Limites y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD

MATEMÁTICA 1

Definición de límite

Se dice que el número real L es el límite de f(x) cuando

x tiende a a, al cual denotaremos por:

límx a

f(x) = L

Propiedades:

a) Límite de una función constante. Si c es una constante,

entonces para cualquier número a, en la función f(x) = c, se tiene:

>0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<

límx a

f(x) = límx a

c = c

límx a

f(x) = límx a

5 = 5

b) Límite de una función identidad. Si f(x) = x, se tiene:

límx a

f(x) = límx a

x = a

límx 4

f(x) = límx 4

x = 4

c) Límite de una función lineal. Sean m y b dos constantes cualesquiera, entonces:

límx a

f(x) = límx a

(mx + b) = ma + b

límx 3

f(x) = límx 3

(2x + 4) =

d) Límite de la suma y la diferencia de dos funciones. Si:

límx a

f(x) g(x) = L M

Dados: f(x) = 2x + 3 y g(x) = 5x – 7; hallar:

límx a

f(x) = L y límx a

g(x) = M

límx 1

f(x) + g(x) =

e) Límite del producto de dos funciones. Si:

límx a

f(x) . g(x) = L . M

Dados: f(x) = 2x + 5 y g(x) = 3x – 1; hallar:

límx a

f(x) = L y límx a

g(x) = M; entonces:

límx -2

f(x) + g(x) =

f) Límite de la enésima potencia de una función. Si:

límx a

f(x)n = Ln

Si: f(x) = 5x + 7; hallar:

límx a

f(x) = L y n Z; entonces:

límx -2

f(x)4 =

g) Límite del cociente de dos funciones.

límx a

f(x)

Si: f(x) = x y g(x) = -7x + 8; hallar:

límx a

f(x) = L y

=

Si: límx a

g(x) = M; entonces:

g(x) L

M; si M 0

límx 4

f(x)=

g(x)

h) Límite de la raíz enésima de una función.

límx a f(x) = L

Hallar:

límx a

f(x) = L y n Z; entonces:

límx 3

x + 5

n n Con la restricción de que si n es par,

L > 0

7x + 63

i) Unicidad del límite de una función.

El límite de una función si existe, es único,

es decir:

límx a

f(x) = L1 ySi: límx a

f(x) = L2 L1 = L2

límx a

f(x) = L, si y sólo si, Si: límt 0

f(t + a) = L

j) Teorema de Sandwich.

Sean f(x), g(x) y h(x), tres funciones, tales

que:

límx a

g(x) = L

i) f(x) g(x) h(x); x a, y

ii) f(x) = h(x) = L límx a

límx a

Entonces se cumple:

Ejercicios

Mediante la definición de límite demostrar que:

1. límx 2

5x2 - 20= 20 x - 2

Sabemos que:

límx a

f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<

2. límx 2 (4x – 5) = 3

Sabemos que:

límx a

f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<

3. límx 3 (7 - 3x) = -2

Sabemos que:

límx a

f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<

4. límx 3

x2 - 9= 6 x - 3

Sabemos que:

límx a

f(x) = L >0, >0/0<|x – a|<,|f(x) – L|<

Aplicando las propiedades, calcularlos siguientes

límites:

5. límx -1 =

3x3 – 6x2 - 9x

x3 – 5x2 - 3x - 3

6. límx 2 =

x2 - 4

x4 + x3 - 24

7. límx 2 =

x - 2

x3 - 4 - 2

8. límx 4 =

x2 - 3x - 4

2x + 1 - 3

9. límx 4 =

5 - x - 1

x + 5 - 3

10. límx 1 =

2x – 1 - x

3x - 2 + x - 5x -1

11. límx 1

= x – 1

x2 - x

12. límx 0 = x + x2

1 + x2 - 1 - 2x3 4

Teorema de Sandwich

1. Calcular: límx 2

g(x)

Si: f(x) g(x) h(x)

Además: f(x) =x – 2

x2 - 4h(x) =

|x| + x

(x + 2)2

y

2. Calcular:

Si: f(x) g(x) h(x)

Además: f(x) =x2 - 2x

x2 - 2x + 1h(x) =

y

límx 0

g(x)

x3 - 2x2 – 4x

x2 + 2x + 2

1. límx 1

= x4 + 2x - 3

x4 + 3x3 + 7x2 - 5x - 6

Trabajo grupal

2. límx 2 =

x - 2 3x - 2 + x + 6 - 4

3

Cálculo de límites laterales

a. Límite por la derecha.

Sea f una función definida en

cada número del intervalo

abierto a, c. Entonces, el

límite de f(x), conforme x

tiende a a por la derecha, es L

y se denota:

límx a+

f(x) = L>0, >0/0< x – a < , |f(x) – L|<

Sea f una función definida en

cada número del intervalo

abierto d, a. Entonces, el

límite de f(x), conforme x

tiende a a por la izquierda, es

L y se denota:

límx a-

f(x) = L>0, >0/0< |x – a| < , |f(x) – L|<

b. Límite por la izquierda.

Teorema fundamental

El lím f(x) existe y es igual a L,x a

si y sólo si, ylímx a-

f(x) límx a+

f(x)

existen y son iguales a L.

Ejercicios

01. El costo total en nuevos soles de un pedido

de x kilogramos de un producto es:

C(x) =2x, si 0 x 10

1,8x, si x > 10Calcular si existe el lim C(x)

x 10

10

1,8x

Por la derechaPor la izquierda

2x

02. Calcular si existe, el donde:

f(x) =

si x 5

si x < 5

límx 5

f(x)

03. Calcular el límite de la función máximo

entero (parte entero o mayor entero) f(x) = x

cuando x tiende a cero por la izquierda y por la

derecha.

04. Calcular si existe, el , si:

x + |1 – x|

x2 + 1

límx 1

f(x)

límx 1

x -1| – x

x2 - x|

límx -3

f(x)

límx -3

05. Calcular si existe, el , si:

límx 0

f(x)06. Calcular si existe, el , si:

x y

-0.125 0

-0.12 -0.14

-0.1 -0.3

-0.075 -0.4

-0.05 -0.46

-0.04 -0.47

-0.035 -0.48

-0.03 -0.49

-0.02 -0.49

-0.01 -0.50

-0.005 -0.50

-0.0005 -0.50

-0.00005 -0.50

0.00005 0.50

0.0005 0.50

0.005 0.50

0.01 0.50

0.02 0.49

0.03 0.49

0.035 0.48

0.04 0.47

0.05 0.46

0.07 0.41

0.075 0.4

0.08 0.38

0.1 0.3

0.12 0.14

0.125 0

164

1)(

2

xxxf

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

-0.15 -0.125 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15

Gráfica de f(x) = x1/(4x2) - 16

límx 0

f(x)07. Calcular si existe, el , si:

3x +|x|

7x - 5x|

límx 0

límx 1

f(x)08. Calcular si existe, el , donde:

f(x) =

si x > 1

si x < 1

Cálculo de límites indeterminados

a) Primer caso: Indeterminación

01. Halle: x2 - 9

x - 3

límx 3

02. Halle: 6x2 + 12x - 18

2 x - 2

límx 1

03. Halle: t - 3

t + 1 - 2

límt 3

04. Halle: 3 - xlímt 3 (x - 3)2

05. Halle: límt 4

x - 4

x + 5 - 3

06. Halle: límt 2

x - 2

x - 2

07. Halle: límt 1

x + 3 - 2

1 - 3x - 2

b) Segundo caso: Indeterminación

01. Halle: x3 + 3x2 + x4 + 1límx

x + x3 - 3

02. Halle: x3 + 3x2 - 1límx

5x3 - 2x - 2

03. Halle: 3x2 + 2x - 3límx

x4 + 5x3 - 4x

04. Halle: x2 + x - x2 + 9límx

05. Halle: x4 + x2 + 1 - x8 + x6 + 1límx

4

c) Tercer caso: Indeterminación -

01. Determine el valor de:

límx 2

02. Halle: límx/2

03. Calcule: (csc x - cot x)límx 0

d) Cuarto caso: Indeterminación 0.

01. Halle: límx -3

02. Halle: límx 0

sen (3x) . csc (3x)

03. Halle: límx 2

04. Halle: límx/2

tg (x) . cos (x)

01. Halle: límx 0

Ejercicios adicionales

02. Halle: límz 0

límx 2

f(x)01. Calcular si existe, el , donde:

x3 - 2x2 - 4x + 8

x - 2|

límx 2

02. Halle: (x + x2 - x3 + 1 )límx

3

Trabajo grupal

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

Repaso

01. Halla el dominio de:

02. Determine el rango de la función f, definida

por:

f(x) = cos (2x) – sen2(x), |x| < /4

03. Calcular (f + g)(x) de las funciones:

f(x) =x2 + 1, si |x| 2

x, si x > 2

g(x) =x - 1, si 0 x 3

x + 1, si x < 0

04. Aplicando las propiedades, halla el límite de

la función:

límx 1

05. Calcular si existe el siguiente límite:

límx +

06. Calcular si existe el siguiente límite:

límx

límx 0

sen xi).

Límites trigonométricas

x = 1

límx 0

tan xii).

x = 1

límx 0

1 - cos xiii).

x = 0

límx 0

1 - cos xiv).

x2=

12

límx 0

sen (2x)01. x

límx 0

1 – cos (x)02.

sen (x)

límx 0

sen (6x)03.

x

límx 0

sen (ax)04.

sen (bx)

límx 2

sen(x - 2)05.

3x - 6

límx 1

sen(1 - x)06.

x - 1

límx 0

tan (x) – sen (x)07.

x3

límx 0

6x – sen (2x)08.

2x + 3 sen (4x)

límx 0

cos (mx) – cos (nx)09.

x2

límx 0

1 + sen (x) – cos (x)10.

1 - sen (x) – cos (x)

límx 0

sen (7x) - sen (3x)11.

x.cos (x)

límx /3

1 - 2cos (x)12.

- 3x

límx 0

cos (x) - cos (sen x)13.

x2

límx 0

1 – cos sen (4x)14.

sen2 sen (3x)

límx /4

sen (2x) - cos (x) - 115.

sen (x) - cos (x)

límx 1

arc sen (x – 1/2)16.

arc tan (x)

DESARROLLO DE LA PRACTICA CALIFICADA

01. Halla el dominio de la función:

02. Si x0; , determine el rango de la función

f, cuya regla de correspondencia es:

f(x) = 2.sen (x) - cos (2x)

03. Calcular (f + g)(x) de las funciones:

f(x) =2x + 1, si x 1

x2 - 2 si x < 0

g(x) =3x + 1, si x 8

3x3 + 1, si x > 10

04. Aplicando las propiedades, halla el límite de:

05. Halla el límite de:

Trabajo grupal

01. Halla el límite de:

02. Calcula el límite de:

Límite de funciones exponenciales

a) Función exponencial

Si b > 0 b 1, entonces una función

exponencial es:

y = f(x) = bx

El dominio de una función exponencial es elconjunto de números reales. Df = R

Rf = 0, +

El eje x, es decir, y = 0, es una asíntota

horizontal para la gráfica de f.

Ejemplo 1

Grafique la

función: y = f(x)

= 2x.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x

Cuando la base b > 1

límx -

bx = 0

límx +

bx = +

Asíntota horizontal

Ejemplo 2

Grafique la

función: y = f(x)

= (1/2)x.

Cuando la base

0 < b < 1

límx -

bx = +

límx +

bx = 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1 0 1 2 3 4

Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x


b) Función logarítmica

La función logarítmica con base b > 0 b

1, se define por:

y = logb(x), si y sólo si, x = by

Dominio: Df = 0; + Rango: Rf = R

El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota

vertical para la gráfica de f.

La función f es uno a uno.

Utilizando la propiedad principal,

y = logb(x), si y sólo si, x = by

y = logb(x) = logb(by)

x = blogb(x)

se infieren:

2 = 10log2(10)

c) Logaritmo natural

Es el logaritmo con base e > 0 e 1, y se

define como:

y = ln(x), si y sólo si, x = ey

Además:

ln(1) = 0, si y sólo si, e0 = 1

ln(e) = 1, si y sólo si, e1 = e

Gráfica de y = f(x) = log2(x)

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x

Cuando la base

b > 1

límx + logb(x) = +

límx 0 = -logb(x)

Asín

tota

vertic

al

d) El número e

Ideado por John Napier en 1618 y

popularizado por Leonard Euler (1736).

e también es límite de la sucesión:

Haciendo: h = 1/x, si x tiende , h tiende a 0.

e) Cálculo de los límites de la forma:

f) Para funciones logarítmicas:

Calcula los siguientes límites:

01)

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)d( y)

dx

ii) Si y = ln[ f(x)]f ’(x)d( y)

dx f (x)=

iii) Si y = axd( y)

dxax.ln(a)=

iv) Si y = a f(x)d( y)

dxa f(x). f ’(x).ln(a)=

Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas

i) ln(ex) = x ii) eln(x) = x

1x1 +( )

xlím

x +∞= eiii)

1 + x( )1/x

límx 0

= eiv)

x1 +( )

xlím

x +∞= ev)

Casos especiales de funciones exponenciales y logarítmicas

ax - 1x( )lím

x 0= ln(a)vi) Si a >1 a 1

ex - 1x( )lím

x 0= 1vii)

10) 7x - 1x

límx 0

( )

11) 7x - 5x

xlímx 0

( )

12) 9x - 7xlímx 0

( )8x - 6x

13) ex - exlímx 0

( )x

14) ex - exlímx 0( )sen x – sen x

15) sen 2xlímx 0( )ln (1 + x)

16) límx /2

(1 + cos x)3.sec x

17) límx 0

(1 + 3.tan2 x)cot2 x

01)

Trabajo grupal

02)

Asíntotas de una funcióna) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo

largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la

recta L y el punto A de la curva tiende a cero,

cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la

recta L se denomina asíntota de la curva C.

b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la

curva C: y = f(x), si se cumple una de las

siguientes relaciones:

i) límx a

f(x) = ±∞

ii) límx a+

f(x) = ±∞

iii) límx a-

f(x) = ±∞

-∞

+∞

c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de

la curva C: y = f(x), si se cumple una de las

siguientes relaciones:

i) límx +∞

f(x) = k

ii) límx -∞

f(x) = k

iii) límx ∞

f(x) = k


d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua

de la curva C: y = f(x), si se cumple que:

i) límx +∞

[f(x) – (mx + b)] = 0

ii) límx -∞

[f(x) – (mx + b)] = 0

Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.

f(x)límx ±∞( )xm =

[f(x) – mx]límx ±∞b =

01. Halla las asíntota de la función:

x2 + x - 1x - 3y = f(x) =

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gráfico de la función: y = (x2 + x -1)/(x - 3)

Curva Asíntota oblicuaAsí

nto

ta v

ert

ical

Asíntota vertical:

x = 3

Asíntota oblicua:

y = x + 4

Asíntota horizontal:

No existe


2x2 – 5x + 3

x - 1y = f(x) =


2x2 + 5x - 8

x + 3y = f(x) =


x2 + 2x - 8

x2 - 4y = f(x) =


x + 3

x + 2y = f(x) =


6x2 + 8x - 3

3x2 + 2y = f(x) =

-3

-2

-1

0

1

2

3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfica de la función


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