Libro no 1386 breve historia del infinito, una interpretación marxista garcía colín, david...

¡Por una Cultura Nacional, Científica y Popular!

1

Colección Emancipación Obrera IBAGUÉ-TOLIMA 2015

GMM


2

© Libro No. 1386. Breve Historia del Infinito, una interpretación Marxista. García

Colín, David Rodrigo. Colección E.O. Enero 10 de 2015.

Título original: © Breve Historia del Infinito, una interpretación Marxista. David

Rodrigo García Colín Carrillo

Versión Original: © Breve Historia del Infinito, una interpretación Marxista. David

Rodrigo García Colín Carrillo

Circulación conocimiento libre, Diseño y edición digital de Versión original de

textos:

http://www.laizquierdasocialista.org/taxonomy/term/9

Licencia Creative Commons: Emancipación Obrera utiliza una licencia Creative Commons, puedes copiar, difundir o remezclar

nuestro contenido, con la única condición de citar la fuente.

La Biblioteca Emancipación Obrera es un medio de difusión cultural sin fronteras, no obstante los

derechos sobre los contenidos publicados pertenecen a sus respectivos autores y se basa en la

circulación del conocimiento libre. Los Diseños y edición digital en su mayoría corresponden a

Versiones originales de textos. El uso de los mismos son estrictamente educativos y está prohibida

su comercialización.

Autoría-atribución: Respetar la autoría del texto y el nombre de los autores

No comercial: No se puede utilizar este trabajo con fines comerciales

No derivados: No se puede alterar, modificar o reconstruir este texto.

Portada E.O. de Imagen original:

http://laizquierdasocialista.org/files/manos-en-el-infinito-3d-650495.jpg


3

Breve Historia del Infinito, una

interpretación Marxista

David Rodrigo García Colín Carrillo


4

Breve Historia del Infinito, una interpretación

Marxista

Escrito por:

David Rodrigo García Colín Carrillo


5

Introducción

Si preguntamos a cualquier persona por el significado del infinito encontraremos,

normalmente, respuestas relacionadas con Dios, la religión y la metafísica. Sin embargo,

desde que la filosofía materialista surgió en la antigua Grecia el infinito como problema

filosófico fue arrebatado como monopolio de la religión; desde entonces, a través de los

siglos, la ciencia ha estado tropezando con el infinito a pesar de los intentos por

expurgarlo de su presencia.

La resistencia obstinada a incorporar al infinito a nuestro entendimiento del universo

tiene que ver con el sentido común –cuya expresión elaborada es la lógica formal–, con

el hecho de que en la vida diaria y cotidiana los seres humanos nos relacionamos con

objetos y hechos que tienen un principio y un fin en el espacio y en el tiempo,

reconocemos los objetos porque son discernibles y finitos en relación a otros,

aprendemos a contar empezando por la unidad, sabemos que no podemos dividir un

objeto sin que en algún momento se pierda de nuestra vista, sabemos que nuestra vida

tiene un comienzo y un fin; pero la experiencia cotidiana tiende a omitir el hecho de que

todo fin es relativo en una cadena infinita de hechos que se relacionan, que no existe

principio ni fin absolutos. Naturalmente cada fenómeno visto de manera aislada tiene un


6

principio y un fin, pero su principio y fin es parte de un universo interconectado sin

principio ni fin. Debido a que en la naturaleza existe una interacción universal, el infinito

retorna a la ciencia, volviéndose un concepto elemental sin el cual ciencias como las

matemáticas modernas, el cálculo, la física cuántica y la Teoría del Caos no podrían

funcionar.

Así, la ciencia moderna nos ha mostrado que el infinito real está implícito en la

naturaleza: no sólo se trata de la posibilidad abstracta de sumar o restar infinitamente (la

noción común del infinito como una abstracción matemática puramente ideal), los

diversos niveles estructurales de la realidad (mundo subatómico, nivel molecular, los

cuerpos estudiados por la física de Newton, las galaxias, cúmulos de galaxias,

supercúmulos, etc.) son infinitos relativos, universos infinitos contenidos en otros

infinitos (el mundo subatómico es infinitamente pequeño en relación al mundo que nos

desenvolvemos todos los días, y éste, a su vez, es infinitamente pequeño en relación a

nuestra galaxia); después de que Dalton retomara la teoría atómica de la materia, cada

avance en el estudio del átomo ha demostrado que no existe tal cosa como la partícula

elemental, la ciencia se ha encontrado con un mundo subnuclear de partículas

elementales que no cesan de crecer y no dejan de mostrar sus estructura interna, hay

universos infinitos contenidos en una mota de polvo. Para los tiempos de vida de las

partículas subatómicas, que se miden en millonésimas de segundo, el tiempo de vida del

hombre aparece como infinitamente grande, pero nuestra vida es infinitamente pequeña

con relación a la formación de la vida en la tierra; hay infinitos momentos contenidos

en un momento finito. Para el cálculo diferencial e integral, la recta no es más que un

fragmento infinitamente pequeño de una curva, las rectas paralelas no son más que

fragmentos de un espacio curvo que se intersectan en un punto infinitamente grande en

relación a dichas rectas. Si descontamos la teoría del Big Bang –teoría a la que

volveremos–, la ciencia nos muestra un universo tan infinitamente grande como

infinitamente pequeño, tan infinito en el espacio como en el tiempo.

El infinito en la escuela Jónica

Los antiguos filósofos griegos presocráticos –sobre todo los de la escuela Jónica– solían

aceptar el infinito con mucha mayor naturalidad que en épocas posteriores, por la

sencilla razón de que ellos partían de un método dialéctico espontáneo para comprender

la realidad. Estos profundos pensadores daban por sentado que el universo era infinito

en el espacio y en el tiempo y la cuestión radicaba sólo en saber cuál era la materia


7

original que daba origen al universo que observamos ahora. Para Heráclito el universo

era un fuego eternamente vivo cuyo desarrollo y movimiento eran eternos. Para

Anaximandro, la materia infinita e indeterminada original (que llamaba “apeiron”) no

sólo había dado origen a nuestro planeta y a los animales acuáticos como los peces, de

los cuales evolucionó el hombre; sino que en su eterno movimiento origina una y otra

vez universos diferentes. Para Anaxágoras el origen de todo eran las llamadas

“homeomerías” o semillas infinitamente pequeñas y, a diferencia de los atomistas, estas

semillas también eran infinitamente divisibles en el espacio:

“En efecto –señala Anaxágoras en una profunda y dialéctica reflexión- “no hay mínimo

en lo pequeño, sino que siempre hay algo más pequeño (es imposible, en realidad, que

esto no sea), y también de lo grande hay siempre algo más grande. Y éste es igual a lo

pequeño en cuanto al número, en relación consigo mismo, todo es a la vez grande y

pequeño.”1

Los atomistas, un mundo infinito en lo grande pero finito en lo

pequeño

Los viejos atomistas creían que los átomos eran indivisibles e indestructibles –ponían

una barrera infranqueable a lo infinitamente pequeño para darle una base sólida al

conocimiento de la naturaleza, átomo significa “sin división”– pero concebían a los

átomos como eternos en el tiempo, a la vez que concebían al universo como infinito en

el espacio; curiosamente los atomistas rechazaron la existencia de lo infinitamente

pequeño pero lo aceptaron en la eternidad y en la inmensidad; en lo infinitamente grande,

en la existencia de infinitos mundos y estrellas generados por los átomos. Tito Lucrecio

Caro –el gran heredero y sistematizador del atomismo y ateísmo antiguo– desarrolló en

su maravilloso poema “De rerum natura” (Sobre la naturaleza) con agudos argumentos

para sostener la imposibilidad de la divisibilidad infinita de la materia; aunque

equivocados, porque el átomo es un universo que ha demostrado su divisibilidad, son

sumamente interesantes:

Si después no hay nada menor, estará

De infinitas partículas formado el más pequeño elemento;

La mitad siempre hallará su mitad


8

Y no habrá límite a la división en parte alguna.

¿Cómo distinguirás, entonces, del universo la más pequeña de las cosas?2

Para Lucrecio la idea de la infinita divisibilidad llevaba a un descenso infinito que

desafiaba al sentido común. Resultaría que la parte más pequeña del universo contendría

tantas partes como la más grande. Pero en realidad, como ya había observado

Anaxágoras y Heráclito, la noción de grande y pequeño es relativo y lo infinitamente

pequeño es, al mismo tiempo, infinitamente grande; nuestro universo está compuesto de

infinitos universos, cada uno con su estructura y leyes propias. Por tanto, lo

infinitamente pequeño es tan inagotable como lo infinitamente inmenso. Aunque los

atomistas erraron en su idea de la indivisibilidad atómica, no cabe ninguna duda que su

aporte al conocimiento de una de las estructuras más relevantes de la composición del

universo –un nivel de la realidad cuyo conocimiento será recuperado en1803 por John

Dalton, más de 1,800 años después– ha sido uno de los hitos más grandes en la historia

de la humanidad.

Si bien Lucrecio rechazaba lo infinitamente pequeño, aportó brillantes argumentos para

demostrar la infinitud del universo en el espacio. Como afirmaba:

“No tiene término el Universo en parte alguna…

Ni bordes tiene, ni límite, ni fin.

Y no importa en qué parte del mundo te halles:

Estés donde estés, desde el sitio que ocupas,

Infinito siempre será en todas sus direcciones.”3”

Si se supone que el universo es finito en el espacio debe haber algún límite que lo

contenga, Lucrecio refuta esta idea haciendo un experimento mental en donde un

hipotético sujeto lanza un dardo en el borde del universo:

“Dado que todo el espacio que exista se constituye finito, si alguno se adelanta al borde

extremo y lanza postrero un volátil dardo, ¿prefieres que así arrojado se dirija con

poderosa fuerza hacia donde fue enviado y vuele a la larga, o supones que algo puede

obstruir y detenerlo?”

Si la flecha prosigue su camino lo que se creía el límite no lo era, y si la flecha se clava

en una barrera, ese punto –para que la flecha se clave en él– debe tener extensión y por


9

tanto no es el final del universo. Curiosamente fue un filósofo pitagórico –Arquitas–

quien expresó la misma idea de otro modo:

“Supongamos que me encuentro en el mismísimo borde del Universo, en el mismo

firmamento celeste. ¿Puedo extender la mano o un bastón al espacio exterior o no lo

puedo hacer? Es absurdo suponer que no lo puedo hacer; peros si la extiendo, lo exterior

ha de ser cuerpo o espacio…en cada uno de esos casos podremos pasar a esa nueva

divisoria obtenida y hacer la misma pregunta. Como el bastón tropezará cada vez con

algo nuevo, resulta evidente que eso sucederá infinitas veces.”4

El argumento es brillante, y aún se puede utilizar para refutar la idea de un comienzo

absoluto del universo, aunque no con dardos ni bastones; efectivamente, si es verdad

que todo el universo surgió de una singularidad infinitamente pequeña, queda la

embarazosa cuestión de qué sucedía con los campos de dicha partícula; que sucedía, por

ejemplo, con el campo eléctrico de la singularidad. Dado que el campo eléctrico, de

acuerdo a la ley de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

entre dos cargas, sin que llegue a ser nunca igual a cero –hasta la partícula más

infinitamente pequeña tiene una influencia infinita en todo el universo por despreciable

que ésta sea– entonces la singularidad debía extender su existencia –y con ella la del

universo– hasta el infinito. Pero si la hipotética singularidad infinitamente pequeña

resulta, al mismo tiempo, en un universo infinito ¿por qué no asumimos de una vez que

el universo es infinito y la singularidad –de haber existido realmente– haber sido un

fenómeno más en un universo infinito?

Los terribles problemas de la indivisibilidad, los eleatas y la

teoría atomista

Los eleatas –más o menos contemporáneos de los primeros atomistas– demostraron las

contradicciones implícitas al movimiento –incluido el tema del infinito– para

fundamentar una visión rígida y estática del verdadero Ser; pero a pesar de sus fines

conservadores –y que el fondo su filosofía estaba equivocado– mostraron paradojas que

demuestran el carácter dialéctico del movimiento. Los eleatas proporcionaron brillantes

argumentos que mostraban que una partícula no puede ser indivisible, evidentemente

sus argumentos iban en contra de la teoría atomista.


10

Toda partícula para existir, sostuvieron los eleatas, debe ocupar un lugar en el espacio,

poseer extensión, pero esto implica su posible división al infinito en tanto cualquier

partícula, por pequeña que sea, debe ser extensa. Zenón planteó un experimento mental

para probar esto: supongamos un segmento de recta igual a la partícula más pequeña que

podemos imaginar, que suponemos indivisible (el átomo), y luego movemos esa

partícula de tal forma que pase por ese segmento en reposo; es claro que habrá un

momento en que una parte de la partícula esté dentro del segmento y otra esté afuera; la

partícula tendrá dos partes –la que está dentro del segmento y la que está fuera de él–;

por lo tanto, la partícula no puede carecer de partes, la partícula es divisible exactamente

por la línea que separa las dos partes de la partícula.

Es imposible suponer que átomos sin extensión puedan componer cuerpos extensos –

agregaron los eleatas– de la misma manera que es imposible obtener cualquier magnitud

sumando ceros. Si suponemos a los átomos con extensión debemos aceptar su

divisibilidad. La disyuntiva que los eleatas plantearon a los atomistas es: si dices que los

átomos componen el mundo, éstos deben ser extensos; pero si los supones extensos

deben ser divisibles. En ambos casos tu teoría nos lleva a contradicciones que la

invalidan, si los átomos (sin división) son divisibles, entonces, no son átomos; pero si

no son divisibles, entonces, no tienen extensión y no componen el mundo.

Atomistas como Demócrito trataron de superar estas brillantes objeciones aduciendo

que los átomos tienen extensión pero son físicamente indivisibles pues son

absolutamente lisos y no existe cuña que pueda introducirse en ellos para dividirlos. La

objeción de Demócrito es una simple estratagema sofística, pero al menos hizo el

intento. Ahora sabemos que los elatas tenían razón en abstracto –aunque los atomistas

fueron más acertados, en concreto, con su teoría atómica– y aunque la división del átomo

no puede entenderse en términos mecánicos como suponían los viejos atomistas, la

fisión atómica es tan real como la infame bomba de Hiroshima y Nagazaki. El argumento

de los eleatas sigue siendo válido para sostener la infinita divisibilidad de la materia; en

efecto, si todas las partículas subatómicas tienen propiedades como campo, spin,

“color”, momento magnético, etc., se debe admitir que estas propiedades –así como otras

tantas que ahora desconocemos– revelan la estructura propia de dichas partículas, su

naturaleza interna; es decir, su composición. Por lo tanto son tan inagotables como el

universo mismo.


11

El descubrimiento de todo un “ejército” constantemente creciente de partículas

subatómicas ha demostrado que la material es inagotable y no existe “partícula

elemental” sin composición. Ted Grant y Alan Woods señalan el hecho: “Durante siglos

los científicos han intentado en bajo encontrare los “ladrillos de la materia”, la última y

más pequeña partícula. Hace cien años pensaron que la había encontrado en el átomo

(palabra griega que significa “indivisible”). El descubrimiento de las partículas

subatómicas llevó a los físicos a penetrar más profundamente en la estructura de la

materia. En 1928, los científicos se imaginaban que habían descubierto las partículas

más pequeñas –protones, electrones y fotones, de los que se compondría todo el mundo

material-.Esto se vino abajo más tarde, con el descubrimiento del neutrón, el positrón,

el deuterón y toda una ristra de partículas, incluso más pequeñas, con una existencia a

cual más escurridiza: neutrinos, mesones pi, mesones mu, mesones k, etc. El ciclo vital

de algunas de estas partículas es tan evanescente, quizás la mil millonésima parte de un

segundo, que han sido calificadas de “partículas virtuales”, algo totalmente impensable

en la era precuántica5 El último integrante de este ejército en crecimiento constante es el

Boson de Higgs, partícula conocida más popularmente con el inadecuado y horroroso

mote de “Partícula de Dios” –en broma sus descubridores afirman que hubieran

preferido llamarla la “partícula maldita” por lo increíblemente difícil que fue su

detección-. La vida media de esta partícula es del increíblemente evanescente

“zeptosegundo”, es decir, la miltrillonésima parte de un segundo.

Zenón aportó, también, inmortales paradojas sobre la infinitud del movimiento y el

espacio: las paradojas de la “dicotomía” y la de “Aquiles y la tortuga” muestran estas

contradicciones. La primera de estas paradojas sostiene que si lanzamos cualquier objeto

a un objetivo situado a una distancia dada –por ejemplo 10 metros– el objeto, antes de

llegar al objetivo, deberá pasar por la mitad de la distancia que lo separa de éste, luego

por la mitad de esa mitad… y así hasta el infinito sin que el objeto consiga llegar a su

destino. Uno puede dividir cualquier magnitud a la mitad tantas veces como se quiera

sin que se llegue nunca al cero absoluto. La famosa paradoja de “Aquiles y la tortuga”

consiste en una hipotética carrera entre el mitológico Aquiles –el de los pies ligeros- y

una tortuga. Aquiles da a la tortuga una ventaja de 100 metros; cuando la tortuga alcanza

esa distancia, Aquiles –que en nuestro ejemplo es 10 veces más rápido- emprende su

carrera; cuando Aquiles alcanza los 100 metros, la tortuga habrá avanzado 10 metros;

cuando Aquiles llega a los 10 metros, la tortuga avanza 1 metro; cuando Aquiles llega

al metro la tortuga avanzó un decímetro, luego un centímetro…y así hasta el infinito sin

que Aquiles logre nunca alcanzar a la tortuga y ganar la carrera.


12

De manera plástica e intuitiva los eleatas estaban presentando, con sus paradojas, las

magnitudes infinitesimales que serán recuperadas muchos siglos después por Leibniz y

Newton para fundar el cálculo diferencial e integral. Algunos matemáticos modernos

afirman que con el concepto de límite del cálculo diferencial e integral –la magnitud

finita a la que tienden los números infinitesimales– se han resuelto las paradojas de

Zenón. Sin embargo la cosa no es tan sencilla; más bien la matemática moderna ha

sacado más contradicciones a la luz: qué clase de límite finito es aquél que contiene

infinitos números, cómo es posible un límite que se supone ilimitado, un límite al que

nunca se llega. Estas son la clase de contradicciones que las matemáticas modernas han

tenido que aceptar a regañadientes para poder funcionar normalmente. Para el

pensamiento dialéctico no existe problema alguno en aceptar la contradicción como real,

sin intentar diluirla o negarla en forma alguna.

Los pitagóricos y la raíz cuadrada de 2

La escuela pitagórica era a la vez una escuela filosófica-científica y una secta religiosa.

Era una orden cerrada que exigía secrecía y tenía toda una serie de ritos absurdos como

no comer alubias, no recoger nada que se ha caído y presumía el don de la adivinación.

Los pitagóricos creían en la transmigración de las almas y en toda una serie de símbolos

con poderes sobrenaturales. Desde el punto de vista de sus aportaciones científicas, los

pitagóricos sostenían que el cosmos –que viene del vocablo griego que significa orden,

proporción– puede ser entendido en términos matemáticos, de lo que deducían la

conclusión de que todas las cosas provenían del número, entendido como una entidad

abstracta trascendente al mundo material y situada en otro plano de la existencia.

Era el mundo vuelto al revés –propio del idealismo filosófico– pero contenía la idea

correcta de que el funcionamiento del cosmos puede ser expresado en términos

matemáticos. Así, los pitagóricos, encontraron patrones matemáticos en la música y en

las propiedades geométricas de la naturaleza. Relacionaron la longitud de las cuerdas y

las notas correspondientes, creyeron que las distancias entre los planetas corresponden

a las longitudes entre las cuerdas, creando una “armonía de las esferas” o música

celestial que los mortales no podemos escuchar. Relacionaron las dimensiones de la

naturaleza con los números: el 1 con el punto, el 2 con la línea –además el 2 representa

las dualidades opuestas como alma y cuerpo, limitado e ilimitado, etc. –, el 3 con la

superficie, el 4 con el sólido. La suma de estos números 1+2+3+4 = 10 que para los

pitagóricos era un número mágico y especial, simbolizado por la tétrada: un triángulo


13

compuesto por 10 esferas, símbolo esencial para los pitagóricos. La esfera era una figura

especial y perfecta puesto que carece de contradicciones –de ahí la idea de la armonía

de las esferas–, dado que cualquier punto en la superficie es equidistante del centro. Y

aunque seguramente tomaron conocimientos ya existentes entre los babilonios, a los

pitagóricos se les atribuye el famoso teorema de Pitágoras –que relaciona los catetos de

un triángulo rectángulo con su hipotenusa–, y la terna pitagórica –serie de tres números

que satisfacen la relación entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo-.

Los pitagóricos estaban obsesionados con la regularidad, la mensurabilidad y la

perfección. Creían que las relaciones matemáticas del mundo se reducían a números

naturales y racionales. Los números debían ser perfectos e inmutables para que

contrastaran con la imperfecta y mutable realidad material. Pero pronto se enfrentaron a

una contradicción que trataron de mantener en secreto porque minaba las bases de su

teoría filosófica. Descubrieron que la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 es

inconmensurable con respecto al lado del cuadrado; es decir, la relación entre ambas

magnitudes no se puede expresar en números racionales, no se puede expresar la relación

exactamente, lo que nos lleva directamente a la noción de infinito: la expresión decimal

de esta magnitud irracional, es infinita y no periódica. Lo que encontraron los pitagóricos

fue la raíz cuadrada de 2 que equivale a 1,414213562… con infinitos decimales no

periódicos. Con las calculadoras modernas podemos llegar a una mayor aproximación a

este número irracional:

1. 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176

679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297

024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755

799 950 501 152 782 060 571 470 109 559 971 605 970 274 534 596 862 014 728 517

418 640 889 198 609 552 329 230 484 308 714 321 450 839 762 603 627 995 251 407

989 687 253 396 546 331 808 829 640 620 615 258 352 395 054 745 750 287 759 961

729 835 575 220 337 531 857 011 354 374 603 408 498 847 160 386 899 970 699 004

815 030 544 027 790 316 454 247 823 068 492 936 918 621 580 578 463 111 596 668

713 013 015 618 568 987 237 235 288 509 264 861 249 497 715 421 833 420 428 568

606 014 682 472 077 143 585 487 415 565 706 967 765 372 022 648 544 701 585 880

162 075 847 492 265 722 600 208 558 446 652 145 839 889 394 437 092 659 180 031

138 824 646 815 708 263 010 059 485 870 400 318 648 034 219 489 727 829 064 104

507 263 688 131 373 985 525 611 732 204 024 509 122 770 022 694 112 757 362 728

049 573 810 896 750 401 836 986 836 845 072 579 936 472 906 076 299 694 138 047


14

565 482 372 899 718 032 680 247 442 062 926 912 485 905 218 100 445 984 215 059

112 024 944 134 172 853 147 810 580 360 337 107 730 918 286 931 471 017 111 168

391 658 172 688 941 975 871 658 215 212 822 951 848 847 208 969 463 386 289 156

288 276 595 263 514 054 226 765 323 969 461 751 129 160 240 871 551 013 515 045

538 128 756 005 263 146 801 712 740 265 396 947 024 030 051 749 531 886 292 563

138 518 816 347 800 156 936 917 688 185 237 868 405 228 783 762 938 921 430 065

586 956 868 596 459 515 550 164 472 450 983 689 603 688 732 311 438 941 557 665

104 088 391 429 233 811 320 605 243 362 948 531 704 991 577 175 622 854 974 143

899 918 802 176 243 096 520 656 421 182 731 672 625 753 959 471 725 593 463 723

863 226 148 274 262 220 867 115 583 959 992 652 117 625 269 891 754 098 815 934

864 008 345 708 518 147 223 181 420 407 042 650 905 653 233 339 843 645 786 579

679 651 926 729 239 987 536 661 721 598 257 886 026 336 361 782 749 599 421 940

377 775 368 142 621 773 879 919 455 139 723 127 406 689 832 998 989 538 672 882

285 637 869 774 966 251 996 658 352 577 619 893 932 284 534 473 569 479 496 295

216 889 148 549 253 890 475 582 883 452 609 652 409 654 288 939 453 864 662 574

492 755 638 196 441 031 697 983 306 185 201 937 938 494 005 715 633 372 054 806

854 057 586 799 967 012 137 223 947 582 142 630 658 513 221 740 883 238 294 728

761 739 364 746 783 743 196 000 159 218 880 734 785 761 725 221 186 749 042 497

736 692 920 731 109 636 972 160 893 370 866 115 673 458 533 483 329 525 467 585

164 471 075 784 860 246 360 083 444 911 481 858 765 555 428 645 512 331 421 992

631 133 251 797 060 843 655 970 435 285 641 008 791 850 076 036 100 915 946 567

067 688 360 557 174 007 675 690 509 613 671 940 132 493 560 524 018 599 910 506

210 816 359 772 643 138 060 546 701 029 356 997 104 242 510 578 174 953 105 725

593 498 445 112 692 278 034 491 350 663 756 874 776 028 316 282 960 553 242 242

695 753 452 902 883 876 844 642 917 328 277 088 831 808 702 533 985 233 812 274

999 081 237 189 254 072 647 536 785 030 482 159 180 188 616 710 897 286 922 920

119 759 988 070 381 854 333 253 646 021 108 229 927 929 307 287 178 079 988 809

917 674 177 410 898 306 080 032 631 181 642 798 823 117 154 363 869 661 702 999

934 161 614 878 686 018 045 505 553 986 913 115 186 010 386 375 325 004 558 186

044 804 075 024 119 518 430 567 453 368 361 367 459 737 442 398 855 328 517 930

896 037 389 891 517 319 587 413 442 881 784 212 502 191 695 187 559 344 438 739

618 931 454 999 990 610 758 704 909 026 088 351 763 622 474 975 785 885 836 803

745 793 115 733 980 209 998 662 218 694 992 259 591 327 642 361 941 059 210 032

802 614 987 456 659 968 887 406 795 616 739 185 957 288 864 247 346 358 588 686

449 682 238 600 698 335 264 279 905 628 316 561 391 394 255 764 906 206 518 602

164 726 303 336 297 507 569 787 060 660 685 649 816 009 271 870 929 215 313 236


15

828 135 698 893 709 741 650 447 459 096 053 747 279 652 447 709 409 924 123 871

061 447 054 398 674 364 733 847 745 481 910 087 288 622 214 958 952 959 118 789

214 917 983 398 108 378 827 815 306 556 231 581 036 064 867 587 303 601 450 227

320 882 935 134 138 722 768 417 667 843 690 529 428 698 490 838 455 744 579 409

598 626 074 249 954 916 802 853 077 398 938 296 036 213 353 987 532 050 919 989

360 751 390 644 449 576 845 699 347 127 636 450 716 327 915 470 159 773 354 863

893 942 325 727 754 003 826 027 478 567 417 258 095 141 630 715 959 784 981 800

944 356 037 939 098 559 016 827 215 403 458 158 152 100 493 666 295 344 882 710

729 239 660 232 163 823 826 661 262 683 050 257 278 116 945 103 537 937 156 882

336 593 229 782 319 298 606 467 978 986 409 208 560 955 814 261 436 363 100 461

559 433 255 047 449 397 593 399 912 541 953 230 093 217 530 447 653 396 470 662

761 166 175 351 875 464 620 967 634 558 738 616 488 019 884 849 747 926 404 506

544 489 691 004 079 421 181 692 579 685 756 378 488 149 898 641 685 499 491 635

761 448 404 702 103 398 921 534 237 703 723 335 311 564 594 438 970 365 316 672

194 904 935 188 290 580 630 740 134 686 264 167 247 011 065 346 349 391 640 714

628 556 798 017 793 381 442 404 526 913 706 660 977 763 878 486 623 800 339 232

437 047 411 533 187 253 190 601 916 599 645 538 115 788 841 380 843 323 210 533

767 461 812 178 014 296 092 832 411 362 752 540 887 372 905 129 407 339 479 433

061 943 956 936 702 079 429 515 878 228 349 321 931 666 411 130 154 959 469 837

897 767 434 443 539 337 709 957 134 988 407 890 850 815 892 366 070 088 658 105

470 949 790 465 722 988 880 892 461 282 816 013 133 701 029 080 290 999 745 647

849 581 545 614 648 715 516 390 502 419 857 906 131 093 458 783 306 200 262 207

372 471 676 685 455 499 904 994 085 710 809 925 759 928 893 236 615 438 271 955

005 781 625 133 038 153 146 577 907 926 868 500 806 984 428 479 152 424 275 441

026 805 756 321 565 322 061 885 751 225 113 063 937 025 362 927 161 968 251 259

192 025 216 058 701 189 596 732 244 239 267 423 734 490 764 646 727 375 347 964

598 819 149 807 931 718 002 423 855 453 886 038 368 310 800 779 182 466 462 754

117 444 250 018 727 779 518 164 383 451 463 461 299 020 763 343 017 968 554 385

631 667 723 518 389 336 667 042 222 110 939 144 930 287 963 812 839 889 311 731

308 430 042 125 550 185 498 506 529 455 637 766 031 461 255 909 104 611 384 768

282 359 592 477 228 629 042 642 736 163 264 585 443 392 877 263 860 343 149 804

896 397 363 329 754 885 925 681 149 296 836 126 725 898 573 833 216 436 663 487

023 477 302 610 106 130 507 298 611 534 129 948 808 774 473 111 229 542 652 751

653 665 911 730 142 360 626 525 869 077 198 217 037 098 104 644 360 477 226 739

282 987 415 259 306 956 206 384 710 827 408 218 490 673 723 305 874 302 970 924

289 948 173 924 407 869 375 284 401 044 399 048 520 878 851 914 193 541 512 900


16

681 735 170 306 938 697 059 004 742 515 765 524 807 844 736 214 410 501 620 084

544 412 225 595 620 298 472 594 035 280 190 679 806 809 830 039 645 398 568 593

045 862 526 063 779 745 355 992 774 729 906 488 874 545 124 249 607 637 801 086

390 019 105 809 287 476 472 075 110 923 860 595 019 543 228 160 208 879 621 516

233 852 161 287 522 851 802 529 287 618 325 703 717 285 740 676 394 490 982 546

442 218 465 430 880 661 058 020 158 472 840 671 263 025 459 379 890 650 816 857

137 165 668 594 130 053 319 703 659 640 337 667 414 610 495 637 651 030 836 613

489 310 947 802 681 293 557 331 890 551 970 520 184 515 039 969 098 663 152 512

411 611 192 594 055 280 856 498 931 958 983 456 233 198 368 349 488 080 617 156

243 911 286 631 279 784 837 197 895 336 901 527 760 054 980 551 663 501 978 555

711 014 055 529 763 384 127 504 468 604 647 663 183 266 116 518 206 750 120 476

699 109 872 191 044 474 403 268 943 641 595 942 792 199 442 355 371 870 429 955

924 031 409 171 284 815 854 386 600 538 571 358 363 981 630 945 240 755 700 932

516 824 344 168 240 836 197 927 337 282 521 546 224 696 153 321 702 682 995 097

908 903 459 485 887 834 943 961 620 435 842 249 739 718 711 395 892 730 509 219

705 491 717 696 160 044 558 089 942 787 888 036 916 943 289 459 514 722 672 292

612 485 069 617 316 380 941 082 186 004 528 610 269 654 757 630 431 025 602 715

231 396 948 213 551 982 140 971 654 909 731 999 283 492 567 409 749 039 229 712

634 869 341 457 493 319 804 171 807 611 196 390 227 866 407 592 243 416 776 246

623 623 891 311 027 034 330 457 636 814 112 832 132 630 858 223 945 621 959 808

661 293 999 620 123 415 617 631 817 431 242 008 901 498 384 856 048 087 986 460

839 359 649 236 651 429 681 257 731 432 291 456 871 682 762 199 611 827 826 953

157 498 380 262 465 175 905 410 397 618 128 760 421 638 613 450 221 326 272 775

661 244 113 361 077 519 555 774 950 865 636 067 378 665 062 318 564 069 912 280

187 574 178 549 466 125 327 599 769 796 059 776 059 075 648 910 666 101 583 841

720 281 853 043 211 904 465 775 255 427 754 379 872 605 488 173 619 826 758 168

628 329 526 078 993 222 668 360 283 851 351 228 105 931 859 102 864 150 815 705

631 971 731 518 313 625 024 359 041 463 212 239 217 663 398 268 936 825 315 053

005 989 154 702 909 537 193 266 207 341 123 494 743 367 884 690 201 390 497 842

852 163 414 429 214 589 558 287 847 669 394 646 426 781 221 904 978 563 635 526

336 827 805 186 009 869 924 893 778 600 239 876 916 980 765 662 194 389 854 437

080 594 643 336 233 381 058 745 816 235 475 600 136 592 435 242 657 143 083 465

545 768 002 370 814 675 732 525 470 255 074 763 747 163 506 785 159 917 369 379

325 103 268 276 062 864 591 461 820 472 148 637 037 077 192 692 682 362 333 472

037 924 596 469 181 052 613 915 308 628 029 144 096 548 256 387 309 273 042 654

466 292 904 589 606 375 191 871 146 934 536 197 332 478 957 270 703 153 093 090


17

192 119 919 999 361 576 500 350 398 405 406 742 538 792 752 792 272 473 356 677

060 783 791 138 448 893 626 136 765 706 026 360 031 513 295 209 539 520 285 489

738 448 625 613 492 441 470 860 708 660 267 634 997 879 342 087 583 612 194 711

699 422 384 848 259 591 430 452 810 706 260 150 896 913 530 301 772 006 271 705

440 209 066 951 491 527 459 771 970 594 769 547 409 521 028 787 255 785 688 002

219 371 774 355 811 079 393 088 338 455 864 827 729 100 862 955 456 614 130 672

123 084 874 022 712 105 868 632 338 823 741 388 442 893 815 544 464 710 575 565

146 843 570 294 663 506 289 387 356 986 868 837 648 032 651 952 841 465 351 739

530 273 612 013 742 030 098 673 983 851 432 190 043 602 898 269 829 352 939 941

412 923 058 038 456 502 270 721 681 516 194 101 144 982 630 136 490 087 704 839

848 838 609 065 336 859 905 458 389 520 318 564 804 149 327 214 239 086 516 499

943 165 920 796 595 356 943 072 311 291 162 928 679 751 715 668 890 543 932 203

569 129 332 457 020 806 719 444 049 730 494 398 140 822 782 960 279 942 454 108

316 667 592 142 483 518 272 381 720 504 103 927 428 880 155 622 338 079 614 751

243 351 473 102 128 454 594 489 944 499 600 075 243 751 957 011 668 341 744 749

079 588 209 951 783 676 802 323 651 767 497 230 148 745 774 272 599 476 096 219

843 271 483 529 861 119 027 287 358 490 521 797 590 837 419 748 602 670 605 374

623 153 003 937 521 236 786 775 284 869 219 585 713 755 426 968 482 783 631 786

110 993 368 014 391 590 597 484 285 805 451 613 023 014 397 905 701 610 889 862

777 961 075 067 333 267 604 865 492 925 139 978 139 053 588 227 689 373 220 494

148 394 013 556 035 656 044 214 017 612 060 513 180 689 198 996 260 618 483 185

340 183 623 782 172 663 758 045 524 719 626 617 492 542 285 280 457 144 204 857

834 211 322 800 852 870 420 548 899 234 127 855 481 236 761 537 707 104 254 469

868 521 991 122 835 426 634 999 712 748 366 076 246 241 820 736 466 617 128 394

748 473 280 474 430 403 344 107 200 428 727 127 567 027 956 758 242 926 271 945

458 053 002 666 489 965 079 569 778 178 621 942 172 005 237 165 369 467 704 195

111 912 704 624 836 051 130 289 046 437 751 148 694 887 849 615 118 841 471 910

001 255 883 836 660 677 208 411 235 153 558 811 267 789 571 558 590 412 576 261

601 067 513 153 580 212 427 331 871 000 635 824 954 504 099 579 407 254 798 900

316 826 512 373 119 055 668 291 519 430 537 084 893 078 691 974 282 904 903 860

372 311 609 928 342 431 712 225 099 454 715 019 286 664 878 710 795 199 518 005

463 388 384 431 548 172 463 548 024 451 803 084 527 343 100 062 137 103 462 573

306 001 234 973 744 355 818 096 567 846 464 153 390 514 656 919 324 562 353 140

577 919 369 898 842 364 718 352 537 580 525 771 331 120 079 710 406 831 549 266

540 202 604 680 681 839 143 782 721 476 906 324 246 951 712 863 673 844 313 983

337 117 615 941 869 993 466 262 345 373 452 356 794 012 416 809 229 116 360 956


18

372 167 452 839 170 990 914 664 850 739 205 151 605 604 737 871 061 547 021 699

607 465 693 097 944 261 214 692 561 593 425 649 401 912 298 951 473 254 471 518

126 325 836 889 728 226 283 329 524 035 970 072 786 336 460 459 470 712 417 472

946 877 570 595 815 734 996 284 809 956 783 925 547 424 044 899 188 707 106 967

524 250 774 520 122 936 081 057 414 265 323 472 406 416 214 103 335 334 055 110

452 126 175 035 902 840 374 545 918 645 047 276 243 420 717 709 297 935 401 021

409 646 450 283 683 418 040 758 608 100 140 721 619 247 717 980 985 968 111 540

446 443 728 568 959 286 831 977 797 786 934 641 598 469 745 133 917 741 537 904

877 880 830 022 058 335 046 746 555 323 028 587 325 835...

Y así hasta el infinito. Esto nos lleva a la contradicción de tener una magnitud que no se

puede medir exactamente, un número innumerable pero infinito. Esta contradicción

causó un profundo shock, los pitagóricos creyeron que habían encontrado un error en la

creación de Dios y juraron guardar el secreto. Fue una de las primeras veces en la historia

de la filosofía en que se trató de ocultar la verdad para salvar los dogmas de una escuela.

Se dice que el pitagórico Hippaso fue arrojado al mar por haber revelado el secreto de

lo que ahora conocemos como números irracionales. El celo matemático de los

pitagóricos contribuyó al avance de la ciencia pero su dogmatismo, al mismo tiempo,

detuvo el desarrollo de las matemáticas durante siglos. Los números irracionales fueron

redescubiertos por los árabes durante el siglo V y en la Europa renacentista entre los

siglos XVI y XVII. Los números irracionales son fundamentales para medir el volumen

de los cilindros, para conocer las propiedades de Pi; la constante Planck es un número

irracional. En pocas palabras, lo que los pitagóricos trataron de ocultar es fundamental

para la ciencia moderna y la física cuántica.

El universo se vuelve terriblemente finito durante más de mil

años

Aristóteles fue uno de los más grandes genios de la antigüedad, su filosofía tendía

principalmente al materialismo y su teoría del conocimiento al empirismo; sus

contribuciones teóricas abarcan una sorprendente variedad de temas. Era un verdadero

enciclopedista que conocía casi todo lo que en su tiempo se podía conocer. Pero

Aristóteles retrocedió en puntos fundamentales en relación al materialismo jónico:

estableció una perniciosa separación entre la tierra y el cielo; la tierra estaba compuesta

de cuatro elementos y los cielos de un quinto elemento llamado éter, la tierra era el


19

centro del universo. Aristóteles encogió infinitamente el universo que para los primeros

materialistas se suponía infinito. Para él el infinito sólo era una posibilidad abstracta, la

posibilidad de sumar infinitamente, pero rechazaba la existencia del infinito actual, real.

Durante la Edad Media se combinará la obsesión con la perfección de Pitágoras y Platón,

con la teoría Aristotélica del éter –además de su lógica formal cerrada y unilateral–, para

concebir un mundo material imperfecto en el centro del universo, alrededor del cual –

lejos de la corrupción terrenal– giraban seis esferas –construidas de un material diferente

y superior al terrestre– con sus respectivos planetas anidados en los cinco sólidos

perfectos: sólidos cuyos lados eran polígonos regulares. Esta visión dogmática y cerrada

del universo dominará la mente de los hombres durante más de mil años de oscurantismo

medieval, un mundo que había sido infinito de repente se volvió infinitamente pequeño

y estrecho. Nuevas revoluciones sociales y científicas serán necesarias para derribar ese

mundo estrecho y sofocante.

La cuadratura del círculo y el número inumerable

A pesar de los intentos de la escuela pitagórica por expulsar al infinito del reino de las

matemáticas, el famoso científico heleno Arquímedes se volvió a tropezar con él –en el

siglo III a.C.-cuando intentó calcular el área del círculo. Este problema no se podía

resolver con la matemática euclidiana que sirve bastante bien para medir distancias y

ángulos entre rectas pero que pasa por terribles y embarazosas aventuras cuando las

líneas comienzan a curvarse, cuando la escuadra y el compás no son suficientes.

Ya los babilonios habían descubierto que la relación entre el diámetro y el perímetro de

la circunferencia se mantenía constante sin importar el área del círculo, al principio

calcularon la relación –que ahora conocemos como Pi- en 3, luego en 3.125; en el año

1650 a. C. los egipcios llegaron a una aproximación asombrosa: 3.160496. El mérito de

Arquímedes, más que la medición en sí, fue el método que utilizó para establecer la

relación entre el círculo y su diámetro y, con ello, lograr una medición más exacta del

área del círculo: consistió virtualmente en intentar la cuadratura del círculo y, de paso,

reencontrarse con los números irracionales y el infinito.

El método, como se muestra en la figura, consistió en inscribir dentro del círculo un

polígono regular con tantos lados que casi tocaran el perímetro del círculo y cuya área,

por tanto, se aproximara a la del éste. A partir del polígono inscrito al círculo se pueden

construir triángulos isósceles con los cuales se obtiene al área del polígono y una


20

aproximación a la del círculo; además, con los triángulos resultantes se puede construir

un cuadrado que tenga aproximadamente la misma área que la del círculo. Lograr un

cuadrado con la misma área de un círculo – problema conocido como “la cuadratura del

círculo”- había sido un dilema contra el que los filósofos de la antigüedad clásica se

habían roto la cabeza. Aunque estrictamente es imposible cuadrar el círculo ya que Pi

no es raíz cuadrada de una ecuación polinómica –cosa que se descubrió hasta 1882-,

Arquímedes logró una genial aproximación para la resolución virtual de un desafío que

hasta ahora es sinónimo de algo imposible. Este método de aproximación se llama

“exhausción”; había sido creado por Eudoxo un siglo antes que Arquímedes, aquél lo

había aplicado para establecer teoremas relativos a conos y cilindros.

Arquímedes no conocía los números decimales así que tuvo que expresar la relación

entre el diámetro y el círculo en forma de desigualdades, calculándola en algún valor

entre 3+10/71 y 3+1/7. Con este brillante método Arquímedes rozaba el reino del

Cálculo diferencial puesto que calculaba valores cada vez más pequeños

(infinitesimales) que se aproximaban infinitamente a un límite sin llegar nunca a él. Esta

es la razón de que Pi sea un número irracional; su valor aproximado es 3.141592, el

cálculo más exacto se ha hecho con el record de más de dos y medio billones de cifras

decimales, que demuestran que en Pi está contenido un infinito inconmensurable. En

1882 se demostró que Pi, además de irracional, es trascendente porque no es raíz de

ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales; lo que significa que no es un

número algebraico: ¡Un número que no es numerable! No sabemos si con el

descubrimiento del infinito perdido -de la misma manera que celebró cuando descubrió

el principio hidrostático que lleva su nombre- Arquímedes salió desnudo a la calle

gritando ¡Eureka!


21

El universo se vuelve terriblemente finito durante más de mil

años

Aristóteles fue uno de los más grandes genios de la antigüedad, su filosofía tendía

principalmente al materialismo y su teoría del conocimiento al empirismo; sus

contribuciones teóricas abarcan una sorprendente variedad de temas. Era un verdadero

enciclopedista que conocía casi todo lo que en su tiempo se podía conocer. Pero

Aristóteles retrocedió en puntos fundamentales en relación al materialismo jónico:

estableció una perniciosa separación entre la tierra y el cielo; la tierra estaba compuesta

de cuatro elementos y los cielos de un quinto elemento llamado éter, la tierra era el

centro del universo. Aristóteles encogió infinitamente el universo que para los primeros

materialistas se suponía infinito. Para él el infinito sólo era una posibilidad abstracta, la

posibilidad de sumar infinitamente, pero rechazaba la existencia del infinito actual, real.

Durante la Edad Media se combinará la obsesión con la perfección de Pitágoras y Platón,

con la teoría Aristotélica del éter –además de su lógica formal cerrada y unilateral-, para

concebir un mundo material imperfecto en el centro del universo, alrededor del cual -

lejos de la corrupción terrenal- giraban seis esferas –construidas de un material diferente

y superior al terrestre- con sus respectivos planetas anidados en los cinco sólidos

perfectos: sólidos cuyos lados eran polígonos regulares. Esta visión dogmática y cerrada

del universo dominará la mente de los hombres durante más de mil años de oscurantismo

medieval, un mundo que había sido infinito de repente se volvió infinitamente pequeño

y estrecho. Nuevas revoluciones sociales y científicas serán necesarias para derribar ese

mundo estrecho y sofocante.


22

El martirio de Giordano Bruno y los infinitos

mundos

Las ideas materialistas de Lucrecio fueron recuperadas a inicios del siglo XV por el

cardenal alemán Nicolás de Cusa. Éste sostuvo que el universo es infinito y por tanto no

tiene centro, que la tierra no ocupa el centro del cosmos y que es semejante a otros

planetas; desarrolló una filosofía panteísta –la idea de que Dios y la naturaleza son lo

mismo–precursora del materialismo moderno: “Dios está en todas las cosas, de la misma

manera que todas ellas están en él”.1 La estafeta heredada por Lucrecio, Cusa y

Copérnico fue retomada por el fraile dominico Giordano Bruno en el siglo XVI, más de

mil años después de Lucrecio. La irreductible convicción sobre la infinitud del universo

y la infinidad de mundos –algunos de ellos habitados por animales y seres inteligentes–

que adornaban el cosmos, le costará a Giordano el destierro, ocho años de cárcel y

finalmente morir en la hoguera de la Inquisición por su negativa a retractarse de sus

ideas. Se mantuvo firme hasta el heroísmo, después de años de martirio desafió a sus

jueces diciendo “Tembláis más vosotros al anunciar esta sentencia que yo de

escucharla” 2 y se negó a besar el crucifijo que los monjes católicos le ofrecieron. El 17

de febrero de 1600 fue quemado vivo en la Plaza de Flores, en Roma. Su muerte y sus


23

ideas nos abrieron las puertas de un universo infinito, puertas que, durante más de mil

años, habían sido cerradas a la humanidad por el dogmatismo medieval. Otro más de los

crímenes inenarrables de la Iglesia Católica.

Las primeras grietas en un mundo finito:

Copérnico, Kepler, Galileo y Newton

"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"

Newton

De acuerdo a la concepción de Ptolomeo el universo tenía como centro a una redonda

pero corrupta tierra –algunos clérigos sostenían que la tierra era plana–; los planetas, el

Sol y las estrellas giraban alrededor de la tierra unidos a esferas perfectas. “[Los

planetas] no estaban sujetos directamente a las esferas sino indirectamente a través de

una especie de rueda excéntrica. La esfera gira, la pequeña rueda entra en rotación, y

Marte, visto desde la tierra, va rizando su rizo.”3 Este modelo permitía “explicar” el

movimiento estelar y el aparentemente caprichoso movimiento excéntrico de los

planetas. Pero los vientos frescos y revolucionarios del Renacimiento Europeo –

impulsados por la acumulación originaria del capital, por el desarrollo de nuevas y más

progresivas relaciones sociales– permitieron el acceso a fuentes clásicas griegas, a viejas

tesis como la de Aristarco de Samos quien por primera vez sostuvo que la tierra giraba

alrededor del Sol; Eratóstenes quien mil doscientos años antes del Renacimiento –

solamente comparando el ángulo de las sombras proyectadas en el solsticio de verano

por un poste en Alejandría y en un pozo en Siena–, había logrado la hazaña de medir la

circunferencia terrestre; Apolonio de Pérgamo que antes que Kepler había afirmado que

los planetas giraban alrededor del Sol siguiendo la elipse. Para algunos filósofos griegos

la tierra era un planeta más en nuestro sistema y no el centro del universo.

En 1543 un clérigo polaco llamado Nicolás Copérnico recuperó la tesis heliocéntrica de

los antiguos griegos –aunque se sabe que consultó a los antiguos, no los cita en su De

revolutionibus orbium coelestium–. Si bien el modelo heliocéntrico permitía explicar

mejor el movimiento de los seis planetas conocidos, atentaba contra los dogmas que

habían reinado por más de mil años. El texto de Copérnico fue incluido, por la iglesia

Católica, en las lista de los libros prohibido; lugar que ocupó hasta 1835. Incluso Martín


24

Lutero condenó de forma insultante la tesis de Copérnico: “astrólogo advenedizo… Este

estúpido quiere trastocar la ciencia astronómica. Pero la Sagrada Escritura nos dice que

Josué ordenó pararse al Sol, y no a la tierra.”4 El debate sobre el lugar de la tierra en el

cosmos no era para el orden establecido una discusión científica, sino un tema político

e ideológico en el que no se podía ceder ni un palmo.

Kepler (un humilde maestro provinciano, estudioso de las matemáticas) se convirtió –

después de la muerte del matemático Tycho Brahe, de quien había sido ayudante– en

matemático imperial de Rodolfo II en Praga. Con base en las observaciones de los

planetas legadas por Brahe, Kepler trató de explicar el movimiento aparentemente

inexplicable de marte, incorporando la tesis herética de Copérnico. Al principio Kepler

intentó tozudamente explicar el movimiento de marte mediante órbitas circulares ya que

“la mente se estremece sólo de pensar en otra cosa […] sería indigno imaginar algo así

en una creación organizada de la mejor manera posible.”5 Después de meses de

desesperación y de haber probado con órbitas ovaladas y con ángulos diferentes,

descubrió que la elipse encajaba a la perfección con las observaciones de su maestro.

Kepler afirmó: “la verdad de la naturaleza, que yo había rechazado y echado de casa,

volvió sigilosamente por la puerta trasera, y se presentó disfrazada para que yo la

aceptara… ah, ¡qué pájaro más necio he sido!”.6 El descubrimiento de Kepler es aún más

meritorio cuando se considera que intentó ser ministro protestante, era creyente de la

astrología e, inicialmente, ferviente seguidor del sistema ptolemaico; pero pudo, a pesar

de ello, remontarse sobre sus propios prejuicios y debelar la verdad, aunque ello

significara –según sus propias palabras– “una cubetada de estiércol”; una que abriría de

par en par un universo cerrado, mostrando que la tierra no era más que otro planeta

girando en órbitas “imperfectas” alrededor del Sol.

Un mundo infinito se abría así ante las futuras generaciones. Galileo, inventor del

telescopio, gran científico y matemático, escudriño un universo asombroso con ojos

nuevos por primera vez en siglos. El impacto de encontrar que la Luna y el Sol tienen

imperfecciones –cráteres, montañas lunares; manchas solares, las lunas de Júpiter, etc.

– fue tal que cuando Galileo invitó a un clérigo a que mirara con sus propios ojos, éste

dijo que las manchas estaban en sus ojos pero no en el Sol. Encontrar nuevos objetos

celestes en un mundo cerrado removió prejuicios antiquísimos, alguno de sus detractores

escribió: “Los astrólogos han hecho sus horóscopos teniendo en cuenta todo aquello que

se mueve en los cielos. Por lo tanto los astros mediceos no sirven para nada y, Dios no

crea cosas inútiles, estos astros no pueden existir”; en 1616 el Santo Oficio declara la


25

teoría de Galileo como “una insensatez, un absurdo en filosofía, y formalmente

herética.” No fue suficiente que los ciegos ojos de los clérigos observaran lo innegable,

aun así Galileo fue obligado –en dos procesos, el primero firmado por el Papa Pablo V

y el segundo por el Papa Urbano VIII, impulsados por el mismo cardenal que envió a la

hoguera a Giordano Bruno– a retractarse de la tesis de que la tierra giraba alrededor del

Sol o a sufrir torturas y prisión de por vida. Se retractó, pero se dice que desafiantemente

le espetó a la Inquisición al final del proceso: “Eppur si muove” (sin embargo se mueve).

El hombre que se había atrevido a mirar –en un mundo regido por ciegos– las montañas

lunares y un el Sol que gira sobre su eje ligeramente inclinado, vivió sus últimos días de

vejez bajo arresto domiciliario y completamente ciego; por lo menos pudo desquitarse

de la inquisición publicando algunas de sus obras, pasadas de contrabando, en Francia y

Estrasburgo. Aunque ciego, vio más lejos que nadie en su tiempo. Incluso Descartes

renunció a publicar sus ideas atomistas por miedo a sufrir el destino de Galileo.

Kepler –apoyándose en Galileo– formuló tres leyes que gobernaban la traslación de los

planetas alrededor del Sol. Newton, remontándose sobre los hombros de sus antecesores,

vinculó esas leyes a otras más generales que serán conocidas como las tres leyes de la

gravitación universal y que podrían las bases de la ciencia y de la mecánica por los

siguientes doscientos cincuenta años. Gracias al conocimiento de estas leyes el hombre

pudo poner sus pies en la luna cuyos cráteres Galileo observó con su telescopio por

primera vez siglos atrás. Se demostró que las mismas leyes que gobiernan la caída de

una manzana en la tierra, gobiernan el movimiento de los infinitos cuerpos celestes del

universo. El universo cerrado del medioevo se hizo añicos para siempre, los cielos ya

no eran más el reino inaccesible de Dios.

Sin embargo, todo avance –decía Engels– es a la vez un retroceso: aunque nuevamente

la tierra fue integrada a un universo que se presentaba infinito, la concepción mecánica

verá en el universo un simple mecanismo de relojería: rígido, repetitivo, sin vida y cuyo

movimiento se tendía a explicar por la mano de un Dios que le dio cuerda.

El cálculo infinitesimal, lo infinitamente

pequeño contenido en lo finito

Descartes, Leibniz y Newton, –a pesar del pensamiento mecánico dominante– se

encontraron con el infinito nuevamente y, al mismo tiempo, con la dialéctica. El cálculo

del movimiento siguiendo elipses que descubrió Kepler planteó a rajatabla la medición


26

de curvas y sus tangentes. Descartes estudió el problema del cálculo de tangentes. El

desarrollo de máquinas y la necesidad de la medición más exacta del movimiento

mecánico obligaron a la búsqueda de nuevos sistemas matemáticos. La medición del

movimiento en el tiempo y el espacio mecánicos llevó al plano cartesiano ideado por

Descartes; la necesidad de medir la velocidad instantánea de un cuerpo, especialmente

de un cuerpo siguiendo una trayectoria curvilínea, llevó a la necesidad de desarrollar el

cálculo diferencial e integral, problema planteado inicialmente por Descartes.

Éste nuevo tipo de cálculo opera con cambios infinitamente pequeños representados en

el plano cartesiano por funciones que Newton llamó “fluxiones” pero cuya

argumentación era oscura. Leibniz creo –al mismo tiempo que Newton– un método más

claro para medir la distancia entre curvas y sus tangentes manejando cantidades más

pequeñas que cualquier número pero mayores que cero y, al mismo tiempo,

considerando a esas pequeñas magnitudes iguales a cero con respecto a la integral.

¿Cómo era esto posible? ¿Cómo puede haber cantidades menores que cualquier número

pero diferentes de cero? ¿Cómo se puede considerar una cantidad mayor que cero como

nula o cero con respecto a su integral?

Aunque no es exactamente como fue explicado por sus fundadores, la diferenciación e

integración consisten en calcular mediante funciones, magnitudes infinitesimales,

necesarias para medir el área infinitamente pequeña debajo de una curva o para medir

cualquier cambio mínimo con la mayor precisión posible –tanto el cálculo de áreas como

de velocidades se pueden representar como el cálculo de áreas bajo la gráfica de una

función, que es como se expresa gráficamente el cálculo diferencial e integral–. La

integración consiste en sumar esos infinitos mínimos para “integrarlos” dentro de una

magnitud infinitamente más grande en relación a esos números infinitesimales

considerados iguales a cero en relación a su límite. El cálculo diferencial e integral va

de lo infinito pequeño a un infinito mayor y a la inversa; cuando la función se integra ya

no nos encontramos con la función inicial sino con una cualitativamente nueva que

incorpora los cambios infinitesimales –que paradójicamente eran considerados como

cero–. Implica al límite de una función como la parte finita de una relación, y la

diferencial como la magnitud infinitamente pequeña contenida en esa magnitud finita.

Así el cálculo infinitesimal lleva implícito –desde el punto de vista filosófico- la relación

dialéctica –planteada en el plano matemático- de lo finito y lo infinito. Una relación de

opuestos.


27

Actualmente el concepto geométrico de la derivada de una función se define como la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto x, por otra parte la

integral de una función es el límite de la suma infinita de áreas infinitamente

pequeñas. Si tenemos una función de posición, físicamente la derivada nos representa

la velocidad de cambio en la posición, si tenemos una función que representa la

velocidad e integramos obtenemos la función de posición; ambas operaciones son

“opuestas" pero complementarias. Aunque la definición puede parecer obscura y

abstracta para aquéllos que no estamos relacionados con el cálculo, lo que nos interesa

aquí es explicitar las nociones de infinito e infinito implícitas al cálculo diferencial e

integral. La noción de infinitesimal –de números infinitamente pequeños- desconcertó a

los filósofos y matemáticos de aquellos tiempos y aún hoy desafía el sentido común.

Hablamos de cantidades más pequeñas que cualquier número pero mayores que cero;

cantidades que tienden a un límite pero nunca llegan a él por ser infinitamente pequeñas.

Se planteó la necesidad de expresar de forma matemática rigurosa paradojas que Zenón

había encontrado casi dos mil años antes.

Como siempre sucede, las mentes dogmáticas de esos tiempos no pudieron aceptar

semejante sacrilegio. El obispo Berkeley condenó agriamente del nuevo sistema

matemático –escribió que los infinitesimales no eran sino absurdos, “fantasma de

cantidades que desaparecen”–7 su rotundo rechazo retrasó la amplia aceptación del

nuevo cálculo necesario para la revolución industrial en ciernes. Marx, en contraste, no

sólo se interesó en el estudio del cálculo diferencial e integral, sino que escribió

interesantes cuadernos matemáticos donde concebía al cálculo infinitesimal como la

medición de procesos –no de simples suma de magnitudes invariables– y de saltos

dialécticos donde una cantidad finita se representa como sumas infinitas, donde el límite

de primer orden puede presentarse como un diferencial infinitamente pequeño de una

nuevo límite mayor; es decir, un proceso dialéctico que salta hacia nuevas magnitudes

compuesta de nuevos infinitos. Cada vez que se integra la función nos encontramos en

un caso de “negación de la negación”; es decir, con la misma función inicial –anterior a

la diferenciación- que incorpora los pequeños cambios y que, por tanto, ya no es la

misma una vez que se integra.8 Marx, en sus cuadernos matemáticos, ya mencionaba el

concepto de límite que ni Newton ni Leibniz, más de cien años antes que él,

comprendieron filosóficamente – concepto de límite que se desarrollaba casi al mismo

tiempo que Marx escribía dichos cuadernos, no serán publicados sino hasta 1968–. Marx

–y su compañero de armas Engels- tuvo siempre una actitud crítica e independiente de

los grandes descubrimientos científicos de su tiempo, incluidas las matemáticas: “[…]


28

comenzando con el método místico de Newton y Leibniz; pasando luego al método

racionalista de D Alembert y Euler; para terminar finalmente con el método

estrictamente algebraico (pero partiendo siempre de la misma concepción fundamental

propia de Newton y Leibniz) de Lagrange. […]”9

Aunque las contradicciones implícitas en el cálculo diferencial e integral trataron de ser

ocultadas e ignoradas por posteriores formulaciones como las del francés Louis de

Cauchy, nuevos planteamientos como los de Abraham Robinson –presentados a

mediados del siglo XX– han sacado de nuevo a la luz estas contradicciones, de acuerdo

a su abordaje: “cada número real, identificado con un punto sobre una recta, posee

alrededor de él una especie de nube electrónica de infinitesimales más pequeños que

cualquier número.”10 Estos números son llamados “número reales no estándar” con sus

leyes y propiedades específicas.

¿Acaso el cálculo diferencial e integral y los infinitos que incluye son sólo una especie

de reglas arbitrarias útiles para realizar operaciones pero que no tienen nada que ver con

la realidad, una especie de reglas en un juego de mesa matemático? Si el Cálculo

diferencial e integral se aplica a la realidad eficientemente es sólo porque expresa algo

de esa realidad. Engels explica que la diferenciación y la integración son procesos que

se dan en la naturaleza, los cuales han sido abstraídos por el cálculo y aplicados

nuevamente a la realidad, razón por la cual el cálculo se verifica en ella. Engels escribe:

“[…] de todos los progresos teóricos nos hay seguramente ninguno que sea un triunfo

tan elevado del espíritu humano como el descubrimiento del cálculo infinitesimal, en la

segunda mitad del siglo XVII. Si existe una proeza pura y exclusiva de la inteligencia

humana, hela aquí. El misterio que aún hoy rodea a las magnitudes empleadas en el

cálculo infinitesimal-las diferenciales y los infinitos de diversos grados-, es la mejor

prueba de que todavía que aquí tenemos que manejarnos con puras creaciones e

imaginaciones libres del espíritu humano, sin equivalente alguno en el mundo objetivo.

Y, sin embargo, la verdad es a la inversa. La naturaleza nos ofrece los prototipos de

todas estas magnitudes imaginarias. Nuestra geometría toma como punto de partida las

relaciones espaciales; nuestra aritmética y álgebra, las magnitudes numéricas, que

corresponden a nuestras condiciones terrenales y, por ende, a las magnitudes de los

cuerpos que la mecánica llama masas; masas, tal como se presentan en la tierra y tal

como son movidas por los hombres. Comparativamente a estas masas, la masa de la

tierra parece ser infinitamente grande y, precisamente, es tratada como infinitamente

grande por la mecánica terrestre. El radio terrestre = ∞ [infinito], éste es el principio


29

fundamental de toda la mecánica en la ley de la gravedad. Pero no sólo la tierra, sino el

sistema solar entero y las distancias dadas en él, aparece a su vez como infinitamente

pequeñas no bien nos ocupamos de las distancias, estimables en años luz, que hayamos

en los sistemas estelares visibles a nosotros a trevés del telescopio. De manera que ya

tenemos aquí un infinito no sólo de primer grado, sino de segundo, y dejamos a la

fantasía de nuestros lectores la tarea de construir en el espacio sin fin sucesivos infinitos

de grado superior, si se sienten inclinados a ello .” Aunque el cálculo diferencial

reintegró el infinito a las matemáticas, éste trabaja con funciones regulares y continuas

, por lo que no son adecuadas para describir patrones donde no es posible trazar una

tangente a la curva. Más adelante hablaremos de las estructuras fractales que además de

ser no diferenciables incorporan de nuevo la noción de infinito.

El Hotel de Hilbert y los infinitos diversos de Cantor

La certeza dialéctica, que sostuvieron Engels y Marx en el “Anti-Dühring”, de que el universo está

colmado de infinitos de diversos grados, fue demostrada matemáticamente por el matemático alemán

Georg Cantor en 1870. Anterior a él, Euclides ya había señalado que hay infinitos números primos,

Galileo había establecido una curiosa paradoja relativa al infinito: existen tantos números pares como

números naturales ya que ambos son infinitos –es posible aparear o relacionar entre sí, uno a uno, cada

uno de los elementos que componen ambos conjuntos–, violando el principio lógico formal que afirma

que el todo es igual a la suma de sus partes y que la parte es siempre menor que el todo.

Dicen los matemáticos que tres manzanas y tres personas tienen la misma cardinalidad

porque es posible equiparar cada miembro del conjunto de las tres manzanas con cada

miembro de conjunto de las tres personas. En 1850 el teólogo alemán Bernhard Bolzano

demostró que dos intervalos, independientemente de sus longitudes, siempre tienen la

misma cardinalidad. Efectivamente: es posible encontrar para cada número de una recta

infinita otro punto equivalente de una recta finita, de tal modo que una recta finita tiene

literalmente infinitos puntos, tantos como una recta sin fin. El lector puede hacer el

experimento gráfico si lo desea: simplemente –como se muestra en la imagen– se traza

una línea tan larga como se quiera (supongámosla infinita) de tal forma que sea tangente

de un círculo finito. Con este esquema se puede trazar una línea que parta de la línea

infinita y que, llegando al punto superior al círculo, una a otro punto equivalente del

perímetro del círculo; demostrando con ello que en el perímetro finito del círculo hay

tantos puntos como en la recta infinita. Ambas tienen la misma cardinalidad, es decir, es

posible aparear, uno a uno, tantos puntos distintos de un conjunto, con otros tantos

puntos equivalentes de otro conjunto. Si no es posible hacer esto para dos conjuntos


30

cualquiera, se dice que ambos tienen cardinalidad diferente, ya sea mayor o menor según

el caso.

Lo paradójico del esto es que aunque es claro que una recta infinita tiene mayor longitud

que una recta finita, ambas tienen la misma cardinalidad, la misma cantidad de puntos.

La matemática se volvió a encontrar con la paradoja de la dicotomía de los viejos eleatas.

En realidad, desde el punto de vista dialéctico, no debería sorprendernos que en una

magnitud finita haya infinitos ocultos: si asumimos que una magnitud es sólo una parte

integrante del infinito, entonces cualquier segmento debe también ser infinito, o de lo

contrario el infinito encontraría su fin o su principio. La conclusión es que el infinito

está implícito en lo finito y a su vez –como Engels escribió– el infinito está compuesto

de innumerables magnitudes finitas: “La infinitud es una contradicción y está llena de

contradicciones. Ya es una contradicción el que una infinitud tenga que estar compuesta

de honradas finitudes, y, sin embargo, tal es el caso. La limitación del mundo material

lleva a no menos contradicciones que su ilimitación, y todo intento de eliminar esas

contradicciones, lleva a nuevas y peores contradicciones: Precisamente porque la

infinitud es una contradicción, es infinita, un proceso que se desarrolla sin fin en el

espacio y en el tiempo. La superación de la contradicción sería el final de la infinitud.”12

Un ejemplo clásico para demostrar la cardinalidad de diferentes magnitudes en su

relación al infinito –para demostrar que existen infinitos mayores y menores– es el

experimento mental ideado por el famoso matemático alemán de fines del siglo XIX:

David Hilbert. El experimento es conocido como “El hotel de Hilbert”, con éste, Hilbert

ejemplificó las propiedades paradójicas del infinito que Cantor había estudiado. Aunque

se trata de un ejercicio mental –ejercicio del que muchas veces se abusa en la ciencia


31

ficción para sostener todo tipo de hipótesis arbitrarias– es útil al ejemplificar, de forma

más accesible e intuitiva, las paradojas y la dialéctica del infinito.

Se supone que en la recepción de un hotel de infinitas habitaciones, que está a su máxima

capacidad, llega un individuo buscando hospedaje. El sentido común nos dice que es

imposible encontrar habitación en un hotel absolutamente lleno, pero el infinito tiene

propiedades que violan la lógica formal: el recepcionista invita a los huéspedes del hotel

que sumen la unidad al número de su habitación y se muden a la habitación marcada con

el número resultante: el huésped de la habitación 1 se pasará al 2, el 2 al 3 y así hasta el

infinito. Como el infinito no tiene fin, esta operación es posible y el nuevo huésped

encuentra habitación. Cuando un grupo de infinitos huéspedes se presenta a la recepción

buscando hospedaje, un nuevo desafío se le presenta al recepcionista del hotel de

infinitas habitaciones. El recepcionista no se inmuta e invita a los huéspedes que ocupan

las infinitas habitaciones a que multipliquen por dos el número de su habitación y se

muden a las nuevas habitaciones marcadas con el número resultante. Es claro que todos

los huéspedes se mudarán a las habitaciones con números pares; dado que la cantidad

de números pares es infinita es posible hacer esa operación y los nuevos huéspedes

ocuparán las habitaciones nones vacías sin problema alguno dado que los números nones

son también infinitos. Otro desafío aún mayor –¡un desafío infinito!- se le presentó al

recepcionista cuando llegaron a la recepción un número infinito de camiones, cada uno

con un número infinito de personas buscando habitación. Al recepcionista no se le tensó

ni un músculo de la cara. Lo que hizo fue comunicarse con los huéspedes hospedados

en habitaciones con número primo (distinto de 1) y a las habitaciones cuyo número de

habitación fuera resultado de una potencia de un número primo, pidiéndoles que hicieran

la operación consistente en elevar el número 2 a la potencia del número de su habitación

y que se mudarán a la habitación numerada con el resultado de esa potencia. Entonces

el recepcionista asigno a cada uno de los infinitos camiones, cada uno de los números

primos (distintos de 1); luego asigno a cada una de las infinitas personas de cada uno de

los infinitos camiones un número impar diferente y les pidió elevar ese número impar a

la potencia del número primo que le correspondió a su camión. Dado que existen

infinitos números impares e infinitos números primos es posible incluir infinitos grupos

de infinitos miembros dentro de un hotel infinito. El Hotel de Hilbert es un experimento

que deja claro que existen diversos grados de infinitos –mayores y menores, transfinitos

de otros finitos menores– que, no obstante ser mayores o menores, tienen la misma

cardinalidad. Lo cual es una contradicción dialéctica tan cierta como lo es la recta de los

números naturales.


32

Cantor, quien inspiró “el hotel de Hilbert”, sistematizó las propiedades del infinito por

medio de la llamada “Teoría de conjuntos”, no sólo confirmó que diversos infinitos –a

pesar de ser mayores o menores– tienen la misma cardinalidad (mostró que los números

enteros tienen la misma cardinalidad que los naturales y que los racionales) – lo que ya

es de por sí asombroso–, sino que demostró que hay infinitos que no tienen la misma

cardinalidad, que existen infinitos tipos de infinitos; de paso, mostró que las propiedades

del infinito no se ajustan a la lógica formal aristotélica. El fractal que lleva su nombre –

“El polvo de Cantor” (al que volveremos más adelante) – demuestra, por ejemplo, no

sólo que las propiedades del infinito no cumplen el axioma Euclidiano y Aristotélico de

que el todo es mayor que sus partes, sino que hay casos concretos donde la parte es

mayor que el todo. Los fractales son estructuras geométricas que se repiten a sí mismas

dentro de su propia estructura. En el fractal descubierto por Cantor, el todo tiende a cero

mientras que las partes son infinitas. Es un fractal compuesto por una línea tan infinitamente

fragmentada que su longitud tiende a cero pero los puntos que la componen son infinitos, es decir que

la parte es mayor que el todo.

Cantor demostró –como hemos señalado- que hay infinitos con distinta cardinalidad. La

manera en que lo hizo es simple pero genial, se le conoce como razonamiento diagonal.

Consideró el conjunto de los números reales –los números que tienen una expansión

decimal racional e irracional– para hacer una lista que se supone completa y luego

aparear uno a uno este conjunto con el de los números naturales. El profesor Fausto

Ongay explica el procedimiento13 que se ilustra más abajo: “Supongamos que […]

hemos logrado establecer una lista que incluya todas las expresiones decimales [y que

hemos apareado uno a uno todos los números de esta lista con los infinitos números

naturales; suponiendo, así, que poseen la misma cardinalidad]. Entonces podemos

construir [infinitos dígitos con su expansión decimal que no estén incluidos en esa lista,

y por tanto que no hayan sido considerados en su apareamiento con el conjunto de los

números naturales] de la forma siguiente: [trazamos una diagonal cualquiera a la lista

de los números reales que hemos establecido y con la ayuda de esa diagonal formamos

un nuevo dígito con su expresión decimal] para la primera de las expansiones de la lista

escogemos un dígito distinto de su primer dígito; para la segunda uno distinto del

segundo dígito, para la tercera uno distinto del tercero, y así ad infinitum. Es claro que

escribiendo en orden estos dígitos obtenemos la expansión decimal de un número. Pero

también es bastante claro que esta expansión no está en la lista […] de este modo, el

infinito de los números reales ¡es mayor que el de los naturales! [Y, además, los números


33

reales tienen una cardinalidad diferente que no es posible aparear con los números

naturales ya que siempre faltarían números a la lista de los números reales].”14 De esta

manera Cantor descubrió que existen diferentes e infinitos tipos de infinitos, con

características y cadinalidades diversas. Esto es, en esencia, lo que sostenía Engels.

Cantor tuvo una vida trágica, desde 1884 fue internado intermitentemente en

instituciones mentales, hay quien señala que como resultado de las contradicciones

lógicas descubiertas con su estudio del infinito o por el hecho de que sus resultados

fueron rechazados por la ortodoxia matemática de su tiempo y entraban en contradicción

con su educación religiosa. Sin embargo, sus contribuciones son hoy ampliamente

reconocidas por la matemática moderna, resultados que reivindican y profundizan la

compresión dialéctica del infinito.

[Ver primera parte] [Ver tercera parte]

_____________

http://laizquierdasocialista.org/node/3356



34

NOTAS

1. Dynnik, Historia de la filosofía, Tomo I, Grijalbo, México, 1962, p. 265.

2. Dynnik, Historia de la filosofía, Tomo I, Grijalbo, México, 1962, p. 289.

3. Sagan, Carl; Cosmos, Planeta, Madrid, 1985, p. 51.




7. Ongay, Fausto, Mathema, el arte del conocimiento, FCE, México, 2000, pp. 66-67.

8. Cf. Marx, Carl, “Sobre el concepto de derivada de una función (manuscrito 4147)”, UAM, México, 1997.

9. Carta de Marx a Engels, 22 de noviembre de 1882.

10. Ongay, Fausto, Mathema, el arte del conocimiento, FCE, México, 2000, pp. 67.

11. Engels, “Notas al anti-Dühring”, en La génesis del Anti-Düring, Roca, México, 1975, p.85.

12. Engels, Anto-Dühring, Grijalbo, México, 1975, p. 39.

13. Nos hemos tomado la licencia de completar su argumentación –entre corchetes- para hacerla lo más clara posible ya que puede resultar un tanto abstracta u oscura para

aquéllos que no estamos relacionados con el tema, esperamos no haber violentado demasiado su texto.

14. Ongay, Fausto, Mathema: El arte del conocimiento, FCE, México, 2000, pp. 77-78.


35

LA TOPOLOGÍA, LA DONA Y LA TAZA

En buena parte de este texto hemos hablado del infinito relacionado con las matemáticas,

pero el infinito real es mucho más complejo que su expresión abstracta. Para empezar,

el infinito matemático puede referirse a cantidades infinitas implícitas en una magnitud

finita –por ejemplo los infinitesimales contenidos entre el cero y el uno– o a los infinitos

números naturales que comienzan por la unidad. En el primer caso hablamos de un

infinito con principio y fin –una verdadera contradicción dialéctica– en el segundo

hablamos de un infinito con principio pero sin fin; en estos casos se trata de lo que Hegel

llamaba “mal infinito” –un infinito con fin o con principio–. La unilateralidad del

infinito matemático expresa la limitación propia del conocimiento humano, el hecho de

que debe comenzar por el conocimiento de lo finito para alcanzar el infinito. Un infinito

con principio pero sin fin es tan contradictorio como un infinito con fin pero sin

principio. Engels decía que la única manera de vencer el absurdo –y de asumir la

contradicción propia del infinito– es asumir que el infinito no tiene principio ni fin.

Engels explica: “[…] Damos a la infinitud del tiempo un carácter unilateral y a medias;

pero una infinitud unilateral y partida es ya una contradicción en sí […] No podemos

superar esa contradicción sino admitiendo que el uno con el que empezamos a contar la

sucesión, el punto a partir del cual medimos la línea, son, respectivamente, un uno


36

arbitrario de la sucesión y un punto arbitrario de la línea, siendo la línea o la sucesión

indiferentes a la decisión que tomemos respecto a la fijación de los mismos.”1 Por ello

un segmento finito es infinito, precisamente porque es parte de un mundo infinito. Una

línea es un espacio abstracto de una sola dimensión y por eso el infinito que expresa es

tan “mal infinito” como aquél que tiene principio o fin. Además, el infinito numérico es

un infinito cuantitativo que no expresa por sí mismo adecuadamente los infinitos

cualitativos que existen en la realidad. Si bien la recta de los números oculta diferencias

cualitativas como las de los números pares e impares, la de los positivos y negativos, la

de los racionales e irracionales, la de los reales e imaginarios, etc., sigue siendo un

mundo abstracto que por sí solo no expresa los saltos cualitativos ricos y concretos de

la naturaleza.

Las matemáticas modernas han logrado representar cualidades más complejas de la

realidad que los simples espacios geométricos euclidianos. La topología –donde las

figuras y los espacios euclidianos son doblados, deformados y retorcidos– representa de

mejor manera el espacio curvado por las inmensas fuerzas gravitacionales que descubrió

Einstein. Pero la topología trabaja con espacios isométricos, es decir, aquéllas sucesivas

deformaciones que pueden hacerse sin que se rompa el espacio geométrico –por ejemplo

las que pueden hacerse con un globo sin que se reviente o con un pedazo de masa sin

que se rompa–; desde el punto de vista topológico una dona es equivalente a una taza

con asa ya que es posible deformar una dona estirándola y formándole una cavidad de

tal forma que se convierta en una taza. Una esfera se puede convertir en un vaso pero no

en una taza puesto que la esfera y la taza no son topológicamente equivalentes. ¡Por eso

se dice que los “topólogos” son las únicas personas que toman café en una dona!2 En la

topología –debido a la deformación del espacio– las líneas paralelas convergen y se

cruzan y los ángulos de un triángulo son mayores de 180 grados. La geometría euclidiana

–donde las paralelas nunca se tocan y donde los ángulos del triángulo deben siempre

sumar 180°– es en la topología un caso límite más allá del cual sus axiomas ya no operan.

Sin embargo, la topología aún sigue teniendo sus limitaciones al no incorporar la ruptura

y el quiebre y, por tanto, no contemplar características esenciales de la realidad. Es

posible afirmar que el estudio matemático del quiebre y la ruptura –de procesos centrales

para el pensamiento dialéctico– llegó con los fractales –de hecho, “fractal” proviene del

latín “fractus” que significa “fractura”, “ruptura” – y la Teoría del caos que incorpora

estructuras no diferenciables, estructuras tan fracturadas e irregulares que es imposible

trazar una tangente en su perímetro.


37

El infinito del Caos

La Teoría del caos –desarrollada en los años sesenta en los trabajos de los científicos

soviéticos A. Kolmogorov, V. Arnold; S. Smale y E. Lorenz en EUA; D. Ruelle y R,

Thom en Francia– ha incorporado la ruptura, el quiebre y los saltos a las matemáticas,

y nos han dotado de una teoría más completa y rica para entender los patrones y el

desarrollo en diferentes tipos de procesos: desde el clima hasta la dinámica poblacional,

desde el flujo turbulento hasta el juego de billar, desde las perturbaciones que rompen

el orden cósmico creando nuevas estructuras, hasta la dinámica estadística del mundo

subatómico. Además, se ha tropezado con el infinito nuevamente.

La Teoría del caos estudia los fenómenos caóticos –aquellos que aparentemente son

azarosos– para encontrar el patrón subyacente que los determina –llamado atractor

extraño–, de tal forma que existe una relación intrínseca entre el caos y el orden mucho

más complejo que los patrones lineales y unilateralmente deterministas de Newton. Al

mismo tiempo, estudia los procesos que rompen el orden y generan caos. El caos puede

presentarse con procesos que involucran a más de dos variables, por ejemplo, el viento

que más allá de cierto punto vuelve caótico al movimiento de un péndulo o los

movimientos aleatorios de un trompo antes que deje de girar. En pocas palabras, la

Teoría del caos estudia el orden que surge del caos y el caos que surge del orden; estudia

los fenómenos complejos que son susceptibles a las condiciones iniciales y que son los

responsables de que sea imposible predecir el clima más allá de cinco días pero que sea

perfectamente posible predecir los cambios de la temperatura terrestre considerando

largos periodos de tiempo.


38

En otros artículos hemos estudiado la Teoría del caos,3 ahora nos interesa relacionarlo

con el tema del infinito. Los patrones caóticos tienen una tendencia subyacente –que se

descubre con su “atractor extraño”– que desde el punto de vista geométrico describe una

dimensión fractal. Como hemos señalado, los fractales son estructuras geométricas que

repiten su estructura a cualquier escala que la miremos. Los teóricos del Caos afirman

no sólo que los fractales son la “huella” del caos, sino que la mayoría de las estructuras

de la naturaleza son fractales: el árbol y sus ramas mayores y menores son fractales

porque, estadísticamente, la estructura del árbol tiende a repetirse en cada una de sus

partes, lo mismo sucede con las nubes, los nervios, las venas, el cerebro, las fallas

terrestres, etc. Los fractales son figuras infinitamente fracturadas y no lineales.

En 1828 el botánico inglés Robert Brown describió en curioso movimiento en zigzag

que se conoce en la actualidad como “movimiento browniano”. Una partícula de polen

suspendida en agua o el polvo suspendido en el aire describe este asombroso

movimiento irregular –también las partículas en las gelatinas, la espuma, las emulsiones

y, en general, toda suspensión coloidal –. Si trazamos los puntos por los que pasa una

mota de polvo por el espacio en un momento determinado (1 minuto por ejemplo) y

unimos los puntos de manera imaginaria, obtendremos una estructura en zigzag como la

que se ilustra abajo. Si nos preguntamos qué paso entre el punto 1 y el 2, representado

en nuestro dibujo por una recta –trazando el movimiento con puntos en un inérvalo de

tiempo más corto (por ejemplo 1 segundo)–, obtendremos, en ese nuevo intervalo, otra

estructura en zigzag similar al anterior. El fenómeno se repite para tiempos más cortos,

hasta el infinito. Se trata de un fractal porque la estructura se repite en diversos intervalos

de tiempo. El movimiento browniano nos obliga a aceptar que la mota de polvo en un

tiempo finito está en infinitos puntos. Un movimiento infinito en un tiempo finito. Se

demuestra que en un tiempo finito caben infinitos momentos. Este tipo de

contradicciones ya habían sido expresadas en las paradojas de Zenón, solo que Zenón

las exponía para demostrar que el movimiento es contradictorio y, por lo tanto, no debía


39

existir como señalaba su maestro Parménides (precursor de la lógica formal). La única

manera de resolver las contradicciones de Zenón es aceptando la contradicción misma.

Otro de los fractales más antiguos y “sencillos” es el ideado y, al mismo tiempo,

descubierto por Cantor en 1883. Como hemos visto en la segunda parte de nuestro

ensayo, se trata de un monstruo matemático que ni el mismo Cantor creía que pudiera

existir: se trata de una estructura autosimilar (fractal) que tiene infinitos puntos pero

cuya longitud tiende a cero. Es difícil concebir algo así. En la escuela nos enseñaron que

la recta se puede definir como la suma de los puntos, la lógica formal nos señala que

mientras una línea contenga más puntos su longitud será mayor. Se dice que el polvo de

Cantor es más que una colección de puntos pero menos que una línea. Cuando Cantor

compuso este fractal estaba descubriendo, sin saberlo, la estructura fractal de fenómenos

como los finísimos anillos de Saturno, las fluctuaciones del precio del algodón, hasta las

variaciones del nivel del río Nilo durante los últimos dos mil años.4

Posteriormente, el matemático sueco H. Koch construyó en 1904 una curva

infinitamente irregular conocida como “curva de Koch”. La estructura es asombrosa

porque es finita (cabe en una hoja de papel) pero es infinita al mismo tiempo. Si

intentamos medir el perímetro de esta curva encontraremos una cifra aproximada; pero

si observamos con lupa descubriremos irregularidades o protuberancias que no

habíamos medido, utilizando un instrumento de medición más fino obtendremos una

nueva aproximación y así, hasta el infinito. La dimensión de esta curva es fraccional

(dimensión Hausdorff), lo que quiere decir que se aproxima a un número sin llegar nunca


40

a él. La curva de Koch está lejos de ser una simple curiosidad para entretenerse, de la

misma forma en que los niños ocupan el tiempo hurgando su nariz: el perímetro de

nubes, continentes, grietas, fallas, la membrana celular, la membrana nasal, etc. son tan

irregulares y contradictorios como la increíble curva de Koch.

La “empaquetadura de Sierpinski”, descrita por el matemático polaco Waclaw

Sierpinski en 1916, es un triángulo equilátero infinitamente agujereado con espacios en

blanco –en forma de triángulo invertido inserto– en el triángulo negro inicial; se repite,

sucesivamente, el proceso de “agujereado” con los 4 triángulos negros que resultan en

cada operación. El resultado es una estructura en donde la suma de los perímetros de los

triángulos negros es infinito, mientras que su área tiende a cero. Nuevamente se desafía

a la lógica formal, puesto que en la matemática euclidiana el área aumenta en proporción

al perímetro. En este fractal sucede lo contrario: el área tiende a cero en la misma

proporción en que el perímetro se hace infinito. A este tipo de área se le conoce como

área Sierpinski.


41

La versión tridimensional de este “monstruo” es la “esponja de Menger” –pirámide

infinitamente agujereada con espacios piramidales–. Fue compuesta por el matemático

vienés Karl Menger en 1926, cuando investigaba la “dimensión topológica” (matemática

no euclidiana, como hemos visto). El área superficial de la pirámide es infinita mientras

que el volumen tiende a cero. El cerebro tiene volumen “Menger”, la Torre Eiffel es una

versión tosca del mismo fractal. Los átomos, por ejemplo, parecen estar al borde de la

no existencia y, al mismo tiempo, son uno de los niveles básicos de la existencia. De

acuerdo a los maravillosos programas sobre ciencia de Enrique Ganem, para imaginar

la evanescente existencia del átomo podemos hacer la siguiente representación mental:

si el átomo de hidrógeno fuera del tamaño de la Ciudad de México el núcleo de protones

sería del tamaño aproximado de la plancha del Zócalo, los protones serían del tamaño

de un balón de Básquet Bol; y el electrón sería del tamaño del punto de una “i” situada

a las afueras de la Ciudad; protón que está y no está: se mueve a kilómetro y medio por

segundo dentro de su nivel de energía en un movimiento azaroso pero determinado por

la constante Plank. Así de contradictoria es la dialéctica entre el ser y el no ser.


42

Observemos un fascinante viaje al interior de una esponja de Menger. Se entiende por

qué se usan las dimensiones fractales para los efectos especiales en las películas de

Hollywood.

Durante mucho tiempo los fractales no fueron considerados más que como “casos

patológicos” o curiosidades sin interés; no fue sino hasta el desarrollo de los

procesadores en los años sesenta y setenta que los científicos pudieron construir

estructuras que implicaban una sucesión infinita de operaciones matemáticas,

encontrando con ello patrones fractales asombrosos. Terminemos la exposición de

fractales con el que generó, a finales de los años setenta, BenoitMandelbrot, ingeniero

de la IBM, estudiando las propiedades de los Conjuntos de Julia; se trata de uno de los

fractales conocidos más asombrosos. El fractal de Mandelbrot es un fractal mucho más

complejo que los fractales “lineales” que hemos visto, que repiten la misma figura hasta

el infinito. Se trata de un fractal irregular porque las estructuras infinitas que contiene se

repiten hasta cierto punto y dan origen a nuevas estructuras y patrones infinitos que, al

mismo tiempo, siguen conteniendo de forma subordinada, en alguna de sus infinitas

protuberan cias, al fractal original. En dialéctica a esto se le conoce como “negación de la negación”.


43

El siguiente video es un fascinante viaje al interior del fractal de Mandelbrot.

Fractal Zoom Mandelbrot Corner

La estructura del fractal de Mandelbrot aparece como un microcosmos infinito

encerrado en la curiosa figura del “muñeco de nieve”. Sugiere la estructura fractal del

cosmos, mismo que contiene infinitas estructuras en infinitos niveles: cúmulos de

galaxias, galaxias, sistemas estelares, cuerpos celestes, continentes, cordilleras, cuerpos,

moléculas, átomos, protones, quarks, neutrinos, etc. La comparación no es forzada

puesto que las galaxias mismas tienen una estructura fractal5.

https://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs

https://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs


44

Como ya hemos señalado, la mayor parte de las estructuras del universo son fractales,

por la sencilla razón de que el universo es complejo y contradictorio, desde lo más

simple y prosaico hasta lo más sobrecogedor: los árboles, los brócolis, las coles, las

nubes, las montañas, las venas, las arterias, las células, los continentes, las galaxias, la

convección térmica, los ojos de las libélulas, el flujo de líquidos y gases, la dinámica de

la población, el clima, la música de Beethoven, etc. Los científicos siguen buscando

“atractores extraños” o tendencias subyacentes en fenómenos que a primera vista

parecen no obedecer a leyes. Engels y Marx, después de todo, se han de estar riendo en

sus tumbas: la estructura del universo es fractal y por ende dialéctica. El conocimiento

de Caos promete al ser humano la posibilidad de controlar fenómenos complejos. Las

perspectivas son asombrosas. Por lo menos –lo que es una pobre demostración de sus

potencialidades– la matemática fractal ya se utiliza en los efectos especiales de películas


45

como “El señor de los anillos”. En lugar de que los dibujantes se dediquen a diseñar

cada montaña y grieta por separado, utilizan la matemática fractal para generar patrones

automáticos que emulen montañas, cuevas, etc.

De acuerdo a una simulación hecha por un equipo de científicos conocida como Giggle

Z –simulación tridimensional que mapea unas 220,000 galaxias en un volumen de 3 mil

millones de años luz– el universo observable es un enorme fractal, similar a una colosal

esponja entretejida por miles de supercúmulos de galaxias.


46

La religión del Big Bang, la ciencia y la eternidad

“Algunos necios declaran que un Creador hizo el mundo. La doctrina de que el mundo fue creado es

equivocada y hay que rechazarla. Si Dios creó el mundo, ¿dónde estaba Él antes de la creación?...

¿Cómo pudo haber hecho Dios el mundo sin materiales? Si dices que los hizo primero y luego hizo el

mundo te enfrentas con una regresión infinita… Has de saber que el mundo es increado, como el mismo

tiempo, sin principio ni fin. [Mahapurana, India, siglo noveno]

La Biblia dice que el mundo tiene una antigüedad de unos 6 mil años, la eternidad es

cosa de Dios, no de la naturaleza ni de los hombres pecadores. La religión hindú es

menos timorata y dice que nuestro universo surgió de un huevo cósmico, del sueño de

Brahma, hace 8.64 mil millones de años. Apenas supera la teoría del Big Bang –nuestra

moderna versión mitológica y religiosa de la creación– al venerable hinduismo con los

12 mil millones de años que supuestamente nos separan del origen del universo, de una

presunta singularidad del tamaño de un átomo de hidrógeno –o del tamaño de una

manzana según otras versiones– de la que explotó todo el universo existente. El Vaticano

dice que el impulso vino de la mano de Dios y los seguidores del Big Bang no tienen

argumentos para refutar el misticismo puesto que ni el tiempo ni el espacio existían y

por tanto la ciencia se vuelve inútil. El lector interesado en profundizar sobre las

contradicciones filosóficas y científicas de la teoría del Big Bang puede leer el capítulo

9 de Razón y revolución de Ted Grant y Alan Woods, donde se hace una recapitulación

histórica de esta teoría y se exponen algunas alternativas al establishment, nosotros

haremos aquí unas breves reflexiones.

Como toda religión, el Big Bang falla al concebir el comienzo del universo en sentido

absoluto, antes del cual no había ni espacio ni tiempo. Y si bien el efecto Doppler –que

se observa con el corrimiento al rojo de los objetos estelares– señala un universo en

expansión, el error filosófico consiste en suponer que el universo observable equivale a

todo el universo existente y que si la parte del universo que observamos se encuentra en

expansión entonces todo el universo se encontraba en un pasado distante en un solo

punto. Se proyecta un hecho observado, en un espacio finito (así sea de 12 mil millones

de años luz de extensión), a la totalidad del cosmos en todos sus niveles. Se trata de un

error metafísico que convierte en absoluta la noción de inicio, como los rabinos conciben

como absoluto el Juicio Final. Se pretende imponer un inicio antes del cual es imposible

saber nada, la negación misma de la ciencia. Los defensores del Big Bang pueden


47

responder como el fanático religioso Lutero que ante la pregunta irritante de un niño

sobre qué estaba haciendo Dios antes de la creación respondió: “Estaba haciendo

interruptores para niños que hacen preguntas necias.”

Pero aceptar la idea de un universo en expansión no implica rechazar de antemano la

idea de que otras partes del universo se contraen de tal forma que expansiones y

colapsos, en un universo más grande de lo que sospechamos, se sucedan en una suerte

de contrapunto eterno, sin inicio ni fin. ¿Cómo podemos afirmarlo? Sabemos que

estrellas viejas y masivas explotan en Super novas, pero ningún físico serio ha dicho que

esas supernovas son todo el universo; saben que la explosión final de una estrella muerta

es el comienzo de otros procesos, nuevos sistemas, agujeros negros, turbulencia y

síntesis de nuevos elementos, ¿por qué deberíamos concebir la expansión de nuestra

pequeña franja de universo observable de diferente manera? ¿Dónde y cuándo la ciencia

ha encontrado pruebas de un principio absoluto? La historia de la ciencia demuestra que

todo principio y fin son relativos, que las fronteras de nuestro universo y nuestros

conocimientos se expanden de generación en generación en una lógica sin fin, no existe

nada que nos lleve a suponer que nuestro Big Bang es el origen de todo. Lo que hay de

fondo es una suposición filosófica que se abraza con la religión de forma lamentable y

vergonzante, se trata de la bancarrota total de la filosofía burguesa moderna infiltrada

como un virus en la ciencia. Pero como toda barrera religiosa, será derribada por la

ciencia misma y la teoría del Big Bang será absorbida y explicada por otra concepción

de un Cosmos infinito, con infinitos niveles, leyes y fenómenos. Por ahora no sabemos

cuál será la concepción científica que suceda a la teoría del Big Bang, pero lo que no

sabemos ahora lo sabremos en el futuro. En un futuro no muy lejano la teoría del Bing

Bag –por lo menos tal como se concibe en nuestros días– será vista como no menos

errónea que la de la época donde el hombre creía que la tierra era el centro del universo,

como una época metafísica donde el hombre creyó que el universo que puede observar

es el único universo existente, una etapa similar a la de los niños pequeños que suponen

que el mundo deja de existir cuando cierran los ojos.


48

Conclusión. Dialéctica e infinito

Como hemos visto, el hombre ha estado reencontrándose con el infinito a través de la

historia de la ciencia y la filosofía, es como un genio maligno que el pensamiento rígido

y metafísico intenta meter en la botella –para que no moleste más a las buenas

consciencias– pero que nos reencuentra en los lugares más inusitados y en épocas donde

se creía haberlo perdido para siempre. Pero el infinito no es algo que el hombre pueda

encontrar o que se le presente a éste de una vez y para siempre. Como señaló el viejo

Engels, al infinito se le conoce en un proceso infinito. La única manera de aceptarlo

como un miembro respetable e indispensable de nuestro conocimiento científico y

filosófico es aceptarlo en sus contradicciones, es decir, de forma dialéctica.

Nuestro conocimiento limitado y delimitado históricamente no abarcará nunca la

totalidad del infinito, y sin embargo lo incluye. Cuando el ser humano –a través de la

transformación de la naturaleza- descubre las leyes que rigen el cosmos, está develando

una parte de la inmensidad infinita, conoce propiedades que se dan en infinitas partes

del universo; es por esto que podemos escudriñar la composición química de las estrellas

y galaxias más lejanas –mediante la radiación de su espectro– puesto que están hechas

de la misma materia presente en La Tierra, es por eso que podemos trazar un cuadro

dialéctico del universo aunque nunca podamos ver ese cuadro en su totalidad. El hombre,

en diversos momentos históricos, le arranca verdades a la eternidad como quien toma

una uva de un racimo sin fin, una uva que nos alimentará con su néctar, nutrirá nuestro

conocimiento, pero que indefectiblemente –bajo nuevas perspectivas y condiciones

históricas– se demostrará amarga e insatisfactoria. La existencia del infinito se

demuestra, así, en un proceso sin fin, en una sucesión progresiva y contradictoria que

tiende al infinito sin llegar a él jamás.

El infinito abstraído por las matemáticas y la filosofía es, a pesar de la verdad que

contiene, una pálida sombra del infinito real que se despliega en el tiempo y en el

espacio, en infinitas estructuras cualitativamente diferentes, con leyes propias que no se

aplican en otros niveles o que se aplican de forma subordinada. Engels –como siempre

con una visión adelantada a su tiempo– reflexionó sobre la insatisfactoria noción de

infinito matemático: “Eternidad en el tiempo, infinitud en el espacio consisten por de


49

pronto, y según el simple sentido de las palabras, en no tener por ningún lado un final,

ni hacia delante ni hacia atrás, ni hacia arriba ni hacia abajo, ni hacia la derecha ni hacia

la izquierda. Esta infinitud es completamente diversa de la de una sucesión infinita, pues

ésta empieza siempre con un uno, con un primer miembro. La inaplicabilidad de esa idea

de sucesión a nuestro objeto se aprecia enseguida que la aplicamos al espacio. La

sucesión infinita traducida a términos espaciales es la de una línea trazada hasta el

infinito en determinada dirección y desde un punto determinado. Pero ¿queda con eso

expresada ni lejanamente la infinitud del espacio? Al contrario: hacen falta seis líneas

trazadas a partir de ese punto en tres direcciones contrapuestas de dos a dos para concebir

las dimensiones del espacio, con lo que tenemos seis de esas dimensiones.”6

Las limitaciones de la geometría euclidiana se explican, en parte, por las limitaciones

del mundo en el que se desvuelve la vida cotidiana, un vida en donde la ingrata gravedad

nos obliga a caminar sobre una superficie que para efectos de la vida diaria se puede

suponer plana –aunque no lo sea- y en donde las referencias cardinales sobre el plano –

norte, sur, este, oeste- son más que suficientes para llegar a la casa de la abuelita. Pero

estos planos limitados son insuficientes en una escala microcósmica y macrocósmica

donde la materia no se limita a moverse sobre un solo plano, donde la materia se mueve

a increíbles velocidades en infinitas direcciones. Las matemáticas han tenido que

incorporar algunas de estas dimensiones creando el eje de los números imaginarios (la

raíz cuadrada de números negativos), operación necesaria para –entre otras muchas

cosas– visualizar el espacio cuántico, o aceptando nuevas dimensiones matemáticas

como las introducidas por Riemann. Aunque las dimensiones Riemann han sido

utilizadas para todo tipo de suposiciones que lindan con la ciencia ficción –por ejemplo

la existencia hipotética de universos paralelos– lo interesante no es tanto suponer tantas

dimensiones arbitrarias como se quiera, sino demostrar su existencia por la vía

experimental, vía que abre interesantes horizontes a la investigación.

El infinito concreto de la realidad asegura que el conocimiento humano no tendrá fin –

al menos mientras exista la raza humana- y que resulta absurdo y presuntuoso suponer

que el conocimiento históricamente determinado y que el hombre ha logrado arrancar

a la naturaleza es absoluto y definitivo. El infinito asegura que no existe tal cosa como

conocimiento definitivo, sino sólo conocimientos condicionales, restringidos; de un

eterno movimiento, desarrollo y despliegue de una naturaleza sin principio ni fin. Lo

único absoluto y definitivo es el universo material a través de su desarrollo eterno. La

sociedad humana no es más que una manifestación infinitesimal de ese universo que, al


50

igual que en el cálculo, resulta = 0 en comparación con el infinito material y la eternidad

objetiva. Pero aunque el conocimiento humano y sus portadores no somos más que una

parte infinitesimal del infinito, hemos logrado tomar consciencia de nuestro lugar en el

universo y conformarnos una concepción del mundo que incluya al infinito, aunque

nunca lo pueda aprehender por completo –más que en las alucinaciones místicas del

pensamiento religioso–. La humanidad es la materia que ha cobrado consciencia de sí

misma, de su finitud como seres mortales y, al mismo tiempo, de su infinitud y eternidad

como materia constantemente cambiante.

Hemos tratado de argumentar que la concepción filosófica que –en nuestra época- mejor

se ajusta al desarrollo infinito del cosmos es el materialismo dialéctico fundando por

Marx y Engels, una concepción abierta al infinito, que lo presupone y del que no es más

que su elaboración abstracta; una concepción indispensable para la transformación

revolucionaria y consciente de la realidad. Futuras transformaciones sociales nos

aportarán métodos filosóficos, científicos y matemáticos más profundos y satisfactorios;

antes tenemos que destruir el principal obstáculo que se abre frente al desarrollo

contradictorio y sin fin de la humanidad y su conocimiento: el sistema capitalista que

amenaza la continuidad de la vida en la tierra, la cultura y la civilización. Una vez

derribado este obstáculo la conquista de nuevos infinitos será cuestión de tiempo.

[Ver primera parte] [Ver segunda parte]

___________________ NOTAS 1.- Engels, Anti Dühring, Grijalbo, México, 1975, p. 38. 2.- La explicación y la broma sobre la taza y la dona se la debemos a la lectura del libro de Fausto Ongay que ya hemos citado (véase las pp. 102-109). 3.- “El materialismo dialéctico y la ciencia”, siguiendo la estela dejada por Ted Grant y Alan Woods, exploramos las implicaciones dialécticas de la Teoría de Caos, también

en “Dialéctica en el Caos, Fractales y Razón Dorada” del que hemos tomado parte del texto sobre fractales; ambos textos disponibles en la red. 4.- Talanquer, Vicente; Fractus, fracta, fractal, p. 26. 5.- Sametband, José M; Entre el orden y el caos, p. 98. 6.- Engels, Anti DühringGrijalbo, México, 1975.p. 37



http://www.marxist.com/dialectica-en-caos-fracgtales-y-razon.htm

Libro no 1386 breve historia del infinito, una interpretación marxista garcía colín, david...

Documents

Transcript of Libro no 1386 breve historia del infinito, una interpretación marxista garcía colín, david...