Límites.pptx jean carlos manzaba
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Límites
• Límites al infinito
• Límites infinitos1
tiempo(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?50
t
Entonces: 50)(lim
tft
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
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Teoremas de limites
Teoremas de limites
Teoremas de limites
Operaciones de los limites
Límites al infinito
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Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x M
Por ejemplo….
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y = f (x)y
y = L
y = M M
Llim ( )x
f x L
lim ( )x
f x M
x
Por ejemplo….
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Límite al infinito para funciones polinómicas
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11 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a
lim ( ) lim nnx x
f x a x
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59lim
3 6xx x
b) )5( 24
lim
xxxx
Ejercicio . . . . .
19
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
Ejercicio . . . . .
20
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
Ejercicio . . . . .
21
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
Ejercicio . . . . .
22
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.html
So x=2 is a vertical asymptote. On the other hand, we have
So y=1 and y= -1 are horizontal asymptotes.
11 1 0
11 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
11 1 0
11 1 0
lim ( ) lim
n nn n
m
m mx xm m
m
a x a x a x a
xf xb x b x b x b
x
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
23
24
Para funciones racionales: 1
1 1 01
1 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:
m
m
n
n
x xb
xalim
Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:
Límites infinitos
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lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
Límites infinitos
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Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas verticales se pueden presentar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
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De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:
Ejemplo 2:
Continuidad de Funciones
28
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
limx 2
x21x 2
50
28
f (x)x21
x 2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.
Evidentemente no existe f(2)
No se puede dividir por 0
limx 2
x21x 2
50
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
Números muy pequeños pero negativos:
1,90 – 2 = - 0,1
1,99 – 2 = - 0,01
Números muy pequeñospero positivos:1,90 - 2 = 0,11,99 - 2 = 0,01
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)
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Veamos la gráfica de la función: f (x)x21
x 2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
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Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad
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Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
Discontinua
de 1ª
especie en
x = 2 con
salto de 3
u.
Continua en
x = 5
Continuidad de Funciones
32
32
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
f (2)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.
33Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
limx5
x2 6x105
f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5
limx5
4x 155
f (5)5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
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Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable”
f (x)x2 3x2
x 1Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. limx1
x2 3x2x 1
00 lim
x1
x 1 x 2 x 1
limx1
x 2 1
limx1
x2 3x2x 1
00 lim
x1
x 1 x 2 x 1
limx1
x 2 1
Como los límites izquierda y derecha son iguales tenemos que existe el límite x 1
limx 1
f (x) f (1) que no existe
35
Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
36
1lim0
xfx
existennoxfyxfxx 00limlim
0lim1
xfx
1lim1
xfx
existenoxfx 1lim
1lim2
xfx
1lim2
xfx
1lim2
xfx
23limlimlim333
fxfxfxfxxx
1lim4
xfx
existennoxfyxfxx 44limlim
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
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Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:
Ejemplo 3:
FIN38