarse del pago de cupones,realización de sorteos, amortización de títulos, ...• Se pueden calcular de varias formas:– Sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.– Sobre las cantidades destinadas al pago de cupones.– Sobre las cantidades destinadas a amortización, ...

1.5. PLANTEAMIENTO INICIAL DEL EMISOR

Cuando una sociedad decide emitir un empréstito conoce la cuantía de las necesidadesfinancieras que tiene y pretende obtener con los títulos que va a poner en circulación.Asimismo, la emisión supone gastos (gastos de emisión) que también precisarán serfinanciados, por lo tanto, el valor de emisión ha de cubrir dichas cuantías. Por esto, entoda emisión se cumplirá la siguiente expresión, desde el punto de vista del emisor:

Necesidades financieras + Gastos de emisión = Valor emisión del empréstito(E) (G) (V x N1)

A la hora de hacer el estudio de los empréstitos nos centraremos en el punto de vista delemisor, ocupándonos de cómo devuelve la deuda contraída (cuadro de amortización delempréstito). No obstante, en la parte final del capítulo se realizará un estudio desde laóptica del obligacionista (valoración de títulos).

En este sentido, los pagos que el emisor debe realizar vendrán dados en función delritmo de amortización de los títulos emitidos y, en consecuencia, de los títulos quepermanecen en circulación en cada momento de tiempo. Conocidos los títulos aamortizar y los que aún se encuentran en circulación, y las cuantías que se han de pagara unos y otros, el emisor podrá construir el cuadro de pagos a realizar a lo largo de laoperación.

EJEMPLO 1

Construir el cuadro de amortización del siguiente empréstito:

Títulos emitidos: 9.000. Duración: 3 años. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual vencido: 100 euros que cobran los títulos en circulación. Amortización de los títulos por el nominal:

– Año 1: 1.000 títulos.– Año 2: 3.000 títulos.– Año 3: 5.000 títulos.

Se pide:

Cuadro de amortización.

Solución:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos del empréstito será:

(1) (2) (3)(4) = (1) x

100(5) = (2) x

1.000(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

TotalT.

amort.Intereses Amortización

Términoamortizativo

123

9.0008.0005.000

1.0003.0005.000

1.0004.0009.000

900.000800.000500.000

1.000.0003.000.0005.000.000

1.900.0003.800.0005.500.000

(1) Títulos que aún quedan en circulación al principio de cada año.(2) Número de títulos que resultan amortizados en cada sorteo, realizado al final de cadaaño.(3) Total de títulos amortizados después de cada sorteo, es decir, los títulos que desde laemisión ya han resultado retirados de la circulación.(4) Cantidad que, en concepto de intereses, paga el emisor al final de cada período. Elimporte es el resultado de pagar el cupón acordado en la emisión (100 euros) a cada unode los títulos que durante ese período (año) han estado en circulación.(5) Cuantía destinada por el emisor para retirar de la circulación los títulos acordados.Es el valor de reembolso de los títulos amortizados en cada sorteo.(6) Total pagado en cada período por el emisor del empréstito por todos los conceptos(intereses y valor de reembolso).

No obstante, puede ocurrir que el emisor no establezca directamente el número detítulos a amortizar en cada momento y, en consecuencia y de acuerdo con el importe de

los cupones y valor de reembolso, las cuantías totales de los pagos a realizar en cadamomento. Sino que lo que hace es determinar el importe total del pago (cuantía deltérmino amortizativo) y, en función de su composición (cupones, valor de reembolso,lotes,…), se tendrá que determinar el número de títulos a amortizar en cada momento ycuántos han de quedar en circulación. Por eso es necesario plantear los diferentes tiposde empréstitos con los que nos podemos encontrar.

1.6. CLASIFICACIÓN DE LOS EMPRÉSTITOS

Para el desarrollo del capítulo se tienen que seguir diferentes criterios de clasificación ala hora de hacer el estudio de los empréstitos.

1. Atendiendo a la forma de pago de los intereses a los obligacionistas:1. Con pago periódico de intereses (obligaciones americanas): empréstitos clase

I.Asimismo, podremos diferenciar entre:• Cupón periódico vencido, pagadero al final del período.• Cupón periódico anticipado o prepagable, pagadero al principio del período.

2. Con cupón acumulado: empréstitos clase II.Asimismo, podremos diferenciar entre:• Cupón acumulado en simple, cuando se emplea para la acumulación elrégimen de capitalización simple de intereses.• Cupón acumulado en compuesta, cuando se emplea para la acumulación elrégimen de capitalización de intereses compuesta.

2. Atendiendo a la cuantía del término amortizativo y del cupón:1. Término amortizativo constante y cupón constante: empréstitos tipo I.2. Término amortizativo variable y cupón constante: empréstitos tipo II.3. Término amortizativo variable y cupón variable: empréstitos tipo III.

3. Atendiendo a la composición del término amortizativo:1. Sin características comerciales, «normal» o «puro». Cuando el término

amortizativo se destina exclusivamente al pago de cupones y reembolso de lostítulos amortizados por el nominal.

2. Con características comerciales. Cuando el término amortizativo se destina aalgo más que a pagar el cupón y amortizar por el nominal (prima dereembolso, lotes, amortización seca, gastos de administración,…).

Al desarrollar la primera parte del capítulo se estudiará en primer lugar los empréstitosdesde el punto de vista del emisor, empezando por los empréstitos clase I, de cupónperiódico vencido y, a continuación, de cupón periódico prepagable y, finalmente, delos empréstitos de cupón acumulado (empréstitos clase II). En la segunda parte seestudiarán estas operaciones desde el punto de vista, no del emisor, sino de quienessuscriben estos títulos (los obligacionistas).

2. Empréstito clase I. Tipo I. Puro2. EMPRÉSTITO CLASE I. TIPO I. PURO

También conocido como empréstito normal, se caracteriza por ser de cupón periódico(clase I), término amortizativo pagadero por el emisor y cupón constantes (tipo I), y no

presentar ninguna otra característica especial. Por tanto, el pago del emisor se destina aretribuir con un cupón periódico constante a los títulos en circulación (c x i x Nk) y aamortizar por el nominal los títulos que corresponda (c x Mk).

La estructura del término amortizativo (en adelante anualidad) será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstitode N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos ytérminos amortizativos constantes (a), es el siguiente:

Donde c x N1 representa el importe nominal del empréstito, n el número de pagos(términos amortizativos) en los que se amortiza, i el tipo de interés del cupón y a es elimporte del término amortizativo constante.

Este empréstito, considerado globalmente, es un préstamo francés.

2.1. Pasos a seguir 2.2. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con

características comerciales

2.1. Pasos a seguirSe trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortizacióndel empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (términoamortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (c x Mk) y cuota de interés(c x i x Nk).


Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empréstito incorporan, en parteel coste del aplazamiento (pago de cupones), en parte la devolución de una porción de ladeuda (amortización de títulos). Para calcular el término amortizativo bastaría conplantear una equivalencia financiera en el momento 0 entre el nominal del empréstito yla renta formada por los términos amortizativos:

resultando:

de donde se despeja el término a:

Es lo que se denomina el término amortizativo teórico (a diferencia de los que aparecenen el cuadro que se les conoce como términos amortizativos prácticos o reales).

2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk)

Dada la estructura del término amortizativo (a) constante e ir disminuyendo la parte delmismo destinada al pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número detítulos en circulación que tienen derecho a cobrarlo), el valor destinado a reembolsartítulos necesariamente tendrá que ir creciendo y, por tanto, el número de títulosamortizados en cada sorteo.

Se plantea la necesidad de saber cómo se obtiene el número de títulos que en cadasorteo resultan amortizados. Para ello podemos proceder de dos formas alternativas:

2.1.2.1. 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo

Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pagode cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos seamortizarán en cada momento. Así:

Período 1: a = c x i x N1 + c x M1 --> c x M1 = a – c x i x N1a – c x i x N1

M1 = -------------------c

Período 2: a = c x i x N2 + c x M2 --> c x M2 = a – c x i x (N1 – M1)a – c x i x (N1 – M1)

M2 = ----------------------------c

Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálculo detítulos amortizados en cada sorteo. A pesar de la simplicidad del cálculo, resulta pocopráctico, sobre todo cuando el número de sorteos es elevado. Conviene, pues, buscar unprocedimiento que permita establecer, si es posible, alguna relación (ley de recurrencia)a la hora de calcular los Mk.

2.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulosamortizados

Como antes se ha comentado, al ser constante el término amortizativo y las cantidadesdestinadas al pago de cupones decrecientes, las cuantías destinadas a amortizaciónnecesariamente tendrán que ir creciendo. Además, varían siguiendo una ley matemática(ley de recurrencia).

La ley de recurrencia es la relación que existe entre dos términos consecutivos, en estecaso, las cantidades destinadas a amortizar títulos. Para buscarla se relacionan pordiferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

Período k: a = c x i x Nk + c x MkPeríodo k+1: a = c x i x Nk+1 + c x Mk+1

---------------------------------------------------------a - a = c x i x (Nk - Nk+1) + c x Mk - c x Mk+1

Siendo: Nk - Nk+1 = Mk

0 = c x i x Mk + c x Mk - c x Mk+1

dividiendo toda la expresión por c:

0 = i x Mk + Mk - Mk+1


Mk+1 = Mk x (1 + i)

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varíansiguiendo una progresión geométrica de razón 1 + i, por tanto, cualquier Mk se puedecalcular a partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con caráctergenérico, se pondrán en función del primero –que es el más fácil de obtener–:

Mk+1 = M1 x (1 + i)k

2.1.3. Cálculo de títulos amortizados en el primer sorteo (M1)

Una vez calculado M1, todos los demás se podrán obtener aplicando la ley derecurrencia anterior. El cálculo del número de títulos amortizados en el primer sorteo sepuede realizar de dos formas posibles:


Período 1: a = c x i x N1 + c x M1

a – c x i x N1donde es conocido todo salvo M1 --> M1 = -------------------

c

lo que implica haber calculado previamente el término amortizativo (a).

2.1.3.2. 2.ª posibilidad: a través de los títulos emitidos

En todo empréstito se cumple que la suma aritmética de los títulos amortizados en cadaperíodo coincide con el número de títulos inicialmente emitidos:

M1 + M2 + M3 + ... + Mn = N1

Además, en este tipo de empréstito todos los títulos amortizados se pueden poner enfunción del primero de ellos por la ley de recurrencia antes calculada, por lo que laigualdad anterior quedará de la siguiente forma:

M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + ... + M1 x (1 + i)n-1 = N1


M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1] = N1

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de ntérminos, por tanto:

de donde:

2.1.4. Cálculo del total de títulos amortizados (mk)

Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se pueden obtener de dosformas posibles:

• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:

mk = N1 - Nk+1

• Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:

mk = M1 + M2 + ... + Mk

Además, todos los títulos amortizados se pueden poner en función del primero de ellos,según la ley de recurrencia que siguen:

mk = M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + ... + M1 x (1 + i)k-1


mk = M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)k-1]

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de ktérminos, por tanto:

2.1.5. Cálculo de títulos vivos a principios de cada período (Nk+1)

Podemos plantear este cálculo de varias formas:

2.1.5.1. 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados:

Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar:


Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (nobastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que lostérminos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente lascantidades correspondientes.

• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone alemisor amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada)y lo que aún debe (la diferencia entre lo que el emisor recibió en la emisión y lo quehasta la fecha ya ha pagado):en k:

Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k

es decir:

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1.

Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizarde una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería

seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final.en k:

Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k

es decir:


2.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación aprincipios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i).

Período k + 1: c x i x Nk+1

EJEMPLO 2

Se emite el siguiente empréstito:

Títulos emitidos: 100.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual (c x i): 120 euros. Duración: 5 años. Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal. Anualidad constante.

Se pide:

Anualidad del empréstito. Cuadro de amortización.

Solución:

Cálculo de la anualidad:

Cálculo de los títulos amortizados:

Para calcular el número definitivo de títulos amortizados en cada sorteo, seguiremos eldenominado «método del redondeo», que consiste en calcular en primer lugar los títulosque teóricamente corresponde amortizar en cada sorteo (con decimales). A continuaciónse suman solamente las partes enteras (99.996) y los títulos que faltan hasta completar

los que se emitieron (4 en nuestro caso), se reparten teniendo preferencia los sorteos conmayor decimal y correspondiendo como máximo un título por sorteo.


(1) (2) (3)(4) = (1) x

120(5) = (2) x

1.000(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.

Intereses AmortizaciónTérmino

amortizativo

12345

100.00084.25966.62946.88424.769

15.74117.63019.74522.11524.769

15.74133.37153.11675.231

100.000

12.000.00010.111.080

7.995.4805.626.0802.972.280

15.741.00017.630.00019.745.00022.115.00024.769.000

27.741.00027.741.08027.740.48027.741.08027.741.280

La columna (1) recoge los títulos en circulación a principios de cada período, que seránlos que tengan derecho a percibir el cupón al final del período (4). La columna (2)recoge los títulos que resultan amortizados al final de cada período y que serán los quereciban el valor de reembolso (5). El pago finalmente efectuado por el emisor en cadamomento será eltérmino amortizativo (6).

La cuantía de los términos amortizativos (también denominada anualidad práctica) nocoincide con el importe calculado anteriormente (27.740.973,19). Esto se debe alredondeo efectuado en los títulos que resultan amortizados en cada sorteo.

2.2. Empréstito de cupón periódicoconstante y anualidad constante concaracterísticas comercialesTodas las expresiones empleadas hasta ahora son válidas para empréstitos denominadosnormales o puros, es decir, aquellos en los que el término amortizativo se destinaexclusivamente al pago de un cupón (constante) y a amortizar por el nominal a lostítulos que corresponda.

No obstante, podemos encontrarnos con empréstitos en los que el emisor haya acordadoretribuir adicionalmente a los obligacionistas (con primas de amortización y/o lotes) obien incluyen gastos soportados por el emisor (gastos de administración). En estos

casos, habrá que «preparar el empréstito» para que exista equilibrio financiero y asípoder aplicar las expresiones anteriores.

Los pasos a seguir para trabajar con empréstitos de cupón periódico cuando tienencaracterísticas comerciales son:

1.º Determinar la composición de la estructura de la anualidad siguiendo el siguienteorden:Anualidad = Intereses + Amortización + Lotes + Gastos de administración

2.º Proceso de normalización: el objetivo final es dejar la estructura de partida en unaequivalente en la que la anualidad se destine exclusivamente a pagar cupones y aamortizar por el nominal los títulos.

Las fases de la normalización son:

a) Pasar lo que no sea amortización ni cupón (lotes y gastos de administración) alprimer miembro.b) Si el valor de reembolso de los títulos es diferente del valor nominal de los títulos,dividir por el coeficiente de Mk toda la expresión.c) Multiplicar por el nominal de los títulos toda la expresión.

El resultado de la normalización será una estructura pura (sin característicascomerciales):

donde:

a': es la anualidad normalizada.i': es el tanto normalizado.

3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos,amortizados y total de amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora sonválidas pero cambiando a por a' e i por i'.

No obstante, hay que tener en cuenta que existen características comerciales que aunqueexistan en el empréstito no afectan a la estructura de la anualidad y, por tanto, noprecisan normalización: es el caso de la prima de emisión y los gastos de emisión.Además, la presencia de estas dos características no afecta al cálculo de la anualidad nial cuadro de la operación.

EJEMPLO 3


Títulos emitidos: 1.000. Nominal título: 1.000 euros. Interés anual: 6%. Duración: 4 años. Amortización: 1.200 euros. Anualidad constante.

Se pide:

Cálculo de la anualidad. Construir el cuadro de amortización.

Solución:

Cálculo de la anualidad

Se trata de un empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante, con unaprima de reembolso de 200 euros por título. La estructura de la anualidad será:

Como presenta características comerciales habrá que normalizar. Los pasos a seguirson:

• Dividir por el coeficiente de Mk:

• Multiplicar por el nominal del título:

• Haciendo los siguientes cambios:

La estructura de la anualidad queda:

a' = c x i' x Nk + c x Mk

Estructura normal, a la que se puede aplicar las expresiones demostradas anteriormentepara empréstitos clase I, tipo I, puros.

Planteando la equivalencia en origen:

teniendo en cuenta el valor de a' y deshaciendo el cambio de variable efectuado en lanormalización obtendremos finalmente la anualidad teórica buscada:

Cálculo de los títulos amortizados:

Cuadro de amortización

(1) (2) (3) (4) = (1)x 60

(5) = (2) x1.200

(6) = (4) +(5)

Año Títulosvivos

Títulosamortiz.

Totaltít.

amort.Intereses Amortización Término

amortizativo

1234

1.000768524268

232244256268

232476732

1.000

60.00046.08031.44016.080

278.400292.800307.200321.600

338.400338.880338.640337.680

EJEMPLO 4


Títulos emitidos: 1.000. Nominal título: 1.000 euros. Interés anual: 5%. Duración: 3 años. Los títulos amortizados pierden el último cupón. Anualidad constante.

Se pide:


Solución:


Se trata de un empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante, conamortización seca (pérdida del último cupón de los títulos que resulten amortizados). Laestructura de la anualidad será:

Como presenta características comerciales habrá que normalizar. Los pasos a seguirson:

• Sacar factor común Mk:

a = c x i x Nk + (c – c x i) x Mk

Con el fin de que el segundo miembro de la igualdad tenga dos términos, uno enfunción de Nk y otro en función de Mk.

• Dividir por el coeficiente de Mk:

• Multiplicar por el nominal del título:

• Haciendo los siguientes cambios:

La estructura de la anualidad quedará:


estructura normal, a la que se pueden aplicar las expresiones demostradas anteriormentepara empréstitos clase I, tipo I, puros.


teniendo en cuenta el valor de a', obtendremos finalmente a:

Cálculo de los títulos amortizados


(1) (2) (3)(4) = [(1)– (2)] x

50

(5) = (2) x1.000

(6) = (4) +(5)

Año Títulos Títulos Total Intereses Amortización Término

vivos amortiz. tít.amort.

amortizativo

123

1.000684351

316333351

316649

1.000

34.20017.550

316.000333.000351.000

350.200350.550351.000

(4) Los intereses los cobrarán los títulos en circulación durante el año, salvo los queresulten amortizados al final del mismo: Nk – Mk.

Año 1: 1.000 – 316 = 684 684 x 50 = 34.200Año 2: 684 – 333 = 351 351 x 50 = 17.550Año 3: 351 – 351 = 0 0 x 50 = 0

Hay que observar que para el proceso de normalización la amortización seca se harelacionado con el valor de reembolso, quedando la siguiente estructura:

a = c x i x Nk + (c – c x i) x Mk

No obstante, para construir el cuadro de amortización la amortización seca ha deaparecer como un menor pago de intereses y, por tanto, supondrá un menor pago deintereses, quedando la estructura de la anualidad de esta otra forma:

a = c x i x (Nk – Mk) + c x Mk

EJEMPLO 5


Títulos emitidos: 75.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 120 euros. Duración: 10 años. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 euros. Los títulos se adquieren al 90%. Gastos iniciales de 500.000 euros a cargo del emisor. Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los

obligacionistas. Anualidad constante.

Se pide:

Anualidad del empréstito. Dos primeras líneas del cuadro de amortización.

Solución:


Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante, con prima deamortización y gastos de administración. Existen una prima de emisión y unos gastosiniciales pero no afectan al término amortizativo, por tanto, la estructura de la anualidadserá:

Sacando factor común el corchete:

Normalizando:

• Dividiendo por 1 + g toda la expresión:

• Dividiendo por c + p toda la expresión:

• Multiplicando por c toda la expresión:

• Siendo:

Resulta el empréstito normalizado:


estructura normal, a la que aplicaremos las expresiones de los empréstitos clase I, tipo I,puros.


teniendo en cuenta el valor de a', obtendremos finalmente a al deshacer el cambio devariable:

Cálculo del cuadro de amortización (2 líneas)

Al no conocer nada más que los títulos de dos sorteos se redondean los Mk atendiendosolamente al decimal (mayor o igual que cinco, por exceso y en caso contrario pordefecto).

(1) (2) (3) = (1)x 20

(4) = (2) x1.200

(5) =1%o x[(3) +(4)]

(6) = (3) +(4) + (5)

Año Títulosvivos

Títulosamortiz. Intereses Amortización Gastos

admón.Término

amortizativo

12

75.00070.294

4.7065.177

9.000.0008.435.280

5.647.2006.212.400

14.647,214.647,7

14.661.847,214.662.327,7

3. Empréstitos clase I. Tipo IISe caracterizan por ser de cupón periódico que se les paga a los títulos en circulación(clase I), término amortizativo variable y cupón constante (tipo II), durante toda laoperación.

La estructura del término amortizativo puro será la siguiente:

Empréstitos que responden a esta estructura genérica serán los siguientes:

1. Aquellos empréstitos en los que el número de títulos amortizados en cada sorteopermanezca constante.

2. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable enprogresión geométrica, de razón conocida.

3. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable enprogresión aritmética, de razón conocida.

3.1. Empréstito de cupón periódico con igual número de títulos amortizados 3.2. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en

progresión 3.3. Empréstito de cupón periódico y anualidades en progresión geométrica 3.4. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en

progresión

3.5. Empréstito de cupón periódico y anualidades en progresión aritmética concaracterísticas comerciales

3.6. Empréstito con diferimiento 3.7. Empréstito con cupón fraccionado 3.8. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con primas

3.1. Empréstito de cupón periódico conigual número de títulos amortizadosEn este tipo de empréstito, el emisor se compromete a amortizar todos los períodos elmismo número de títulos, por tanto, la cantidad destinada al reembolso se mantieneconstante durante toda la operación.


Para el caso de un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con unaduración de n períodos se calculará en primer lugar todo lo que tenga que ver con laamortización de títulos, fáciles de obtener, y a continuación lo referente a los cupones y,finalmente, los términos amortizativos.

3.1.1.1. Cálculo del número de títulos amortizados en cada sorteo (M)

Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulosemitidos, se debe cumplir:

N1 = M1 + M2 + M3 + … + Mn = M x n


N1M = ------

n

Donde n representa el número de sorteos realizados a lo largo de la vida del empréstito.

3.1.1.2. Cálculo del total de títulos amortizados después de k períodos (mk)

Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de lacirculación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulosamortizados correspondiente a los períodos transcurridos.

mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k

3.1.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (Nk+1)

Se realizará a través de los títulos amortizados (pasados o futuros).

Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidosminorados en los ya amortizados hasta ese momento.

Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k

Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aúnquedan pendientes de ser amortizados.

Nk+1 = (n – k) x M

3.1.1.4. Cálculo del pago de cupones en el período k + 1


Período k+1: c x i x Nk+1


Al mantenerse constante la parte del término amortizativo que se destina al reembolsode títulos e ir disminuyendo la cantidad destinada a pago de cupones (porque va siendocada vez menor el número de títulos en circulación que tiene derecho a cobrarlo), lostérminos amortizativos necesariamente tendrán que ir decreciendo. Además, lostérminos variarán como lo hacen las cantidades destinadas al pago de cupones yseguirán una ley matemática.

La estructura del término amortizativo quedará de la siguiente forma:

El cálculo de los diferentes términos se podrá realizar de dos formas posibles:

A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo

Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación yañadiendo el valor de reembolso constante ya conocido:

Período 1: a1 = c x i x N1 + c x MPeríodo 2: a2 = c x i x N2 + c x M = c x i x (N1 – M) + c x M…

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términosamortizativos

Se calcula el primer término y el resto se obtiene a través de la ley de recurrencia quesiguen y que se obtendrá al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativosconsecutivos cualesquiera:

Período k: ak = c x i x Nk + c x MPeríodo k+1: ak+1 = c x i x Nk+1 + c x M

---------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i x Nk – c x i x Nk+1 + c x M – c x M

simplificando: ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1)

siendo :

Nk – Nk+1 = M

se puede deducir:

ak+1 = ak – c x i x M

lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantíaconstante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (c x i x M),por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base aesa recurrencia:

ak+1 = a1 – k x c x i x M

Si hay características comerciales, éstas sólo afectarían al cálculo de los términosamortizativos y, en consecuencia, a la ley de recurrencia que siguen. No se normaliza.

EJEMPLO 6

Construir la fila octava del cuadro de amortización del siguiente empréstito:

Títulos emitidos: 100.000. Nominal del título: 1.000 euros. Duración: 10 años. Los títulos se adquieren al 90%. Cupón anual: 120 euros. Sorteos anuales, amortizándose el mismo número de títulos, con prima de 100 euros

por título. Premio de 5.000 euros para cada uno de los 100 primeros títulos amortizados cada

año. Gastos de administración del 1‰ sobre los cupones pagados anualmente.

Solución:

Es un empréstito de cupón periódico constante, amortización con prima de reembolso,lote constante (5.000 x 100), gastos de administración calculados exclusivamente sobreel pago de cupones a los obligacionistas y siendo el número de títulos amortizadosconstantes. La estructura de la anualidad será:

(2) (1)(3) = 120 x

(2)(4) = 1.100

x (1)

(5) =5.000 x

100

(6) = 1‰x (3)

(7) = (3) + (4) +(5) + (6)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Intereses Amortiz. LotesGastosadmón.


8 30.000 10.000 3.600.000 11.000.000 500.000 3.600 15.103.600

100.000(1) M1 = M2 = … = M10 = M = ------------ = 10.000

10(2) N8 = N1 – m7 = 3 x M = 30.000

La prima de emisión de 100 euros por título no afecta a los términos amortizativos.

3.2. Empréstito de cupón periódicoconstante con anualidad variable enprogresiónEste empréstito se caracteriza porque:

Los términos amortizativos varían en progresión geométrica. El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante

toda la vida del empréstito. El cupón es constante y se paga periódicamente y por vencido a los títulos en

circulación. Los títulos se amortizan por el nominal.

Considerado globalmente, el empréstito es un préstamo con términos amortizativos enprogresión geométrica.La estructura del término amortizativo de este empréstito será:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstitode N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos ytérminos amortizativos variables (ak), es el siguiente:


3.2.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak)

Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entreel importe nominal del empréstito y la renta en progresión geométrica formada por lostérminos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término(desconocido) y la razón de la progresión (conocida).

Al desarrollar la equivalencia pueden darse dos casos, según la relación entre la razónde la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del cupón:

En ambos casos la variable a calcular es el primer término amortizativo (a1).

Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán através de la progresión que siguen, así:

a2 = a1 x qa3 = a2 x q = a1 x q2

…ak+1 = ak x q = a1 x qk

…an = an-1 x q = a1 x qn-1

3.2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk)

Para saber el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemosproceder de dos formas alternativas:


Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemoscalculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destinaa amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:

Período 1: a1 = c x i x N1 + c x M1c x M1 = a1 – c x i x N1

a1 – c x i x N1M1 = -------------------

c

Período 2: a2 = c x i x N2 + c x M2c x M2 = a2 – c x i x (N1 – M1)a2 – c x i x (N1 – M1)M2 =---------------------

c…

Procediendo de la misma forma, completaríamos el cálculo de títulos amortizados encada sorteo.

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados

La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los términos amortizativosde dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

Período k: ak = c x i x Nk + c x MkPeríodo k+1: ak+1 = c x i x Nk+1 + c x Mk+1-------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1) + c x Mk – c x Mk+1

simplificando ambos miembros, sabiendo que ak+1 = ak x q y Nk – Nk+1 = Mk:

ak x (1 – q) = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1

de donde, dividiendo por c y despejando Mk+1, se obtiene:

akMk+1 = Mk x (1 + i) – ------ x (1 – q)

c

Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anteriorlos que corresponde amortizar en el presente.

3.2.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk)

Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formasposibles:


mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk

3.2.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1)


A) 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados

• Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados:

Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk

• Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar:

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn

B) 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (nobastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que lostérminos incorporan intereses y valor de reembolso; habrá que mover financieramentelas cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone alemisor amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada)y lo que aún debe (la diferencia entre lo que el emisor recibió en la emisión y lo quehasta la fecha ya ha pagado):en K:

Lo que se supondría la amortización anticipada

en k = [lo recibido – lo pagado]k

es decir:


• Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizarde una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que deberíaseguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final:en K:

Lo que se supondría la amortización anticipada

en k = [cantidades pendientes de pagar]k

es decir:


3.2.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1



EJEMPLO 7


Títulos emitidos: 10.000. Nominal título: 1.000 euros. Interés anual: 12%. Duración: 5 años. Anualidades aumentando un 12% anual de manera acumulativa.

Se pide:

Anualidades del empréstito. Cuadro de amortización.

Solución:

Es un empréstito puro de cupón periódico constante y anualidad variable en progresióngeométrica de razón 1,12. Por tanto, la estructura del término amortizativo será:

Cálculo de las anualidades

Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empréstito y el valoractualizado de los términos que lo amortizan.

Gráficamente:

Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir deéstas, podremos ir calculando año a año los títulos que se amortizan en cada sorteo.

a1 = 2.240.000,00a2 = a1 x 1,12 = 2.508.800,00a3 = a2 x 1,12 = 2.809.856,00a4 = a3 x 1,12 = 3.147.038,72a5 = a4 x 1,12 = 3.524.683,37

Cálculo del cuadro de amortización

(1) (2) (3)(4) = (1) x

120(5) = (2) x

1.000(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

12345

10.0008.9607.5275.6203.147

1.0401.4331.9072.4733.147

1.0402.4734.3806.853

10.000

1.200.0001.075.200

903.240674.400377.640

1.040.0001.433.0001.907.0002.473.0003.147.000

2.240.0002.508.2002.810.2403.147.4003.524.640

(2) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo le iremos dando valores a laanualidad, empezando por la primera:

Año 1: a1 = c x i x N1 + c x M1

2.240.000 = 120 x 10.000 + 1.000 x M1

M1 = 1.040

Año 2: a2 = c x i x N2 + c x M2

2.508.800 = 120 x (10.000 – 1.040) + 1.000 x M2

M2 = 1.433,60

Año 3: a3 = c x i x N3 + c x M3

2.809.856 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60) + 1.000 x M3

M3 = 1.906,69

Año 4: a4 = c x i x N4 + c x M4

3.147.038,72 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60 – 1.906,69) + 1.000 x M4

M4 = 2.472,67

Año 5: a5 = c x i x N5 + c x M5

3.524.683,37 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60 – 1.906,69 – 2.472,67) + 1.000 x M5

M5 = 3.147,04

M1 = 1.040 M1 = 1.040M2 = 1.433,60 M2 = 1.433M3 = 1.906,69 M3 = 1.907M4 = 2.472,67 M4 = 2.473M5 = 3.147,04 M5 = 3.147

-------------- --------------9.998 10.000

3.3. Empréstito de cupón periódico yanualidades en progresión geométricaEn principio, bastaría con normalizar el empréstito y trabajar con los términosamortizativos normalizados y con el tanto normalizado, como se realiza con losanteriores empréstitos. No obstante, puede ocurrir que, como consecuencia de lanormalización, los términos amortizativos normalizados no sigan una progresióngeométrica o que cambie la razón de la progresión.

Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma, aunquepuede ocurrir que las características que existan no afecten a la progresión y enconsecuencia baste con normalizar y emplear las anualidades normalizadas y el tantonormalizado sin más en las fórmulas del empréstito puro:

1. Construir la estructura del término amortizativo (ak), recogiendo todas lascaracterísticas que le afecten.

2. Normalizar, obteniendo el término normalizado (a'k) y el tanto normalizado (i').3. Como el término normalizado puede que no siga ningún tipo de ley, evitaremos

trabajar con rentas y lo haremos con sumatorios y se planteará la equivalenciafinanciera entre el nominal del empréstito y los términos normalizadosactualizados al tanto normalizado.

4. Se sustituirá en el sumatorio el término amortizativo normalizado (a'k), por suvalor.

5. Lo que multiplique o divida al ak, al ser constante, se podrá extraer delsumatorio.

6. Si hubiera algún término que se sumara o restara al ak (lotes), el sumatorio sedescompondrá en dos sumatorios.

7. Los sumatorios se convertirán en valores actuales de rentas (constantes ovariables).

8. Se despejará el primer término amortizativo (a1).

EJEMPLO 8


Títulos emitidos: 100.000. Nominal título: 1.000 euros. Interés anual: 12%. Duración: 10 años. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 400 euros. Premio de 800 euros para cada uno de los 50 primeros títulos amortizados cada

año. Anualidades comerciales variables en progresión geométrica de razón 1,10.

Se pide:

Anualidad del sexto año. Títulos amortizados en el segundo año.

Solución:

Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad variable en progresióngeométrica de razón 1,10, con prima de amortización constante y un lote anual de40.000 euros (800 x 50). Sabido todo esto, los pasos a seguir son:

1. Estructura de la anualidad teórica

2. Normalización

ak – L = c x i x Nk + (c + p) x Mkak – L i

---------- = c x --------- x Nk + Mkc + p c + p

ak – L c x ic x ---------- = c x ---------- x Nk + c x Mk

c + p c + p

Siendo:

ak – La' = c x ------------

c + pc x i 120

i' = ---------- = ----------------- = 0,0857143c + p 1.000 + 400


a'k = c x i' x Nk + c x Mk

Gráficamente:

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y lasanualidades teóricas normalizadas trabajando con sumatorios

4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en lanormalización

5. Extracción del sumatorio de aquello que multiplique y/o divida en el numerador

6. Separación del sumatorio en dos sumatorios parciales con igual denominador

7. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta

8. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a1

Anualidad del sexto año

a6 = a1 x 1,15 = 23.108.122,05

Títulos amortizados en el segundo año

1.ª posibilidad: empezando desde el principio y calculando todos los títulosamortizados año tras año

2.ª posibilidad: calculando previamente los títulos vivos del período y despejando de laanualidad los títulos amortizados

Año 1 a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1 + L14.348.325,71 = 120 x 100.000 + 1.400 x M1 + 40.000M1 = 1.648,80

Año 2 a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2 + La1 x 1,1 = c x i x (N1 – M1) + (c + p) x M2 + L14.348.325,71 x 1,1 = 120 x (100.000 – 1.648,80) + 1.400 x M2 +40.000M2 = 2.815,01M2 = 2.815

El primer sistema resulta más interesante cuando nos encontramos cerca del origen(como en este ejercicio). Sin embargo, cuando se hayan realizado varios sorteosresultará más rápido el segundo método, pues se evita tener que calcular, uno a uno,todos los sorteos ya efectuados.

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3.4. Empréstito de cupón periódicoconstante con anualidad variable enprogresiónEste empréstito se caracteriza porque:

Los términos amortizativos varían en progresión aritmética. El tanto de valoración y razón de la progresión permanecen constantes, durante toda

la operación. El cupón es constante y se paga periódicamente por vencido a los títulos en

circulación. La amortización se realiza por el nominal.

Considerado globalmente es un préstamo con términos amortizativos variables enprogresión aritmética.

La estructura del término amortizativo en este empréstito puro es:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstitode N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos ytérminos amortizativos variables en progresión aritmética (ak), es el siguiente:



Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entreel importe nominal del empréstito y la renta en progresión aritmética formada por lostérminos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y larazón de la progresión.

La variable a calcular será el primer término amortizativo (a1).

Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán através de la ley de la progresión aritmética que siguen, así:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d

…ak+1 = ak + d = a1 + k x d…an = an-1 + d = a1 + (n – 1) x d




Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemoscalculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destinaa amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:

Procediendo de la misma forma, completaríamos el cálculo de títulos amortizados encada sorteo.


La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, los términosamortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

Período 1: a1 = c x i x N1 + c x M1

c x M1 = a1 – c x i x N1

a1 – c x i x N1

M1 = ---------------------c

Período 2: a2 = c x i x N2 + c x M2

c x M2 = a2 – c x i x (N1 – M1)a2 – c x i x (N1 – M1)

M2 = ----------------------------c

…

Período k: ak = c x i x Nk + c x Mk

Período k+1: ak+1 = c x i x Nk+1 + c x Mk+1

simplificando ambos miembros, sabiendo que ak+1 = ak + d y Nk – Nk+1 = Mk:

– d = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1


dMk+1 = Mk x (1 + i) + ----

c

Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anteriorlos que corresponde amortizar en el presente. No obstante, si lo que se quiere es calcularcualquier Mk a partir de M1, la expresión a aplicar será:


Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formasposibles:

Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:

mk = N1 – Nk+1

Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha:

mk = M1 + M2 + … + Mk



----------------------------------------------------------------

ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1) + c x Mk – c x Mk+1


Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.

Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk

Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.

Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn


Al trabajar con los términos amortizativos se deberá hacer de forma financiera (nobastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que lostérminos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente lascantidades correspondientes.

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

en K:Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k


• Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

en K:

lo que se supondría la amortización anticipada

en k = cantidades pendientes de pagar]k

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1:

3.4.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1



EJEMPLO 9


Títulos emitidos: 50.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 130 euros. Sorteos anuales y amortización por el nominal. Duración: 4 años. Anualidades aumentando: 300.000 euros/año.

Se pide:

Construir el cuadro de amortización.

Solución:

Es un empréstito puro de cupón periódico constante y anualidad variable en progresiónaritmética de razón 300.000 euros. Por tanto, la estructura del término amortizativo será:

Gráficamente:


Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empréstito y el valoractualizado de los términos que lo amortizan y se despeja el primer términoamortizativo.

Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir deéstas, podremos ir calculando año a año los títulos que se amortizan en cada sorteo.

a1 = 16.405.348,62a2 = a1 + 300.000 = 16.705.348,62a3 = a2 + 300.000 = 17.005.348,62a4 = a3 + 300.000 = 17.305.348,62

(1) (2) (3)(4) = (1) x

130(5) = (2) x

1.000(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

1234

50.00040.09528.60215.315

9.90511.49313.28715.315

9.90521.39834.68550.000

6.500.0005.212.3503.718.2601.990.950

9.905.00011.493.00013.287.00015.315.000

16.405.00016.705.35017.005.26017.305.950

(1) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo se darán valores a laanualidad, empezando por la primera:

También se podría haber empleado la ley de recurrencia para calcular los Mk, una vezcalculado M1:

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos » 3. Empréstitosclase I. Tipo II

3.5. Empréstito de cupón periódico yanualidades en progresión aritmética concaracterísticas comercialesLa problemática de este tipo de empréstitos es la misma que la comentada cuando eltérmino amortizativo es variable en progresión geométrica con característicascomerciales. Por tanto, la manera de proceder es la misma que la desarrollada en aquelcaso.

EJEMPLO 10


Títulos emitidos: 100.000. Nominal del título: 1.000 euros. Duración: 4 años. Cupón anual: 125 euros. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 euros. Anualidades comerciales variables en progresión aritmética de razón: 500.000

euros/año.

Se pide:

Anualidad del tercer año. Cuadro de amortización

Solución:

Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad variable en progresiónaritmética de razón 500.000 euros, con prima de amortización constante; los pasos aseguir son:


2. Normalización

ak i-------- = c x -------- x Nk + Mkc + p c + p

ak x c c x i

-------- = c x -------- x Nk + c x Mkc + p c + p

Siendo:

c x ak c x i 125a' = ---------- i' = --------- = ------------------ = 0,10416666

c + p c + p 1.000 + 200


a'k = c x i' x Nk + c x Mk

Gráficamente:

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y lasanualidades teóricas normalizadas trabajando con sumatorios

4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en lanormalización

5. Extracción del sumatorio de aquello que multiplique y/o divida en el numerador

6. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta


Anualidad del tercer año

a3 = a1 + 2 x 500.000 = 38.510.261,17


(1) (2) (3) (4) = (1) x125

(5) = (2) x1.200

(6) = (4) + (5)0

Año Títulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort. Intereses Amortización Término

amortizativo

1234

100.00079.15855.72929.442

20.84223.42926.28729.442

20.84244.27170.558

100.000

12.500.0009.894.7506.966.1253.680.225

25.010.40028.114.80031.544.40035.330.400

37.510.40038.009.55038.510.52539.010.65

Cálculo de títulos amortizados

Año 1: a1 = c x i x N1 + (c + p) x M137.510.261,17 = 125 x 100.000 + 1.200 x M1M1 = 20.841,88

Año 2: a2 = c x i x N2 + (c + p) x M238.010.261,17 = 125 x (N1 – M1) + 1.200 x M2M2 = 23.429,58

Año 3: a3 = c x i x N3 + (c + p) x M338.510.261,17 = 125 x (N1 – M1 – M2) + 1.200 x M3M3 = 26.286,83

Año 4 a4 = c x i x N4 + (c + p) x M439.010.261,17 = 125 x (N1 – M1 – M2 – M3) + 1.200 x M4M4 = 29.441,7

Para el cálculo de Mk también se podía haber empleado la ley de recurrencia que siguenlos títulos amortizados en este tipo de empréstitos.


3.6. Empréstito con diferimientomatematicas-financieras.com | Libro Fiscal-Impuestos 2006 @import "drupal.css";@import "simplenews.css";@import "style.css";

Empréstitos diferidos (con diferimiento) son aquellos en los que se retrasa la realizacióndel primer sorteo de títulos, el cual ya no tendrá lugar al finalizar el primer período devida de la operación.

Así pues, durante una primera etapa no se realizan sorteos y amortización de títulos y,por tanto, el emisor no paga valores de reembolso ni nada que tenga que ver con lossorteos (lotes, amortización seca, …); sí que se pagarán los cupones y, si procede,gastos de administración.

Por tanto, a la hora de determinar la estructura de la(s) anualidad(es) habrá una diferentepara el período durante el cual no hay sorteos (período de diferimiento) y al menos otra,diferente para el resto de períodos del empréstito.

El cálculo del término amortizativo durante el período de diferimiento es fácil deobtener a partir de datos de partida, pues recoge el cupón periódico que perciben todoslos títulos emitidos (N1) y, si tiene, gastos de administración. Para obtener la otra

M1 = 20.841,88 ® M1 = 20.842

M2 = 23.429,58 M2 = 23.429

M3 = 26.286,83 ® M3 = 26.287

M4 = 29.441,71 ® M44 = 29.442

-------------99.997

-------------100.000

anualidad habrá que proceder como si el empréstito comenzara al final del período dediferimiento, planteando en ese punto la equivalencia entre el nominal del empréstito enese punto y la actualización de las restantes anualidades (normalizadas, si tienecaracterísticas comerciales).

El diferimiento es posible cualesquiera que sean las características que presente elempréstito y también con independencia de que la anualidad del mismo sea constante ovariable. En este sentido, a la hora de realizar los cálculos se aplicarán las expresionesque procedan según el tipo de empréstito.

EJEMPLO 11


Títulos emitidos: 50.000. Nominal del título: 1.000 euros. Cupón anual: 110 euros. Duración: 5 años. Los títulos se adquieren al 90%. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 100 euros, teniendo

lugar el primer sorteo al tercer año de la emisión. Gastos iniciales de 500.000 euros a cargo de emisor. Gastos de administración del 2‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los

obligacionistas.

Se pide:


Solución:


Hay un diferimiento de dos años, durante los cuales el emisor solamente pagará uncupón constante (c x i) a los títulos emitidos así como los gastos de administracióncalculados sobre dichos intereses. Durante los tres últimos años, la anualidad se destinaa pagar el mismo cupón a los títulos en circulación (cada vez menores), amortizar conprima constante los títulos que corresponda y pagar los gastos de administración. Lasestructuras de los términos amortizativos serán:

a-------- = c x i x Nk + (c + p) x Mk1 + g

a i-------------------- = c x -------- x Nk + Mk(1 + g) x (c + p) c + p

a x c c x i---------------------- = c x --------- x Nk + c x Mk(1 + g) x (c + p) c + p

siendo:

a x c i x c 110a' = ---------------------- i' = ------- = ----------------- = 0,10

(1 + g) x (c + p) c + p 1.000 + 100

queda:


planteando la equivalencia en 2:

teniendo en cuenta que:

a x ca' = ---------------------

(1 + g) x (c + p)

y sustituyendo los datos conocidos, se despeja a:

a20.105.740,18 = -------------------------------------

(1 + 0,002) x (1.000 + 100)

a = 22.160.547,82

Cuadro de amortización (3 líneas)

(1) (2) (3) = (1) x110

(4) = (2) x1.100

(5) = 2‰[(3) + (4)]

(6) = (3) + (4)+ (5)

Año Títulosvivos


admón.Término

amortizativo

12345

50.00050.00050.00034.89418.278

––15.10616.61618.278

5.500.0005.500.0005.500.0003.838.3402.010.580

––

16.616.60018.277.60020.105.800

11.000,011.000,044.233,244.231,944.232,8

5.511.000,05.511.000,0

22.160.833,222.160.171,922.160.612,8



3.6. Empréstito con diferimientomatematicas-financieras.com | Libro Fiscal-Impuestos 2006 @import "drupal.css";@import "simplenews.css";@import "style.css";

Empréstitos diferidos (con diferimiento) son aquellos en los que se retrasa la realizacióndel primer sorteo de títulos, el cual ya no tendrá lugar al finalizar el primer período devida de la operación.

Así pues, durante una primera etapa no se realizan sorteos y amortización de títulos y,por tanto, el emisor no paga valores de reembolso ni nada que tenga que ver con lossorteos (lotes, amortización seca, …); sí que se pagarán los cupones y, si procede,gastos de administración.

Por tanto, a la hora de determinar la estructura de la(s) anualidad(es) habrá una diferentepara el período durante el cual no hay sorteos (período de diferimiento) y al menos otra,diferente para el resto de períodos del empréstito.

El cálculo del término amortizativo durante el período de diferimiento es fácil deobtener a partir de datos de partida, pues recoge el cupón periódico que perciben todoslos títulos emitidos (N1) y, si tiene, gastos de administración. Para obtener la otraanualidad habrá que proceder como si el empréstito comenzara al final del período dediferimiento, planteando en ese punto la equivalencia entre el nominal del empréstito enese punto y la actualización de las restantes anualidades (normalizadas, si tienecaracterísticas comerciales).

El diferimiento es posible cualesquiera que sean las características que presente elempréstito y también con independencia de que la anualidad del mismo sea constante ovariable. En este sentido, a la hora de realizar los cálculos se aplicarán las expresionesque procedan según el tipo de empréstito.

EJEMPLO 11


Títulos emitidos: 50.000. Nominal del título: 1.000 euros. Cupón anual: 110 euros. Duración: 5 años. Los títulos se adquieren al 90%. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 100 euros, teniendo

lugar el primer sorteo al tercer año de la emisión. Gastos iniciales de 500.000 euros a cargo de emisor. Gastos de administración del 2‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los

obligacionistas.

Se pide:


Solución:


Hay un diferimiento de dos años, durante los cuales el emisor solamente pagará uncupón constante (c x i) a los títulos emitidos así como los gastos de administracióncalculados sobre dichos intereses. Durante los tres últimos años, la anualidad se destinaa pagar el mismo cupón a los títulos en circulación (cada vez menores), amortizar conprima constante los títulos que corresponda y pagar los gastos de administración. Lasestructuras de los términos amortizativos serán:

a-------- = c x i x Nk + (c + p) x Mk1 + g

a i-------------------- = c x -------- x Nk + Mk

(1 + g) x (c + p) c + p

a x c c x i---------------------- = c x --------- x Nk + c x Mk(1 + g) x (c + p) c + p

siendo:

a x c i x c 110a' = ---------------------- i' = ------- = ----------------- = 0,10

(1 + g) x (c + p) c + p 1.000 + 100

queda:


planteando la equivalencia en 2:

teniendo en cuenta que:

a x ca' = ---------------------

(1 + g) x (c + p)

y sustituyendo los datos conocidos, se despeja a:

a20.105.740,18 = -------------------------------------

(1 + 0,002) x (1.000 + 100)

a = 22.160.547,82

Cuadro de amortización (3 líneas)

(1) (2) (3) = (1) x110

(4) = (2) x1.100

(5) = 2‰[(3) + (4)]

(6) = (3) + (4)+ (5)

Año Títulosvivos


admón.Término

amortizativo

12345

50.00050.00050.00034.89418.278

––15.10616.61618.278

5.500.0005.500.0005.500.0003.838.3402.010.580

––

16.616.60018.277.60020.105.800

11.000,011.000,044.233,244.231,944.232,8

5.511.000,05.511.000,0

22.160.833,222.160.171,922.160.612,8



3.8. Empréstito de cupón periódicoconstante y anualidad constante conprimasLa dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalización, queorigina unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ningunaley matemática.

En su resolución no podrá aplicarse ninguna de las expresiones válidas para empréstitosclase I, tipo I. Será preciso calcular en primer lugar la anualidad teórica para, a partir deella, calcular el resto de datos.

El cálculo de la anualidad se hará planteando (como siempre) la equivalencia financieraen el origen entre el nominal del empréstito y las anualidades normalizadas actualizadasa los tantos normalizados vigentes en cada momento. En este caso, como consecuenciade las primas de amortización variables, tanto las anualidades normalizadas como lostantos normalizados no seguirán ningún tipo de ley (serán aleatorios), por lo tanto no sepodrá utilizar en la actualización ni rentas ni sumatorios: habrá que desplazar uno a unocada término.

EJEMPLO 13


Títulos emitidos: 100.000. Nominal del título: 1.000 euros. Duración: 4 años. Cupón anual: 120 euros. Sorteos anuales, amortizándose los títulos cada año al 110%, 120%, 130% y

150%, respectivamente. Anualidad comercial constante.

Se pide:

Anualidad. Cuadro de amortización.

Solución:

La anualidad constante se destina a pagar un cupón periódico constante a los títulos encirculación y a amortizar los títulos con primas de amortización variables, sin que entreellas haya ninguna ley matemática.

Pasos a seguir:


2. Normalización

dando valores a k, para los diferentes años de vida de la operación resulta:

donde todo es conocido salvo la anualidad a.

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal y las anualidades teóricasnormalizadas actualizando término a término, al tanto vigente en cada momento

k = 1a x c

a'1 = -------------c + P1

c x i 120i'1 = ---------- = ---------- = 0,1091

c + P1 1.100

k = 2a x c

a'2 = ------------c + P2

c x i 120i'2 = ---------- = ---------- = 0,10

c + P2 1.200

k = 3a x c

a'3 = ------------c + P3

c x i 120i'3 = ---------- = ---------- = 0,0923

c + P3 1.300

k = 4a x c

a'4 = ------------c + P4

c x i 120i'4 = ---------- = ---------- = 0,08

c + P4 1.500

4. Sustitución de las anualidades y tantos normalizados por los valores obtenidos en lanormalización

5. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a

Cuadro de amortización: cálculo de títulos amortizados

1.ª posibilidad: a través de anualidad previamente calculada

2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que sigue

La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, las anualidades de dosperíodos consecutivos cualesquiera, así:

simplificando ambos miembros, sabiendo que Nk – Nk+1 = Mk:

0 = c x i x Mk + ck x Mk – ck+1 x k+1


c x i + ckMk+1 = Mk x ------------

ck+1

dando valores a k en la expresión anterior tendremos:

Período k: a = c x i x Nk + ck x Mk siendo: ck = c + pk

Período k+1: a = c x i x Nk+1 + ck+1 x Mk+1 siendo: ck+1 = c + pk+1

---------------------------------------------------------------------

a – a = c x i x (Nk – Nk+1) + ck x Mk – ck+1 x Mk+1

Para obtener M1, se tendrá en cuenta que se cumple la siguiente igualdad:

N1 = M1 + M2 + M3 + M4

Sustituyendo en el segundo miembro conseguiremos dejar una ecuación que dependa deM1:

Finalmente se despeja M1:

(1) (2) (3) (4) = (1) x120

(5) = 2 x (c +pk)

(6) = (4) + (5)

Año Títulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort. Intereses Amortización Término

amortizativo123

100.00075.16349.912

24.83725.25125.640

24.83750.08875.728

12.000.0009.019.5605.989.440

27.320.70030.301.2003.332.000

39.320.70039.320.76039.321.440

4 24.272 24.272 100.000 2.912.640 36.408.000 39.320.640Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos

4. Empréstitos clase I. Tipo IIISe caracterizan por ser de cupón periódico que se les paga a los títulos en circulación(clase I), término amortizativo variable (en progresión geométrica, en progresiónaritmética o de acuerdo con otra ley conocida) y cupón variable (tipo III), durante todala operación.

La estructura del término amortizativo puro será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstitode N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x ik, con una duración de n períodos ytérminos amortizativos variables (ak), es el siguiente:

4.1. PASOS A SEGUIR


Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entreel importe nominal del empréstito y la actualización de los términos amortizativos a lostipos de interés vigentes en cada período.

dejando todos los términos (a1, a2, …, an) en función de uno sólo (lo habitual será a1),queda una ecuación con una única incógnita que se despejará. A partir de la anualidadcalculada se podrán conocer las demás.

4.1.2. Cálculo de títulos amortizados (Mk)

Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pagode cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos seamortizarán en cada momento. Así:

a1 – c x i1 x N1Período 1: a1 = c x i1 x N1 + c x M1 --> M1 = ----------------------

ca2 – c x i2 x (N1 – M1)

Período 2: a2 = c x i2 x N2 + c x M2 --> M2 = ------------------------------c

Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálculo detítulos amortizados en cada sorteo.


Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se pueden obtener de dosformas posibles:


mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk

4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principios de cada período (Nk+1)




Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk


Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn

4.1.4.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos futuros (métodoprospectivo)


se ha de cumplir la equivalencia en k entre lo que supone amortizar de una sola vez lostítulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando elemisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final.

ak+1 ak+2 anc x Nk+1 = ------------- + ----------------------------- + … + ----------------------------------------------

(1 + ik+1) (1 + ik+1) x (1 + ik+2) (1 + ik+1) x (1 + ik+2) x … x (1 + in)


4.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación aprincipios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado para ese período.

Período k+1: c x ik+1 x Nk+1

Nota: si el empréstito presentara características comerciales, habría que normalizar y trabajar

con las anualidades y tantos normalizados.

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos

5. Empréstito de cupón periódicoprepagableSe caracteriza porque los cupones se pagan anticipadamente, al principio del pe-ríodocorrespondiente, a tipo de interés prepagable (i*), mientras que la amortización detítulos se sigue realizando al final del período correspondiente.

El esquema de flujos de caja en un empréstito a amortizar en n períodos, a un tanto deinterés i* es el siguiente:

La estructura genérica del término amortizativo (anualidad) en este empréstito será lasiguiente:

es decir, cada pago realizado incluye los cupones del período que empieza y el valor dereembolso correspondiente al período que acaba, con independencia del importe totaldel término amortizativo, que podrá ser constante o variable.

5.1. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidadconstante y puro

5.2. Empréstito de cupón periódico constante prepagable y anualidad constantecon características comerciales

5.3. Empréstito de cupón periódico constante prepagable y anualidad variable 5.4. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con igual número de

títulos amortizados en cada sorteo 5.5. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad variable

en progresión geométrica y puro 5.6. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad variable

en progresión aritmética y puro

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos » 5. Empréstito de cupónperiódico prepagable

5.1. Empréstito de cupón periódicoconstante prepagable con anualidadconstante y puroSon empréstitos con intereses prepagables, con términos amortizativos constantes a1 =a2 = … = an = a, siendo el tipo de interés i* del cupón constante para todos los períodos.

Además de los n términos amortizativos constantes, habrá que considerar un primertérmino adicional, en el origen, que recoja los intereses prepagables del primer período.

Este empréstito considerado globalmente es un préstamo alemán.

El esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos emitidos, de nominal c yuna duración de n períodos (años) es:

La estructura del término amortizativo será:


5.1.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)

En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe serigual al valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta elfinal:

c x N1 = c x N1 x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2 + ... + a x (1 – i*)n

Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y sacandofactor común a (1 – i*):

c x N1 – c x N1 x i* = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-1]

dividiendo por 1 – i*:

c x N1 x (1 – i*) = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-1]

En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de n términos enprogresión geométrica decreciente, que responde a la siguiente expresión:

a1 – an x rS = -----------------

1 – r

siendo a1 el primer término de la suma, an el último de los términos y r la razón de laprogresión.

Aplicando a este caso, se obtiene:

1 – (1 – i*)n-1 x (1 – i*) 1 – (1 – i*)n

c x N1 = a x ------------------------------- = a x ----------------1 – (1 – i*) i*

De donde se obtendrá el importe del término amortizativo (a).


Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder dedos formas alternativas:


Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y laparte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda paraamortizar, determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulaciónen cada sorteo.

Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tenerque pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así:

Siguiendo de la misma manera se calcularán los títulos amortizados en cada sorteo.


La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrápor diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así:

siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1, queda:

0 = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1

dividiendo la expresión por c:

0 = i* x Mk+1 + Mk – Mk+1

Período n: a = c x Mn

a-- > Mn = ------

c

Período n–1: a = c x i* x Nn + c x Mn-1

a – c x i* x Nn

--> Mn-1 = -------------------c

Siendo Nn = Mn, conocido

…

Período k: a = c x i* x Nk+1 + c x Mk

Período k+1: a = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1

------------------------------------------------------------

a – a = c x i* x (Nk+1 – Nk+2) + c x Mk – c x Mk+1


Mk = Mk+1 x (1 – i*)

Por tanto, los títulos amortizados siguen una progresión geométrica de razón 1 – i*, esdecir, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del último o de cualquieraconocido. Con carácter genérico, se pondrán en función del último –que es el más fácilde obtener–:

Mk = Mn x (1 – i*)n-k


Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puedehacer de dos formas:


mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk


En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal delempréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido elpago del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer períodopendiente):

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:

c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2 + … + a x (1 – i*)n-k

pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro y sacando factor común a x (1 – i*):

c x Nk+1 (1 – i*) = a x (1 – i*) x [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-k-1]


c x Nk+1 x (1 – i*) = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-k-1]

En el segundo miembro el corchete es la suma de n–k términos en progresióngeométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión:

1 – (1 – i*)n-k

c x Nk+1 = a x --------------------i*

De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1).

Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso(para calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otraen k).

5.1.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el momento k

Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación aprincipios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*), pero elcobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios delperíodo k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1.

En el momento k: c x i* x Nk+1

EJEMPLO 14


Títulos emitidos: 20.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual prepagable: 100 euros. Duración: 3 años. Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal. Anualidad constante.

Se pide:


Solución:


Anualidad constante, destinada al pago de un cupón prepagable constante a los títulosen circulación y a amortizar por el nominal a aquellos que corresponda. La estructura dela anualidad es:

Planteando en el origen la equivalencia:

1 – (1 – i*)n

c x N1 = a x ------------------i*

1 – (1 – 0,10)3

1.000 x 20.000 = a x ---------------------0,10

a = 7.380.073,80


(1) (2) (3)(4) = (1) x

100(5) = 2 x

1.000(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

012

20.00014.022

7.380

–5.9786.642

–5.978

12.620

2.000.0001.402.200

738.000

–5.978.0006.642.000

2.000.0007.380.2007.380.000

3 7.380 20.000 7.380.000 7.380.000

(2) Cálculo de los títulos amortizados

(4) En 0 se paga el cupón a los títulos en circulación durante el año 1, en 1 se les paga alos títulos en circulación durante el año 2 y en 2 se pagará el cupón a los títulos encirculación durante el año 3.

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos » 5. Empréstito decupón periódico prepagable

5.2. Empréstito de cupón periódicoconstante prepagable y anualidadconstante con características comercialesCuando el empréstito presenta características comerciales habrá que normalizarlo parapoder aplicar las expresiones anteriores.

Los pasos a seguir son los mismos que se siguen a la hora de trabajar con empréstitos decupón periódico vencido cuando tienen características comerciales, por tanto el ordenserá:

1.º Determinar la composición de la estructura de la anualidad siguiendo el siguienteorden:

Anualidad = Intereses + Amortización + Lotes + Gastos de administración

7.380.073,80M3 = ------------------ = 7.380,07

1.000M3 = 7.380

M2 = M3 x (1 – 0,10) = 6.642,07 M2 = 6.642

5.977,86M1 = M2 x (1 – 0,10) = ---------------

19.999

5.978M1 = ----------

20.000

2.º Proceso de normalización: el objetivo final es dejar la estructura de partida en unaequivalente en la que la anualidad se destine exclusivamente a pagar cupones y aamortizar por el nominal los títulos.

Las fases de la normalización son:

1. Pasar lo que no sea amortización ni cupón al primer miembro.2. Dividir por el coeficiente de Mk toda la expresión.3. Multiplicar por el nominal de los títulos toda la expresión.

El resultado de la normalización será una estructura pura:

donde:

a': es la anualidad normalizadai*': es el tanto normalizado

3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos,amortizados y total de títulos amortizados, comentadas para el empréstitopuro ahora sonválidas pero cambiando a por a' e i* por i*'.

EJEMPLO 15


Títulos emitidos: 20.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual prepagable: 100 euros. Duración: 3 años. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 euros por título. Premio de 50.000 euros a repartir entre los 100 primeros títulos amortizados

cada año. Anualidad constante.

Se pide:


Solución:


La anualidad constante se destina al pago del cupón prepagable a los títulos encirculación, a amortizar por nominal más prima a los títulos que corresponda y pagar unlote constante. La estructura será:

Los pasos de la normalización:

a – L = c x i* x Nk+1 + (c + p) x Mk

a – L i*---------- = c x -------- x Nk+1 + c x Mkc + p c + p

Planteando en el origen la equivalencia:

1 – (1 – i*')n

c x N1 = a' x -----------------i*'

1 – (1 – 0,0833)3

1.000 x 20.000 = a' x ------------------------0,0833

a' = 7.254.408,06

deshaciendo el cambio de variable:

a – La' = c x ---------

c + p

se obtiene la anualidad real:

a – 50.0007.254.408,06 = 1.000 x ----------------

1.200

a = 8.755.289,67


(1) (2) (3) = (1) x100

(4) = (2) x1.200 (5) (6) = (3) + (4) +

(5)

Año Títulosvivos

Títulosamortiz. Intereses Amortización Lote Término

amortizativo

0123

20.00013.9047.254

–6.0966.6507.254

2.000.0001.390.400

725.400

–7.315.2007.980.0008.856.000

–50.00050.00050.000

2.000.0008.755.6008.755.4008.754.800


Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos » 5. Empréstito decupón periódico prepagable

5.3. Empréstito de cupón periódicoconstante prepagable y anualidadvariableSon empréstitos con intereses prepagables, mediante términos amortizativos variables

, siendo el tipo de interés i* del cupón constante para todos losperíodos.

La estructura del término amortizativo será la siguiente:



2. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable enprogresión geométrica, de razón conocida.

3. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable enprogresión aritmética, de razón conocida.

5.4. Empréstito de cupón periódicoconstante prepagable con igual númerode títulos amortizados en cada sorteoEn este tipo de empréstito, al igual que ocurría cuando el cupón se pagaba por vencido,el emisor se compromete a amortizar todos los períodos el mismo número de títulos, portanto, la cantidad destinada al reembolso se mantiene constante durante toda laoperación.


Para el caso de un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico prepagable cx i*, con una duración de n períodos se calculará en primer lugar todo lo que tenga quever con la amortización de títulos, fáciles de obtener, y a continuación lo referente a loscupones y, finalmente, los términos amortizativos.

La forma de cálculo de los títulos (amortizados, total amortizados y en circulación) esigual a la explicada cuando el cupón se pagaba por vencido.


Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulosemitidos, se debe cumplir:

N1 = M1 + M2 + M3 + ... + Mn = M x n


N1M = ------

n

Donde n representa el número de sorteos realizados a lo largo de la vida del empréstito.


Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de lacirculación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulosamortizados correspondiente a los períodos transcurridos.

mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k



Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidosminorados en los ya amortizados hasta ese momento.

Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k

Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aúnquedan pendientes de ser amortizados.

Nk+1 = (n – k) x M

5.4.1.4. Cálculo del pago de cupones en el momento k

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación aprincipios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*) alprincipio del período al que se refieran.



Al mantenerse constante la parte del término amortizativo que se destina al reembolsode títulos e ir disminuyendo la cantidad destinada a pago de cupones (porque va siendocada vez menor el número de títulos en circulación que tiene derecho a cobrarlo), lostérminos amortizativos necesariamente tendrán que ir decreciendo. Además, lostérminos variarán como lo hacen las cantidades destinadas al pago de cupones yseguirán una ley matemática.

La estructura del término amortizativo quedará de la siguiente forma:

El cálculo de los diferentes términos se podrá realizar de dos formas posibles:


Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación yañadiendo el valor de reembolso constante ya conocido:

Momento 0: a0 = c x i x N1Momento 1: a1 = c x i x N2 + c x M = c x i x (N1 – M) + c x MMomento 2: a2 = c x i x N3 + c x M = c x i x (N2 – M) + c x M…


Se calcula el primer término y el resto se obtienen a través de la ley de recurrencia quesiguen y que se obtendrá al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativosconsecutivos cualesquiera:

simplificando:

ak – ak+1 = c x i* x (Nk+1 – Nk+2)

siendo:

Nk+1 – Nk+2 = M

se puede deducir:

ak+1 = ak – c x i* x M

lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantíaconstante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (c x i* x M),

Período k: ak = c x i* x Nk+1 + c x M

Período k+1: ak+1 = c x i* x Nk+2 + c x M

------------------------------------------------------------------------

ak – ak+1 = c x i* x Nk+1 – c x i* x Nk+2 + c x M – c x M

por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base aesa recurrencia:

ak+1 = a1 – k x c x i* x M


5.5. Empréstito de cupón periódicoconstante prepagable con anualidadvariable en progresión geométrica y puroEl esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos emitidos, de nominal c,cupón periódico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresión geométricade razón conocida q y una duración de n períodos (años) es:





c x N1 = c x N1 x i* + a1 x (1 – i*) + a2 x (1 – i*)2 + a3 x (1 – i*)3 + ... + an x (1 – i*)n

Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y poniendotodos los términos amortizativos en función del primero de ellos y la razón:

c x N1 – c x N1 x i* = a1 x (1 – i*) + a1 x q x (1 – i*)2 + a1 x q2 x (1 – i*)3 + … + a1 x qn-1

(1 – i*)n

sacando factor común a1 x (1 – i*):

c x N1 x (1 – i*) = a1 x (1 – i*) x [1 + q x (1 – i*) + q2 x (1 – i*)2 + … + qn-1 x (1 – i*)n-1]

En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de n términos enprogresión geométrica decreciente, que responde a la siguiente expresión:

a1 – an x rS = ---------------enable rich-textFormato de entrada Filtered HTML Etiquetas 1 – r?

siendo a1 el primer término de la suma, an el último de los términos y r la razón de laprogresión.

Aplicando a este caso, se obtiene:

1 – qn-1 x (1 – i*)n-1 x q x (1 – i*)c x N1 = a1 x -----------------------------------------------

1 – q x (1 – i*)

1 – qn x (1 – i*)n

c x N1 = a1 x ------------------------1 – q + q x i*

De donde se obtendrá el importe del primer término amortizativo (a1).










ak x (1 – q) = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1


ak x (1 – q)--------------- = i* x Mk+1+ Mk – Mk+1

c


Período n: an = c x Mn

an

--> Mn =------c

Período n–1: an-1 = c x i* x Nn + c x Mn-1

an–1 – c x i* x Nn

--> Mn-1 = -----------------------c


…

Período k: ak = c x i* x Nk+1 + c x Mk

Período k+1: ak+1 = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1

------------------------------------------------------------------------

ak – ak+1 = c x i* x (Nk+1 – Nk+2 + c x Mk – c x Mk+1

ak x (1 – q)Mk = Mk+1 x (1 – i*) + ------------------

c




mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk




c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + ak+1 x (1 – i*) + ak+2 x (1 – i*)2 + ... + an x (1 – i*)n-k

pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro y sacando factor común ak+1 x (1 – i*):

c x Nk+1 (1 – i*) = ak+1 x (1 – i*) x [1 + q (1 – i*) + q2 (1 – i*)2 + … + qn-k-1 (1 – i*)n-k-1]


c x Nk+1 x (1 – i*) = ak+1 x (1 – i*) [1 + q (1 – i*) + q2 (1 – i*)2 + … + qn-k-1 (1 – i*)n-k-1]

En el segundo miembro el corchete es la suma de n–k términos en progresióngeométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión:

1 – qn-k x (1 – i*)n-k

c x Nk+1 = ak+1 x ----------------------------1 – q + q x i*

De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1).

Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso(para calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otraen k).


Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación aprincipios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*), pero elcobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios delperíodo k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1.


5.6. Empréstito de cupón periódicoconstante prepagable con anualidadvariable en progresión aritmética y puroEl esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos emitidos, de nominal c,cupón periódico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresión aritméticade razón conocida d y una duración de n períodos (años) es:





c x N1 = c x N1 x i* + a1 x (1 - i*) + a2 x (1 - i*)2 + a3 x (1 - i*)3 + ... + an x (1 - i*)n

Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y poniendotodos los términos amortizativos en función del primero de ellos y la razón:

c x N1 - c x N1 x i* = a1 x (1 - i*) + (a1 + d) x (1 - i*)2 + (a1 + 2 x d) x (1 - i*)3 + ... + [a1+ (n - 1) x d] (1 - i*)n

sacando factor común (1 – i*):

c x N1 (1 - i*) = (1 - i*) [a1 + (a1 + d) x (1 - i*) + (a1 + 2 x d) x (1 - i*)2 + ... + [a1 + (n - 1)x d] x (1 - i*)n-1]

c x N1 = a1+ (a1 + d) x (1 - i*) + (a1 + 2 x d) x (1 - i*)2 + ... + [a1 + (n - 1) x d] x (1 - i*)n-1

De donde se obtendrá el importe del primer término amortizativo (a1).






an = c x Mn an

--> Mn = ------





– d = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1


d– ----- = i* x Mk+1 + Mk – Mk+1

c


dMk = Mk+1 x (1 – i*) – -----

c

Período n: c

Período n–1: an-1 = c x i* x Nn + c x Mn-1

an-1 – c x i* x Nn

--> Mn-1 = --------------------------c


…

Período k: ak = c x i* x Nk+1 + c x Mk

Período k+1: ak+1 = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1

----------------------------------------------------------------

ak - ak+1 = c x i* x (Nk+1 - Nk+2) + c x Mk - c x Mk+1




mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk




c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n-k

pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro:

c x Nk+1 (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n-k

c x Nk+1 = ak+1 + ak+2 x (1 - i*) + ... + an x (1 - i*)n-k-1

De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1), ya que el resto devariables son conocidas.


Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación aprincipios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*), pero el

cobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios delperíodo k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1.



6. Empréstitos clase II. Tipo I. PuroEn este caso el interés que generan los títulos se va devengando día a día pero no sepaga periódicamente a los títulos en circulación, sino que se va acumulando en régimende compuesta y se les pagará de una vez sólo a aquellos títulos que resulten amortizadosen cada sorteo (clase II). Además, la cantidad que el emisor destina periódicamente alpago del empréstito (término amortizativo) y el tipo de interés permanecen constantes(tipo I), y no presenta ninguna otra característica especial (puro).

La estructura de la anualidad será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que el empréstito origina para el emisor unempréstito de N1 títulos, de nominal c, que generan un interés i, a amortizar en nperíodos con términos amortizativos constantes, es el siguiente:

Donde c x N1 representa el importe nominal del empréstito; n, el número de pagos(términos amortizativos) en los que se amortiza; i, el tipo de interés y a, el términoamortizativo (anualidad).

6.1. PASOS A SEGUIR

Se trata de seguir un orden con el fin de construir el cuadro de amortización delempréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) ya cuántos títulos.


A pesar de que la estructura del término amortizativo es diferente a la que presentacuando el cupón se paga periódicamente, el cálculo del importe se realiza igual que enempréstitos clase I. Para calcular dicho término amortizativo bastaría con plantear unaequivalencia financiera en el origen entre el nominal del empréstito y la renta formadapor los términos que amortizan el empréstito:

de donde se despeja el término:

6.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk)

El número de títulos amortizados en cada sorteo va disminuyendo progresivamentecomo consecuencia de mantenerse siempre constante el término amortizativo e iraumentando la cuantía del cupón acumulado a la que tiene derecho cada uno de lostítulos amortizados.

Para saber cuál es el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemosproceder de dos formas alternativas:

6.1.2.1. 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo

Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad que debe percibircada título (cupón acumulado y valor de reembolso), se puede saber cuántos títulos seamortizarán en cada momento. Así:

De esta forma completaríamos el cálculo de títulos amortizados para cualquier sorteo.

6.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulosamortizados

Se trata de establecer la relación en la que se encuentran los títulos que se vanamortizando en cada sorteo. La ley de recurrencia saldrá de la relación, por cocientes,de los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

de donde simplificando se obtiene la siguiente expresión:

1Mk+1 = Mk x --------

1 + i

En definitiva, los títulos amortizados varían siguiendo una progresión geométrica derazón 1/1 + i, por tanto, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del primeroo de cualquiera conocido. Con carácter genérico, si se ponen en función del primero:

1Mk+1 = M1 x ----------

(1 + i)k

Período 1:a = c x (1 + i)1 x M1

a--> M1 = ---------------

c x (1 + i)

Período 2:a = c x (1 + i)2 x M2

a--> M2 = -----------------

c x (1 + i)2

…

Período k:

Período k+1:

a = c x (1 + i)k x Mk

a = c x (1 + i)k+1 x Mk+1

-----------------------------------

a c x (1 + i)k x Mk

---- = ----------------------a c x (1 + i)k+1 x Mk+1

6.1.3. Cálculo de títulos amortizados en el primer sorteo (M1)

Una vez calculada M1, todos los demás se podrán obtener aplicando la ley derecurrencia anterior. El cálculo del número de títulos amortizados en el primer sorteo sepuede realizar de dos formas posibles:


Período 1: a = c x (1 + i)1 x M1 donde es conocido todo salvo M1

aM1 = -------------

c x (1 + i)

6.1.3.2. 2.ª posibilidad: a través de los títulos emitidos

En todo empréstito se cumple que la suma aritmética de los títulos amortizados en cadaperíodo coincide con el número de títulos puestos en circulación al inicio:

M1 + M2 + M3 + … + Mn = N1

Además, si hacemos uso de la ley de recurrencia entre títulos amortizados, pondremostodos los Mk en función del primero de ellos (M1):

1 1 1M1 + M1 x -------- + M1 x ----------- + ... + M1 x ------------- = N1

1 + i (1 + i)2 (1 + i)n-1


donde el corchete es el valor actual de una renta unitaria, prepagable e inmediata de ntérminos (el número de sorteos) al tipo de interés que generan los títulos, por tanto:

de donde:


Los títulos amortizados transcurrido un período de tiempo cualquiera desde la emisiónse pueden obtener de dos formas posibles:


mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk

Además, todos los títulos amortizados, siguiendo la ley de recurrencia que siguen, sepueden poner en función del primero de ellos:

1 1 1mk = M1 + M1 x --------- + M1 x ------------ + … + M1 x --------------

1 + i (1 + i)2 (1 + i)k-1


donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de ktérminos al tipo i, así pues:

6.1.5. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1)









lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k

en k:


• Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.


lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k


6.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en un período

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir del importe total del términoamortizativo, una vez deducida la cuantía destinada a la amortización de los títulos.

EJEMPLO 16


Títulos emitidos: 10.000. Nominal del título: 1.000 euros. No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 12%. Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal. Duración: 3 años. Anualidades constantes.

Se pide:


Solución:

La anualidad constante pagada por el emisor se destina a pagar el nominal junto con elcupón acumulado (en régimen de compuesta) a los títulos que resulten amortizados encada sorteo. Se trata, pues, de un empréstito puro.La estructura de la anualidad es:

Gráficamente:

Planteando en el origen la equivalencia entre el nominal del empréstito y lasanualidades pagadas:


k (1) (2) (3)(4) = (2) x 1.000

x(5) = (4) x 1,12k

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.

AmortizaciónTérmino

amortizativo

123

10.0006.2832.964

3.7173.3192.964

3.7177.036

10.000

4.163.040,04.163.353,64.164.206,6

4.163.040,04.163.353,64.164.206,6

Cálculo de títulos amortizados

Año 1 a = c x (1 + i)1 x M1

4.163.489,80 = 1.000 x 1,12 x M1 M1 = 3.717,40 M1 = 3.717

Al destinarse la anualidad exclusivamente al pago del cupón acumulado y laamortización por el nominal a los títulos amortizados, el valor de reembolso(amortización) coincide con el importe del término amortizativo del empréstito.

6.2. EMPRÉSTITO DE CUPÓN ACUMULADO CONSTANTE Y ANUALIDADCONSTANTE CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES

Todas las expresiones empleadas hasta ahora son válidas para empréstitos denominadospuros, es decir, aquellos en los que el término amortizativo se destina exclusivamente alpago del cupón acumulado (constante) y a amortizar por el nominal a los títulos quecorresponda.

No obstante, podemos encontrarnos con empréstitos en los que el emisor haya previstoalguna característica comercial. En estos casos, habrá que «preparar el empréstito» parapoder aplicar las expresiones anteriores.

Los pasos a seguir para trabajar con empréstitos de cupón acumulado cuando tienencaracterísticas comerciales son:

1.º Determinar la composición de la estructura de la anualidad siguiendo el siguienteorden:

Anualidad = Intereses acumulados + Amortización + Lotes + Gastos de administración

Año 2 a = c x (1 + i)2 x M2

4.163.489,80 = 1.000 x 1,122 x M2 M2 = 3.319,11 M2 = 3.319

Año 3 a = c x (1 + i)3 x M3

4.163.489,80 = 1.000 x 1,123 x M32.963,49

M3 = --------------9.999

2.964M3 = -----------

10.000

2.º Proceso de normalización: el objetivo final es dejar la estructura de partida en unaequivalente en la que la anualidad se destine exclusivamente a pagar el cupónacumulado y a amortizar por el nominal los títulos.

El resultado de la normalización será una estructura pura:

donde:

a': es la anualidad normalizadai': es el tanto normalizado

3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos,amortizados y total de amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora sonválidas pero cambiando a por a' e i por i'.

EJEMPLO 17


Títulos emitidos: 50.000. Nominal del título: 1.000 euros. No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 13%. Sorteos anuales, repartiéndose un premio de 1.000 euros para cada uno de los 100

primeros títulos sorteados cada año. Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los

obligacionistas. Duración: 15 años. Anualidad constante.

Se pide:

Anualidad del empréstito. Número de títulos en circulación a principios del octavo año.

Solución:


Es un empréstito de cupón acumulado (clase II) siendo el tipo de interés constante.Además, la anualidad constante incorpora la devolución de los títulos por el nominaljunto con el cupón acumulado, un lote constante de 100.000 euros (1.000 x 100) y unosgastos de administración calculados sobre las cantidades cobradas por losobligacionistas. La estructura de la anualidad es:

Los pasos de la normalización son:

1.º Dividir por 1 + g la igualdad:

a---------- = c x (1 + i)k x Mk + L1 + g

2.º Pasar el lote al primer miembro de la igualdad:

a---------- – L = c x (1 + i)k x Mk1 + g

La estructura conseguida tiene forma pura, pues se destina a amortizar los títulospagándoles el nominal y el cupón acumulado:

Siendo:

aa' = ---------- – L

1 + g

queda la anualidad normalizada:

a' = c x (1 + i)k x Mk

Gráficamente:

Planteando la equivalencia en el origen entre el nominal del empréstito y la rentaformada por las anualidades normalizadas al tanto del cupón (porque la normalizaciónno le ha afectado):

Finalmente, de la estructura de la anualidad normalizada obtenemos la anualidaddefinitiva del empréstito:

aa' = --------- – L

1 + g

a7.737.088,98 = --------------- – 100.000

1 + 0,001

a = 7.844.926,07

Títulos en circulación a principios del 8.º año

Por el método prospectivo, se ha de cumplir la siguiente igualdad en el momento 7:


7. Empréstito clase II. Tipo IISe caracteriza porque el emisor paga durante toda la vida del empréstito una cantidadvariable (término amortizativo), que destina a retribuir a los obligacionistas cuyostítulos resulten amortizados en cada sorteo, los cuales cobrarán el cupón acumu-ladohasta la fecha y el valor nominal del título.

La estructura del término amortizativo será la siguiente:



2. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo varia-ble enprogresión geométrica, de razón conocida.

3. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo varia-ble enprogresión aritmética, de razón conocida.

7.1. Empréstito de cupón acumulado con igual número de títulos amortizados encada sorteo

7.2. Empréstito de cupón acumulado y anualidad variable en progresióngeométrica puro

7.3. Empréstito de cupón acumulado constante y anualidades en progresióngeométrica con características comerciales

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 5. Empréstitos » 7. Empréstito clase II. Tipo II

7.1. Empréstito de cupón acumulado conigual número de títulos amortizados encada sorteoEn este tipo de empréstito, el emisor se compromete a amortizar el mismo número detítulos en cada sorteo a lo largo del tiempo que dure la operación.


Lo más fácil será calcular el número de títulos amortizados en cada sorteo, paraposteriormente ver qué se les ha de pagar. A continuación, se determinará el importetotal a desembolsar por parte del emisor en cada período (término amortizativo).


Se parte de la igualdad entre los títulos inicialmente emitidos y los títulos que seamortizarán a lo largo de la vida del empréstito.

N1 = M1 + M2 + M3 + … + Mn = M x n


N1M = -----

n


Si se conocen los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total amortizado hasta unafecha dada será la suma aritmética de los títulos sorteados en ese intervalo.

mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k



• Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minoradosen los ya amortizados hasta ese momento.

Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k

• Método prospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán la suma aritmética de losque aún quedan pendientes de ser amortizados.

Nk+1 = (n – k) x M


Al mantenerse constante el número de títulos a los que hay que amortizar y el importedel cupón acumulado ir aumentando, los términos amortizativos necesariamente tendránque ir creciendo.

La estructura de la anualidad quedará de la siguiente forma:

Para calcular el importe de los términos amortizativos planteamos dos alternativas:


Período 1: a1 = c x (1 + i) x M


Se calcula el primer término y el resto se obtienen a través de la ley de recurrencia quesiguen y que se obtendrá al relacionar, por cocientes, dos términos amortizativosconsecutivos cualesquiera:

simplificando el segundo miembro:

ak 1------- = --------ak+1 1 + i

finalmente, se obtiene:

ak+1 = ak x (1 + i)

lo que indica que los términos varían en progresión geométrica de razón (1 + i), por loque todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, siguiendo la leyde recurrencia:

ak+1 = a1 x (1 + i)k

Período 2: a2 = c x (1 + i)2 x M

…

Período k: ak = c x (1 + i)k x M

Período k+1: ak+1 = c x (1 + i)k+1 x M

---------------------------------

ak c x (1 + i)k x M-------- = ------------------------ak+1 c x (1 + i)k+1 x M


EJEMPLO 18


Títulos emitidos: 60.000. Nominal del título: 1.000 euros. Duración: 6 años. Los títulos se adquieren a la par. No abono de cupones anuales, acumulándose al momento del sorteo al 10% anual. Sorteos anuales, amortizándose el mismo número de títulos. Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los

obligacionistas. Gastos iniciales a cargo del emisor de 10.000 euros.

Se pide:

Términos amortizativos del empréstito.

Solución:

El número de títulos a amortizar en cada sorteo es la sexta parte del total de títulosemitidos:

60.000M1 = M2 = … = M6 = M = ----------- = 10.000

6

La anualidad variable se destina a amortizar el mismo número de títulos,reembolsándoles el nominal y el cupón acumulado hasta el sorteo en compuesta,además de unos gastos de administración:

Para conocer la cuantía de los términos, basta con darle valores a la anualidad, según elperíodo al que le queramos calcular la anualidad:

También se podían habercalculado todas las anualidades a partir de la primera (a1), observando que varían enprogresión geométrica de razón 1 + i.

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7.2. Empréstito de cupón acumulado yanualidad variable en progresióngeométrica puroEste empréstito se caracteriza porque:

Los términos amortizativos varían en progresión geométrica. La razón de la progresión permanece constante, durante toda la operación. El tanto del cupón permanece constante y se va acumulando en compuesta hasta el

momento del sorteo.

Año 1: a1 = c x (1 + i)1 x M x (1 + g)

a1 = 1.000 x 1,1 x 10.000 x 1,001 = 11.011.000

Año 2: a2 = c x (1 + i)2 x M x (1 + g)

a2 = 1.000 x 1,12 x 10.000 x 1,001 = 12.112.100

Año 3: a3 = c x (1 + i)3 x M x (1 + g)

a3 = 1.000 x 1,13 x 10.000 x 1,001 = 13.323.310

Año 4: a4 = c x (1 + i)4 x M x (1 + g)

a4 = 1.000 x 1,14 x 10.000 x 1,001 = 14.655.641

Año 5: a5 = c x (1 + i)5 x M x (1 + g)

a5 = 1.000 x 1,15 x 10.000 x 1,001 = 16.121.205,1

Año 6: a6 = c x (1 + i)6 x M x (1 + g)

a6 = 1.000 x 1,16 x 10.000 x 1,001 = 17.733.325,6

La estructura de la anualidad de este empréstito puro es:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que el empréstito origina para el emisor unempréstito de N1 títulos, de nominal c, que generan un interés i, a amortizar en nperíodos con términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón qconocida es el siguiente:



Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entreel importe nominal del empréstito y la renta en progresión geométrica formada por lostérminos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y larazón de la progresión.

Al desarrollar la equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razón dela progresión que siguen los términos y el tipo de interés del cupón:

En ambos casos se despejará el primer término amortizativo (a1).

Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de términos se obtendrán através de la ley de la progresión geométrica que siguen, así:

a2 = a1 x q

a3 = a2 x q = a1 x q2

...

ak+1 = ak x q = a1 x qk

...

an = an-1 x q = a1 x qn-1




Conocida la cuantía del término a pagar el emisor en cada período (que previamentehemos calculado) y la que va a percibir cada título individualmente, se determinaráfácilmente el número de títulos a amortizar. Así:

Período 1:

a1 = c x (1 + i)1 x M1

a1

--> M1 = ---------------c x (1 + i)


La ley de recurrencia se obtendrá por relación, por cociente, de los términosamortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

teniendo en cuenta que: ak+1 = ak x q

simplificando ambos miembros resulta:

1 Mk----- = --------------------q (1 + i) x Mk+1


qMk+1 = Mk x ---------

1 + i

Período 2: a2 = c x (1 + i)2 x M2

a2

--> M2 = -----------------c x (1 + i)2

…

Período k: ak = c x (1 + i)k x Mk

Período k+1: ak+1 = c x (1 + i)k+1 x Mk+1

-----------------------------------

ak c x (1 + i)k x Mk------- = ---------------------------ak+1 c x (1 + i)k+1 x Mk+1

Expresión que permite conocer, a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior,los que corresponde amortizar en el presente.


Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puedehacer de dos formas posibles:


mk = N1 – Nk+1


mk = M1 + M2 + … + Mk





Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk


Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn




en K se debe cumplir:

lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k


• Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

en K se debe cumplir:

lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k


EJEMPLO 19


Títulos emitidos: 10.000. Nominal del título: 1.000 euros. Duración: 5 años. No abono de cupones anuales, acumulándose a los sorteos, en régimen de compuesta,

al 10% anual. Anualidades variables en progresión geométrica de razón 1,10.

Se pide:

Cuadro de amortización.

Solución:

Es un empréstito de cupón acumulado en compuesta que se les paga a los títulosamortizados en cada sorteo, siendo la anualidad pagada por el emisor variable enprogresión geométrica de razón 1,10. La estructura del término amortizativo es:

Gráficamente:

Planteando la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades pagadas,calcularemos la primera de ellas (a1):

y a partir de la primera, las demás se obtendrán a partir de la ley geométrica que siguen.


k (1) (2) (3)(4) = (2) x 1.000 x

1,10k (5) = (4)

AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.

AmortizaciónTérmino

amortizativo

12345

10.0008.0006.0004.0002.000

2.0002.0002.0002.0002.000

2.0004.0006.0008.000

10.000

2.200.0002.420.0002.662.0002.928.2003.221.020

2.200.0002.420.0002.662.0002.928.2003.221.020

(1) Cálculo de los títulos amortizados

Para conocer el número de títulos a amortizar en cada período, basta con darle valores ala anualidad, según el período que queramos calcular, siendo todo conocido salvo el Mkbuscado:

La razón de que haya resultado un empréstito con igual número de títulos amortizadosen cada sorteo se debe a que la razón de la progresión que siguen las anualidadescoincide con 1 + i (el tanto del cupón), de forma que el aumento del término coincidecon el aumento del cupón acumulado, por lo que el número de títulos a amortizarpermanece constante todos los sorteos.

Año 1: a1 = c x (1 + i)1 x M1

2.200.000 = 1.000 x 1,10 x M1 M1 = 2.000

Año 2: a2 = c x (1 + i)2 x M2

2.420.000 = 1.000 x 1,102 x M2 M2 = 2.000

Año 3: a3 = c x (1 + i)3 x M3

2.662.000 = 1.000 x 1,103 x M3 M3 = 2.000

Año 4: a4 = c x (1 + i)4 x M4

2.928.000 = 1.000 x 1,104 x M4 M4 = 2.000

Año 5: a5 = c x (1 + i)5 x M5

3.221.020 = 1.000 x 1,105 x M5 M5 = 2.000

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7.3. Empréstito de cupón acumuladoconstante y anualidades en progresióngeométrica con característicascomercialesAl igual que ocurría en empréstitos de cupón periódico con anualidades variables, puedeser que, como consecuencia de la normalización, lo que al principio era una anualidadvariable en progresión geométrica con una determinada razón, resulte diferente porquevaríe la razón o, incluso, porque ya no sigan esa ley geométrica, pudiendo incluso pasara ser aleatorios los términos normalizados.

Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma (auncuando las características no afecten a la progresión geométrica de partida), e igual acomo se hace en cupón periódico:

1. Construir la estructura de la anualidad (ak), recogiendo todas las característicasque le afecten.

2. Normalizar la anualidad, obteniendo la anualidad normalizada (a'k) y el tantonormalizado (i').

3. Como la anualidad normalizada puede que no siga ningún tipo de ley,evitaremos trabajar con rentas y lo haremos con sumatorios y se planteará laequivalencia financiera entre el nominal del empréstito y los términosnormalizados actualizados al tanto normalizado.

4. Se sustituirá en el sumatorio la anualidad normalizada (a'k), por su valor.5. Lo que multiplique o divida a ak, al ser constante, se podrá extraer del

sumatorio.6. Si hubiera algún término que se sumara o restara a ak (lotes), el sumatorio se

descompondrá en dos sumatorios.7. Los sumatorios se convertirán en valores actuales de rentas (constantes o

variables).8. Se despejará el primer término amortizativo (a1).

EJEMPLO 20


Títulos emitidos: 50.000. Nominal título: 1.000 euros. Duración: 9 años. Sorteos anuales, acumulándose a los sorteos un cupón del 10% anual.

Premio de 50.000 euros a repartir entre los 100 primeros títulos amortizadoscada año.

Anualidades comerciales variables en progresión geométrica de razón 1,08.

Se pide:

Anualidad del sexto año. Títulos amortizados en el cuarto año. Títulos en circulación a principios del quinto año.

Solución:


Anualidad variable en progresión geométrica de razón 1,08 destinada a amortizar lostítulos reembolsándoles el nominal y el cupón acumulado en compuesta hasta el sorteoy pagar un lote constante.

2. Normalización

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidadesteóricas normalizadas trabajando con sumatoriosGráficamente:

4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalización

5. Separación del sumatorio en dos sumatorios parciales con igual denominador

6. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de rentas


Anualidad del sexto año

a6 = a1 x 1,085 = 9.707.811,06

Títulos amortizados en el cuarto año

En la anualidad del año 4 todo se conoce salvo los títulos a amortizar, por tanto,sustituyendo en el término:

Títulos en circulación a principios del quinto año

Por el método prospectivo:

En 4:


8. Tantos efectivosEl empréstito, como operación financiera, supone la existencia de una equivalenciafinanciera entre una prestación (el nominal del empréstito) y una contraprestación (elconjunto de capitales que se desembolsan para su total devolución). Dicha equivalenciase cumple para un tipo de interés que, de no existir ningún componente además delcupón, coincide con el tipo al que se calcula el cupón (si es constante) acordado en laemisión.

El problema surge cuando existen «características comerciales» en el empréstito, esdecir, otras partidas que afectan a la prestación y/o a la contraprestación haciendo que semodifique el valor financiero de las mismas, no cumpliéndose la equivalencia para eltipo de interés contractual. Es decir, cuando en la operación, además de devolverse elcapital y pagarse cupones, existen otros pagos y cobros de diferente naturaleza quehacen que la equivalencia entre pagos y cobros no se cumpla al tipo del cupón.

Surge así la necesidad de calcular un nuevo tipo que permita enfrentar las cantidades«realmente» entregadas y recibidas en la operación, tanto para el acreedor(obligacionistas) como para el deudor (emisor). Este nuevo tipo será una medida real(efectiva) de la rentabilidad obtenida por el prestamista –obligacionista– y del costetotal (efectivo) soportado por el deudor –emisor–, por todo aquello que afecte a una yotra parte, respectivamente.

8.1. TANTO EFECTIVO DEUDOR O DEL EMISOR (ie)

Será una medida del coste real (coste financiero) que supone para el emisor la emisión yposterior devolución del empréstito, considerando además de los intereses de loscupones todos los gastos soportados en la operación, cualquiera que sea su naturaleza(lotes, primas –de emisión o reembolso– y gastos –de emisión o administración–).

Se obtendrá a partir de la siguiente equivalencia financiera para el emisor:

LO REALMENTE RECIBIDO(Valor de emisión del empréstito)

<------>ie

LO REALMENTE PAGADO(Gastos de emisión y anualidades teóricas)

8.2. TANTO EFECTIVO ACREEDOR O DEL CONJUNTO DEOBLIGACIONISTAS (io)

Proporciona una medida de la rentabilidad media obtenida por el conjunto deobligacionistas, considerando todas aquellas partidas que influyen en la misma.

Se obtendrá a partir de la equivalencia financiera que considera todo lo que paga elconjunto de obligacionistas y todo lo que recibe este colectivo a lo largo de todo elempréstito:

LO REALMENTE PAGADO(Valor de emisión del empréstito)

<------>io

LO REALMENTE RECIBIDO(Anualidades teóricas sin gastos de administración)

8.3. RENTABILIDAD DE UN TÍTULO TIR (r)

También proporciona una medida de rentabilidad, en este caso para un título en cuestióny no para el conjunto de títulos emitidos (tanto obligacionista).

Para ello sólo se tendrán en cuenta los flujos originados desde la compra (en lasuscripción) hasta su amortización en un momento determinado para el título elegido.

LO REALMENTE PAGADO(Valor de emisión del título)

<------>r

LO REALMENTE RECIBIDO[Cupones,valor de reembolso y lote (si hay)]

EJEMPLO 21


Títulos emitidos: 75.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 120 euros. Duración: 10 años. Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 euros. Los títulos se adquieren al 90%. Gastos iniciales de 500.000 euros a cargo del emisor.

Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a losobligacionistas.

Anualidad constante.

Se pide:

Anualidad del empréstito. Tanto efectivo emisor. Tanto efectivo obligacionista. TIR de un título que se amortiza en el 5.º sorteo.

Solución:


Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante que además incluye unaprima de amortización y unos gastos de administración. La estructura es la siguiente:



a x ca' = ---------------------

(1 + g) x (c + p)

obtenemos la anualidad real:

a x 1.00012.205.904,62 = --------------------

1,001 x 1.200

a = 14.661.732,62

Tanto efectivo emisor

LO RECIBIDOie?

<----->LO PAGADO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo cobrado (V x N1) y todo lo pagado en laoperación (G y a) por el emisor, resulta el tanto efectivo emisor ie.

Para despejar el tanto se puede emplear una máquina financiera, tantear hasta lograr unasolución que se aproxime o bien emplear tablas financieras de

Tanto efectivo obligacionista

La anualidad que paga el emisor incorpora unos gastos de administración que no soncobrados por los obligacionistas, por lo que habrá que eliminar del término amortizativoesos gastos quedando la expresión:

a--------1 + g

LO PAGADOio?

<----->LO RECIBIDO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado (V x N1) y todo lo cobrado en laoperación (a/1 + g) por los obligacionistas, resulta el tanto efectivo obligacionista io.

TIR de un título amortizado en el 5.º sorteo

LO PAGADOr

<----->LO RECIBIDO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado por el título (V) y todo locobrado hasta su amortización (c x i y c + p), resulta el tanto TIR (r).

Para el cálculo del TIR no se podrán usar tablas financieras, quedando como únicasalternativas bien la máquina financiera o el tanteo.

EJEMPLO 22


Títulos emitidos: 50.000. Nominal del título: 1.000 euros. No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 13%. Sorteos anuales, repartiéndose un premio de 1.000 euros para cada una de las 100

primeras obligaciones sorteadas cada año. Gastos de emisión: 1.000.000 de euros. Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los

obligacionistas. Duración: 15 años. Emisión de los títulos al 95% de su valor nominal. Anualidad constante.

Se pide:

Anualidad del empréstito. Tanto efectivo emisor. Tanto efectivo obligacionista. Rentabilidad de un título adquirido en la emisión y amortizado en el 6.º sorteo con

lote.

Solución:


Empréstito de cupón constante acumulado en compuesta, anualidad constante, con lotey gastos de administración. La estructura de la anualidad será:

Normalizando:

Planteando la equivalencia en 0:


aa' = --------- – L

1 + g

se obtiene la anualidad real:

a7.737.088,98 = --------- – 100.000 a = 7.844.926,07

1,001

Tanto efectivo emisor

LO RECIBIDOie?

<----->LO PAGADO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo cobrado (V x N1) y todo lo pagado en laoperación (G y a) por el emisor, resulta el tanto efectivo emisor ie.

Tanto efectivo obligacionista

LO PAGADOio?

<----->LO RECIBIDO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado (V x N1) y todo lo cobrado en laoperación (a/i + g) por los obligacionistas, resulta el tanto efectivo obligacionista io.

TIR de un título amortizado en el 6.º sorteo con lote

LO PAGADOr

<----->LO RECIBIDO

?Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado por el título (V) y todo locobrado en la amortización [c x (1 + i)6 + L], resulta el tanto TIR (r).

1.000 x 1,136 + 1.000950 = -----------------------------

(1 + r)6

r = 21,67%


9. Probabilidad en los empréstitosHasta ahora se han estudiado los empréstitos enfocados desde el punto de vista delemisor, considerando la operación como un todo, centrándonos en la construcción delos cuadros de amortización.

Sin embargo, el obligacionista se plantea la necesidad de estimar la duración de lostítulos que adquiere y la rentabilidad que le supondrán.

El estudio de la probabilidad en los empréstitos tiene razón de ser al considerar estaoperación desde el punto de vista del obligacionista, el cual, cuando adquiere títulosdesea conocer la rentabilidad de la inversión efectuada. Ahora bien, la rentabilidadefectiva implica conocer no sólo el importe económico de los derechos futuros(cupones, valor de reembolso y posibles lotes) sino del número de ellos, que, a su vez,dependerá del momento en el que el título resultará amortizado.

Dado que la amortización de los títulos se realiza por sorteo un obligacionista no sabrácon certeza cuándo su título resultará retirado de la circulación. Es preciso estimar laprobabilidad de que el título esté vivo (en circulación) más o menos tiempo.

Definimos el concepto de probabilidad como el resultado de dividir el número de casosfavorables de que ocurra un determinado fenómeno concreto (en este caso, amortizaciónde un título) entre el número de casos posibles en una fecha de estudio concreta.

El estudio de probabilidad supone conocer las características del empréstito y en quémomento nos encontramos desde la emisión del mismo. Así, por ejemplo, para unempréstito de N1 emitidos, con una duración de n períodos, realizándose sorteosperiódicos en los que se amortizan M1, M2, …, Mn, respectivamente, si quisiéramoshacer un estudio de probabilidad en el momento k desde el origen, gráficamente sería:

Las probabilidades objeto de estudio más frecuentes son las siguientes:

a) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 resulte amortizado enel momento t:

MtP = ---------

Nk+1

b) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 continúe encirculación en el momento t:

Nt+1P = ---------

Nk+1

c) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 resulte amortizado encualquier sorteo hasta el momento t (incluido):

Mk+1 + Mk+2 + … + Mtt Nk+1 – Nt+1 Nt+1P = ------------------------------- = ------------------ = 1 – --------

Nk+1 Nk+1 Nk+1

A partir del concepto de probabilidad, se puede estimar el tiempo que puede estar encirculación un título adquirido en cualquier momento de tiempo (vida del título),pudiéndose utilizar diferentes promedios entre los que destacamos los siguientes:

1. Vida media.2. Vida mediana.3. Vida matemática o financiera.

9.1. Vida media o esperada de un título (Vm) 9.2. Vida mediana (Vmed) 9.3. Valor, usufructo y nuda propiedad de un título 9.4. Vida financiera o matemática

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9.1. Vida media o esperada de un título(Vm)Se define la vida media de un título como el tiempo que por término medio está encirculación ese título desde la fecha de estudio. Se trata del concepto de esperanzamatemática de una variable (número de años en circulación), puesto que la variable esde tipo aleatorio (no se conoce el momento en que el título resultará amortizado).

En definitiva, la vida media resulta de multiplicar el número de años que un título puedeestar en circulación, desde la fecha de estudio, por la probabilidad de que así ocurra:

Cuadro de trabajo si el estudio se realiza en el momento k:

SUCESOSPOSIBLES

(momento delsorteo)

X (n.º años encirculación)

PROBABILIDAD DELSUCESO (Px) X x Px

k+1k+2…n

12...

n - k

Mk+1/Nk+1Mk+1/Nk+1

...Mn/Nk+1

1 xMk+1/Nk+12 xMk+1/Nk+1...(n - k)n/Nk+1

Haciendo el estudio en el momento K, desde la emisión del empréstito, resulta:

Mk+1 Mk+2 MnVm = 1 x -------- + 2 x --------- + … + (n – k) x --------

Nk+1 Nk+1 Nk+1

De forma reducida:

Si el estudio se hace en el origen (k = 0):

Expresiones válidas para cualquier empréstito, que tienen como principal inconvenientela necesidad de conocer el número de títulos en circulación en la fecha de estudio (Nk+1)así como el número de títulos a amortizar desde esa fecha hasta el final del empréstito(Mr).

No obstante, para empréstitos con anualidad constante y cupón periódico, constante yvencido (clase I, tipo I) se puede emplear la siguiente expresión simplificada (véasedemostración en el anexo I al final del capítulo):

donde:

i Tanto del cupón del empréstito.n Número de sorteos del empréstito.

método válido si el estudio se realiza en el origen. Para aplicar la fórmula en cualquiermomento k, bastará con sustituir n (número de sorteos pendientes) por n–k (número desorteos pendientes desde la fecha de estudio). Además, si el empréstito tuvieracaracterísticas comerciales, habría que normalizar y la expresión seguirá siendo válidapero cambiando i por i' (tanto normalizado), resultando:

siendo:

i': Tanto normalizado del empréstito.n – k: Número de sorteos pendientes del empréstito.

EJEMPLO 3


Títulos emitidos: 20.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 50 euros. Duración: 4 años. Prima amortización: 200 euros. Anualidad constante.

Se pide:

Cuadro de amortización. Vida media en el origen. Vida media en el momento 1.

Solución:

50i' = -------- = 0,04166

1.200


Planteando la equivalencia en el origen para calcular la anualidad:

como:

a x ca' = ---------

c + p

se podrá despejar la anualidad teórica:

a = 6.637.750,85


Año Títulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort. Intereses Amortización Anualidad

práctica

1234

20.00015.30210.4085.310

4.6984.8945.0985.310

4.6989.592

14.69820.000

1.000.000765.100520.400265.500

5.637.6005.872.8006.117.6006.372.000

6.637.6006.637.9006.638.0006.637.500

Vida media en el origen

1Vm = ----------- x [1 x 4.698 + 2 x 4.894 + 3 x 5.098 + 4 x 5.310] = 2,551 años

20.000

Otra posibilidad:

Vida media en el momento 1

Otra posibilidad:

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9.2. Vida mediana (Vmed)Se define como el tiempo que debe transcurrir para que el número de títulos encirculación en la fecha de estudio quede reducido a la mitad o, lo que es lo mismo, eltiempo que ha de transcurrir para que la probabilidad de que un título resulte amortizadoen ese intervalo sea 1/2.

Haciendo el estudio en el momento k, tendremos que buscar cuántos sorteos (años)tienen que pasar para que se cumpla la definición de vida mediana, es decir, el númerode sorteos que tienen que efectuarse para que se cumplan cualesquiera de las siguientesexpresiones:

• El número de títulos amortizados sea la mitad de los que había en circulación en lafecha de estudio:

• La probabilidad de que un título en circulación en la fecha de estudio resulteamortizado en ese intervalo sea 1/2:

Esta forma de calcular resulta aplicable a cualquier empréstito, pero tiene comoprincipal inconveniente la necesidad de conocer el número de títulos en circulación enla fecha de estudio (Nk+1) así como el número de títulos a amortizar desde esa fecha enadelante.

No obstante, para empréstitos con anualidad constante y cupón periódico, constante yvencido (clase I, tipo I) se puede emplear, en el origen, la siguiente expresiónsimplificada (véase demostración en el anexo II al final del capítulo):

(1 + i)n + 1(1 + i)Vmed = ----------------

2

donde:

i: Tanto del cupón del empréstito.n: Número de sorteos del empréstito.Vmed: Vida mediana del empréstito.

método válido si el estudio se realiza en el origen. Para aplicar la fórmula en cualquiermomento k, bastará con sustituir n (número de sorteos pendientes) por n–k (número desorteos pendientes desde la fecha de estudio). Además, si el empréstito tuvieracaracterísticas comerciales, habría que normalizar y la expresión seguirá siendo válidapero cambiando i por i' (tanto normalizado), resultando:

(1 + i')n–k + 1(1 + i')Vmed = -------------------

2

siendo:

i': Tanto normalizado del empréstito.n–k: Número de sorteos pendientes del empréstito.Vmed: Vida mediana del empréstito.

EJEMPLO 24



Se pide:

Vida mediana en el origen. Vida mediana en el momento 1.

Solución:

El cálculo de los títulos amortizados no se realiza ya que se trata del mismo empréstitodel ejemplo anterior, por lo que tomamos esa información del mismo.

Vida mediana en el origen

Se trata de determinar cuánto tiempo ha de transcurrir para que el total de títulosemitidos se reduzca a la mitad.

La vida mediana estará comprendida entre 2 y 3, por lo que si se quiere un valor másaproximado habrá que realizar una interpolación lineal:

1 --------------- 5.098 o bien 1 --------------- (0,4796 – 0,7345)

t --------------- (10.000 – 9.592) t ---------------- (0,4796 – 0,5)

t = 0,08003 t = 0,0800314

Vmed = 2 + t = 2,08003 años Vmed = 2 + t = 2,08003 años

Otra posibilidad consistirá en emplear la fórmula antes indicada:

1,041664 + 11,04166 Vmed = --------------------

2

Aplicando logaritmos a un miembro y a otro, y teniendo en cuenta las propiedades delos logaritmos, despejaremos la variable buscada:

De donde:

Vmed = 2,08155 años

Vida mediana en el momento 1

La vida mediana estará comprendida entre los sorteos 2.º y 3.º (1.º y 2.º contados desdela fecha de estudio) por lo que si se quiere un valor más aproximado habrá que realizaruna interpolación lineal.

Realizando una interpolación lineal:

1 --------------- 5.098 o bien 1 --------------- (0,3198 – 0,6530)

t --------------- (7.651 – 4.894) t ---------------- (0,3198 – 0,5)

t = 0,54080 t = 0,54083

Vmed = 1 + t = 1,54080 años Vmed = 1 + t = 1,54080 años

Otra posibilidad, mediante la expresión empleada para los empréstitos de estascaracterísticas:

1,041663 + 11,04166 Vmed = --------------------

2

Aplicando logaritmos:

De donde:

Vmed = 1,5459 años

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9.3. Valor, usufructo y nuda propiedad deun títuloLa valoración de títulos procedentes de un empréstito cualquiera implica conocer lascuantías de los derechos económicos futuros que dicho título conlleva y actualizarlos almomento de estudio a un tipo adecuado (tanto de mercado).

Definiciones:

Valor de un título en el momento k (principios del período k+1), Vk, es el resultado deactualizar al tanto de mercado (im) todos los derechos económicos futuros que el títuloconlleva.

Usufructo de un título en el momento k (principios del período k+1), Uk, es el resultadode actualizar al tanto de mercado (im) todos los cupones futuros que el título conlleva.

Nuda propiedad de un título en el momento k (principios del período k+1), Nk , es elresultado de actualizar al tanto de mercado (im) el valor de reembolso del título.

De las definiciones anteriores se deduce la necesidad de conocer para estos cálculos:

1. Cuantía de los derechos económicos futuros del título (cupones, valor de reembolso ylotes).

2. Número de capitales (derechos económicos) a considerar.

El número de derechos está en función del tiempo que el título esté en circulación, osea, del momento en que resulte amortizado. Por ello debemos considerar un horizontetemporal para su estudio, pudiéndose contemplar tres posibilidades:

1. Conocer de antemano el momento del sorteo del título.2. Estimar un período de vida para el título, tomándose como tal la vida media (o

mediana) del conjunto de títulos del empréstito en la fecha de estudio.3. Considerar un valor medio, es decir, calcular un valor global para el conjunto del

empréstito y dividirlo proporcionalmente entre el número de títulos vivos en la fechade estudio.

Aplicaremos estos escenarios a los diferentes tipos de empréstitos estudiados.

9.3.1. Empréstitos clase I, tipo I, normal

Empréstitos con término amortizativo constante y cupón constante y vencido pagadero alos títulos en circulación en cada momento.

La estructura del término amortizativo es la siguiente:

Se trata de realizar el cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad de un títuloprocedente de este empréstito en un momento cualquiera considerando los posiblesescenarios antes comentados.

Caso 1: el título resultará amortizado en el momento k+t

Estamos suponiendo que se conoce con absoluta certeza el momento en que resultaráamortizado el título estudiado.

Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta elmomento del sorteo (k + t):

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor:

EJEMPLO 25



Se pide:

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizadoen el segundo sorteo, siendo el tanto de mercado el 4%.

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizadoen el cuarto sorteo, siendo el tanto de mercado el 4%.

Solución:

a) Si el título se amortiza en el segundo año:

b) Si el título se amortiza en el cuarto año:

Caso 2: tomando como estimación la vida media del empréstito en la fecha de estudio

Ahora desconocemos el momento en que resultará amortizado el título estudiado, porello se toma como estimación la vida media calculada para todo el empréstito en lafecha donde estamos valorando.

Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta elmomento del sorteo (k + Vm):

Aplicando de nuevo las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor:

Caso 3: considerando valores medios

En los dos casos anteriores, bien conociendo la fecha del sorteo bien tomando comohorizonte de estudio la vida media del empréstito, se considera únicamente el títuloobjeto de valoración. Ahora, por el contrario, se trabaja con el conjunto de títulos vivosen la fecha de estudio del empréstito, para, después, estimar el valor medio de cada unode ellos.

El esquema de flujos pendientes del empréstito en su conjunto es el siguiente:

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor, en este caso aplicadospara el conjunto del empréstito (valores totales o globales):

Estos valores globales se repartirán entre el número de títulos vivos en la fecha deestudio (Nk+1), para obtener los valores medios por título de usufructo, nuda propiedad yvalor:

No obstante, este método de cálculo exige conocer las cantidades destinadas al pago decupones y de amortización en cada momento desde la fecha de estudio hasta el final delempréstito (cuadro de amortización). Un sistema alternativo sería la utilización delsiguiente sistema de ecuaciones, que solamente se podrá emplear en el supuesto de quese cumplan los tres siguientes requisitos:

1. El cupón periódico se mantiene constante desde la fecha de estudio hasta n.2. El tanto de mercado (im) sea diferente al tanto del cupón (i).3. Encontrarse al principio de un período.

Donde:

i: Tipo del cupón del título.im: Tipo de mercado.c: Nominal del título.

Para su resolución se calculará previamente el Vk, según la expresión:

y del sistema se despejarán Uk y Nk.

Nota: este sistema de ecuaciones también se puede aplicar a cualquier empréstito de cupónperiódico con anualidad variable (clase I, tipo II).

EJEMPLO 26


Títulos emitidos: 30.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 100 euros. Duración: 3 años. Anualidad constante.

Se pide:

Cuadro de amortización. Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12%.

Solución:


AñoTítulosvivos

Títuloamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

123

30.00020.93710.967

9.0639.970

10.967

9.06319.03330.000

3.000.0002.093.7001.096.700

9.063.0009.970.000

10.967.000

12.063.00012.063.70012.063.700

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12%:

1.ª posibilidad: aplicando las definiciones

2.ª posibilidad: aplicando el sistema de ecuaciones

Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene Vo:

Del sistema se despeja la nuda propiedad y a continuación el usufructo:

9.3.2. Incidencia de las distintas características comerciales

Cuando existan en el empréstito características comerciales, será preciso distinguircómo afectan a la hora de valorar el título. Será necesario, pues, un estudioindividualizado de cada una de las posibles características que pueden aparecer.

De igual forma, se podrá aplicar indistintamente las definiciones o aplicar el sistema deecuaciones, si bien considerando cómo afecta la(s) característica(s) que en cada caso sepresenten.

Pasamos al estudio de cada característica comercial:

9.3.2.1. Prima de amortización

Afecta a la nuda propiedad y al valor, pero no al usufructo.

El sistema queda como sigue:

Donde:

i: Tipo del cupón del título.im: Tipo de mercado.c: Nominal del título.i': Tipo normalizado del empréstito.

EJEMPLO 27


Títulos emitidos: 1.000. Nominal título: 1.000 euros. Interés anual: 6%. Duración: 4 años. Valor de reembolso de los títulos: 1.200 euros. Anualidad constante.

Se pide:

Calcular el valor medio de un título transcurrido 1 año desde la emisión, siendo el tantode mercado el 7% efectivo anual.

Solución:



(1) (2) (3)(4) = (1) x

60(5) = (2) x

1.200(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títuloamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

1234

1.000768524268

232244256268

232476732

1.000

60.00046.08031.44016.080

278.400292.800307.200321.600

338.400338.880338.640337.680

Valor, usufructo y nuda propiedad en 1 al tanto im = 7%



Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene V1:

Del sistema se despeja la nuda propiedad y a continuación el usufructo:

9.3.2.2. Amortización seca

Afecta al usufructo y al valor, pero no a la nuda propiedad.

El sistema de ecuaciones visto anteriormente considera que la amortización seca no esuna pérdida de cupón sino una prima de amortización negativa, por lo que infravalora lanuda propiedad y da más valor al usufructo.

Por este motivo, en lugar de aplicar el sistema se calcula el valor y la nuda propiedadaplicando las definiciones técnicas y el usufructo se obtiene por diferencias.

EJEMPLO 28


Títulos emitidos: 1.000. Nominal título: 1.000 euros. Interés anual: 5%. Duración: 3 años. Los títulos amortizados pierden el último cupón. Anualidad constante.

Se pide:

Calcular el valor medio de un título transcurrido 1 año desde la emisión, siendo el tantode mercado el 4% efectivo anual.

Solución:



(1) (2) (3)(4) = [(1) –(2)] x 50

(5) = (2) x1.200

(6) = (4) + (5)

AñoTítulosvivos

Títuloamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

123

1.000684351

316333351

316649

1.000

34.20017.550

316.000333.000351.000

350.200350.550351.000

Valor, usufructo y nuda propiedad en 1 al tanto im = 4%

1.ª posibilidad: empleando los datos del cuadro


Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene V1:

Aplicando la definición de nuda propiedad media se obtiene N1:

El usufructo se obtiene por diferencia entre valor y nuda propiedad:

9.3.2.3. Lotes

Afecta al valor, pero no al usufructo ni a la nuda propiedad.

Donde el complemento es la actualización de los lotes futuros por obligación encirculación:

En este caso, previamente deberemos calcular el valor (por el mismo procedimiento) yel complemento aplicando su definición. Del sistema se despejarán usufructo y nudapropiedad.

9.3.2.4. Gastos de administración

No afectan ni al usufructo ni a la nuda propiedad ni al valor.

Hay que tener en cuenta que, de existir, los gastos de administración forman parte de laanualidad del empréstito, por lo que habrá que quitarlos y a continuación se utiliza elsistema de ecuaciones correspondiente.

EJEMPLO 29


Títulos emitidos: 30.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 100 euros. Duración: 3 años. Reparto de un premio de 200 euros a 1.000 títulos amortizados cada año. Gastos de administración del 1‰ de las cantidades pagadas. Todos los años se amortizan el mismo número de títulos.

Se pide:

Cuadro de amortización. Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12%.

Solución:


AñoTítulosvivos

Títuloamortiz.

Intereses Amortiz. LotesGastosadmón.


123

30.00020.00010.000

10.00010.00010.000

3.000.0002.000.0001.000.000

10.000.00010.000.00010.000.000

200.000200.000200.000

13.20012.20011.200

13.213.20012.212.20011.211.200

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12%



Aplicando las definiciones calculamos nuda propiedad y complemento:

Del sistema se despeja el usufructo y a continuación el valor:

9.3.2.5. Cupón fraccionado

Afecta al usufructo e, indirectamente, al valor, pero no a la nuda propiedad.

El sistema de ecuaciones sigue siendo válido pero recogiendo el efecto delfraccionamiento en el usufructo y en el valor del título.

Al tratarse de un empréstito de cupón fraccionado, para resolverlo, obligatoriamente, setendrá que calcular en primer lugar, y fuera del sistema, la nuda propiedad (Nt)aplicando la definición, esto es, actualizando los valores de reembolso futuros al tantode mercado.

Del sistema se despejará siempre el usufructo y el valor.

EJEMPLO 30


Títulos emitidos: 10.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón semestral: 60 euros. Duración: 3 años. Sorteos anuales a la par. Anualidad comercial constante.

Se pide:

Cuadro de amortización. Valor, usufructo y nuda propiedad a principios del año 2 a un tanto de mercado del

15% efectivo anual.

Solución:


Año/Sem.Títulosvivos

Títuloamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.3.2.

10.00010.000

7.0477.0473.7293.729

–2.953

–3.318

–3.729

–2.9532.9536.2716.271

10.000

600.000600.000422.820422.820223.740223.740

–2.953.000

–3.318.000

–3.729.000

600.0003.553.000

422.8203.740.820

223.7403.952.740

Valor, usufructo y nuda propiedad transcurrido un año al tanto im = 15%



Aplicando la expresión de cálculo de la nuda propiedad:

Del sistema se despeja el usufructo y a continuación el valor:

9.3.3. Empréstitos clase II, tipo I, normal

Empréstitos con término amortizativo constante y cupón acumulado en régimen decompuesta pagadero a los títulos que en cada sorteo resulten amortizados.

La estructura del término amortizativo es la siguiente:

Se trata de realizar el cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad de un títuloprocedente de este empréstito en un momento cualquiera considerando los posiblesescenarios antes comentados.

Caso 1: el título resultará amortizado en el momento k+t

Estamos suponiendo que se conoce con absoluta certeza el momento en que resultaráamortizado el título estudiado.

Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta elmomento del sorteo (k+t):

Se calculará en primer lugar el valor y la nuda propiedad, aplicando la definición:

El usufructo resultará más práctico obtenerlo por diferencias entre los dos datospreviamente obtenidos: Uk = Vk – Nk.

EJEMPLO 31


Títulos emitidos: 10.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón del 10% anual acumulable al momento del sorteo. Duración: 3 años. Anualidad comercial constante.

Se pide:

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizadoen el primer sorteo, siendo el tanto de mercado el 9%.

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizadoen el último sorteo, siendo el tanto de mercado el 9%.

Solución:

a) Si el título se amortiza en el primer año:

b) Si el título se amortiza en el tercer año:

Caso 2: tomando como estimación la vida media del empréstito en la fecha de estudio

Se desconoce el momento en que resultará amortizado el título estudiado, por ello setoma como estimación la vida media calculada para todo el empréstito en la fecha dondese valora.

Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta elmomento del sorteo (k + Vm):

Se procederá de igual forma que en el caso anterior, pero tomando como horizontetemporal la vida media del empréstito.

Caso 3: considerando valores medios

En los dos casos anteriores, bien conociendo la fecha del sorteo bien tomando comohorizonte de estudio la vida media del empréstito, se considera únicamente el títuloobjeto de valoración. Ahora, por el contrario, se trabaja con el conjunto de títulos vivosen la fecha de estudio del empréstito, para, después, estimar el valor medio de cada unode ellos.

El esquema de flujos pendientes del empréstito en su conjunto es el siguiente:

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor, en este caso aplicadospara el conjunto del empréstito (valores totales o globales):

Estos valores globales se repartirán entre el número de títulos vivos en la fecha deestudio (Nk+1), para obtener los valores medios por título de usufructo, nuda propiedad yvalor:

No obstante, este proceso de cálculo exige conocer los títulos amortizados en cadamomento desde la fecha de estudio hasta el final del empréstito y las cantidades a pagara cada uno de ellos en concepto de amortización y cupón acumulado.

Un sistema alternativo sería el siguiente:

• En primer lugar se calcula el valor medio de un título:

• A continuación se calcula la nuda propiedad, con la siguiente expresión:

• Finalmente, se despeja el usufructo:

Uk = Vk – Nk

EJEMPLO 32


Títulos emitidos: 10.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón del 10% anual acumulable al momento del sorteo. Duración: 3 años. Anualidad comercial constante.

Se pide:

Cuadro de amortización. Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12% efectivo

anual.

Solución:


AñoTítulosvivos

Títuloamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

123

10.0006.3443.021

3.6563.3233.021

3.6566.979

10.000

365.600697.830999.951

3.656.0003.323.0003.021.000

4.021.6004.020.8304.020.951

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12%


2.ª posibilidad: calculando el valor medio y a continuación la nuda propiedad con lasexpresiones abreviadas

Finalmente se despeja el usufructo:

U0 = V0 – N0 = 159,45

9.3.4. Valor, usufructo y nuda propiedad en una fracción de período

Las expresiones anteriores se pueden aplicar para valoraciones efectuadas en momentosdonde tiene lugar amortización de títulos (final de período –año–). Si el cálculo serealizará en cualquier otro momento de tiempo las definiciones siguen siendo válidas (y,por tanto, se pueden seguir aplicando) pero el sistema práctico de ecuaciones no sepodría aplicar directamente.

En este caso con el sistema de ecuaciones se realizarán los cálculos a principios delperíodo y después capitalizaremos hasta la fecha en la que se piden los valores. Estacapitalización se debe efectuar en régimen de compuesta y al tanto de mercado (im).

EJEMPLO 33


Títulos emitidos: 20.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 50 euros. Prima de amortización: 200 euros. Duración: 4 años. Gastos de administración del 1‰ de las cantidades pagadas a los obligacionistas. Anualidad comercial constante.

Se pide:

Cuadro de amortización. Valor, usufructo y nuda propiedad transcurridos dos años desde la emisión a un tanto

de mercado del 7% efectivo anual Valor, usufructo y nuda propiedad transcurridos dos años y tres meses desde la

emisión a un tanto de mercado del 7% efectivo anual.

Solución:

de donde:

a = 6.644.388,60


AñoTítulosvivos

Títuloamortiz.

Total tít.amort.

Intereses Amortiz.Gastos

Admón.Término

amortizativo

1234

20.00015.30210.408

5.310

4.6984.8945.0985.310

4.6989.592

14.69820.000

1.000.000765.100520.400265.500

5.637.6005.872.8006.117.6006.372.000

6.637,66.637,96.638,06.637,5

6.644.237,66.644.537,96.644.638,06.644.137,5

Valor, usufructo y nuda propiedad en 2, al tanto im = 7 % (aplicando las definiciones)

Los mismos resultados se habrían obtenido aplicando el sistema de ecuaciones.

Valor, usufructo y nuda propiedad transcurridos 2 años y 3 meses, al tanto im = 7%, (aplicandolas definiciones)

En este caso, para valorar en una fracción de período, el sistema de ecuaciones no sepuede aplicar directamente. Habrá que valorar en el momento 2 (V2, U2 y N2) y después

capitalizar 3 meses al tanto de mercado. Así, utilizando los resultados del punto anteriorse realizarán finalmente los siguientes cálculos:

V2,25 = V2 x 1,070,25 = 1.153,04 x 1,070,25 = 1.172,74U2,25 = U2 x 1,070,25 = 69,01 x 1,070,25 = 70,22N2,25 = N2 x 1,070,25 = 1.084,06 x 1,070,25 = 1.102,53

Nota: las pequeñas diferencias que surgen entre los diferentes métodos se deben al error deaproximación que se comete tanto en uno como en otro.

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9.4. Vida financiera o matemáticaSe parte de un empréstito que ya existe, cuyos títulos se encuentran en circulación y delque se conoce su sistema de amortización, es decir, cuántos títulos se van a amortizar encada uno de los sorteos que aún quedan pendientes de realizar.

Lo que se pretende es la sustitución del plan de amortización inicialmente previsto porotro alternativo consistente en una amortización única de todos los títulos en circulaciónen el momento de estudio de una sola vez, obligándose a que ambos sistemas deamortización resulten equivalentes. El momento donde tendrá que efectuarse ese sorteoúnico que consiga la equivalencia financiera es lo que se denomina vida financiera delempréstito.

El estudio de equivalencia se efectuará en el momento donde se plantea la sustitución(k) valorándose las dos alternativas al tanto de mercado vigente en ese momento (im).

Caso 1: empréstito clase I, tipo I

La estructura del término amortizativo será la siguiente, para el caso de no tenercaracterísticas comerciales:

Situados a principios de k+1 el esquema de flujos futuros del empréstito, de acuerdo conel plan de reembolso inicialmente previsto, es el siguiente:

El sistema de amortización alternativo supone pagar periódicamente cupones a todos lostítulos vivos en la fecha de estudio y amortizarlos todos de una sola vez en un momentofuturo desconocido (la vida matemática). El esquema de flujos de caja del nuevoempréstito es el siguiente:

Valorando al tanto im en k las dos alternativas e igualándolas:

siendo X = vida financiera, la incógnita a despejar.

De igual manera que se ha trabajado con el empréstito en su conjunto, se podría realizarel estudio considerando solamente los cupones o los valores de reembolso.

1.º Considerando sólo el pago de cupones: vida financiera de los intereses (X1)

Se valoran en el momento k, por una parte los pagos de cupones que se realizarán en elfuturo de acuerdo con el plan de amortización inicial y, por otra parte, los cupones quese pagarán caso de amortizar todos los títulos de una sola vez en X1. El resultado deigualar ambas corrientes de pagos será:

A continuación, se pasará Nk+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtienela definición de usufructo medio del empréstito en ese momento (Uk).

siendo X1 = vida financiera de los intereses, la incógnita a despejar.

2.º Considerando sólo el valor de reembolso: vida financiera de los valores dereembolso (X2)

Se valoran en el momento k, por una parte, los valores de reembolso que se realizaránen el futuro de acuerdo con el plan de amortización inicial y, por otra parte, el resultadode amortizar todos los títulos de una sola vez en X2 (desconocido). El resultado deigualar ambas corrientes de pagos será:

A continuación, se pasará Nk+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtienela definición de nuda propiedad media del empréstito en ese momento (Nk).

siendo X1 = vida financiera de los intereses, la incógnita a despejar.

Si el valor de reembolso se mantiene constante se cumple X = X1 = X2, lo que implica laexistencia de una vida financiera única.

EJEMPLO 34


Títulos emitidos: 20.000. Nominal título: 1.000 euros. Cupón anual: 130 euros. Duración: 4 años. Prima de reembolso: 300 euros. Anualidad comercial constante.

Se pide:

Cuadro de amortización. Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8% efectivo anual.

Solución:

de donde:

a = 8.202.240,90


AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

1234

20.00015.69010.950

5.736

4.3104.7405.2145.736

4.3109.050

14.26420.000

2.600.0002.069.7001.423.500

745.680

5.603.0006.162.0006.778.2007.456.800

8.203.0008.231.7008.201.7008.202.480

Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8%

1.ª posibilidad: considerando todos los flujos del empréstito

Vida financiera = X = 2,5709 años

2.ª posibilidad: considerando solamente los intereses del empréstito (usufructo)

Previamente se deberá calcular el usufructo medio de un título en la fecha donde se estécalculando la vida financiera (en este caso en el origen).

El usufructo medio en el origen es U0 = 291,712.

A continuación, se plantea la ecuación siguiente:

El cálculo de X (vida financiera o matemática) se puede hacer tanteando, máquinafinanciera (se trata de un elemento de una renta), con tablas financieras de valor actualesunitarios o mediante logaritmos, para lo cual será preciso desarrollar el segundomiembro de la igualdad:


3.ª posibilidad: considerando solamente los valores de reembolso del empréstito (nudapropiedad)

Previamente se deberá calcular la nuda propiedad media de un título en la fecha dondese esté calculando la vida financiera (en este caso en el origen).

La nuda propiedad media en el origen es N0 = 1.066,63.


1.3001.066,63 = ---------

1,08x

1.3001,08x = -------------

1.066,63

Empleando logaritmos:

1.300X x Log 1,08 = Log ------------

1.066,63


EJEMPLO 36


Títulos emitidos: 20.000. Nominal título: 1.000 euros.

Cupón anual: 130 euros. Duración: 4 años. Prima de reembolso: 300 euros. Igual número de títulos amortizados cada año.

Se pide:

Cuadro de amortización. Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8%.

Solución:


AñoTítulosvivos

Títulosamortiz.

Total tít.amort.


amortizativo

1234

20.00015.00010.000

5.000

5.0005.0005.0005.000

5.00010.00015.00020.000

2.600.0001.950.0001.300.000

650.000

6.500.0006.500.0006.500.0006.500.000

9.100.0008.450.0007.800.0007.150.000

Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8%

1.ª posibilidad: considerando todos los flujos del empréstito


2.ª posibilidad: considerando solamente los intereses del empréstito (usufructo)

Previamente se deberá calcular el usufructo medio de un título en la fecha donde se estécalculando la vida financiera (en este caso en el origen).

El usufructo medio en el origen es U0 = 279,45.


Mediante logaritmos:


3.ª posibilidad: considerando solamente los valores de reembolso del empréstito (nudapropiedad)

Previamente se deberá calcular la nuda propiedad media de un título en la fecha dondese esté calculando la vida financiera (en este caso en el origen).

La nuda propiedad media en el origen es N0 = 1.076,44.


1.3001.076,44 = ---------

1,08x

Utilizando logaritmos:


Caso 2: empréstito clase II, tipo I, puro.

La estructura del término amortizativo (anualidad) será la siguiente, para el caso de notener características comerciales:

Situados a principios de k+1 el esquema de flujos futuros del empréstito, de acuerdo conel plan de reembolso inicialmente previsto, es el siguiente:

El resultado de actualizar todos estos flujos al momento k al tipo de mercado (im),quedaría:

Por otra parte, el sistema de amortización alternativo supone la amortización de una solavez de los títulos vivos en k en un momento futuro originando los siguientes flujos decaja:

La actualización de ese único pago en el momento del estudio (k) al tanto de mercadoresulta:

c x (1 + i)k+x x Nk+1--------------------------

(1 + im)x

Finalmente, igualando las dos alternativas:

A continuación, se pasará Nk+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtienela definición de valor medio del empréstito en ese momento (Vk).

O de otra forma:

siendo X = vida financiera, la incógnita a despejar.

ANEXO ICálculo de la vida media en empréstitos clase I, tipo I, puro

Realizando el estudio en el origen:

como: Mk = Nk – Nk+1

como:

ANEXO IICálculo de la vida mediana en empréstitos clase I, tipo I, puro

Aplicando la definición en el origen:

como:

∑

y además se cumple:

sustituyendo:

eliminando M1 y desarrollando el valor final de una renta unitaria pospagable:

(1 + i)x – 1-----------------

i 1----------------- = -------(1 + i)n – 1 2

-----------------i

eliminamos el i de ambos denominadores:

(1 + i)x – 1 1---------------- = ------(1 + i)n – 1 2

reordenando la expresión:

(1 + i)n – 1(1 + i)x – 1 = ---------------

2

resultando finalmente la expresión buscada:

(1 + i)n + 1(1 + i)x = ---------------

2

Principal » Operaciones Financieras

CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios 1. Introducción 2. Ampliaciones de capital 3. Ampliación blanca 4. Operaciones al contado con acciones 5. Operaciones a crédito con acciones 6. Deuda pública 7. Pignoración de valores mobiliarios

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios

1. IntroducciónSe entiende por activo todo bien que se posee y que tiene un valor de cambio.

Los activos se pueden clasificar en:

Tangibles: bienes que poseen unas propiedades físicas específicas. Intangibles: bienes que proporcionan el derecho a percibir un beneficio futuro y que

son independientes del soporte físico.

Los activos financieros (valores mobiliarios) son, por tanto, activos intangibles.

1.1. CONCEPTO

Los valores mobiliarios son documentos representativos de la participación de unapersona en una sociedad, bien como prestamista (activos financieros de deuda), biencomo propietario (activos financieros en propiedad), de la misma.

1.2. MOTIVOS PARA INVERTIR EN VALORES MOBILIARIOS

Por motivo de rentabilidad: comprar títulos con intención de mantenerlos en cartera yrecibir por ellos una renta.

Por motivo de especulación: operación a corto plazo con objeto de vender a preciosuperior al de compra.

Por motivo de control: para tener mayor poder de decisión y poder controlar lasociedad.

1.3. CLASES DE VALORES MOBILIARIOS

Atendiendo a la condición que adquiere el propietario de los títulos, los valoresmobiliarios se pueden clasificar de la siguiente forma:

Valores mobiliarios de renta variable: acciones.Reconocen a su titular como propietario de la sociedad emisora, y, por tanto, partícipeen los resultados de la empresa.

Valores mobiliarios de renta fija: privada y pública.El emisor del título reconoce al poseedor del título (inversor) la cuantía de una deudaque tiene contraída con él.El poseedor del título tiene derecho a percibir un interés, que se denomina «cupón», y,en una fecha, que se denomina «fecha de amortización», tiene derecho a percibir lacantidad escriturada.

Valores mobiliarios de renta fija convertibles en acciones.Acreditan a su titular como prestamista pero con la posibilidad de cambiarlos poracciones en los plazos y condiciones que se hayan fijado, si así lo desea el prestamista.

1.4. FORMAS DE ADQUISICIÓN DE VALORES MOBILIARIOS

En mercado primario: suscripción de títulos nuevos emitidos por la sociedad. En mercado secundario: compra a un antiguo propietario de un título ya existente.

1.5. ESQUEMA DE UNA OPERACIÓN DE COMPRA-VENTA EN UNMERCADO SECUNDARIO

1.6. TERMINOLOGÍA

En cualquier título mobiliario hay que distinguir distintos valores:

Valor nominal. Es el que va impreso en el título.Lo decide la entidad emisora (0,5, 1, 100 euros, …).

Valor de emisión. Es por el que se ponen en circulación.Se suele expresar en porcentaje sobre el valor nominal.

Valor de cotización. El precio de un título en el mercado en un momento dado.

1.7. CARACTERÍSTICAS DE UNA EMISIÓN DE RENTA FIJA

En el folleto de emisión de títulos de renta fija aparecerá la siguiente información, deinterés para el suscriptor:

1. El importe total de la emisión.2. Número de títulos emitidos.3. Nominal de cada título.4. Precio de emisión de los títulos:

• A la par (por su valor nominal).• Bajo la par (precio inferior al nominal).

5. El interés que se va a pagar:• Expresado en porcentaje sobre el nominal del título (anual, semestral,…).• Puede ser fijo o variable –referenciado a un índice–.• Posibilidad de un cupón cero (no hay cupón periódico).

6. El período de amortización, indicando asimismo la forma de amortización de lostítulos:• Todos los títulos en el mismo momento.• En varios momentos distintos, por sorteos.• En varios momentos distintos, por reducción del nominal.• Mediante amortización anticipada (si está prevista en las condiciones de emisión).• Sin plazo de amortización (deuda perpetua).

7. El precio de amortización:• A la par (reembolso por el nominal).• Sobre la par o con prima de amortización (devolución por encima del nominal).

1.8. CARACTERÍSTICAS DE UNA EMISIÓN DE RENTA VARIABLE

La acción es un valor mobiliario que representa una parte proporcional del capital socialde una sociedad.

El accionista (titular de una acción) es propietario de la sociedad, participando delriesgo económico de la sociedad y de los resultados de la misma. Si en un momentodado desea abandonar la sociedad no tiene otra alternativa que la venta de las acciones aun precio determinado por la libre negociación en el mercado secundario.

Entre otras cosas, en una emisión de acciones se indica:

1. El nominal de cada título.2. El precio de emisión del título:

• A la par.• Sobre la par.• A la par, parcial o totalmente liberada, en cuyo caso el accionista paga una parte –liberada parcial– o nada –liberada total– y el resto lo aporta la sociedad emisora concargo a sus fondos propios.

3. Plazo de suscripción.Período en el que se puede comprar esos títulos.

4. El desembolso a realizar en el momento de la compra (mínimo el 25% del nominal y el100% de la prima).

5. El momento a partir del cual esas acciones tendrán derecho a dividendo.6. La fecha a partir de la cual las acciones nuevas que se emitan tendrán los mismos

derechos que las antiguas, si las hubiera.7. Si se trata de una ampliación, la proporción de la ampliación (relación entre el número

de acciones nuevas y el número de acciones antiguas que participan en la ampliación).8. Diferencia de dividendo.

Quiere decir que hay unos beneficios del ejercicio que corresponden a las accionesantiguas en circulación, a los que no tienen derecho las acciones nuevas que se emitensi la fecha de emisión es posterior al comienzo del ejercicio.

1.8.1. Derechos y obligaciones del accionista

1.8.1.1. Derechos

A recibir el dividendo, si la sociedad obtiene beneficios y decide repartirlos.Existe obligación por parte de la sociedad de retener a cuenta del impuesto sobre larenta, pudiéndose hablar de:– Dividendo bruto.– Dividendo líquido (dividendo bruto – retención).Además se podrá dar:– Dividendo a cuenta, de futuros beneficios.– Dividendo complementario, esto es, la diferencia entre el dividendo definitivo y elentregado a cuenta.

De suscripción preferente en las ampliaciones de capital, en la parte que corresponday al precio que se señale.

A la parte que le corresponda en el caso de liquidación de la sociedad. Al voto en las decisiones, si posee el número mínimo fijado en los estatutos.

1.8.1.2. Obligaciones

• La obligación fundamental es la de pagar, en los plazos previstos, las cantidadespendientes (dividendo pasivo).


2. Ampliaciones de capitalPor ampliación de capital se entiende todo incremento en el capital social de unaempresa. Ello puede ser resultado de la aportación de nuevos fondos a la sociedad, o

bien de la capitalización de reservas (transformación de reservas en capital medianteampliaciones de capital liberadas o mediante aumentos del nominal de las acciones), encuyo caso no se produce una entrada efectiva de fondos en la sociedad (se trata de unmero apunte contable entre reservas y capital).

Toda ampliación viene definida por dos elementos:

La proporción, o relación existente entre el número de acciones nuevas que se emiteny las acciones antiguas ya existentes.

Número de acciones nuevasProporción = --------------------------------------

Número de acciones antiguas

El precio de emisión, esto es, los fondos que la sociedad emisora recibe por cadaacción.

En cuanto al precio que deben pagar los suscriptores por cada acción nueva, serádeterminado por la sociedad, siendo varias las posibilidades:

1. A la par: el precio pagado coincide con el nominal del título.2. Por encima de la par (con prima de emisión): el precio pagado es superior al valor

nominal, dando lugar a la creación de una reserva.3. Liberada (o gratuita): la ampliación se realiza con cargo a reservas, por lo que los

accionistas obtienen las nuevas acciones sin necesidad de realizar aportacióndineraria.También cabe la posibilidad de una emisión parcialmente liberada, en cuyo caso existeuna aportación del accionista unida a un trasvase de reservas a capital.

El precio de emisión de un título multiplicado por el número total de acciones puestasen circulación determina los fondos obtenidos por la empresa en la operación deampliación. No obstante, habrá que tener en cuenta los posibles gastos que la puesta encirculación suponga.

Normalmente el precio de emisión es inferior al valor de mercado al que cotizan lasacciones antiguas. Es por este motivo que los inversores están interesados en adquiriracciones nuevas frente a las que ya están en circulación.

Además, al aumentar el número de acciones sin que el valor total de la empresa aumenteen la misma proporción (al emitirse las acciones nuevas por debajo de su valor demercado) hace que el valor de las acciones antiguas disminuya: efecto dilución de lasacciones antiguas.La dilución depende del precio de emisión de las acciones nuevas, siendo mayor cuantomás se aleje del precio de mercado de las acciones antiguas.

Por otra parte, el antiguo accionista tiene derecho de suscripción preferente en lasampliaciones de capital social en la parte que le corresponda y al precio que la sociedadseñale, de forma que pueda seguir participando en el capital social nuevo en la mismaproporción que lo hacía en el capital social antiguo. Dicho derecho se recoge en un

título negociable de forma independiente que recibe el nombre de derecho desuscripción preferente (los accionistas antiguos recibirán un derecho de suscripción porcada acción antigua que posean en el momento de iniciarse la ampliación) y cuyo valorpermite la compensación producida por la dilución en el valor de las acciones antiguas.

EJEMPLO 1

Una empresa tiene un capital formado por 10.000 acciones que cotizan actualmente a 2euros. Decide ampliar capital emitiendo 1.000 acciones nuevas a un precio de 1,5 eurospor acción.

Situación antes de la ampliación:

Valor total = Número de acciones x Precio por acción = 10.000 x 2 = 20.000 €Número total de acciones después de la ampliación = 10.000 antiguas + 1.000 nuevas =11.000 accionesAumento de valor de la empresa = 1.000 acciones nuevas x 1,5 €/acción = 1.500 €Valor total después de la ampliación = 20.000 + 1.500 = 21.500 €

21.500Valor acción después de la ampliación = ------------ = 1,95 €

11.000

Es decir, el valor de las acciones habrá descendido (efecto dilución) de 2 euros a 1,95,como consecuencia de la ampliación de capital realizada por debajo de su precio demercado.

El antiguo accionista tiene un derecho de suscripción preferente, lo cual no significa quetenga obligación de ejercerlo, pudiendo plantearse varios casos:

El accionista acude a la ampliación en la totalidad. El accionista no desea acudir a la ampliación. El accionista acude a la ampliación, pero sólo en parte.

Y también cabe la posibilidad de que un inversor, no siendo accionista de la sociedad,pueda acudir a la ampliación que ésta efectúe.

1.er caso: el accionista acude a la ampliación en la totalidadEl accionista suscribirá todas las acciones nuevas que le correspondan.En función de las acciones antiguas que posea y de la proporción de la ampliación sefijará el número de acciones nuevas que podrá solicitar y el número de derechos desuscripción que tendrá que entregar.El precio a pagar por cada acción nueva lo fijará previamente la sociedad emisora(precio de emisión).

2.º caso: el accionista no acude a la ampliaciónEn este caso venderá los derechos de suscripción preferente en el mercadosecundario.

Dichos títulos se venden también en el mismo mercado que las acciones, donde sevaloran en la misma unidad monetaria, variando su precio en función de la oferta y lademanda. El valor real, tanto del derecho como de las acciones después de laampliación, dependerá de la oferta y la demanda, y es imposible de determinar conexactitud. Pero el valor real estará, lógicamente, muy próximo a un valor teórico, quesí podremos estimar y que el inversor tomará como referencia para tomar su decisiónde acudir o no a la ampliación.Se denomina valor teórico del derecho de suscripción o valor teórico del derecho alprecio que teóricamente deben tener los derechos de suscripción de las accionesviejas al venderlos un accionista que no quiera acudir a la ampliación. Este valordependerá de:– La cotización de las acciones viejas.– El precio de emisión de las acciones nuevas.– La proporción de la ampliación.

3.er caso: el accionista acude a la ampliación, pero sólo en parteSuscribirá un número concreto de acciones, entregando los derechos necesarios enfunción de la proporción de la ampliación, el resto de derechos los venderá al precioque tengan en el mercado en ese momento, deduciendo los gastos inherentes a laoperación de venta.

4.º caso: un inversor no accionista quiere acudir a la ampliaciónLos derechos que venden los accionistas antiguos que no deseen acudir a la ampliaciónlos puede comprar cualquier persona, accionista o no de la sociedad.La persona que no siendo antiguo accionista quiera acudir a la ampliación deberá:

1. Comprar en el mercado los derechos de suscripción necesarios, en función dela proporción de la ampliación y del número de acciones que quiera solicitar.

2. Entregar dichos derechos a la sociedad, para justificar su derecho a comprarlas acciones nuevas.

3. Pagar a la sociedad el precio de emisión de las acciones que desea comprar.

2.1. CLASES DE AMPLIACIONES DE CAPITAL

En las ampliaciones de capital podemos distinguir:

1. Atendiendo al número de ampliaciones previstas: ampliaciones simples o múltiples.Las emisiones simples (o únicas) son aquellas en las que se realiza una única operación,mientras que si se van a realizar varias operaciones, bien de forma simultánea osucesiva, en el tiempo, se denominan múltiples (dobles, triples, …).

2. Atendiendo a los derechos económicos de las acciones nuevas: ampliaciones sindiferencias económicas o con diferencias.La ampliación no tendrá diferencias económicas cuando concluida la ampliación todaslas acciones (antiguas y nuevas) tengan los mismos derechos económicos; existiendodiferencias económicas cuando los títulos nuevos no participen, en todo o en parte, enel dividendo inmediato.

2.2. VALOR TEÓRICO DEL DERECHO DE SUSCRIPCIÓN PREFERENTE

A la hora de calcular el valor teórico del derecho de suscripción preferente en unaampliación de capital, se podrán presentar los siguientes supuestos:

Ampliación simple sin diferencias económicas. Ampliación simple con diferencias económicas.

Ampliación doble sin diferencias económicas. Ampliación doble con diferencias económicas.

2.2.1. Ampliación simple sin diferencias económicas

Las acciones nuevas tendrán los mismos derechos económicos que las ya existentes enel mercado.

Para el cálculo del valor teórico se tendrá en cuenta lo siguiente:

A: Número de acciones antiguas.C: Valor de la acción antigua al inicio de la ampliación (cotización ex-ante).N: Número de acciones nuevas.E: Precio de emisión de las acciones nuevas.Vtd: Valor del derecho de suscripción (valor teórico del derecho).

El valor de las acciones antiguas es: A x CEl valor de las acciones nuevas es: N x EEl valor de la empresa después de la ampliación es: A x C + N x E

Puesto que todos los títulos, antiguos y nuevos, tienen los mismos derechos, el mercadohará que sus cotizaciones sean iguales, por lo que el valor de una acción cualquieradespués de la ampliación (C') será el precio medio ponderado de la mezcla que se hahecho de acciones antiguas a precio ex-ante (A x C) con acciones nuevas a precio deemisión (N x E), es decir:

A x C + N x EC' = -----------------

A + N

Como la diferencia que hay entre el valor de la acción antes de la ampliación y el valorteórico de ésta después de la ampliación se debe a la pérdida del derecho, podemoscalcular el valor teórico del cupón (Vtd) por diferencia entre la cotización ex-ante y lacotización ex-post de una acción antigua, es decir:

Vtd = C – C'

A x C + N x EVtd = C – --------------------

A + N

resultando:

A x C + N x C – A x C – N x E N x C – N x E N x (C – E)Vtd = -------------------------------------- = -------------------- = ---------------

A + N A + N A + N

Por tanto, el valor teórico del derecho es:

N x (C – E)Vtd = ----------------

A + N

EJEMPLO 2

La sociedad «DE LOZAR» constituida por 400.000 acciones de 1 euro de nominalanuncia una ampliación de capital a la par, siendo la proporción 1 acción nueva por cada4 viejas y con un nominal de 1 euro cada una. La cotización en bolsa de estas accionesantes de la ampliación era del 140%.

Se pide:

1. Calcular el valor teórico de los derechos de suscripción.2. Número de acciones después de la ampliación.3. Fondos obtenidos por la sociedad en la ampliación.

Solución:

a)

4 títulos antiguos valen 4 x 1 x 1,4Por 1 título nuevo se desembolsa----------------------------------------------------------------5 títulos después de la ampliación valenValor de una acción antes ampliación (C)

6,6Valor de una acción después ampliación (C') -----

5

5,6 €1 €

------6,6 €

1,40 €

1,32 €

b)

c)

Fondos obtenidos por la ampliación = N.º acciones nuevas x Precio emisiónFinanciación obtenida = 100.000 x 1 = 100.000 €

2.2.2. Ampliación doble sin diferencias económicas

En este caso la sociedad realiza de forma simultánea dos ampliaciones de capital y cadaacción antigua proporciona dos derechos de suscripción para acudir independientementea cada ampliación y suscribir las acciones nuevas que le corresponda en cada una deellas, que seguirán teniendo los mismos derechos económicos que las ya existentes en elmercado. Se tratará, por tanto, de calcular el valor de ambos derechos.

EJEMPLO 3

Una sociedad amplía su capital realizando una ampliación doble simultánea de la forma:

1. 1 acción nueva a la par por cada 4 antiguas.

Valor del derecho = 1,40 – 1,32 = 0,08 €

Número acciones antes ampliación1

Número acciones nuevas: 400.000 x -----4

Número total de acciones después de la ampliación

400.000

100.000

500.000

2. 1 acción nueva gratuita por cada 5 antiguas.

Se sabe que el nominal de las acciones es de 5 euros y la cotización antes de la dobleampliación es del 140%.

Se pide:

Calcular el valor teórico de los derechos de suscripción.

Solución:

Al ser las proporciones de las ampliaciones diferentes hallamos el mínimo comúnmúltiplo de las acciones antiguas: m.c.m. (4; 5) = 20

De esta forma, un accionista antiguo que tenga 20 acciones puede acudir a las dosampliaciones y suscribir un número entero de títulos en ambas. Así:

Para acudir a la primera ampliación, deberá hacer grupos de 4 acciones antiguas y porcada uno recibirá 1 acción nueva. De esta forma, si posee 20 acciones hará 5 grupos(20/4 = 5) y tendrá derecho a suscribir 5 acciones nuevas.

Al acudir a la segunda ampliación, deberá hacer grupos de 5 acciones antiguas y porcada uno recibirá 1 acción nueva. Si posee 20 acciones hará 4 grupos (20/5 = 4) ytendrá derecho a suscribir 4 acciones nuevas.

Por tanto, el accionista que posea 20 títulos antiguos y acuda a las dos ampliacionestendrá:

20 títulos antiguos valen 20 x 7,00 ...................... 140 €

Por 5 títulos nuevos desembolsa 5 x 5 ................. 25 €

Por 4 títulos nuevos no se desembolsa nada ...... 0 €

-------------------------------------------------------------------------

29 títulos después de la ampliación valen .............(29 = 20 + 5 + 4)

165 €

Valor de una acción antes ampliación ................... 7,00 €

165Valor de una acción después ampliación ------- ...............

295,69 €

Valor de los dos derechos = 7,00 – 5,69 = 1,31 €

Para efectuar el desglose y determinar el valor de cada derecho habrá que tener encuenta que en cada una de las ampliaciones se cumple lo siguiente:

Cotización ex-post = Precio emisión + Valor teórico de los derechos entregados1.ª ampliación: 5,69 = 5 + 4 x d1 de donde d1 = 0,17 €2.ª ampliación: 5,69 = 0 + 5 x d2 de donde d2 = 1,14 €

Siendo d1 y d2 los valores teóricos de los derechos de cada una de las dos ampliaciones.

2.2.3. Ampliación simple con diferencias económicas

Ocurre cuando las acciones nuevas no participan inicialmente de los mismos derechoseconómicos que las antiguas. Esto sucede cuando a las acciones nuevas les correspondeuna proporción menor en el reparto del dividendo inmediato posterior a la ampliación.

De cualquier modo, deberá cumplirse que el importe de todos los títulos (antiguos ynuevos) antes de la ampliación sea igual al importe de todos los títulos después de laampliación.

Para el cálculo del valor teórico se tendrá en cuenta lo siguiente:

A: Número de acciones antiguas.C: Valor de cada acción antigua (cotización ex-ante).N: Número de acciones nuevas.E: Precio de emisión de las acciones nuevas.C': Valor teórico de las acciones después de la ampliación (cotización ex-post).d: Diferencia de derechos económicos.

El valor de las acciones antiguas es: A x CEl valor de las acciones nuevas es: N x EEl valor de la empresa después de la ampliación es: A x C + N x E

Al tener las acciones antiguas mayores derechos económicos que las nuevas, coexistiránen el mercado cotizaciones distintas para unos y otros títulos, hasta que los nuevostengan derechos idénticos y suponiendo que las acciones antiguas después de laampliación valgan C', los nuevos valdrán «d» euros menos, es decir (C' – d).

El valor de la empresa en el mercado debe satisfacer la siguiente igualdad:

A x C + N x E = A x C' + N x (C' – d)

De donde:

A x C + N x (E + d)C' = --------------------------

A + N

siendo el valor del derecho de suscripción la diferencia entre la cotización ex-ante y ex-post de una acción antigua:

N x (C – E – d)Vtd = C – C' = --------------------

A + N

EJEMPLO 4

Las acciones de la sociedad anónima «APROBASA» tienen un nominal de 1 euro ycotizan al 750%.Se realiza una ampliación de 2 títulos nuevos por cada 5 antiguos, al 550%.

Se pide:

Calcular cotización ex-post y valor teórico del derecho de suscripción teniendo encuenta que los títulos nuevos no participan en un dividendo del 5% que se reparte almes siguiente de la ampliación.

Solución:

5 títulos antiguos valen 5 x 7,5 ........................ 37,50 €

Por 2 títulos nuevos se desembolsa 2 x 5,5 ..... 11,00 €

------------------------------------------------------------------------

7 títulos después de la ampliación valen .......... 48,50 €

los 5 títulos antiguos valen 5 x C'los 2 títulos nuevos valen 2 x C'' = 2 x (C' – 0,05)

Por tanto:

48,50 = 5 x C' + 2 x (C' – 0,05)C' = 6,94 €C'' = C' – 0,05 = 6,89€

Valor de una acción antes ampliación ........................ 7,50 €

Valor de una acción antigua después ampliación ...... 6,94 €

Valor de una acción nueva después ampliación ........ 6,89 €

Para el cálculo del derecho de suscripción se tendrá en cuenta el valor de una acciónantigua antes y después de la ampliación:

Valor del derecho = 7,50 – 6,94 = 0,56 €

La doble cotización se mantendrá desde el final de la ampliación hasta que se reparta eldividendo, que es la causa de esa doble cotización. A partir de entonces, todos lostítulos, antiguos y nuevos, cotizarán teóricamente por igual a 6,89 euros.


3. Ampliación blancaSe denomina ampliación blanca (o ampliación mixta compensada) a aquella en la que elaccionista acude a la ampliación ejercitando sólo una parte de los derechos desuscripción que posee, vendiendo los restantes de forma que, con el dinero obtenido dela venta de esos derechos, obtenga la cantidad que tiene que pagar por la suscripción delas acciones nuevas, de forma que no tenga que desembolsar nada por la operación.

El accionista que realiza esta operación se ha de plantear el siguiente objetivo:

Importe obtenido por venta derechossuscripción = Precio a pagar por compra acciones

nuevas

Para el caso de un individuo que tenga n acciones (y, por tanto, n derechos desuscripción), tendrá que vender un número «X» de ellos, al precio del mercado (pd),obteniendo: X x pd

Con los restantes derechos (n – X) acude a la ampliación, pudiendo suscribir un númerode acciones nuevas determinado por la proporción de la ampliación:

Número de acciones nuevas a suscribir = (n – X) x Proporción ampliación

El desembolso por la compra de esas acciones nuevas será:

Número de acciones suscritas x Precio de emisión

(n – X) x Proporción ampliación x Precio de emisión

El inversor deberá obligar el cumplimiento de su objetivo de partida:

Importe obtenido por venta derechossuscripción = Precio a pagar por compra acciones

nuevas

X x pd = (n – X ) x Proporción ampliación x Precio de emisión

de donde se despejará el número de derechos a vender (X) para luego determinar elnúmero de acciones nuevas que se pueden comprar.

El número de acciones finalmente suscritas debe redondearse en función de las accionesnuevas de la proporción (siempre por defecto a la unidad).

EJEMPLO 5

La señora Pi posee 500 acciones de la sociedad «CATE, S.A.», la cual amplía su capitalen la proporción de 2 acciones nuevas por cada 5 antiguas, emitiendo a la par lasacciones necesarias, de la misma clase y con los mismos derechos que las antiguas(acciones de 5 euros nominales).

Las acciones se cotizan antes de la ampliación al 240%.

Se pide:

¿Cuántas acciones podrá suscribir la citada señora de forma tal que su posición deefectivo no varíe? La venta de los derechos que sean necesarios se realiza por su valorteórico.

Solución:

5 títulos antiguos valen 5 x 12 .................................... 60,00 €

Por 2 títulos nuevos se desembolsan .......................... 10,00 €

--------------------------------------------------------------------------------

7 títulos después de la ampliación valen ..................... 70,00 €

Valor de una acción antes ampliación .......................... 12,00 €

70,00Valor de una acción después ampliación --------- .........

710,00 €

Valor teórico del derecho = 12,00 – 10,00 = 2,00 €

El planteamiento de la señora Pi consistirá en vender X derechos de los 500 disponiblesal precio de mercado (2,00 euros). A continuación, acudirá a la ampliación ejerciendolos derechos no vendidos (500 – X) según la proporción de la ampliación (2 x 5) yentregando 5 euros por cada acción suscrita.

Para que su posición de tesorería no varíe (no tenga que pagar más dinero del que haobtenido por la venta de los derechos) tendrá que hacer coincidir la cantidad ingresadapor la venta de los derechos con la cantidad a pagar por la suscripción de las nuevasacciones. Así:

Importe obtenido por la venta de X derechos:

X x 2,00 Importe a pagar por la compra de Y acciones:

2(500 – X ) x ---- x 5,00

5

Igualando ambas cuantías:

2X x 2 = (500 – X) x ---- x 5

5

X = 250 derechos a vender

El número de acciones nuevas que se podrá suscribir dependerá de los derechospendientes de ejercer (500 iniciales – 250 vendidos) y la proporción de la ampliación (2x 5). El resultado es:

2Número de acciones a comprar = (500 – 250) x ---- = 100 acciones

5

EJEMPLO 6

Don Óscar posee 1.000 acciones de la sociedad anónima «LOZAVI , S.L.» de 10,00euros de nominal que anuncia una ampliación de capital de una acción nueva por cuatroantiguas, a la par. Manteniendo el mismo nominal y con los mismos derechoseconómicos que las antiguas.

Antes de la ampliación las acciones de esta sociedad cotizan a 12,00 euros.

Don Óscar desea acudir a la ampliación suscribiendo las acciones a las que tengaderecho, disponiendo para ello exclusivamente del dinero obtenido por la venta de losderechos de suscripción que no le sean necesarios.

La venta de los derechos supone un gasto de 0,01 euros/título más un importe total de 6euros por diversos conceptos y la realiza por su valor teórico.

Se pide:

1. Número de acciones que podrá comprar.2. Excedente de la operación.

Solución:

4 títulos antiguos valen 4 x 12 .................................... 48,00 €

Por 1 título nuevo se desembolsan .......................... 10,00 €

--------------------------------------------------------------------------------

5 títulos después de la ampliación valen ..................... 58,00 €

Valor de una acción antes ampliación .......................... 12,00 €

58,00Valor de una acción después ampliación --------- .........

511,60 €

Valor teórico del derecho = 12,00 – 11,60 = 0,40 €

Don Óscar venderá X derechos de los 1.000 disponibles al precio de mercado (0,40euros). A continuación, acudirá a la ampliación ejerciendo los derechos no vendidos(1.000 – X) según la proporción de la ampliación (1 x 4) y entregando 10,00 euros porcada acción suscrita.

Para que su posición de tesorería no varíe (no tenga que pagar más dinero del que haobtenido por la venta de los derechos) tendrá que hacer coincidir la cantidad ingresadapor la venta de los derechos –gastos incluidos– con la cantidad a pagar por lasuscripción de las nuevas acciones. Así:

Importe obtenido por la venta de X derechos:

X x (0,40 – 0,01) – 6,00 Importe a pagar por la compra de Y acciones:

1(1.000 – X) x ---- x 10,00

4

Igualando ambas cuantías:

1X x (0,40 – 0,01) – 6,00 = (1.000 – X) x ---- x 10,00

4

El número de acciones nuevas que se podrá suscribir dependerá de los derechospendientes de ejercer (1.000 iniciales – 868 vendidos) y la proporción de la ampliación(1 x 4). El resultado es:

1Número de acciones a comprar = (1.000 – 868) x ---- = 33 acciones

4

Importe neto obtenido por venta derechos [868 x (0,40 – 0,01) – 6,00] ..... 332,52 €

Importe a pagar por compra acciones (33 x 10,00) ...................................... 330,00 €

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Excedente monetario (332,52 – 330,00) ..................................................... 2,52 €

Aunque en el planteamiento inicial se igualó el importe obtenido en la venta de losderechos con el precio a pagar por las acciones nuevas, se ha realizado un redondeo (porexceso) en el número de derechos vendidos, lo que ha generado ese excedente a favordel accionista.


4. Operaciones al contado con accionesLas operaciones de contado consisten en un intercambio simultáneo de dinero portítulos a la cotización que tenga el valor en ese momento. El vendedor hace entrega delos títulos a su SVB (sociedad de valores de bolsa) o AVB (agencia de valores de bolsa)y recibe el dinero, mientras que el comprador aporta el dinero a su SVB o AVB y recibelos títulos objeto de la operación.

4.1. VALOR DE COMPRA DE LAS ACCIONES

Si no existiesen intermediarios de ningún tipo se pagaría el valor efectivo de los títulos(cotización del valor multiplicado por el número de títulos comprados), tambiéndenominado efectivo bursátil (EB).

EB = Número de acciones x Cotización

Al existir intermediarios el precio real de compra se incrementará en los gastos queéstos repercuten al inversor. La liquidación efectuada finalmente al comprador será:

Efectivo bursátil Cotización x Número de títulos

(+) Cánones de bolsa Canon de gestión bursátil y de liquidación cobrados por la bolsa

(+) Comisión de la SVB o El mayor de aplicar un determinado porcentaje al efectivo de la

AVB operación y un mínimo establecido por la propia SVB

(+) Comisión bancaria

En el caso de que la operación se realice a través de una entidadno autorizada para operar en bolsa (no es miembro del mercado)Funciona igual que la comisión de la sociedad o agencia devalores

(=) Efectivo a pagar por elcliente en la compra (EC)

Efectivo bursátil + Canon bolsa + Comisión sociedad/agenciavalores + Comisión bancaria

EJEMPLO 7

Determinar el importe de la compra de 1.000 acciones de la sociedad X que actualmentecotizan (1 de mayo) a 20,00 euros. La comisión de la sociedad de valores es del 2,5‰(con un mínimo de 8,00 euros). Los cánones de bolsa ascienden a 8,42 euros.

4.2. VALOR DE VENTA DE LAS ACCIONES

Al igual que en la compra, de no haber intermediarios en la operación se cobraría elvalor efectivo (EB) de los títulos (efectivo bursátil = cotización del valor multiplicadopor el número de títulos vendidos).

Efectivo de compra (1.000 x 20) 20.000,00 €

(+) Comisión SVBMáximo (2,5‰ x 20.000; 8)

50,00 €

(+) Cánones bolsa 8,42 €

------------------------------------------------------------------------

(=) Efectivo compra (Ec) (importe a pagar) 20.058,42 €

Al existir intermediarios el precio real de venta se ve disminuido en los gastos que éstosrepercuten al vendedor. La liquidación efectuada finalmente al vendedor será:

Efectivo bursátil Cotización x Número de títulos

(-) Cánones de bolsa Canon de gestión bursátil y de liquidación cobrados por la bolsa

(-) Comisión de la SVB oAVB

El mayor de aplicar un determinado porcentaje al efectivo de laoperación y un mínimo establecido por la propia SVB

(-) Comisión bancariaEn el caso de que la operación se realice a través de una entidadno autorizada para operar en bolsa (no es miembro del mercado)Funciona igual que la comisión de la sociedad o agencia de valores

(=) Efectivo a cobrar por elcliente en la venta (EV)

Efectivo bursátil - Canon bolsa - Comisión sociedad/agenciavalores - Comisión bancaria

EJEMPLO 8

Determinar el importe neto de la venta de las 1.000 acciones de la sociedad X delejemplo anterior, si en el momento de su venta (31 de mayo) cotizan a 22,00 euros. Lacomisión de la sociedad de valores es del 2,5‰ (con un mínimo de 8,00 euros). Loscánones de bolsa ascienden a 8,42 euros.

Efectivo de compra (1.000 x 22) 22.000,00 €

(-) Comisión SVBMáximo (2,5‰ x 22.000; 8)

55,00 €

(-) Cánones bolsa 8,42 €

------------------------------------------------------------------------

(=) Efectivo venta (EV) (importe a cobrar) 21.936,58 €

4.3. BENEFICIO NETO (ANTES DE IMPUESTOS) DE UNA OPERACIÓN DECOMPRA-VENTA

El beneficio neto (o antes de impuestos) se obtiene de restar al efectivo total ob-tenidopor la venta (EV) de un(os) título(s) el precio total pagado en el momento de su compra(Ec). Es decir:

Beneficio neto = BAI = EV – EC

En el caso de la compra-venta de los ejemplos anteriores, el beneficio neto será:

Beneficio neto = 21.936,58 – 20.058,42 = 1.878,16 €

4.4. RENTABILIDAD DE UNA OPERACIÓN DE COMPRA-VENTA

La rentabilidad de una operación la podemos medir por el rédito o por el tanto.

Recordemos que:

• Rédito es el rendimiento de cada unidad monetaria del capital invertido.

BAIRentabilidad = -------- x 100

EC

• Tanto es el rendimiento de cada unidad monetaria del capital invertido y en cadaunidad de tiempo. Habría, por tanto, que enfrentar financieramente el efectivo decompra con el efectivo de la venta para determinar la rentabilidad de la operación (tantoefectivo –i–).

Si calculamos la rentabilidad de la compra-venta de los ejemplos anteriores:

• Rentabilidad en términos de rédito:

1.878,16Rentabilidad = ---------------- x 100 = 9,36%

20.058,42

• Rentabilidad en términos de tanto:

Los cánones de operaciones y liquidación de la Bolsa de Madrid para operaciones derenta variable vigentes en 2006, cobrados tanto por la Sociedad de Compensación yLiquidación de Valores como por la Sociedad Rectora de Bolsa en la actualidad son lossiguientes:

Para el efectivo negociado en el día por un mismo cliente final, valor, precio y sentido,la cantidad que resulte de aplicar la siguiente escala:

Negociación (*) (Tramo en euros) Tarifa aplicable (en euros)

HastaDeDeDeDeDesde

300300,01 a 3.000

3.000,01 a 35.00035.000,01 a 70.000

70.000,01 a 140.000140.000,01

1,102,45 + 2,4 PB4,65 + 1,2 PB6,40 + 0,7 PB9,20 + 0,3 PB

13,40

(*) Si la suma de esta tarifa para un mismo cliente final, valor y sentido es superior a 100 euros, se tomará el importe menor de entre

las siguientes cantidades:

1 punto básico (1/10.000) sobre el efectivo negociado (con un mínimo de 100 euros).

La tarifa ya calculada.

300 euros (tarifa máxima).

Asimismo, en el momento de la liquidación es cuando los intermediarios cobran a susclientes las comisiones de intermediación (corretaje). Actualmente las comisiones quecobran los intermediarios son totalmente libres y el único requisito es su previacomunicación a la Comisión Nacional del Mercado de

Valores (CNMV). Incluso para un mismo intermediario las comisiones que finalmenterepercuten a sus clientes pueden variar de unos a otros, en función de la calidad delmismo, que se determina en base al volumen de operaciones que el inversor realice.

En el supuesto de que la orden sea tramitada a través de una entidad bancaria además delos cánones de bolsa y del corretaje del intermediario, tendrá que pagar una comisión(comisión bancaria) a esa entidad por tramitar la operación. Lo mismo ocurre concualquier intermediario financiero que no sea miembro de una bolsa. Las comisionesbancarias también son libres.


5. Operaciones a crédito con accionesLas operaciones a crédito son un caso concreto de operaciones de contado en las queuna determinada entidad presta, bien dinero (compra a crédito) o títulos (venta acrédito), para que la operación se pueda realizar finalmente como operación de contado.

Este tipo de operaciones permite al inversor operar por importe muy superior al de susdisponibilidades efectivas, al ser un mecanismo de apalancamiento financiero. Se tratapor tanto de operaciones con alto componente especulativo que requieren del inversorun conocimiento más profundo del mercado.

La operativa a crédito esta regulada básicamente por la Orden Ministerial de 25 demarzo de 1991 sobre Sistema de Crédito al Mercado, que permite otorgar créditos devalores y de efectivo tanto a las sociedades de valores como a las entidades oficiales decrédito, los bancos y cajas de ahorro, incluidas la Confederación Española de Cajas deAhorro, la Caja Postal de Ahorros y las cooperativas de crédito. No obstante, en laactualidad destaca una entidad bancaria que ha desarrollado esta práctica y es BancovalS.A., que ha diseñado el sistema denominado CREDIBOLSA.

Las características más importantes del sistema CREDIBOLSA son las siguientes:

1. Quién puede operar a créditoCualquier inversor con capacidad legal para contratar en el mercado bursátilpuede operar a crédito. Los trámites para acceder a la operatoria de crédito almercado se realizan entre el inversor final, su intermediario financiero yBancoval, mediante la firma de un contrato marco, válido para todas lasoperaciones que se efectúen en esta modalidad.

2. Sobre qué valores se puede operar a créditoSerán las Sociedades Rectoras de las Bolsas de Madrid, Barcelona y Valencialas que determinarán los valores sobre los que se pueda operar, que en laactualidad son los valores que componen el índice IBEX-35.

3. Cómo se realizan las operaciones a créditoUna vez firmado el contrato para operar a crédito, las compras y las ventas sellevan a cabo a través del intermediario financiero habitual, comunicándole queéstas se realizan con crédito al mercado.

4. Importe mínimo y máximo del créditoLas operaciones de compra y venta a crédito deberán realizarse por un mínimode 1.202 euros, siendo el importe máximo del crédito el establecido en elcontrato marco de cada inversor.

5. Condiciones económicas de las operaciones a créditoLa formalización del contrato marco otorgado por Bancoval para la realizaciónde operaciones a crédito conlleva una comisión de apertura o ampliación de lalínea de crédito del 1‰, con un mínimo de 30 euros. No obstante, Bancovalcobrará una comisión por cada operación celebrada al amparo del contrato quese fijará en un determinado porcentaje (en la actualidad un 1‰) del valorefectivo de la operación.En cuanto al tipo de interés e importe de las garantías exigidas por Bancoval, asícomo las variaciones de las mismas, serán fijadas por Bancoval y comunicadas alas Sociedades Rectoras de las Bolsas y publicadas en los Boletines Oficiales deCotización de las mismas.

6. Duración de las operaciones con crédito al mercadoLas compras y ventas con crédito al mercado no tienen un plazo mínimo deduración, pudiendo realizarse en todo momento.El plazo máximo de duración ovencimiento final de las operaciones con crédito al mercado depende de su fechade contratación y se estructura en tres períodos: un vencimiento inicial, y unmáximo de dos prórrogas automáticas, salvo cancelación por parte del cliente.• Para las compras y ventas efectuadas en la primera quincena hábil de un mes,el vencimiento inicial será el último día hábil del mismo mes, con la posibilidadde ampliar este plazo mediante dos prórrogas de un mes natural cada una deellas, de forma que la máxima duración de cada operación oscilaría entre dosmeses y medio y tres.• Para las compras y ventas efectuadas en la segunda quincena hábil de un mes,el vencimiento inicial será el último día hábil del mes siguiente, con laposibilidad de ampliar este plazo mediante dos prórrogas de un mes natural cadauna de ellas, de forma que la máxima duración de las operaciones oscilaría entretres y tres meses y medio.

7. Cancelación de las operaciones con crédito al mercadoEl inversor puede cancelar sus compras y ventas con crédito al mercado encualquier momento antes de la fecha de su vencimiento inicial o del final de lasprórrogas (cancelación voluntaria), mediante la realización de la correspondienteoperación de signo contrario a la inicial o mediante la entrega del efectivo o delos valores prestados.Con independencia de los plazos citados anteriormente, Bancoval procederá a lacancelación automática de las operaciones con crédito al mercado en el caso deincumplimiento de las obligaciones económicas y al término del plazo de lasegunda prórroga.

5.1. Compras a crédito 5.2. Ventas a crédito

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios » 5. Operaciones acrédito con acciones

5.1. Compras a crédito5.1.1. Perfil del inversor

El comprador a crédito es un inversor con un sentimiento alcista, es decir, piensa que lacotización del título va a subir a corto plazo, y, aunque no tiene dinero suficiente pararealizar la operación de contado, decide comprar cuando el título está bajo para vendermás tarde a un precio superior.

5.1.2. Realización de la operación

Una vez que el contrato marco está firmado, el inversor no tiene más que operar como side una operación de contado se tratara, introduciéndose la orden de la misma forma, sibien habrá que comunicar al intermediario el hecho de tratarse de una operación acrédito.

5.1.3. Crédito de Bancoval

En el momento de dar la orden de compra el inversor tiene concedido de formaautomática un crédito por importe del 75% del efectivo de la operación realizada, deforma que solamente aportará en efectivo el 25% restante, así como todos los gastosinherentes a una compra de contado (derechos de bolsa y corretajes del intermediario) yla liquidación efectuada por Bancoval, en la actualidad un 1‰ del efectivo bursátil.

5.1.4. Intereses de la operación a crédito

Bancoval aplicará el tipo de interés vigente en el momento en que se inicia cada períodoen que se estructura la operación sobre el montante del crédito concedido. El inversordeberá abonar los intereses devengados al finalizar el plazo del primer vencimiento, altérmino de la primera y segunda prórroga, en su caso, y a la cancelación de laoperación.

Para el cálculo de los intereses se considerarán días naturales pero se dividirán por 360para pasarlos a años.

5.1.5. Garantías complementarias

Ante subidas de la cotización (es lo previsible) no se hará aportación de ningún tipo. Encaso contrario, ante descensos de la cotización del valor, el inversor deberá aportargarantías complementarias en la fecha en la que se produzca una bajada igual o superioral 10% con relación al último precio de cálculo de las mismas.

El importe total de las garantías deberá cubrir en todo momento el 25% del valorefectivo de los títulos a precios de mercado más la pérdida derivada de la diferencia decotización respecto al precio inicial de la operación.

Para el cómputo de las garantías adicionales se tendrá en cuenta el importe de losderechos económicos devengados durante la vigencia de las posiciones.

Se efectuará devolución de garantías complementarias cuando la cotización del valorsuba más de un 10% respecto al último cálculo de garantías efectuado.

5.1.6. Depósito de garantías

Los valores adquiridos y el total de las garantías económicas aportadas por el inversorquedarán depositados en Bancoval hasta la cancelación del crédito.

5.1.7. Devengo de derechos económicos durante la vigencia del crédito

El titular de una compra a crédito tiene derecho a percibir todos los derechoseconómicos que se devenguen durante el período de vigencia del crédito. En estesentido si durante el transcurso de la operación la sociedad emisora de los títulosrepartiera dividendos, éstos corresponderían al comprador a crédito. El importe líquidode los dividendos quedará depositado en Bancoval e incrementará las garantíasaportadas.

En el caso de las ampliaciones de capital, el inversor podrá disponer de los derechos desuscripción correspondientes a los valores comprados en la fecha de comienzo de laampliación, a fin de que pueda suscribir las acciones que le puedan corresponder, ovender dichos derechos en bolsa. Para ello, Bancoval entregará los derechos alintermediario, siendo a partir de ese momento una operación ajena al propio crédito.

5.1.8. Remuneración de las garantías

Bancoval remunera las garantías complementarias aportadas por el inversor y procede alabono de los correspondientes intereses:

En el momento de la cancelación. En caso de devolución. Al finalizar el plazo del primer vencimiento. Al término de la primera y segunda prórroga.

EJEMPLO 9

El 26 de agosto el señor Nieto compra a crédito 1.000 acciones de la S.A. «Y», a travésdel sistema Credibolsa de Bancoval. Las características de la operación son:

Cotización bursátil de las acciones: 11,90 euros Garantía inicial: 25% Comisión intermediario: 2,5‰ Canon sociedad rectora: 7,02 euros Liquidación de Bancoval: 1‰ Tipo de interés del prestamo: 8% Remuneración de las garantías: 3% (retención 15%)

Se sabe además:

• El 30 de septiembre, no habiéndose producido el crecimiento previsto de lascotizaciones, el señor Nieto acepta una prórroga de la operación, hasta el 31 de octubre.

• El 8 de octubre la S.A. «Y» paga un dividendo líquido de 0,14 euros por acción.

• El 15 de octubre la cotización de las acciones de la S.A. «Y» es de 10,40 euros.

• El día 31 de octubre, al encontrarse el señor Nieto en situación de pérdidas, acepta unasegunda prórroga, siendo su vencimiento el 30 de noviembre.

• El día 15 de noviembre la S.A. «Y» realiza una ampliación de capital con lascaracterísticas:

– 1 nueva por 4 antiguas, al 150%– Nominal de las acciones: 3 euros– Cotización de las acciones el 15 de noviembre: 12,92 eurosEl día 16 de noviembre elvalor bursátil del derecho de suscripción es de 2,10 euros.

• El día 20 de noviembre la cotización de las acciones de la S.A. «Y» es de 12,92 eurospor lo que el señor Nieto decide cancelar su posición y da orden de venta a suintermediario de los títulos comprados. Las características de esta operación son:

– Comisión intermediario: 2,5‰– Canon sociedad rectora: 7,02 euros– Liquidación Bancoval: 1‰

Se pide:

Liquidación efectuada al señor Nieto. Resultado de la operación. Rentabilidad.

Solución:

Liquidación y resultado de la compra a crédito

Fecha Concepto Descripción Importe

26 agosto Liquidación compra Garantía inicial [25% (1.000 x 11,90)]Comisión intermed. [2,5‰ (1.000 x 11,90)]Canon bolsaLiquidación Bancoval [1‰ (1.000 x 11,90)]

(2.975,00)(29,75)

(7,02)(11,90)

30 sept. Final 1.er vencimiento Liquidación intereses (71,40)

Inicio 1.ª prórroga [0,08 x (0,75 x 11.900,00) x 36/360]Remuneración garantías[(0,03 x 0,85) x 2.975,00 x 36/360]

7,59

8 octubre Dividendo Importe líquido (0,14 x 1.000)Incremento garantías

140,00(140,00)

15octubre

Garantíacomplementaria

Pérdida potencial[1.000 x (11,90 – 10,40) = 1.500,00]Garantía exigida[25% x 1.000 x 10,40 = 2.600,00]Garantía existente (2.975,00)Dividendos (140,00)Diferencia [(1.500 + 2.600)– (2.975 + 140)] = – 985,00

(985,00)

31octubre

Final 1.ª prórrogaInicio 2.ª prórroga

Liquidación intereses[0,08 x (0,75 x 11.900,00) x 31/360]Remuneración garantías[(0,03 x 0,85) x 2.975,00 x 31/360][(0,03 x 0,85) x 140,00 x 23/360][(0,03 x 0,85) x 985,00 x 16/360]

(61,48)

7,88

16 nov. Ampliación capital Venta derechos (2,10 x 1.000) 2.100,00

20 nov. Cancelación voluntariaImporte venta (12,92 x 1.000)Comisión intermed. [2,5‰ (12,92 x 1.000)]Canon bolsaLiquidación intereses[0,08 x (0,75 x 11.900,00) x 20/360]Remuneración garantías[(0,03 x 0,85) x (2.975,00 + 140,00 + 985,00)x 20/360]Liquidación Bancoval[1‰ (12,92 x 1.000)]Devolución garantías (inicial, compl y divid.)Cancelación compra (11,90 x 1.000)

12.920,00(32,30)

(7,02)(39,67)

5,81

(12,92)

4.100,00(11.900,00)

RESULTADO 3.007,82

Rentabilidad de la operación

Habrá que tener en cuenta el resultado obtenido y la inversión efectuada:

ResultadoRentabilidad = ---------------------- x 100

Capital invertido

3.007,82Rentabilidad = ---------------------------------------------------------- x 100 = 75,03%

(2.975,00 + 29,75 + 7,02 + 11,90) + 985,00

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios » 5. Operaciones acrédito con acciones

5.2. Ventas a crédito5.2.1. Perfil del inversor

El vendedor a crédito es un inversor con un sentimiento bajista, es decir, piensa que lacotización del título va a bajar a corto plazo y decide vender cuando el título está altopara comprar más tarde a un precio inferior. La idea es vender caro y comprar barato.

5.2.2. Realización de la operación

Una vez firmado el contrato marco entre el inversor final, el intermediario y Bancoval,el inversor ordena a su intermediario la operación de venta en bolsa, como si de unaoperación de venta al contado se tratara, notificándole que se realizará con crédito almercado.

Previamente a su ejecución en el mercado, el intermediario financiero comprobará conBancoval la disponibilidad de los valores necesarios para la operación.

5.2.3. Crédito de Bancoval

En este tipo de operaciones lo que Bancoval realiza es un préstamo de títulos, en estesentido Bancoval prestará la totalidad de los valores vendidos para efectuar laliquidación como si de una operación de contado se tratara.

Inicialmente, la operación implica una aportación en efectivo correspondiente al 35%del efectivo de la venta en concepto de garantía inicial, así como la totalidad de losgastos inherentes a la operación: derechos de bolsa, comisión intermediario yliquidación de Bancoval (1‰ del efectivo bursátil).

5.2.4. Intereses del préstamo de títulos

En la actualidad el vendedor a crédito no deberá pagar ningún tipo de interés por elpréstamo de títulos.


La garantía inicial aportada por el inversor es remunerada por Bancoval a tipos demercado, procediendo al abono de los correspondientes intereses al finalizar el plazo delprimer vencimiento, al término de la primera y segunda prórroga, en su caso, y en lacancelación de la operación.

Bancoval aplicará el tipo de interés vigente en el momento en que se inicia cada períodoen que se estructura la operación sobre el montante del crédito concedido. El inversorcobrará los intereses devengados, que serán ingresados en su cuenta en los plazosindicados.

Para el cálculo de estos intereses se considerarán las mismas reglas que en los interesesde las compras a crédito.

5.2.6. Garantías complementarias

El inversor deberá aportar garantías complementarias a partir de la fecha en la que seproduzca un incremento de la cotización de los valores vendidos igual o superior al 10%con relación al último precio de cálculo de las mismas.

El montante total de las garantías deberá cubrir en todo momento el 25% del valorefectivo de los títulos a precios de mercado más la pérdida derivada de la diferencia decotización respecto al precio inicial de la operación.

Se efectuará devolución de garantías complementarias cuando la cotización del valorsuba más de 10% respecto al último cálculo de garantías efectuado.

5.2.7. Depósito de garantías

El importe de la venta a crédito al mercado y el total de las garantías económicasaportadas por el vendedor quedará depositado en Bancoval hasta la cancelación de laoperación.


Bancoval remunera las garantías inicial y complementarias aportadas por el inversor yprocede al abono de los correspondientes intereses:

En el momento de la cancelación. En caso de devolución. Al finalizar el plazo del primer vencimiento. Al término de la primera y segunda prórroga.

5.2.9. Devengo de derechos económicos durante la vigencia de la operación

Los derechos económicos que se puedan devengar durante el período de vigencia delpréstamo de los títulos pertenecen al prestamista de los mismos, por lo que el vendedorde los títulos a crédito está obligado a aportar, en el momento del devengo, la cantidadequivalente al importe bruto de los derechos económicos (dividendos, primas deasistencia a juntas, etc.) que correspondan a los valores vendidos con crédito al mercadodurante el período de vigencia de la operación.

Esto ocurrirá si hubiera un reparto de dividendos, debiéndose pagar en efectivo aBancoval el importe bruto de los mismos, quien a su vez se los entregará a quiensuministró a Bancoval los títulos objeto de préstamo posterior.

Respecto a las ampliaciones de capital, el vendedor a crédito deberá pagar a Bancovalel precio de mercado de los derechos de suscripción que conlleven los títulos querecibió en préstamo.

Estas aportaciones no perjudican ni benefician al vendedor a crédito, puesto que laminusvalía que estas aportaciones le suponen se compensa con un menor precio a pagarpor la compra futura de las acciones por la teórica bajada que experimentan las accionesdespués del reparto de dividendos o de una ampliación.

EJEMPLO 10

El señor Ruiz vende a crédito el 26 de agosto 1.000 acciones de la S.A. «S», a través deBancoval, siendo las características de la operación las siguientes:

Cotización bursátil de las acciones: 28,85 euros Garantía inicial: 25% Comisión intermediario: 2,5‰ Cánones sociedad rectora: 8,42 euros Liquidación Bancoval: 1‰ Remuneración de las garantías: 3% (retención 15%)

• El 30 de septiembre, no habiéndose producido la baja prevista en las cotizaciones, elseñor Ruiz acepta la prórroga de un mes, cuyo vencimiento es el 31 de octubre.

• El 8 de octubre la S.A. «S» paga un dividendo bruto de 0,30 euros por acción.

• El 15 de octubre la cotización de las acciones de la S.A. «S» es de 32,00 euros.

• El día 31 de octubre, al encontrarse el señor Ruiz en situación de pérdidas, acepta unasegunda prórroga de un mes, siendo su vencimiento el 30 de noviembre.

• El día 15 de noviembre la S.A. «S» realiza una ampliación de capital con lassiguientes características:

– 1 nueva por 10 antiguas, a la par– Nominal de las acciones: 3,01 euros– Cotización de las acciones el 4 de junio: 28,25 euros

El día 16 de noviembre el valor bursátil del derecho de suscripción es de 2,22 euros.

• El día 20 de noviembre la cotización de las acciones de la S.A. «S» es de 22,84 eurospor lo que el señor Ruiz decide cancelar su posición y da orden de compra a suintermediario de los títulos vendidos inicialmente. Las características de esta operaciónson:

– Comisión intermediario: 2,5‰– Canon sociedad rectora: 8,42 euros– Liquidación Bancoval: 1‰

Se pide:

Liquidación efectuada al señor Ruiz. Resultado de la operación. Rentabilidad.

Solución:

Liquidación de la venta a crédito

Fecha Concepto Descripción Importe

26 agosto Liquidación venta Garantía inicial [25% (1.000 x 28,85)]Comisión intermed. [2,5‰ (1.000 x 28,85)]Canon bolsaLiquidación Bancoval [1‰ (1.000 x 28,85)]

(7.212,50)(72,13)

(8,42)(28,85)

30 sept. Final 1.er vencimientoInicio 1.ª prórroga

Remuneración garantías[(0,03 x 0,85) x 7.212,50 x 36/360]

18,39

8 octubre Dividendo Importe bruto (0,30 x 1.000) (300,00)

15octubre

Garantíacomplementaria

Pérdida potencial [1.000 x (32,00 – 28,85) =3.150,00]Garantía exigida[25% x (1.000 x 32,00) = 8.000,00]Garantía existente (7.212,50)

(3.937,50)

Diferencia (7.212,50 – 3.150,00 – 8.000,00)

31octubre Final 1.ª prórroga

Inicio 2.ª prórroga

Remuneración garantías[(0,03 x 0,85) x 7.212,50 x 31/360][(0,03 x 0,85) x 3.937,50 x 16/360]

15,834,46

16 nov. Ampliación capital Compra derechos (2,22 x 1.000) (2.220,00)

20 nov. Cancelación voluntariaImporte compra (22,84 x 1.000)Comisión intermed. [2,5‰ (22,84 x 1.000)Canon bolsaRemuneración garantías[(0,03 x 0,85) x (7.212,50 + 3.937,50) x20/360]Liquidación Bancoval[1‰ (22,84 x 1.000)]Devolución garantías (inicial y compl.)Cancelación venta (28,85 x 1.000)

(22.840,00)(57,10)

(8,42)15,80

(22,84)

11.150,0028.850,00

RESULTADO 3.346,72

Rentabilidad de la operación

Habrá que tener en cuenta el resultado obtenido y la inversión efectuada:

3.346,72Rentabilidad = ------------------------------------------------------------------------------- x 100= 24,24%

(7.212,50 + 72,13 + 8,42 + 28,85) + 300 + 3.937,50 + 2.220


6. Deuda públicaSe entiende por Deuda Pública al conjunto de títulos de renta fija (títulos representativosde una parte alícuota de un crédito concedido contra la entidad que los emite) emitidospor el Estado y que se corresponden con la deuda que tiene contraída con los inversoresque han suscrito dichos valores, que cuenta con la garantía del Estado.

La actividad del mercado de deuda pública ha aumentado en los últimos años. Entre losfactores que han determinado esta evolución pueden destacarse:

Un sistema eficiente de representación de los valores mediante anotaciones encuenta, gestionado por una «Central de Anotaciones» radicada en el Banco deEspaña.

Un sistema transparente y competitivo de negociación, con un alto grado deliquidez, garantizado por la existencia de un grupo selecto de entidades –Creadores de Mercado–, y un amplio espectro de operaciones –contado, plazo,repos–, que asegura la cobertura de las más diversas necesidades para elinversor.

Un sistema flexible y totalmente seguro de compensación y liquidación deoperaciones entre miembros del mercado, gestionado por la «Central deAnotaciones», y conectado con los principales mercados internacionales.

La existencia de mercados de productos derivados altamente desarrollados quepermiten la cobertura de riesgos y la gestión activa de carteras.

6.1. Instrumentos de deuda del Estado 6.2. Operaciones que se realizan 6.3. Cálculo de rentabilidades 6.4. Otros activos de renta fija

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios » 6. Deuda pública

6.1. Instrumentos de deuda del EstadoEl Tesoro emite de modo regular y en una gama estándar y estable de instrumentos cuyavida va desde el año hasta los 30 años. Además, la existencia de un mercado de reposaltamente desarrollado otorga liquidez a las inversiones a corto plazo y facilita lagestión activa de los títulos de Deuda Pública.

El Director general del Tesoro y Política Financiera emitirá Deuda del Estado en eurosde las siguientes modalidades: Letras del Tesoro, Bonos del Estado y Obligaciones delEstado.

La Deuda del Estado estará representada exclusivamente mediante anotaciones encuenta registradas en alguna de las entidades gestoras autorizadas, esto es, no existentítulos físicos si bien a los compradores se les entrega un resguardo que garantiza que laoperación de compra o venta se ha realizado y que las condiciones se ajustan a lopactado.

6.1.1. Letras del Tesoro

Se crearon en junio de 1987, cuando se puso en funcionamiento el Mercado de DeudaPública en Anotaciones y se caracterizan por:

1. Emitidas al descuento, por lo que su precio de adquisición es inferior al importe que elinversor recibirá en el momento del reembolso (nominal de 1.000 euros). La diferenciaentre el valor de reembolso de la letra y su precio de adquisición será el interés orendimiento generado por la Letra del Tesoro.

2. A plazo no superior a dieciocho meses, actualmente el Tesoro emite Letras del Tesorocon tres plazos distintos:

• Letras del Tesoro a seis meses.• Letras del Tesoro a un año.• Letras del Tesoro a dieciocho meses.

3. Emitidas para su uso como instrumento regulador de la intervención en los mercadosmonetarios, sin perjuicio de que los fondos obtenidos por su emisión se apliquen acualquiera de los destinos previstos en la Ley General Presupuestaria.

6.1.2. Bonos y obligaciones del Estado

La Deuda del Estado recibirá la denominación de bonos del Estado o de obligacionesdel Estado según que su plazo de vida se encuentre entre dos y cinco años o sea superiora este plazo, respectivamente. Tienen las siguientes características:

1. Son títulos con interés periódico, en forma de «cupón», a diferencia de las Letras delTesoro, que pagan los intereses al vencimiento.

2. Su valor nominal es de 1.000 euros, siendo el mínimo que puede solicitarse en unasubasta, siendo las peticiones por importes múltiplos de 1.000 euros.

3. Las emisiones de estos valores se llevan a cabo mediante sucesivos tramos: el mismobono se subasta en varios meses consecutivos, hasta que la emisión alcanza unvolumen en circulación elevado que asegure que los valores sean muy líquidos.

4. El cupón que devenga se paga cada año y representa el tipo de interés «nominal» delbono o la obligación.

5. El valor de amortización será la par, salvo que por Resolución de la Dirección Generaldel Tesoro y Política Financiera se disponga un valor distinto o se trate de amortizaciónanticipada por recompra o canje.

En la actualidad el Tesoro emite:

Bonos a tres y cinco años. Obligaciones a diez, quince y treinta años.

6.1.3. Bonos y obligaciones segregables. Los strips de Deuda Pública

Los bonos y obligaciones del Estado que se emiten desde julio de 1997, denominados«segregables», presentan dos características diferenciales frente a los bonos yobligaciones del Estado emitidos con anterioridad a dicha fecha:

1. Posibilidad de «segregación», esto es, posibilidad de separar cada bono en «n» valores(los llamados strips), uno por cada pago que la posesión del bono dé derecho a recibir.Así, de un bono a 5 años podrían obtenerse 6 strips: uno por cada pago de cupónanual, y un sexto por el principal, al cabo de los 5 años. Cada uno de estos strips puedeser posteriormente negociado de forma diferenciada del resto de strips procedentesdel bono.Esta operación de segregación transforma un activo de rendimiento explícito (bono uobligación) en una serie de valores de rendimiento implícito –bonos cupón cero–, cuyafecha de vencimiento y valor de reembolso coinciden con los de los cupones yprincipal del activo originario. Los bonos cupón cero tienen unas característicasfinancieras peculiares que los hacen especialmente atractivos para determinadosinversores. Los strips son una forma de cubrir esa demanda sin necesidad de aumentarla gama de valores emitidos por el Tesoro. Además, se permite realizar la operación

inversa a la descrita, es decir, la reconstitución del activo originario a partir de losbonos cupón cero procedentes de su segregación.

2. Su tratamiento fiscal más favorable para sujetos pasivos del Impuesto sobreSociedades: el cupón de los bonos y obligaciones del Estado segregables no está sujetoa retención, y tampoco sufren retención los rendimientos implícitos generados por losbonos cupón cero (strips) procedentes de su segregación.Todo el resto de características de los bonos y obligaciones segregables (plazos deemisión, frecuencia de cupón, método de emisión…) son idénticas a las de los bonos yobligaciones «no segregables».El Tesoro comenzó a emitir valores segregables en julio de 1997. La segregaciónpropiamente dicha y la negociación de los strips resultantes se inició en enero de 1998.

6.2. Operaciones que se realizanTodos los valores del Tesoro son de «renta fija», es decir, generan una rentabilidadanual constante y conocida desde el momento de la compra, siempre que se mantenganhasta el vencimiento.

No obstante, cuando el inversor decide vender sus títulos en el mercado secundarioantes del vencimiento, puede sufrir pérdidas sobre la inversión que realizó inicialmente,lo que no sucede si los títulos se mantienen hasta su vencimiento. Esta pérdida puededarse si los tipos de interés en el mercado han aumentado desde que realizó la inversión;en este caso, el derecho que otorga una letra, bono u obligación a recibir ciertascantidades en el futuro pasa a tener un menor valor actual o precio de mercado. Conello, la cantidad que reciba el inversor puede ser inferior a la que invirtió inicialmente.

Por tanto, la seguridad plena que otorgan los valores del Tesoro de no sufrir pérdidas enla inversión se da solamente cuando los valores se mantienen hasta su vencimiento; si sevenden antes de esta fecha, se asume el riesgo de que la venta se realice a un precioinferior al de adquisición de los valores, según las circunstancias de mercado. Lasvariaciones en los tipos de interés también pueden jugar a favor del inversor (cuandoevolucionan en sentido bajista), con lo que le reportarían un beneficio superior alesperado al realizar la inversión.Por otra parte, las entidades financieras generalmente tienen establecidas en sus tarifasunas comisiones por la compra o venta de valores. Su importe se descontará del preciode venta o se sumará al precio de compra, según proceda, lo que encarecerá la operacióny mermará la rentabilidad obtenida.

La forma de calcular la rentabilidad o rendimiento efectivo de una inversión en deudadepende del tipo de valor adquirido.

6.3.1. Cálculo de la rentabilidad de las Letras del Tesoro

Las Letras del Tesoro se emiten al descuento, es decir, por un precio inferior a los 1.000euros nominales que el Tesoro devolverá en la amortización. De esta manera, el capitalinvertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que se obtienen

serán la diferencia entre ese precio de adquisición (Pa) y el precio que se obtenga por laletra cuando se venda (Pv) o cuando se amortice (Pv = 1.000 euros). Por tanto:

de donde:

Pv – Pa 360i% = ------------ x -------- x 100

Pa t

siendo t el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder.

Cuando la Letra del Tesoro tenga vencimiento superior a un año natural, se empleacapitalización compuesta, en cuyo caso la fórmula anterior pasa a ser:

Pa x (1 + i)t/360 = Pv

de donde:

EJEMPLO 16

Adquisición el 14 de febrero de una Letra del Tesoro a la que le quedan 150 días para suvencimiento. Precio de adquisición 986 euros (98,60%). ¿Cuál será la rentabilidad alvencimiento?

Solución:

Al ser la operación de menos de un año (150 días < año natural) la rentabilidad delcomprador se calculará en régimen de simple:

1.000 – 986 360i% = ----------------- x --------- x 100 = 3,41%

986 150

EJEMPLO 17

Adquisición de una Letra del Tesoro a la que le quedan 390 días para su vencimiento aun precio de 946 euros. ¿Cuál será la rentabilidad al vencimiento? Y si 10 días antes delvencimiento se vende por 990 euros, ¿cuál sería la rentabilidad de la operación?

Solución:

Al ser las dos operaciones de más de un año (390 días > año natural) la rentabilidad delcomprador se calculará en régimen de compuesta:

En el vencimiento:

En el supuesto de la venta anticipada:

6.3.2. Cálculo de la rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado

Los bonos y obligaciones del Estado son valores que se emiten con un tipo de interésnominal anual –cupón– que se paga una vez al año, aunque el primer cupón de cadaemisión a veces se percibe antes o después de que haya transcurrido exactamente unaño. Se emiten a un precio que, dependiendo del mercado, puede ser coincidente con elvalor nominal (1.000 euros), más alto o más bajo, y se amortizan a la par, es decir, arazón de 1.000 euros por título.

En general, el cupón no es una buena medida de la rentabilidad que el bono reporta a supropietario; la rentabilidad suele medirse por la tasa interna de rendimiento (TIR) de lainversión, que es el tipo de interés que asegura la igualdad financiera entre el capital quese invierte y el valor actualizado de todos los cobros.

La rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado se obtiene con la siguienteigualdad:

donde:

i: Rentabilidad anual.Pa: Precio de adquisición, sea por suscripción o por compra en el mercado secundario,incluido el cupón corrido.Pv: Precio de venta o de amortización.N: Número de cupones desde la fecha de cálculo hasta la de vencimiento de laoperación.t: Días entre la fecha de compra y la de venta o amortización.C: Importe bruto de cada cupón.tj: Días entre la fecha valor y el vencimiento de cada cupón.

EJEMPLO 18

Adquisición, el 4 de mayo de X0, de un bono del Estado que cotiza a un precio «ex-cupón» del 108,60% (1.086 euros). Cupón del 7,8% (78 euros) pagadero el 15 de abrilde cada año, y con vencimiento el 15 de abril de X3. ¿Cuál será la rentabilidad alvencimiento?

Solución:

Para calcular la rentabilidad al vencimiento habrá que conocer primero el precio deadquisición que será igual al precio de cotización más el cupón corrido.

El cupón corrido se calcula mediante la expresión:

Importe del cupón x número días desde el último cupón----------------------------------------------------------------------

Número de días del período de cupón

como en este caso han transcurrido 19 días desde el 15-04-X0 hasta el 4-05-X0, elcupón corrido será:

19Cupón corrido = 78,00 x ------- = 4,06 €

365

Luego, el precio de adquisición es:

1.086 + 4,06 = 1.090,06 €

Gráficamente, la operación que resulta es:

y aplicando la fórmula anterior se podrá obtener la rentabilidad obtenida:

1.090,06 = 78 x (1 + i)–346/365 + 78 x (1 + i)–711/365 + 1.078 x (1 + i)–1.076/365

i = TIR = 4,61%

6.3.3. Cálculo de la rentabilidad de un repo

En las adquisiciones temporales de deuda o repos (y también en el caso de lasoperaciones «simultáneas», idénticas a los repos desde el punto de cálculo), elcomprador acuerda en el momento de la compra el precio de adquisición y también lafecha en la que la entidad le recomprará la deuda así como el precio al que se efectuaráesa recompra.

Por ello desde el primer momento el comprador conoce la rentabilidad final de suinversión.

EJEMPLO 19

El 15 de marzo de X0 se pacta una operación de venta con pacto de recompra a 30 días,sobre una Letra del Tesoro, siendo el precio acordado para la primera compraventa de930 euros y para la segunda 933 euros. ¿Cuál será la rentabilidad de la operación?

Solución:

La rentabilidad obtenida en esta operación será:

i = 3,87%

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios » 6. Deudapública

6.3. Cálculo de rentabilidadesTodos los valores del Tesoro son de «renta fija», es decir, generan una rentabilidadanual constante y conocida desde el momento de la compra, siempre que se mantenganhasta el vencimiento.

No obstante, cuando el inversor decide vender sus títulos en el mercado secundarioantes del vencimiento, puede sufrir pérdidas sobre la inversión que realizó inicialmente,lo que no sucede si los títulos se mantienen hasta su vencimiento. Esta pérdida puededarse si los tipos de interés en el mercado han aumentado desde que realizó la inversión;en este caso, el derecho que otorga una letra, bono u obligación a recibir ciertascantidades en el futuro pasa a tener un menor valor actual o precio de mercado. Conello, la cantidad que reciba el inversor puede ser inferior a la que invirtió inicialmente.

Por tanto, la seguridad plena que otorgan los valores del Tesoro de no sufrir pérdidas enla inversión se da solamente cuando los valores se mantienen hasta su vencimiento; si sevenden antes de esta fecha, se asume el riesgo de que la venta se realice a un precioinferior al de adquisición de los valores, según las circunstancias de mercado. Lasvariaciones en los tipos de interés también pueden jugar a favor del inversor (cuandoevolucionan en sentido bajista), con lo que le reportarían un beneficio superior alesperado al realizar la inversión.Por otra parte, las entidades financieras generalmente tienen establecidas en sus tarifasunas comisiones por la compra o venta de valores. Su importe se descontará del preciode venta o se sumará al precio de compra, según proceda, lo que encarecerá la operacióny mermará la rentabilidad obtenida.

La forma de calcular la rentabilidad o rendimiento efectivo de una inversión en deudadepende del tipo de valor adquirido.

6.3.1. Cálculo de la rentabilidad de las Letras del Tesoro

Las Letras del Tesoro se emiten al descuento, es decir, por un precio inferior a los 1.000euros nominales que el Tesoro devolverá en la amortización. De esta manera, el capitalinvertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que se obtienenserán la diferencia entre ese precio de adquisición (Pa) y el precio que se obtenga por laletra cuando se venda (Pv) o cuando se amortice (Pv = 1.000 euros). Por tanto:

de donde:

Pv – Pa 360i% = ------------ x -------- x 100

Pa t

siendo t el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder.

Cuando la Letra del Tesoro tenga vencimiento superior a un año natural, se empleacapitalización compuesta, en cuyo caso la fórmula anterior pasa a ser:

Pa x (1 + i)t/360 = Pv

de donde:

EJEMPLO 16

Adquisición el 14 de febrero de una Letra del Tesoro a la que le quedan 150 días para suvencimiento. Precio de adquisición 986 euros (98,60%). ¿Cuál será la rentabilidad alvencimiento?

Solución:

Al ser la operación de menos de un año (150 días < año natural) la rentabilidad delcomprador se calculará en régimen de simple:

1.000 – 986 360i% = ----------------- x --------- x 100 = 3,41%

986 150

EJEMPLO 17

Adquisición de una Letra del Tesoro a la que le quedan 390 días para su vencimiento aun precio de 946 euros. ¿Cuál será la rentabilidad al vencimiento? Y si 10 días antes delvencimiento se vende por 990 euros, ¿cuál sería la rentabilidad de la operación?

Solución:

Al ser las dos operaciones de más de un año (390 días > año natural) la rentabilidad delcomprador se calculará en régimen de compuesta:

En el vencimiento:

En el supuesto de la venta anticipada:

6.3.2. Cálculo de la rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado

Los bonos y obligaciones del Estado son valores que se emiten con un tipo de interésnominal anual –cupón– que se paga una vez al año, aunque el primer cupón de cadaemisión a veces se percibe antes o después de que haya transcurrido exactamente unaño. Se emiten a un precio que, dependiendo del mercado, puede ser coincidente con elvalor nominal (1.000 euros), más alto o más bajo, y se amortizan a la par, es decir, arazón de 1.000 euros por título.

En general, el cupón no es una buena medida de la rentabilidad que el bono reporta a supropietario; la rentabilidad suele medirse por la tasa interna de rendimiento (TIR) de lainversión, que es el tipo de interés que asegura la igualdad financiera entre el capital quese invierte y el valor actualizado de todos los cobros.

La rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado se obtiene con la siguienteigualdad:

donde:

i: Rentabilidad anual.Pa: Precio de adquisición, sea por suscripción o por compra en el mercado secundario,incluido el cupón corrido.Pv: Precio de venta o de amortización.N: Número de cupones desde la fecha de cálculo hasta la de vencimiento de laoperación.t: Días entre la fecha de compra y la de venta o amortización.C: Importe bruto de cada cupón.tj: Días entre la fecha valor y el vencimiento de cada cupón.

EJEMPLO 18

Adquisición, el 4 de mayo de X0, de un bono del Estado que cotiza a un precio «ex-cupón» del 108,60% (1.086 euros). Cupón del 7,8% (78 euros) pagadero el 15 de abrilde cada año, y con vencimiento el 15 de abril de X3. ¿Cuál será la rentabilidad alvencimiento?

Solución:

Para calcular la rentabilidad al vencimiento habrá que conocer primero el precio deadquisición que será igual al precio de cotización más el cupón corrido.

El cupón corrido se calcula mediante la expresión:

Importe del cupón x número días desde el último cupón----------------------------------------------------------------------

Número de días del período de cupón

como en este caso han transcurrido 19 días desde el 15-04-X0 hasta el 4-05-X0, elcupón corrido será:

19Cupón corrido = 78,00 x ------- = 4,06 €

365

Luego, el precio de adquisición es:

1.086 + 4,06 = 1.090,06 €

Gráficamente, la operación que resulta es:

y aplicando la fórmula anterior se podrá obtener la rentabilidad obtenida:

1.090,06 = 78 x (1 + i)–346/365 + 78 x (1 + i)–711/365 + 1.078 x (1 + i)–1.076/365

i = TIR = 4,61%

6.3.3. Cálculo de la rentabilidad de un repo

En las adquisiciones temporales de deuda o repos (y también en el caso de lasoperaciones «simultáneas», idénticas a los repos desde el punto de cálculo), elcomprador acuerda en el momento de la compra el precio de adquisición y también lafecha en la que la entidad le recomprará la deuda así como el precio al que se efectuaráesa recompra.

Por ello desde el primer momento el comprador conoce la rentabilidad final de suinversión.

EJEMPLO 19

El 15 de marzo de X0 se pacta una operación de venta con pacto de recompra a 30 días,sobre una Letra del Tesoro, siendo el precio acordado para la primera compraventa de930 euros y para la segunda 933 euros. ¿Cuál será la rentabilidad de la operación?

Solución:


i = 3,87%

Principal » Operaciones Financieras » CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios » 6. Deuda pública

6.4. Otros activos de renta fija

Con la denominación genérica de «activos de renta fija» se refiere a todos aquellostítulos que confieren a su propietario la condición de prestamista (acreedor) del emisorde los mismos, con independencia de la forma en que se documenten.

El inversor que adquiere estos activos se asegura los siguientes derechos económicos,derivados de la condición de prestamista:

Percepción de una ganancia (renta), periódica o única, mientras se es propietario deltítulo.

Derecho a recuperar la inversión efectuada, por el mismo valor u otro diferente(normalmente superior).

Ganancia adicional (o pérdida) por la venta anticipada del valor.

Hoy día, dada las diferentes modalidades de activos con que nos podemos encontrar enel mercado, no se puede definir un título de renta fija como aquel que le supone a supropietario una rentabilidad segura (fija). Lo que verdaderamente define a cualquiertítulo de renta fija son los siguientes aspectos:

1. El propietario es un acreedor de la sociedad emisora.2. Representa una parte de la(s) deuda(s) contraída(s) por el emisor.3. Pueden ser emitidos por cualquier entidad pública o privada.4. Posibilidad de ser amortizados anticipadamente.

6.4.1. Pagarés de empresa

Un pagaré de empresa se define como un documento en el que se recoge uncompromiso de pago contraído por la sociedad emisora, a favor del tenedor del mismo,a una fecha fija, que es la de su vencimiento. El objetivo es el de la captación derecursos financieros a corto plazo, para el emisor, o como un producto de inversión(para el suscriptor).

El origen de este producto financiero son los denominados «Commercial Paper»americanos. En España, la existencia de pagarés de empresa data de octubre de 1982.

Los pagarés de empresa no suelen contar con ningún tipo de garantía específica, cuentancon la garantía general de la sociedad emisora, lo que hace necesario la exigencia de unbuen rating (calificación crediticia del emisor).

Sus principales características son:

Valor nominal. Variable. Lo fija la sociedad emisora, siendo práctica habitual unnominal de 1.000 ó 3.000 euros.

Intereses. Se emiten al descuento, pagándose una cantidad inferior a su valor nominal.La diferencia entre el valor nominal por el que se amortizan y el precio de compra es elinterés de la inversión.

Precios. El precio efectivo de emisión de cada pagaré será el que resulte, en funcióndel tipo de interés que se aplique y del plazo de vencimiento, en cada caso, de acuerdocon las fórmulas siguientes:

– Para plazos de vencimiento iguales o inferiores a 365 días:

NE = ------------------

n1 + i x -------

365

– Para plazos de vencimiento superiores a 365 días:

NE = ----------------

(1 + i)t/365

siendo:

i: Tipo de interés nominal en tanto por uno.N: Importe nominal del pagaré.E: Importe efectivo del pagaré.t: Número de días del período, hasta vencimiento.

• Plazo. Los pagarés son activos financieros a corto plazo cuyo plazo de vencimiento sesuele situar entre siete días (7 días) y dieciocho meses (548 días).

EJEMPLO 20

Se compra en mercado secundario un pagaré de empresa de 1.000 euros nominal deTelefónica, realizándose la operación con un tipo de descuento del 14%. El pagarévence a 180 días y los gastos ascienden al 1,5‰ del nominal.

Se pide:

¿Cuál será la liquidación efectuada y la rentabilidad obtenida?

Solución:

El precio del título (sin gastos) será:

El precio de compra (gastos incluidos) es:

Precio del pagaré = 930,96 + 1,5‰ x 1.000 = 932,46 €


6.4.2. Obligaciones simples

Son títulos que confieren a su titular la condición de prestamista de la sociedad emisorapercibiendo por ello una renta periódica (fija o variable) durante la vida del título y a ladevolución del capital aportado (por el nominal o con prima de reembolso).

6.4.3. Obligaciones subordinadas

Desde el punto de vista financiero las obligaciones subordinadas son títulos de rentafija, normalmente con cupón fijo y reembolso por el nominal o con prima.

El término de «subordinada» se refiere a que en caso de extinción y posteriorliquidación de la sociedad emisora, los obligacionistas subordinados son los últimos encobrar, si bien, tienen preferencia de cobro frente a los accionistas, es decir, son losúltimos acreedores y sólo se sitúan por delante de los accionistas. En consecuencia, enel supuesto de aplicación de las reglas de prelación de créditos establecidas en el Códigode Comercio y en el Código Civil por incurrir la sociedad emisora en un procedimientoconcursal o de quiebra, los derechos y créditos de los tenedores de estos valores frente ala sociedad emisora se situarán, salvo que la legislación aplicable estableciese otra cosa,detrás de todos los acreedores comunes y de la siguiente manera:

1. Tras los derechos y créditos de todos los acreedores comunes de la sociedad emisora.2. Tras los derechos y créditos de aquellos acreedores subordinados cuyo crédito se

derive de una escritura pública anterior a la fecha de la presente emisión.

3. Con prioridad sobre todos los derechos de los accionistas y acreedores de la sociedademisora caracterizados como otros acreedores asimilados a la aportación de capital.

Por lo demás, pueden tener las mismas características que el resto de títulos de renta fija(cupón fijo o variable, valor de reembolso por nominal o con prima, pueden serconvertibles, emitirse con warrant…).

En España la emisión de títulos de deuda subordinada ha sido muy utilizada por lasentidades de crédito como una forma de capitalización de sus recursos propios, ya quela autoridad monetaria permite incluirlos como fondos propios. El total de deudasubordinada no puede superar el 30% de los recursos propios del emisor.

6.4.4. Bonos y obligaciones indiciadas, referenciadas o indexadas

En los bonos y obligaciones más comunes el importe del cupón periódico queda fijadode antemano para toda la vida del título. De esta forma, el poseedor del título conocesiempre el importe de los intereses que va a percibir.Por el contrario, en los bonos u obligaciones indiciados el importe de los cupones varíatotal o parcialmente en función de un índice de referencia preestablecido de antemano,que origina que el rendimiento de estos títulos tenga carácter variable.Un caso particular son los llamados «bonos bolsa» cuya rentabilidad depende de unporcentaje sobre la revalorización de un índice bursátil (por ejemplo el Ibex-35 en elcaso español). De esta manera, el inversor percibe dos tipos de ingresos: uno fijo (elvalor nominal del título) y otro periódico en función de la evolución del índice. Inclusocabe la posibilidad de que se asegure un cupón periódico y el valor de reembolso seestablezca, en todo o en parte, en función de la revalorización del índice tomado comoreferencia.

EJEMPLO 21

Caja Duero emite bonos bolsa con las siguientes características:

Fecha de emisión: 16 de abril de X0. Bonos simples de 1.000 euros cada uno. Número de bonos emitidos: 30.000. Emisión al 100% del valor nominal, libre de comisiones y gastos para el suscriptor. Tipo de interés: no tiene. Se trata de una emisión cupón cero.

La rentabilidad de estos bonos viene dada por la prima de amortización. La primaascenderá a un porcentaje fijo, a aplicar sobre el nominal, equivalente al 40% de larevalorización que haya experimentado el índice Ibex-35 entre la fecha de emisión y lafecha de amortización.

Amortización: el reembolso se realizará a la par, libre de gastos y de comisiones para eltenedor, además de la prima de amortización variable.La devolución del principal de los bonos se realizará en un solo pago el día 16 deoctubre de X2, no existiendo posibilidad de amortización anticipada por parte delemisor ni del suscriptor.

Valor del Ibex-35 el 16 de abril de X0: 11.000 puntos. Gastos de emisión de 36.000 euros.

Se pide:

1. Rentabilidad de un bono si el Ibex-35 alcanza los 13.000 puntos el día del vencimiento.2. Rentabilidad de un bono si el Ibex-35 no supera los 11.000 puntos el día del

vencimiento.3. Tanto efectivo del emisor.

Solución:

a) Primer supuesto: se produce una revalorización del índice (el Ibex-35 el día deamortización del bono, 16 de octubre de X2, se sitúa en 13.000 puntos

La evolución positiva del 18,18% del índice supone los siguientes flujos:

Fechas Flujos

16-04-X0 Adquisición (nominal).................... 1.000,00 €

06-10-X2 Reembolso (nominal + prima) ...... 1.072,73 €

Siendo la rentabilidad final del título la siguiente:

b) Segundo supuesto: el índice no experimenta variación alguna o experimenta unavariación negativa

Si consideramos que la prima es igual a 0 el nominal y el valor del reembolsocoincidirían, siendo igual a 1.000 euros, con lo cual, la rentabilidad del título es:

c) Interés efectivo previsto para el emisor

Depende de la revalorización alcanzada por el índice Ibex-35 y de los gastos en quefinalmente se incurra. Resultando diferentes tipos de interés efectivo, en función delincremento porcentual que pueda tener el índice y, por tanto, la variación que sufra elvalor de la prima, ya que el nominal de la emisión y los costes fijos de la emisión sonconstantes.

El cálculo del coste efectivo para el emisor se efectuará de acuerdo con la siguientefórmula:

R = (V – C) x (1 + i)n

siendo:

R: Valor de reembolso (nominal emisión más primas).V: Nominal emisión.C: Gastos de la emisión.n: Número de días de la inversión/365.ie: Coste efectivo.

De donde:

Retomando el primer supuesto en el que se produce una revalorización del índice ytratándolo a la fórmula anterior nos resultaría:

Si tomamos el segundo supuesto en el que la prima es igual a cero, el nominal y el valorde reembolso coincidirían, siendo igual a 1.000 euros, con lo cual:

6.4.5. Obligaciones bonificadas

Desde el punto de vista puramente financiero, no son más que un caso concreto deobligaciones simples, donde el cupón suele ser periódico y fijo, siendo el valor dereembolso a la par (por el nominal). Se representan mediante anotaciones en cuenta y,una vez emitidas, cotizan en las bolsas de valores.

Solamente pueden emitir esta clase de obligaciones las empresas concesionarias deautopistas y las eléctricas, con autorización expresa por parte de la Dirección General deTributos de la bonificación fiscal. Dichos beneficios fiscales se conceden con carácterprovisional y condicionados a que a los fondos obtenidos por la sociedad emisora se lesdé la aplicación prevista.

El atractivo de estos títulos radica en el hecho de que además del cupón tienen untratamiento fiscal favorable que supone una importante reducción en los impuestos delobligacionista, con lo que finalmente consigue una alta rentabilidad financiero-fiscal.

Los beneficios fiscales se deben a:

Una bonificación fiscal sobre las retenciones a cuenta de los Impuestos sobre la Rentade las Personas Físicas y sobre Sociedades, de forma que los intereses brutos sonobjeto de una retención en la fuente del 1,20% (por lo que también se les conocecomo obligaciones de cupón 1,20).

Deducción en cuota, como impuesto pagado a cuenta, hasta el 24%, siempre que poreste motivo no resulte cuota negativa.

Este doble tratamiento fiscal favorable origina que en igualdad de característicasfinancieras sean preferibles estos títulos frente a los no bonificados.

Surge el concepto de rentabilidad financiero-fiscal para el inversor de obligacionesbonificadas, que se definen como el interés anual bruto que tendría que ofrecer unainversión alternativa, sin ventajas fiscales, para que el inversor, según su tasa

impositiva, después de impuestos obtuviera el mismo rendimiento anual neto (TIR) quesuscribiendo estas obligaciones bonificadas a la par y beneficiándose de la bonificaciónfiscal.

EJEMPLO 22

Se emiten obligaciones bonificadas de AUPASA, cuyas características y condicionesson:

Naturaleza: obligaciones con bonificación fiscal sobre las retenciones a cuenta delIRPF.

Nominal del título: 5.000 euros. Fecha de emisión: 1 de enero de X1. Fecha de vencimiento: 31 de diciembre de X2. Precio de emisión: 100% del valor nominal. Cupón: 12% anual. Pago de cupón: 31 de diciembre. Régimen fiscal: debido a la bonificación, la retención en la fuente será del 1,20%,

pudiendo realizar el suscriptor una deducción del 24% del cupón bruto en sudeclaración del IRPF.El pago de impuestos se realiza el 30 de junio del año siguiente.

Se pide:

La corriente de cobros y pagos que genera la compra de un título por un inversor cuyotipo impositivo es del 30%.

Rentabilidad efectiva de la operación teniendo en cuenta los impuestos. Rentabilidad financiero-fiscal de estos títulos bonificados.

Solución:

Esquema de cobros y pagos de la inversión

Flujo(semestres)

Fecha(Suscripción)amortización

Cupónbruto

Retención (1,20%x Cupón bruto)

Pagoimpuestos

Flujosnetos

012345

01-01-X1

30-06-X1

31-12-X1

30-06-X2

31-12-X2

– 5.000

5.000

600

600

– 7,20

– 7,20– 36

– 36

– 5.000–

592,80– 36

5.592,80– 36

30-06-X3

Cupón bruto (12% x 5.000) ................................................. 600

Retención (1,20% x 600) ..................................................... 7,20

Pago impuestos [(30% – 24%) x 600] ................................. 36

Rentabilidad de la operación (con impuestos)

Será el tanto de interés que resulte de enfrentar todos los pagos y los cobros que laoperación genera por todos los conceptos, considerando la cuantía de los flujos y elmomento donde tenga lugar. Gráficamente:

De la siguiente ecuación se obtendrá la rentabilidad neta de impuestos obtenida por esteinversor con este título.

592,80 36 5.592,80 365.000 = --------------- – -------------- + -------------- – --------------

(1 + i2)2 (1 + i2)3 (1 + i2)4 (1 + i2)5

i2 = 5,439%

i = (1 + i2)2 – 1 = 1,054392 – 1 = 11,17%

Rentabilidad financiero-fiscal de los títulos bonificados

La rentabilidad financiero-fiscal a la que se refiere este apartado no es una rentabilidadreal obtenida por un inversor (esa rentabilidad real es la calculada en el punto anterior).Se trata de determinar el tipo de interés que tendría que ofrecer un título de igualnominal, duración, frecuencia de pago de cupones … , pero sin bonificación fiscal, esdecir, con una fiscalidad propia de los títulos de renta fija (retención en la fuente del15% sobre los cupones brutos y deducción de las retenciones efectivamentepracticadas), para que al inversor le resultara indiferente comprar un título bonificado uotro no bonificado (pero con el resto de características idénticas). A este tipo de cupónes a lo que se conoce como rentabilidad financiero-fiscal de las bonificadas.

Para el cálculo de este tipo de interés (i) consideramos lo siguiente:

Nominal título: 5.000 Cupón bruto: 5.000 x i Retención: 15% x 5.000 x i = 750 x i Pago impuestos: (30% – 15%) x 5.000 x i = 750 x i

Flujo(semestres)

Fecha(Suscripción)amortización

Cupónbruto

Retención (1,20%x Cupón bruto)

Pagoimpuestos

Flujosnetos

012345

01-01-X1

30-06-X1

31-12-X1

30-06-X2

31-12-X2

30-06-X3

– 5.000

5.000

5.000 x i

5.000 x i

– 750 x i

– 750 x i– 750 x i

– 750 x i

– 5.000–

4.250 x i– 750 x i5.000 +

4.250 x i– 750 x i

Gráficamente:

En esta inversión se obliga a que los pagos y cobros financieramente sean equivalentesal tanto i2 = 5,439%, con lo que estamos obligando a que la rentabilidad de este títulocoincida con la rentabilidad después de impuestos que generaba el título bonificado. Eltipo de interés del cupón (i) que haga posible la igualdad será el tipo de interés anualque deberá ofrecer un bono no bonificado para que al inversor le resulte indiferente unou otro.

4.250 x i 750 x i 5.000 + 4.250 x i 750 x i5.000 = -------------------- – ------------------- + ------------------------ – ---------------------

(1 + 0,05439)2 (1 + 0,05439)3 (1 + 0,05439)4 (1 + 0,05439)5

i = 15,788%

6.4.6. Obligaciones convertibles y canjeables

La convertibilidad (canjeabilidad) supone la posibilidad de transformar un activofinanciero en otro diferente mediante la aplicación de determinadas reglas.

En el caso de las obligaciones convertibles, el poseedor de estos títulos tiene laposibilidad de que, llegado el momento acordado y en las condiciones pactadas, puedacambiar el título de renta fija por un determinado número de acciones emitidas por laempresa (acciones nuevas). En otras ocasiones, la conversión se inicia unilateralmentepor parte del emisor.

Hasta la fecha de la conversión, el tenedor del título (obligacionista) obtiene losderechos que le confiere el ser acreedor de la sociedad: el cobro de un cupón periódicoo, en su caso, la cuantía obtenida por la venta si enajena el valor antes de la conversión.

Una vez llegado el momento de la conversión, puede optar por dos alternativas:

Si considera que el precio de las acciones a recibir es superior al que el inversor estimacomo valor objetivo, ejercitará la conversión y se convertirá en accionista de lasociedad.

Si considera que el precio de las acciones a recibir es inferior al que el inversor estimacomo valor objetivo, no ejercitará la conversión y continuará siendo acreedor hasta elvencimiento del título.

Por último, una cuestión importante es saber la proporción de conversión y cómo sevaloran los títulos entregados (obligaciones) y recibidos (acciones).

En el caso de las obligaciones canjeables, todo es exactamente igual salvo que lasacciones que se entregan no son nuevas (lo que ocurre en la conversión) sino que setrata de acciones antiguas ya en circulación.

6.4.7. Bonos y obligaciones con warrant

Un warrant es un certificado de opción mediante el cual el tenedor de una obligacióntiene la posibilidad de adquirir en un momento futuro y a un precio determinado deantemano un número concreto de acciones de la misma empresa que emitió lasobligaciones. De esta forma, el inversor encuentra un mayor atractivo en la suscripciónde las obligaciones y a la empresa emisora de las obligaciones le resulta más fácil sucolocación.

El warrant se negocia por separado del activo al cual aparece ligado. Su titular puedevenderlo en cualquier momento o ejercitarlo en el momento que corresponda. En estesentido, el propietario de un warrant esperará a que el activo de renta fija suba de preciopor encima del pactado en el warrant para así ejercitar el derecho de compra a un precioinferior al de mercado. En caso contrario, puede optar por desprenderse del warrant. Esdecir, llegado el vencimiento del warrant el obligacionista comprará la acción a la queda derecho cuando su precio sea inferior al de mercado, y no lo hará en caso contrario.

La diferencia entre las obligaciones con warrant y las obligaciones convertibles es queen las primeras la utilización de la opción de suscripción de acciones que incorpora elwarrant no requiere, necesariamente, la desaparición o amortización de lasobligaciones. En otras palabras, el titular que hasta ese momento era sólo obligacionistasigue siéndolo y, además, se convierte en accionista. En todo caso, también puede darseel caso de una obligación convertible con warrant.

6.4.8. Títulos hipotecarios

Se distinguen tres categorías de títulos que permiten a sus emisores captar fondos amedio y largo plazo con el único objetivo de invertir estos recursos en operaciones congarantía hipotecaria:

Cédulas hipotecarias. Bonos hipotecarios. Participaciones hipotecarias.

Por tanto, hay que distinguir las operaciones pasivas de los emisores que les permitencaptar fondos y, por otro, las operaciones activas de préstamos con garantía hipotecariaa los que deben ir dirigidos gran parte de estos fondos.

Las cédulas hipotecarias son títulos garantizados por todos los créditos hipotecariosconcedidos por el emisor. Por tanto, sus tenedores son acreedores privilegiados delemisor, teniendo garantizados tanto el capital como los intereses, gracias a las hipotecasinscritas a favor de ellos mismos.

La diferencia entre cédulas y bonos hipotecarios radica en su garantía. En estos últimos,existe la seguridad de un crédito, o grupo de créditos, en concreto. Cada emisión tieneque quedar vinculada, mediante una escritura pública, a los créditos hipotecarios que lagarantizan, por lo que su vencimiento medio casi siempre oscila entre uno y tres años, ysus intereses no pueden superar a los de dichos créditos.

Las participaciones hipotecarias representan la cesión total o parcial de un préstamohipotecario de una entidad a otra o al público (aunque es más habitual entre entidades),de manera que «participa» en el préstamo hipotecario y cobra la parte de los interesesdel préstamo que le corresponden de acuerdo con su participación relativa.Habitualmente incorporan un porcentaje sobre el principal de uno o varios créditos de laentidad emisora, y sólo pueden ser emitidas por la entidades autorizadas para operar enel mercado hipotecario. En resumen, las participaciones se configuran como una cesiónde crédito.

En otras palabras, las participaciones hipotecarias permiten participar a los inversores delos créditos hipotecarios que conceden las entidades que actúan en el mercadohipotecario, conservando éstas la administración y la custodia de los créditos.

Las participaciones hipotecarias se emiten casi siempre a largo plazo, al contrario quelas cédulas y bonos hipotecarios, que generalmente son a corto o medio plazo.

Es importante subrayar que a diferencia de lo que ocurre con los bonos y las cédulashipotecarias, el inversor o partícipe no percibe un ingreso procedente de los intereses ocupones prefijados por el emisor, sino que percibe directamente la parte proporcionaldel préstamo hipotecario, lo cual tiene como consecuencia que, en caso de impago delpréstamo hipotecario, el adquirente de estas participaciones asuma el riesgo de impagopor parte del prestatario.

6.4.9. Bonos y obligaciones de titulización hipotecaria

Son un tipo de bonos que empieza a tener una presencia cada vez más importante ya quepermite a las entidades financieras desmovilizar su cartera de créditos.

Este tipo de bonos es emitido por los denominados Fondos de Titulización Hipotecaria,constituidos al efecto y, generalmente, por entidades financieras que tienen en su carteradiversos préstamos hipotecarios. De esta manera, lo que hace el fondo hipotecario estransformar las cédulas, bonos y participaciones hipotecarias en otros títulos (los bonosde titulización hipotecaria) que se negocian como un activo nuevo en el mercado.

Los Fondos de Titulización Hipotecaria son agrupaciones hipotecarias que transformanel conjunto de los préstamos o participaciones hipotecarias que adquieran de entidadesde crédito, en valores de renta fija negociables en un mercado de valores organizados.La constitución y administración de estos fondos corresponde a las Sociedades Gestorasde Fondos de Titulización Hipotecaria.

En cuanto a la operativa financiera de los bonos de titulización hipotecaria, recibenigual tratamiento que el resto de los bonos ya que abonan intereses o cupones periódicosy, generalmente, se amortizan por su valor nominal. A este respecto, el abono periódicode intereses a los partícipes de estos fondos hace que puedan calificarse como fondos dereparto.

6.4.10. Bonos de alto rendimiento, «bonos basura» o junk bond

Bajo esta denominación se engloba a un conjunto de activos de renta fija cuyaparticularidad radica en el hecho de que los emisores suelen ser de escasa calidadcrediticia y poca solvencia, por lo cual reparten altos rendimientos.

El riesgo de estos títulos es alto ya que la probabilidad de impago es elevada y, porconsiguiente, se utilizan fundamentalmente con fines especulativos y sus emisoressuelen ser empresas que necesitan financiación a toda costa.

En cuanto al resto de características financieras, suelen ser títulos de cupón fijoperiódico y amortizables a la par.


7. Pignoración de valores mobiliariosPignorar significa dejar en garantía o en prenda.

La pignoración de valores mobiliarios implica la solicitud de un crédito entregandocomo garantía esos valores mobiliarios.

La cuantía del préstamo o del crédito que se conceda estará en función del valorefectivo o de cotización de los títulos pignorados, al que se le aplica un coeficiente dereducción según el tipo de valores que se pignoren. Esta reducción sobre el valorefectivo se establece con el fin de garantizar mejor al préstamo. Este coeficiente dereducción o cambio de pignoración (cp) suele oscilar entre el 40% y el 90%, el más bajocuando son títulos de empresas que no reparten dividendos y son poco solventes, y elmás alto para títulos de deuda pública.

Del conjunto de títulos que se pretende pignorar se debe conocer lo siguiente:

n: Número de títulos pignorados.N: Nominal pignorado (nominal del título x número de títulos pignorados).c: Cotización o cambio de cotización (en % sobre el nominal).cp: Cambio de pignoración (en % sobre la cotización).

A partir de estos datos se podrá calcular:

Valor efectivo de los títulos pignorados por razón de cambio (Ec)

Indica el valor de mercado de los títulos que se entregan como garantía. Se obtienemultiplicando la cotización del título por el valor nominal de la cartera pignorada.

N x cEc = -----------

100

Efectivo máximo de pignoración (Ep)

Representa el importe máximo de préstamo al que podremos optar y que vienedeterminado por:

– El valor efectivo de los títulos pignorados.– Cambio de pignoración.

cpEp = Ec x --------

100

de donde:

N x c x cpEp = -------------

100 x 100

No siempre el préstamo concedido coincide con la cantidad máxima que se podríaobtener como consecuencia de la aplicación del cambio de pignoración (cp) al efectivode los títulos (N x c). En estos casos, se denomina cambio de garantía (cg), a aquellacotización a la que deberían cotizar los títulos para que el crédito concedido hubiesesido el máximo autorizado, es decir:

Ep x 100 x 100cg = ----------------------

N x cp

EJEMPLO 23

Se pignoran 1.000 acciones del banco «P», cuya cotización es de 12,25 euros. Seadmiten a pignoración al 90%.

Se pide:

1. ¿Cuál es la máxima cuantía a obtener como préstamo?2. Si solamente se solicitasen 10.500 euros de préstamo, ¿cuál es el cambio de garantía?

Solución:

a) Importe máximo de préstamo a solicitar:

Ep = 1.000 x 12,25 x 0,9 = 11.025 €

b) Cambio de garantía para un préstamo de 10.500 euros:

10.500 = 1.000 x cg x 0,9cg = 11,67 €

Es decir, para que el préstamo de 10.500 euros fuese el máximo que se pudiese obtener,la cotización del banco «P» debería haber sido de 11,67 euros en el momento de supignoración.

Efectivo líquido recibido por el prestatario del préstamo (EL)

El valor recibido siempre será inferior a la cuantía del crédito o del préstamo concedido,pues hay que deducir los gastos ocasionados y, además, los intereses de la operación, yaque suelen cobrarse por anticipado. Así:

donde:

Las comisiones bancarias y los corretajes se expresan en tanto por uno sobre el valorefectivo máximo (EP).

Otros gastos recogen partidas tales como pólizas, timbres, etc., a cargo del prestatario(OG).

Los intereses se calculan también sobre el valor efectivo máximo (EP).

por tanto:

t iEL = EP x [1 – CB – CO] – OG – EP x --------- x --------

360 100

EJEMPLO 24

Se pignoran 10 títulos de 1.000 euros nominales cada uno. La cotización es el 95%. Seadmiten a pignoración al 90%, los gastos de formalización de la operación ascienden a75 euros y el corretaje es el 2‰. Si el préstamo es concedido a 120 días, al 10% deinterés anual y la comisión bancaria es el 4‰, ¿cuál será el préstamo concedido y ellíquido obtenido? Utilizar el año comercial.

Solución:

Importe del préstamo solicitado:

EP = 10 x (1.000 x 0,95) x 0,90 = 8.550 €

Importe líquido obtenido, después de deducir todos los gastos de la operación y losintereses:

120 10EL = 8.550 x [1 – 0,004 – 0,002] – 75 – 8.550 x -------- x ------- = 8.138,70 €

360 100

7.1. POSIBILIDADES ANTE UN CAMBIO DE COTIZACIÓN DE LOS TÍTULOSPIGNORADOS

Se denomina cambio de reposición (cr) al límite al cual puede bajar la cotización de losvalores en garantía, para que se considere en vigor el contrato de pignoración.

Generalmente, en el contrato se estipula como límite un descenso de la cotización de un10% de la cotización existente cuando se revisaron por última vez las garantías.

Llegado a este límite, el cambio de reposición, caben dos posibilidades:

Cálculo de la mejora de garantía. Cálculo de la reducción del préstamo.

7.1.1. Cálculo de la mejora de garantía

Se trata de determinar cuántos títulos se deberán aportar de forma complementaria parapoder seguir manteniendo el mismo importe del préstamo concedido inicialmente, anteun descenso en la cotización de los títulos pignorados inicialmente.

Para ello se procederá a recalcular el efectivo máximo de pignoración pero dejandocomo única variable a calcular el nominal total que se tendría que pignorar de esosmismos títulos (n') para que ambos efectivos máximos (el inicialmente calculado (EP) yel que ahora se calcula con el nuevo cambio de pignoración (E'P) sean iguales.

Así, el préstamo concedido inicialmente fue:

cPEP = n x c ------

100

y, actualmente ese préstamo:

cPE'P = n' x 0,9 x c ------

100

igualando ambas expresiones:

EP = E'P

cp cpn x c x ------- = n' x 0,9 x c x -------

100 100

de donde se deduce:

n = 0,9 x n'

1n' = ------ x n

0,9

1 1Número de títulos a aportar = n' – n = ------- x n – n = ----- x n

0,9 9

por tanto, habrá que aumentar la garantía en su novena parte.

7.1.2. Cálculo de la reducción de préstamo

Se trata de determinar en qué cuantía se reducirá el préstamo inicialmente concedidocon una determinada garantía pignoraticia ante una bajada de la cotización de los títulospignorados.

En este caso se procederá a calcular el importe máximo de préstamo a conceder en elmomento actual (E'P) en función del nominal pignorado, la cotización vigente al día dehoy y el cambio de garantía establecido para esos títulos. Posteriormente, se enfrenta elnuevo (E'P) con el calculado al principio de la operación (EP), y la diferencia será elimporte por el que habrá que reducir el préstamo.

Siendo EP y E'P, respectivamente:

cPEP = n x c x --------

100

cPE'P = n x 0,9 x c x --------- = 0,9 EP

100?

1Reducción préstamo = EP – E'P = EP – 0,9 x EP = 0,1 x EP = ------- x EP

10

La reducción del préstamo se efectuará por la parte del préstamo no garantizada por lostítulos inicialmente pignorados como consecuencia de un menor valor de éstos en elmercado, es decir, la décima parte del préstamo inicial.

EJEMPLO 25

Mediante la pignoración de 10.000 acciones de la sociedad «Y», cuya cotización es de13,20 euros, se obtiene el máximo préstamo que permite el cambio de pignoración del80%. La operación se concierta por tres meses a un tipo de interés del 10% anual. Losgastos de formalización ascienden a 150 euros y el corretaje es el 2,5‰, determinar:

1. Préstamo concedido.2. Líquido obtenido.3. Número de títulos a aportar a los dos meses de concertada la operación si el cambio

desciende hasta el cambio de reposición.4. En el caso de no mejorar la garantía, calcular el valor de la reducción del préstamo.

Solución:

1. Importe del préstamo solicitado:

EP = 10.000 x 13,20 x 0,80 = 105.600 €

2. Importe líquido obtenido, después de deducir todos los gastos de la operación(incluidos los intereses):

3 10EL = 105.600 x [1 – 0,0025] – 150 – 105.600 x ------- x -------- = 102.546 €

12 100

3. Si la cotización ha descendido hasta el 90% de lo que valían los títulos cuando sepignoraron ( 0,9 x 13,20 = 11,88 €) y se quiere seguir manteniendo el préstamo de105.600 euros se ha de aportar mayor número de títulos, una novena parte de los títulosinicialmente entregados:

El redondeo de decimales se realiza siempre por exceso para conseguir que siemprehaya garantía de más (sobregarantía).

4. Si la cotización ha descendido hasta el 90% de lo que valían los títulos cuando sepignoraron (0,9 x 13,20 = 11,88 euros) y quiere seguir manteniendo como garantía los

10.000 títulos iniciales, deberemos reducir el préstamo en una décima parte del importeinicial:

1Reducción préstamo = ------- x 105.600 = 10.560 €

10

7.2. PIGNORACIÓN DE VARIAS CLASES DE VALORES

Hasta ahora se ha planteado la problemática de la pignoración de una sola clase devalores. Sin embargo, un inversor se puede plantear la pignoración de diferentes tiposde títulos bien para conseguir mayor garantía, y por tanto mayor préstamo, osimplemente porque con un solo valor no tiene suficiente para cubrir el importe de ladeuda que quiere contraer.

Para ello se parte de un conjunto de títulos de los que se conocen: nominales,cotizaciones y cambio de pignoración.

Clase Nominal CotizaciónCambio de

pignoración

ABC

NA

NB

NC

CA

CB

CC

CPA

CPB

CPC

Los pasos a seguir para pignorar varios títulos (una cartera de valores) serán lossiguientes:

1.º Determinar los efectivos máximos que se pueden conceder por cada clase de valores(EP):

CA CPAEPA = NA x ------- x --------

100 100

CB CPBEPA = NB x ------- x --------

100 100

CC CPCEPA = NC x ------- x --------

100 100

2.º Reparto proporcional del crédito solicitado (X) en base a los efectivos máximos paradeterminar qué parte queda garantizada por cada clase de valores, para lo cual se debecumplir la siguiente relación:

X XA XB XC--------------------- = ------- = ------- = -------EPA + EPB + EPC EPA EPB EPC

Si llamamos:

se obtendrán XA, XB y XC, que nos indicarán la parte del préstamo garantizado por cadavalor:

3.º Determinación de cambios de garantía y de reposición para cada clase de valores.

Los cambios de garantía se obtendrán a partir de las siguientes igualdades:

NA x cgA x cpAXA = --------------------- ----------> CgA

100 x 100

NB x cgB x cpBXB = --------------------- ----------> CgB

100 x 100

NC x cgC x cpCXC = --------------------- ----------> CgC

100 x 100

Los cambios de reposición de cada clase de valor serán:

CrA = 0,9 x CgA CrB = 0,9 x CgB CrC = 0,9 x CgC

4.º En la pignoración de varias clases de valores se pueden definir nuevos conceptos:

a) Cambio medio C de los valores pignorados:

b) Cambio medio de garantía Cg de los valores pignorados: será aquella cotizaciónmedia del total de títulos pignorados para que el crédito concedido fuese el máximoautorizado, es decir:

c) Cambio medio de reposición Cr de los valores pignorados: será aquella cotizaciónmedia límite a la cual puede bajar la cotización media de todos los valores en garantía,para que se considere en vigor el contrato de pignoración.

5.º En el contrato de pignoración se puede pactar una de las dos siguientes condiciones:

1. Cada clase de valor pignorado es garante de la parte de préstamo EP que garantiza, esdecir, el préstamo se considera a efectos de garantía como un conjunto de préstamosindependientes, de forma que ante una caída de cotización de algún valor sólo semejorará exclusivamente las garantías de los valores afectados.

2. Todas las clases de valores garanticen conjuntamente el préstamo, de forma quesolamente será necesario mejorar la garantía cuando, en conjunto, y a pesar de quealguno haya caído por debajo de su cambio de reposición, las garantías totales nogaranticen suficientemente el préstamo.

EJEMPLO 26

El señor Palomar solicita a una determinada entidad un préstamo de 900 euros con lagarantía de los siguientes valores:

Clase Nominal CotizaciónCambio de

pignoración

Títulos clase ATítulos clase BTítulos clase C

500200400

135%100%

75%

80%95%90%

A los dos meses de concedido el préstamo, la cotización de los títulos clase A ha bajadoal 120% y los de clase C al 67%.

Se pide:

1. Efectivo máximo a conceder.2. Efectivos garantizados por cada valor.3. Cambio medio, cambio medio de garantía y cambio medio de reposición de los títulos

pignorados.4. Acción que debe tomar la entidad ante las bajadas mencionadas, si todos los títulos

garantizan conjuntamente el préstamo.

Solución:

1. Efectivo máximo a conceder

EPA = 500 x 135% x 80% = 540EPB = 200 x 100% x 95% = 190EPC = 400 x 75% x 90% = 270-------------------------------------------EP = EPA + EPB + EPC = 1.000

Que es el efectivo máximo a conceder.

2. Efectivos garantizados por cada valor

Dado que el préstamo solicitado es de 900 euros, la relación entre el máximo a concedery el efectivo concedido (a) es:

Y el efectivo garantizado por cada valor será:

3. Cambio medio

Indica la cotización media ponderada de los valores entregados en garantía.

500 x 135% + 200 x 100% + 400 x 75% 1.175C = ----------------------------------------------------- = --------- = 106,82%

500 + 200 + 400 1.100

Cambio medio de pignoración:

500 x 135% x 80% + 200 x 100% x 95% + 400 x 75% x 90%Cp = -------------------------------------------------------------------------------

500 + 200 + 400

1.000Cp = ---------- = 90,91%

1.100

Cambio medio de reposición:

Cr = 0,9 x C = 0,9 x 106,824% = 96,14%

4. Acción a considerar ante la caída de la cotización de los valores A y C

E'PA = 500 x 120% x 80% = 480,00E'PB = 200 x 100% x 95% = 190,00E'PC = 400 x 67% x 90% = 241,20

---------------------------------------------E'P = E'PA + E'PB + E'PC = 911,20

A pesar del descenso en la cotización de los valores A y C, el préstamo estásuficientemente garantizado en su conjunto (911,20 > 900,00), por lo que no esnecesario realizar ninguna reducción de préstamo ni aportar nuevas garantías.

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