LIBRO DE TRIGONOMETRÍA 5 PRI

222 bac

a

b

c

COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

El triángulo rectángulo es un elemento muy importante dentro de la trigonometría, ya que en este triángulo podemos definir las razones trigonométricas que son muy utilizadas en los campos de la ingeniería, la topografía, astronomía, física, etc.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Inicialmente se mencionara los lados del triángulo rectángulo.

a y b : Catetos c : Hipotenusa

El teorema se define como:

“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Ej. Calcular la hipotenusa del triangulo.

Resolución:Aplicando el teorema de Pitágoras

I.E.P. LA SORBONA 1

2

4

x

3

4

x


Ej. Calcular la hipotenusa del triangulo.

Resolución:Aplicando el teorema de Pitágoras

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Del gráfico calcular x

a)

b)

c)

d)

e)

f)

I.E.P. LA SORBONA 2

5

12

x

x

6

10

7

x

25

3

x+2

x+3

1

2

x

1

3

x


g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

I.E.P. LA SORBONA 3

√2 x

x

x 3

2

√29 2

x

√17

1

x

5

8

x

7

3

x

x

9

15

3√2 x

x

x 3

5

√40 2

x


q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

I.E.P. LA SORBONA 4

√26

1

x

√ 13

6

x

7

2

x

x

12

15

√5 x

2x

5 3

2x

√51 2

x

2√17

2

8

1

2x

√65

7

1

x


aa)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Para un ángulo agudo

a : cateto opuesto……..C.O b : cateto adyacente…..C.A c : Hipotenusa…………H

En el se define la razón trigonométrica para ángulo agudo como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos lados del triangulo rectángulo.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

seno……………..sen coseno…………...cos tangente………….tan cotangente……….cot secante…………..sec cosecante………..csc

PARA UN ÁNGULO Α

I.E.P. LA SORBONA 5

a

b

c

α

C.O

C.A

H

α

9

9

x


seno de α …………...sen α coseno de α ………....cos α tangente de α …….….tan α cotangente de α ….….cot α secante de α …….…..sec α cosecante de α ….…..csc α

PARA UN ÁNGULO AGUDO Θ

Ej. Calcular las razones trigonométricas de α

Resolución:

sen α = 3/5 csc α = 5/3cos α = 4/5 sec α = 5/4 tan α = 3/4 cot α = 4/3


I.E.P. LA SORBONA 6

b

a

c

θ

3

4

5

α


1. Calcular las razones trigonométricas de α





6. Calcular las razones trigonométricas de θ

7. Calcular las razones trigonométricas de θ

I.E.P. LA SORBONA 7

6

8

10

α

5

12

13

α

7

24

25

α

9

12

15

α

2

1

√5

α

θ 3√2 3

3

θ √7 √3


8. De la figura calcular sen θ + tg β

9. De la figura calcular cos θ + ctg β

10. De la figura calcular 2sen θ + 2cos β

11. Calcular sen θ + 3cos θ

12. Calcular 2ctg α + 3tg α

13. Calcular 13sen θ

14. Calcular ctg β

I.E.P. LA SORBONA 8

9

θ

4

9

β

5

5 7

θ

9

β

7

3

7

β

θ 7

4

θ 10 8

6

2

1

√5

α

θ 13 12

1

√5 β


15. Calcular tg θ

16. Calcular ctg θ

17. Calcular csc α

18. Calcular sec θ

19. Calcular 12tg θ

20. Calcular ctg β + tg β

21. Calcular sen θ

22. Calcular sen θ

I.E.P. LA SORBONA 9

θ √34 5

θ √10 3

1

√17 √17

α

θ 3

√7

θ √10 3

3

θ √34 5

4

1

√5 β

2

θ 13 12

5


23. Calcular csc α

24. Calcular 5sen θ

TRIÁNGULO NOTABLE DE 30° Y 60°

Razones trigonométricas de 30°

sen 30° = 1/2 csc 30° = 2

cos 30° =√3 /2 sec 30° = 2/√3

tan 30° = 1/√3 cot 30° = √3


sen 60° = √3 /2 csc 60° = 2/√3

I.E.P. LA SORBONA 10

2k

30º

k√3

k 60º

1

√17 √17

α

√15

θ 3

√7

√18


cos 60° = 1 /2 sec 60° = 2

tan 60° = √3 cot 60° = 1/√3



sen 37° = 3/5 csc 37° = 5/3

cos 37° = 4 /5 sec 37° = 5/4

tan 37° = 3/4 cot 37° = 4/3


sen 53° = 4 /5 csc 53° = 5/4

cos 53° = 3/5 sec 53° = 5/3

tan 53° = 4/3 cot 53° = 3/4


1. Calcular :a) sen 30° + tg 37°

b) cos37° + 1/5

c)tg 53° + 2/3

d) 5sec 60º + 3tg 53º

e) 3sec 53º + 8sec 60º


5k

37º

4k

3k 53º


f) 6cos 60º + 4tg 37º

g) 12ctg 37º + √3.ctg 30º

h) 8sec 37º - 2sec 60º

i) sen 37° + 7/5

j) tg 53° + ctg 37°

k)cos 53º + 7/5

l) tg 53° + ctg 37°

m) 2sen 60º + tg 60º

n) √3.csc 60º + 4tg 37º

o) 4ctg 53º + 5cos 53º

p) √3.tg 30º + √3.csc 60º + 3ctg 37º

q)5ctg 30º + 4sen 60º - √3.tg 53º.ctg 53º



r) (tg 60º)2 + 4sec 37º - 4tg 37º

s)(sec 60º)3 – 3sec 53º + 2cos 60º

t) 4sec 37º + 7sec 60º + √3.sec 30º

u) 3ctg 37º + 8cos 60º - (ctg 30º)2

v)8tg 37º + 3sec 53º - 2√3.tg 60º

w) √3.ctg 30º + 5tg 60º + 4√3.tg 37º

x)5cos 53º + 4tg 37º

y)√3.csc 60º + √3.sec 30º + 5sen 53º

z)10cos 37º + 8sen 30º

2.Calcular a) 2sen 30° + cós 60°

b) 3tg 45° + 2ctg 45°

c)5csc 30° + 3tg 53°



d) 6tg 53° + 4tg37°

e) 2sen 53° + 2/5

f) 6tg 53° + 8tg 37°

g) (sec 60°)2 + 4tg37°

h) 5cos 53° - 4tg 37°

i) 6sec 53° + 9csc 37°

j) sec 53° + 1/3

k)tg 53° + 5/3

l) 5sen 30° + 2tg 37°

m) √3.sen 60° + sem 30°

n) (2sen 30°)4 + sec 60°



TRIÁNGULO NOTABLE DE 45°


sen 45° = √2 /2 csc 45° = √2

cos 45° = √2 /2 sec 45° = √2

tan 45° = 1 cot 45° = 1




k√2

45º

k

k 45º

25k

16º

24k

7k 74º


sen 16° = 7/25 csc 16° = 25/7

cos 16° = 24/25 sec 16° = 25/24

tan 16° = 7/24 cot 16° = 24/7


sen 74° = 24 /25 csc 74° = 25/24

cos 74° = 7/25 sec 74° = 25/7

tan 74° = 24/7 cot 74° = 7/24


1.Calcularo) sen 16° + tg 45°

p) (sec 45°)2 + 3ctg 45º

q) 2sen 45° - csc 45º

r) 7csc 16º + 5ctg 45º

s)7tg 74º - 5(csc 45º)2

t) 2cos 45º + 2sen 45º - sec 45º

u) 12tg 16º + ctg 16º



v)5sen 16º + 3/5

w) 7csc 16º - 10tg 45º

x)3ctg 45º + (csc 45º)2 – 25cos 74º

y)25sen 16º + 7ctg 16º + 24csc 74º

z)10(tg 45º)3 + 24ctg 74º - 25sen 16º

aa)√2.sen 45º + (sec 45º)2 – 25cos 74º

bb) √2.ctg 45º + 4cos 45º + 25√2.sen 16º

cc)sen 74º.csc 74º + 24tg 16º



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.En la figura: α y θ: son ángulos complementarios ( θ + α = 90º)

Se cumple:

Ejemplos:

sen 20º = cos 70º tg 47º = ctg 43º sec15º = csc 75º sen 12º = cos β → 12º + β = 90º

→ β =78º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

Siendo A un ángulo agudo que se cumple

Ejemplos:

sen 20º .csc 20º = 1 cos 80º .sec 80º = 1 tg 25º. Ctg α = 1 → α = 25º cos 42º.secβ = 1→ β = 42º



Sen α = Cos θTanα = Cot θSecα = Csc θ

Sen α .Cscα = 1Cosα . Secα =1Tg α . ctgα = 1

c

θ θ

a

b α


1.Del gráfico calcular x

a) sen 3x = cos 60º

b) ctg (x+10º) = tg 50º

c) cos 60º = sen 2x

d) sen 3x = cos 2x

e) ctg (x+10º) = tg (3x + 40º)

f) cos 4x = sen 2x

g) sen x = cos 20º

h) sen (x + 10º) = cos (2x + 20º)

i) ctg (x + 30º) = tg (x+ 20º)

j) sec (10º - y) = csc (x + y + 30º)

k) csc (x + y) = sec (2x - y)

l) ctg (x2 + 30) = tg (35)



m)cos x2 = sen 54

n) cos 6 = sen (x3 + 20)

o) tg (3x2 + 30) = ctg (x2 - 40)

p) sen (4x+10) = cos (20)

q) cos x2 = sen 65

r) cos 10 = sen (3x + 20)

s) tg (x2 + 10) = ctg (x2 +8)

t) sen (x+10) = cos (20)

u) ctg (x2 + 11) = tg (15)

2.Calcular xa) tg x .ctg 20º = 1

b) sec 50º .cos (x + 10º) = 1

c) csc (x + 20º) .sen 40º = 1



d) sen (2x + 10º) .csc (50º) = 1

e) sen (x -10º) .csc (20º - x) = 1

f) tg (5x – 15º) .ctg (x + 45º) = 1

g) sec (2x – 18º) .cos (72º - x) = 1

h) sec (3x + 15º) .cos (75º - x) = 1

i) tg (x + 10º) .ctg (30º - x) = 1

j) tg (x + y) .ctg (y + 20º) = 1

k) sec (x3 + 18º) .cos (72º - x3) = 1

l) tg (x2) .ctg (36) = 1

m)sec (x3) .cos (64) = 1

n) sec (2x + 15º) .cos (75º - x) = 1

o) tg (3x + 10º) .ctg (50º - x) = 1


-3

C B 0 A

-2 -1 0 1 3 2 3...

+-H ac ia el H ac ia el

...

P(a;b)

a

b

Y

X


p) tg (2x + 2y) .ctg (2y + 20º) = 1q) sec (x3 + 18) .cos (54) = 1

ÁNGULOS EN POSICIÓN

Conceptos Previos

Recta Numérica

Es la representación geométrica de los números reales, donde a cada punto le corresponde un número real.

O : origen -3 : es la coordenada del punto C √3 : es la coordenada del punto A

Plano CartesianoEs aquel plano que se forma por la intersección de dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, en sus orígenes.

Coordenada de un Punto


x

y

o

C

TERCER

CUADRANTE

III

C

SEGUNDO

CUADRANTE

II C

PRIMER

CUADRANTE

I

C

CUARTO

CUADRANTE

IV

1

3 4-1-1

-3

2

-2

-2

P(3;2)

S(4;-2)

R(-1;-3)

Q (-2;1)

Y

X

O

II IC

IIC IC

IV C

Lado F ina l de

Lado F ina l de

Eje positivo de las abscisas (lado inicialde todo ángulo enposición normal)


Veamos un ejemplo de Aplicación:

Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano.

a) P (3;2) b) Q (-2;1)c) R (-1;3) d) S (4;2)

Resolución:

Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se representa de la siguiente manera:

Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.:

Angulo en Posición Normal:

Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:

Su vértice es el origen de coordenadas.

Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas. Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a

que cuadrante pertenece dicho ángulo.


O

P(a;b) r

y

x


RAZONES TRIGONOMETRÍCAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN1.¿Cuáles de los ángulos no son

ángulos en posición normal?

a)

b)

c)

2.Hallar 2ctg θ


a

rcscα

b

rsecα

a

bcotα

b

atanα

r

bcosα

r

asenα

P(a;b)

O

y

x

α

r

θ

(-2;3)

θ

α

β


Rpta: ………….3.Hallar tg θ

Rpta: ………….

4.Hallar 3tg θ + 4ctg θ

Rpta: ………….

5.Hallar 13sen β + 12tg β

Rpta: ………….

6.Hallar 3.tg β + 5.ctg β

Rpta: ………….

7.Hallar √2.sen β + 5.tg β

Rpta: ………….

8.Hallar 13(sen α + cos α)

Rpta: ………….9.Hallar tg α + cotα


θ

(-1;2)

θ

(-3;4)

(-5;-12)

β

(-3;-5)

β

(-1;-1)

β

(12;-5)

α

(1;-5)

α


Rpta: ………….

10. Hallar 3tg α + 4cotα

Rpta: ………….

11. Hallar sen2 α + cos2 α

Rpta: ………….12. Hallar 5sen θ + 3ctg θ

Rpta: ………….

13. Hallar 5sen θ

Rpta: ………….

14. Hallar 7tg β + 5ctg β

Rpta: ………….15. Hallar .tg β + ctg β

Rpta: ………….

16. Hallar 2tg α – 3cotα

Rpta: ………….


(3;-4)

α

(√2;-√7)

α

θ

(3;4)

θ

(-3;4)

(-3;-5)

β

(-2;-4)

(-5;-12)

β

(-7;-5)

(3;-4)

α

(2;-3)


17. Hallar sen α + cos α

Rpta: ………….18. Sea (-4;-3) un punto del lado

final de un ángulo en posición normal θHallar: ctg θ

Rpta: ………….

19. Sea (2;-1) un punto del lado final de un ángulo en posición normal θHallar: A = √5.sen θ

Rpta: ………….

20. Sea (-4;-4) un punto del lado final de un ángulo en posición normal θHallar: A = tan θ + ctg θ

Rpta: ………….

21. Sea (-1;√3) un punto del lado final de un ángulo en posición normal θHallar: cos θ

Rpta: ………….22. Sea (-24;7) un punto del lado

final de un ángulo en posición normal θHallar: 25cos θ

Rpta: ………….

23. Si tg α = -1/3; α pertenece al IIC

Calcular cos αRpta: ………….

24. Si cos α = 2/3; α pertenece al IC

Calcular cot αRpta: ………….

25. Si sen θ = -3/5; θ pertenece al IVC

Calcular tg θ


(√2;-√7)

α

(1;-1)


Rpta: ………….26. Si sec θ = 4; θ pertenece al

IVC Calcular tg θ

Rpta: ………….

27. Si tg β = -2/5; β pertenece al IIC

Calcular csc β

Rpta: ………….

28. Si csc β = 3/2; β pertenece al IIC

Calcular ctg β

Rpta: ………….

29. Si cos β = 3/4; β pertenece al IC

Calcular tan β

Rpta: ………….

30. Si sen β = -5/6; β pertenece al IIIC

Calcular cot β

Rpta: ………….

31. Si sen β = -3/√19; β pertenece al IVC

Calcular tan β

Rpta: ………….

32. Si tan β = √5/6; β pertenece al IIIC

Calcular csc β

Rpta: ………….


Calcular cot β

Rpta: ………….34. Si tg β = -3/4; β pertenece al

IIC Calcular tan β + cot β



Rpta: ………….

35. Si tg β = -7/24; β pertenece al IVC

Calcular 25sen β

Rpta: ………….

36. Si sec θ = 2; θ pertenece al IVC

Calcular sen θ

Rpta: ………….

37. Si tg β = -1/3; β pertenece al IIC

Calcular csc β

Rpta: ………….38. Si csc β = 5/2; β pertenece al

IIC Calcular tg β

Rpta: ………….

39. Si cos β = 3/7; β pertenece al IVC

Calcular sen β

Rpta: ………….


Calcular tg β

Rpta: ………….

41. Si tg α = -1/2; α pertenece al IVC

Calcular sen α

Rpta: ………….42. Si cos α = 1/3; α pertenece al

IC Calcular tg α

Rpta: ………….

43. Si sen θ = -3/5; θ pertenece al IIIC

Calcular tg θ

Rpta: ………….


Y

X

Seny

CscLas demásR.T. Son (-)

Tgy

CtgLas demásR.T. Son (-)

Cosy

SecLas demásR.T. Son (-)

Todas las R.T.Son positivas

(+)

(+) (+)


Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.)

Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro:



REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Ejemplos: Reducir al primer cuadrante

a) Sen 120° = sen (180° - 120°) = sen 60°

b) Tg 135° = -tg (180° - 135°) = -tg 45°

c) Csc 106° = csc (180° - 106°) = csc 74°

d) Ctg 240° = ctg (240° - 180°) = ctg 60°

e) Sen 225° = -sen (225° - 180°) = -sen 45°

f) Sen 286° = -sen (360° - 286°) = -csc 74°


9 0

180° - α

α – 180° 360° - α

1 8 0

2 7 0

3 6 0 0


g) Sen 300° = -sen (360° - 300°) = -sen 60°

h) Ctg 323° = -ctg (360° - 323°) = - ctg37°

Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

Angulo

R.T

0º90º

п/2

180º

п

270º

3п/2

360º

2 п

Sen θ 0 1 0 -1 0

Cos θ1 0 -1 0 1

Tan θ0 N.D 0 N.D 0

Cot θ N.D 0 N.D 0 N.D

Sec θ 1 N.D -1 N.D 1

Csc θ N.D 1 N.D -1 N.D




1. Si sen θ < 0 y cos θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

2. Si tg θ < 0 y cos θ > 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

3. Si sec θ > 0 y csc θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

4. Si sen θ < 0 y tg θ > 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

5. Si csc θ < 0 y cos θ > 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

6. Si cos θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..7. Si sen θ < 0 y cot θ < 0,A qué

cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

8. Si tg θ < 0 y cos θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

9. Si sec θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

10. Si sen θ > 0 y sec θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

11. Si tg θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..

12. Si cos θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ

Rpta:……………..13. Si sec θ > 0 y sen θ < 0,A

qué cuadrante pertenece θ



Rpta:……………..

14. Reducir al primer cuadrante

a) Sen 240°

b) Tg 315°

c) Sec 160°

d) Cos 310°

e) Sen 148°

f) Ctg 320°

g) Csc 350°

h) Sen 315°

i) Tg 225°

j) Ctg 250°

k) Sen 190°

l) Csc 200°m) Sec 210°

n) Tg 245°

o) Ctg 318°

p) Sec 175°

q) Sen 110°

r) Csc 108°

15. Calcular:

E = sen 120° + √3. tg 150°

Rpta:……………..

16. Calcular: E = sen 220° + sen 140°

Rpta:……………..

17. Calcular: E = tan 225° + √2.sen 315°

Rpta:……………..18. Calcular:

E = tan 315° + √2.sen 315°

Rpta:……………..

19. Calcular:

E = tan 135° + √2.sen 225°

Rpta:……………..

20. Calcular:

E = ctg 135° + √2.cos 45°



Rpta:……………..

21. Calcular:

E = 4tan 217° + 3.tg 233°

Rpta:……………..

22. Calcular:

E = 5sen 233° + 10.cos 217°


E = 24tan 196° + 25.sen 196°

Rpta:……………..

24. Calcular: E = 2cos 240° + tan 315°

Rpta:……………..

25. Calcular: E = √2.cos 225° + √2.cos 315°

Rpta:……………..

26. Calcular: E = 25.cos 196° + √2.cos 225°

Rpta:……………..

27. Calcular:

E = √2.sec 225° + 5.tg 315°

Rpta:……………..28. Determinar el signo de :

E = cos 225°.tg 315°.sec 200°

Rpta:……………..

29. Determinar el signo de : E = tg 160°. sec 300°. cos 110°

Rpta:……………..

30. Determinar el signo de : E = cos 305°.tg 190°.sen 250°

Rpta:……………..

31. Determinar el signo de : E = cos 115°.ctg 170°.cos 260°

Rpta:……………..

32. Calcular: E = cos1°.cos 2°.cos 3°..........cos150°



Rpta:……………..33. Calcular

E = cos 335°.tg 359°.sen180°

Rpta:……………..

34. Calcular E = cos 225°.tg 315°.sen 360°

Rpta:……………..

35. Calcular: E = sen 90º + cos 360º + sen 270º

Rpta:……………..

36. Calcular:

E = sen 90º + 2cos 180º + 9sen 0º

Rpta:……………..

37. Calcular:

E = cos 90º + cos 270º + sen 270º


E = 6cos 90º- 4sen 270º + 7tan 360º

Rpta:……………..

39. Calcular:

E = 2cos π/2 + 3sen π – cos 2π

Rpta:……………..

40. Calcular:

E = 2sen π/2 + sen 3π/2 – cos π

Rpta:……………..

41. Calcular:



Rpta:……………..

44. Calcular:


θ

O

α

O

I. Cuando a un ángulo trigonométrico se le invierte su sentido, su signo cambiaII. Para sumar ángulos trigonométricos en un grafico estos deben de tener el mismo sentido.


Rpta:……………..

45. Calcular:

Rpta:……………..

46. Calcular:

Rpta:……………..

47. Calcular:

Rpta:…………….

Definición: Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, que gira alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

Donde:

O: Vértice del ángulo generado α: Angulo trigonométrico positivo θ: Angulo trigonométrico negativo


β

O Lado inicial

Lado final

α : signo positivo θ : signo negativo

40+2x

+10

Sol:

40 + 2x + 10 = 90ºx = 20º

El ángulo de una vuelta

El lado inicial y el lado final coinciden por primera vez


Ej.: Del gráfico hallar x

Ej.: Del gráfico hallar x

Sol: cambiando el sentido

3x + 9 + 2x – 4 = 180º5x = 175ºx = 35º

MEDICIÓN DE UN ÁNGULO

Ángulo de una Vuelta Es aquel ángulo que se genera cuando el lado final e inicial coincide por primera vez. La forma más lógica para medir el ángulo es el número de vuelta


40+2x

-10

4-2x 3x+9

2x-4 3x+9



1. Calcular x

Rpta:……………..

2. Del gráfico calcular x, si OB es bisectriz

Rpta:……………..


Rpta:……………..4. Del gráfico calcular x

Rpta:……………..


Rpta:……………..


Rpta:……………..7. Del gráfico calcular x

Rpta:……………..I.E.P. LA SORBONA 39

50+2x

-20

O

-30

20+x

C

A B

2x-4 3x+9

x-4020+5x

2x-110 x-10

6x

-2x-50 3x+30

x+20

10-x



Rpta:……………..

9. Calcular x

Rpta:……………..10. Del gráfico calcular el valor

de x

Rpta:……………..

11. Calcular x

Rpta:……………..

12. Calcular x

Rpta:……………..13. Calcular x

Rpta:……………..

14. Calcular x

Rpta:……………..

15. Calcular x


40+x

-30

50+3x

-x

8x

3x+10

-40º 90º

20°-8x

2x

-4x-50 x+30

20°-12x

50° -90°

20°+8x

2x-110 x-16

4x-34


Rpta:……………..16. Calcular x

Rpta:……………..

17. Calcular x

Rpta:……………..

18. Calcular x

Rpta:……………..


3x

-15

-120 x+30

-6x 150

5x

-40

LIBRO DE TRIGONOMETRÍA 5 PRI

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