Limite de funciones

Límite de funcionesMagister Lord Barrera:coordinador del área dematemática

Escuelas Profesionalesde

Ingeniería IndustrialIngeniería de SistemasIngeniería Empresarial

II

Lord Barrera

1. Límite de Funciones

Nos acercaremos de manera informal al concepto de límite: damos un númeroreal a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasarque f no esté definida en a).

Definición 1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x) cuando xtiende al número a es L y escribimos

lı́mx→ a

f (x) = L

significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f (x) está bien próximode L.

La curva en la figura derecha representala gráfica de una función f . El número aestá en el eje x y el límite L en el eje y.Cuando x se aproxima al número a en eleje x, entonces f (x) se aproxima a L enel eje y.

ax xx

y

L

x( (f

x( (ff

Ejemplo 1.1. Sea la función f (x) =

x + 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1se aproxima a 1+ 1 = 2. Haciendo L = 2concluímos que

lı́mx→ 1

(x + 1) = 2.x x

x

y

x( (f

1

2

-1

x( (f

1

Ejemplo 1.2. Sea f (x) =

{ √x + 3 si x �= 1

3 si x = 1. Cuando x se aproxima a 1,

entonces √x + 3 se aproxima a

√1 + 3 = 2.

Concluímos quelı́mx→ 1

√x + 3 = 2.

www.lordbarrera.com.pe

1.1. Propiedades de los Límites

En esta sección estableceremos algunas fórmulas que nos permitirán calcularde manera simple diversos límites. Nuestro objetivo es manipular estas fórmulasy familiarizarnos con sus aplicaciones.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

A continuación enunciaremos nuestro primer resultado para el cálculo delímites. Este resultado consiste de calcular el límite de una función constantef (x) = c.

Teorema 1.3. Para cualquier c ∈ R

lı́mx→a

c = c .

Como vemos en la figura derecha, la grá-fica de la función constante f (x) = c esla recta horizontal pasando por el nively = 3. Cuando calculamos el límite lı́m

x→ac,

no importa a qué número se aproxime lavariable x, el límite que resulta es siemprela constante.

x

y

a

c

x( (f

x x

x( (f

Ejemplo 1.4. Algunos límites de funciones constantes son

lı́mx→ 1

5 = 5, lı́mx→ 2

3 = 3, lı́mx→ 5

(−1) = −1 y lı́mx→ 0

π = π .

Ejemplo 1.5. Calcular los siguientes límites

lı́mx→ 1

10 = , lı́mx→ 2

√2 = , lı́m

x→ 5π = , y lı́m

x→ 0(−5) = .

Solución. Ejercicio para el lector.

2

Lord Barrera

LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

A continuación calcularemos el límite de la función identidad f (x) = x.

Teorema 1.6.lı́mx→a

x = a .

Ejemplo 1.7. Algunos límites son

lı́mx→ 1

x = 1, lı́mx→ 2

x = 2, lı́mx→π

x = π y lı́mx→ 0

x = 0 .

Ejemplo 1.8. Calcular los siguientes límites

lı́mx→ 2

x = , lı́mx→ 3

x = , lı́mx→√

2x = y lı́m

x→ 1x = .


PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LÍMITES

A continuación estableceremos algunas propiedades algebraicas que nos ayu-darán a calcular de manera efectiva límites que involucran expresiones más ex-tensas. Estas expresiones pueden ser sumas de funciones, diferencias, o tambiénproductos y cocientes.

Teorema 1.9. Se cumplen

(a) lı́mx→a

[f (x) + g(x)

]= lı́m

x→af (x) + lı́m

x→ag(x).

(b) lı́mx→a

[f (x)− g(x)

]= lı́m

x→af (x)− lı́m

x→ag(x).

(c) lı́mx→a

[c f (x)

]= c lı́m

x→af (x), para cualquier c ∈ R.

(d) lı́mx→a

[f (x)g(x)

]= lı́m

x→af (x) lı́m

x→ag(x).

(e) lı́mx→a

f (x)g(x)

=lı́mx→a

f (x)

lı́mx→a

g(x), sabiendo que lı́m

x→ag(x) �= 0.

3


Ejemplo 1.10. Calcular el siguiente límite

lı́mx→ 1

(x + 5)

Solución. Aplicando la propiedad (a) tenemos

lı́mx→ 1

(x + 5) = lı́mx→ 1

x + lı́mx→ 1

5 = 1 + 5 = 6 .


lı́mx→ 2

(1 − x)

Solución. Aplicando la propiedad (b) tenemos

lı́mx→ 2

(1 − x) = lı́mx→ 2

1 − lı́mx→ 2

x = 1 − 2 = −1 .


lı́mx→ 0

5(x + 1)

Solución. Aplicando la propiedad (c) tenemos

lı́mx→ 0

5(x + 1) = 5 lı́mx→ 0

(x + 1)

= 5[

lı́mx→ 0

x + lı́mx→ 0

1]

= 5[0 + 1

]= 5.

Ejemplo 1.13. Calcular el límite lı́mx→ 1(x2 + 2x).

Solución. Desde quex2 + 2x = x(x + 2),

de acuerdo a la propíedad (d) tenemos

lı́mx→ 1

(x2 + 2x) = lı́mx→ 1

x(x + 2)

=[

lı́mx→ 1

x][

lı́mx→ 1

(x + 2)]

= 1(1 + 2)

= 3.

4

Lord Barrera

LÍMITE DE UNA POTENCIA

Ya vimos en el ítem (d) de las propiedades algebraicas de límites que el límitede un producto es el producto de límites. Si aplicamos esto al límite

lı́mx→ a

x2

tenemoslı́mx→ a

x2 =(

lı́mx→ a

x) (

lı́mx→ a

x)= a · a = a2

Generalizando este resultado tenemos:

Teorema 1.14. Dado un entero positivo n, entonces

lı́mx→ a

xn = an .

Ejemplo 1.15. Tenemos por ejemplo los límites

(i) lı́mx→ 1

x2 = 12 = 1 (ii) lı́mx→ 2

x4 = 24 = 16 (iii) lı́mx→−2

x3 = (−2)3 = −8

Ejemplo 1.16. Completar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 3

x5 = (ii) lı́mx→√

2x2 = (iii) lı́m

x→−2x4 =



lı́mx→ 1

(2x2 + 4x + 1)

Solución. Aplicando las propiedades de límites tenemos

lı́mx→ 1

(2x2 + 4x + 1) = lı́mx→ 1

(2x2) + lı́mx→ 1

(4x) + lı́mx→ 1

(1)

= 2 lı́mx→ 1

(x2) + 4 lı́mx→ 1

(x) + lı́mx→ 1

(1)

= 2(12) + 4(1) + 1

= 7.

5



lı́mx→ 2

x2 − 5xx − 3

Solución. Desde que lı́mx→ 2

(x − 3) = −1 �= 0, podemos aplicar la regla del

cociente

lı́mx→ 2

x2 − 5xx − 3

=lı́mx→ 2

(x2 − 5x)

lı́mx→ 2

(x − 3)

=lı́mx→ 2

(x2)− 5 lı́mx→ 2

(x)

lı́mx→ 2

(x)− lı́mx→ 2

(3)

=22 − 5(2)

2 − 3

=−6−1

= 6.

Podemos generalizar el resultado anterior en la siguiente propiedad

Proposición 1.19. Si n es un entero positivo y lı́mx→ a

f (x) = L, entonces

lı́mx→ a

[ f (x)]n = Ln .

Ejemplo 1.20. Evaluemos el límite

lı́mx→ 1

(x2 + 4x + 4)

Solución. Sabemos que x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 y que

lı́mx→ 1

(x + 2) = 3

Luegolı́mx→ 1

(x2 + 4x + 4) = lı́mx→ 1

(x + 2)2 = 32 = 9 .

6

Lord Barrera

Teorema 1.21. Si n es un entero positivo y lı́mx→ a

f (x) = L, entonces

lı́mx→ a

n√

f (x) = n√

L , donde L > 0 si n es par .


lı́mx→ 1

√x + 8

Solución. Sabemos quelı́mx→ 1

(x + 8) = 9

Luegolı́mx→ 1

√x + 8 =

√9 = 3 .

Ejemplo 1.23. Evaluar el siguiente límite

lı́mx→−1

√x + 5

Solución. Sabemos que

lı́mx→−1

(x + 5) = 4

Luegolı́m

x→−1

√x + 5 =

√4 = 2 .

Ejemplo 1.24. Suponga que se cumple

lı́mx→ 3

√ax2 + 2ax = 3

√10

Calcular el valor de a.

Solución. Aplicando límite a la expresión dentro de la raiz

lı́mx→ 3

(ax2 + 2ax) = a(3)2 + 2a(3) = 15a

o sea quelı́mx→ 3

√ax2 + 2ax =

√15a = 3

√10

Esto significa que√

15a = 3√

10, que implica 15a = 90. Por tanto, a = 6.

7


LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

De las propiedades algebraicas de límites sigue el resultado

Proposición 1.25. Si p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0 es una función polinómica,entonces

lı́mx→ a

p(x) = p(a) .


lı́mx→−1

(x5 − 3x3 + 2x)

Solución. Si consideramos el polinomio

p(x) = x5 − 3x3 + 2x,

entonces p(−1) = (−1)5 − 3(−1)3 + 2(−1) = 0 y

lı́mx→−1

(x5 − 3x3 + 2x) = p(−1) = 0 .

Ejemplo 1.27. Evaluar el límite

lı́mx→−1

(x7 − 2x3 + 3x − 1)

Solución. Evaluando directamente se tiene

lı́mx→−1

(x7 − 2x3 + 3x − 1) = (−1)7 − 2(−1)3 + 3(−1)− 1 = −3

Ejemplo 1.28. Silı́mx→ 2

(ax3 − 2ax2 + 3x) = 21

Calcular el valor de a.

Solución. Evaluando conseguimos

21 = lı́mx→ 2

(ax3 + 2ax2 + 3x) = a(2)3 + 2a(2)2 + 3(2) = 8a + 8a + 6 = 16a + 16

o sea que a = 5/16.

8

Lord Barrera

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Continuamos con la siguiente propiedad de límite para funciones racionales

Proposición 1.29. Si p(x) y q(x) son polinomios con q(a) �= 0, entonces

lı́mx→ a

p(x)q(x)

=p(a)q(a)

.


lı́mx→ 3

x3 − 3x2 + 1x2 − 1

Solución. Desde que (3)2 − 1 = 8 �= 0, entonces

lı́mx→ 3

x3 − 2x2 + 1x2 − 1

=(3)3 − 2(3)2 + 1

(3)2 − 1=

108

=54

.

Ejemplo 1.31. Evaluar el límite

lı́mx→ 2

x4 + x2 + 5x2 + 1

Solución. Evaluando directamente tenemos

lı́mx→ 2

x4 + x2 + 5x2 + 1

=(2)4 + (2)2 + 5

(2)2 + 1=

255

= 5 .

Ejemplo 1.32. Evaluar los siguientes límites

(i) lı́mx→ 2

x4 + x2 + 5x2 + 1

(ii) lı́mx→−1

5x4 − x3

2x2 + 3(iii) lı́m

x→ 0

x2 + x + 1x + 1

(iv) lı́mx→ 4

2x + 1x

(v) lı́mx→ 2

−(x + 1)2

x + 1(vi) lı́m

x→√2

x4 + x2

x2(vii) lı́m

x→ 0

−x2 + x − 1x − 1

(viii) lı́mx→ 3

x + 1x − 1


9


1.2. Límite de Funciones Trigonométricas

Ya sabemos calcular límite de funciones algebraicas. El siguiente teorema diceque si a es un número que está en el dominio de una función trigonométrica,entonces el límite de la función cuando x se aproxima al punto a, se calcula porsustitución.

Teorema 1.33. (Límite de funciones trigonométricas). Sea a un número en el domi-nio de una función trigonométrica. Entonces

(a) lı́mx→ a

sen x = sen a (b) lı́mx→ a

cos x = cos a

(c) lı́mx→ a

tg x = tg a (d) lı́mx→ a

cot x = cot a

(e) lı́mx→ a

sec x = sec a (f) lı́mx→ a

csc x = csc a

Ejemplo 1.34. Calcular los límites

(i) lı́mx→π/4

x cos x (ii) lı́mx→π/2

(x2 + sen x) (iii) lı́mx→π/3

sen x cos x

Solución.

(i) lı́mx→π/4

x cos x =

(lı́m

x→π/4x)(

lı́mx→π/4

cos x)

=π

4cos

π

4=

π

4

√2

2=

π√

28

(ii) lı́mx→π/2

(x2 + sen x) = lı́mx→π/2

x2 + lı́mx→π/2

sen x

=(π

2

)2+ sen

π

2

=π2

4+ 1 =

π2 + 44

(iii)

lı́mx→π/3

sen x cos x = sen(π/3) cos(π/3) =

(√3

2

)(12

)=

√3

4.

10

Lord Barrera

Teorema 1.35. (Límites trigonométricos importantes). Se cumplen:

lı́mx→ 0

sen xx

= 1 y lı́mx→ 0

1 − cos xx

= 0


lı́mh→ 0

sen 4hh

Solución. Haciendo x = 4h, entonces tenemos

sen 4hh

=4 sen 4h

4h= 4

sen xx

La nueva variable x tiende a cero cuando h → 0, pues, x es múltiplo de h. Portanto, cambiamos el límite h → 0 por x → 0 y obtenemos

lı́mh→ 0

sen 4hh

= lı́mx→ 0

4sen x

x= 4

(lı́mx→ 0

sen xx

)= 4(1) = 4 .


lı́mx→ 0

tg xx

Solución.

lı́mx→ 0

tg xx

= lı́mx→ 0

(sen x

x· 1

cos x

)

=

(lı́mx→ 0

sen xx

)·(

lı́mx→ 0

1cos x

)= (1)(1)

= 1 .


lı́mh→ 0

sen 3h2h


11


TÉCNICA DEL SANDWICH

Las técnicas anteriores son muy buenas pero no resuelven todas las situacio-nes, como vemos a continuación.

Por ejemplo, si queremos calcular lı́mx→ 0 x2 sen1x

entonces una herramienta útil es el siguiente teorema

Teorema 1.39. (El sandwich). Supongamos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x enun intervalo centrado en a (es posible que no lo contenga). Si

lı́mx→ a

f (x) = L = lı́mx→ a

h(x)

entonceslı́mx→ a

g(x) = L

Ejemplo 1.40. Calcular el límite

lı́mx→ 0

x2 sen1x

Solución. Desde que −1 ≤ sen t ≤ 1 para todo número real t, entonces

−1 ≤ sen1x≤ 1 para todo x �= 0

Por tanto,

−x2 ≤ x2 sen1x≤ x2, x �= 0

Seanf (x) = −x2, g(x) = x2 sen

1x

y h(x) = x2

Entoncesf (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

Desde que

lı́mx→ 0

f (x) = lı́mx→ 0

(−x2) = 0 y lı́mx→ 0

h(x) = lı́mx→ 0

(x2) = 0

El teorema del sandwich implica que

lı́mx→ 0

g(x) = lı́mx→ 0

x2 sen1x= 0 .

12

Limite de funciones

Documents

Transcript of Limite de funciones