lim sup lim inf

7/23/2019 lim sup lim inf

1/6

UNIVERSIDADD ISTRITALFRANCISCOJOS DECALDAS, M ATEMTICAS

Lmite superior y lmite inferior

Edisson Arley Arcos

2 de junio de 2015

Este documento consiste en mostrar, que es un lmite superior y lmite inferior de una sucesin

de nmeros reales, algunos teoremas importantes y se presentan los procedimientos rigurosos

de sus demostraciones que en los libros dan como triviales, adems mostraremos algunos ejem-

plos.

1. INTRODUCCIN

El objetivo general de este documento, es definir las nociones de los lmites superior e inferior

de una sucesin. As que daremos dos definiciones equivalentes de ello, la primera del TomM. Apostol, Anlisis matemticoy la segunda del libro de Walter. Rudin Principios de Anlisis

matemtico.

Definicin 1. [1]Sea {sn} una sucesin de nmeros reales,yEel conjunto de los nmeros x (en

el sistema extendido de nmeros reales) tales quesnk xpara algunas subsucesin {snk}. Este

conjuntoEcontiene todos los lmites subsecuenciales, mas posiblemente los nmeros+ y.

Y sea

s =supE

s = in f E

1


2/6

los numeross ysse llamanlmite superior e inferiorde {sn} y se nota

lm supn

sn=s

lm infn

sn=s

Definicin 2. [2]Sea {an} una sucesin de nmeros reales. Supongamos que existe un nmero

realUque satisface las dos condiciones siguientes:

i) Para cada > 0, existe un entero Ntal quen >Nimplica

an < U+

ii) Dado > 0, y dadom > 0, existe un entero ntal quen > mtal que

an > U

EntoncesUse llama el lmite superior de {an} y se escribe

U= lm supn

an

Remark1. La proposicin (i) implica que el conjunto a1, a2, . . . esta acotado superiormente. Si el

conjunto no esta acotado superiormente definimos

lm supn

an= +

Remark2. Si {an} es acotada, =lm infn an y =lm supn an, se deduce inmediatamente de la

definicin y del hecho que toda sucesin acotada tiene una subsucesin convergente, que para

cada > 0, existeN N tal que

< an N.

Ejemplo: Sea {xn} la sucesin dada por:

xn=

0 sin = 3kpara unkN1n sin = 3k+ 1 para unkN

n2 sin = 3k+ 2 para unkN

Entonces

2


3/6

E= {0, +}

Observe queinf E=0 y sup E= +

Ejemplo: Sea {xn} la sucesin dada por:

xn=

1 sin = 5kpara unkN1n sin = 5k+ 1 para unkN

n2 sin = 5k+ 2 para unkN

1 sin = 5k+ 3 para unkN

n sin = 5k+ 4 para unkN

Entonces

E= {1,0,1, +}

Observe queinf E= 1 ysup E= +

2. PROPIEDADES BASICAS

Teorema 1. [3]

Sea {an} una sucesin de nmeros reales. Se tiene entonceslm infn

an lm supn

an.

Demostracin.Si lm infn

an = y lm supn

an = +, pues ya se tendra, as que supongamos

que los lmites son finitos y llamemos

= lm infn

an ; =lm supn

an

y vamos a probar que .

Por reduccin al absurdo supongamos que < , tomemos a (, ). Como es el lmite

superior, solo pueden haber finitos elementos de la sucesin mayores a, luego existeN N tal

quean para todon N. Como hay infinitos elementos de la sucesin tal quean < ,contradice quees el lmite inferior.

As que se concluye .

Teorema 2. Sea {an} una sucesin de nmeros reales, l mn

an= a (la sucesin converge) si y slo si

3


4/6

lm infn

an=lm supn

an= a

Demostracin. Sea >0, por ser lm infn

an = a, debe haber una cantidad finita de elementos

deanmenores quea y por ser lm supn

an = a, debe haber una cantidad finita de elementos

deanmayores quea+. As existe un N N tal que

a < an < a+

para todon N. Y esto es que lmn

an= a.

Si lmn

an = a, as toda subsucesin deantambin va hacer a, mas an el lmite superior y el

lmite inferior, entonces

lminfn

an=lmsupn

an= a

Teorema 3. Sea {xn} una sucesin acotada y sean {sn} y {tn} las sucesiones definidas por

sn=su p{xn, xn+1, . . .}

tn=in f{xn, ax+1, . . .}

Entonces las sucesiones {sn} y {tn} son convergentes y

l mn

sn= lm supn

xn

l mn

tn = lm infn

xn

Teorema 4. Si an bnpara cada n=1, 2, . . . se tiene entonces

lminfn

an lminfn

bn

lmsupn

an lmsupn

bn

Demostracin. Comoan bn, para todo n, tenemos que

xn:=su p{an, an+1, . . .} yn:=su p{bn, bn+1, . . .}

de modo que

lm supn

an= l mn

xn l mn

yn=lm supx

bn

4


5/6

similar para el lmite inferior,

xn:=in f{an, an+1, . . .} yn:=in f{bn, bn+1, . . .}

de modo que

lm infn

an= l mn

xn l mn

yn=lm infx

bn

Ejemplo:an = (1)n(1 + 1n )entones lminfnan= 1, lmsup

nan= 1

Demostracin. Seaxn= in f{an, an+1, . . .} yyn= sup{an, an+1, . . .}

xn=

an+1

= (1 + 1n+1

) sines par

an= (1 + 1n ) sines imparyn =

an

= (1 + 1n

) sines impar

an+1= (1 + 1n+1 ) sines par

por lo tanto

1 1n xn 1 y 1 1n xn 1

asxn 1 yyn 1 entonces lminfn

an= 1, lmsupn

an=1

2.1. PROPIEDADES ARITMTICAS

a) lmsupn

(an) = lminfn

an

b) lm supn

(an+bn) lm supn

an+ lm supn

bn

REFERENCIAS

[1] Walter Rudin. Principios de Anlisis matemtico. McGraw Hill, 1980.

[2] Tom M Apostol. Anlisis matemtico. Revert, 1996.

[3] Maria del Carmen Calvo. Resultados sobre lmite de sucesiones. 2005.

5


6/6

COEVALUACIN

Nombre del estudiante evaluador:Calificacin1:

Argumente brevemente su calificacin:

CRITERIOS DEEVALUACIN

Para evaluar el trabajo de su compaero tenga en cuenta los siguientes aspectos. Originalidad:El tra-bajo debe reflejar un ejercicio acadmico autntico, no debe tener fragmentos argumentativos (demos-traciones) copiados literalmente de libros o pginas internet. Puede tener demostraciones propias, de-mostraciones detalladas o reescrituras de demostraciones. El trabajo debe reflejar el esfuerzo personal

de aprendizaje y la intencin de comunicarlo. Profundidad:El trabajo tiene que demostrar la capacidaddel estudiante para preguntar y abordar sus preguntas. Considera ejemplos?, implicaciones?, analizalas condiciones del teorema?, la veracidad de la recproca?, casos ms generales?, etc.Complejidad:Eltrabajo debe tener ejemplos, demostraciones, implicaciones, etc. matemticamente retadores de acuerdoal nivel del curso.Representaciones:El uso de representaciones puede aportar a la originalidad, profun-didad y complejidad: simulaciones en geogebra, sage, Ipython, diagramas de demostraciones, etc. Rigor:El rigor lgico, matemtico y de exposicin es fundamental. Si el trabajo carece de rigor matemtico novale nada.Redaccin:Claridad en la escritura general, buena redaccin y ortografa. Uso de las tildes,las comas, los signos de puntuacin. Pulcritud en la escritura de las demostraciones. El trabajo debe ser

breve, alrededor de 4 pginas. Citacin:Uso debido de las citas, tanto en la tcnica del LATEXcomo en latcnica de citar.

1Slo puede usar las siguientes notas: 10 (deficiente), 20 (insuficiente), 40 (bueno), 50 (excelente).

6

lim sup lim inf

Documents

Transcript of lim sup lim inf