L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca....

45

Transcript of L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca....

Page 1: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.
Page 2: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

Índex ���

���������� ������ ������� ����� �! ���"$#% &�� ��('$*)+ �'�,*)-��./�0 ��1�2�1�2

3�4 564�784 9-:�;�<�4�=�>6?��� �@� AB� ��'$CD ���$&�� 6�('�*)+ �'�,*)+��./�! 6�('��#% ��E�% 6���� FD� GH ��%'� *)-����& *�! �����#%����%�IE�%�$ *�! �����#%����% ���� J@� KH�����ML! ���� ���"$#% &�� 6�('�*)+ �'�,*)+��./�! 6����8N� O( ��E'� &���%PE���� )+�'$ ��/)Q�%����/RS� *)-� ) �UT VL�*)+�����&#% XWY *ZH)-�6�\[ T ��ML��%��]��� ^D� T �� � ��� �����,6�+)-�� &GH ��%�E� V_` ��Ea ��� �[��� bD�

c\ *)+ ��E'����� ���"$#% �� ��%�% � ��d)+ &#% e��C�'�� )�@�

_`���%�%���P���&#% &f&g�hdiEj0gXkXgUiml�nol%p%q%l%pHrtsdp%uXn j�vxw�n�y�n z|{Xq%l!}�hdiFD�

WY�%'\Ld�� ������ �����%��~����8�E��� �����%��~�(��������PE���� )FD�~���

�`� �����%��~�FD� �@� �E�E��� ����%�%��~�FD� FD� �`� �����%��~�(�%�E�E��� ����%�%��~�( �����e�� � *)+&#% ��~���%�'\Ld�� ��

J@� AB�#% 6���P����'$ ��/)�#% &�~�����PE���%� )

J@�~��� ������#%�d�� ��(�����6�E�� 6�(#% V�B ��%"

J@�~���~���

T �� 6�+)+�#%�J@�~��� �D� KH./�!���� 6�(���V)+�%�-)����J@�~��� F� ���%�% �� �Q����"

N� �Q�%�%�'$ ��/)��(#% ��� 6�(PS�!�% ������ �

N�~��� O��8�d�Q�( ��E� � �����~�(#% &P-�!�% ������

^D� ���%�*���!�/)��(���%P����� )��

^D�~��� AX./�����/�!'$ ����L������ )+*)^D� �@�

T �����PE���%� )��6������ ��%�% � ��d)+ & ��%'���� *)+�^D� FD� c\ �P������ ���"$#D�M�!�� ��%�*���!�/)����%P����� )

bD� �����#%���%��~�(#% ��~�(�%�'\Ld�� ������� ����~��� ��/)+ ��m�(�%��� ����%�%��~�

bD�~��� KH�%,����~���~�(# ��~���%�'\Ld�� 6���%*)~��������bD� �@� W��!'� ����L������ )+*)bD� FD� �(./�!�e���m��&�'\LY �� ��%�*�E�!�/)�#% ��~���%�'\Ld�� ������ �����%��~�x�$�

bD� FD�~���

T e�/�!'$ ����L������ )+*)�#% ��~���%�'\Ld�� ������ �����%��~�

Page 3: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

��� �������� ��� ��������

������ �������������! " �#����$�

���������� ��%&���'��(%) ������ *+� ,-#/.��&%&��#��10/2$ ������� ��� 3(#�45%)#�% �67.��&%&��#��670/28������ 9+� 3(#�45%)#�% ���$7�:��.:���;�%)��#+7�+<&%)#�45%)#�% �=7.��)%&��#��6

��� *>� "��#:?5��#��@���! " �#����$�

��� *>����� "��#���A����.�.�%)BC������.���#:?(��#����� *>� *+� DE������ !������ "��#:?(��#��@���! " �#����$���� *>� ��� FG% ?=�.�.�%)BC��#��A���!���� "��#:?5��#��@���! " �#����$��%�H(��I �;J��� *>� 9+� K@ ��� �������

L+� MN O#��/#���0C���� QP�%)�&% �� :�@������R�S�T�U)VWT�X�X�Y

L+���� 3(#��A�(������.�.�%)BL+� *>� Z7���$����0C

��[+� \N��]��� �#-����������0/ !���! " �#����$�

���� ��%^��'����(%�������R�S�T�U)VWT�X�X�Y

������� _G����� ��.�%)BC������������P��&��0C ���� *>� 37`����!��#/`������� !���O�) GP$�a�.� ��� !%)#�4����a.:�����+� !���!b����$�(]��! " �#�������c

�;*>� FG%dP��&%)��]��� �45%&

Page 4: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

ELS INFINITS

��������� ������������������������ ���� ���!�"��#���$� %#'&���%#('&���)'���$�

*,+�-�.�/102+3.�410257698:+�-<;�=3>�.?0@>902+�-BAC+�-�/3A 0@D<+�-�/3=1025FEG5 02/10H-BIJ8:.�/3KL+M-<;LIL/3K�/3KL/10N+1EG>�A 8:=357>�KL/3K90N/3A�A7AC/OD�PQ +�A7/RIL5S-202TLD�57/ Q +�UV>LD<.�+�- Q 57U�+OD<+3K90H-XW

Y,A�=3>LKL=3+OZJ02+ Q +�KL>L.\[JD<+\EG/�-<>LD�PL]�=3>�.^/�=3>LK�-_+369`:a3K�=357/ Q +�AC/�KL+3=3+M-_-<5 02/10bZLD<43=10@5C=3/ Q +�=3>LK902/OD>J[OcH+3=102+�-XW�d�KL5C=35C/3AC.�+3K902;�+�-$=3>LK902/1EG+OKe/3.\[fAVgC/Hc�8 Q / Q +�D<+OZLD<+�-<+OK902/3=357>LKh-$.�/102+OD�5C/3AS-Oi Q 5 0H-<;RZ�+ Q D<+�-XW7W7Wj KL>�.�k�-�=�/3ABD<+3=3>LD Q /OD<;B698:+�A7/�Z�/OD</18:AC/�=�43AC=18:A Q +OD<5FE:/ Q +�A7/�Zh/OD</18:AC/�A7AC/10257K�/�lnmGoCl3pLoCpJq\698:+�-<57P�KL57U�5C=�/=3>LK902/ODr/O.\[sZ�+ Q D<+M-�tXWu*,/�-_aOD<57+ Q +$KL>�.\[JD<+�-rKL/10S8GD</3AC-�+OD</$A75C.�5 02/ Q /3;BZ�+OD<T'A7/$=3>LKh-<=35Ca3KL=35C/�-<>J[JD<+$AS/KL+3=�+�-_-<5 02/10 Q gC/3.�Z�AC5C/OD�+3Av=3>LK1cV8:K90 Q +�KL>�.\[JD<+�-BD<+OZLD<+�-_+3K902/1EG/w8:K�/�5C.�Z�>LD@02/OK90N+x02/OZ�/ Q +3Ah=3/3.�]v=3/OZ�/rAC/.�/102+3.�410257=3/�.�> Q +OD<KL/MW

y / Q /e=35FE:5CAC5 0@z�/3=357{|EG/e/3K�/OD�/3USD<>LK902/OK90}AC/~02+3.�410257=3/ Q +eUV>LD<.�/ Q 5CU�+OD<+3K90}5�/OZ�>LD@024e/1EG+3KL�3>h-5C.�Z�>LD@02/OK90H-XW�v�V�v�h���C�B�V�V�S���h�����V�v�����

��� �C���<�*,/�57KLUV>LD<.�/3=357{ Q 5S-�Z�>LKL5F[GAC+�-<>J[JD<+ A7/�=35FE:5CA75 0@zM/3=357{ Q +�-<+OKJEG>�A 8GZh/ Q /�/3A$ACAC/OD�P Q +3A\��5CA�k�-<;

-28:UV5C=35C+3K902.�+3K90,UV5C/n[GAC+3;v=3>�.^Z�+ODR-<+ODR=3>LK�-<5 Q +OD</ Q /�AC/rZ�D<57.�+OD</�=35FE:5CAC5 0@z�/3=357{�698:+�EG/�/OD�D<5F[G/ODR/�8:K�=3+OD20Q +�-<+3KJEG>�A 8GZ�/3.�+3K90�.�/102+3.�410257=MW�*,/�=35FEG5CAC5 0@z�/�=357{�Y,P�]�Z�=35C/�EG/ Q +�-_+3KJEG>LA 8GZh/OD�8GK�-<5S-202+3.�/ Q +K98:.�+OD</3=357{�698:+�8L0@57AC5 0@z�/nE:/#KL>�.\[JD<+�-�=3AC/18�5�-<]C.�[G>�AC-XW�d<; PLD<43=O57+M-�/3A�-<+18 Q +�-<+3KJEG>�A 8GZh/3.�+3K90P�+3>L.�a10@D<57=3;JEG/RZ�> Q +OD 0¡D�>J[G/ODN8GK¢EG/3A7>LD�/OZLD<>J£G57.�/10 Q +3ALKL>�.\[JD<+w0@D</OK�-<UV57K�5 0 Z�5ViM¤hg<¥O¦L§�¨�W

© �h�3�h���h�<ªL« �V�¬\+rA7/r=35FE:5CAC5 0@z�/3=357{ Q +�­~+�-<>LZ�>9024O.�5C/3;v-<5 0S8:/ Q /r+3K90@D<+rASg®Y�8GUSD</102+�-�5h+3Av¯�57PLD<5S- Q +�- Q +3Ah°�§L§L§L/MW y W

U�57Kh-�/3A±°�§L§L/MW y W ;�+OK�Z�> Q +3.�-</n[G+OD�.�>�A 02+M-�.�k�-�=3>h-<+�-²c³/�698:+�+3K'ACA7>�= Q gF8L0257AC5 0@z�/ODrZ�/OZ�5�DX-�=3>�.´+3AV-+OP�5�Z�=35S-s8L0@57AC5 0@z�/nE:+3Kµ+�-<=OD<57ZJ0S8GD<+�-�=18GKL+n¶¡UV>LD<.�+�- -<>J[JD<+~02/18GA7+M- Q +e=3+OD<43.�5C=3/e.�>�A 0}.�k�-�D<+M-<5S-202+OK90H-XW· 698:+M-202/�=35FEG5CAC5 0@z�/3=357{¸EG/?8L0257AC5 0@z�/OD~8:K¹-<5S-202+3.�/ Q +�K98:.�+OD</�=357{#Z�>h-<57=357>�KL/3A -<+n£:/OP�+�-<5C.�/3AC;�/3.�[/1[u-<a3KL=35C/ Q +3AR§L;±+OK +3AR698:+º8:K .�/102+35F£�-<]C.\[G>�A�Z�> Q 5C/�D<+OZLD<+�-<+OK902/OD»EG/OD<5S-�KL>L.\[JD<+M-�+3K U¡8:KL=357{ Q +AVgS+3K98:KL=35C/10 Q +3A�ZLD<>J[GAC+3.�/MWh¼�/3K Q +M-<+3KJEG>�A 8GZ�/ODw8:K�+3U�5S=3/3�$-<5S-202+3.�/ Q gC/3KL>J02/3=O57{�USD</3=3=357>�KL4OD<5C/�698:+�E:/Z�+OD<.�+10@D<+�+�-202/1[GA757D�/OZLD<>J£G57.�/�=357>�K�- Q +3=35C.�/3AS-$-<>LD�ZLD<+OKL+3K90H-XW�¯�/3.\[Gkº0@D�>J[G+3.�+3K /3698:+�-202/�aOZ�>�=3/�+3AS-ZLD<57.�+OD_-#-<5S-202+3.�+M- Q gC+3698:/3=357>�Kh-½/3.\[ Q >h-½57K�=3TLPLKL5 02+�-XW¿¾N+OD<TÀA7/¹PLD</3K�/OZ�>LD202/3=O57{À/3A7P�+n[JD</35C=�/[G/n[G5CA7T�KL5C=3/�+M-R=3+3K90@D</�+OK�+3AB=3/3.�Z Q +�AC/�Z�>J02+OKL=357/3=357{�5B+3K�AC/�D<+�-<>�A 8:=357{ Q gC+3698:/3=357>�K�-R698u/ Q D<410@57698:+M-XWÁ +OK�- Q 8�[M02+�/3698:+�-202/�=O5FEG5CAC5 0@z�/3=357{\E:/RD<+OZLD<+�-<+OK902/ODN8GK�/1EG+3KL��.�>�A 0 KL>J02/1[GA7+RZ�+OD�/�A7+�-�.�/102+3.�410257698:+�-XW

Page 5: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���������

�� ������������ ������������� ��!"��� ���$#%� �'&���()� �*��+�� #�,�� &���.-0/���,*���1�324��()+,�+���5�67���98:��;�<�����7,=��>)&�#�?/����">)�<@%A��+��9� �B()��#4��67,*#%�$(C67+�� �D�<@�� �=(CE�#%�F� +67� ��� A�(C�� �-0>)�HGI>)��(������ ��KJL24� ����>)�H(M �� � � � ���$#%���%�F� �I&� � �����%��N����<�%� ��()+>O/�����P� 6.@RQ�+>)S �T�+*���K(I��#%� �$#�>)��(U,���>P��+��P���%24� &� ����>O>)�����N=� ����>)�V����(IE�#%� �$(B��W�;� �$!"��X ���� �VQ�+*#���161AK(T��67,�+>��������YJ[ZU������A�(T� ��\%]�NUE�#%�1���K(T� ���%����� ��^�� � �$+��(T� ������>)��+>_(T�1�� �� �����"/���`T>)X � ���F(� �� �+�67� ������#%� �$#�>)��(',>)��;� ��!"��X ���E�#%�K(MJ

�� �;� �$!"��� ��$()61�1�+a� � +��()��/*#%]U61� �'���.#%�� ������Nb��'� �H���F()���%�1X�,�+�� �167A�(9@*>)������� ���?��UE�#%� �HQ�+*#� 67� ���S � &�7� 6.@c���7&��(���>�#%� � ��d[J�e3��>OfNb���F67� �*g%(h&�1E�#%����>)�7()��/����K()Nb&�7ZU�����K(h&�i24�������?�i-U#%������&�K(&�kjV���<\�� �&K>)��� Nl�%�m� +��(���>�#��">n#%�o��67,=��>)�p���*�%�$()��@%���mE�#%�m� �� ��>)�k,���>)&�#�>)�KJq-0�p67d��o&�m���K(ras.tvu[raw.t<x�y1z3uB{*|

-0�}� �$(~67����� 615�������(~&= �� E�#���(�����X�,�+�� �����$(�,>)+*@���� 67�K(�,>)5 �������K(�>)� ����� ��+�����Y(~� 6.@����K(�� ����(_()� �����Y(p&��� 5 ����#%�$(p��>)� ��61X�������()NF67�K(�#�>)� 61� ���Y(��H� +��(���>�#%� � ��+�=(�/�� +61X���>O��E�#%�K(p� +��������#���>)� �8O#�/�� ���[#��C/>)� �C,���,=��>MJKZ'+��Y(U� E�#%��(��Y(',>)+*@���� 61��(I��(U&���(Y������>)� �7��#%��9@*>)� ����T&��QO��>)� ����N��$ $���+�61� �� &����+/�]$(������ �KJ

ZU� 6.@�A Nb�7�� $��()� +����m&�ie3� ��5�/�+>)��()Nb��(B,>)+�&�#�]L#%��,>)+� A�(h&�C>)� � +,�������� ��dH&�7QO���Y(h61����� 675������K(��@�(���>)� ������('������#%���d1&= �� ���$(U� �1()�$(���� 67�K(3����f>O����(MJ

-0��� E�#%�K(�������6C,=()N���(��%�oQO��>k�� $�<@%(���>)� � � ��d���()�$(���� 67����� ��^�� � ��d�&������(m���Q�+>)61� � ��+��=(/�� +67X���>)��E�#%��(MJ�-�(T&��()� +*@*>)]'&��761� ���>)�.�����K/�� �� ��� �'�$�7�">O>)� � ��+��� ��� ������Nb&� 67+=(���>)�����0,���>h��\�� 67,���� Nb�$���>O>)� � ��+��� ��� �����P&� ��,���>I���D�����V&�T>)� &�#%� � ��d��V�� ��<@%(�#�>)&=JKjVE�#%�K(��P&��()� +*@*>)��61� ���P&�T���V�">O>)� � ��+��� ��� ��������h,�+>�����>'�"���<��� ���<@���� 61� ���3�h�$ $� ���<@�+>)� � ��d1&�h��������+>O���V&�T���T&�����$()��@%����� �����:J

�� �������,��p()��/*�%� ���R��(R����� ��>)� ������>)� ��^���>�,���>������� � �K(M()� �����R&����>)� ��>�#��������+>O����61����� 675������ �/������>)� ���������L,���>'���$('�+�6.@*>)�K('>)� � ��+�� �$(U� +�6�,���>U� ��(U��>O>)� � ��+��� �$(MJ

�[� �B��V�U�����U��K�pF���=�V��K�)��p��)���[�'�=�V�p�b�b�K�M�'�=��

GB+6 8:�V;� 6¡���$(���N=&�#�>)�����P� � &�V� ���%����� ��^�� � ��dF� �=,�� �=()� 61� ���P67����� 615������C;�V�<��+�� #�� ��+�����P� 6�@#��7X 67QO�K()�$(',>)+,���*#%��T&�">_� � � ��d7,�� ��#%������>MJ

¢V#�>)�����R� �T,���>)]�+�&��E�#%���%��&��(F&��������#%� �$#�>)�£;�� ��!"��X ���� ��QO���=(F� �$(a()��/����K(�¤V¥V¦F�T¤V¥V¦O¦)N�� $�<��+�� #%� ��d1&� �,�� �=()� 61� ���367����� 675������9���TE�#%� &��>U��(������� ���:Jv¢.��(O,>)A�(U��(P���h>)� ��#�,���>)��>U� E�#%� ���=�K(O,���>)� ��'�� ��\%��>)� ��/>)� ��(h61����� 675������K(hE�#%�7� � ����,=()��>)� �F&��QO��>)� ���Y(T()��/�����(MJ�e3��>h�<\�� 67,���� Nb� �U()��/����C¤V¥V¦O¦O¦BQ�+*#� ����>)� 61� ���L§ � �[(_��/����T&= �-U#%����>O¨VE�#%�T�+i�����K/*#%Ah>)���%� �=� �1� �=()��#R��� 67,1� � � &X 61���KJv24� ����>)�TE�#%�T� �=()��/��$�¤V¦O¤���(c���©� ��>)� ������>O� ��^���>H,���>c#���©(_X�>)���ª&[ �����&���%��&*#%� ��� �����Y(aE�#%�ª&����������>)�������K(aQ$>)+������>)��(a&�ª���K(61����� 675�����E�#%�K(U&= �#%��TQ�+>)67�T�<\���/���>)� &�KJ

-0�I()��/����7¤V¦O¤kQ�+*#�� �U()��/����1&�1�� ��<@�(���>)� � � ��dH�'���7/�� ����>)� ��� ��^�� � ��da&= �#%�H� ��5 ���$(_�'61AK(h,>)+Q«#%��&&� �$(�Q�+�� 61� ���Y(���f/�����(�&��m����(�61����� 675�����E�#%�K(MJq¢V#�>)�����n� E�#%��(��¬()��/����­� �$(�61����� 675������K(¬�����&��()� �*��+�� #�,���>U���T���&���,�� �&X �� ���T&�T���K(U&� 61� �&�K(U������61� ��� � ��+���(U&�T���T§�>)��� ��� �����3Q�]$()��� � ¨VE�#%�V()� 67,>_�;�<����� �p������/=���.���?��� 67�a�a���K(1� ��X ��� ����(1����$#�>)� ��()Nh� +��()+����&� ���.���£()��,���>)� � ��dp>)��(O,�� �����a&�a���aQ�]$()����� N@��K()� ����®)()�T���7���T61� �� �T&�h��� � ��(M()� �����3&= ���,������ � � ��d1&�h���K(U67����� 675�����E�#%�K(I()+*@*>)�T���h>)� � ��� �����:J

Page 6: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

������������ ������������������������������ ���!��������������������

"$#&%('�)+*-,�./.0%(1324,657'61&*-8�'9.:';)=< ';)+*><@?:A6A6?/B�1�)C8�'6.D5FE�1G< '6,�.IH4,J*+'�1�?�<C.:,K) 'LH4,M8�'6A6.:,�< ,6A6?:E8�N:?/1�8�'�O�'61�8�P61�A6?:,Q,65SRI'6.�1�,6?0T('657'61&*U8�'Q./,WV�'6B�57'X*><@?:,W1�B'X%(A6./?:8�?:,61�,6Y�'61�'6.�O�< ?/57'�<U*+'�< ZQ8�'6.�) '�V�.['\$]@\7^ "$#&%(';)+*+,�'�)_H4,a`�B�1�,657'61&*+,�<�'61-%(1bA6B�1Xc@%(1&*d8�'!O�B�)+*[%4./,X*e)�A6B�1&*>< ,�<@?[)�,6.[)'X%(A6.:?:8�?:,61�) Y$,65fRA6,�< ,6AX*+'�<@g:)+*+?/#&%('�)h,�O�,�< '61&*>57'61&*iO�,�< ,68�B3T4,6.:) Y�#&%('j1�?/1�V3k_'�< ,lA6,�O�,6Zl8�'lA�B�1&*>< ,68�?�<h./m�V�?/A6,657'61&* ^

n %4V�'�1�?fop'6. *>< ,657?F,6`@?/< 57qC#&%('C.:,CV�'6B�5Q'X*>< ?/,C1�BM'L%(A6./?:8�?:,61�,b'�< ,-*+,�19A6B�1�) ?[)+*+'�1&*IA6B�5r.:,V�'6B�5Q'X*>< ?/,�'X%(A6.:?:8�?:,61�, ^Us '�<�'LT4'65QO�.:'6Yp%(1C57,X*+'65QqX*+?:A�#&%('�t�,�V3%(u�)�8�'68�?:A6,X*Q*>B&*+,!./,=) 'LH4,vH4?:8�,a,.�N[';)+*[%(8�?�?:5Q57'�<w)W'61!.:,FV�'6B�5Q'X*><@?/,�1�B�'X%(A6./?:8�?:,61�,�?U%41!,6. *>< '�#&%('Ft�B!t�,�V3%xu;)W`@'X*y'�1!.:,FV�'6B�57'X*><@?:,'X%(A6./?:8�?:,61�,lt�,X%4< ?:'61WO�,�<+*>?/A6?/O�,X*z'�1{*>< 'XR4,6./.[)h8�'pH4,6.:?:8�';)|,l./m�V�?:A6,l'6#&%(?0H(,6.:'61&* ^~} ';)h8�B�)�V�'�B�5Q'X*>< ?/'�)h'�< '61./m�V�?:#&%(';) ^x� ,6./V�< ,X*�*>B&*��6'6.h5QE�1< '6,6./�F1�BDO�B�8�?/,�) '�< Y�) ?/5S%(. *+q61�?:,657'61&*+Yh'X%(A�./?:8�?:qF?h1�B!'X%(A6./?:8�?:q ^x� 18�'6.[)�8�B�)�';)+*[%(8�?/B�) B�)Ft�,LH4?:,�8�N:t�,LH4'�<�5Q,6./V�,;)+*+,X*d'�.Q) 'X%C*+'�5WO�)�?/13k�*>?/.:57'61&* ^U} ,!V�'6B�5Q'X*>< ?/,�'�)dH(,';)+*+'�1�8�< 'l8�'�*+,6.�57,61�'�< ,l#&%('$'6.�`�g[)|?:A�c�,$1�BQO�B�8�?/,l8�?/<�,6.�57,X*+'657qX*>?:Al#&%(?/1�,l8�'$.:';)�8�B�)h5Q,X*+'657qX*>?/#&%x'�)'�< ,j< '6,�.Lc�,l#&%('jt�B7'�< '�1Q./'�)h8�B�) ^

��� ����������[�h����������!�������$ ���� � a��� ����������

"$?0T(g78�B�1�A�) YQ.:,aO�< B3R4.:'657qX*+?/A6,=V�'6B�5QPX*><@?:A6,-H4,-*+'�1�?:<�%419,6`@'6AX*+'=,6./.:?0R('�< ,68�B�< YW< 'XH4'6.:,61&*�,6.[)57,X*+'65QqX*+?/A�)�.:,$?/1�8�'�O�'61�8�P61�A6?:,$8�'6.[)�`@'61�m�5Q'61�)�57,X*+'�57qX*+?/A;)�8�'6.�.:,LR4B�< ,X*>B�<@? ^ "�1�?0H('6.:.�V�./B4R4,6.�O�B�8�';5A6B�5WO�,�< ,�<h,6#&%(';)+*+,l,6././?0R('�<|,6A6?/E7,65SRf.:,l,6./.:?0R('�< ,6A6?/E78�'j.�N[,�<+* ^

"$#&%('�)+*+,K8�?/.:,X*+,6A6?/E�`[< B�1&*+'�< '�< ,K8�'K.:';)�57,X*+'65QqX*+?/#3%(';)�H4,�) '�<b8&%4< ,657'61&*�A�< ? *+?/A;,68�, ^_n .[)57,X*+'65QqX*+?/A�)h8�'6.�1�B�)+*>< '$) '�V�.:'jt�,61{*>< ,�1�)@O�B�<>*+,�*i./,�*+'657qX*>?/A6,�*+,�1Q.:.0%(132f8�'6.�A6B�1&*+,6AX*+'l,65SRf'6.�5QE�1W< '6,6.:Y#&%('Q./';)l) 'LH(';)jA6B�1�)+*><+%(A6A6?/B�1�)j./m�V�?/#&%('�)l) E�1�*+,�1�,XR()+*>< ,6AX*+';)j#&%('W< ';)+%4. *+'�1�?�<@< '6A6B�1�'6?0T(?0R(.:'�)�O�'�<j,{%41`@g[) ?:A$BfR4up%(17'61�V�?/1424'�< ^&s '�<�,$5QB�. *e) Y�,6#&%(';)+*+,p*+'�1�8�P�1�A6?/,$t�,p*>< ,�1�) `�B�< 5Q,X*�./';)�57,X*+'657qX*>?/#&%x';)�'61QO�B�A57u�)h#&%('�%(1F) '61��;?:.:.�'LT4'�< A6?:A6?�8�'lA6,�O3*[%4< ,l8�'jO�'X*+? *e)�) g:5SR4B�.[)�,�*>< ,XH4u;)h8�'l.:';)hO�q�V�?/1�';)�8�N0%(1Q.:.:?0R4< ' ^~� 18�'6.[)hA�< g *+?/A;)h#&%('j< '6A6B�.���,l5Qu�)h,6#&%(';)+*+,U*+'�1�8�P61�A6?:,lu;)h.�N:t�?[)+*+B�<@?/,68�B�< � B�<@<@?:)��{.:?/1�'l#&%('l';) A�< ?�V3%(u��

�+�f�L�������~�W y¡ ¢�£4¤6�L��¥3¦3�|§{¨�©ª£(«h©:�L�f«/�6¦4��¬:�L�Q£(­&�X«0�|£(®;«/�L�|¯U�6©ª�W§$£(«/�L§$°(«/¬:®L�f�L�f¤L£�±D£ ��£��X«0£��Q 4�6©ª�®L£�§����²®6¦3±4®~���;«0�²¦4��¬ ³x¬ª±�£4©ª�²¬b�~�²®6¦3±4®6�L±(«ª�|£����L±´�L±µ©:�L�²�~�X«0��¨�®;«/¨4���L��¶¸·-¬[« ¹;£�±4ºL£�±(«C©ª£¬ª±(«0��¦3 4¨�®6®6¬:»S 4�l®;�L±(«0�� 4�$®6¦3±4®6�¼��«/�~����¨�­�¦4�| 4¬ª±�£(«0���6©�«:�L§$£Q¢�£h����¦�©:¬ ¥3�L�|£(«��L±f¨3±�£d®6¦3±�¥3¨3��¬:»S 4� 4�L���L±4¤6¦�©:¨e��£�§{�L±(«ª�U½�¨��$«/�L±4�L±h�U¦�®L£Q���6©ª£4®6¬:»Q�L±(«0���p��¬6¾w¶

�{.:?/1�'=)+%4V�V�'�< '6?0T¿#&%('a'6.[)57,X*+'65QqX*+?/A;) Y$8�'�V3%�*d,¸%(1�,a) B3R3< '6'LT3O�./B3*+,6A6?/Eb8�N:,6#&%('6.:.:,a.:.:?0R('�<+*+,�*< ';)@O�'6AX*+'8�'./,`@g[) ?:A6,6Yj)�N:t�,61�8�'�)eH4?:,X*{8�'./,!) 'LH4,_*+'�57qX*+?/A6,A6B�13H('�<+*>?/1&*+À ) ',6?0T4gj'61Á%(1�,8�?[) A6?/O�.:?/1�,';)+*+P�<@?/. ^

n 1F< ';)@O�B�)+*+,6Y�O�B�8�'�5G,6`@?/< 57,�<j#&%('Q.:';)U*+'6B�<@?/';)j57,X*+'�57qX*+?/#&%(';) Y�?/1�8�'�O�'61�8�'61&*+5Q'61&*U8�'Q./,F) 'LH(,,�O�,�< '�1�Z;,�,LRx)+*>< ,6A�*+,6Y$,�5SR¿`[< '6#&Â(P61�A6?:,!O�B�8�'65Ã*+'61�?�<D) B�<@O�< '�1�'�1&*e)�,�O�.:?:A6,;A6?/B�1�),�`@'61�m�5Q'61�)5QB�. *) m�./?:8�) ^~} ';)h5Q,X*+'657qX*>?/#&%x';)h,LR()+*>< ,6AX*+';)�O�B�8�'�1Q,�O�,�< P6?0T('�<h'�1Q'6.[)h././B�A;)h57u;)h'�)+*>< ,�132() ^

Ä ?/1�,6.:57'61&*+YQ'�.[)Dt�?[)+*+B�<@?/,68�B�<|)O�B�8�'�1�A6B�1�) ?:8�'�< ,�<D#&%('=./'�)D57,X*+'65QqX*+?/#&%(';)D5QB�8�'�<@1�'�)!)�N:t�,;1,�O�,�<+*+,�*�57,;)|)|,C8�'6.�5QE�1�< '6,6. ^ys '�< mM,6./t�B�< ,6Y7u;)!?/1�A6B�1�A6'LR4?0R4.:'b#&%('b.:';)�57,X*+'65QqX*+?/#&%(';)a)|'65WO�<|',;)|)+%(57'6?0T(?/1Á%(1�O�,�O�'�<78�'!) '�<eH4? *[%(8a,D./';)71�'6A6'�)|) ? *+,X*e)78�'D./';)7,6. *>< ';)7A6?:P61�A6?:'�) ^�} ,D./.:?0R('�<+*+,�*S8�'./'�)57,X*+'65QqX*+?/#&%('�)�) '�< q$) '65QO�< 'l'6.�.:'�V�,X*z8�'�.�) '�V�.:' \$]@\

Page 7: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

������������ ������������������ �������������� "!�����#����$%�'&�������("("��)*,+-�./��0�����$%��#&�����1��

243#576 8:9�5<;�9�5�=?>@5A8B576�6#5'C�DE>E9�FGF76*H"D�=�57I'F7=J8K6�L�;�M#NGO�F76*N7P76#NAQR6�S*TJQRFGFUC4V@5GO�FUC�F7=EV@D�6 Q@W�5�9�OJQ@9�5�=J8F76<C�F�;�6#FYX%Z[X<SH"DEQ\6#5YO�F7H[M�=�M#N7M�]^O�3_QR=-8BF�9�IGFYM�=�M#N7M#576#I'F7=J8`F76#5a>@D�9�5b8,W�F�9,c`FAd%8:D�=�ef6#FUCgTJQh57=J8:M 8B5A8iCM�=�H"M�=�M 8B57I'F7=J8jW�FA8:M 8BFUC�M�M�=�H[M�=�M 8B57I'F7=J8j;�9�5�=�C�S�N�9BQRN�M�576�C�W�F�9�5�6�F�C�H"6_Q�k@M�D�=�C�D'F�6�N7P76#NAQR6�O�F42lF7M_>@=�M�m�n

op=�5<O�F<6#FUCfM#O�F7F�CfN76#5AQjCfO�F76*N7P76#NAQR6*q�CfF76*N7D�=�N7F�WE8BF<O�Fsr76#t#I'M 8:u�nEvw3_QR=�5<H"D�9�IG5xD�576 8:9�57S@8B5�=J8F76<NUP76#NAQR6GO�M�H[F�9�F7=�N7M#576'N7D�Iy6"3#M�=J8BF�;�9�576GF�C/H"D�=�57I'F7=J8BF�=zF7={57TJQRFUCB8B5�=�D�N7M�]�n4|l6}8BF�9�IGF�r76#t#I'M 8:u~q�CCBQ@;�;�F�9�F�=J8BSf57I,>-N7D�=�=�Fak@M�D�=�CGH"D�9B8B5�IGF7=J8pM�=J8�Q���8BM_V@F�C�n���F�9GFAk@F7IGW�6#F7S�W�5�9�6#F7I�O�F/6#t#IGM 8pO�F/6#5/=�D�CB8:9�5W�57N7M��7=�N7M#5�n?��F�9�L�SYTJQR5�=�M�=J8BF�=J8BF7I�O�D�=�5�9^W�9�F7N7M�C�M�]�6�L�;�M�N75�5�57TJQRF�CB8�8BF�9[IGF�C�D�9[;�F7M_k@F7=�N76#5�9�F�CO�M�H"M#NaQR6 8B5A8iC�n

c`FAd%8:D�=pV@5H[F�9�Q@=GM�=J8BF�=J8�O�FO�FA8BF�9[IGM�=�57N7M�]'O�F76�N7D�=�NUF7WE8BFO�F�6�t�I'M 8�n�|K6�C�FAQwN7D�=�N7F�WE8BFO�F�H"6_Q�k@M�]6"3#D@>@6�M�;�5aVR5%5%N7D�=�C�M#O�F�9�5�9�6#59�57]gO�F6�F�C�TJQR57=J8:M 8B5A8iC�M�O�F�C[W�9�qUC�5%O�FA8BF�9[IGM�=�5�9�F76�TJQRFW�5UC�C�5aV@5%5%57TJQRF�CB8B59�57]gC[M�6#FUC�O�D�C�TJQR57=J8BM 8B5A8iC�8BF�=�O�M�F7=G5mUF�9�D�n�|l=p8BF�9[IGM�=�D�6�D�;�M#5IGD�O�F�9�=�57S�FUCB8B5aV@5O�F�C�N7DE>E9�M�=J8�F76����_�p����O�F6#5%9�57]gO�3#57TJQRFUCB8BFUC�O�D�C�TJQR57=J8BM 8B5A8iC�nJ|l=�N75�9�5%TJQRF�Q�8BM�6#M 8:m�qUC�F76R8BF�9�IGF}QR=�5%I'M#NU5%I'q�C�W�M�=J8BD�9�FUC�N%O�F%r�9�57]� 6 8BM�I'5�u%FUC�9�F7H"F�9�M#5576�N7D�=�NUF�WE8BFO�F�6�t#IGM 8�nac`FAd%8BD�=GO�F�H"M�=�M#557M_k@t�r76#5�9�57],Q@6 8BM�I'5�u�e

���}� �����}� �a� � �a�����b� � �����@��� ������� ���@� � �a ¢¡�£E��� ����� � �  �¤Y�@¥¦�R§J���� z� � �@�a �¨��b©� z�@��¡�£���@�a ���¨����b� �_ªJ� �G  � �@� � �G���@�,� � § � �`¡�£��� �#� �a ��@�a ���¨����b� �_ª �a�4«�¬

��F�9�CBQ@W�D�C�5b8BS�N�D�Is5O�F7H"M�=�M#N7M�]'I'5A8BF7IGPA8BM�N75F7=�C�C�F�9iV@F7M�k`O�F4>@F7=<W�D�N�n­�57I,>@q®V@5°¯�5aV@F�9'O�3�F7=�H�9�D�=J8B5�9�±�C�F°576fW�9�DE>@6#F7I'5°O�F76�Cg6�t#I'M 8iCgF76I'5A8BF7IGPA8BM�N®2lF7M_>@=�M�mYTJQRF®VR5

M�=J8BF7=J8B5�9G5�W�9�DEkEM�I'5�9�±�C�F°576l8BF7I'5/IGM 8�²�57=�³757=J8Q@=�5/O�M�C�NAQhC�C�M�]�O�F/r7TJQh57=J8:M 8B5A8iCGM�=�H"M�=�M 8B57I'F7=J8}W�FA8:M 8BFUC[u�n´ TJQRF�CB8�N7D�=�N7F�WE8BF�C[M�I,>@D�6#M 8:mU5aV@5g6#5gO�M�CB8BP�=�N7M#5gF7=J8:9�FgTJQR5�=J8BM 8B5A8iC%TJQRFgF�=�N75�9�5gTJQRF'=�DYH"D�CmUF�9�D`²i5'=�DW�D�O�M�5O�M�C�I'M�=EQRM�9�I'qUC�n�µ4C�5O�M�9�S�F76#C¶>@6�D�NUC�M�=�O�M_VRM�C�M_>R6#F�C�O�FN7D�=�CB8:9BQRN7N�M�]'O�F�6�F�C�IG5A8BF7I'PA8:M�TJQRF�C�n

v,F�;EQ�8·5~6�5^H[576 8B5~O�F^O�FA8BF�9�IGM�=�57N7M�]sO�3#57TJQRF�CB8iC·8BF�9"I'F�C�Sp2lF7M_>@=�M�m\V@5-8BF�=�M�9°TJQhF�9�F7N7D�9[9�F~557H"M�9�I'5UN7M�D�=�C�8B5�=GM�=�M�=J8BF76#¸�6#M�;�M_>R6#FUC�N7D�Is6#FUC�C�F�;E¹RF7=J8iC�e

���@�a��º/ b£:» �#¼7� �a� �   � ¤¶¡�£E���¨���� � � � �@�7¬�¬�¬�¡�£E��� ����� � �   � �"» � � ��� � � �a� � ¨K� ����� �a `½#©a %�/� � ��¤¶� �¶�,� � ���¡�£��h¨K¥E�@� �¾¼ ¥E�@¿ �_ª �a��Àp�a� � �a�@� � ¡�£E��� ����� � �  K¡�£��� b�E�@¬�¬�¬ � ���@� » � � � ��� � �a� � ¨K� ����� �a b¬� � � � Á � � �a KÂ7¥ � Á £�©a K�a� � �a�����b�G½ � ��  ¼ ¥@ b�a  � �"» � � ��� � � �a� � ¨K� ����� �a �ÀU¤ ¼ ¥ �¾� ��  ¼ ¥@ b�a 4� ������� �a �¤�¬�¬�¬@�@¥¨K¥ � »E�a�b¬�¬�¬_¤ � ��� � � � � �_ª ¡�£E����¨K�a��  � ¡�£��p�@¡�£��a  � �a  ¼ ¥E b��  b�E���R§J b¥ � £ � � � �a� �*��� ¨K¥E �  � § � �a AÃl b����º b£:» �#¼7� �a� � £ ���#�#��� Ä ���bÅ � �a  ¼ ¥ � £E���?� � ���w¡�£���¨��b�� b�a� � �'�RÂa��� � � � Á �a f� � §j» � ��� �#��� � �  f�@� ¼ º �#¼ £ � ¤��R�� � � � � � �_ª � � ���@�����¢¡�£�� � � �a  � £E� � �E Y�R� � � º � Á �U§J���s�b� � �a�s�����A� �   ��� � Áh� ��º�� � �a �� � § Á �����¨��b¥:» ��� «�¬

|l=g57TJQRFUCB8¶W�5�9�P�;�9�5�H�W�D�O�F7IÆ8:9[DE>@5�9lQ@='= � V@D�6�O�F<N7D�=�N7F�WE8BFUCfIG5A8BF7IGPA8BM�NUCfM�=�M�=J8BF76#¸�6#M�;�M_>R6#FUC�nE2K5M#IGW�9�F7N7M�C�M�]�O�F76�CGN7D�=�N7F�WE8BFUC<Ç[F7=°W�5�9B8BM�NAQR6#5�9<57TJQRF76#6�CGTJQRF�O�FAV@M#F7=�H"D�=�57I'F7=J8B5�9<F76fC�FAQÈN7P76#NAQR6�ÉGF76KVR5FUCB8B5�=�N75�9�M'57M_k@L,V@5N75AQhC�5�9�±[6"3#¯�M�IGD�6 8B55�=�C�M#FA8B5A8in

Page 8: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

������������ ����������������� ������������� ���"!#������$%�

&('�)+*-,/.0,214353�6879)+35:�3�) ./35;�*5:�'�<�3�6*�<=./3�>�?A@ ;�*�)B./*�6C3�D�*�)E,�63F./*�6CGF./?A>-,IHB3�<J�3KHL*NM�;�*C,/OLP�'�MQ./3NMOL<�3:�'�M/./3;�'�,�?+,R;�*CM�?A;�?+>FOB)+? .QS-3�>�?A@T;�*63�<�,R;�UVOB<�*�>�)E*-,�?+G-,/./?A>3�<�'�6C*�<�3F.XW5*�'YM�Z�*8[\*NM�]�*�)A*K^`_NaNb���cYdaNe�cYfYg�hX[\*NM�]�*N)+*K^i*-,�>NM�?AZjOBkl)�UE3-,�,�3�?AZnm�o#J�*qp5<�3�)r^B,4.QD5'�M�3tsu?E,�>�'jOLM",�*q3�;�;YM�*-,",�*�;v./'n3N<xw�<�:�?+;�*-)&(3F.QJ�*�63F./?A>�?+3�<Yy_Qz\U+p5<�3�)+?E,/./3�D{'9OL<|s8?+,�>FOLM�,};�?�M�?AZ�? .X3uOL<�63F./*�6CGF./?A>C?A<�:�?+;�*�)�g}'�< M�?+;�?+>FOB)+? .QS-3KHL3C*�)�,63F./*�6CGF./?A>Y,�D�~=OB*n*-,/./3FHL*�<�,�*�6CP�M�*n;�?E,�P�'�,�3F.0,q3n>NM�? ./?+>�3NMq)+3�./*N'�)A'�Z�?A3�P�*NMq*-,/./3NMt7L3Y,�3�;�3n*�<�)+3?AM�M�3�>�?A'�<�3�)A? ./3F.�;�*R)+35:�*�D�P�*NM��~=OB*R*�<C>�3�<jHL?{,���3K7jM�3���3KHB*N<*�)�>�G�)+>KOB)�63�)AZ�M�3F.�)A*-,�;�*K7L?+)+? ./3F.0,#;�*R)+3�,�*KHB3:�'�<�3�6*�<=./3�>�?A@�h�[\*NM�]�*N)A*K^�<�'*-,�P�'�;Y?A3}M�*-,�?E,/./?�M#3R;�*�?V�L3�M�d�)A'�,#3�687�3�~=OB*�)+)+3R:�*��

�������V�%�L�����K�F�V�����j�B�V���r�L�5�+�K�%�5�B�A�K�5�B�A�+�����K�A -¡��L�+¢K¡��¤£=��¤�0���j�"�B�V�X��¢K¥¤�¤¦2���V�����K¥X¢���¥F�V�X�K������¥¤�E�r������C�F§=� ¦2���V§=�K�}��¥¤��¨��K�5¥¤� ¦2�j¥¤�j�F�K���K��¥¤���+� ¦2�+£j¡����K¥"�¤�j�B�K�������8�L�X��¥¤�-�A�K�L�K�©¢K¥¤���L¥¤�8�uªK�������C��������«���j�L�K�©¨����j¥¤��¬A¬A¬B­��K¥¤®j¡������������¯�L� ¦2�K¥¤�r¥��j����°j�+�=§=�A£9�¤�¤¦2�j���©���A�K¥¤¢���¥"��¡����j�����L� °j�K¥¤�K�L¢��r�L��¤�¤¦2�j���±�²�A�K¥¤¢���¥"�³�L�±�L��¢����"�¤�E�V��¡´�K�µ�¤���8¶Y�r��¡´�r�{��¥¤�K���¤�+�j����¥¤·/�¤�(���K¥¸¢K���³���j�B�´�L�¹�º��A�����+��¦2�r�X»�¬

w�P�*NM#,�?�3�?V�L�C<�'*NM�35,/OL:�?+>�?+*�<=./Dj[\*NM�]�*N)A*K^�3�:�*NZ��{�

�/¼½����¾��¤£j�¿�+�K�5°j�+�=§=�+�j���=À¹Á����+��¢��E�V�B�V�q�L���r�L¢K¥¤�K�u���B�V�½��¨K���L�K�¤¢��K�B�r�¤¬8¼½����¾��¤£j�¹�L�����K�F�V��r�L¢K¥¤�K�u�K�B�V�8��¨K���L���¤¢��K�B�r�=ÀuÂ��`�¤£j�´���j���B�A�E�V�B�V��°j�r�L�E�A�K�"¡#�L�#���j���B�A�E�V�B�V�8�r�E°j�r�j�E�V���u�K�B�=���-�A�E�A�K���L��V���{����¢\¥¤�K�¤¬=Â��«���j��¥FÃA�K�����L�j�u�K����¥¤·��+�K�����r�-°Y���B�V���"���K���L�R���j���B�A�E�V�B�V�������\Ä������5��¥�§-�B�A¬A¬A¬�À

ÅBÆ�Æ�Æ Ç ÈKÉEÊ{ËNÊ�Æ�ÌFÍFÎ"Æ-Ï�Ð Ñ�Î{Ê�ÒFÓ ÉEÊ0Ó�Î"̤ÍKÊ"ϺÓ-ÔrÉ+Î"ÕNÖ%Ê�×KÓÊ"ÏLÓ ÉEØ4ÈKÎ�Î{Æ�Î2ÈKÇ ÈKÆ�Ç�ؤÓVÊ�Ù�Î�ËNÊ�Æ�×�ØNÏºÓ ÉEÊ{Ç ×-ÏrÓVÇ Ó�ÍNÓVÚNÛVůÜ�Ý�Þ¤ß2Î"Æ Ö%Ê"Ï�à

ÜNÇ�Õ�Ö%Î�Þ4ÅBÆ�ÖIÍF×�ËNØ#ËNÊ{Æ Î�ÏLáuÎ4ÓVÊ�Ö�â4Ó Ç�Ù�Î�Ï�Þã ÅBÆ-ä{×NÎ"Æ ÇAϺÓVίåKØ�É�Ê�Æ-Ø4ÈKÇAϺåKØ«ß2Ê�ɺæKÊ�Æ�Ê0çFèNÞ�é�Ø�Æ ÍKÖxê

s8*-,�Z�M�3�>�?+3�;�3�6*�<=./D�)A3�:�'�<�3�6*�<=./3�>�?A@�;�*N)�>�G�)+>FOB)�,NU+J�3KHL?+3�>�'�<jHL*NM/.Q? .I*N< 3�?V�L��D�*N< :�3�<=./3-,�6*Y,%;�*~=OB3N<=./? ./3F.0,#~=OB*}J�3FHL?+*�<C6C3NM0�L3F.4h

����ë���ìí�Y���Y��îï�Eð�ñ� ���òíó{���# ���ð� ��Yô{����ó{����õEîï�E�N�

ö�)+,n63F./*�6GF.Q?+>-,n;�*�)�UE÷NP�'�>�3�*-,iHL3�<²?A<�;�?AZ�<�3NMn6C'�) .�;�3KHL3�<=.�;�U+3�~=OB*-,/./*-,n3�:�?�M�63->�?A'�<�,7YOLM�)+*-,�~=OB*Y,�h WRM�3�;=OB3�)A6*�<=./D�)A3¹>�'�6uOB<�? ./3F.(6C3F./*�6CGK.Q?A>�3¸HB3i./*N<�?AMø~=OB*ù3�:�M�'�<=./3NMø3�~=OB*-,/.(6C'�)A*-,/.P�M�'j7L)A*�63Yh5p5) )+)+3NM�Z¹;�*�)�,"*NZ�)+*øú5û5w�w�wTJ�3KHL?+*�<i./?A<YZLO�.©6C3-,�,�3x÷K�L? .`? J�3KHL?+*�<ù3�:�)VOB?V�B3F.`*�)<�?VHB*�)E);�U+?A<jHB*-,/./?�Z�3�>�?A@�h�ü�*NM���)EUE3FOLZ�6*�<=.(;�*n)A*Y,ø?A<�~=OB?+*F.EOB;�,ø?A<=./*NM�?A'�M",�Du1�OB<=./3�6C*�<=.(3�687ý)A*Y,qM�*NP�*F.Q?A;�*Y,3�>FO2,�3�>�?A'�<�,#;�*X[\*NM�]�*�)A*K^LD�*�)E,�HL3R:�*NM#*-,�P�3KHL?A)+3NM�h�þ83KHL?+*�<C;�*}M�*-,�'�)A;YM�*R*�)�P�M�'j7L)+*�63Yh

ÿ '�6 3q>�'�<�,�*�~ � ÷�<�>�?+3�D�*�<�3�~=OB*-,/.©,�*NZ�)+*�D�.ºM�'j7L*�6 OL<�3ø,"÷NM�?A*q;�*q63F./*�6CGF./?A>Y,�6C'�) .9;�'=./3¤.0,.QM�*F7L3�)A)+3�<=.�)A*-,#~ � *-,/./?A'�<�,#;�*R)+3R:�'�<�3�6*�<=./3�>�?A@;�*�)�>-G�)+>KOB)Eh�ö�)�P�M�'�>�k-,#;�*}M�*�:�?A<�3�6*�<=.�;�*�)�>�'�<�>�*NPj./*R;�*)+�+6? .|*-,9HL3ï>�'�<jHL*NM/.Q?�M�*�<½OB<x3FO�./÷N<=.Q?+>q,/OLP�)A?+>-?ADI143q~=OB*ïk-, P�*NM�)A3q,�*KHL3íP�M���P�?A3ï<�3F.EOLM�3N)+*-,�3ï6C'�) .P�M�'�:ºOL<�;�h��\*�~=OB*NM�*�?V�xOB<�3ïZ�M�3�<xP�M�*�>�?E,�?A@n;�*ïP�*N<�,�3�6*�<=.|?�OB<�3ïP�*NM�>�*NP�>�?A@n;�*q)A3q<�3F.EOLM�3N)+*-,�3q;�*-),�?E,/./*�6C3;�*�)E,R<�'�687jM�*-,}M�*�3�)E,56C'�) .X*�)A*KHB3�;�3Yh��\*�3�)+6*�<=./D{<�'T*NM�3CP�3-,}:�G->�?A)#3->�'�<�,�*NZjOB?AM�d�)A'�,�hB&(3�)AZ�M�3F..Q'=.QDC*N)E,T63F./*�6CGF./?A>-,`HB3�<n3�<�3NMT>�'�<=.QM�?V7YOB?A<=.©3qP�M�*�>�?�,�3NMT3�~=OB*-,/./3ø?A;�*�3Yh\z\U+3�<j^ýa�����aNDC*�):EM�3�<�>�÷Y,pRZjO¯,/.Q?A<�d/zI'jOL?E, ÿ 3FOB>�Jj^�_NaNe�����dNa���cYeYg�HL3}P�M�'�P�'�,�3NM#3�~�OB*-,/./3R;�*N:�?A<�?+>�?A@{�

�R�j��� ���r�v¨K�L�+�j¥��ø�B�r¥¤�E¶Y���+�V�ø�¤��¢�¢��K���¤�+¨K���u�K�B�9�ý�L��� ¨K��¥¤�r�B¶Y�+�`����¥F�A�+¢����r��¥x�� ����¥¤�=§=�r�u�K��r���L�V°j�r�L�r�����u�K�B�«�`�j�´¨K�L�+�j¥�°j�V§-¡��L�|�5���L�K¥"�´�����|�L¢K�B¶Y�K�5���K¥��L� °j�K¥¤�r¥�¥¤�K������¢-�A�|�T�L�����K�F�#�K��j���v���j���B�A�E�V�B�5�V��� ���-�A�E�V�v¢��j� �j�v¨���� ¦2���r¡R�L�����K�F�R¨K�L�+�j¥��� ���L�j�u�K���v���5�EÃV�u�E�\�L�ï�A���V�©���º��L�K�uªK�2»�¬

Page 9: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

��������� ���� ��������������������� � �����!� �#"�$%�'&(� �#�)�$%*�"+�,�-&+./&0�.�$21 ���� �� � �$���3�4*����5 �56�7�8!.��,&���9�,��3�5"+�#":�#��; �9����� �#"+$% ���� �<���;>=3���0*��'&?&?�����9����;/*�"+��@-&:$%.�$���3�A�#��=3���9;��B���#"+ ��C�;��D�#"�"+EC�������%F,�#"+.>7HG� $%*�;��$���3�(��I "+$�������=3���J���K���; .�"0�IELNM'&9�;O;�@�$� �(�/PE�����!���#"+���C�;��Q&+O*�.����$2�I�#"0=3����;-����#"+���C�;��D��-& � >���;>;�@�$� ���#�!�����D=3����3� � ���H� �#��*��R�5 � �D�.�$S�'��;UT��V�$<7�W9=3���,& � �D����I ���� �Q���D�X���������#��.�$%�������01���� � �� �����;/; @�$� �569�;��$� �������0;��'&AC��#"�"+�#"+�,&Y�I�; ./&+Z��I�=3���,&O"+�,&�*/���� �0���;�=3����*��,&[&+�����0�,��;�$%.�$���3�J�/P��#"�"+EC��#"��;0;�@�$� �\7A]^�#"�������������_�;�*�"+.�C�; �$�����.`�#"+���=3���'& �!&+ ���`�;0=3�����I�>&?&?-$��#*��a./&Y���0�#*�"�.�*��#"+bI��./&Y�#;�; @�$� �>� �#�3�^�#.�$c��.�;UT���M'&?&+�$<7

d�;>���������D=3���9; �D����I ���� �Q���D�X��������%� �'T���M'&�� �#�3� �0"+�; ;�����e�����D�I.��K���#T������9=3���9; �B���5 ;� �5F'e*��#"Y���#$%./& �5"+�#"Y�#;�&^� �.'"+�$%�,&O*�"+ ��� *��;-&Y���;��e;�����;I7

W9$JC������,e;�����;VC��,&?���A�$JCf;��9����� ���� �<���9;�@�$� � g/�;-&:$���� �$%e�� �'&:���������Q&+.�; �V� .������^*��#"5�A���;��0*�"+.�C�; �$�e�� ���9�.����h�i&+�0*��#"Y*�.����#"O"+�,&�*�.����'"+�9�0; �'&:��IU"+$��,� .���&:���;�C�-&jC��lkl�#"�m��;����V73no�; T�"+���>�5.3�;��'&Y��IU"+$��,� .���&Y���0�X��������J�����,&[&+ � ������p���D"+�#�I ���,$���3�Rq

d��%*�"+ $��#":;�; .��0*��#"+;������9���9;IP��#*�"+.�L��$��� �<�>PE�����B���#"+���C�;��9�B����;�@ $� � g/>�EL�Z<����.�������9��#" � �,&�����'&X�.����h�i&+�,&�&+.�C�"+�D�;>$%.����$���3�\7>G�>���$r���pC��'&+�"+bI��./&X�#�< ����'&X �3�-��sU� E���'&�&+.�C�"+�9*����3�j&X=3���D�,&$%.�������;V��.�; � ��3�A���9.<=3���D&[P��#*�"+.�*��#�J����&X�;-&:�; �5"+�'&?g����$t*�"+.�T�"+�,&?&+���A$%M,&:=3�V�D&+>��/&:=3������$r��;��0 ����0 �3�-��sU� E���0���0; @�$� �ju

d��<&+�#T�.���; ; ./�g/;-PEvi&:���;�� �#"+$%�91 ������I ������$���3�56%&+�#$JC�;��l�����9$%��,�9wI*�.��'"�@ �$t�� "�x: ������� �� �\y�#"+�������'&?&+�#"+������0�;��#"+ ����,�� �����;�� �#"�$��'7

zi ���;�$���3� g:; ��&+�����)����� ���� �{� �#�� �)$��'&?&+�'&D*��#"+����; �'&[7^d�"+�Q�����,&?&+�#"+0& ��C�& � �-��U"D*��#"+����; �'&��-"+�'&+�'&O*��#":&+@ $JC�.�;-&Y�;��#"+�$���3�^���#�I �� �j&Y���CV&+.�; ��� �$���3�i ���=3��@E��./�,&[7

�(PEv�; � �$��|*��#"+����;��}��~;��}�I.����$���3� �� �����;%�e;�����;D;��{���|*�"+.��3�������#"Q�;D$���� �$%e�� �o�p�#"?;�����#"[& �5"+�,&?&%w#��>��'b#��'���'x%X�;9&+���oT�" ��*}���|&+�#T������.�"?&%�#$JC����|*�"+.��M,&%�.����#T����p�$JC_�;^�j.��)���*��#"+����; �'&O1;��0�#"+ � $����5 �5F,�� �����;��e;�����; 6�7

]^�#"|�0;IP��'&+�.�; �0���B�����#"?& �5"+�,&?&+g���U"Y=3���91��oM,&:�;/; @�$���^����;��0�h����� � ƒ w L�x+g�=3���#�JL�&#P��#*�"+.�*����W06D&+ T��� ����,�����0�;/&?�#T�����3�Rq

�4���:�!���������R����� ε ��� ���3����� ��E�p��� δ ��� �E���/���������R� �3��� � δ������������?� ƒ   ��¡3�h¢ � ε8!.���#;9��3� �#���'"+�N�5.3�j&Q�#;�&f� �#"�$��,&Q����; ������� ����, �~*��#"f������"+��=3����M,&)&+UT�����I��,��� E���$���3�

�� ���#"+��3�^����; �0���0�X���������7£ &OT��U"+��C�M(� .3� �#; $���3�A&+ $JC�Z�;����0/��%��#*%*��#" �^�,&O"+�=3���#"+�EL!=3���(�����0=3����3� � ���^�,&O$%.�T������*

�l�����9�; �5"+�'73d�"+�g/�#�%"+�,& ��$%g������9����I ���� �Q�,& � e��5 ��D���9; @�$� �\73���9����I ���� ��"+ T�.�"�./&+�$%��3�A; Z�T� ��9��������#"[& �5"+�,&?&X$����������%���9*��#" �����D;I¤-������3�����D;��D���;I&�&+���i&:*�"+����,��,&[&+.�"?&+g/*��#"�ZQ�#"+�%&+Z�; ���D���'&X���,;*����3�^���(���& � �0$%��� �$%e�� �'7

���0����I ���� �����0; @�$� �^���(�p�#"+;!�����#"?& �5"+�,&?&Y�#����#"+�0M,&Y; �0=3���9&[PE��� ;� �5F,�0���'�������'7

Page 10: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ���������������

����������� ��� �"!�#%$'&($)! *�+�!-,)#� .0/(#0*0#1. 2&($435���

607�8�9;:=<?>�@ 7�A�7;8CBD>FEG>�@�HGIKJL@�M(NPO�QRH�HS:T7�U 7;V�;WYX[Z�\ ]^7HS>`_L7ba7�@S>b>�@S7�@GJRH�H�7b:c>;V5HS>FJCd�7�@S>eJ?8"f;g�a%>�@Sf;:T7;8hE5ij7�8�kKHl\m J?7�8n>;VTVoEG>�8�:T7n�lp)7;8rq?HsVT7ut�7;a%vTVT:T7u>YHw_L7xEP@S7YHSVyVT7;z�7�@(7{w:T>KH|IL7;z�>;8%N~}1VT>;a7;8LqL7�Ul\���@S>�8HS:TH M�>�@Sa7;8�Hl\�]�75z�:�H�f;:yd�VT:y8�7(:VT7c@S>;VT:yM�:y�t~g�@S>�8%:y8�M�@S>;z�:T>;8hE|H�a%g�V ED:ya%d�g�@GEG7�8hE|H�7cVT75t�7;avTVT:T75z�>� 7;8hEPg�@�:���:���7`_L:T7�J?8�7j_L>�@S: EG7FILVT>%grI?HS>KH�HS:y� d[>�@�V~�Tk`<L: E�\�}ua9KH7 a%9KHS��Vy7 t�7;avTVT:T7 z�> � 7;8hEGgK@�_L7 a%g[HGEP@S7�@�JL8b8�grEG7FILVT>�EG7�Vy>;8hE7�@GEPvTHGEG:yfK\[��>�8�:T>;8eJ?8�70M�@S7;8�>YHGEG:ya77%VT7%ajQRHS:Tf;7%:�7;VyMLJL8�H5z�>;V�HHS>FJRH�d�7�@S>;8hE|H�EPg�f;7F_L>;8�>;8�HS:Ta%t~��8�:T�hJ?>KH':Ta%d�g�@PEG7l8hE|Hl\C�^Va7FEG>;:=<��1>;g�@�M�>�>�@S7xJL8'z�:=IKJ?:=<?7;8hE�@S>YH�d�>;fFEG7FILVy>�:�>�8[HC_?7z�>;:=<L7�@�7;VyMrJ?8�H�z�:=I�J?:=<Lg[Hs7�VyVT7�d�:�Hs�hJ?>�z�>;a%g[HGEP@S>�8'>;VbH�>FJEG7�Vy>;8hE�\^��8s@S>YHGJ?a� � 7;8hEGgK@�EG>�8�:y7">;V%�hJ?>sHS>��T8sd�grE�z�:�@�J?8�78�7FE�JL@S7;Vy>YH�7c�Y7�@GEPvTHGEG:yfY7���\

��V�HS>FJ�d�7�@S>�_Lg�Vy:T71�hJ?>0>YHGE�J?z�:y9YH�>;8KM�:y8rqL>�@S:T7���70�hJ?>1��:��7`_L:T7 J?8�7�M�@S7;8nz�>;a7;8�z�7uz�>u>�8KM�:y8LqL>�@lH(:�>YHGEG7`_?>�8�IL>;8d�7�M�7FE|Hl\LBD>�@��b7 � 7�8hEGg�@�8�g�Vy: 7�M�@S7;z�7`_L7%VT7:yz�>;7%:D_L7>YHGE�J?zK:T7�@¡C7FEG>;a%¢FEG:y�hJ?>YHc7%VT7jBDg�Vy: EGk;f;8�:TfY7%z�>¤£ JL@S:Tf%:¦¥�>�@SVyvy8�\?��V�H5H�>FJRHd�@Sg�t~>YH�HSg�@�H�7§¥�>�@SVyvy8%t~g�@S>;8¤{w>;:T>�@lHGEP@S7YH�HS�r¨5J?a%a>�@�:L¨¤@Sg�8�>;f�©�>�@l\

��V�HS>;8[HS:=I?VT>§�|gL_L> � 7;8hEGg�@^_L7HSgrIr@S>YHSg�@GEP:�@c>;8�VT>KHca7FEG>�a¢FEG:y�hJ?>YH5: >;8��;WKª�«e_L7f;g�a0d�VT>FEG7�@5>YVHS>FJ¬z�g�fFEPgK@S7­E�7�Vy7®J?8�:=_?>�@�HS: EG7FE�z�>®¥�>�@SVyvy8��5g�8�M�@S¢;f;:�>YH 7¯{w>;:T>�@�HGEP@S7YH�H�_?7�7YHlHS:ya:TVT7�@�EGghEG7�Vya>;8hEjVT77�d�@Sgr<L:ya7;f;:y�%@S:�M�g�@Sg[HS757�V�f;¢;VTfFJ?V�z�>KHSf�@S: ED7FIL7;8[Hl\

}1V��;WKª�°�_L70>;8hEP@S7�@�f�g�au75d�@Sg�t~>YHlHSg�@�71Vy7�±j8�:=_?>�@�HS: EG7FE²z�>�³j7;VyVT>K\ � 7;8hEGgK@�HS>;a0d�@S>�_L71>KH�d�>�@S7�@�hJ?>�>;V�EP@GJ?�hJ?>YH�HS:y8"z�>bVT>YH¤±j8�:=_?>�@�HS: EG7FE|H0:ya%d�g�@GEG7�8hE|H0NP¥�>�@SVyvy8"g"�1ghEP:y8KM[7�US��d�>�@S��Vy7eEP@GJ?f;7;z�7�a%7;:c>KHd�@Sg�zhJLvy�1>YH�f�@S>FJx�hJ?>�d�>�@�V~�Tg�d�g[H�:yf;:y��z�>�¨�@Sg�8�>;f�©[>;@S�17�ajI¬>;V0�hJ?>">KHGEG7F_L7">;8�t�@Sg�8hEG7FE�d�>�@S�hJ?k">�V�HEP@S>FIL7;VyV�H�z�> � 7;8hEGgK@ @S>�t´J�EG7F_L>;8%>;V�H�t~g�8�7;a>;8hE|H�z�>;VTHDEP@S>FIL7;VTV�H��hJ?>5��7`_L:T7c@S>;7;Vy: EPµY7FE�¨�@Sg�8�>;f�©�>�@l\

� 7;8hEPg�@�Hl�y��7`_L:T70f;g�8r_L>�@GEP: E²z�>;Vh��J?z�7;:�HSa>17;V[d�@SgrEG>YHPEG7�8hEP:�HSa>;�[a>;8hEP@S>1�hJ?>1Vy7%HS>`_L70>YH�d�g[HS71>�@S7f;7FEP��Vy:Tf;7z�>%8�7;:=<?>;a>;8hE�\�}1ajI�EG7�8hEG7jIL7�@�@S>|�|7>;f;VTk;fFEG:yfY7%z�>0d�>�@�H�d�>;fFEG:=_L>KHc8�g�@S>YHGJ?V EG7HSg�@�d�@S>�8�>;8hE^�hJ?>>;V��|gL_L>��1>;g�@�M�>�z�>YHS>�8r_Lg�V JLd�9KH¯EPghEG7(Vy7�HS>`_?7w_L:Tz�7¬JL8u:y8hEG>�@SkYH�d�>;V�H¯EG>�a>YH¯EG>;g�Vy��M�:yfYHl\%}1V�MrJ?8�Hz[�T7;�hJ?>YHGE|Hc7;t�>;fFEG7�@S:y>;8�M�@S7;8 d�7�@GE^z�>;V�HS>FJ®d�>;8[HS7;a>;8hEG�REG7�8hE^>�8�VT>KHca7FEG>;a%¢FEG:y�hJ?>KHcf;g�an>;8b>;V�H57;V EP@S>YHf;7;a0d�Hl\

}1�hJ?>YHGEG7d�>�@�HSg�8�7;VT: EG7FE�a%v�HGEG:yf;7 :²J?8�7 a:Tf;7 >KHGEP@S7�8rqL7�>;V²_?7 7;t�7`_Lg�@�:�@�IL>;8bd�g�f z�7`_L7;8hE�z�>;V�HHS>FJRH5f�@Sv EG:yfKHl\?��V�Hcd�@S:y8�f;:yd�7;V�H5grI���>YfFEGgK@�H5z�>%Vy7 H�>`_L7jEG>�g�@�:y7%@S7;z�:yf;7;V�z�>V~�T:y8�t�:y8�: E^d�g�zK:y>;8�d�@S>YHS>;8hEG7�@§J?87�@�MrJ?a%>;8hE1¶�·�¸L¹rº¤»½¼L¾`¼wf;g�8hE´@S7oJL8�:y8�z�:=_?:TzhJw�hJ?>bd�@�grIL7FILVT>;a>;8hE¤8�gC_L7�7|��J?z�7�@7�VT7"HS>`_L7bd�@S��d�:T7:Ta7FEPM�>b�hJ?7�8���7bVT7�HS>`_L7bt�7KHSf;:y8�7;f;:y�"d�>�@%7bVT>KH%�h¿?>YHGEP:yg�8�H¤EG>;g�Vy��M�:y�hJ?>KHS��7;t�>�M�v�J?8�t~g�@GE�:y8hEG>�@SkYH0d�>�@z�>;a%g[HGEP@S7�@��hJ?>�ÀR@S7�8�f;:�H�¥�7;f;g�8 ��7`_L:T70>KHSf�@S: E�Vy>YH�grIr@S>KH�z�>A���7�©�>KH�d�>;7�@S>K\�}1�hJ?>KHGEG707;t~:�@Sa7;f;:y�e_L7%H�>�@

Page 11: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

���������� ���������������������� ��������������������� �!��"���������#�$��%�'&��(� �)�����*��+�"-,�����.� ���'����/0"���12��+���34��"-,-�����*�������12���5�����6,-��� �7����)+8����$9*��+�"�������:-�������)�8�;����<�<"��<� >=*���?���A@?"-� ���<�����B:��)C*�D����E, "��'�-���F+�"�1G�B�?/<�B��-H�, �)�)+�I*�J���K���L:������������81K"�� ��*���*����������B�NM OP����;� �.���*��� � ����Q�B��/<R)+��)�J��"S+�"������������������K@?��"��<:��KTU���>"��+�"�1V�����51K�����5��W)�(X +�C��>����+BM

Y ����:����;?>"������*�S���(� �B�Z���"B�<���B�$12�;���1K7;�������B�2�������� ����������MA[?��:-�����$+�"����\����� ����"��\�$�����]����(� �^[?�)��12���-_ �`���;�������W)"���"����������a"-, �������12���b���!���;�a>���;, ���)�]MdcZ��:-��b���eX ���f,-��"��������a+����������*�\��������12�����$���>����TU����"��2�5����:-�����$�����]�812�;���127;>��+B�$12g*�8����/<�e�������$�������"h� ����12���-�����$�*��;,%��"�� ��i���5��1K��"����7���+����5���5�)�*�A���(� �B�j����"��>���+���"����NM

O6�>���8���)�K+���R ���+B�.���STU����"��K�NW�&��6>��"-, �;���lk6��"���"����nmD��"�����+�o����.p ��q*r�s�t���qBuL�Nv �w� ���S/0��:-� �\���"������<"����x���'�)�8+�"�1y����� ��;F1K�;���127;>�)+��2:�����12�����$�6� ���$�������� ]��+���3����'�)�$/<��1K"��\�Zz{���e�����\��� ��;F���| ������R���M�TU"�1} ~��&���1���� Z�(,��������FmD��"�����+�o����d� ���)1K���������$�����T����>"��$���<�<�e, g*�8�E>���;, �����)���8�EkQ�� ���e�����\��� ��;P��� | ������R���M�OQ�]�5�;���+*�5���>���2TU����"B���J���]�.���;�%�����e� ���]�?�����������S��� ����:-���������S��1{,E/0"�����*�5�+��������B�D�������C���+��)�*�?����������"�������B�?�����?������D���8TU����"B�NM%�i�������)12�����ATU���>"��D� �8"�/0�����B���$�����.�#:-�������>�#���]�A� >��"�������������������?��"Z� �?/<���A1K�)�)��"������A���B�U���(� �B�j��"��\���e, �)��� ��;��A���F����;, ���)��� | ������R���M��Z"2���*����� ��;� �����"���+*������"��<�����������w����?@?��"��<:��?TU����"��<����1{,d������#�-�i�A����� �)���5���)�����.���?+�"��>��"-� C��\�����B�A���������)+�������?���e��� ����A��1{,l���]�U+�"���+����-��*�A12gB�A����+������U���?�0W)����/<����� �����"�/]��R]�A��"�1{,-��"����*�A+����]���]�U���K�����e��w1K�������]MkQ�������12�����S/0"-�b��� ��q�q*� �U������n>���;, ���)�)�(� �'/<�(,-�����)12���y������������'�*�2+�"������eXb+�"�1x�'9l�{�����-��*���U���*����-������� ���-�yI*������'1KgB�{��������;X ��12����������1$M6kF�)"���������3���"��-� �����$��"����g'����'�0W)�B��>��C*�2�����?���;��>���;, �*�]�12�;���1K7;���+6 <������12������1{,Z�)�5�����\���*+;��+���32���DmD��"�����+�o����j����� >���*�J�����N��"����*����/0"������K���]�j���*�<��"������(, �)�B����#����+;��*�U�����j���;�f�B��/0"����B����1K���~M-OQ������+����6����7��)�]���L�����j���;�f&��]���"��<�����L12C*���)+?���(,B��# ��.����%�*����D�����\����3+�"�1����(X ��:������������w ~������!&��?&����������)+��]�8���!����!TU���>"��{������)�E�����������)+�"����]�d, ����"������$p<12����R)��+ t���������*�\���e��� v �.�.������1K"�� d����"-, �;, �)��������)�2��"-,-���(� ����:-���*�\���������4������]�\�(� "��.+*�*�S+����]���]�S��W)������B�������;]� �������*�\�BM

O6�]�A�;���+*�A���)�����*����(, ���)� ��;w12���������*�A�������;>�#�����$���*�Q� ���2/<���A+������?+�"��$1KgB�A/0"�����A��/]�\����������NMc{�*�<����g*�$��We������+;� ����'&�"��<��� ������ >=*��+���3���� ��q�q*� �5TU����"��2�*�Z� �'����+;� �������������������b� ������������$1K"�� ��/0��+;��;Q�������)�K��"��\���e,��)��� ��;P��We� ���K����+�����:-�����BM�O6�>���{>�����5���]�<:-�i��>"��5�J1K�;���1K7;���+B�5�J�����\��"������]���������"�/]���#�F���'+�"��f����<�<�e, �)�$��1{,n�)�$1K"���P�����B�<�����������$���������;���*��>��12�;F/0�)���w�U����"���/5��� ��qBu�u MLTU����"��P� �>"��<�����'���0We�{"��<��� ����y�Z�;� ��"�����:���+������{���)�)����� ��u���r �K�K������"-����� ��u��B� � ��u���� � ��uL��� M?[.1Z,/]������%C���+��)���)�B�����(� �B��&�"��<��� ������ >=*�*+���"�����/0"������a����:-�������B���8���*�<����C*�������0W]��� ����8����������R�"����*�����������1K����C���+��)�5�5+��*�\�5�*�\����:-�������121K� , �)����+����)�)�;~M

k6�F� �)���?���?TU����"��J/0"-�l+����>���12���L� ���F� �)���F>�<�)����BMk6�.���;���?1K"���>����� ��� ���5:��������A��� ��uL��q ����w� �S��"��<���������B���$12���>���$�*����;� �Z���'��� >���$+�"����$�0W)&�"��<��� ����A�$+��;�i���$���8�)�8�\�(� �$12���)��� ��)�$12�������]M� �<�]��i/0�������������j�P����.:������K1K�;���1K7;���+��

�F�(� �]���������P� �)���5��"-,-���5���5@?��"��<:��5TU���>"����B:����#���(, g?g*�j�����(� � ��(, �)�5+�"�1.��������� t ��"2��1{,Z�������(�+�"�����1.��"������������2����1K3��2���?�]W)��������?��+������.���2@?"�:�&�MO6�]�A��"���������)���{� ���?+�������.����1{, �)�������?/0R]�\�)+��BMO6���������K���KTU����"��U�����y� ���.�����\��"����K1K"�� 6��������:���"��\�K�J���L���.�.���8@?"�:�&8�����y� �$���;� �������6&�"���������CB�NM[?1{,���3��?���8�������#�����'�;>��� ��������5�;�����]� ���*�5����>R)���������B���J���]��/]������������S��1{,��)�2�)� ������;]� ���2�J�B��+����e� �����*���"���1K�B�NM�F��+�"�������1^����D������.���$@?"�:�&2+�"�1`TU����"B�j��"��\���(¡����{�����5�����\��"������)� ��;w���<��7;>��+��.�%� "���7;��)�����F� �./0���A���)�)������� t ��"��A/<�����A���"w��W)��1K�)+*�A+�"�1�¢��;���L@?�;� :-������M�[?1{,���3��A/0"������{���1.��������12�����A1K"�� ����������"�������1{,K�����F>����1K�������?�������)+��*+���3$��� >���;, ���)�����?�)�.���(� �?���)��+�+���3�MB£��������U��� ��"����;>����1{, ��3��w� �*�������#�A����"-, ����12�*�U12�������)�U����.��"S��"�����12���6���)�Q� ���$"-, ����:����U�?&�"��<��� ������ >=*��� t ���K���L��"8����?:����;� ��������)�B�A���(� �*�j12�����j���;� ��������/0�;������]�J�������;>� ��j�;���+*�j����?��"�/]���#������M

¢��������U�<"-,-���Z>"��J�.����@?"�:�&��ATU����"B�?/0"������'���;� "�� �%+���"��������]�NMic{�8���812�;����eX �812���������8�����.����+����Q�K���$���(� �K+;� ����K�%]� ��,B���������K+����<�������y� �K��+�"����\��:-���#�U��"�����N�U�0W)����612g*�����)�)7K�����]���)R)12� ������*�

Page 12: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ��������������������������������� �"!$#%�&�('���)�*�'� �����+�����*+����,�-. �/��0#�����1�1����(�2�3����45-.�#��������6��87" ��9: �3#�<;8-.�=�'�,�-.$ ��#��;8-.�=���8�8��$��,�-. ���>;�����0��#%����4?�(����-"��+�>@�����2����(�(#��A����8B.��,�-.C��#����������'2��+-�7"��'���D#E+F8�('�������D'��/��+��-"����'�%���E#E'?G����4&���(� �>#/���������E�+�H���(' -����������I��&�<;(���(��'�9

: '=���+����JFK����������&���C�( ������#�'��/��+-I�3����8�"'���� �����0���H7"�$#( ��%�&�(�������#�'I7"��'����#$'�����L7"��8�8���%9NMO����1+-�������>�'2��+-P1�����Q�&�87"����Q� �I�8-"���I#R7"�������C���8�8��/'?G����4&���(� ���( ��1����J7"S&T

UQVXWYZL[+\N]^Y8_.\>`"Z�a�b5[+\Jcd�WYZ�e�f8_([gbh`"ZLigfje�f8kml%n o8_"b�e0e�f8i�igZ�e \�ZLdp[gflh[ qL[$kCc_.\�bh_ rHY(\N]^ZLi Y8_([]^feL[gsut�_"eLci�cvWYZP]^f8[�[gb�w%l�ZLkOZL_.\x[gyezlhcj]3igbhkOZNi�c{]^ZLi�[gf8_c|cvlhc|}"bh[+\�~8igbhcvWYZ�c`"f�]R\hcc"WYZL[+\JcC]^f8[+\�Y"i�c�\Jc_�Z+�?]^l���e�b�\JckOZL_.\JdDck wj\�f(\�ZN[ l�ZL[�[gZ�a�ZL[xe�f8_([gZ�W��L_"e�b�ZN[ l�~NrHb�WYZL[�d^ZL[+\�b�ee�f8_"a�ZL_"��Y(\"`"ZEWYZX_"f [gZLigqEl%n ol�\�bhkOs��

: ���4&�1+��������@�K7"�0�����92�C������ 1�����2�/#����+�����*+�Q��1 �/@���j����#����+�^'� �R7.�'�'�%�/,��.%��������2�#�'��0;(��(��+�Q�&�����3'?G�*�'�;(L�8������'��P�����&����#�'���(� �8�� ���D�(��&�����'��$�C���&;(����������%�u7"���8�8���<�$��8-H������(%�&�(����+���D�(����������%��9%���C,�-.$�'�'H7"�E����;8-.�������3�.7"�C�� �&�(��#%��C,��. ��������(�3�����=�L�"���(��4?����O-.'���# ����(���������! �P�?-H����@�L7"�������(����(�+����'��|��L7"���8�8����'�%�j����������%�{���+�����*+�Q��,�-H ��7"�������#�������������&�<;(���(��'��D# �D#�'8����$���D#�'��p;���1 ��9

Page 13: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

3. Nombres racionals, irracionals i l’infinit. ���������� ������������������������ �������! �"��#�$ ���%�&��"��'"��(����"�)+*-,�./�����01���' �"2*-"���3��)��������! �"'��,��'� *�45�

�%�%��6�7���� ����8*-�(�9�&)'��� *8�"� ��/�%�&��"��'�;:�<=�5��)'"��#�7�'�2*-"��'>2*8���;�7"2?5���3��)����"�)'"��@��>����2�5�A �"��7 ABC�5)3 %�5)+*D �"4&�#�-*-�3�3��� *E�3F;����6G����/�A����"��9�&���H���"�)I"�)I����)���"� %*-"����'F;�$��)+*#��J6*8� �K�$������ ��3���� I�'F��$"�)IL� A�������)��

ε�

"�)' �"�� *-"��δ �"(��";�7�'�2*-"��3>2*-��M+�5";�7NPOQ"���"��H�-*8����H�����)�";�R�0A"��7.S"��"�)�����G%�&)A�7 �";����%�%����'"�)+*T�U �"��2�5�������H�$�

�"��-*8�;�-�&�� ����H��:WVX)3 AB�"����#�U.S�%�Y"���M+�5"����/G%�5�3"�)+*-���"��Z������)+*8��)+�5�������@:

[!\1]1^I_S^�`a^�bc�\#d1^Ie@f1^�g@b\�b^;b�h�c�g1i@`kj1l�cAm�l�^�n�\Si@g1^�_/moe@f1cIh7pS\#lHl�^�n�\Si@g1^�_/m;q

r "��U�����3"�)�s����0�����)����"2*-���"��ZM+�5Lo���)3�AM+�5��)�";�U ���./"��L�)�����";�U�'��)+*-"�)�"�)'"�)+*8�"(���"��#�7)������%�";����������)����#�U�A"��#�1)������%�";�U�6�/���������)����#��:

tUu/v@uAwox@y�zS{�|Ux�}/~�u

����)!)������%�"��o.#�����������)�����#�oM+�5"I";�( ��� �"�)!�"� ��"��"�)+*-���o������������)��o �"I)������%�";�o"�)+*-"��H��:<=�5��)�";�a����)%4&"��-*-"��C?&"�)�"�)� �"������'���#�0�"��#�a)������%�";�k���������)����#��"��a �"2*-"��2*-"�)�.S>��������'"�)+*��3"��I�H"2� �"��"�)%4&��� �& ����'"�)+*�"�)� �"������'���#�!���&F������P�&���P�%�-�5 %*-���3"�)+*��S �"��!"2?&"��o ���"�0 �+�-����� 0 ������� ���&F ��"��"�)+*-�=�5)��&�����o �"()������%�"���M+�5"o"��U�"� �"2*-"��C?5"�)�����)+*-,�)+�5���'"�)+*E�"�)��H"(.S���S �"��7"P?&"��3 ���" �+�������!� 0���;���;���;���;��� :�:6: �

tUu��Uu@�S���;x@y�zS{�|Ux�}/~�u

����)���M+�5"����#��)������%�"��$�"����#��M+�5"3)��!"��$ ��� �"�)�"2?% ��";�H�����"�)�.S���/�'�' �"'.#����������@:5�U?&"��3 ���";��&"�)�����)�"�G%��*T�3 �"�)������%�"��3���/���������)����#�����)a� �'�

π� : r "��3���������3 �"��#�')������%�"��3���/���������)����#�0�"��

�"��"�)%4&��� �& ����'"�)+*= �"������'���7�!)��k"��( �"2*-"��/�3��)����!)���*-F'����.S����3�� ABC�5)��&������M+�5"�";���"� �"2*-"��C?��1"�)�������� AB����C?&��0�"��#�7�"2���U �"������'���#�U)�����B������P�&"�)3�'���@�"�)��H"9�&)o ��2*8�/�3 �"$�"� �"�*8�������@:

tUu�tUuAwox@y�zS{�|Ux�}/~IzUz����;x@y�zS{�|Ux�}/~�x�}Sx�����y��#xk���A}/~3|7{� a¡�����~

¢ �� ��A�H�/�C�&��"Z �"��3�@�-*8�����M+�5"Q*-��)+*£"��#��)������%�"����H��������)����#�������¤"��#�����/���������)����#��";�-*-��) ����-*8��C�;��J6*T�U�����������/G' �"��A�"�G��'"�)+*¥ �"����U)������%�"��U"�)3"��A�H"�)+*-� *D�"�G%¦5"�)+*��

�E)+*8�"I ;�A�()������%�";�(���������)����#�oM+�5���#���"P4&�����o"P?&�#�-*-"��C?�"�)k��)�.S��)�� *§�o)������%�";�o�6�/���������)����#�o��07�������)+*8����/��0I"�)+*8�"� ��A�a)������%�";���6�/���������)����#��M+�5���#�H"P45����0I"P?&�#�-*-"��C?&"�)���)�./��)�� *T��)������%�"��a���������)����#��:����)��"�M+¦5"�)+*-�3"�)+*-01F��$.S>������U����)������%�&�"'M+�5"'"��#��)������&�"��$�"������(��B�¨���)� �"' ��#�-*8��C�;�5�6�$ �"����6G%�5���U"�)+*8�"��";�U ��A�1.S���',�����";�0�"�)�����3"��U���� ���%?&���'�� ����'"�)+*¥"�M+�5�C45����"�)+*T�0� �"����U)������%�"��1���������)����#�U�A�6�/���������)����#��:

VX)����� ª©T�a���3�"�G���"k«(¬/«o0o����/G��6�"�)� �"�����%�%����'"�)+*T�I�3�2*-"��3>2*-�����IM+�5"a��)� ������P4&"�)�0� �"����������)+*8����/��0$M+�5"!��M+�5"��-*-"��' ��A�'�����;�H�";�' �"!)������%�";�')��ª*-"�)���"�)�"����'�2*-"��C?£ �";��:D�­���� �"��H���%�%����'"�)+*T��"�M+�5"����"�)�0�������.#�"�M+¦5L�)�������0%�&)o�����)����'"�)+*K�3��� *A*-L���)������A�-���;*-���S:

r "��U"2?&"��o ���"�0�"��D4&�� �"��3�A�-*8������� :

�E��� ��A�H��C�&��"( �";�����C�&�"=�&)��(.®�5)�������M+��"(.S�A�7����)+*-,�)+�5�o�/ �"�.S����3�(��)+*#��J6*-�C45��0A"�)+*-"��� �"�)3���� ��$ %�5)+*K�6�/���������)������A ��#�����)+*-��)+�5��"�)3���� ��$ %�&)+*K�/��������)����S:

Page 14: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��� ������ ����� ����������������� � !"��#�$�%�&�����"��'��"���#��(����)��+*����"�-,.���� �������/0 1)� ��.�����"��'��"���#������)��2*3���"�4 5,6,.���� �������/ �

7 �#��!"��8����9�:)��%�:)��;#�%����,.���� ������:8�:�6� <�+>=� <)���"�?!"��@�/��:!"�����"�� �����?)�2����;BA3,.9�: �,6,.���� �������/$�C,.�+����*�C,. ���,:�C/�)��/��1����;BA3,.8�1,.���� �������/ �

D !"��8�����E��/��8�F�.G)�E�����%�. <)�C,.���� ������.HI!"��J��K����)� ��%�.��L��L/$K�������MC�"�� ����E��������,.�C/�8�.�E)��/$�����;BA3,.9�1,.���/��.H��$�3�N/�K< <;#*3��/��1*�C,:��/��?�����,.C;#9�:!"��O=����,.�;P*��%����C,6 ���,6;#��"� �8Q �����CR3S�H�TU� <C,F����,.�9�F�V �/��W�.��X�#����/<Y5/�CZ3�X9�#R��>=� <��[���������.CZ3�� �\9������A�/< �,#�/��#�$������;W��"�]�W�.�3A3,.^/��^������ � _A�`9�. <���^)�^/�'<;W ��H*�C,.aEC/��b;W�����;W`��� <�9�[9������=���E����;#���c����"�d�e�C,6,. fA��C,b�g/<�e��������/f�X�. � G)�g!"��e��/�Z3����8�b)�e/<8�!"h�9���� ����%�#;Wi9�# <;#*���,����C�"�]�# &�$������;W��"����/��#)��/2��`�/<�>��/&)�9�F�������.�>=���[��[/�8��*�,.��*� �������]��*�,6���j����)�8�)��/��&������k6���"�]� �3l �+*�C,��.������!"��B=��+,.9�.��/�)8,.#�/�*�,.�3A�/<�;#��H� 1��(�/�*�,.����i9�m=��#�C,.��C,V*�C,@�. 1�.��/��\�����;WC,.�>=��/</��%�F�N��C��,6 ��)��/��#������k$���"�]�.HV�$�3�n�/:Z���� �HV)�o=�CZ���)�9�\A3,. �/</<���"�� V)�o=�CZ���)�8�+*��C,.������ ���HV)�p ���,6Z�rq4C,.)8 �������) l ��)"sB �ZBt?R� �/< �* Q ���"����, �

Page 15: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ����������������� ������������ �!���"���# $&%('*)�$,+�-.)�/1032546$,+875%:9;)�2<)�=?>@0�2&AB>���CEDF�3GHC�IKJB0�L3+H)�03+M%:2,0�L�$.N;O.=P)Q4R0�S*2,$&J:0�9�N�$.= 4)�>�O.)�L�9P0�=UT,9?>VL�9WO.=P9W2.0XNY0Q4R)�N�ZQ4R9WL�0�S[=P0\4R)�$,+�9W0XT.)XL�$,2Q]�%B254^>HS[)32_=P0X75%�0�=U)E>*`6%B2,T,0aJ:0�SbO.)3+cO,+H9PNY)3+*L�$,OT,)�>�O,+Hd�>YT,)@NY9P=?>YTfeP0�2&AB>YT,)@L�$,2546+H0�T,9WL�L�9W$.2g>HSh=W0i4R)�$E+H9W0@T,)@=jeP9W2.`�9W2.9 4�0�N�k�4R$54^>Y)�=P>Y0aJ:)�2.l�$g>YT,)@=P0NY0Q4R)�N�ZQ4R9WL�08N�$.T,)3+H2,0Emono)3+Hp�OE+�9WNY)3+H0�NY)�254cJ:08q,0aJ:)3+YTgeP0�2,0�=W9 4Rr�03+s46$54s03=W=Wp�75%B)@>tePq,0aJ:9P08T,)E>HL�$&k:)3+R4>H$&k&+H)c=?eP9W2.`�9W2.9 4o`j9W2g>[0�=.N�$.NY)�254um

L’infinit abans de Cantor: “ un concepte que val més deixar-lo estar” .

v*%:+H03254 46$54R0w=W0xq,9?>R4Rp,+�9W0�S�=jeP9W2,`�9W2.9 4Kq,0aJ:9P0x)E>R4R0Q4KL3$,2.>H9WT.)3+H0Q4(>H9�2,$yq,$g>R4R9W=�0�=�NY)�2&AB>HS>H$g>�O.9 4R$g>H03N�)�254RS&%:2�L�$,2.L�)3O&4R)c75%B)c)3+H0cN�9P=P=W$,+[T,)�9{zB03+HG�=P$Y)�>R4R03+Vm}|~2�=W0cNY)�254oT,)cN�$.= 4^>[NY0Q4R)�N�ZQ4R9WLE>[)3+V0>H9WN�O.=P)�NY)�254�%:2.0�`j9W-&%:+H0�0Q%.z:9W=P9P03+HS��,4R9W=*O.)3+�0_+H)�0�=P9 4Rr�03+�L�Z�=PLQ%B=?>HScO.)3+Hp">H)32g>H)�)az:9?>R4Rd�2,L�9P0��3+H)�0�=W� 9O,+Hp,O,9W0Em}|~=.NY0Q4R)�9{z\'*0Q%�>V>[T,)E>�O,+H��>[TgeP)az:0�NY9W2.03+o%:2.0cT,)�N�$g>R46+H0�L39W��J:0c03+�+H9{k:03+[0cL�$,N�)�254R03+3��R�1���,�&�,�����:�,�,�a�Q�{�Y�U���,�a�,�h�:���:���1���.�W�a�Q�{�.�M���&���{�V���E� �&�X�:�@�E� ���j�&���:�?�h���& ¡���,�,���P���& ���&�,���& *�B�{�*�:�&�:�a�8�:�{¢5£¤�:�<�a�,�8�:�i�¥�a�V ����W�a�¦�P�a�_ *�B�W�a *§B�W�P�,�,�a��¨ª©M� ���j�5���:�?�*«a�8���,�����&�.��&� ¬��&�V���:�B�U�,�����:¨3­®~)�>hT,9?>VLQ%�>t>H9W$,2g>hNY0Q4R)�N�ZQ4R9W75%B)�>*>H$&k&+H)�=P0�9WT.)�0�TgeP9W2.`�9P2,9 4¥9F=P0X>H)aJ:0;+H)�0�=P9 4R0Q4¥)�>1+H)�Ns%B254R)32�0�=j>O.)32g>H0�T,$,+V>[-,+H)�L�>tm5no)3+U)az:)�N�O.=P)�S:¯¥)�2,�XTge{|¥=W)�0E>~J:0�%,4R9W=P9 46r�03+U=P0;9WT.)�0*TfeP9W2,`�9W2.9 4°T.)*`j$,+HN�0;2,)3-.0Q4R9{J:0;)�2=P)E>U>H)aJ:)�>bO.03+H0�T,$&z:)�>tm

4.1. Paradoxes o apories del moviment de Zenó.

®~)�>bO.03+H0�T,$&z:)E>[T,)ª¯¥)�2,�Y)�>[L�$,2,)�9{z:)�2Y0aJE%B9g)�2�T,9P0h-,+HZ�L�9W)E>[0c=P0ª46+H032.>HL3+H9WO.L�9W�Y9gL3+H± 4R9WL�0c75%B)�J�0`�)3+b²c+H9?>R4Rp5469W=.)�2�=P)�>U>H)aJB)�>o4R)�$E+�9W)E>[T,)c=W0ª# ±?>V9PL�0Em®~0c�3O.03+H0�T,$&z:0cTfeP²*75%B9P=P)�>[9g=P0ª4R$,+64?%:-.03�*��>[)�=g>H)3-.$,2�T.)�=?>[75%B0Q46+H)c03+�-&%:N�)�254^>[75%B)�J:0c)�=P0ak:$,+H03+¯~)�2,� L�$,2546+H0@=jeP0�`�9³+HNY0�L�9W� T,)�=P0@O.$g>V>H9{kB9P=P9 4R0Q4\T,)�=cNX$&J:9WNY)�254um~|~=?>X75%B0Q46+H)_03+�-&%BN�)�254^>X`j$,+HN�)�2�%�2L�$,2Q]j%B254�$,+HT,)32,0Q4�TE9³+H9³-.9 4�0X2.)3-.03+*=P)�>*T,$g>c-,+H032g>�4R)�$,+j9P)E>;>H$&k&+H)X)�=UN�$:J:9PNY)�254�75%B)X)3+H)32@0�T,NY)E>H)�>;0=je?d3O.$.L�0cT,)ª¯~)32,�F�03´

®ªeP)E>�O.0�9 9�)�=�4R)�N;Og>w>H�,2yµ6¶;#�µ6¶�µH·b²�¸_|b¶\·¹vsµ�º*µt»,µR¼1®b|�»½9�)�=�¸!¾cº*µR¸_|b¶\·¹¿�»/1¾ª¶\·bµ6¶;ÀKµoÀc¶sµR# ¾�Á1¸_|�m

k&´�®�eP)E>�O.0�9F9F)�=�4R)�N;Og>1)E>1L�$.N;O.$,2,)�2XTfe{Àc¶�µH·b²*·1»M¸ÃÂ6¶�µR¸_|�»Xµ6¶;vsµ�º*µt»EµR¼1®b|�»�9WSf=W=P0aJ:$,+V>HSf)�=¸!¾cº*µR¸_|b¶\·_/1¾ª¶M».·b²¤vÄe{Àc¶\²Å»&À�/1/~|�»f»,µHƤv*|@vsµR¸Ãµ6¶;À�·1»X»,²�®~·1»�»&À�/1/~|�»f»,µRÀÄ»gm|~=?>X75%B0Q46+H)_03+�-&%:N�)�254^>X75%B)�¯~)�2,� L�$,2.>R46+R%B)39{z�O.)3+XN�$g>R46+H03+Y=P)�>XL�$,2546+H0�T,9WL�L�9W$.2.>X75%B)�>H),eP2T,)3+H9{J:)�28TfeP0�`�9³+HNY03+c75%�0�=?>H)aJ:$.=bTfeP0�75%B)E>R4R)�>cT,$g>c)az&O.=P9PL�0�L�9W$,2g>cT,)�=[N�$:J:9PNY)�254RS[>teP$,+HT,)32,)�2@T,)YT,$g>c)�2T,$g>3� 0.�t´b=jeP03+�-&%BNY)�254o032,$,N�)�2.0Q4 Ç?ÈjÉ�ÊHËHÌ,ÍfÎ03Ï,´b=jeP03+�-&%BNY)�254o032,$,N�)�2.0Q4fÐ�ÑfÒfÎWÇPÉ�ÊUÎ.ÇPÌ;ËHÓ,ÔtËHÒfÕ,Ì.Öko�t´[=jeP03+�-&%BNY)�254o032,$,N�)�2,0Q4 ÇPÌ;×�ÇPÉ3ËHØ,Ì�ÍfÎPÊVÙfÌ,Ô3Ì,ÍfÌ,S.9k&Ï,´[=jeP03+�-&%BNY)�254o032,$,N�)�2,0Q4oÉ3ÇPÊUÚfÌEËHÌEÇPÇPÓ,ÛfÊUÉ�Û�Ü�Ó5ÝBÎPÜ8É�ÛgËVÖ

Page 16: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

�� ����� ����� ����� ����� ���� ��� �� ����� ���� ����� ����� ����� ����� ����� �����������! #"%$'&)(+*�$ ,��.-���/0"%$����1��-32���/�� 4��3��5�63,0� *�$',�$879(9�'*�/�2%*�$.:',�� /�";-32�7<7�/>=#/�,�/ (9�?(+*�$.-3���9(@/A��B863$C7

7�2�,�-���$87�$'&)(9���D*�$.,0� "%�'&�$����17�$��!E#$'&)(GFH 7./0";-32�7<7�/>=I,�$J(@���?KI$C7<7����.,��L$879(9�'*�/�-3$���M) #N;�O=I�'&�7.*�$;�'����/>=I���.�',P�/0&3�8,D7���Q��;*���������/>=#���.�',�-! #&)(M) #$ R'2�&379(@/ (L #$'/>ST,�� "%$'/ (9�?(+*�$',3R'�'"%ULV�/��O=I�'&�7D*���������/>=#�'�D� �'M) #$879(+R'��,3������/>=I���D�',3-! #&)(+M) #$ R�2�&379(9/ (L #$'/>S,�� "%$'/ (9�?(+*�$',3R'�'"%U�M) #$ P��', (9�CV�/��'/>S#U�79 #R8R'$87�7�/>K#�'"%$'&)(W:'�'*;/0&3P�/0&3/ (L #";B�X H 7D� *�/A��63M) #$ *�$179 I-32�7����DM) #$,��L$87�-3�'/ Y87;/0&3P�/0&3/ (9�'"%$'&)(J*�/>KI/L7�/>=#,�$Z/�6[-3$��J(9��&)(96�M) #$ZM) #�',L7�$OKI23,�*�/L79(9\�&�R'/��]P�/0&3/ (9�ZR'2�&)(9Y^ #&_&�23"`=!��$/0&3P�/0&3/ (J*�$a-! #&)(b7�6�$87;R'2�&�R',02! cM) #$ZYC7;/�";-32�7<7�/>=I,�$]������/>=I���;�',�P�/0&3�',.*��> #&��]7�N���/�$Z/0&3P�/0&�/ (b�Z*�$a-! #&)(b7$87�-3�'R'/��',L7D$'&J #&J(9$�"d-�7DP�/0&�/ (eX�� ����� ����� ����� ���ff ff[�� ��#gg ggihh hhjj jj��� ��Lkk kk��� ���� ��Z�� ��Dkk kk��� ��]�� ��<ll ll�mm mm'�� ���jj jj�nn nn�� ���� ��

���������! #"%$'&)(+*�$.,0�17<$��32�&�� ��-32���/0� 4���o�5�6�,�� *���p1M) #/�,�$87D/3,���(92��@(L I�3��2%*�$.:',0� /0";-32�7<7�/>=#/�,�/ (9�?(+*�$������/>=#���D�',�7�$? i*�$879(9UAB86�7�$17�23,�-���$87�$�&)(9���D*�$.,0� "%�'&�$����17<$��!E#$�&)(GF

p1M) #/�,�$C7�6�,L��Q�$���23/�����$'Rd"%Y87[��\�-3/�*qM) #$d,0�r(@���'*�/0R'/0sq��$'R'2���*���6�";�'/�-323*C��\d�G(@����-3���t I&��r(@2C�@(L I�3�'6$',["%Y87d,�$'&)(r*�$�,L7d�'&�/0"%�8,L7�6�7�/[�'M) #$C79(9�Z79 I�9(u��"`=v�OKI�'&)(9�?(@�3$'6-3$���M) #NaM) #��&]p1M) #/�,�$87d������/>=I/��',D-! #&)(*���2�&w,0�x(92��@(L I�3�]�_7�2C�@(@/ (96 �'M) #$879(9�Tyb�_7���Q��? I��\z";2��! �(`P�/0&�7q�x I&w�', (@��$]-! I&)(`��$'R'2�����$�&)(d I&��zR'$��9(9�*�/�79(9\�&3R'/��CV�/3M) #�'&;p1M) #/�,�$87D������/>=I/�� �'M) #$C79({7�$��32�&d-! I&!(W,0��(@2��@(L I�3�'6���,0Q�2����'6�7���Q��? I��\ ";2��! �(+�� I&;�', (@��$��$'R'2�����$�&)(W-3$��|(9��&)(� I&�� ��, (@��� *�/�79(9��&�R'/��'63/3�'/>S#U3:8�'*;/0&�P�/�&�/ (L #";B

�� ����� ����� ����� ��0}} }}��� ��

~~ ~~ ll ll��� ��D�� ��3kk kk�jj jj��� ��3�� ����� ���� �� � $��32�&37�p �! W79(@U0&��1����R'U������',>KI2�,�$87���-32���/0$87�*�$��t$'&�s�";2�79(@��$�&�:',�$C7�R'2�&)(@���'*C/0R8R'/02�&�7/0&�79 I-�$����?=I,�$C7�$'&)(@��$d*) #$87[&�$'R'$87�7�/ (9�?(b7�M) #$�&�$'R'$87�7�\���/��'";$'&)({-3�?(@/0";6�,��d*�$dR'2�"d-!(9����$�&qM) #��&)(t�',�7�$���6�'"`=q #&��;2�-32�7�/0R'/0sa-���/>K#�?(@/>K#�'67�$'&37�$J(@����&37�/�R'/023&�7�6�$�&)(@��$;$',�M) #$;Y87� #&��;R'2�7��;/�$',M) #$;&�2ZY87�6�/�,��;*3$R'2�"d-!(9����6�$�&�M) |�'&)(���Q3�OKI$���6��'"`=� #&���R'2�&!(@/0&) 3�A(9�?(96� I&��������'*��'R'/0s�/0&�&! #"%$����?=I,�$�4�2/0&)(9$���";/0&3�O=I,�$8"%$'&)(W&) #";$����O=I,�$�5D*�$ ,0� M) #�'&)(@/���B�X

�t$87[��-32���/0$87[*�$u��$'&�sq$�&37[R'23,��A,023M) #$�&%$'&�PL��2�&)({*�$',�7[,�U�"%/ (b7[M) #$1$',3-���2�-3/�*�/A�D-3$��[$',�7�23,�P�$?({*�$*�/A����7�$ /�";-32�7�� �',3M) #$ *�/> WX��+�����'*�2!SI� M) #$17���Q�� /0&)(9$'&)(9�?(W��$87�2�,0*C��$ �',�,�,������%*�$ ,�� Q�/L79(9����/0� /�M) #$17�23,�7D,L�/0&!K#$'&�R'/0sa*�$',L7.&�2�"`=!��$C7t(@����&37�P�/0&3/ (e7[-3$������'&)(92C�[Q��1-3$���";N87��'P�/A��"%�����',L7."%�?(9$'";\?(9/0R87�M) #$dP�/0&3�',�"%$'&)(,�$C7-3�����'*�2!SI$87-3,0�'&)(9$byb�'*3$87-3$��+�t$'&�sJ(9$�&�$�&J #&��17�2��9(@/0*��CX

���',0�����?(d(@2)(@6u I&c=!��$? ���$'R'2�����$��! C(T-3$��a��,�7a*�/0P�$���$'&)(b7Z/0&)(9$�&)(b7a*�$z��$?=C �( yb�'"%$'&)(i*����'M) #$879(9$C7-3�����'*�2!SI$871";2�79(@��$�&]$',D�����? v*���/�";-32�7<7�/>=#/�,�/ (9�?(uM) #$q,0$C7d7�2�79(9Y'6";YC71$'&�,�,�\q*�$q,��%-3$���-3,�$OSI/ (9�?(u$�&]M) |$$�&�7�*�$'/>S#��$',ZP�$?(v*�$�M) #$�$',a";2IKI/�"%$'&)(v$'P�$'R?(9/ �&�2�-32)(v*C/A����7�$�,0���3/0R'�'"%$'&)(�7�$'&37<$�R'�? I��$�$'&R'2�&)(@���'*C/0R'R'/0s%"%�'&�/0P�$C79(9�CX

 t&Z,0�q7�$OK#�%2!=!���`�t$�&�s¡KI�;-3����,���� *�$%*�2�7�(@/A-! |7 *���/0&3P�/0&3/ (96$',�-32)(9$�&�R'/��',/D,����8R?(L #�',4�$87 �%*�/A��6�'"`=�$OSI/L79(9N�&�R'/��z-�����-�/0��5�X�p1/>S#U1$',dR'2�&?y� #&)(T*�$z&�23"`=!��$87a&��?(L I����,L7Z7�$���/��]-32!(9$�&�R'/0�',�"%$'&)(T/0&�P�/0&3/ (961/�'M) #$879(9�;&�23R'/0s]*���/0&�P�/0&3/ (�-32)(9$�&�R'/��',[7�$���/��;-3$���"%/L7<7�/>=#,�$86�-3$����Z&�2]�'*C";$?(@��/0�%,��L$OSI/L79(9N�&�R'/��%*��> #&Z/0&�P�/0&3/>(�'R?(L #��,06.YC7%�]*�/0��6���$'�',LXt��23, (`";Y87q$'&�*��OKI�'&)(96.$�&)(@��$]$',L7;-���/0"%$��<7qR'/�$'&)(9U0P�/�RC7%";23*�$���&37�6.�1�',�/�,�$? wK#�(@2���&����q�z$OSI�'"%/0&3���q,��z&�23R'/0s�*�$',L7aR'2�&?y� #&)(b7q/0&�P�/0&3/ (b7<6 /uKI�_������/>=I���a�zR'2�&�R',> W7�/023&37Z7�2���-���$�&�$'&)(b7a/��-3����$�&)(9";$'&)(T/0&�$OS!-3,�/�R'�O=I,�$C7�6 ,0�]-3�����'*�2!SI�z*�$z�1�',�/�,�$O WX�� /02���*���&�2c¢��9 I&�2wP�2! w I&w�', (@��$]-3$'&37<�'*�2��/ (9�',�/�\qM) #$TK#�T |7����1\'"d-3,�/��'"%$'&)(u$',DR'2�&�R'$�-!(9$q*���/0&�P�/0&3/ (96D$�&¡ #&]R'2�&)(9$?SC(�P�UL7�/�R'6DR'2�"�-3���9(u*�$%,0�a7�$OK#�R'2�7�";2�,02��3/0�CX

Page 17: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

5. Fonaments de les funcions.

������� ����������������������������������� ! ���"�$#��$�%�&���&'(���'���)������*,+-�$�%'��.�����/����������-�$�&�01������(��$�� 2����� �3�54)��0%�%'���$� 6 87-�9�����$��:;.<>=.?A@$B C DE=3FHGJIK=3IKGML�<>=3?A@$BƒIK=ON�P�I6QRF>ST?UFV=XW)<>=YNZS[D\@8]_^`<R=3^aP�IUb�^A?A@$B

c <3I[deIKP-@$L�@ c <3@3b$IASfS�IUgHh3IK=ONZSji>P�FHi.@$IXN5^XNZSUC^Kk l`FHGnm

ƒk8opD

q k [email protected]^As q k∈ ƒ

@Jm�^Ast?Kk∈ ƒ

b$b�^XdeFHP-S q ou?v ST^6QR@tP-swN5FxNyIUb$IKGJIK=ONzQRI{D|IAS�NZ}aP�IUb�^A?A@tFH=.^XNy^KG q <>=~@jS�FRb�^KGJIK=ON�<R=

IUb�IKGJIK=ON�QRI�]T�r.@

ƒ � S&<R=.^�L�<R=.?U@$B6QRI�QRFHG�@�=.@YD�@>P�IA?UFHPP�IUgH<ONw]��3FaIX�Oi>P�IAS�S�^KP�IKGƒC9D

→]

�2IKPf^Ub�N�P-^ q ^K=.QR^As.S�@2m^As q k∈ ƒ

IUb8QRIK=3F�NZ^KP�IKGƒm^Kk&o q @2Q>@tP�IKG c <3I q

� S"b�^�@tG�^ N5gRI�QRI�^H��2IKP�NZ^K=YN)Cƒo

{m^As

ƒm^Kkk

|^

∈D

}

�����"�����2�K���/�/���/�-���"���-�"���/���8���

;.<>=.?A@$B_@�=XW IA? NZ@�d�^RCƒC�D

→] IAS�Q>@�< c <3I � S�@t=XW IA? NZ@�d�^�S�@�IUb$IKGJIK=ONZS

Q>@$LIKP�IK=ONZS"QRI[D�N5IK=3IK=J@tGJ^XN5gRIASfQR@$LIKP�IK=ONZS"sRIASf^�QR@tP�C^�sR^R 

∈D @�^�¡�^R .^Ub$IAS-�3FHP�IAS

ƒm^Kk

≠ ƒm^R tk

¢£¤

¥¦§¨

© ª

Page 18: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

���������� �����������������ƒ���

→ �! �" ��������#�$����%�&��$'��( *)� �+, ��-�/.� �! �01+,���$2� .431���5 *)� �+, ��-�(.� 6�7�89':������;

∈ �=< ���>���$ ��7� ∈�?���*)A@:�A

ƒ B ��CEDF;

���������G;A HI ���$������ 8J1KL �+ @:�A M���A�!NO�����*�� �P;� HI ��������?�Q,�*@:�A �#�$� �1�IHI ��������=� ��������#�$����:R

ST'U�$'V�$ �9)� �9NO�����*�':���=WA���P.� ,�& �KX�A � �Q�QY�KZ>��+, ��-�[.431���\.43>�*@]�A �#�����_^����`R�ab��>�#�$ ��� ��cNO������']���=@]�A 9�A'd�&�:�d��e1�IHI ���$��� �X��E ��������#����� �=f^A �K���`�-���A'��&�:�g�$��+�^A'��0;� HI ������� ��R

h ƒ i hkj l i ƒ i hkj1jm n o

ƒ l

lfp ƒ

qrst

uvwx

m n

Page 19: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

���������� ��������������������������������! "�$#&%'���(�$)*��+,��-/.0���(1*� "�32��$� 4+,�32�#�)5)5176'�$8$#�1*)*2,9��:��#�;5�$��;5��8$15)!<=.0)/ >#�)5?=#�)*# @60�2,15+=A5#B+C;5�D�:�DE5+,��A7.0)/ "�D-/.0�DFC�$)/ "1G+C�32H6'�D?=��+�I*JK.0L>6015���$�M;5#�+C-/.0�$)�E���+,���$�;5�D;51�2C8$15)!<=.0)/ N2C?O#�)*# P2-/.0�Q8$15)*2" "��)(;�R:#BA7.S�$�T2U�$�:�$���$)/ N2,9/ "��)5��)(�$�*���! "�$#&%V)515��W'+,�Q#�2,X5)(�$-/.0#&60�$�:�$)/ N2,Y

ZZ ZZ\[[ [[O]] ]]^[[ [[^__ __Q`` ``baa aadcc cc:ee eeUaa aa�ff ff�gg gg^hh hhGii ii*jj jjbcc cc:kk kkOcc ccTll ll�ii ii�ll llm��n#�)760�G2" 4#BA��$8$#�Xo;5�DFC�$)/ "15+\;5���:2\E7.0)/ N2\��p32\;*�$��#:83�! N2\;5�n�OR:�$)5q$�:#T2r#d���! "�$�(q! "#�8D�$�S6'�QE*15+" "��+\�8$15)*2,#:;5��+,��+U;5�Q?O15+,�(�Q8�+,�$#&%0�$)/ s���G2U;5#�?=��+,L$)*8$#:�32U#�)/ 4+,t�)�2,�$-/.0�32\�$)/ 4+,��6'��+,#T2U8$15)!<=.0)/ N2u;5�Q)515��W7+,�G2�vxwH)E*��+" 4#�8!.0�:��+,9Q8$15)*2" "�y "q����u#��(E*15+" "q�)58$#��u;5�u;5#T2�2,�$)7z'��+V.'){���$;5#�E*��+o�u8$15�DE���+,��+o����A5+,��)5;5q�+,#:�u;5�$�O28$15)!<O.0)/ N2�v�|}.0)~)5#&60�$�:�o2".'E*��+,?O#:8$#:�$�:9D�$-/.0�G2" "��8$15�DE���+,�$8$#�X�;5�$�T2�8$15)!<O.0)/ N2�pG2�.0)5�{8$15)*2,�$-/�SL$)58$#T� 4+=# 6'#:�$��;5�Q�:�Q8$��E*�$8$# "�! �;5�Q8�15)/ "��+rv*�5#5E5+,��A7.')/ "�$�(9

�$� �$)*2U�$�*���! "�$#&%V)51*��W7+,�Q;5�Q;5# N2U�����Q���Q;G+,�! "�Q-/.0�Q�C�:�Q�(�Q�32,-/.0��+=+,�3Y��2,#��(E*�:�$���$)/ �8$�$��;G+,qQ8$15)/ "��+U�$�5)51*��W7+,�Q;5�Q;5# N2U;5�Q8$�$;*�Q�(��E*��+\2,��E*��+,�! �#�9*�$�*8$1*�DE5+,176'��+U-/.0��)�R:�5#��*�8$#�)58��(8$�$;5�>.0)*�$9d+,�32=E*15)5;G+,�(�$?O#�+,���! "#&6'�$���$)/ Pv^�*����W'�T�(17WG6'#b-/.S�(�:�> "L$8�)5#:8$�(E5+,#���# "#&60�(;5�(8$1*�DE7 "��+p32�.')(+,�$-/.0#T2,# �E5+,�!6'#d�n���n#:;5�$�n��p32U+,�$?O#�)*�$;5�n;5� � #�A7.0�$�*A5+,�$)5;5q�+,#:���D1 � �$-/.0#�)7.0����+,1�2,# "�! 4�GvG|n��W(.')*�17W02,��+"6'�38$#�X���)GA*�$)7z71d2,�$���$)/ �#�)5)51*8$�$)/ "9*�n��15+=A*��FC��)/ "15+^E51�2,�!6'�Q�$�*;5�G2,8$17W'��+" d.')5��6'��+,# "�! �17WG6'#:�Gv

����+Q��6'�!.'+,�o8$1*��6'���38$15)*2,��A7.0#�+Q�$#&%'�*9b#:����A*#�)*�$�(�=)*1�2Q-/.0��6'#&60#:���$)�.0)*��8!.0� T.'+,���$)�-7.S��$�T2�8$15)5�$#&%0�$���$)/ N2(���! "�$�(q! 4#:832o2,X5)� "��)���#:��# "�! N2�-/.0������A*�$)/ V2=15�T2(E*1/ �8�15)/ "��+D?O#�)�2�� � 4+,�32=�5v�w�)�$-/.0�32" �8$�32,9b)51�E*1*;G+=t��$�@8$1*�DE*��+,��+Q�$�T2n;5# N2n;5���:�G2Q���$)�2Q�G2,-/.0��+=+,��#U;G+,�! "��8$15)/ "��)/ "�O��1�2�v0��15)5832n�3�)51�2" 4+,�D2,#:2" "�$�(�n)/.0��L�+,#:8n)51o�$)*2UE���+,�(�! ���+=+,#&W'��+\�n8$#�)�8Gv��*��)*2,�D8$��E*�$8$# "�! �;5�n8$15)/ "��+,9��32" "qQ?O15+,�n;5�n�:�)51�2" 4+,�~8$��E*�$8$# "�! s����;5�! "��+=�(#�)*�38$#�X ;5���OR:�$-/.0#�)7.0�o��+,1�2=# "�! "Y�w�)���W02,1*� .5 Pv>��1*;5����+,�32=E*15)5;G+,����$-/.0�32" "�(-/�0�32" 4#�X�)51�#�)/ "��)/ "��)/ H8$15)x "��+����T2�;5# N2Q2,#�)5X�2,�$)G�3#:�:�:�$���$)/ H8$15�:�B��1*8$�$)/ H���T2�)51�2" 4+,�32�;G# N2�<O.0)/ N2�I8$�$;5�M;5# �;5�����M���M;G+,�! "�M����W��OR:�$-/.0#&60�$�:�$)/ �;5���:�M�(�M�32,-/.S��+=+,�Gv�|n#&%'��;5�$�(1�2" 4+,��+=#���.')*�8$15+O+,�32=E*15)5;5L�)58$#:��.0)5t&6'1*8$��E*��+,?O�38! "�$9n#n;5��)517.�+,�32=E�15)5;G+,t��$��I � �*#�9K "��)5#:�� "�$)/ N2�;5# N2��$)��:������32,-/.0��+=+,�Q8$15���$)(���Q;G+,�! "���5v|n� "��+,)5�! "#&6'�$���$)/ "9�#�����A*#�)*�$�(�=)51�2�.')*�D�!.0;5#�L$)*8$#:�D-/.0�D�32�6'1*�d8$15�:�B��1*8$��+C� .')o�!.0;5# "15+=#Tv7����+C�+,�32=E*15)5;G+,�u2,#Q�5#Q�5����pG2��G2=E*�$8! "�$;515+r2�-/.0�u2,�$#:�$)/ N2,9CE*1*;5����+,�$8$15+=+,���$��?=�$#&%5.08�E5+,1*8$p32�;5�u8$15)/ "��+�ORT�!.0;5#:L$)58$#:�D#d�:�G2HWG.5 "�$-/.0�32,9d#d;5�32=E5+,p32C8$1*�DE*��+,��+C�$�T2�8$15�DE7 "�32C?O#�)*�$�T2�v7����+,�*9d��)�����1�8D;�R:�$#&%'�*9�E*1*;5�$�;5�$�(�$)5��+��¡ "1/ "�u�OR:�!.0;5#:L$)58$#:��-/.0�{2�RT�32r2r��A7.0#Tvn�*#D8$�3;5�uE*��+r2,15)5�¡ "�¡.')~2,�$#:�$)/ ¢#n8$�$;*��2,�$#:�$)/ (.')*�E*��+r2,15)5�$9o����+,�G2=E*1�2" "�~p32 � 2,#��39 <P�~-/.0���OR:�!.5 "L�)/ "#�8~E5+,1*8$p32�;5��2,�!.'+,���*�~�(1�2" 4+,�! �.')5��E*��+=?=�$8! "�8$15+O+,�32=E*15)5;5L�)58$#:��.0)5t&6'1*8$�Gv|n-/.0�G2" ��!%'�$�(E*�:�32�#��T�B�&.S2" 4+,��)o�$�^?=�! �8�+,t 4#:8D;5�D-/.0�D)51o)5�$83�32r2,# "�$��2,��+C8$��E*�$£$1�2C;5�D8$15)/ "��+C�$�O217W�<N�$8! "�32��$)�8$15)!<=.0)/ N2�E*��+��{;5�! "��+,�(#�)*��+�2,#��$�T2u8$15)!<=.0)/ N2u2,X5)�1�)51�2,X5)��$-/.0#�)7.0����+,1�2,1�2�vK���$�8$15)/ 4+,��+=#�9�����)51*8$#�X{;5�u2r��+�#BA7.0�$�:���$)/ >)51*��W7+,1�2,1�2,9�8$15)*2,#�;*��+,�$;5�����:���:�&.0�¤;5�u8$15+=+,�32=E*15)5;5L�)58$#:�G2.')5t&6'1*-/.0�G2,9d�32�8$15)76'��+" "�$#&%��$)��$�^8$15)*8$��E7 "�D�(pG2\E5+,#:��# "#&.¥#^?O1*)5�$���$)/ "�$�T¦d8$15)/ "��+,9�E*��+C�$�^8$15)/ 4+,��+=#�9dpG2�$��8$15)58$��E7 "���(pG2��!60�$)5£$�! >#C+,�$?O#�)*�! Pv\�n�$15+=A*��FC��)/ "1G+�6'����E5+,15?O# "��+��$-/.0�32" "��#�;5�3����)��:��;5�$?=#�)5#:83#�X2,��A7�0�$)/ yI §U¨5©Pª/«d©d¬®­H¯$°5«d±:©d«�²o¯�³y´7µ'¶:¯�­H¨(¯$°5«d± ·�¨5¬:¯$©d¬®­¸V¹7º�»$¹7¼O½/¾7¼0¿&º^À�Á'Â~ºyÃ7¼¢Ä$Å5¾5Á®¼'¾7Æ>Ä�ÇrÈ0ÉGÊ:Ä�ºCºyÁdËxº*ÌH¹7ºrº!ÁTÉGÊ:Ä�ÌH¹7ºrÈ5ÇyÍ=Ê:¹7ºrÎ�ÌHÄ�Ç�¾7¼5È¢»$Ä�Ç!¿&È¢Ê:Ê:Ä$Á®ÎSÄ�¼¾7¼5È�ÇyÄ$Ê®È'»$Á:Ã�Æ>Ï*¿�¾7È�¿&È'Ê�Å5¾5Ä¥Èл�È5Ñ5ÈÐÄ$Ê:Ä�Æ>Ä�¼0¿HÑKÒ ¾7¼uÑ�Ó Ä$Ê:Ê®º¢»$¹7ÇrÇyÄxºBÌH¹7¼3ÔS¾5Á�Èо7¼ÐÁ�ºy¹5Ê®È5Æ>Ä�¼0¿C¾7¼�Ñ'ÄÊGÒ È'ÊT¿&ÇyÄ$Õ

Page 20: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ������������������������������� ����!"� ����#� $&%'���� ���� (�)� ��+*� ���,�#��-�� �#.�-/��)�� (�0�'�21&#�������#�������%'3#� (�'34���5 ���6� �%4%'���4�� �����7�������8 ��34�39 �:����9%'�6�#.�"�'�+;�<%'���4����+��� ;�=�#��!�����>�'?@���=����� �!A���������� �2B&�#�����>�'?� C1&/?��� �D���������A#��FE!��+����2G&�H�� ���7��������I� J#��HE!��+����2G&�F���%'�������#�� ���+�9I�K

LL LL-MM MM�NN NN)MM MMPOO OOHQQ QQ�RR RR�SS SS)TT TT'RR RR.SS SSURR RR.VV VV�WW WW(XX XXZYY YY(SS SS\[[ [[^]] ]]^SS SSU[[ [[^__ __^`` ``UVV VV0__ __a[[ [[(]] ]]Pbb bbc`` ``Udd dd�__ __^VV VVfee eeg �!h���!i�jG$��#�����+�k��������%4�� �%'!A����k�6#�l�������%����+�k�m�6E#�l������4����� �k�j1&����=��� g ����� �%4In��#.�

��%'��������0�' �%0�o��� g ����� m%'?F� �!p����%o�+G&�!A��#��@q��+r�f�'?F���jB&����s�4�+�t�� ���������%o�� �u#�l������4����� �t��%'�v&���� �������$���s��������j1&�+�w����x$��w�s#��<�0�jB&�s�����4����� �. �(K g ������ �%4?��s�����4��%'�������y���sqJ�+;�f�'?A��%'�����%'���s�� !���$z �'��%'���%�#��ZE�����4����� �. �mIu� �!{�Z!���%'�Z����x$&%'�Z���Z�m�������^K,|r%'������%'���Z� ����'������%'��%��#H� �������$���Z�������������� �}� �!n�~&����������� ���+�}�+m�9 ��� ����9���mx$ ���?)� �!J��#��+���?)� �!J����%'�+1&#����!�15�# �9%'����� ��+*4 ���>������������� ���fK|���%-� g ����� m%-���,�9%'������+B&���^l2 �A�$ ���,!A�+���!A�+�����A�'��#��.����%'�m�4����+���+1&#��?(!���%'��2G ��� �%-���#(!�/m�)��%' ��� ����+G&�!���A�������#���#����+�. �#.K

� �$z ��!�/m������%'�p�#s!��+���!A�+�����n�� #��2;�8����#����#�!��}�������%'����������������B&�u���m�'��$B& �# &����%�#��u���������������s�^l������������ �t�� �Z���Z����%'��&%'�+�� �!=�H����%'����+���mK

|���%-�F�� �����%)�����������m%'����� ���������������������������%'��!���%'�!���������+&%'��!�(l�����������m%'��B&��%'�.�)� �������$�������

�� ��F�� ��UYY YY^RR RR�`` ``)]] ]]PVV VV0�� ���SS SS)[[ [[(RR RR��� ��U�� �� ���c�m� ��� �5 �<� ��+*� ��� � /m�Z��� ���� $���������5&�y�# �9%'�5���'�A�jG&�.������2Gy �������#�����������1&� *���+���2B&�F��� � ��C�CK��� A���'��%'� &%'���! �

≈��K

�� ����� ��(     �¡¡ ¡¡PRR RR�SS SS)�� ���dd dd�RR RR.VV VVf�� ��(VV VV�� �� �C ����+� � ?P�fl���� �!�����J���%'�������#P��� � �J#��J�#��m�0�'�J���J��� �2B �#�7�������¢ ��£ %'���4����+����F#��H%'�#����������F��� ���� ���7�������mK��� J%'����%'���'�������!

|�

|K

¤�¥�¦J¥U§y¨P©�ª�«�ª0¬Pª'­<®J¯4°±«"¬P²-«;³$°±«�´Cµ>¶�·Jµ�¶�µ¸ �¹��a� ��+*4 ��� � �m�����2��� �u/m�������4����� �t�'��/������ ���( ����������º&�s���1&� ��+*4 ���C��%' ������'�+rK,»����u����%0?�+G&�.������2GJ�

⊂� ?$�

≠� ����#��� �

|�

| ¼ |�

|K

Page 21: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ������������������������ �������������� !������� ��"���#��������

$&%('*)!+-,-.!/�0 1324.657,-8�9�0;:<2=2>8@?A2>8 +-9=+6B*9�0�C-8@9>?A%D0�0@9�0>E2>FHGI2&%KJLB*24MN/42>8@+-%O.!24MP% 572Q5H+-9>MD0�/4,-.QRSB*.65T0�9�0 C!,!+-9>.�+-9Q579�8@?A%O.!2>8�?A% 5KRU24.-V424.65H/4,-8W8@9�0SC!,-.-+-X>.-/4%P9-0

B<.-)(:<,!Y6B*9�0�Z[ F;G]\P%O.!^S%O.!% 5;9>8@2]B<.A/4,-.-/49>CL579=/>,-?�C!MP9Q5UZ_&94,-8SJ!9`132>.657,�8�0�\P24/42 [ 2a:<2`+N\P94? [ 2>8@/42>8b94.c94M�Y6B*9d9�0b/4,-.L:<9>8757%K8@%O2d94.eB*.�+-94MD0f:<%P2Q5gJ!9�0

%O.65794MPhKMP9�/Q5DB*24MP0�?�i�0�9�075g%O?jB*MP24.65T0�%&9a'<%OJ!94.65T0�+-9k5g,65T0l94MD0m579>?�CN0�Z3$&%('<n�94Mo:<2�/4,-.-+6B*%O8�2�9�075g8@2>.Lpq0/424?A%O.r0@sN%N24MOJLB*.!0�J-87B<Cr0�+!9&?�2Q5794?AtQ57%O/�0�,!^W%P/4%P24MD0u:<24.l9>.�J-8@9�0v/42>8@w@0@9=8@%P+-%P/QB*MP% 5gx�24.65H94MD0�0@9QBq039�0@^W,-8@V4,r0@s2&C!9�0@2>83+-9o5g,65I9>MNY6B*9y:<2�2>C!,-8g572>839>Mz0@9QBl5g8@9 [ 24MPMDZ<{|%O.!24MP?�94.657sN132>.657,�8I:<2o579>.-%K8394Mq:<24MO,-83+r\D94.-^D8@,-.6572>8@w0@9=2=MD\P%O.!^S%O.!% 5;/42>8@2=2=/42>8@2=+r\(B<.-2=^W,-8@?A2&0@94.!0v9�C-8@94/494+-94.65T0�Z

} ,-M 5;2Q:<%P2Q5;1324.657,�8 9�0;:<2=24+-,-.!2>8 Y6B*9�C!9>8 9>.6579>.-+�8@9=94MN/4,-.-/49>CL579=+r\P%O.-^S%O.!% 5|~!2a:<%P2=+-9�8@9424MP% 5gx�248B<.b9a'�579>.r0&24.-t4MP%D0@%D0&+-94MD0�/4,-.QRSB*.65T0&Y6B*9l?A24%30>\P~-2a:<%P2�2>8S8S% [ 2Q5�2�8@942>MO% 5gx�2>8&24? [ 94M307B*^S%P/4%P94.65�?AXQ57,!+-9�Z� 8S%O?�9>8@24?�94.653:<2�8@9424MO% 57x�2>8�B<.b9�075DB*+-%�0@, [ 8@9l94M Y6B*9�Cr9>8&2l9>MOM�9>[email protected]&?�i�0�0@%P?AC!MP9�0>Ez94MD0=.-,!? [ 8@9�0.-2Q5DB<8@24MP0 � � s � sO�-sK�-sP��sO��sO�-sP��sDZKZOZ F�� ��3�� ��W�� ��z�� ��q�� ����� ����� ��-�� ��W�� ��D�� ��!�� ��W�� ��b�� ��z�� ��N�� ��S�� ����� �� �� ��N�� ��b�� ��z�� ����� ����� ����� �� �� ��r�� ��v�� ��N�� ����� ��!�� ��S�� ��

� 9>8�2�/>,-?A94.-V�2>8@s�/4,-.!0@%O+-9>8@94?��&�c� � s � sO�-sPZOZKZOZP��i�0�94M3/4,-.QRWB*.65o+-9l.-,-? [ 8@9�0�.-2Q5DB<8@2>MD0�%  ¡�� � sK�!sO��sDZKZOZP�d9>Ml/4,-.QRWB*.65k+-94MP0�.-,!? [ 8@9�0�.!2Q5DB<8@2>MD0�C!2>8@94MOMD0�Z � B<.65DB*24MO% 5gx�94?¢Y6B*9�9�075794?£/4,-.!0@%P+-9>[email protected]*9�075T0�/4,-.QRWB*.65T0�/4,-?�2�/4,-.QRSB*.65T0�/4,-?�C!MP9Q5T0@s�2lC!9�0@2>8�+-9lMP2�0@9a:<2�.-2Q5DB<8@24MO9�0@2�%O.!^S%O.!% 572�Z�¤!9>J!,-.!0�MP2+-94^W%O.!%P/4%O¥`+-9b1324.65g,-8@s39�0j:<9QB¦Y6B*9b94MP0�/4,-.QRSB*.65T0A��%� §579>.-94.¨MO2b©4?�2Q5794%('<2b/42>8@+-%O.!24MP% 572Q5gª�s|RT2bY6Bq9C!,!+-9>?c+-94?A,r075g8@2>8 Y6B*9=9�0�C-,r0v0@% [ MP9]B<.-2=/4,-8S8@9�0SC!,-.-+-X>.-/4%P2 [ %(B*.-)(:<,!/42=94.65g8@9=9>MP0�0@9QB|0 94MP94?�94.65T0�Z

�lE � � � � � ZOZKZ . ZOZKZ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ 

:� � � � �>« ZOZKZ � . ZOZKZ

$&Y6B*9�07572�/4,�8S8@9�0SC!,-.-+-X>.-/4%P2A8@94MP24/4%O,!.-2�/424+-2�94MP94?�94.65]+-9A�¬24? [ B*.�% 0@,!MP24?�94.65�B<.�.-,!? [ 8v9C!2>8@94MOM��S94.b/4,-.-/>8@9Q57s 9>M�0@9QB­+-, [ MP9>F�ZN®=8@94/4)KC-8@,!/424?A94.65�/424+-2�.-,!? [ 8@9�C!2>8@94MPM�24? [ B<.b%�0@,-MP24?�94.653B<..-,!? [ 8@9�.-2Q5DB<8@24M3�S94.�/4,-.-/>8@9Q57s�MP2b0@9a:*2�?�94% 572Q5gF�Z � 9>8�2�1324.657,�8A9�07572Q:<2�/4MP2>8AY6B*9�24Y6B*9�075T0A/4,-.QRWB*.65T0^S%O.-% 5U0;579>.-%P94.AMP2=?A2Q5794%('*2�J-8@2>.-+-t>8@%P2�Z � 9>8�07B<C!,r0@2Q5gs!2>%('*nl0@9>? [ MP2�C!2>8@24+-,L'<24Mr94.yB*.�C-8@%O.-/4%OC!%PsaRU2=Y6B*9]B*.0�\P%P?�2>J!%O.!2lY6B*9�0@,!MD0&~-% ~!2QB<8@%O2l+N\P~-2a:<9>8&MP2l?�94% 572Q5�+-9�.-,!? [ 8@9�0=C!2>8@94MPMD0&Y6B*9l+-9l.-,!? [ 8@9�0&.-2Q5DB<8@24MP0�Z} 24MOJ-8@2Q5r5g,65H0S, [ 8@9=Y6B<%O.!2 [ 2�0@9�C!,!+-94?c/>8@% 57%P/42>8 MO2=+-94+LB*/4/4%O¥j572>.A/4MO2>8@2=+-9=1324.657,-8@¯�° [ i�8@9 [ B-5gJ!94?c9�M/4,-.-/49>CL579�+r\P%O.-^S%O.!% 5]/4,!?�C!MP9Q5]2>8SJLB*?A94.6572>.65]+r\(B*.-2�^W,-8S?�2�Y6B*9l.-,�C!,!+-9>?.-%;572>.�0@,!MP0&/4,-.!0@%P+-9>8@2>8&9�M/4,-.QRWB*.65±+-94MP0b.-,!? [ 8@9�0b.-2Q5DB<8@2>MD0b/4,!?²2`94.657% 572Q5±2QB�5g,!/>,-.65g%O.�JLB*+-24sA, [ i¨8@9 [ B-5gJ!94?²MP2`+!94^W%O.!%P/4%P¥8@%O+-)P/QB*MP24?�94.65j0@%O?AC!MP9�+-9³B*.-2�%OJLB*24M=/42>8@+-%O.-24MP% 572Q5UZ3¤-%�24/4/49>CL5794?´24? [ +6B*9�0�C-8@94?�%D0�0@9�0@s3/4,-?µ:<2�^S9481324.65g,-8@s¡MOMP2a:<,-8v0AMO2b/4,-.-/4M(B|0@%O¥`i�0�%O.-9a:<% 572 [ MP9-E�.-,¨~-%~-2b?A94.Lp*0�.-,!? [ 8@9�0AC!2>8@94MOMD0�Y6Bq9�.-,!? [ 8@9�0.-2Q5DB<8@24MP0�Z

$&%('*)�+-,-.-/�0@s�0@%o¶·���ZOZOZu¸*�rZ w � sOw � s « s � s � sO��sDZKZOZP�b8@9>C�8@9�[email protected]�94M&/4,-.QRSB*.65m+-9k5g,65T0�9>MD0�94.6579>8v0C!,r0S% 57% B|0@s!.-9>J!2Q57% Bq0�%N94M!x�9>8@,!s-C-,!+-9>?¹:<9QB<8@9&Y6B*9=�c%*¶`579>.-9>.�MP2&?A2Q5794%('<2&/42>8@+-%O.!24MP% 572Q5H2=C!2>8g5g%K8�+r\(B*.!224M 5g8@9=/>,-8S8@9�0SC-,-.-+-X4.-/4%P2]B<.-)(:<,!/�2�Z

�lE � � � � � � � � º↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑ ↓↑¶yE « � w � � w � � wS� � wW�

Page 22: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

�� ����� ����� ����� ���� ��� �� ����� ���� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ���� �� �� ��!�� ���"" ""� $## ##��� ���## ##��� ����� �� �� ��%�� ��&�� ��� ��� ��%'' ''��� ����� ���(( ((�� ��)+* ,.-0/21�3547698�691.*045:�;�,<*0458>=?1�3@45,BAC,ED�=F1<D�,<=F,B47D�1<=�,EG�1.=H/C* 698IACJK6 1.*04HL.MK,B/ON>PQ,R,.G�JK=F6 ,<=?-0/21

-0/2,.M�3F1SAC8�M�L.8�*BTU/2*04V-0/21 1>3WD�8�X�JK, D�8�3F,<=E1.*&L.8�=U=F1�3UD�8>*�X�Y.*�L.J�,Z/2*�[\AC8�L.,�,.6^]_1.M�3R*�8�6^]I=F1�3R*�,B4�/C=F,.M�31<=F,`/C*%L.8�*BTU/2*04aJK*�G�JK*�J 4a1.*0/26 1<=F,S]CM�1b8$L.8�6QDI45,B]CM�1>N7c^1bG�8�=U6 ,b6 d�393F8I]>45,.*045:HAC,bJK*04@=U8�X0/CJe=a/2*%*�8I/*�8�6^]I=F1EL.,<=FX�JK*�,.M�f>gih<j�k limUn�k nKgFoQD�1<=�=F1<D>=F1�3F1<*045,<=�,.M�*�8�6^]C=F1EX�p�1.M�1.6 1.*04q3�1<*r/2*9L.8�*BTU/2*0471<*0/26 1<=F,B]CM�1�N)+M&3F[�6^]C8�M�-0/s1tAC,u1�3iL.8�MKM�JK=%D�1<=$,u,.-0/21>354v*�8I/w*�8�6^]I=F1uL.,<=FX�JK*�,.M`4@=F,<*�3FG�JK*�J 4_G�8I/

ℵℵℵℵ xzy -0/21u1�3D�=F8�*0/C*�L.J�,SAC,E{.,.M�1<D�|Q}�1<=F8�~E89{.,.MK1<D�| 35/�]I}�1<=F8�~�:�MK,WD�=FJK6 1<=F,EMKM�1B4@=F,EX�1WM�p�,.M�GU,S]C1B4O|�1B]I=F1B/C��N�Vp�1>354�/2X�J�X�1Q;�,.*0458>=�|�,SACJ�,R,<=U=FJ\]2,B4H,�45,<M�DI/2*04H-0/21R1�3+AC1.J�,Q8I]CMKJK��,B4H,RL<=F1.,<=H/2*�*�8I/`*�8�6^]I=F19J

/C*�*�8I/�3UJ�35451.69,�X�1�*0/26 1<=F,.L.JK� N��78�X�1<6�JK6 ,.��JK*�,<=F��*�8�3�,�698�M 4q3�X�1.M�3�3i1B/s3�L.8�*0451.6QD�8�=F,<*�J�3L.8�6QD�,.X�JK*045�F3F19X�1.M D�8I]I=F19|�8�6919-0/s19,<D�8�3545,BAC,QD�1<=WJKX�1.1�3�45,<*b,S]s35/C=FX�1�3�N��F: 6 ,.Me��=F,B4�4@804@: D�8�3F1.69�U*�8�3,.M 4@=F1 L.8�D�1<*&,.-0/21.MKM�, LB/2M 4�/C=F, 69,B451.69�B45JKL.,9D�=FJ�6 J 45J\A2, 1<*&-0/21 1.M�3Q3F1B/_6 1.6^]I=F1>3R3F8�M�3WD�8�X�1<*&L.8�*045,<=GUJK*�3W,r4@=F1�3�NC�r*���1.*�JJK*�*�8CAC,.X�8�=WX�p�,.-0/21�3545,9LB/2M 4�/C=F,QD�8�X>=UJK,.:1<*`/2*�,9JK*04�/���L.JK�&1S�ID�MK8�3FJ\A2,.:,.69D�M�J�,<=W1�M3FJ�35451.69, X�1 *0/26 1<=F,�L.JK��6 d�3R1.*�MKM���X�1.M�3Q3F1B/s3RMK[�6 J 4�3RL.8�*�1<�I/�4q3EJK*04@=U8�X0/CJK*04V1.M�*�8I/v*�8�6^]I=F1 L.,<=FX�JK*�,�ML.JK*�LRX�1RM�,RG�8�=F69,93F1<�I�21.*04���1�3?X�J /�-0/21�/2* L.8�*BTU/2*04 451EL.JK*�LR1.M�1.6 1.*04q3?-0/2,.* L.,.X�,�/2* X�p�1.MKM�3�1�3�D�8�X�1.*D�8�3F,<=�1<*�L.8�=U=F1�3UD�8�*�X�Y<*�L.J�,v/2*�[\AC8�L.,%,.6^]�1.M�3�X�J 4q3bX�1%MK,%6 ,%X>=F1B45,>N?�R-0/21�3545,%X�1.G�JK*�J�L.JK��3F1<=qACJe=FJ�,D�1<=UGU1.LB45,.691.*04OD�1<=�X�1.G�JK*�Je=?1.M�*�8I/`L.,<=FX�JK*�,.M ��N��I/�]C6 J�*�J�354@=F1.6�/2*�,RG�8�=F69,W�¡ �¢�£^¤>� ¥s¦I¢`X�1EX�1B451<=F69JK*�,<=-0/2,<*�/2*�L.8�*BTU/2*04?451�L<JK*�L�1.M�1.6 1.*04q3 y X�8�*�,B4V1<M�L.,>3RX�1�-0/21�MK,b3F1SAC,�6 ,�1�3R6 ,.*045JK*>�I/2J�JK*045,.LB45,<��Ns)+*,.-0/21�354H3F1<*045J 45:�1<M�3?3F1B/O3�X�J 4q3�1>3�L.8�*IAC1<=54@Je=FJ�1.*91.*91.M�DI/2*I47X�1W=F1<G�1<=FY<*�L.J�,E1�3545�<*�X�,<=FXQD�1<=�,EX�1.L.J�X�JK=?3FJ�1.M�3L.8�*BT�/2*04q37451<*�1<*9L.JK*�LE1.M�1.6 1.*04q3�N>§�804O,<J\�C¨�3F1.6^]CM�,E698�M\4s=F,<8�*�,B]CM�1>N

c^8�*�L�3�,.J\�C¨bd�3?D�=F1.L.J�3i,.6 1.*04+1.M -0/21rAC,QGU1<=�;�,.*0458�=U: 1��CL.1<DI451Q-0/21rAC,a/�45JKMKJ 4@}>,<=�1.M�3FJ�35451.69,9X�1*�8�6^]I=F1�3�*�,B4�/C=F,<M�3�©ªL.8�6ª,RDI/2*04HX�1E=F1.G�1<=FY.*�L.J�,ED�1<=�,.6QD�M�J�,<=?1.M *�8�354@=F1Q3FJ�35451.69,RX�1Q*0/26 1<=F,.L.JK��6 d>31<*�M�M��EX�1EM�p�JK*�GUJK*�J 4�N«�71<=�,E1<MKMK:�1.M�©�1<=F,V/C*9L.8�*BT�/2*04OD�=U804@804@JeD -0/21V451<*�JK,

ℵℵℵℵ x 1<MK1.6 1.*04q3�N�RJ\�2[�X�8�*�L�3F:�;�,.*04@8�=a451<*�JK,&,.MW3F1B/¬X�,SAC,.*04rM�p�1>3FL.,.M�,&X p�JK*�GUJK*�J 4q3�N�§�804q39,.-0/21<MKM�39L.8�*BTU/2*04q39-0/21

G�8�3�3FJK*$*0/26 1<=F,S]CM�1�3a45JK*�X>=FJ�1.*%1.M�396 ,B451.J\�C8�3Q1.M�1.6 1.*04q3�NO�71<=U¨$-0/2Y�D�,�3i3F,<=FJ�,b,.6^]¬1.M�3Q-0/21&*�8%G�8�3i3FJ�**0/26 1<=F,S]CM�1�3i­��F:�|�J�|�,B/C=FJ�,E,.MK�I/2*9L.8�*BT�/2*04O*�89*0/2691<=F,S]CM�1�­

;�,.*04@8�=7AC,V]>/s3FL.,<=�J�=F1<��Je=F,<=74@8045,W691.*�,EX�1EL.8�*BT�/2*04q3�D�1<=�,R3F,B]C1<=?3FJ�1<=F1.*Q*0/26 1<=F,S]CM�1>3�89*�8�N

�� ����� ��K®® ®®?�� ���¯¯ ¯¯�°° °°� '' ''&±± ±±��� ���## ##�## ##��� ��%�� ����� ��&�� ����� �� �� ���(( (( "" "" �� ��s²² ²²� ��� ����� ��E³³ ³³�� ���� ���## ##&�� ���"" ""�� ��&�� ����� ����� ���## ##&�� ����� �� (( ((��� ���"" "" �� ����� ����� ���## ##&´´ ´´9µµ µµ;�8�6�|�1.6¶1S�ID�M�J�L.,B4�,<*0451<=UJK8�=F691.*045:;�,<*0458>=+45,<*&3F8�M�3�|�,BACJ�,9X�1Q=F1.M�,.L.JK8�*�,<=WL.,.X�,9L.8�*BTU/2*04�-0/21

4@=U8I]Cd�3ªX�1¶G�8�=F69,·/2*�[\AC8�L.,¸,.6^]¹1.M�3ª*�8�6^]I=F1�3ª*�,B4�/C=F,<M�3�N_�71<=F¨ºL<8�6»1�3�D�8I4t=F1.,.MKJ 4@}�,<=¼/C*�,L.8�=�=F1�3UD�8�*�X�Y<*�L.J�,QX�1�45,.M24@JeDI/O3W3FJ�D�1<=?L.,.X�,ED�,<=F1.M�M X�1Q*�8�6^]I=F1�3?*�,B4�/C=F,<M�3?|�J |�,a/2* *�8�6^]I=F1RJK*�GUJK*�J 4+X�1*�8�6^]I=F1�3E=F,.L.JK8�*�,.M�3 y ;�,.*0458>=�AC, =F1.,<MKJ 4@}>,<=�/C*�,<*��.MKJ�3iJ�3QX�1.M�JK*0451<=5AC,.M yU½ :U¾��R-0/21b3�p�,.*�8�6 1.*�,�,SA>/2J�X�J�,L.8�6¶, L.8�*BTU/2*04VX�1 ;�,<*0458�=W-0/21�3F1<=F� 1B�ID�MKJ�L�,B4�D�8�35451<=UJ�8�=U691.*04@�F­�N��RJ\�2[�X�8�*�L�3F:�-0/2,.M�3F1SAC8�MD�8�354�/CMK,<=FJ�,-0/21E1.M�3�*�8�6^]I=F1�3�=F,.L.JK8�*�,.M�3�3F��*91B�>4@=F1.69,.X�,.6 1.*04769d�3�*�8�6^]I=F8�3F8�3�-0/21E1<M�3�*�8�6^]I=F1�3�=F,.L.JK8�*�,.M�3�N

�71<=F¨�;�,<*0458>=tAC,�X�1.698�354@=F,<=¿4@804t1<M$L.8�*04@=F,<=UJ%=F1.,.M�J 4@}�,.*04tX�1�MK,�6 ,.*�1<=F,¶3F1<�I�21.*04�/C*�,L.8�=�=F1�3UD�8�*�X�Y<*�L.J�,V/2*�[\AC8�L.,E1.*04@=F1E1<M�3�X�8�3�L<8�*BT�/2*04q3�N

Page 23: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

����������� ��������������������������! �����"#��$����%���&"#����'��$������"(�

)+*�,.-/*10/,�*324�56*�78-/9;:�*<�*�,�9�,=9>?0@*&7BAB9324�,C,�*&7CD�4�<�E�F�<�2G�9HI24�<�7�G�E�*�,�*5J*K7=<�4�5MLN,(*�7,�92G�4�<�9K7!4�,C:�9�<�G APO&91AQ7!E�* K�9SRT4�,C5�9U7(*�:NV@*<?AXW

YZ*5[9�,�>?0@*5\>?0@*]AB4?AQ7!*K7!<�4�5MLN,�*&7#E�*SK�9SD�,�G�5[*�,�9U24�K^0@5�<�9]AB*�<�*<I_S9K�<?0@5[*�,�9E�4�,�HNAP4?AQ7!*�KT7E�*SK�9U7�*�:�4�<�9S24�K 0@5�<�9]AB*�<�*�<a`b_ 9K�<?0@5[*�,�9E�4�,�H�*XAB2&cedf<g,�*&7B0@5�H�E�4�<�9E�9]0/<�9SR,�92&2G�h[>?0@9K7�*e-/4�K�H�D�*�,*1i/*5�D�K�*3_����?jX_�k%_�HUD�4�E�*5lK�4�29K�G APO&9�,�mCK�9n*<;*K�>?0@9&E�,�*oL�0p7�29<?Aq29�D;98L/9G^ir*K�<�4�5MLN,�*3_�k%_nGAP,�9�<�7B-/*�,(7(9K�5[*<?AtsC24�<?AB9�<?AZD�4�7CG ABG 0p7gG#<�*�:�91APG 0p7CugRTG�<�7�9�K�9�24�K 0@5�<�9v��w�x�cpdyK#>?0@9E�,�*�E�4�<�2&7�H#24�<?ABzAP4?AQ7!*�K�7!E�* <�4�5MLN,�*�7!E�*S{\9�5MLM,�*E?0@<�E�|<�2G�9�c

}M*5~E���9EN-@*�,BAPG�,#>?0@*U��*5~4�5�F&7�>?0@9K7�*e-/4�K�R,�922G�h�>N0@*f��9U��9�:N0@z�7#9�D�9�,�*�:N0�AbsTD�*�,#*1i@*5�D�K�*H_����Nj����%�?jP��HU*XAB2�u�c��UG^i/��HU9>?0@*�7BA�*&7�>?0@*5�9�*<�7�5�4�7BA�,�9�0/<�5�*E�GUD�*�,�9�9�D�9�,�*K�K�9�,�29E�96<�4�5MLN,(*<�91A0/,�9K!95ML�0@<�9K AP,�*vG�7�4�K7Z0@<�9K AP,�*v<�4�5MLN,�*�<�91A0/,C9Kc���H!*K#>?0@*vz�7U*<�2&9�,�9v5[z&7�7�4�,CD�,�*�<�*<?ABH!*�<�75�4�7BAP,�9Z0/<[5�*E�G�D�*�,#9�,�*�K�92G�4�<�9�,#29E�9S<�4�5MLN,�*S,�92G�4�<�9K�95ML�0@<[G%7�4�K�7b0@<�<�4�5MLN,�*S<�91A0/,�9�Kc��U5�LK�9SE�*RTG�<�G�2G�h[E�*S��9<?AB4�,CH�K�9S24�<�2K 0p7�G�h[z&7!G�5[5[*E�G�91AB9�W

}MG���9]AB9�<?AQ7�<�4�5MLN,�*&7�,�92G�4�<�9K7!24�53E�* <�91A0/,�9K�7S�C�C�

)+*�,pAB9�<?ABH���9�<?AB4�,���91-/G�9]i/4�291A+9�5MLg0@<�9S9K AP,�*S24�<1�T0@<?A�<?0@5[*�,�9eL/K�*�c

df<�9>?0@*�7BA]DN0/<?ABH�D�4?At7�*5ML/K�9�,U>?0@*�29E�9�24�<1�T0@<?AZG�<�RCG�<�G AZz�7U<?0@5[*�,�9eL/K�*�c�)+*�,���9KU_������H#*&K5�h�<�5[91AB*5�|1ABG�2�-/9�9�D�,�*�<�E�,�*�0@<�9v9K AP,�9v24�7�9v95MLo*KbAP,�*1L/9K�K#929E�F5[G�2vE�*v��9<?AB4�,U*�<�*K�D�,�4�7�9G�2�1� *eL@*�,�*G�<�*odyG�:�*<�7�2��9R�A�E�*�7v��<NL/*�,C:�,�G�RTRC*�7I9K�K�*�,v,(**K�K�*<�9K�:�*eLN,�9G7�2��*<��f9��K�*<��=s ��� 4NLN,�*o0@<�9D�,�4�D�G�*1AB91AaE�*K 24�<1�T0@<?AME�* AP4?AQ7[*�K7[<�4�5MLN,�*�7[9K�:�*eLN,�9G�2�7�,�*9K7C�u�c!�U>?0@�S��9<?AB4�,[*1iND�K���2G AB95[*<?AU-@9AP,C4NL/9�, 0/<�24�<1�T0@<?A+>?0@* <�4�*�,�9 G�<�RTG�<�G A+<?0@5[*�,�9eL/K�*�c

_ m�_ � mT� � mC� ��c�c�c

_Xj�� m�_Xj�� �Nj�� mT�Nj�� �?j�� mC�?j�� �Nj���c�c�c

_XjP� m�_XjP� �NjP� mT�NjP� �?jP� mC�?jP� �NjP��c�c�c

_Xj�� m�_Xj�� �Nj�� mT�Nj�� �?j�� mC�?j�� �Nj���c�c�c

_XjBx¡¡¡

m�_XjBx¡¡¡

�NjBx¡¡¡

mT�NjBx¡¡¡

�?jBx¡¡¡

mC�?jBx¡¡¡

�NjBx¡¡¡

¢

Page 24: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��������� �����������������������������! #"$� ����� �!�%�& &���'�� )(��'�!�����*�&��+,�'��������-���.�� )/0�����'� ����� ���1��*�"��2������'�3��4�!�5��+$���!���'���7698:����'+%<;��>=1�!�?������!� �7@*���A�1�4�*��B=1�:�>C%�7��� )��"��� &�����D���=1+$� �E����+��$���:��+� F;�+;��>=1�!���&�����G�����IH����0�I/$�����'+���9"��<���)���>=1�<J/$+$���%K�8:�����'+�I;���=1�!�<���$�!���!���G���0���� &�L�����M���0/$+�7�'�����<�)����1�) &���'�� )(��7�!�A;����'�'N�����%K

���0��+���O������P��+&���� )���>Q1�!�<�����<8:�����'+�G=1�R�7�+BQ1�I�S+B�T���0��+���O������G"��R�7+��U�9����I��+$ �QB��*�I��������KV��<�S���'60��L�����&�7���Q1�����L"��?W�X%Y%�?"��� )+0�'�7���=1�<�����<���/?�����'�U=1���0"$����+$ �QB��%�I���������60����"��/$����"������' )�����"��Z�!�[���>=1�Z/$���'� �'�*���Z"��Z��+$�%H$� ����"�6</$+$"����[���3/$+0�����T���\��+����*��/$+���"�J�$���!�-�����]=1+$���.�� �Q_^&KR`a�"��� )+0�'�7������b[+���2H$���$���M����/$+�7�'(����A��H$���4"����Sc�����(��!�S���<�<�������%����� �'(4����HB�����*�3�����$�*�3 &���'�� )(��'�������%���������'�]=1�� &�����R��=1����d���"$�*�eK�`Dc!���BfgW�X%hiW)8:�����'+�R=1�j�7+%����<��+BQB��&���i/��+BQ1�!�� &�&�G=1�?�'�$Q1 &���$���'�7����!������%@*�!���!���e���! &��"��� )+0�'�7�������b&�����A )k%�P�'��")��C1�� )���$���� ?K

Page 25: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

�� ����� ����� ������� �� ���������� ����� ����� ����� ����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ����� ����� ����� �� ��� ����� ��� �� ��!�����"" ""�####$������� ��� ��� ���"" ""%��� ��&�� ��'## ##(�� ����� ��)�� ��+** **,�� ��'** **

-'.)/0.01�2�3547682�9;:�982�90<�=?>@9&ACBED�FG2�98HJI=?KL60D�<�6NM;98HOKL=�2

P�Q0RTSVUXW&YZS\[&]_^`]8ab^�S\[&cdS\[`SeQf^`gih_j_k0a,]8U�]_^`l@RnmZ[;o`j�Qp]8aqW_U�k�mZ[�[rj?U�k0h0]sS\[&cdS\[`SeQl@Rno`W_kbSeQ8W�tfSejb[u^wvwx_m�]y^wj_asj_U�giazSVh_{5^|]qW_U(k�mZ[�[rj_U�k0h0]sS\[&cdS\[`SeQ}l@Rno`j�^wQp]_^w~�����'�����0�������;���Z���w�������)���8�L�������e�����w�w�����Z� R �������| `¡w���e�L��¢p�������w¡w���5�5�£¢ v �L�����������8���e�L��� ¢V���£¢V�)����`¤������T���e���,¡w�������¦¥§�������������w�V¢\�V���¨�p���&©��|¢V���w���w� ¢«ª��e���i¬{,x ��­Z��¢z�e���`¤������e�������w�V¢\�V�w®¯�����&©��|¢V���w���`¤}°)± ²�²�²&©w�£¤�� ¢V�����T�w��� ~{p[ � v ¡w���e�L��­&�e�i���Tª|³´�����������V¢\�V��µ��¶���������i± ²�²�²'©���¤��¯¢V�����T����� v ���i�����V¢\�e��©��L¢V���L¥¦�&��� �e���e�T�?¢V���'ª��e���i±U �T���T���8·¸��� { �T�'���'°�²�± ²�²�²�±{�g ���º¹ ¡��w���º�T���e���Z�L���'���Tª|³q��� �����w�V¢\�V��µ��b��� �����w²�± ²�²�² �«¢\���º��»)�5�e����'�L��������� { �����Z���`¤ ����©��|¢V���¡w�£¢\� ¢§± t ���w�V¢\�V��®¯������©��|¢V���w���`¤}°)± ²�²�²�± ²�²�²&©���¤�� ¢V�����T�w�w� v ���L���)�V¢z�e���e�T�b���&ª��e���&©��|¢V����±{¼S �L����¢V�����e�w���Tª|³@���������w�V¢\�V��µ��p�������`¤d±T±T±S ���n½�µ0�e��ª|���¨�e���������e�£��¢V�T�L¢�©����e�)�Z�8©����e�)�Z·¸�T�����'���º�e�n¤����Z�'���'���������n�«�e�T¾����'�L���'� R ³��������'�'���w���e�'�w�¢V�����¨�p����©��L¢V����ª��e�������b�����e� ¢V�£¢p���e�Z�����w�V¢\�V���¨� { ���b�����L���b¢\�¨��ª|�d»)�p���&���w�`¤|�e�Z�T��·º�T�w� ¢p� R ©���¤�� ¢V�����T�w�w�+±abR �|¤|�e�_���Z�L���e���,���w� ¢¦�8���| �� v ¡w���e¹ v ���w·¸�T�w��� v ���T��¿Z���V¢V�£����¬�����ª��e��� o �L¢V��� t ���L¢\���+±] ��¡w�w�_¢V���&¡�� v � R ©��|¢V���������|¤�¢V�����T�f·¸���'�������e�w���8¡w���C�e���f�����'»��8ª��e���'�����i��¾�� v �e�T��¾r¢V���`¤�»Z¡w���C�e������'�������f���T�w�)�f�'»��f��½�¢\�e�£����ªw���L¢¦�8¡w���f�Z¡w�)�5�e���f�T�)�¶�����)�����)�)�+± Y ���L¢z���b¢\�L¢z������¾��'���º�e�n¤���������� R ©��|¢V���¡w���8���T�T�|¢¨¥¦��� { �e�Z���������e�Z�L�����e�w���8·¸���p�����Z��� ¢§±g ���f���w� ¢¶�L�����e���`¤����i�'���L¢V�T��� v ©��i©��������&�������0�����L����� R ©��|¢V���i�)�V¢V������¡w�T� v ¡w���e¹ �e��ª|���T�&���L¢\�e���L¢zªw���L¢�L���C���'�)�8�L�������£�����e���w�5�C©���¤�� ¢V�����T¾i±g �L¢¦�e���0�)�f¡��e��ª|���L¢V���'¡w���e�L��­��e�?¢V���L¢z����� Y �e����©��|¢V��� t ���L¢\��� v ¡w���º¹�����»)�0����¡������V¢V���e�¸¬w���i�'�£�u¡w���5����b¢\�e�£¤����T�����8������¿Z�L���e���L¢«���w� ¢¦�8���| ��+À����e�Z�����e���)��¡w���T�w�����V¢V��±a �f���������L¢V�£������½|¡w�����)��� { ����©����V¢V¹��º�T�)������� R ©��|¢V����± a ���'������·º�������e� ¢V�����e�'�����L���������w����������� Y �e�)�o �L¢V���Z��� t ���L¢V��������©���������� Y �����ºªw� t ���L¢V�����L����·¸�|�Á���Z�'�£¢V���'¿£¢\�T���V�d���L���q����Â)�T�|�����L¢V���ºÃ� R �T�w·º�T�w� ¢§±T±T± ĸ��»)�_¢V���e�´�����Tª(�e��¤������L������� �e������� ¢V�£¢ v ���f�L���'©���������·º�£¢_���e�r�����r¢V�����º�T���L���?¥¸�«�V¢\�T·º���������� R ��½����V¢V­�������� ����� R �T�w·º�T�w� ¢\Å+± a ��©����V¢V¹��º�T��·º�������º� ¢V�������f�'�£�s¡w���e� ���e����������������� ¢?�L��� �)�O���@¢V���º������'�����T�w�����e��± t �e�����L���´¥¦�;�T�(©������e���w� ¢V�£¢@�L���)� { �����L¢V�)�u����ªw���w�)� �����'���| �� � v ª��e¿������)� �����n½�¹ v ¡|����£½|¡w��������� { ���Z���e�Z���`¤&¢V���L¢V�Z���T���e�����£¢§±] �f¡��e�T�'���&������� ©����V¢V¹��º�T�����e�������e��ªw�����'»��&����¡w���\¢V���L¢_¡w���&�����&���������L¢¦��¬, ^ �z���w��¡w���5�e�������w������������L��������� { �e� � � R ©��|¢V��� v ©�������� � R �����)��¡|¢V���'�e���������|�������w� � R ©���¤�� ¢V�����T¾X�����e�����`����ªw�����������C�������ºª���� ����e�����Z�)�V¢V¿���������Ã�± W �e�Z�����������)�Z�T�C¡w���V¢p�L���C��»)�8� R ��ª��5�����Z�£½|¡w���������+±

Page 26: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ��������������������

������� �"!�#��%$&�('%)�)+*�!�,�'-*�'��"$&�('.)/#�0�1324'�)5'6*424�87(��9�)�'-:<;=)�)�)����?>@!�'%)5!�,��%A5B�#���>����%!��C7 ��9�'%��*D����'��")�'-*0�,+*424E��?,�'6*F!�'=)��G>�'%�&2H$&�('='6*F$&�('%!��C7 �=�=)/#�0�1324'%)�I/0�'=!�'KJ%1���L/'6*M*����F$&�('�NO1PBQ�%,R7 �%,�>Q9�1�!�'�� ,�BQ��>�,�������SBQ'K)/#�0�1324'�)�9�)�'%A�9�'���E�J���'�,��K�%)TBQ'8��9�����'-U��KBQV6*5AV���'%BWBQ,�)�,�1�������,+*5,TBQ�%,X7 �%,�>Y2Z�?13[ ���5J%��9��%) 2Z���=���%\$&�('G'8]39�)�,�$&�('6* �%$&�('-*42XL/'82Z^M:

���.'%) J8� �D*=!�'QJ6��9��%J%, 24�%J%,�\.9�'��=�%)+*_2Z��'8[ �%)�)��%!�1��D*�A<'���*G0��C7 ,�'%�`'%��*D'%�3a �82_�%)b>3�(��*c2Z�4�(J6*�9�'��G�%J%J%'�9324���BQ'-*<>�'��&2d$&�(����)/#�0�1324'�)�'6*424�87 ��9�)�'-:

SF;=,�A9�����'%A9�1�*��87 '6*G�K>�'%�&2e'��Y�(����0��C[ , 24�%J%,�\.$&�('_Nf�Q'6*424�87 ��1�J8� 9��%!��6gKI?;=)<BQ'8�h9�����'�)�,<��>����%!��C7(�$&�('G)�,�9���'�>3�(�&24V6*D*�,�Bi)�'-* J%1�*�'6* J%1�Bj*�,�L/1�* )���9���,�BQ'����c7 '�>��%!��G$&�('G'���*<0�1Q'8]39�)�,�J%�C7 ��^M:

kGlDm lbn�l<oqpjrTsDt�up_vxwzy<{

|}1�A�J�)����F$&�('K��1:&~�'%,�] �-#�BW'C]39�)�,�J%����SZ24'=)��=0�,+*424E��?,��KJ%1�B�9�)�'824�G9�'��F�=$&�('�7 '�>�,+*5'%)$&�('=L?'%,��-:3�_#�0�1324'�)�AJ%1�Bj0�'=!�, 24A�'6*424�87 �G9�)�'=�%$&�('%)�)!�,��%A+:-;�B�, 2bNf�c24����!��c7 �=���?�?,�[ ���H� ��*�'%�3a31��F�=!�'%B��%�����H�(���G0��C[ , 24�%J%,�\:|}1��?B��%)�BQ'%�&24A5$&�(���")/#�0�1&24'%)5'6*424�87 ��9�)�'%A5J%13[3���C7 '%B�� ���.BQ,�J%�.BQV-*�AXNO�.$&�('.0��C7 ,��.!�'.J%1�BK9�'%��*����!�#��%)�>3�(���GB��%��'����G'%)32Z��'8[ �%)�)�$&�('���'�9���'6*�'%�&24�87 �_� ��J%�%�37 ,�!#�0��C[ , 24�%J%,�\:

;=)�,���L/1���B�����S?)�1@!�#+�%,�] E�A5'%)G*�'%�3a31���'%B�7(�.!�,b��$&�R'.��1@,�B�9�1��424�87 �%AF9�'��?E"9�'��KL?�C7 1��K)�,�!�1���V6*��(���0��C[ , 24�%J%,�\Q�%)�9���,�BQ'��<9�,�*�ACNO�G$&�('=*�1�L+��,��c7 '��424,b>�'%��,���1��?'6*�,+*424,��G'%)+* �6*�J6'%��*�1��D*M:

SR|�1Q'6*<9���'�1�J8� 9�,�A�*�'��3a31��MU�'6*?9�'���,3�(��B�1�BQ'%�&2X9�'��TL/�C7 1��M:

SZ��)�9���,�BQ'���2Z�4�(JK$&�('x7 �%,�>���9���'%��!-��'KL/13�hJ%1�Bz�%J%1�B�1�!����5�x� �PJ%)�,�'%�&2e*�,)/#�0�1324'�)'-*424�87 �=9�)�'-:�;=)TBQ'C�'6*�J���,b93241��?, 0�,50��C7 ,��Y�(��B�,�J���E�L/1���$&�('.*�'.*�'%�&24,���'%��2Z1&24'6*=)�'-*=0��C[ , 24�%J%,�1���*�AF'%)F$&�(�%)���24,�)�, 2Z�-�C7 �P9�'��,���!�,�J%��� '%)+* J%�%�37 ,+* !�#�0��C[ , 24�6J%,�\�A���,�] ��$&�('G'%) 7 �%,�>Q'%�->�'%>����<9�'�� ���&� ��J%,���� '%)�9���,�BQ'�� J%�%�37 ,�!�'G)��G��, 2��

�c� 1����=��, 24A��%B��C[ )�'-*FJ%)�,�'%�&2O*F!�'%)��G���%����1&24'�)��5�%�&241��M:�~�,�*�J8�()�9�,��P)�'6*FB�1�)��6*424,�'6*F$&�('G9�1�!�'%BjJ%�8�R*�����S)�1�*�A�9�'���EP��'%J%'-*D*�, 24'%Bz��'%�%)�, 2Z�6���e�(���KB��(!��%���%�-:3�d'��5L?�C7 1��F��'87 ,+*�,��.'%)T��1�B�[3��'K!�'K)��Q*�'C7 ��0��C[ , 24�%J%,�\�A�����Q*4�(B�,���S?)�,X�(��,<J%�%�37 ,�����S�*�'��Q)/#�0��C[ , 24�%J%,�\`J%1��?��'6*?9�1-��'%�&2f: ��1�) 24'6*5>����%J%,�'6*�,<$&�('K9��6*D*�,����(����[ 1����24����!����

SD��'��3a31���AG)��@*�'C7(��0��C[ , 24�%J%,�\�V6*�)���9���,�BQ'����`9�'%)G9��-*M*��%!��+*P!�'�)��"!-��'824�-:���,���'6J%1���!-1�$&�('�)��@*�'C7(�'6*424����J%,��P��)/#�0�1324'�)F'6*424��*4��[�Nf'%J824�P�PJ%�%�37 ,+*K!#�0��C[ , 24�%J%,�\�A '%��J%�����P$&�R'}2Z���%J824�M��VP!�'PB��%�&24'���,���S?)�1��P)+�9���,�BQ'�����9�)��%�&24�%A���1Q'6*<9-��'%1�J8� 9�,+:

� ��,�] ��)�,(7 �%,�>Q!�1������ �%)�)�132bNO�%BQ'%�&2d��)���13��7 ,+*�, 24�%�&2f:

SX�d'���E�A�9�����'%A�*?, 241&2O*F*4�(B�����'%���(���%)���1�B�[3��'G!�'G)��K*�'C7 �G0��C[ , 24�%J%,�\�A�)�)��C7 1��D* '%)�$&�('='6*424�87 �=�G)/#��() 24,�BP�0��C[ , 24�%J%,�\Q'6*H7 �G$&�('%!����F*�'%��*�'G)�)�1�J-:

S�|}1�A�9�'���$&�(�G)+#�0�1324'�)�'����=,���L?,���, 24A���1Q0�,0��C7 ,��c�() 24,�BQ�G0��C[ , 24�%J%,�\P,(241&2O*F'6* 9�1�!-,�'%����'%J%1��?��'c� ����1�B�[3�D'*�'%��*�'G$&�('���,���>3�Y'6* $&�('%!�'-*F*�'%��*D'�0��C[ , 24�%J%,�\:

kGlDm l� Kl<¡MpG¢6t?p=tZvC{.rTsDt�up_vC{Pwzy<{l

��'6* ��£�¤%�¥%��¦%§F¨¦_©(���-�£�¦%§F$&�('���'6*�'��47 �C7 '%��)�)�1�J�9�'�� �5>�������* 'C] J8� �D*�,�1���*�A&24'���,�'%��� ���G0�1����G'6*?9�'%J%��L?,�J6�!�#����?��,�[ �%!����T)�'-*G��ª`0�1���'6*M:;WBQ,FB�#+��>����%!��C7 �P�824'%��!-��'-#�)+*x[ V%A �%,�](�F$&�('Y2Z1&2O*='%)�*K!�,�'6*�A �P)�'-*P«�¬� ­�ª�A

Page 27: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��������� ���������� �������������������������������� ���"!���$#���%&��������')(*�� #����,+�� ������-$��� .� /0��!���(���$#����1�(����,.���-��1����2�3%&���3��� ��(��42!��������&/�5��(6/7���-���4��8����"%&���3�-91��������;:�<=%&��������#����3��� ��� ����>�����?�����������?1����$�>�����(�@A.����B����'9����� /C#���1����8�(�������D���,+E5%&���6������F��������� /0G����=���"�����(����B@A��#�����H��B#����5#����B�I������J#����,+���������,���������� ��� .� /0��!���(����%&���2����!���;�� /0�������-:

K$L (�@3� 1�������M>NO(F��?0�1�(*�� ���%&�����)P���(�/0���Q/0�������R8(���S����������'9����� /0��/S#������ .� /0��!���(���8M�TQ�U��������@#�� �4�%&���������?��������� /���/0�V/0�������$#�(* ����')����� /0��/�;:

K NO(�����(���W�(3��(3���$#-� /Q���,+XY:

K7Z ���9X[��=�)P���(�/0���=�-0/0����F1������=����� �(��8����?��� ����\�����]����'9����� /0��/^#��J!��������&/�B�>��]���9���,.���^�����]��� /7�������')����� /0��/0����/��^����Q��-�������(�/_W������`/7(&/��M

K8a E��D���,+�E5')(��4bD��%&����0/C�����B���2�����(��c/7�0��!B%&���B���*?��� ������F���*�����d��/0�D%&���B���"��������� /0��/S��(J�����B@3(�� /!�(�@?1�����!���/feJ���g%&���h������i'9���j��k����l����!�����#-���m���n@���!���X�')(��o�g#���@��������l����p!��������&/�l%&�4�@A��� /0��1�����%&�4��8����[���3��(�@A.����]#��]���n�� ���J��� .� /0��!���qr1����R#�(*B�?��R!����������;����[�]�)P���� .� /0��!���q[%&�4�/7���-����s�D���R��(��^��(�@A.����-:&t^P���%&�4��0/0�=')(��9@3���Y�(���D�-0/0�������(�!��1���#���D����D��� .� /0��!���(��*D��@A.^��(�@A.����-��@31��������������Wu�3%&���>/0(&/�2����2��(�@A.����-2@A��� /0�_1�����!���/�51����$#�(*$�(���1�������������v� %&����#�� ����B�����,�����2���-2%&���/0���������3��(�@A.��������@31����������������!���#��$!�(���w_����!�!���q������`����$����'9����� /0��/x�_�������*#*P���� .� /0��!���(���

Kxy ��� �(��8 1�(�#-���- 1�(*�����#&�������+!���8���(��������'9����� /0������*@���/0���,+?/0��@?1*��$�)P���(�/0����:

K8a ���R1�����Xz��({�(��"#��_�g%&���l�)P���(�/0���|/0���-����s�g#�(*g����')����� /0��/���F�����q}%&���l��~�����l!�������!�/0����E�0/0��!��@������ �������(*8�$%&���=;P����&/0s��?1����Y���@31����$'9��/Q#��=���� ����')������/�:�$�8���_�3� �;�$���9�=�7��� �R�4�C�Y�2�-�����D�=�R�?���9�$���9�$�0� �R�v�����Y�`� �Y�

<[���� ��� ��(�����D���31����&/v��=���9�9�,.���D���$����1���������&/0���&/�#-�=����D��������!����-D#��S�����/7����D�*���4�����������#���!����D���-��� .� /0��!���(��*=%&�������D!�(��9����91�(��-�����*:4tA��=#*P���%&��������@3(�@����&/0� ��("������� �����@��-8���%&�4��� +�1�����!�������')���Y%&���$��0/0����$��1���&/Q#��2@3����+������%&�����A��$���&/7�����Q����=�����d�(�����/0�$��@A.O!������$#��21�����(�!��1���!���qY:

K7� (����2��� /0�*�����d�(�����/0�-:V�I�3%&���21���!$����0��_� K ����M

K T ����!U���n1���(�.����@��F��������#�E�;���@B: a �]@BP������r��W9���&/0��/3��g��(�@A.����]����'9����� /^#YP�� +!���8���(��*B��@A.g�4���(�@A.����"����'9����� /A#��R1����8�(����-�!���#��|�����"�21*����0�1�(*���/0�5��(U/7����!"������(�/_W���@����&/u:��;(g��"%&���"��%&��E$s�����!���88�������������������D������$� +!���8���q�s��@3(�� /x����������1����9X3��%&����0/Q!�(�1�s�Q����$��@3���9������!����-:

K <=�,+�E2%&�4�6���J��(�@A.����"����'9����� />#��"� +!���8���(��*3��@A.]��]��(�@A.����R����')����� /A#��B1����;�(������!���#��|�����-MtA���,+�*%&���2��(31�������):

KAZ ����')� �(����=��$��(g��@i%&����#�����s]�����8�c/7����.�����=�9���=@����~1������F���=����!����&/0����F'9��� K ��F�)P�������(��$%&�����@BP�� +�1�����!�� ��$����D�� ��- ����0/0X��9���-9�;:

K �;�=��$����%&���2'9������@3��1�����X?����!�(-��#-��%&���$%&�����3�)P���(�/0���*s� 1����$���`/0���9��'9�$s�Q����$@3��!��$@�s����� /0�-:

K8a ���5�������(F��=1�����(�!��1�� 1����=���,+XYb #���'9��/0� ����'9��/5�����!�(���w_����!�/0��#*P,���"1���=1����=!���#��^/���9��0/0��#������-��+!���8���(��*�����%&���-0/x')(����s� 1������`�(*0/0�=9����@�#�(����$���� ��� .� /0��!���(��*;:

K �`91����9����3@3(�@����&/u:

Page 28: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

���������� ���������������� ��������������� ���"!#�� ������ �$�&%#� '(�$�����)!#������*�������+������,+-�����- ."!#���."!#�-('/ �����������0 ���$�1 ����2!#���� ��������)34'(�"'(5-��$�-�6��738� '(�� ��$����-�,9-��$��:;-<����-����)3=���-�."!#>5-('(�����$��?�$�������� 5����5-���45� ���� 0 ��@

ACB ��D�? ����E������5FHGI�����5-�."!#H����-����2!8�J�����)3K��L�$���D�$��� '2��MN7O8 P!8�<-��$����-����)3J!#�4�����)3K��L���$��� '2������<-�����5-I�����K'(����-����N- 0 ��-I���� -��� 0 �$�Q'C�"'(5-R�$�-R6��738� '(�� ��$����-I��S��M�6��K'(���F

A<T �N@5U��VO8����SW&X&UZY\[)�K'(�����S]^���"'(���_��������^�����."!#`S-��N@

���������� ��������S������� �������������S����������S."!#�-����N-I��5-I6��738� '(�� ��$����-I���)3a�����)3K��9�����$�b�����"'(`��� ����S�������$�\�����K!#5-<-��$��-���"'(�� A 6��_c

d7e �����J��� '(,S�����738���-� �������"'f-������WS�����g[)�K'(��S��4]9���"'(���<@ih2�N-� P!#�$���$�;��5-�������`�-('(�$5-�."!j>�������� ��P!j-���� A �$��- A 6���,^������?��� �5-k-�� '(��l�������� 'Cm5���)!#���n%#� '(�����>�)!#������*��>��."!j5-('(�L��� 'o@/pi�N-������������q�����D� 0 ���S."!#�-kMN�����������$�>�����H-� 0 �������C'(��,_���r'C�D�K38�������s!8�L."!j����������)3t���-S�$������ ��� ��$����-�-��K3K�����^-�P!�����)3K����+M�6��738� '(�� ��$:+@�]^���u����������K3#-<�� 0 ����,���+�����)3K����������-� 0 ��6��738� '(�� ��$:��-I���K'/5-� ���� !8��� ����!8�H�����)3K�����$ 0 �P'v������K!#�������K'(`��� �����,j'(���_ ����w5-9�$�N�����VOn��H��M��$�� �xN-S �y�,_5-9�������, d ��I-�P!s�����)3K�<��M�6��738� '(�� ��$:bz5-J��;���;���������1�K{t��,������ 'n��|����$��������"'(,2'C�D�K38��}��������)3K��1�����('C�$ P!#�����J��; ������6��738� '(�� ��$:��+M���."!#5-('(�������������@"~i���)!#������*��� �����-��N-('(��VO����������$� 'Cm���� �$��-���K�j��"'Q��������� ��$:_c�-�������-� 0 �6��738� '(�� ��$:Hz�- �K{f,+��R-�P!r���K!r�����)3K���z5- �8��{�@KX&� ��������$��."!#�����^."!#���N-� 0 ���+�"!�3�'(�,���������������� ����^5�������������K!#�"'(���I������K!a�����)3K��S��S�$��-� 0 �S6��738� '(�� ��$:+@�WS��|� ��$�-I�838�����9��� 'C�

A pi����."!#5-('f-I��������"'f-I����S."!#������z�-I������P!8������ 'Q���-<��"'(�$�S���-���R��� ���� ��$�����N-('(�S�����2'(�����������N-('(�S������6��K'(��N@

A pZ-('(���4�$���-('(5-�-<��K�K����P'(5-�F5@/~i5-�-� 0 �-�6��738� '(�� ��$����-�-�:���'(�"'(5-���."!#��$��5-�."!#>��S-<P!=�����)3K��Lz�-���"'(`��� ��$�S������������$���S��S�����)3K��5-R�����$����<-k����."!#x���2'(zv!8���S�$���N-('(�S��z�-I��P'(���$��������@

AC� ��� '(x�-k-��$���-�����|� ���5-k@ US����,9��."!#xv'(z>��ZO8� L��������J."!#���"'(� '(�P')."!#L6���l��P!8��� ')��"'C��>���-�����-('C��5-'N!8�D��-('(5-k@ � ��� '(5-R����|� ��$5-I��S���K!�@

A h)9��5-�,�-���K�K����P'(��,�����|� ��$�-I� 0 ��-('(`�@

�I���VO8x����K!�."!#�@$@@

A Ya��,�����,�����,�5-D������P'(,���������&pIOK������ ���M��� ���� 0 ������������L��"'C�����r'(���"'(5-H����<-�����5-L��\��."!#������-6��738� '(�� ��$����-k@

U�6�,I������ 5-�z5-������ '&�D|� ����$,I���VO#�P'�c+6�� 6��a!#�>�����)3K��������D�$��� '&��������)3K��5-S�����$����k-�,I���VO8x ."!#��� ������PO8 P!8�<-��$:1��� 0 ���$�1�5-k-��$�������)!8�?�����)3K��L�����$����k@/h)5-�����z5-�,9 ������L���D�$����)'(n!8�4�����)3K��>�$���D�$��� ')�����"'(`��� ��$�-��$��������������-�,I���VO8xI."!#��� �������6��738� '(�� ��$:J."!#�����-&!8�������"'(`��� ��$��������������$�����+MV!#�L�����)3K�<�����$����R6�� 0 ���$������-����Q!8���9����<-������S��S ������SPO8 P!8�<-��$:+@��I���VO8x�6��� ��738�����2'C�"'f-k@

A<T �$,� ���� S."!#/�f�96�����"'(��� �@$@$@5�R ����=�f�S���5-I�������$���������$, 0 �5-I����VO#���I��Z'���P38���$�����I������|5F

� Ya��, 0 �����-<��K!#��Q'C��P38���������"'Q���$��|S�"!8�����"'+'C��5-I���K�#-k@ � MN����������� 0 ��@�pv��."!# 0 �9����-<-<���Iz5-I."!#S6��0 ��6�� 0 ��i!#�� ��������$�K'i���6��K'(��$��<-^����i'(���� ����^��_WS�����a[)�K'(��_]^���"'(���k@Kpi�+."!# 0 ��-��$�����$�D�� 5���."!#S���H-����N- �� 0 ���a'(���� �����,+-��$��:�."!j�,�����z5-^����z�-�, 0 �����������D���� ���� ��������� 0 ����$:�-^����$�D�� ���@B �� -����C'��f�Z�f�S����S�$���D�$��� '(������"'Q�������$���������N@

Page 29: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��������� ��������������������������� �"!$#�&%'��(�����&%)��� *"+�,.-0/21�3$/)4�50687�9./)4:-<;�=?>�98@=<>�5�AB3$/09C,23D;FEG-�>FE 4:924H@�924:6.@I24:EG,.9.JK3$/09�L�9M;F9.50-OND986./P6.+ >F6./)4:E 43Q>:3$9.+GJC=?>R9(50ES;FJ8T)3$6(,.-0/)4U;F9.5<E 3V3$/09�EG/)4W3�XY,.EGZ[3$/0EB\$6M;]>F9.+8;F6.+^924:EB\D9(9�+^9�_0;F9M/05�IM;FEG9(5�A^-O`M1a6?,24:6?>_�6.-0@b24U;FEG,?>dc

*"+�,.-0/�>:4U;:3DES;F6.@(9.EBN$egf

• hji.k^lnmoi?p�lnmoqsr tumolwvsx^p�yup�zFp�i�{gxGk^qsr]moid|�p�{�}F~������• �jq���moyu��qR{^{��s�n{Wk�rFi?p���i?molwm�{ r]moi?�8k^qsr]moi.kW�oi<�����CpPvok^i�{�xGk^qsr]moiM|�p0{j}M�)�������$���u�d�• �jq�r]moi?��moi�{^{��s��rFi?p���i?mol�p�{���vs�s�(��moyslnmoqsr]��i?ms�0r]p�qsr]�(mo{����0ms�o�(i?ms�0�ums��rFkW�o�

r]moi?���s�Ck^qsr]moi.kW�oi?�������npnvok^i<��m�{��Ck^qsr]moid|�p�{��n}M�O����� �$���o� k�}F�Q��� ���$���s�d�• �j{����up������s����moys�omoqsr]�����0q(kWvs��qsrFkW���s� rFi?ms��i?m(mo{�r]moi?��moi�vsm�r]�or]��mo{���k^qsrFmoiM|�p�{��� �om � �omsvsm�q �

�j{ �si?�s�����8qu��r]�nzgkg�*"/+G9 ��EG_O3D;F9 6?>�@-�>:4U;F9j+G6<> >FEW>uL0;FEG@�6M;F6?>�624:9ML�6?>dc

  ¡ ¢ £¤ ¥ ¢ ¦¤ £§ ¡ ¨ ©

*"+s,.-0/21g3$/)4"506�7�9M/)4:-0;�=?>�6.+o,.-0/21g3$/)4"506.+^>�6<>F,.9<>]>F-�> LD3D/)4ª>�T)3$6�T)3$6.506./�9.+s�gEG/�9.+gf� �E�©MJ«©­¬U®�E�O¬U®0J�©­¬U�0JS�O¬U�<JG¯)¬U�Eo°�¬U�0J�©­¬Y��¯0JWcScGc0,M-0@±\D6.E^6.@�J�6?>F,?9?>]>F-�> /0-8>FZ0/0J�L�6M;FT)3$b ²0Eo²09³3$/09�EG/0�gEG/�E 4:924K506 LO3D/)4ª>Mf6M/+^9�>:3$,.,.6<>]>FEGZn©­¬U®)´D²0Eo>FZ0/µ4U-)4ª>FJ�9M@&`&/506<>F,M;FEB\DEG/)4¶6.+�>u/0-�@&`O;F6?>�/0924W3D;F9M+W>dc·¸9.+G_0;F924o4U-)4:J�6M+�,.-0/21g3$/)4K=?>�L�624:E 4KT)3$9M/�6?>�,.-0/�>FE^506M;F9�+W9�>F6�\D9�+G-�/<_�E 4W3$5of0+�A^EG/)4:6M;ª\D9.+oEG/�E^,.E^9.+u¹W 0Jg©Mº@�6<>:3D;F9�©MJ�Eo9�,?9.509 L�9<>FJo>F6�+GE$4U;F623�3$/&4:6M;F».J�6.+�T)3Q6��g9�T)3$6�+^9�>]6�\D9�+G-�/<_�E 4W3$5�6<> @&3$+ 4:EGL�+GE^T)3$EoL�6M;��O¬U®�c¼"9C>:3Q,.,.6?>d>FEGZP_�6.-�@b24U;FEG,.9�½&/P¾�¿��O¬U®<À:´ 4:6M/0506.EBNÁ9�Â<6M;F-0J�L�6M;³4:9M/)4�6.+ ,.-0/21g3$/)4�50687�9./)4:-0;�Ã8Ä.Å]ÆoÇ.È

É Ä?Ç.Ê0Ë0Ì�=?>u+GÍ0_�EG,.J0L�6M;FT)3$bj/0-�,M-0/)4:= ,.9ML�EG/)4:6M;:\D9.+^J�9.+�@�6M/OÎ$>�506<>F,M;FE 4K>FEG/)4:b24UEG,.9.@�6./)4ac

Ï�Ð�Ñ.Ò0ÓOÔ2ÕoÓ�Ö�×oØ Ù�Ú0Ó�ÖFÒ0ÛjÜ8Ø.Ý]ÕsÛMÚÞ�ßgßgß

Page 30: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��� ������� � ����������������������������������� ����! ��" #����$�%�&�')(+*$,.-/�0214365 7�1$895 79:�;2<�7�:%=$795>79:?;A@�;B=�79CD=+1$7989CE=F�7GC�HD36:�;A7�1BIJ89C+KE��L4M�N+O�@�5P8GF�7/O9365 89CE=7.=$O�1$3 ;B=�79:RQJ8.=$7G�

3�F�3SIT3DF�3D5>79C%=)7�U�5 79:�;WV�XT7�1$7�<�1$7/=$7�:�;A8GY4��L4M)Z�7�:?;[1$7/=+<�8�1A;B=�F�7�C68G5 89:�7�1$8&=$7�U]\T79:�;_^

`aC%<�1$3D5 7�1<]XT:�;ab/=�79C���L�C�HScTC ;A365db/=eM&3 79CE=�F�@%=<]XJ:�;B=fV�XT7eF�3SIJ3DF�793SgT79:h79C+=)7�U�5 79:�;a7�:h� <�8�1A;B=36U]XT89CE=���L4Mf3�79C���Li�j

k `aCE=+:�@�5RQ]1$7.=�V�XT7G7/=A;A8�:l7�:�;m1$7G7�C��l3���L4MG=nHD7.=$O�1$3 XT79:lF�7GCD8Go�@�145l8�^

��L6��g.g�g�g�gpj6j6jk

`aCE=+:�@�5RQ]1$7.=�V�XT7G7/=A;A8�:l7�:�;m1$7G7�C���L4Mf3�79C���Lih=$q�:lF�7fo4@�145l8�^

��L4M_g.g�g�g�gpj6j6jk

`aCE=+:�@�5RQ]1$7.=�V�XT7G7/=A;A8�:l7�:�;m1$7G7�C���Li 3�C�H$MG=$q�:lF�7GC68Go�@�1$5l8�^

��Li]g.g�g�g�gpj6j6j0W7�1G89O9@�:�=$7�U]XT31G@]Q.;A7�:�361G79C�O9@�:sr4XT:�;tF�7 u�8�:�;A@�1f<�14365 7�1$895l79:�;wv�8sXJ1$795xF�7R;m1$7sXJ1$7?;m@�;B=G79CWIJ89C6@�1n=7�:�;m1$7GY4�%H$M�L��%H6i�Z4L�b/=�8GF.31$L�;m1$8sXJ1$7�5y;m@�;B=�7�CE=WIJ89C6@�1)=�V�Xp7t;A7�:�7�:lCD8Go�@�145l8

��L4M_g.g�g�g�gpj6j6jz{7989CD3 ;m|/89:�;w89V�XT7/=A;a<�14365 7�1G=$79F�}/=&=$@�CD=f79:%=fV�XT79F�8�1$89:�79CE=�:�@�5RQ]1$7.=fV�XT7e<�7�1A;A8�:]~]79:�89CE=f36:�;A7�1AIT89C�=Y4��L6�%H$MnZ+3�Y4�%H6i�L4MnZnj

• � Qp=$7�1AIT795P79C�<�1$365 7�1W;A7�1$�GF�7�C%=$7�U�5 79:�;AL�b/=�8GF.31�CEHD36:�;B7�1AIJ89C�Y4��L6�%H$MnZ�^

`aCE=+<]XJ:�;B=�V�XT7&=$7�<�8�1$79:l89V�XT7/=A;%;A7�1$�GF�7G=$7�U�5l79:�;�=$q�:l7�C���L6� Mf3�79C���L6�.i��@�;B=+7�CE=+:�@�5RQ]1$7.=�7�:�;m1$7G��L6� M3���L6�.ih=$q�:lF�7fCD8Go�@�145l8�^

��L6� M_g.g�g�g�gpj6j6j� XT7&=$q�:l79CD=�V�XT7t;m1$8sXJ1$7�5P79:lC68f<�1$365 7�1$8f<�8�1A;WF�7�Ch=$7�U%@�: =$79F�}/=nj

• � 7GC68G5l8s;A793SgT8Go�@�145l8G@]QT=)7�1AIJ795>79C];A7�1$O97�1W;A7n1$�GF�7�C%=$79U�5l79:�;AL�b/=�8GF.31�CEHD36:�;A7�1BIJ89C%Y4�%H6i�L4MnZ

�{IJ793D795xV�XT7h79CE=&F�@%=G<]XJ:�;B=&V�XT7hF�3SIJ3DF�793SgT79:�79C�=$7�U�5 79:�;{7�:�;m1$7/=G<�8�1m;B=e=$q�:�7�C���Li+M 3�79C��Li�i�jp`aCE=:�@�5RQ]1$7/=�F�7GC�HD36:�;A7�1AIT89C�o�@�1$5l8s;W7�:�;m1$7G89V�XT7/=A;B=�F.@%=+<]XJ:�;B==4q�:lF�7fCD8Go�@�145l8�^

��Li+M_g.g�g�g�gpj6j6j

� �9� ��9�D� �

� �9� ����9� ��� �9�D�

�9� � �9� ��9� ��� �

Page 31: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��������� ������������������ �������� ��� �������! "�" $#! ��%�'&"���(����( "�)���&"*+�-,. ���/&102 435����%6� ��������)���7���8#"�9��)���:���&"*������ �9����;���<�=6� ��� "�>�������?�%���"��� �)@ !�/ �#"�92�)���>

A 92B�� �&"� @ 92�) ��<,�C�1����! "�)���&"*��'��� �9����D�����E6� ��� "�>����������9����4��9�� �$@ !�� ����! "�" A 92B��> �&"� @ 9��) ��(9( �9 A5F���#!����9�&" ��)�����GB<9��(�� ��<029��!BH9��"9 �I,J "�K��������1#"� @�L � L ��9��!BH9��!9 �%M(B<9��! ��2�)�����EN" �������O������1�� ��%�+������� A 92B�����������P�%���"���Q���(�� :�2�����R6��+� A 9�B<�����&"� @ 9��) ����M!9!���(��������&" �� ��"M��% ����E�H "���M!���2���������%���"���:�" !� L ��S� :T1,RU'����� A ���:#!�2�"VS"MWT!S"S�T!S�T"T!S�T!S�T"T"T1,W,�,W,�,W,�,W,

S"M�S�T!S"S�T!S�T!S"S�T"T!S"S(,W,�,W,�,W,�,W,C @ "���%9����� @ 9�XYN"���K&"��#!���(� ��� ��Q3Z���8����!�)�����E[HS"M �>\ �+� @ �9 �E ��Q3 A 9�B<��+��&"� @ 9��) ����]3�9��!*��92���[�3� +��)T \ ,1C9 A�F &" "� @ �=�� ��^�������)���Q34����&"���_����!�)�����P���� ��7&"�Y�2 YB< "��� YS"M A"A"A"A ,�,�,����7�����Y�2�+� A� "���8#! !&�� ��)����8`+���H (�894���!�-,

a ������Y��� @ "��bH�����=&"� J ����% ��[H�+� @ �9 �=���c3� ��� ��\ 9������#4�����^�&"���_����!�)�����=[HS"M �-\ [H�+� @ �H9 �^��+�3� ���)T \ ����#! (�>�9d3��2�)��� ��29 ��`+ ��=���! Y �#!�29 @ @ 9�Xe3�9 bI� @ �%9d6� �,�C9 A�F &" "� @ � @ �&" )#4�����=&"�f�>���!�)�����=[HS"M �-\�+� @ �9 �=���g�9��%�%���� Z3�9��! ��9��29 @ "�H��+�H#! "�h���79_� !���=���7#4�����^�&"��� @ "��bH�����=&"� J ����� "��+� @ �H9 �=���c3� ��>�����+�-,RU'���8� A ����#!�2�"V

C�!�" !�Q34�� S"MWT!S"S�T"T!S�T!S�T"T!S�T"T!S�T!Si 9!BH��� @ "�H��+�H#! "�"&���;S"M � S"S � S � S �"�"� S � S �"� SC9 A�F &" "� @ �jN"���k �3���9����4�"�l���" K����2 @ 9�Xm��� F 6� @ /��������n���2��&" (� @ "��b<�����^�Mo#!���p�% ����

�<0�������9�#! ��%q�� @ 92 �������������2��&" (� @ "��b<�����^��B< ��R6�92&!�����'��������� @ "��bH�����'&"� J ����% "�8���+�%��� ����(�) ��%��9 A ���5��<029����^���%6� ��([HS"M �-\U'���G�% ����%M @ "��������[HS"M �-\ ���+�%��� � V

r_s(t�u"v4w�x1v(y�z1{�|}"v!yu"~$����{��1x1�2�1u�y{�v(y8}�x(vft�u"v�w�x1v!y��1x1{$�f{��>x�~�}Y���H�<�

� "�2�:N"����&" "�" ��P��� @ "#g&(0d�����_ f�2���:� F �!92�+�: ����%���9� "�>�#!���: �&" "�" ���<�" (�:&"�f�����f�+�%�%����bH�5�%�&" �6� ����'&(0d���! $#! �� �&" A �,

r_s(t�u"v4w�x1v(y8z1{�|}"v(yu"~$�f{��>x�~�}��Y�H�H� � }"~�}"z1u"�"}r_s(t�u"v4w�x1v(y�z1{�|}"v!yu"~$����{��1x1�2�1u�y{�v(y8}�x(vft�u"v�w�x1v!y��1x1{$�f{��>x�~�}Y���H�<�

� ���2� �

Page 32: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ���� ������������������������� ��! �""�������� �

## ##�$$ $$�%% %%�$$ $$ && &&�'' ''�(( ((*)) )),++ ++ -- -- .. .."// //"// //100 00�22 22

3547698;:�4�<=8;:=>@?BA�:=8DC�:;C�:E?F:�4�8G69> <�4IHJ<�4�6�KMLONP>@?QKSR@NP:�K�T�>�:,K*K�:=>�U=6V<=W�KML1:�4ML X C�:�4S:�>@?F:�>�C�4�:�:=W?F:�X�4�:�8G<S8GX1KF?Y4�<Z?[<SU�X�>@?Y69>@NP<=U=69T"\

]S^`_ >ba=cOdPe9fgdJh�hOijK�69k >�69l76VU,<mNJ>n69>@?F:�4QHJ<=W�C :�>�X 8poJ4�:,K4�:=<=WVKrq7s,Kr<tC�6u4�vw?YX@?QKr:�W�Kr>�X�8poO4�:�K:�>@?F:�4*K�v@?YX@?QK�:�W�K >�X 8poO4�:,K 4�<=U=69X >�<=W�K�qY?YX@?F:,K W9:�K�l�4�<=U=U=69X > K ^ 6O?FX@?QK�:�WVK�>�X 8poO4�:,K�6u474�<=U=69X >�<=W�K ^ \

q7<=v o ^ x U�X�>Ey�NP>@?[C�:B?YX@?QK�:�W�K 4�:=<=WVKwzr?F<�W�K�R@NP:S<M{|zp{}o

~��9���,�

� ^��I� 69>@?F:�4QHJ<=WSK�XOoO4�:b:=WMR@NP<=W�4�:=<=W96 ?F�,<�4�:=8�WV<�>�X1KF?Y4�<tC�:=8GX1KF?Y4�<=U�69T�s,KG<=>�X 8G:=> <E?��=69>@?F:�4FHP<,WNJ>�6 ?F<E?Y��\

��^�� :=8G<�4�R@NP:=8�R@NP:�:=W�KS>�X 8poO4�:�KS4�:=<=W�K:�>b<=R@NP:�KF?I69>@?F:�4FHJ<=W L X C�:=>nK�:�4:EzOL�4�:�K*K�<E?QKU=X�8�<C�:=U=698;<=W�K�69> l769>�6 ?�K�\�3[:�4�:EzJ:=8rL WV:��

� x�� vV� ������������������� \9\u\ v��@�Z��� x�� vu� ��� ��� ��� ��� ����� �1\u\9\ v �� x�� v9� ������� �"��� \9\u\

  ^ 3[:�4M4�<�X�> K�?F¡=U�>�6VR@NP:,K�v�C�:,K�6 ?Yk :=8�:¢HJ6 ?F<�4UENP69C�<=C�X1K�<=8G:=>@?�C�X1KM4�:�L�4�:,K�:�>@?F<=U=69X�>1KC�:=U=698;<,W�KC�69l7:�4�:=>@?QK�C�:=W"8;<E?F:=6£zm>�X 8poO4�:�\@3[:�4�:¢zP:=8GL WV:=v � vV� ���������Gx �Z���t:,K�L XO?w:,K�U�476 NJ4�:�?F<=8poJs � vu� �����������1\9\9\¤¥>t<=R@NP:,KF?QKMU=<,K�X1KMX�L@?F<�4�:�8¦L :�4M<=W�C�:�K�:=>OHJX W NJL <=8;:=>@?B<=U=<EoJ<E?B:�>mNJ>t:=>�l76VWV<=WVW�C�:r�,:�4�X1K�v"8;s,KMR@NP:G:=>NJ>b:=>�l76VWV<=WVW�C�:t>�X�8poO4�:�K�v�C�:�8;<=>�:�4�<�R@N}:=v�<=8po§<=R@N}:,KF?F<�U=X�>@HJ:=> U=69TnWV<;4�:�L�4�:,K�:=>@?F<=U=69TnC�:=U=6V8;<=W�C :R@NP<=W�K�:¢HJX W�>�X 8poO4�:M4�:=<=W :=>Gq � v7� ^ s,K[¨J>�69U=<�\

3[X C�:�8©<�4�<ªC�X�>�<�4§NJ>«U=X�L«C � NPW9W�<ªWV<ªC�:=8GX"KF?Y4�<=U�69T«C�: � <=>@?FX�4�C�:ªR@NP:ªq � v7� ^ >�X«s,K:�>@NP8;:�4�<¢oJWV:�\J¤BW�K�:EN¬<�47kONP8G:=>@?Bl�XONtNJ>�<p­Z®¢¯Jh a,e9fVc|°�¯�°P±@²ZhO­*¯JhOi³R@N}:GU=X 8G:=>�´=<¢HP<G<=8poµWV<GA�69L ¶O?F:,K�6C�:tR@NP:¸·j6�q � v7� ^ L X C�69:=>n<�L <�4�:=WVWV<�4�¹�K�:tC�:tl�X�4�8G<mNP>�º£HJX U=<t6�<�L <�4F?F6u4rC � <=R@NP:�KF?F<t:,KrC�:�4�6£HJ<�4�6V<mNP> <U=X�>@?Y4�<=C�69U=U=69T;W9¶�k 6VU=<�\ » � A�<SC�:SU=WV<,K�K�69l76VU=<�4�<=R@NP:,KF?"?F:�X�47:=8G<S:=>@?Y4�:S:�W�K�8Gs�K k�4�<�>1K[?F:�X�4�:�8G:,K�\

¼ ½

Page 33: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

�� ����� ����� ����� ���� ��� �� ����� �� ��� ����� �� �� ����� ����� ����� ����� ���� ����� ����� ����� �� �� ���!! !!#"" ""�� ��$�� ���%% %%�� ���&& &&'�� ��!! !!�&& &&(�� ��#%% %%�)) ))(** **�� ��+�� ��&& &&(�� ��+�� ���� ���!! !!�&& &&(�� ���� ���� ����� ��+�� ��$,, ,,-�� ��/.. ..0�� ��#%% %%$11 11�&& &&'�� ���� ��#22 223)) ))'�� ����� ��4�� ���** **#!! !!5�� ��#66 66

Demostració:

798+:�;=<38�> ?�@BAC:�;EDF?�8+GH?JIF:�;�?�;�?+KBLM84NOAO?�P�8�QR:�NOAC;�?+S�THUV?/W�?�;OACTX;�P�YZLF@3?�THP�8+?�TH@BA5L3[XAOTZDF?�S+G�?\L^]_O`badc�eMf�gdcih+adckjBgdcMf�lmc5nBlmcFl5fMcFgdoqpJrseMtvu�pxwFpxcFadoytBrzpJ{ rzpJeFum{|pJcMfZrzpR}�l ~����FlM��eFgdrs�V{zpJo#��rzp9gFccFadoytBrzp�rzpJeFu�pJcMfZrzp�}9l#~9��g�p�cFa^��pJr\fZe�c���eFu3h+adckjBgdcMfdwFadc�eMf��

�4� �dLFW3:�N�8�Q�KBLM8RGkY�TH@BAO8�;�DF?+G �=��� ��� W�:BA|N�8�;/?�W3?�;�8�GHG�?\A�P�YZLF@�?R�k:�;�QR?qLM@��ZDF:3S+?R?+QyI����#T#?

W3?�;OACTX;$P�Y�?+KBLM84NOAO?���THW3�dAO84N�TRW3:3P�8�Q�P�8�;�TZDM?�;$�kTH@3?+G�QV8+@BA(LF@�?�S+:�@BAC;�?+PvT�S+S+THU �9� QyI�8+GRW�;�:�W3��N=T A�P�8S+GH?�;�TH�=T�S4?�;�8+G�;�?+:�@�?+QV8+@BA^P�8�> ?�@BAC:�;=��QR:�NOAC;�8�Q�GH?9NOLFW3:�N�?+P�?�S+:�;=;�84N=W�:�@�P� +@�S+T�?�P�8�GH?��k:�;�QR?9N�8�<d¡M8+@BAz]

¢�£�¤�¥+¦4§�¨©�¨ª�«�¬�¤�­«v®�ªH¯O°�«�¥+ª�±

� � ¤�²(³#£�©+§ £�©+«�®5§�©+­(´=µ�¶5·�¸� ¹º » ��� ��¼#��½3¾4¿�X�H�¿ ¹�À » ��� ¾ ��������� �X�H�� ¹�Á » ��� ��Â�¿3½�¼3Ã3�X�H� ¹�Ä » ���H����� Ã��Å��X�H�¾ ¹3Æ » ��� Å3Ãv¼�½�¼�½��X�H�� � �� � �@ ¹�Ç » ���H? º ? À ? Á ? Ä ? ÆÈ�H�X� ? Çz�H�H�� � �� � �

�3T�?+T ¹ �-�k:�N9;�8+?+G�QV8+@BA/LF@�?(S+:�;=;�84N=W3:�@�P� �@�S+T�?iLM@��ZDF:3S4?+��GHG�?JDF:�;sNxAC:BA�N�8�G�N�@�:3QyId;�8vN9;�8+?+G5N�84@�=��� ��� ?�W3?�;�8�T ¹ 8�;�T�8+@08+@(?+GH<dLM@0G�GH:3S�P�8�G�?RS+:3G LMQR@3?�P�8�GH?�Pv;�8\AO?+�?�W3?�;�8+GHG�?\A�N ?+QyI0LM@0@�:3QyId;�8�@�?\A5LF;�?4GW3?�;OACTHS\LMG�?�;�?�G5Y�8vN�KBLM8�;=;�? �

¿� > ?+@BAC:�;(?�;�?ÉDF?-P�84N�S�;�TZLF;�8ÉLM@�@�:3QyId;�8$;�8+?+GqIF�98+G9KdLM?+G98+GVN�8\LÊP�8vN�8+@dDF:3G LFW3?+QV8+@BA

P�8+S+THQV?+G���� I º I À I Áz�H�H� I Çz�H�H� P�8zAO8�;=QRTH@38+QËP�8�GH?�QV?+@�8�;�?9N�8+<d¡M8�@BAz]�4�

�Y�84N�S\LMG�GÌI º �=8+G�W�;�THQV8�;9P38+S+THQV?4G�P�8iI � S+:3QÍLM@Î@�:�QyIF;�808+@BAO8�;9KBLM?+G�Ns8JDF:3G�P�TH�=8�;�8+@BAP�8+G�W�;�THQV8�;�P�8+S+THQV?4G3P�8 ¹º W38�;���@�:RTX<dLM?+G3?��R: Å3�¿�

�Y�84N�S\LMG�GMI À �=8+G#N�8�<3:�@RP38+S+T�QV?+G�P�8xI � S+:3QÊLM@R@�:3QyId;s8�8+@BAO8�;�KBLM?+G�N�8JDF:3G�P�TH�=8�;�8+@BA^P�84GN�8�<3:�@RP�8+S+THQV?+G�P�8 ¹�À W38�;���@�:RTX<dLM?+G3?��R: Å3����

�Y�84N�S\LMG�GÏI Á �=8+GFAO8�;�S+8�;�P�8+S+THQV?+G�P�8xI � S+:�QÐLM@R@�:3QyId;s898�@BAO8�;�KBLM?�G5N�8JDF:3G�P�TH�=8�;�8+@BAÑP�8+GAO8�;�S+8�; P�8+S+THQV?+G3P�8 ¹�Á W38�;���@�:RTX<dLM?+G3?��R: Å3�Â�

Òy89�k:�;=QR?�<38+@�8�;�?+G��N�Y584N�S\LMG�GMLM@yI Ç ��8+G�P�8+S+T�QV?+G8+@� vN�THQ�P�8�I � P�TH�=8�;�8+@BAÑP�8+G�P�8+S+T�Q0?4G8�@� vN�T�Q�P�8 ¹vÇ W38�;��R@�:RTX<dLM?+G3?��R: Å3�

Page 34: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ��������������������������������� !��"����#�����"$&%'�(��)�����*���+��)��������,��.-/�10����2����3�)#������ �������4�56���7��8� �9���:����#�����!$&%'�!��)�����;������)���� <�=,5.-?>�01���.@A���������B����� �����C��4�D6���B��E� �9���!����#���+�$&%'�7��)�����F������)���� <�G,DH-/��0����$&%'���A@I��������������J�KG���C��L� "��(����#�����($&%'�(��3���MN���O,KI-/P9��Q@A��R

SI����@A��#&@T9����#)1�A@T���7#)�H,U���=@A�7���(MN)�V���W,U-289U,�� ,5N,DV,KV,�XYR�R�R�-/89<�C>��P�LR�R<R�1R

Z ���"��)���������#&@�#�������[�� @A���F)U,.�����]\^���_�)1�CMN�`@]������:��� ���+9���#�������($&%'�(��)#&@a������ �`@T)�V �[R��b

,c���6%'#/#)��H,U���!��������9^dY�:$&%'�����=%'#e����� �����C�#�MV�#� @YR Z ���`%����:���� �!���)fg,' ���h/���i ����)1���#)U%.�BjV�������A@A�Q@Ck4b�9�����#)��H,U����,l#)m��)&@6�����B89<8881R�R<R-n891#�89�ooooo1R�R�R-?>�R��#m��� @T�����B�������`%'� ����9.,lf��!��:���`%^���"�������p�+������#&@���#&@T���!8mB>�R�qB)��r�:��)#�����$&s't�#��� �f�(�1up��������t�g�'���_��#:$&%'���p���v\^)�������)��(��(� �(��)� %'�:#��(�����`@A�(��7���(� � p�A@A�(��#&@A���V�)�[R

,Ub ,w#)x��)&@y��������t�g�'���m�n$&%'���p���v\^)��(� ��)��z��#&@T���n��� �m#)�H,^�����{���a9 �5]9g�DQR�R�R 9 ��|QR�R�R.dY�n$&%.������A@A���:��#&@2,U-}���a9~d]�"$&%.�"������MV������#&@G��#����C���`%{���������������������p01.,{-c�5]9~dY�"$&%'�"�����MV������#&@I��#:���1���`%l�+��3�)#:�����������p0�1��#!3���#�������^,H-��|]9vd]�($&%'�(���_��MV������#&@I��#:�������`%��#t��� �F����� �����NR

�"������ ���+� ��SI���w@A��#&@A9n�:��#&@T���rj�>[b���#����g%�$&%'��,�@A�r$&%'�;���A@A������#����r��)�� %'�:#��r��r� �r�����`@A��9

����H%'� @A��# ������#&@A9�����jNEbB��#1�B�g%�$&%'�!#)m��)U@����T@A���B����� ��9&d]�!$&%'�:f�!���A@A�`@G���p�+����#U�^�`@T :�v�U��� � �� @A������#&@�����7�!#)/������������� �������������H,c�����/����p�(#)��H,U�����=���a9��5]9.�D]9_R�R<R 9.��|=�`@A��R Z $&%'���A@6�`%'�C����+���:����:)1�A@T���$&%'�?���?#)1�A@T���xf����U@A���V�)��<3��#����mjV�v�^p�A@A��g��%'#����)�V�����V��)#�t�#�� ��%'#�g\^)1���?��#&@T���?��� �z#)�H,U�����#�`@p%^����� �_^@A)1�_��� �_#)��H,U�����C�������p�_��#:�Nu �#&@]���A\^���^%'# @A�`@TbC#)������=\^���� ���R~kH��3U%@I�7� �(��)#&@T������������h�9f�����:��)#����)U%^���:$&%'�4@A���2��)�V�����V��)#�t�#��� �:���(��:��)1�+��g,'� �: 9������7��)#��+��3Us'��#&@A92� �C����U�`���1�7� � ������� � �p�����e��� � �B� ��� � � � �1�+� �(� �2�(���: �� � ����� � � � ��� � �

¡_� ��¢���£ �`¤ ��� � � � �p��¥������+¦�§¨H:f��©%'#�ª����h������«�v\^ @A���«���p�n��#)U%.�V ?����������)���� <�n���p�«���3� @]�n���,.RJ¬�����)#��� ��������­�p�

��)�N�����V��)#�t�#�� �"���V��������MV ���(��������#&@A����(��#&@A���V�)���:��#U@T9����������$&%'���A@I��)�:�����V�:�`@A���*�Nug®��_��"��#)U%.�V ��)�;��\^����)�+�B��4,ljV����f)����91�����B�A%^�)1���`@A9�f�!��:�����B�� MV������#&@���������� ��������#�t��� �;�����|Ab[RU��#m��$&%'���A@�����_��)����������r������)���� <�6,��¯-/��9',5G-no9',DG-no9^,KA-no91�v@A��Rq�)�;f�!��)#�����$&s't�#��� ��91����#)1�A@T���(#)��H,U�����������W',l-z89<��oooo1R�R�R�$&%'�:���79�������� �+������#&@A9B>Q°aEe9.%U#e#)��H,U���:$&%'�=d]�:����������g�c�:� �:��)�� %'�:#��:��:� ������`@A�:��)���5QR^±��:��)#&@T������ �����h/$&%'�H,�%.��$&%'���²jV��`@A���V���#����6%'#m#)��H,U���!�������I,�#)/��)#&@T�#�3U%@6��#e� ���)� %'�:#��(�����`@A��b^d]�7#):f����[R

SI�����m�V��v\^ @A���*���p����o� "�(�Nu f)���(��(��)#��A@T�A%'<�I,^9���� �� #��#&@I�Nu ���V��)��@At���#��(�������`@������_���(�)U,^�p��������������#&@A�`@Tg\^ @A�`@I���� �_����� �����p�_�#MV�#� @]�_�� �(����:)1�A@T�������h�������)1�A@A��R

¡_� ��¢���£(��� �³ �� � � ���A´ � ��� ��§�����1���`@A��g�{qB��#&@A)��_���G\^�J\'�`%^���(�U,\^ ������#&@I�:)�� @G���`@A ��MV�`@I���H,{�Nu ���V3U%'����#&@A9�$&%'�J\^�(#)U@T�MN �����

��)�*����R�R�#)U@A�`,^� ��R�R�R������_���!���v\^�!�� �:��� �� @A�`@T R~¨H���;��(��)#�����`@A���_$&%'�(qB��#&@A)�_���I\'�(��)#����#&@T�����_��#��$&%'�����p�(����� �����p�(���C� � ���V3/���:� �:� ��3�)#���C���������#���#&@6����C$&%'�������:jV���2��� �����7����� �����C�����2���������

Page 35: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

��������� ����������������������������������������������������������������! #"��$��%&%��&�'���!(���������)+*',.-�/����&�$)$�0)$1�%����2%��3(������/����4��45���������6���87:9����%�;&�5���8�<�������������2� )+=&��%���>�?����8@.����)+��',

A�BDCFEHGHI�CFJ<K5L�M�M�I�M�NO �P�.�<��%�1�9)$��%&�:��%�%���9)$�Q(#���D�����SRP���/�T�1���%��2��/�����@.����)$��VU��Q(#�2�W)+���#�Q)X�#�����������W�Y/��Z�����

��9�������! #�2�8�8���8�2�2�P�$)$�8�<[�4���������2������%&����8/����\(#�����$�#���������5���������T�����)]����� ��%���>_^` ���/���1����a%����2b4����%����������9��2��������).�0���c(�����)\�����X����������ed��X�X�2�2�c(#��F�8����#���%���9a�c(������]�Z�

�2����%\)+��)f�5���P�X���������&�5���8�2�8���2�P�$)$�&ghji ��/����<�$)$�k������������mln� i ��9�������2�2����2�k�����o Hpq� � �����o �rf�D�D���! �" �$��%�%��<�F���!(���������)s,�tu�

%�����)+����<��%�%���>v�w�2�w/���� U��c(#�2�w��[��!�#�Q)j@.����)$��x�������#�2�c(#�wU��c(#��D�&�$)$�Q)j�����2�������������zyf�w/����{�#����������9�������! #�2�8�������:9���$)|��� )$�8���:�2�8%���� �������8���8���8�<��Q)$�<,

h �&�[�����%��2������������)39���e���P�e�&�F%�1�9)$��%&���x@.����)$��}9����&�2�6�<�$)$��~)q�����/������aR[�����e/��Z�6��/����<�$)f�����fy��Z�$)$��������)f�V���8�����2�2�P�$)$��R����F������%�����9��2�Q)$�Q)f�5���2�2�c(#����������9��Q)+�4��)]����9����%�;&�V�������������������2� )+=&��%���>m�&����2�8���(��8�2�2�P�$)$����%������|�#�����������:�������� i /�����������9�������! #�<�5����%���9�9���$)|� i �����2���[�������(#�8�2�2�P�$)$��*',������&������$)+����&��%�1�9)+�2%�����%���$)$�&��� i ���X9������%���9����X9����<["�������������{���������������2� )+=&��:9���8��%�������������4�������� i[i9�����������<, O �x��&�$�����5;&������9����F���!���2�����a��9���������2�&�����).�#��"!(#��%m����)+����o�5�[���[d'*', O �2���<��%�1�9)$��%<��(����U��c(#��5���8%�����(���$)+�4������8����%����������)f�',

�8���2B�K�L�M���J����[���P���X��L�����I�B�QEHB�K5�HL:BHI��D�HM�L�C5��L�J��2C5K�L&BHL�Bm�2J��DJ<K�L�����J���J�M��H�2BHJ<�2��K�J<K�N

@.����)+��eU��c(#�2���������H�$)+���)�/���������� )f��%����Qy[����)f������R[����� )s���x9���$)+�2%Q���2���������)����P�v���������<����%����������P���#)$�����2����������%�������������2� )$�Q) ℵℵℵℵ � ��9���[�m/����8� i ���#)$��$(#���������P�V���������&�5������P�.����)+������5d�������%���F�/���������R������ )$�H������ i ����������������������7���;&��?�����R[����� )s, O �P�.9�#��)f�.���m��/����<�$)]����)$��$(#���X��>���)$���m�c�<����������)f�/������������9��&�F���������P�5����)$��F�X9����[� )$� �Z�',

O ����/����&�$)]������)$� )$������U���U��:��&�5�&�[9���%��2���H������8� i ����)$��$(#���#����� )$�Q)|�[�<�[d'*F,h �����Q)��#�v����)$��f(#����R[����� )Y/������P�F�c(#�����[��� �*��

9�������� ����)+������#�4.�2��Rq����%���>Y¡j¢ ��£ �+�#�[��*f #�H/�����;&��#���8%���[��&�[9�������1���%��2�\�#��"!(#��%��8/������ i ��9�������2�2�8��������P�V9����)f�.�����[���[d'*',¤\�.�����4��H%������W�����������2�<�u Y�<��������%��������a���aR�������S����"!(#��%��a�����w)$��)f�����P��9����)f��[��� �*6%����¥�&�6�����$)+��n�o���nR[����#��olH,a-�/����&�$)��9���������2��������):�#��"!(#��%m���������)$���! 3/����D���P������)$��$(����P��[���[d'* �¦�[��� �* )+���<������ �2� ���Q)$���! �� �����������������c�#�2�2� )$�Q)+*¦%�����<��������� )$�Q)s,§¤\� ����[9����������)�������$(#��v/���� �2� %�������������2� )$�Q)¨� i �#�©����)$��f(#��� ;<���������9�����������)����a��� ���c(#�a�����<��� )P����ª.���:%����Qy[����)����)+��)f�����P�����������&��������P������)+��x� ��dD���3)$�D�����¡Z�������������)f��/����x���:%����Qy[����)«���Y)+��)f�����2�����������<���������������)+��Dl}��d������w�[���}��/����&�$)«%��&���.�2�xR+����%���>¡�¢x¬�¬�­® �£Hl �$���#�������P�$)+��8���8%���[��&�[9�������1���%��2�\�#��"!(#��%��8���&��� )4yf������*',

-n9���$)$�4�� i ��/���"2�V9���%x�&�«)$�������¯/����x%&�����������9�������������$)+����/����x���.%����Qy[����)«���Y)+��)f����������������&�X������P�|)$������;8;&�5���8���8���Q)$���! #�8%�������������2� )$�Q)|/����8�[���[dF*',

-�/����<�$)|%���9��<)+����� )+=<������°������9���������2��������)H�#��"!(#��%8/�����(#�8�������Q)±9���

²�³x´�µ_¶+· ¸ ´�¹$º

»�¼�½'¾ ¿

Page 36: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������������ ��������������� �� ��� ��������� �"!�#%$�& ��')( )*,+-�.�/0��-�����1�2��#435#��,��#��-�76� �!8 �!����:9 � ���/�����#;�� ��< �� �>= !< ?�@�������8#����76� �!� �!/���A9 � +��B+-�7�5#��C��-�,�7�4!�#.$�& ��')( � = �< �!����,���-�@���764!��,�ED5FG#. �!/��5� ���H;�5!/����?I/J�,�2#�!��/!/)�K< ��,�?���� E �!/ = ��#���L<#����,�M�5#�NPO��-���QD

9' &

' �

' &

R ��#-���,�@!�#;� �B= �-��!<�S�!<���5�T �!������,����!.�,����#�O5!Q����T�-������UV��!��2��#;���Q W�X��!< Y�5# = �/W�@IQ)D[Z7!.�\��@�1��!��P���?�@��#-!< ��?H;�5!2]^�E������������� ��_/�1�`�����a�?����#1b��5#;�6��Q�! = !< B��#;�� ��-�;���T

ℵℵℵℵ c �����a� = ����@!< B���< �����#d�/��� ��<#-��E��#-� � � ���P��NX�E*,��#;�e!< �O����X$�& ��')( O��.�!< eO��T = !< f��!�����#-�, f���8���< �����#-���,� ���1�g��!8�E*,��#;��!< �O����A�5#�� ���1�g�����ih$���#��,���,���d��!?j�k�l5m�nol�p�p�q ( DsrtI/A���< �����!/X���\��1�[0����-#- = �!���!���!�#;�eB��!����d��� �!<#�H;�5!f$�& ��')( #��8����\`��IM�5#-����< �����#����,� ���1�Yh � ���#�UuH;�5!�H;�5���\�!vO��-�X��#;��!< eO�������!����-#��-� �\�5�%�E��#�� ��� � ���P�5N����-�C!�������#1b��5#;�Y���1��!��P�"�-!#��-�76� �!/8 �!����\ � ��!<#�!�#w�,�u�@�1��!��P���u�/�< �����#����,� ���1�xD�yC�@IQ��u�@I/ � �,�%#��z!�#;�5�@!< ��16��,�,� ���1�{��!u$�& ��')(��!����d��� �!<#�H;�5!?hfIQ`�5#@���< �����#����������!< �!�#;�`��!

ℵℵℵℵ c DQ����#;���� ��= !< `���<#;� � !/����1O��?� = �5#;�`��!?����#-��� ����T A�5#��bx!< ��< �H;�5�,�?��!��\J#��-�76� �!/`�� ��<#-�����#�� �x)D

| �;��!/B��H;�5!/���!/B����#-��,��!< ��������-#-X�����@!�#���!�#��f����#��< B�,�P�5�}�f�,�?������!< �L�#-���,�?!�#;�� �!?����#1bE�5#;�eB�-!#��-�76� �!/f ��������-#-���\W��#��-�76� �!/��T � ��������-#����\ � �5#-��������!< �L<#����,�.H;�5!~O����@IQW!�#��,�,K.��!�����!1�Y��!�H;�5!.!/�����#1bE�5#;����!�#����76� �!QW ���������#-���\ = ���Y!/����< W!1� = �!/0��1�������C��!����,�@���\���!< �����#-���\��u �! = !���� �e���!��2�-!�� � ���������#-���\BH;�5!2#�� = �-��!<#@�!< ��E+��D

�����)���

�����

��−

−=

Page 37: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������� ������������������������������ �������

!#"%$'&)(�*,+.-0/21435"76819+.:%"%$'&;:%(�$=<>14$'&?+�@�-�:%"0*.@�35$�"%AB3 &C"=&;@�35D>-%*.-0$'&;"ℵℵℵℵ E (�F�3�"%A,G%H8IJG�-%$LKM"N&)*.(26M"0*,3$�(O1M$P+.35$�QO&C('&C"L1M$�"R-S+.:%"%AB"8TVUW3YX4Z,@�(�$�:S+.[�!#"%$'&C(�*W@8-%\](^+C&)*."=KM"R_'14-R-=XM3`+C&C3B-%$ :%"0*.@�35$�"%A`+a&)*."0$�+.D>35$�3 &b+\�"?<?(�*c+.[�3�"�\�d8+.[�-0$]_'14"%$'&C3 &C"=&?+e35$�:0*.-gf564AB-8+hTjikA�*.-S+C14A &C"=&VKM"W+c-0*�"0$�(�\]-%$�"=&;-%A�l�m%n�o0mSp q]rVm�sWq�t^u.n�o;<v"_'14-�dS+�-%A�*.-S+C14A &C"=&w\]d8+�-=XM:S-%ABxyAB-%$'&;_'14-�z�*>(26M"=6MAB-%\�-%$'&w{�"0/�3^:%(�$'&C-%\z�AB"=&wA5"N&C-%(8*>3B"�@�-�:%(�$=<|14$'&?+hT

} *>35\�-0*�@�-%D|35$�35*.-%\~14$]:%(�$�:%-0z2&C-�35$�@�3`+>z�-%$^+."g6MAB-�z�-0*�"%_'14-S+C&^&C-0(�*.-0\]"8T� -%D|35$�3B:%35Q � � (�$�"=&e1M$ :%(�$=<>14$'&�UW[V-%AeF%n�t2�=�Vt^u#�Vn8u.m%tVF0�BqR@�-UW[V@�-%D|35$�3 &�z^-0* }

[U

][Vd8+-%A�:%(�$=<>14$'&;@�-�&)('&?+e-%AB+,+C1�6M:%(�$=<>14$'&?+�@�-�U

UW3YXM� +c-%\�6MAB"764"S+C&C"0$'&k+.35\]z�AB-8T } -0*,-=XM-%\]z�AB-%[V+.3VU��{"0[ 6M[5:

}[�A5AB"gKM(�*c+�U�&CdH�+C1�6M:%(�$=<>14$'&?+,3^-SA:%(�$=<|14$'&wz�('&C�0$�:%3B"�@�-�U�dS+�-%A�:%(�$=<>14$'&wD|(�*.\]"=&wz�-0*�"%_'1M-S+C&?+;K8143 &�+C1�6M:%(�$=<>14$'&?+.[�dS+�"�@83y*0�

}[ �N�e� �.���8�>�^�0�8�.���0� �.�S�0�8�.��� ���0� �>��� �8�0�S�c�e� �8�0�S�.���y�e� �S�|�

!#(�$�:0*.-=&C-0\�_'14-]-%A�:%(�$=<>14$'&�68143 &C[ � [J3e-%Ae:%(�$=<>14$'&�U�-0$ +.3�+.Q�$ @�(^+�-%AB-%\�-%$'&?+�@�-%Ae:%(�$=<>14$'&z�('&C�0$�:%35"8�^"%3YXM��dS+#"%3YX4ZJ35$�@�-0z�-%$�@�-%$'&C\]-%$'&k@�-_'1435$ :%(�$=<>14$'&�U�:%(�$^+.35@�-0*.-%\RT�!#(�$�:0*.-=&C-%\�&C"%\�6Md_'19--%Ae:%(�$=<>14$'&�z�('&C�0$�:%35"�d8+�-%$�-%ABA�\�"=&C-%3YX 14$�:%(�$=<>14$'&bT�UW_'14-8+C&�D|-=&NdS+�D>�%:%3BA�@�-�@�-%3YX4"0*�z�-0*�"%A &�z�-0*.� -S+D|(�$�"%\�-%$'&C"%A�z�-0*�"%A�z�-0$^+."%\�-%$'&;@�-�!#"0$'&C(8*hT} (�@�-0\�KM-=1M*.- :%AB"0*."%\�-%$'&C[�z�-0A,$�(^+C&)*.- -=XM-%\z�AB- "%$'&C-0*.35(�*.[,_'14- -0A,:%(�$=<>14$'&az�('&C�0$�:%3B"�&C-�1M$�":%"0*.@�35$�"%AB3 &C"=&L\]"?<?(�* _'14-�A5"�@�-%A:%(�$=<>14$'&L\]"=&C-%3YX9T��N+ "�@83y*.[+.3WU :%(�$'&C- � -0A5-%\�-%$'&?+.[W-%AW:%(�$=<|14$'&z�('&C�0$�:%35"]:%(�$'&C-W¡M¢k��H�-%AB-%\�-%$'&?+hT'£L( dS+#@�3BD>ZB:%3BAJ@�-%\R(^+)&)*."0*#_'14-71M$R:%(�$=<>14$'&k@�-W¤�-%AB-%\�-%$'&?+k&C-W¡M¥k�G0¦§+C1�6M:%(�$=<>14$'&?+h��1M$�@�- ¨P-%AB-%\�-%$'&?+©&C- ¡4ªa� � ¡«+C186M:%(�$=<>14$'&?+c�,3�-%$P/�-%$�-0*."%A�14$�:%(�$=<|14$'&©"�@�-�$-%A5-%\�-%$'&?+;&C-�¡2¬k+C1�6M:%(�$=<|14$'&?+hT} (�@�-0\�-gX2z�*.-S+c+."0*�"%3YXM�R+.35\�6M��AB3B:S"%\�-%$'&w\]3 &y<b"%$�­%"%$'&w® }°¯ UW±J� ¡M²>³MT} -0*.��[,_'14-R(�:%(8*>*.-�+>3,U�dS+714$�" :%(�ABxyAB-%:%:%35Q�35$�D>35$�3 &C"S´ µ�Q�$P-%AB+]:%(�$=<|14$'&?+35$�D>35$�3 &?+.[,"%A#\�"=&C-%3¶X&C-0\z^+.[J\�-%$�(�*c+�_'14-]-%A`+W+c-=19+�:%(�$=<|14$'&?+#z�(2&C�0$�:%35-8+c´7i�Aw&C-%(�*.-0\]"]@�-]!#"%$'&C(�*�KM"]@�(�$�"0*�AB"*.-S+>z�(^+C&C"]""%_'14-S+C&C"�@�-S+."%D|3B"%$'&wz�*.-0/21M$'&C"8T

·· ··�¸¸ ¸¸�¹¹ ¹¹Wºº ºº�¸¸ ¸¸�»» »»½¼¼ ¼¼O¾¾ ¾¾ ¿¿ ¿¿,ÀÀ ÀÀ;¼¼ ¼¼�ÁÁÁÁV  Ãà ÃÃ^ÄÄ ÄÄÆÅÅ ÅÅ^ÇÇ ÇÇVÄÄ ÄÄwÈÈ ÈÈbÃà ÃÃ^ÄÄ ÄÄJÉÉ ÉÉWÊÊ ÊÊeÃà ÃÃVËË ËË^ÌÌ ÌÌ| ÂÂ�ÍÍ ÍÍVÎÎ ÎÎ�ÇÇ ÇÇVÌÌ ÌÌ.ÏÏ ÏÏeÌÌ ÌÌ`ÌÌ ÌÌ|ËË ËË�ÎÎ ÎÎ�ÇÇ ÇÇJÐÐ ÐÐS  ® ¼¼ ¼¼ÒÑÑÑÑ ® P ÓÓ ÓÓ ¼¼ ¼¼ÕÔÔ ÔÔ

Demostració: } -0*�"0*>*>3Y6M"0*,"W"%_'14-S+C&C"W:%(�$�:%A 19+.35QR{�-%\Ö@�-a6M"8+."0*.×|$�(^+,-%$�A5"W@�-%D>35$�3B:%35QR@�-W!#"%$'&C(�*+.(262*.- A|ØB-8+C&)*>35:=&C" @�-S+.35/219"%A &C"=&�@�-%AB+R:%"0*.@�35$�"%A`+�&)*."0$�+.D>35$�3 &?+.[�&C"%A�:%(�\Ù{�-%\Ù@�3 &�"%$'&C-0*.35(�*.\]-%$'&bT } (�@�-%\&)*>(26M"0*eD|�%:%3BAB\�-%$'&V1M$�"W:%(�*>*.-S+>z�(�$�@��0$�:%3B"N14$�ZYKM(�:%"W-%$'&)*>-�U�3M14$�"�z�"0*C&;@�- [ ]ÚÛ ÜVµ�3�U��

{"%[ 6M[5:%[5@8[5-%[BT5TyT

}[

z�(�@�-0\�"0z�"0*.-%ABAB"0*�A|Ø`-%AB-%\�-%$'&;"�"%\�6L-%AV+C1�64:%(�$=<>14$'&{"}[�-%A�-%AB-%\�-%$'&V6L"%\�6�-%AV+C1�64:%(�$=<|14$'&

{6}[�3�"%3YX9Z

Page 38: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

����������� ����������������������������������� ��"!#������� { � } $ { � } $ { � } $ �%�&�'�( ������)� �*�����+���,!#�-�������.����/�����10�"�)� ���10��(2��3 �4&���� �465%46������&7 3 8�) ����/(4*�9�������� ��"!#������� 3 :� $ 0�(2;�������=<>��@?A> P B ��CD�

E �&�'��������FG2 ����4 ���H���AI#J����64*�LKM�� 3 �H���.0'(2 3 ��. '���)2 �(2�������N� [ ]OP �� Q��(���6��R46�����"�����+�����(2 3 �&����46� ���"����ST(2����&���6���6�(2M����� 3 ��. U���)2 ���(�&7V�&� 3 �%2 �H��� 3'W ����+�X $ ����0� '� �(2 ��Y���-�4 W �0� '� �"�8Z����(2��8�3 (2 �����(2 ��[�������� ����)2 � 3 �&�����&7U�

\ ��0� '� (�]����^H+��*�������+@�����_�� �2#2 �#0� �� 3�` �����6�a����F��� ����^(���)2 b�) ��c�d�e�� �� [ ]OP f ST(2g��� ����)�&�����(2 $ Ih�(2 F6��i��Z_�&���)2 3 ���&�������jH+���.0�46 3 _46�@����0� '� �&���&7k� �������� 3 �_���l�j���*�����V�a�����2 (I#(2 ` �����6�:0� '�����2#�& �2��

������m�����1�n�����.����0� '� � 3 �1�� �2#2 �#0� �� 3�` �����6�e����F��� ����.����1�(0��(2 �4&46�e�) ����o(4*�o�46��������� 3 1����l�.�� ����9(4 3 [ ]OP f ���� p��(�q���� $ ���������m���r�(0��(2 �4&46�������� $ �(4%sp���'�9�46��������� 3 ��t0�(2����(�pu�����4�������� ��"!#�����M�(�l�b����g� W �(0��(2 �4646��'�-ST(2�"+���10�46 $ �AZ�M���V�46������� 3 �4/�� ��"!h����� { � $ � $ � $ 3 } �(�l�b4����^� W �(0��(2 �4646�m�vST(2A��4 �)2 �w���(� 3 � $ ��4&sp�����A�46��������� 3 V�x�� y0�(2)���(�pu���y��4*�g� "�;�g�������� ��"!#��������(0��(2 �4&46�"�����zST(2/"+���10�46 $ �:�� �Z�T���.�.��l�p2D 3 �4&���D"���:0��(2 �4646� { � $ � } �

{ ��2 �& '� �������� $ �������)��� 3 �&�� p�) ��.�6�����������&���*���)2 �:4&����46�H�c0�(2/���(2h2#�����(2/��4&���� ����)2 � 3 �&�����&7 3 �46�3 ��. '���)2 ���(�&7 $ !���������(2 � 3 �Ih�&���%2D��k�4'�� ��"!#�����U| 3 o46���.����(2 ��� (sp}�����=<|~Z�1�49�� ��"!#����� 3 c�� ������/�� 3 �c��� 3 �4*�1�46��������� 3 �49�� ��"!#�����M m2#�%s��&����49�Y����g�� �Z�M�-�

����l��2 3 �4'�������� ��"!#�����T���l�c�4������� W �(0��(2 �4646��-�� �Ih(2 �&�����h�� '�9��46���� �2#2 �#0� �� 3�` �����6�����������N�6465%4��-���)2 �"�T�(����(2#�& �2 �.���� $ ����6��N�������0�(2�������u

�8| $ �(4��&sp����4�����M�c��!�������:�� �Z�T���.�46������� 3 {3} � $ 3 �L����:�� ��)��J�(�.�4��� ��"!h�����U�m��� � � ��IL�G������ gZ�n���A����l��2 3 { � $ � $ ! $ �&�&� } � �c����4%s�2 �"�L�) �� $ �1��LI/�� A0� 3 (�g� (2o��46���� �&I#�6��"���o�� ��N�1����l��2 m�

�U�&�D���D�H���L��/� �U�&�D���D�H���L�� [ ]�� �6� �L���%�#�m�h���m���������m�"���L���m�

 ¡¢£¤¥¦§§

{¡p¨ ¢ }

{£}

{   ¨ ¡�¨ ¢ ¨&£ }{ }©{   ¨ ¢ ¨%¥h¨ ¦ ¨ §&§&§ }{¡p¨%ª&¨ «�¨ §&§&§ }§§

Page 39: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

���������� ������������������������������������! "�� $#&%'�(�����)��*��+,����-{��� #.�/���/�

}�0���1�0 "�+-2��35476839-2�� $#.�������

��*��+,����-{ : ���/�1�<;,�<=>��?/?/? } %'���A@>���+-B35C.�� "����-�?

D ���� ����E�2-2�� "�����1%'�"���F=>���>�1%'�"���G��*��+,����-H���$�JI{�1� #.�/���<=>��?/?<?

}?�KL�1%M�2�.@>*N�'�O-2�P�1�Q�.�(��35C������

"�E�R#�S��'3��T�U�E���'3� �@>���� "����-V�.�W�2�>#���*��+,����-R�����M*�%'3<=>3/�>���M6�?9X9�W��*��>�'�� �Y�Z��>��3����H�[@>�1%2-2�1�&\]�����*��+,����-�@>*�-2Z1����3/�^���^6_�V3V��354.`��^�����1@>�1%'Z�354��1%(�1�a���<=&���b���/*>�^���^�/�^��*>� �� ��>�^���^���^�E%'�+-2�^������1@>�1%'���/���� "����-L �*N�2-B%'�O-�?cKL�1%Ad���e��� f��*> ����>g��+-h�2�.@>*N�'�1��-L ����H-2�1��`��� J�����_��*�%A%'���A@>*�����Z1����3��H����`5C.*N�����3F��354�`F��*������/*>�� ��) ����(���!���(��*>� �� ��>�(���(���(�E�' ����1%'%'���0e��(�N���i4.3��2-23<%����/=&���!������ "����-_\7���!68 �����j���1@>�1%'������3N�� $#V�$k

6M%'�Fe>�� l���F@�%'�1=&����-2�1%P�/�M �Y����2-23/m�3/���i4.*�%'�+#.����kn�oFp�qWrNsut�v,t�wxtNszy_{�t!|_}>~

KL�1%0�2�.@>*N�'�O-2���+4.3��2-2��354.������*N�P@�*N���'35#.3���3 -2�+-��j?�)���!� � �.@�*N�'�1 l �����\$��*"���G�1���� "����-L���H�

� ���iC.*�%��'�G@>�1%M�/����*N�2-B%'�����1;,3/��3���3/m!3/��3���3����)��������*> ��E?/?/?-B*�-H30�������������������V������ "����-��V�������*��+,����-h*�%A3<=>3/�>����6a ����_��*����h���" "�� $#&%'�_�>������*��+A����-h�� $#����� ������j���1@>�1%'���/�������.C���3��� � ����_��\Q������M���M��*��N�'3����1%'�1%G ��� $#.%'�M���H���>��*������h\R��*"���G������ &�����2-L�����'�&�.�� "�� $#&%'�M�>���N��*��+,����-L�� $#R���N ��3�j���1@>�1%'�������E?

6_ $#7��� -B%'���F@>�1%'�+�����E�'�G�'3)�2�.@>*N�'�� � ���R\T��*x���2-2S"�������P��*������/*&�.%'�� 8 ����R\Te>���'���'�1%M;A�+- "�� $#.%'�M���H��?�6_354.d"���L�.���M��*���-B%'���E3�����3/m"*&#.�1%2-2�F��3>�1354�`�%'�i#E��-<��1%'�� l���N���E�M�F��*� l3/ �@>*N���'35#����E?�)���(� � �.@�*N�'�� l �����\$���L���������� "����-L���H�

D �V��*&�T�1�N�)%'��;,�1%'3� ����P�1%'3 -2�1%'3z������*�����3���3/m(���� "�� R#&%'�V@>�1%a����?>�j�� ��������P���E�)�x�2�.@>*N��� �����\R�E�2-2�_�1�$���N�/���iC.*�%��9\Re��_���_��*> V@>��3/%0�����1%'3 -2�1%'3����_ ��� $#.%'�E?��H�0�_��3<%'��\R��*����h�.�"������ "����-h�������*��+,����-h�� $#Q���� ������1���1@>�1%'�������E?�KL�1%'d>�N�����'�1;,*�%2-��.�������1 "����-2�N���N��*��+A����-h�� $#Q���� �����\Q�1���1@>�1%'�������V�E����&\$��354�`.\R��*�@�*�-h�'�1%��.�� ��� $#.%'�M�����>��*��+A����-���?

D ���� ����E�2-2�_;,*�%' �������*> �����g�����-9�� $#Q����e�3/@>d�-2���'3������z�����0�����V �����\����2-2SV�1���������>��C.��3��� *&#.�/3/=>�+-��G�M��*������/*&�.%'�M ����F��*����2-2SF�1����? D �F��*&�����1�>�Pe��� f;,3����+-L�1�������+���>���_�'���E?6_�/=&�����V��*N�'�_���9-2�1%A%A35#.���� "����-h�1%A%'d���3/�E?�X����0���E�'*N�_�M3��>�N�����9����3����0@>*N���'35#.���E�'�N��*���������354������

��*���-B%'���E3/����3/*>�N�j? D �����>�� � ��������x���/=&���x �*> "����-������,���1%A=&�� "����-2����3/mxe��� �����*�@&-2�O-)�.���"e�3/@>d&-2���'3�1%A%Ad���3��E?�X9��@�%'*&#.�/�� "�����E�'�����N�'������ �����e��� ����.@>*N�'�+-������a���1��@�%'3/�>��3/@>3! ������i4.3��2-23/�����>�

???\????

???�????

Page 40: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

���������� ����������������������������������� �"!#� [ ]$% &(' !)���*�+� ���������� ����,�-�����-.0/�������+� �+��12�3��4-�����56����3��7�����+�+�/��- �8(�+�����9,���0 ����3;:����+�+�2�3�+��4����������� ����������������,<

= �-����4�56����+>?����5A@��-�������B4-,�"���*�+� ���"��������4��C��-�����"��67���ED�!GFHD(IKJ�!ML"�ND�!GOHD(IKJ�!MLQPR/��5���50�*�+� ��S�3�4(�+�����50�����TU�����+�,��9� ���N��7�����4��VW����4������;X������Y!M>0D�!)Z[D(IKJ�!ML &

Que implica tot això?: !M5A@\�+���A����:�8]TU�����+�,�A���^���50�*�+� ����67���H�-����� ����������+50����A���4�����;X������37���M�Q_���`���a��*�-����������4-56����+>��4*�;�b�����;X������Y ����+�Q���������+���+� ���-�;�+��50����R������50�cXc���d��������-����4�� �+�;�e<

f �E �����;��4-,�N ��8� ��-���9g-g2g-hWikj�j�l�mbnpo�q(ikm�l(i�r�q(i�stn�l(i�u�swv�q(u�jyxSh�z�l�j3{N|KhWxd}Bl�s(}Bl(xVu�~�q(iHu�j�s�~;h�m�l(i�r�q(i�sC��u��A��q(i�u}Bl�s-�Wi�m��yu���mWu�~Vn��yi�u�j���s�u�s �MxSqc}BhW~S��l(~wu�jyu0n�hB{3gI3��t�+�����+>* �Q�U��� ���(@����w4�_�W:��50 �4�p�+�����?�+�5E R�K@,�Y����;�K�*_����������;X������K��5A@�56�cXc���U��������-����4�� �+�;�7���H��>U���]��56����+����5��4��67������,��;�c�6��\�4" �4��H�]�4��6�;��@�����\4�_�,�� ������ ���-����56��*��-������4�< f �\4�4-�*��*_�����:�8�>"��`���a��5��4������;X������MI3� � >��Q��>"�4"�����;X������A���� ���c�6�4����+��@������;X������c�6��� (�����c�6��\4�_��-���+��c����4� � >��Q��>� ���N�4(�+��,��56������"�[D�� � >��Q��Z[D(IY� � >��V�>,��/��5�� ���(@��;�*���0��������-����4(� ������a��-��� �350�cXc���Q<I3��8H�Q��0�����,����5��4da�;����V����������4d��67���A���H�����;X������B ����+�������-�6�,�>N���4�,�M�W�����������4��V>

X��C�+�+��50����M���\�����;X������e<tI3����+�����+>"�4U ���������0 ��(���Q �;� �2���H�����*������������A�4"�����;X������� ����+���������H���[ � � >��Q� ] >U���0���,�2�>U�4U�����;X���������b� ���c�0�4��6�+��@������;X������c�0���4U�����;X���������b� ���c�0�4��6�+��@������;X������c�0��� � >��Q�V< f ��������[7������`(�����50����"�����[����4��24�������-.�@����+�+�����p������a��C���>w4��[���50�*�+� ������-.������+���-���M�-���������

7���

[ ] � ¡¢££ ¢ ¡   � ¤¤ <

!M5A@���7�����+�3�������(@(���56�����Xc�M���0/��*/��W�����M7����� ������U��¥M�����`��TU����� ���Q<�¦Q��7����>�8(@,������56���� ������5§�� �;� �2�d�4� ���������d��"a����50���-�����a��-��������>�`�����������+>��*_���7�����+�+�"a�����50��>(�����������������������:�����S9

[ ] [ ][ ][ ] ¨-¨y¨©ª«¬­©ª«¬­­ ¬ « ª ©® <<<<<ℵ ¯¯¯¯¯°

!M��:��*�������,�dT"�����+�,�N���A�+���6���4��d/��W�����M�(@���+�3�4�����50�R ���d��4� ���-56��d��������-����4�� ����*�a��-��� �3� ℵℵℵℵ ±e²³d´�µ,¶�·�¸¹�¶"·�µ�¸�º�»�³-»�¼�³-»�³ ½�¾�¿AÀ�º�»�¾0Á�¸¾�»�´�Â�¸³�¾6¿6¾cÃcÄ�¸MÅ�Æ�ÇÈd¶�³-»�ÉHÊ�º�µ6¾�Ê�º�µ,¶+½w½+µ�Ä,¸µ�¿0¾�È?·�µ�¸�¾�·�Ë-³�Ì�¾�Ì�³-ɸµ�·�µ;½ ³-´�¾�È�Á�¾�¸¾�»�½+µ�³�ÍEº�»�¾�Ì�¾�´�µ�»�¾�³-»�½+µ�¸¿0³-»�¾WÀ�Ë�µ�´�µ"»�Ä�¿AÀ�¸µ�¶3½ ¸¾�»�¶¼�³-»�³ ½e¶dÌ�¾�´�¾�Ì�Ä�·0¿0¾cÃcÄ�¸V¶QÎ

Page 41: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

������������ ����������������������������� "!

#�$&%('*)+'-,/.10324'6570(8:9<;='?>1'-,/.10@$&AB0C5�D�A�EGFH'-E&0C57%(AI9I)+FJ)�)+0C5�86KC5�5+AI9I)+0-0(;�5�%(A&$�2L.1$/M45�FH$&NFH$�F MO5+PQ '($/MRA&)S><'�'(%(A&$�570*TI.1FJ)SMR)+AI9<'*)�'(; MR)+0�%(A&D:.<$@D&)+AI9<;H0(86'GUCV"E&F=NL0*)+W($&%(F='�EYX='(; MR)+0C5Z%(A&D[5�'(,/.10C5\M]$&A:><'@5+0()%('*D�'(^_E&0`)+0C5+A�;HEG)+0_Fa0(;�D&)+0(A�%�.<D�bcM\'*$/Md%*A&8e;='_'*D�'()+FH%(FHfgE&0_;=0C56D�'*)+'(E&AIh<0G5�U�i:0_N0�M\P3><'_A�%�.<D�'*);X�'�M\0*$&%(FHfjE&0 Q '($/M\A&)ZE/.<)+'*$/M�'*$Ik<5�F�'($Ik15�U�Va;HTI.1$�5�%*)+0?.10*$l,/.10m><'n2L.<T�'*)�.<$6D�'*D�0*)�F=8-D�A&)RM\'*$/M�0*$l0(;�55+0�.o5�D�0*)+pHA�E&0G5�E&0-E&0*D&)+0C5�5+FHfB860($/M\'(;�U<#n;Y)+0C5\.1; M\'�Mn0C5�%(A&$&0(Fqhc'*)+'-%(A&8r;='-s(t&FHD�uIM\0C5LF�E&0(;�v(wIx1yHz{x<|&|I}m~E&0 Q '*$/M\A&)7U

��'�t&FHD�uIM\0C5+F�E&0(;&v(wIx1yHz{x<|&|I}�5+A[5\M\K�,/.10�Y�-�[�[�Y�@�Y�l�(�&�*�Y�=�Y�G���+�*�&���+�L�=�Y�H���Y�Y���(�&�=�&�Y���?���{���=�(�=�&�l�(�Y�[�(�[�+�*� ℵℵℵℵ �� �� ��� U

#�$�'(,/.10C5\M:5+0($/MRF M\P�;H'Bt&FJD�uIM\0C5+F�5\.<T&T�0*)+0(Fqh�,/.10B0(;�5-%C'*)+E&FH$&'(;�5ℵℵℵℵ � F � 0C5-%(A�8@D�A&)\M\0*$�8-A&;qM5+FH86F=;='*)+860($/M�'(;=5�$&A�8:9I)+0G5�0($/M\0*)75� lFZ�CU�Va,/.10G5\M45�5+f&$l0(;�5�E&A[5ZD&)+FH860*)75�$&A�8:9I)+0C5�0($/M\0*)75�NFH$�F M45�F�%('(D

'(; MR)+0"0*$/M\0*)_D&A/McFH$/MR)LA�E/.<FJ)+¡+5+0"0($/MR)+0"0(;H;�5�Um��'"t&FHD�uIMR0C5+FlE&0 Q '($/M\AG)¢5\.<T&T�0*)LFH'",/.10"0(;�5£5+0�.]5�E&A[5MR)+'*$�5+NFH$�F M4512.<T['?><0($m.<$@D�'*D�0*)Z5+0(8:91;='($/MOU

i:F M3E[Xq.1$&'6'(; MR)+0686'($&0*)+'(P�;='6t&FHD�uIM\0C5LF�E&0(;�v(wIx1yHz{x<|&|I}¤'(NFH)+86'?><'6,/.106,/.1'(;�570?><A�;�5\.�91%(A&$�2.1$IMFH$�NFH$�F MdE�0(;�5l$&A�8:9I)+0C5l)+0('(;�5lAgKC5l$/.1860*)+'?9<;=0(P�KC5j'�E&FJ)dM\0_%('*)+E&FH$&'(;=F M\'�M

ℵℵℵℵ � P�A£D�A/M¥5+0*)6D&A[5+'�Md0*$%(A&))+0C5LD�A&$&E&W*$&%(F='�.1$&pq><A�%('g'(8:9�¦L &PL��§+P-KC5`'£E&FH)¨M\0£%('*)+E&FH$&'(;=F M\'�M � U3©dA�t&F6t�'ª.1$&'£D�A[575+Fq9<F=;=F M\'�MFH$/M\0*)+86W(E&F='GU

Q '($/MRA&):><'ch<A�%('*)6%(A&$/MR)+'`'(,/.10C5\MmD&)LAI9<;H0(86'B)+0*D�0�M\FHE�0C5d><0*T�'(E&0G56'(;�;=;='*)LT£E&0_;='_570?><'BT&)+'C$%('*)L)+0*)+'�8-'�M\0(8-b�M\FH%('GUn«:$gE&0(;�5`5+0�.]5lT&)+'*$[5j'�M\'(%C5¬>1'­M\0*$&FJ)j;=;HA�%�'(;j�(®&®C��Pa;X='($Ik¯E�0(;-5+0�.¯D&)+F=860*)0*$&NA�$�5+'(860($/M3$�0*)\><FHfY5�UYV�;X�'*T�A[5\M°E&0*;�86'�M\0(Fqh­'($Ik<P Q '($/MRA&)3MRFH$GTI.1Kl;='lF=8-D&)+0C575+FHf_E&0l,/.o06t&A`t�'?><F=''(%(A&$�5+0*TI.1F MmFn><'B0C5+%*)+Fq.<)+0B'¬.<$�'(8-F=%(P�±°.o5\M\'�>_²ªF M�M\'*T�¡R��0(NNL;=0*)+P�0�hID�;HF=%C'($/M\¡;HF�0(;�MR)+FHA�8-N+US³S0*)+u&P´Mµ)+0C5860G5+A[5l8-KG5dM\'*)+E&P3><'_0C57%*)+F .<)+0c.1$&'¢5+0*T�A&$&'�%('*)\M\'_0*$£;='�,/.10cM\0*$&F='c.1$&'�E&0(8-A[5\MR)+'(%(FHfgE&0_,/.10_;�'t&FHD�uIM\0C5LF�E&0(;�%(A&$/M\FH$&$/.18�0*)+'-N'(;�57'GU�Va,/.10G5\MnE&0C5LD�;H'(^('(860($/M�)+'(EGFH%C'(;�0($j;=0C5�570?><0C5�A&D�FH$&FHA�$�53><'-E/.<)+'*)5+A&;='(860($/Mj.<$¶E&FH'(P-)+0*)+'g0(;6,/.1'(;l0C5+%*)+FHTI.1Kg'(; MR)+0g%(A&D·'�²ªF M�M\'*T�¡R��0*NNL;=0*)_'(%(%(0*DIM\'*$/Mc,/.10g;H0C5_E&A[5E&0(8-A[5\MR)+'(%*FHA&$[5at&'?><F=0($_0C5\M\'�M°0*)L)Lu&$&FH0G5�U�Va;�)+0(%(A&$&W(Fqh10()a'(,/.10C5\M45a0*)L)+A&)75�8-'�M\0(86b�MRF=%C5 Q '($/M\AG)a0*$&%('*)7'$&Al5+'�9<F='a5+F[;='a5+0?><'�t&FHD�uIM\0C5+F60*)+'�%(0*)RM\'GU

¸ F Q '($/M\A&)�t&'*TI.1KC5aE&0(8-A[5\MR)+'�M°'(,/.10C5RM\'6t&FHD�u/M\0C5+FHP�t�'*T<.1KC5�D�A&TI.&MRP�D�0*)a0�h<0(8@D�;=0(P�E&0�M\0*)L8-FH$�'()NLb(%(F=;=860($/M¹;H'º%('*)+E&FH$&'(;=F M\'�M¹E&0(;�5e$&A�8:9I)+0C5»MR)+'*$�57%(0*$&E�0($/M\'(;=5e¦L%(A�8 '*)+'

π§�U�#n;=5e$&A�8:9I)+0G5

MR)+'*$�5+%(0($&E&0($/M\'(;=5ZNA&)+8-0($:.1$6%(A&$�2.1$/MS$&Al0*$/.1860*)+'�9<;=0@E&0(;�5�$&A�8:9I)+0C5�)+0('(;�5ZFHP�D�0*)´M\'*$/M\P&$&A:M\0*$&0*$686KG5)+0(8-0(F�,/.o0mM\0*$&FJ)�%('*)+E&FH$&'(;=F M\'�M � U<¼:'�.<)LFH'-0C5\M\'�M�MRA/M´8-A�;qM´Nb(%(F=;�5+F Q '($/M\A&)Zt&'*TI.1KC5�D�A&TI.&M�E&0*8-A[5\MR)+'*)�;H'5+0?><'�t&FHD�uIM\0C5+F�U

³S0*)+u_86'(F�t&A½><'BNL0*)�US²ª'(;HT&)+'�Mm0*;�565+0�.]5@t�0*)+%�.1;HF�5¾0G5+NA&)+^(A[5+P�5+0GXH$�'($&'*)-'B;='¬M\A&8m91'B;H;q.1$<kE[X=t&'?><0*)�E&0(8-AY5\MR)+'�M�0(;[)+0G5\.1; M\'�M�E&0(;Y,/.o0¿M\'*$j'aD&)+A&Dlt�'�><F='-0C5\M\'�M�'*$Ik15�'?9<'($[5�U�Va,/.10C5\M\'@NAI.¨;='@86'424A�)AI915+0C5�5+FHf6F�N�)\.o5\MR)+'(%(FHf6E&0�;H'a5+0?><'°><F=E&'GU

Page 42: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

�������������� �������������������� ���������

"!$#�!&%('�)+*�,.-0/+1�23*�465"78*�!�):9�*�;<1.465=!�)?>6%@-BAC1EDF%G/+,H1.)?IJ1K)+*H/:'�!�/L5L1FMON8I3P.Q�R�R�SBTU-JIVDC*.)L5WAC1)+*�,�!�)�)+*I0X01�2W'�I�-Y,�1Z5L[�IJ*.9]\�*?'�)+!&D@I�*�23*H/^231Z5L*�2^[Z5L-J,H/3/+*�4�/_*?)+*H/+!�IJ\F)+*-`AC1-�\�*�465L-J#�-�,H1.)8��a�,�!�2b*�I�/\�*H/+1�#�-�1�23*�465c/8'�*.)W1�I�/W231Z5L*�2^[Z5L-J,F/W\�*�I</+*.9�I�*d/+*.9&eG*�4&5cMGfgI�'�)+-J23*.)W\�*IJ1I�I�-0/L5L1*.)+1?IJ1h�-J'�i65L*H/+-O\�*HI,�!�465=-J46%�%C2b\�*d;<1�465L!F)W1IJ1>6%C*jTU-�IVDC*.)L5YA@1d1�4�!�23*�4�1.)+k_MJMJMl%@4m5L*.!�)+*.2^12^!�I 5n'�I�1Z%l/+-VD@I�*d>6%C*�S</+*�4�/\6%�DF5L*�S�1Y'�*H/+1.)�\�*.I�/�*H/+#�!�)+o�!�/�2^pH/�-J465L*�4�/+!�/+S�4�-J4�9&q"h�181�,�!�4�/+*.9&%C- 5r\�*�2^!�/L5=)+1.)�stM

fB/+#�!�)+o.!�/<2^!�I 5u23pH/<-J465L*�4�/+!�/<*H/O9�1H/L5L1.)+-J*�4?1vD@1�4�/<\�*^>6%C*W*H/<,�!�2^*�4�,�*F/<1WI�I�1�4�o�1.)g%C4�1W23-�,H1\�*�IJIV%C2w/+!&D&)+*�1�>6%C*H/L5"1.'�1.)+*.465=23*�465j/+-J2W'�I�*m5L*�!�)+*t231FMgf`IY9�)+1.4$1vA@1�4�o�*F/"A@1K'�)+!�\6%C-x)?1�I3P�yH��Rz-A@-J4�9&%CpK\�*�I�1d'�IJ!�231K\�XV%C4$\�*�I0/3231Z5L*�2^[Z5L-J,F/323pF/3*v{F5=)+1�!F)+\F-J4�1.)+-0/?\�*�I|4�!�/L5=)+*�/+*.9�IJ*�SB}|%@)L5U7|~�\�*�Ik.P.Q�R����.P.Q���yHs_M�78~�\�*.IJSG%�5=-JI�- 5=�H1�465`IJ1"A@*.)_/+-J�d1v{@-J!�231Z5L- 5=�H1�\�1^\�*^I�1�5L*�!�):-J1^\�*^,�!�4Z�:%C465c/+S�\�*�2^!�/L5=)+[^>6%C*I�1|h�-J'�i&5L*H/:-�pH/�IJi�9�-�,�1�23*�465r,�!�4�/+-0/L5L*.465r1�2UD"*�I0/�1v{@-J!�2?*H/�\�*|IJ1B5L*�!�):-J1FM��B/�1|\�-x)+S�4�!^h�-�h�1vA@-�1|231�4�*.)+1�S1|'�1.)L5=-x)O\�*�I0/<1v{@-J!�23*H/O\�*8I�1�5L*�!F):-�18\�*�I0/<,�!�4Z�:%C465c/+S�\�*84�!?\�*�2^!�/L5=)+1.)OIJ1Wh�-J'�i&5L*H/:-�\�*�I�,�!�465L-J46%�%C2M���-h�1.9&%CpF/jA@-0/+,Z%�5";<1�465L!F)+S|1�>6%C*H/L5"\�*H/+,�!&D&):-J23*�465"I�X�h�1.9@%CpH/?*�4F9�)+*H/+,H1Z5U2�%CI 5L�0/t/+-�2^Su��1�>6%G*]/+*�2UDCI�1vAC1\�*�2^!�/L5=)+1.)�>6%C*|*.IJI�1�4�1vA@1Y'�*�I�,H1�2^��,�!�):)+*�,Z5L*HM

�r*.)+i�S�)+*�1.IJ23*�465�78~�\�*.Iu5L*.4�-�1I�1?)+1����"f`IO)+*H/L%CI 5L1Z5�\�*78~�\�*.IO,H*.)L5L1.2^*�465n4�!]\�*�2^!�/L5=)+1ZA@1I01h�-J'�i&5L*H/:-0M@�g1^>6eG*H/L5L-J��A@1W)+!�231�4�\F)+*^!&D@*.)L5L1W#�-J4�/Y1�IYP.Q���a�S�>6%C1.4*�I�231Z5L*�2^[Z5L-J,��r1Z%CI�;<!�h�*�4k.P.Q�aF����s\�*$IJ1��U4�-VAC*.)_/+- 5L1Z5�\�*��&5L1.4�#�!�)+\�A@1$\�*�2^!�/L5=)+1.)K>6%C*�S^1�'�1.)L5=-x)K\�*�I0/K1v{@-J!�23*F/K\�*$I�1�5L*�!F):-J1z\�*�I�/,�!�4Z��%C465c/+SY4�!$'�!�\F��*�2�5L1�2W'�!�,�\�*�2^!�/L5=)+1.)3I�1�h�-J'�i&5=*H/+-8\�*�I8,�!�465L-J46%�%C2Mgfg4z,�!�2UD@-J4�1�,�-J�z1�2UD�*HI5=)+*ZD@1�IJI\�*�78~�\�*�IJS?1�-V{@i�/+!�I %C,�-J!�4�1vAC1�I�1�>6eC*F/L5L-J��\�*�I�1�h�-J'�i&5L*H/:-?\�XV%C4�1�231�4�*.)+1�/L%C23231�23*�465/+!�):'�)+*.4�*.465���fg)+1.S�/:-J2^'�I�*�23*�465LS�-J4�\�*.'�*�4�\�*�465r\�*�I�/�'�)+-J4�,�-x'�-0/�\�*|I�1B5L*.!�):-J1|\�*�I0/�,�!�4Z�:%C465c/tM

N8-V{@i?h�1Z%@)+-J18\�*8#:*.)</+!�4�1.)u%@4�18,�1�2^'�1�4�18IJIV%C4&�@1�4�1�S�*.4�,�1.)+18>6%C*8#�1�23-�I�-�1.)tM6��4�/O\�!�/O2^-�I�1�4@�G/1ZD@1�4�/+Suf�%C,�IJ-�\�*F/Wh�1vA@-�1-J465=)+!�\6%��x5�*�IY/+*Z%�'�!�/L50%@IJ1Z5�\�*dIJ*F/8'�1.)+1�I��xI�*�I�*F/+SO-<I�*H/W9�*�4�*.)+1�,�-J!�4�/3/+*.9&eC*�465c/h�1vA@-�*�4�*�2^'�I�*�1Z5n*H/+#�!�)+o�!�/8-J4�,.)+*v�JDCI�*F/|'�*.)81\�*�\6%C-x)+�:I0!�\�*H/8\�*�I0/81�I 5=)+*F/|'�!�/L50%@IJ1Z5c/8\�*I�139�*�!�2^*Z5=)+-J1FM�r!�/=5L*.):-J!�):23*�465LS@A@1.)+*�2�/+1vD@*.)<>6%C*8*F/u5=)+1�,Z5L1ZA@18\�XV%C4�1W)+*�,�*.)+,�18-J2^'�!�/_/+-VDCI�*�S���1W>6%C*8*�I�'�!�/L50%@IJ1Z5u\�*8I�*F/'�1.)+1�I��xIJ*�I�*F/|pF/|-J4�\�*.'�*�4�\�*�465B\�X�1�>6%C*F/L5c/|1�I 5=)+*H/Y'�)+-J4�,�-x'�-0/t �4�-O*H/Y'�!&5B*H/L5L1ZD@IJ-x)84�-�)+*�#¡%�5L1.)+S�/+-J4��K>6%C*3*F/231�465Lp|1Y'�1.)=5LS�,.!�2�%C4�1|-JI�I�1|1|,�*.)L5L1|\F-�/L5L[.4�,�-�1|\�*|IJ1|,�!�/L5L1FM

�g1|h�-x'�i&5L*H/+-�\�*|;<1�465L!�)�!�,Z%@'�1B%@4�1Y'�!�/:-J,�-J�31�4�[�IJ!�9�1|*�4^*�I�2^��4^\�*|IJ1B5L*�!�):-J1|\�*|,�!�4Z�:%C465c/tM��`1/+*vA@181�\�!�'�,�-J�?*H/O,�!�4&A@*.)L5L*�-V{j*�4U%C4U5L*�2^18\�*8*�I�*�,H,�-J��S�4�!3'�*.)�4�*�,�*F/_/+- 5L1Z5LS�-�*H/gD@1F/+18*�43*�I0/�9&%l/L5L!�/O\�*,�1�\�1W231Z5L*�2^[Z5L-J,FM���-�'�)+*Z5L*.4�*�2�*v{&'�IJ!�)+1.)g%C4�1�5L*�!�):-J1^\�*W,�!�4Z�:%C465c/<*.4I�1W>6%C*^,�1.',�1.)+\�-J4�1�IG5=)+1.4�/+#�-J4�-V5/tX�-J465=)+!�\6%C*�-V{@-�*�465=)+*

ℵℵℵℵ ¢ -�,�S�'�!�\�*.2£'�*.)+#�*H,Z5L1�2^*�[email protected]�1�#:1.)OI�18h�-J'�i&5L*H/:-�\�*�I�,�!�465L-J46%�%C2�,�!�2¤%G4'�!�/=50%@IJ1Z5"-|1�-V{@�^/+1Z5L-�/+#:*.)?*�I|4�!�/L5=)+*�\�*H/:-x9�S|!�D@p�SY'�*.)31�I 5=)[email protected]�\�1�S8/+-|'�)+*�#�*.)+-�2¥%C4�1�1.'�)+!&{@-J231�,�-��\�-J#:*.)+*�465LS�5L1.2UDCpY'�!�\�*.2�'�*.)+#�*H,Z5L1.23*�465l)+*ZDF%�5 �c1.)+�:IJ1FM

fgIO'�1.)+1�I��xI�*�I�-0/_23*d1�2UD¦I�19�*�!�2^*Z5=):-J1d*Z%C,�I�-�\�-�1�4�1d-<4�!�*Z%C,.IJ-�\�-�1�4�1dpH/3/+!�):'�)+*.4�*�465�M�N8>6%C*H/L5L1/+- 50%C1�,�-J��*.4�/K/L%�D@23-J4�-0/L5=)+1�%@4�1]4�!&5L1ZD@I�*�,�!�4F4�*v{@-J��*.465=)+*�%@4�\�*�I0/'�)+!&D@IJ*�23*F/d2^pF/d#�1�2^!�/+!�/d\�*HI4�!�/L5=)+*8/+*.9�IJ*|-&%C4W'�)+!&D@IJ*�231|,�I�[F/_/+-�,|\�*|I�X�1�465L-x9�1|7|)+§�,�-01FM

Page 43: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

����� ����� ��������� ����������������� ������������ ��!#"$ ���%& �'���������(���'"�)���*+����%#'�"-,��."-"/���'��&�"/�����0 � ,�1%#�������������'��%#� �� � �243

57698:696<;>=@?�A�6>BDC#AFEG8�696�?�A:HJI�?�A�6K�L�M�N�A�O+A�O�A�6�P#A/Q�69AJRJR:SGT>A�K9A�=@UV;>AWP$X A�O�Y C#M�OVBZ8-O�M�P#M�69P[8;GO�8\BZ8]P#^�8-?�K_Y&`9^�K_6�P#K_O�abBZ8�=bEGc-?�A]P#A.P&d�A/C#8�?�8.e

f 8�6_Q�C#8FB�BDMVBDSA�6�PgAF;hY Cg8�^�i]P�O�M�?�K P#=WK_Oj;kA�K<lhA�O+C#A]P�A�6�6 A/Q�8FBm?�AJHJA�M�C&Q�AJL�8/OVBZM�C$e.5JK<lG`�UV;kAJN�M?�A�K<lGA�=n8�=bEo698�PgApTG8�d�C#q�d�K98hTG8�6_M�C#8�^�K_a�Sr8�6:s�t�t�t.Sr?�A�6_8uP#ApTG8�8F;>?�8�v�K_O�^p;GCgP#K_awA�OxA�6rC#A/Q�O�A�?�A�69MBDC#8/O�P#Y�K_O�K Bzy

La meva teoria roman tan firma com una roca ; cada dard que dirigeixen contra ella es tornarà contra qui el dispari. ¿Com és això? Perquè he estudiat totes les objeccions que s’han fet algun cop als nombres infinits ; i sobre tot perquè he seguit les seves arrels, per així dir-ho, fins a la primera causa infal· lible de totes les coses creades.

Page 44: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���

����������� �������

��������������� ��! "�!#�%$&�'��!($&)'����*,+-!#�. /,�0�213. 4�45�"�$6!(7�8 1�9,����:#8 $6!(:#8 !;��4=<>�?@���BA�A�A�A,4CD����?��B�(EF��� ��! GH�9,�����I/J���213. 4�4�K�K�KL8 :(�$&��9@�(9,��!;�M8 $&!'�2�B�#1@��"���?@"��ONO�("08 :(�@$P4�K�!QN#40NO����?��B�(E����;��42:;�(9,�2���M8 /J�2$R��'SO��!�%T���9@!�VUV��9�:(!#8;W'XY�;�I1@��B�(���QZ[�;�%��!]\Y!(9�^�9�_`D�(EF�;!("�a�b7;*,+5!7�c2`D!(�@�����dSO!("fedgM8;W'XY���V�2�B�9@�BEF��9@� ������_a����[Zh! �]�2�B�'SOi;�%��! "����I?@!9������j�+-9�:(���@9�!#�ke�GH��B����9@�("������(��8lm8 `D��$&!�B�on@:/�$&���,�2p@!#8;W(GH��9'Z�+-9,���&��! GH�9,�2����_qY"d���d��!"@��!]����"fN-!���h8rh+-�(9Pls�(9,+-!("O`H+-�0�Bb(9�:(/@!7&n@!���B�#8;W'qY"@T �B�(9P���,��!"@��!�GH�(9,�2����_���,��!"@��!("�tB9�EF��9@� ���T&8 ls����2u�9�!7�8,e�X]8 v&8 T���B:(u��#8#W'qw"�t�9�E���9@� �����B!x/��(:(! "����?���y����dNd�B!]�2�@�#�&�"@EF��9@�("�_vzSO!(9,�0+O�B�;�%$&�'��!($&b'����:(�#�.Jq]�B:(�("�!�B�;�%����B�fNO�#8�8�8�8Q���(:(����!("�1@��B�(u0�B�6��! GH�9,���#�M8GH��B"����Vj{"�!(� ���;�M8#W(T�!(����?6GH�9,�2���3�&"��xt�9�E���9@� �0+-�&��! "��&tF9�E���9�� ����_vzNd�B�(/��($|n�p@����p@�#8(W'qw"@�("�!1@/&��!("d�2��!($�1@��_�8JXY�x9��(:(��^@9>8GH��B"����ItB$&�7 rM�(/�9#p@!#8;W;}(~D+-ix1@�;�B� :(��9&!("@��9@EF��9@� ���@�_�8;vzSO�(9�:;!De�U{�B!;��1@!(:'���fSO�DSO��"08;�@And��!EF�(9��6T��$�N-��B�>8(W'XD����9�E���9@� ����_�8#cF�%!'�#�V!;�B:��� �V!9&� ���("��0)grM�QSO��!�%��!]XI+-:(�;�M8;W'qw"�tB9�EF��9@� ���@y�$&�'��!($&�'����:(�($6!(9,��! :(���F�B!(:'�2��y�EF�0�B��:(�($6!(9,��! ��9�:(�����B!(:��2�@�rM�($6!;�V`P8 ��!'K�$6�(9�8@n@��?@$6�#8JqY"@$�+-9����6��!x"��;�Vls�'��!($6b'�2��:(�#�.

W'qw"@v�9��("��0�����x1@���I!"@�dNO�0��1@��CD!��p@!("�!Qed_�8;a���" +-$��W'qw"@��9�E���9@� ���&1����{���9@�V���(/�9#_�8;a���" +-$��

rM�'+-$6!]UV���2���;8;Wv�$&1@"����(:(��^6��!]ls�'��!($&)'����*,+-!;�B_�8;��9PCD�'�0�O��"�"�!�B�'�Vc��H1@��2�2g�8J��!1@��2���$&!(9,�V��!ls�'��!($&)'����*,+-!;�It�qDn&r(8 CD�("�$6!;�M8

Page 45: L’Infinit. Gerard Salviajporta/Recerca/Infinits.pdfL’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona "!# $%?.

L’Infinit. Gerard Salvia Treball de Recerca. IES Jaume Balmes, Barcelona

���