2. LMITES Y CONTINUIDAD

2.1. Nota histrica

Despus de la invencin del clculo, en el siglo XVII, sigui un periodo de desarrollo libre del tema durante el siglo XVIII. Algunos matemticos, como Euler y los hermanos Bernoulli, aplicaron el poder del clculo; infinitesimal y exploraron, con audacia, las consecuencias de esta nueva y bella teora matemtica, sin preocuparse demasiado si sus demostraciones eran correctas por completo.

En contraste, el siglo XIX fue la Edad del Rigor en matemticas. Se produjo un movimiento de regreso a las bases del tema, para presentar definiciones cuidadosas y demostraciones rigurosas. Al frente de este movimiento estuvo Agustn - Louis Cauchy (1789-1857), matemtico francs, quien comenz como ingeniero militar antes de ser profesor de matemticas en Pars.Cauchy tom la idea de lmite de Newton, que Jean Le Rond D' Alembert, otro "matemtico francs, haba mantenido viva durante el siglo XVIII y la hizo ms precisa. Su definicin de lmite es:"Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable tienden indefinidamente a un valor fijo, de modo que al final difieren de l todo lo poco que uno desea, a este ltimo se le llama lmite de los dems". Pero cuando Cauchy emple esta definicin en ejemplos y demostraciones, con frecuencia ech mano de desigualdades delta () psilon (). Una demostracin caracterstica de Cauchy comienza "Designemos dos nmeros muy pequeos como y " Emple la por la correspondencia entre la psilon y la palabra francesa erreur. Despus, Karl Weierstrass (1815-1897), Matemtico alemn, enunci la definicin de lmite

2.2. Introduccin El concepto lmite es una de las ideas fundamentales que distinguen el Clculo de otras reas de la matemtica como el lgebra o la geometra. De hecho podramos definir el clculo como un estudio de los lmites. Por su puesto, la palabra limite en el lenguaje diario como cuando se dice Estoy acercndome al lmite de mi paciencia tal sentido tiene algo que ver con clculo pero no mucho.

2.3. Concepto intuitivo de lmite

En el clculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores de la funcin de la funcin cuando x est muy cerca de de un numero a, pero no es necesariamente igual hecho,en muchos casos el numero a no est en el dominio de esto es no definido . Vagamente hablando, nos hacemos la siguiente pregunta: si x se acerca mas a a ( pero x a)

se acerca cada vez mas a algn numero L ? si la respuesta es si decimos que el limite de

, cuando x tiende a a es igual a L y escribimos

Se quiere estudiar el comportamiento que tiene las imgenes de la funcin cuando la variable x se encuentra cerca del valor x = aEjemplo 1

Sea la funcin investiguemos lo que ocurre cuando se aproxima a 2 en la tabla por la derecha y por la izquierda

X derechaY = f(x) X izquierday = f(x)

1,961,971,981,992,005,84165,88095,92045,9601622,012,022,032,04

6,000 6,0401 6,08046,12096,1616

En conclusin podemos decir que cuando la variable x se aproxima a 2 entonces la variable y se aproxima 6 entonces se puede escribir

Otros ejemplos.- Para las siguientes funciones utilizando DERIVE realizar la tabla y escribir el limite

2.- aproximar para

3.- aproximar para

4.- aproximar para

2.4. Definicin precisa de Lmite de una Funcin.

El significado preciso de la proposicin tiende a L, cuando x tiende a a Fue debatido vigorosamente (y a veces en forma spera) por cientos de aos, hasta finales del siglo dicienueve fue entonces el matemtico Alemn Karl Weierstrass (1815-1897) formulo finalmente la definicin rigurosa del limite aceptada en al actualidad

Sea una funcin definida en un intervalo abierto I que contiene un numero real a, excepto cuando a se define a s misma. Entonces se dice que el lmite de cuando x tiende a un nmero real a y da como resultado un nmero L y se denota:

Si para todo epsilon () mayor que cero existe un delta () mayor que cero tal que el valor absoluto de la funcin menos el limite es menor que epsilon, cuando el valor absoluto de x - a sea menor que

/ ; Cuando

2.5 Interpretacin geomtrica de lmite

x = a-x = a+x = ay =L-y =L+y =Ly = f(x)yx22Entorno de lmite

2.6. Teorema Sobre Lmite.

Sean las funciones y , cuyo dominio pertenece a un intervalo I de los nmeros reales con los siguientes limites

Sean la funciones f (x) y g(x) con lintes :

1. = constante

2.

3.

4.

5.

6.

7. ;

8. ;

y cualquier entero positivo y cualquier entero positivo impar

2.6. Calculo de Lmites.

El valor del limite aplicando propiedades o teoremas de limites de manera que al evaluar o reemplazar el valor de la variable por la tendencia ya no se escribe limite.

1.

2.

3.

4.

2.7. Tipos de Indeterminacin.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

2.8. Formas Determinados.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12. 13.

2.9. Calculo de lmites indeterminados