Limit Es
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Univer sidad de Costa Rica MA1210 Cálculo I Escuela de Matemática Práctica #2: Continuidad, Límites infinitos, límites al
infinito
I. Calcule los siguientes límites (si existen):
1. 9
1 lim 9 − + → x x
2. 9
1 lim 9 − − → x x
3. 4
9 9 1 lim
− → x x
4. 9 10 lim
9 − −
+ → x x
x 5.
9 8 lim
9 − −
+ → x x
x 6.
( ) 3 2
3 3 9 lim x
x x −
− →
7. x x
5 lim 0
− →
8. 3 5 lim
3 + +
− → x x
x 9.
x x
x − +
− → 3 5 lim
3
10. 16 8
2 lim 2 4 + − −
→ x x x
x 11.
x x
5 lim +∞ →
12. x x
5 lim −∞ →
13.
−
+∞ → x x
x
5 lim 14.
−
−∞ → 4 5 lim
x x 15.
+
−∞ → 3
5 1 lim x x
16.
+
+∞ → 5 5 lim x x x
17. 1 2 2 5 lim
+ −
+∞ → x x
x 18.
1 2 2 2 5 lim 2
2
+ − − +
−∞ → x x x x
x
19. 1 2 2 lim
2
4
+ − − + −
−∞ → x x x x
x 20.
x x
x − −
+∞ → 1 5 lim
4
21. 7
4
3 7 3 4 lim x x
x − −
+∞ →
22. 7 7
2
7 7
2 2 lim x
x x +
− −∞ →
23. ( ) x x x
− + +∞ →
2 lim 24. x x x
x x − + −∞ → 2 2
3 lim
II. Determine los intervalos en que es continua cada una de las siguientes funciones. Clasifique las discontinuidades que presenta cada una de ellas.
25. ( ) x x x x x f
− − −
= 2
2 4 3 26. ( ) x
x x f
2 4 2
−
− =
27. ( )
> − < +
= 0 1 0 1 2
x si x x si x x f 28. ( )
> −
≤ ≤ −
− <
= 1
1 1 1 2
x si x x si x
x si x x f
III. Considere la función f definida en IR por ( )
> −
≤ ≤ − + − < +
=
2 3
2 2 6 2 2
2
2
x si a x x si x
x si a x x f . Determine el o los
valores de la constante a para los cuales:
29. f es continua en x = 2 30. f es continua en x = 2 31. f es continua en IR
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IV. Considere la función f definida en IR por ( )
> −
≤ ≤ − + − < +
=
3
3 1 6 2 1
2 x si a bx x si x
x si b ax x f . Determine las
condiciones que deben cumplir las constantes a y b para que f sea continua en:
32. x = 5 33. el intervalo ] [ 1 ,− ∞ − 34. x = 3 35. x = 1 36. en IR
V. Determine las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales (si existen) de las siguientes funciones:
37. ( ) 16 4
2
2
− −
= x
x x x f 38. ( ) 16 2 2 5
2
2
+ + −
= x x
x x f
39. ( ) x
x x f 1 2 + = 40. ( )
1 1 1 +
− = x x
x f
Respuestas
1 ∞ + 6 ∞ − 1 1
0 1 6
∞ + 2 1
0 2 6
] [ 2 , ∞ − ] [ +∞ , 2
x=2 no evit.
3 1
2 3 6
a= 3 b=1
2 ∞ − 7 ∞ − 1 2
0 1 7
2 5 2
2 7 2
− 2 7
] [ 0 , ∞ − ] [ +∞ , 0 x=0 evit.
3 2
IR b a ∈ , 3 7
4 − = x
1 = y 3 ∞ + 8 ∞ + 1
3 ∞ + 1
8 2 5 2
3 0 2
8 ] ] 1 , ∞ − ] [ +∞ , 1
x=1 no evit.
3 3
IR b a ∈ , 3 8
2 5
= y
4 ∞ − 9 No exist e
1 4
4 1 9
∞ − 2 4
3 2 9
2,2 3 4
IR b∈ 12 9 − = b a
3 9
0 = x 1 = y 1 − = y
5 ∞ + 1 0
No exist e
1 5
1 2 0
∞ + 2 5
] [ 0 , ∞ − ] [ 1 , 0
] [ +∞ , 1 x=0 no evit. x=1 evitable
3 0
2 3 5
IR b∈ 4 − = b a
4 0
0 = x 1 − = x
0 = y
Práctica sugerida 1. Del material del Prof. Marco Alfaro: Páginas 8 a 15. Ejercicios página 15: 5 y del 7 al 12. 2. Del material “Ser ie Cabécar” Tema #1 I Parte. A Mondrus. Pág 2: IV: 1 y 2, V : 2 II Parte. A. Duarte. Pág 9: del 5 al 9 III Parte R. Pizarro Pág 23: 1 d,e,h,i,j; 3
Tema #3 I Parte. A. Ruiz. 1,2,4,6(a,b), 8(b,c,d) II Parte. C. Avendaño. 1, 4