LÍMITES DE FUNCIONES

•Límites infinitos

•Límites en el infinito

(conceptos previos)

Límites en el infinito

Problema 1:

El coste de fabricación de x unidades de un determinado producto, viene dado (en euros) por la función:

a) Determina la función de coste unitario

b)¿A cuánto sale cada unidad, si se fabrican 200 unidades?.

¿Y si se fabricaran 2000?

c) ¿A cuánto tiende el coste unitario si el número de unidades fabricadas es cada vez mayor?

SOLUCIÓN:

a) El coste unitario C(x), se obtiene:

b) Si x = 200, el coste unitario será: = 15,6 €

Si x = 2000, es fácil comprobar que el coste unitario es de 2,1 €

c) Si x se hace cada vez mayor, el coste unitario tiende a…

Para hacerte una idea, lo mejor es que construyas una tabla de valores

X C(x)

0 ¿ ?

1

10

100

1000

10000

100000

La gráfica (una hipérbola) nos da una idea de lo que ocurre

Problema 2:

Suponiendo que los costes de producción de un número x de periódicos vienen dados por la función:

C (x) = 12.000 + 0.24 x (en euros), se pide:

a) ¿A cuánto asciende el coste por cada periódico?

b) ¿A qué tiende ese coste cuando la tirada del periódico es de 10.000, 50.000 y 100.000 ejemplares respectivamente?.

c) ¿Cuál sería el precio mínimo que se alcanzaría en el supuesto de que pudiéramos hacer una tirada de tantos periódicos como quisiéramos?

La altura media (en metros) de una determinada especie de árboles, viene dada por la función:

Problema 3:

donde “t” representa los años transcurridos desde su plantación.

a) ¿Qué altura media tendrá uno de esos árboles al cabo de 5 años?b) ¿Cuál sería la máxima altura que podrían alcanzar suponiendo que vivieran eternamente?

http://beta.upc.edu.pe/matematica/cdiad/Recursos/Clases/1.4%20Limites%20infinitos.ppt

La diapositivas que siguen son, en algunos casos, adaptadas a partir de la presentación cuyo enlace aparece más abajo, trabajo que me ha sido de gran utilidad y agradezco sinceramente

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LÍMITES DE FUNCIONES

Límites en el infinito

tiempo(años)

clientes

f

¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en

el largo plazo?

Analicemos …En una empresa el número de clientes a lo largo de los años evoluciona con arreglo a la siguiente gráfica

¿ ?

¿ ?

50

t

Entonces: 50)(lim

tft

Esto es un límite en el infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.

11

12

Límites en el infinito

Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x L

Análogamente, si los valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x M

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y = f (x)y

y = L

y = M M

Llim ( )x

f x L

lim ( )x

f x M

x

Por ejemplo….

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Límite en el infinito para funciones polinómicas1

1 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a

lim ( ) lim nn

x xf x a x

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).

Ejemplos:

a) 32 59lim

3 6xx x

b) )5( 24

lim

xxxx

Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?

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n

xxlim

nx x

1lim

nx x

1lim

Interrogante . . . . .

11 1 0

11 1 0

( )n n

n nm m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

11 1 0

11 1 0

lim ( ) lim

n nn n

m

m mx xm m

m

a x a x a x a

xf xb x b x b x b

x

Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:

Resolución:

Límite en el infinito para funciones racionales

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17

Para funciones racionales: 1

1 1 01

1 1 0

( )n n

n nm m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

Resolución simplificada:

Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:

m

m

n

n

x xb

xalim

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Ejercicios:

32

542

2

lim

x

xx

x

xxx 21

34

lim

x

xxx 21

34

lim

3

72lim

x

x

x

1.

2.

3.

4.

Calcula los siguientes límites

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Problema de aplicación

Los psicólogos, basados en la experiencia, han descubierto que el aprendizaje puede medirse con ayuda de funciones y que ese aprendizaje concreto tiene un límite.

Por ejemplo, si la destreza consiste en aprender mecanografía, la función puede venir dada pro la expresión:

X indica el número de clases recibidas (x positivo) y f(x) las pulsaciones por minuto tras esas clases.

¿Cuál será el número de pulsaciones que una persona puede alcanzar tras 10, 20, 50, 100, o 1000 lecciones?. ¿Merecería la pena estar recibiendo clases eternamente?

LÍMITES DE FUNCIONES

Límites infinitos

Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:

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Límites infinitos

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

si f (x) crece sin límite cuando x→a.

si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

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Pregunta

A partir de la gráfica, ¿en qué valor de a, se cumple: ?

)(lim xfax

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a. Estima 2 2

1 1

1 1lim , lim

1 1x xx x

Ejemplo 1: Utiliza la calculadora si es necesario y…

2 2

2 2lim , lim

2 2x xx x b. Estime .

¿A dónde tiende ?2

2lim

2x x

¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? 2

1( )

1f x

x

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De la gráfica de la función f, calcula, en caso existan, los siguientes límites:

Ejemplo 2:

25

Dibuja de modo aproximado la gráfica de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:

Ejemplo 3:

Solución (posible):

Pon un ejemplo de función que cumpla:

•Que Dom (f) = R – [0,1].

•Sea discontinua en x=-1.

•Que tenga una asíntota vertical en x=3.

•Que tenga una asíntota vertical en x=0.

y = ex+3,25

y=1

y = ln (x-3)

y=1,5 · x - 2

Ejemplo 4:

xsix

xsix

xsi

xsie

xf

x

3)3ln(

3122

3011

1

)(

25,3