ROMATO PARA LIBRO

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RAZONES Y PROPORCIONES

RAZN

Es la comparacin de 2 cantidades mediante una operacin aritmtica (sustraccin-divisin). Si es por sustraccin se denomina razn aritmtica y si es por divisin se denomina razn geomtrica.

Ejemplo:

Carlos pesa 60kg y su hermano pesa 15kg, comparar los pesos.

R. Aritmtica (Por sustraccin)

60 kg - 15 kg = 45 kg

R. Geomtrica (Por divisin)

En general:

Se dan 2 cantidades a y b cualesquiera

RAZN

AritmticaGeomtrica

a b = r

Donde:

a: antecedente

b: consecuente

r: razn aritmtica

k: razn geomtrica

PROPORCIN

Es la igualdad de 2 razones. Si ambas son aritmticas se denomina proporcin aritmtica; pero si ambas son geomtricas se denomina proporcin geomtrica.

PROPORCIN

AritmticaGeomtrica

a b = c - d Adems:

a + d = b + c

Adems:

a.d =b.c

Donde:a y d: Trminos extremos

b y c: Trminos medios

TIPOS DE PROPORCIONES

1. Discreta: Es cuando los trminos medios son diferentes.

2. Continua: Es cuando los trminos medios son iguales.

PROPORCIN ARITMTICA

DiscretaContinua

a b = c dd: cuarta diferencial de a; b y c.a b = b cb: media diferencial de a y c.

c: tercera diferencial de a y b.

PROPORCIN GEOMTRICA

DiscretaContinua

d:cuarta proporcional de a; b y c.

b:media proporcional de a y c.

c: tercera proporcional de a y b.

SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS EQUIVALENTES: (SRGE)

Es la igualdad de dos o ms razones geomtricas que poseen el mismo valor.

Sea la Serie de Razones Geomtricas Equivalentes

Donde:

a1, a2, a3.......... an: Antecedentes

b1, b2, b3 ......... bn: Consecuentes

k

: Constancia de proporcionalidad

Adems:

a1 = b1k

a2 = b2k

a3 = b3k

. .

. .

. .

an = ank

En el cual se cumple las siguientes propiedades:

I.

II.

Donde: n es el nmero de razones que se multiplican.PROPIEDADES

Sea la proporcin

Donde se cumple:I.

II.

III.

Nota:

1.Si no se indica el tipo de razn o proporcin se asume que es geomtrica2.Si

Se lee:

- a es a b como 5 es a 3.

- Dos nmeros estn en la razn que 5 y 3

- Dos nmeros estn en la relacin de 5 a 3

- Dos nmeros son entre si como 5 es a 3

- Dos nmeros son proporcionales a 5 y 3

- Por cada 5 bolas azules hay 3 bolas blancas.PROBLEMAS

1. En un campeonato se observa que por cada 3 varones hay 4 mujeres. Si en total han participado 98 jugadores, Cuntos son varones?

A) 42

B) 94 C) 45

D) 72

E) 80

2. Si se sabe que: y

A B = 560. Halle A

A)600 B)720 C)750

D)810

E)770

3. Abel le dice a Katia, mi edad es a tu edad como 2 es a 3, pero dentro de 10 aos ser como 4 es a 5. Halle la edad que tena Abel hace 3 aos.

A)5

B)7

C)9

D)11

E)13

4. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 cerdos hay 2 patos, si se aumentaran 33 gallinas estas seran tantas como los cerdos. Calcular cuntos patos hay en el corral.

A)12

B) 14 C)16

D)18

E)20

5. Un postulante anuncia meter un GOL en este examen de admisin, tomando en cuenta que:

G es la tercera proporcional de 343 y 49.

O es la media armnica de 70 y 30.

L es la media proporcional de 49 y 16.

Si U = G + O + L, este equivale a

A)48

B)57 C)84

D)77

E)74

6. Si a es la tercera proporcional de 20 y 30; b es la cuarta diferencial de 13, 9 y 24; c es la media proporcional de 16 y 4. Halle la cuarta proporcional de b, a y c.

A)20

B)12 C)18

D)15

E)25

7. La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la misma relacin que los nmeros 4, 2 y 9. Calcular la media diferencial de dichos nmeros ordenado de mayor a menor.

A)2

B)4 C)6

D)8

E)10

8. Se tiene la siguiente serie de razones geomtricas iguales:

Hallar la suma de los antecedentes,

Si: 2n + 3m p = 76

A)88 B)78 C)72

D)66 E)64

9. Si: y , halle b si los trminos son enteros.

A)28

B)26 C)35

D)20

E)14

10. Se tiene una serie de tres razones geomtricas equivalentes y continuas, donde cada consecuente es el doble de su respectivo antecedente, adems la suma de los extremos es 999. Calcule el mayor trmino.

A)884

B)885 C)886

D)758

E)888

11. Dada la siguiente serie de razones geomtricas iguales:

Calcule a.b.c, sabiendo que a+b+c=36

A)162

B) 4374 C) 1296 D) 1200 E) 134512. La diferencia entre el mayor y menor trmino de una proporcin geomtrica continua es 25, el otro trmino es 30. Calcule la suma de los trminos, si los 4 son enteros positivos?

A) 95 B) 100 C) 65

D) 125 E) 130

13. En una serie de tres razones geomtricas se sabe que la suma de los primeros antecedentes es igual al segundo consecuente, siendo ste el triple del primer consecuente. Calcule el ltimo antecedente si su respectivo consecuente es 28.

A)20 B)21

C)18

D)22

E)23

TAREA DOMICILIARIA

1. Entre Roco y Pilar recibieron S/. 380. Si lo que recibi la primera es a lo que recibi la segunda como 5 es a14, Cunto recibi cada una?

A) 100 y 280

B) 46 y 100C) 175 y 280

D) 60 y 30

E) 38 y 240

2. Dos nmeros son entre s como 8 y 5. Si se disminuye 30 a uno y 9 al otro, seran iguales. Cul es el valor de la razn aritmtica entre el doble del mayor y el triple el menor?

A)5 B)7 C)9

D)11 E)13

3. En una reunin la cantidad de varones y mujeres son entre s como 5 es a 7 respectivamente, luego de 2 horas se retiran 4 parejas y 4 mujeres, con lo cual ahora la relacin es de 4 a 5. Determinar la cantidad inicial de mujeres.

A) 35

B) 56 C) 28

D) 21

E) 49

4. Si la tercera diferencial de a y 10 es la media proporcional de (a+10) y 8. Calcule el valor de a.

A)5

B)6 C)7

D)8

E)9

5. Hallar (a+b+c), sabiendo que a es la media diferencial de 8 y 32; b es la tercera diferencial de 32 y a; c es la cuarta diferencial de a, b y 6.

A)22

B)20 C)24

D)26

E)28

6. Si la razn geomtrica entre A y B es 5/3 y entre B y C es 6/7 entonces la razn geomtrica entre A+B+C y A+C es:

A) 5/7 B) 3/7 C) 23/17

D) 11/10 E) 15/8

7. El nmero de canicas que tienen 3 nios son proporcionales a 4; 7 y 11, si cada nio tuviera 5 canicas ms, el nmero de canicas que tendran formaran una proporcin geomtrica continua. Cuntas canicas tiene en total?

A) 22 B) 44 C) 66 D) 88E) 110

8. Se tiene la siguiente serie de razones geomtricas iguales:

Halle la suma de los antecedentes

Si .

A)88 B)78 C)72

D)66 E)64

9. Si: y (a-m)(b-n)(c-p)=343,

Halle:

A) 6

B) 7 C) 8

D) 9

E) 10

10. Los volmenes que contiene dos recipientes estn en la relacin de 2 y 5. Si agregamos 33 litros a cada uno, la nueva relacin ser de 5 a 7. Calcule la cantidad de litros en la que excede el volumen de uno de los recipientes con respecto del otro.

A) 15

B) 18 C) 21 D) 24

E) 33

MAGNITUDES PROPORCIONALES

MAGNITUD

Es todo aquello que experimenta cambios y puede ser medido.CANTIDAD

Es la medida de un caso particular de la magnitud.

Ejemplo:

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES

I.Magnitudes Directamente Proporcionales (DP )

Se dice que 2 magnitudes son D.P. cuando el cociente de sus valores correspondientes es constante.

Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas la otra tambin aumenta (o disminuye) respectivamente.

Ejemplos:

Se observa que:

Grficamente

La grfica de 2 magnitudes D.P. resultan ser puntos sobre una lnea recta.

En general:

II.Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)

Se dice que 2 magnitudes son IP cuando el producto de sus valores correspondientes es constante.

Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas la otra disminuye ( o aumenta) respectivamente.

Ejemplo:

Se observa que:

5 x 60 = 10 x 30 = 15 x 20 = 50 x 6 = 300

Grficamente:

La grfica de 2 magnitudes IP resultan puntos sobre un hiprbola equiltera.

En general:

A IP B => (Valor de A) (Valor de B) = K

PROPIEDADES

I.Si A DP B => B DP A

Si A IP B) => B IP A

II:Si A IP B => A DP (1/B)

III.Si A DP B

A DP C

A DP D

IV.Si A DP B => An DP Bn

Si A IP B => An IP Bn

REPARTO PROPORCIONALREPARTO: Estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman ndices de proporcionalidad.

CLASES DE REPARTO

- Directo

Simple

- Inverso

Compuesto

1. REPARTO SIMPLE: El reparto es simple porque intervienen 2 magnitudes.

a. Reparto Simple Directo: Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los ndices de proporcionalidad.

Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:

1. Se suman los ndices.

2. Se divide la cantidad dada entre dicha suma siendo el cociente la constante de proporcionalidad (k).

3. Las partes se obtienen multiplicando cada ndice por la constante.

Ejemplo:

Repartir 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12.

D.P.

6k

750 7k

12k

......

25k

Atencin!: Si a todos los ndices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo nmero entonces el reparto no se altera.

b. Reparto Simple Inverso: Se hace en forma I.P. a los ndices, para ello se invierten los ndices y luego se efectan en reparto directo, como ya se conoce:

Ejemplo:

Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.

I.P. D.P.

i) mcm(2;3;6;10)=30

2. REPARTO COMPUESTO: En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos nmeros y a la vez en forma I.P. a otros.

Se procede de la siguiente manera:

1. Se convierte la relacin I.P. a D.P. (invirtiendo los ndices).

2. Se multiplican los ndices de las dos relaciones D.P.

3. Se efecta un reparto simple directo con los nuevos ndices.

Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.

PROBLEMAS

1. Si M es D.P. con N2 e I.P a , cuando M=4, N=8 y C=16. Hallar M, cuando N=12 y C=36.

A)6

B)12

C)9

D)8

E)4

2. Se sabe que A es I.P. a B2 para B6; A es D.P: a B para B6, adems cuando B=4, A=9. Halle el valor de A cuando B=96

A)49 B)50

C)56

D)64

E)72

3. El Gerente de un supermercado sabe que la ganancia obtenida mensualmente es inversamente proporcional al nmero de trabajadores y directamente proporcional a la cantidad de clientes que ingresan a comprar. El mes anterior se obtuvo una ganancia de s/. 17 200, teniendo a disposicin 50 trabajadores y se atendi 430 clientes. Si se quiere obtener una utilidad de s/. 21 600 al mes con 75 trabajadores a disposicin, cuntos clientes se deber atender?

A) 4 750

B) 8 100 C) 5 200

D) 13 500

E) 7 250

4. Sea F y G funciones de proporcionalidad directa e inversa respectivamente, tal que:

F (5) + F (6) = 110 y G (5) + G (6) = 22.

Halle

A)1

B) 2

C) 3

D) 10

E) 11

5. El siguiente cuadro muestra los valores que asumen las magnitudes A y B que guardan cierta relacin de proporcionalidad. Calcule m+n.

A18m945

B22525n36

A)948

B)950

C)952

D)956

E)954

6. En el siguiente grfico, halle .

SHAPE \* MERGEFORMAT

A) 60

B) 40

C) 20 D) 10

E) 87. Toito descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaos es directamente proporcional al nmero de invitados e inversamente proporcional a las horas que ocupa en preparar la reunin. Si la ltima vez gast 1200 soles, invit 100 personas y ocup 12 horas. Cunto ahorrar invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas ms?

A) 400

B) 420 C) 440

D) 460

E) 480

8. Un alumno de la Academia descubre una piedra preciosa cuyo valor es D.P. al cubo de su peso. Al soltarla se rompe en tres pedazos; el primero es los 2/3 del segundo y el segundo es 3/5 del tercero. Si la piedra tena un valor de S/.10000. Cul es la prdida en su valor?

A)S/. 8400

B)S/.8600 C)S/.9000

D)S/.9400

E)S/. 9200

9. Repartir S/. 15 500 I.P. a los nmeros ; y . Cuntos soles recibe el de la mayor parte?

A)S/. 7 500

B)S/. 5 000 C)S/ 4 500 D)S/. 3 600

E)S/. 5 700

10. Se reparte S/. 29064 entre tres personas de manera que lo que le toca a la primera es a la segunda como 6 es a 7 y lo que le toca a la segunda es a la tercera como 9 es a 8. Cunto le toca a la segunda?

A)9064

B)12340 C)10584

D)11530 E)10580

11. Por el aniversario de Huamanga, una autoridad desea distribuir 9450 nuevos soles a tres ciclista, proporcionalmente segn las velocidades con que recorren la misma distancia. Efectuado el recorrido resulta que el primero tard 3 horas; el segundo 5 horas y el tercero 6 horas. Cuntos nuevos soles recibir el ms veloz?

A)2950 nuevos soles B) 4200 nuevos soles

C) 3640 nuevos soles

D) 4500 nuevos soles

E) 3800 nuevos soles

12. Un padre premia a sus tres hijos que terminaron sus estudios secundarios y les reparte 520 dlares proporcionalmente al promedio obtenido en sus estudios. Cunto recibe cada uno si los promedios son: 12; 13 y 15?

A) $ 156; $ 169 y $ 195

B) $ 154; $ 169 y $ 197

C) $ 169; $ 196 y $ 155

D) $ 195; $ 158 y $ 167

E) $ 158; $ 168 y $ 194

13. Un padre antes de morir deja estipulado que su herencia se repartir entre sus tres hijos proporcionalmente a sus edades, siendo estos 12, 18 y 27 aos e inversamente proporcional a sus sueldos los cuales son: S/. 120, S/. 540 y S/. 360 respectivamente. Halle la herencia, si el hermano que gana ms que los otros dos recibi S/. 1800.

A)S/. 11 450

B)S/. 11 200 C)S/. 11 250

D)S/. 11 300

E)S/: 11 350

TAREA DOMICILIARIA1. Si A es D.P. a B y cuando A=36 entonces B=84. Hallar B cuando A=9.

A) 18

B) 12 C) 22

D) 20 E) 23

2. Si M es I.P. a N y cuando M=72 entonces N=14. Hallar N cuando M=9.

A) 108

B) 114 C) 110

D) 116 E) 112

3. Sabiendo que A2+B2 es D.P. a A2-B2, siendo la constante de proporcionalidad 13/5. Si A es D.P. a B. Entonces su constante de proporcionalidad es.

A)1/2

B)3/2 C)2

D)1

E)5/24. A y B son dos magnitudes tales que

A D.P. ; Si B144

A2 I.P. B ; Si B144

Si A es 5 cuando B=9. Halle el valor de A cuando B es 256.

A)10 B)16 C)15

D)12 E)18

5. El precio de un cuaderno varia en forma directamente proporcional al nmero de hojas que tiene e inversamente proporcional al cuadrado del nmero de cuadernos que se compran. Si cuando se compran 10 cuadernos de 50 hojas c/u. Se pagan 4,20 soles por c/u. Cuntos cuadernos de 80 hojas se podrn comprar al precio de 10,5 soles cada uno?

A)8

B)6 C)5

D)9

E)ms de 9

6. Un padre de familia desea repartir una herencia de S/. 7 400 a sus 3 hijos proporcionales a sus edades 16; 14; 10 y a sus ordenes de nacimientos respectivamente. Determinar la mayor parte recibida.

A)S/. 1 600

B)S/. 7 200 C)S/. 5 600

D)S/. 2 800

E)S/. 3 000

7. La capacidad de un condensador es directamente proporcional a su longitud L e inversamente proporcional a su seccin A. Qu sucede con la capacidad si L se hace la tercera parte y A se hace la sexta parte?

A)Se hace la mitad B) Se duplica C) Se cuadruplica

D)Se triplica E) No vara

8. Carlos es un empleado cuyo sueldo es D.P. al cuadrado de su edad. Si actualmente tiene 17 aos. Cuntos aos debern pasar para que su sueldo sea 9 veces el sueldo actual?

A)34 B)36 C)51

D)37

E)33

9. Se reparte 738 en forma directamente proporcional a las cantidades de modo que ellas estn en la relacin de 32 a 9. Hallar la suma de las cifras de la cantidad menor.

A)18 B)14 C)13

D)11

E)9

10. Se reparte 14 400 en forma I.P. a los nmeros: 2; 6; 12; 20; ...; 600. Cul es la suma de cifras de la mayor de las partes?

A)15 B)13 C)12

D)9

E)8

REGLA DE TRES

Es una aplicacin de las magnitudes proporcionales, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud comparando dos o ms magnitudes proporcionales.

Por lo general, un caso en regla de tres es el siguiente:

(Obreros) I.P. (Rendimiento)

(Obreros) I.P. (Das)

(Obreros) I.P. (h/d)

(Obreros) D.P. (Obra)

(Obreros) D.P. (Dificultad)

En consecuencia:Donde:

K: constante de proporcionalidad

PROBLEMAS

1. Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 obreros en 50 das, trabajando 8 horas diarias. Cuntos das tardara este ingeniero en construir 800 metros de carretera, con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple de dificultad, trabajando 2 horas ms por da?

A)68

B)72 C)75

D)64

E)82

2. Doce obreros hacen una obra en 21 das, en cuntos das harn la misma obra si 4 de los obreros elevan su rendimiento en 50%?

A)16

B)12

C)14

D)15

E)18

3. Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gast 12 soles. Cunto se gastar para pintar un cubo de 15 cm de arista?

A) S/.22 B) S/.20 C) S/.11

D) S/.27 E) S/. 104. El vino obtenido de un recipiente de forma cbica cuesta S/. 60. Cunto ms se pagara por un contenido en un recipiente tambin cbico pero con una arista doble que la anterior?

A)400

B)420

C)450

D)350 E)520

5. Pedro es el doble de rpido que Manuel y ste es el triple de rpido que Atilio. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Aritmtica en 12 das. En cuntos das Manuel y Atilio harn la misma tarea?

A)40 das

B)36 das C)30 das

D)28 das

E)24 das

6. Se sabe que 300 pantalones de doble costura pueden ser cocidos por 24 varones o 32 mujeres en 20 das laborando 9 horas por da. Calcule cuntas mujeres deben reforzar a 21 varones para cocer 200 pantalones de triple costura en 18 das laborando 8 horas diarias.

A)12

B)17 C)14

D)11

E)13

7. Un grupo de 20 hombres se comprometen en hacer una obra en 18 das. Si despus de 10 das de trabajo se retiraron 4 hombres. Con cuntos das de retrazo entregaron la obra?

A)1 da

B)2 das C)3 das

D)4 das

E)5 das

8. Doce obreros se comprometieron en levantar un muro en 25 das; pero, despus de trabajar 7 das, surge la renuncia de 4 obreros. Cuntos das tardar el resto de los obreros en terminar lo que falta de la obra?

A)27

B)20

C)21

D)18

E)24

9. 20 obreros pueden terminar una obra en 16 das, trabajando 6 horas diaria s. Si despus de haber trabajado 8 das todos los obreros son reemplazados por 12 obreros doblemente hbiles que los primeros y que trabajan 2 horas diarias ms, cuntos das antes de lo previsto terminarn la obra?

A) 1 da

B) 2 das C) 3 das

D) 4 das

E) 5 das

10. Una cuadrilla de 15 obreros pueden asfaltar en 20 das una pista, trabajando 7 h/d. Despus de trabajar 2 das, se acord que la obra quedar terminada 3 das antes de lo planeado, por lo que se contrat a tres obreros ms de doble rendimiento que los anteriores. De cuntas horas tendr que ser la jornada para terminar la obra en el plazo establecido?

A)8

B)6 C)10

D)5

E)9

11. Una cuadrilla de 10 obreros se comprometen a construir en 24 das cierta obra. Al cabo de 18 das slo han hecho 5/11 de la obra. Cuntos obreros tendrn que reforzar a la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?

A)26

B)38 C)13

D)18

E)20

12. Se sabe que 10 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectreas de trigo en 40 das. Despus de 10 das de trabajo se retiran 2 hombres y 6 mujeres. Determine con cuntos das de retraso se terminar la cosecha, si el trabajo que hace un hombre equivale al de 2 mujeres.

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15E) 16

13. Un grupo de obreros en 12 das han avanzado los 2/5 de una obra, si a partir de ese momento trabajan 5 obreros menos por lo que la obra se culminar con 2 das de retraso. Cuntos obreros trabajaban inicialmente?

A)32

B)45 C)50

D)36 E)40

14. Doce campesinos pueden arar un terreno en 23 das trabajando 3 h/d. Despus de 5 das se retiran 2 campesinos y 6 das despus de esto se contratan campesinos adicionales para terminar a tiempo. Halle cuntos campesinos ms se contrataron.

A)5 B)2 C)1

D)3 E)7

TAREA DOMICILIARIA

1. Si 30 obreros trabajando 10 horas diarias durante 16 das pueden asfaltar una carretera de 6 000 metros de largo. Cuntos hombres sern necesarios para asfaltar una carretera de 9 000 metros de largo, trabajando 8 horas diarias durante 18 das?

A) 20 B) 28 C) 37

D) 49E) 50

2. Si 20 obreros se demoran 15 das de 7 horas diarias de trabajo en sembrar 50 m2 de terreno, cuntos das de 8 horas diarias de trabajo se demoraran en sembrar 80 m2, 15 obreros doblemente eficientes?

A) 12 das B) 13 das

C) 14 das

D) 15 dasE) 16 das

3. Trabajando 10 horas diarias durante 15 das, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbn. Cuntos seran necesarios para mantener trabajando 9 horas diarias durante 85 das 3 hornos ms?

A) 255 B) 458 C) 515

D) 408 E) 400

4. 35 obreros pueden terminar una obra en 33 das. Al cabo de 5 das de trabajo se les une cierto nmero de obreros de otro grupo, de modo que luego de 15 das termina la obra, cuntos hombres eran del segundo grupo?

A) 20

B) 28 C) 37 D) 49

E) 63

5. Veintiocho obreros pueden realizar una obra en 18 das, si al cabo del octavo da se incorporaron a obreros terminando as 3 das antes de lo establecido, calcule a.

A) 11

B) 12 C) 13 D) 14

E) 15

6. Cuatro obreros se comprometen a hacer una obra en 22 das. Si despus del cuarto da se contratan 2 obreros ms, con cuntos das de anticipacin entregarn la obra?

A) 3

B) 1 C) 5

D) 6

E) 7

7. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 42 das, pero 12 de ellos aumentaron su eficiencia, por lo cual la obra se termin en slo 36 das. En que fraccin aumentan su eficiencia dichos obreros?

A) 1/2

B) 1/5 C)

D) 5/6

E) 3/20

8. Un alumno hbil puede resolver 120 problemas en tres horas, en que tiempo podr resolver otro alumno cuya habilidad es 2 veces ms al del anterior y cuyos problemas tiene el triple de dificultad, un total de 160 problemas?

A) 2

B) 3 C) 4

D) 5 E) 1

9. Se sabe que 10 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectreas de trigo en 40 das. Despus de 10 das de trabajo se retiran 2 hombres y 6 mujeres. Determine con cuntos das de retraso se terminar la cosecha, si el trabajo que hace un hombre equivale al de 2 mujeres.

A) 12

B) 13 C) 14

D) 15

E) 16

10. Si 36 peones, en 15 das de 8h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240 m de lado, en cuntos das 24 peones trabajando 10h/d, podrn sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior?

A)13.5 das

B)12 das C)13 das

D)14 das

E)12.5 das

REGLA DEL TANTO POR CIENTO

CONCEPTO: Tanto por ciento nos indica una relacin entre una parte y una unidad considerada como 100 (es decir, dividida en 100 partes iguales) y de estas tomar tantas partes como se requiere.

Es decir:

...

Considerando:

Una parte:

10 partes:

20 partes:

Nota: Tomar una parte de 100 es tomar una parte por cada cien, es decir:

Ejemplo:

1.

2.

3.

PORCENTAJE

Es el resultado de calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad.

Ejemplo:

El 8% de 500 es:

El 12% de 700 es:

NOTA:

1. En este captulo utilizamos por convencin las palabras de, del de los que nos indicarn una multiplicacin.

2. Toda cantidad representa para si mismo el 100% es decir, cuando la cantidad sea N se puede indicar:

OPERACIONES ENTRE PORCENTAJES DE UN MISMO NMERO

Sea N el nmero:

7%N + 20%N = 27%N

45%N 30%N = 15%N

N + 26%N = 126%N

N 66%N = 34%N

AUMENTOS Y DESCUENTOS SUCESIVOS

Ejemplo:

1. Si al precio de un artculo se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 30%. Cul es su precio final?, a cunto equivale el descuento nico?

Solucin

Sea N el precio del artculo

i) Descuentos sucesivos:

20% y 30%

ii) Precio final:

80%.70%.N = 56%Niii) Descuento nico:

N 56%N = 44%N

2. Si al precio de un artculo se le hace dos aumentos sucesivos del 20% y 30%. Cul es su precio final?, a cunto equivale el aumento nico?

Solucin

Sea N el precio del artculo

iv) Aumentos sucesivos:

20% y 30%

v) Precio final:

120%.130%.N = 156%Nvi) Aumento nico:

156%N N = 56%N

APLICACIONES COMERCIALES

1. Si hay ganancia:

2. Si hay prdida:

3. Si hay descuento:

4.

Donde:

Pv = Precio de Venta

Pc = Precio de Compra o costo

Pf = Precio de lista o precio fijo

GB = Ganancia Bruta

GN = Ganancia Neta

NOTA:

1. Generalmente las ganancias o prdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo.

2. Generalmente el descuento se representa como un tanto por ciento del precio fijado.

PROBLEMAS

1. Al 40% del 75 por mil del 8 por 9 de un nmero, se le suma la quinta parte del 5 por 63 del 42% de dicho nmero y el resultado es 118. Hallar dicho nmero.

A)3680

B)3590 C)2590

D)1270

E)4950

2. En una conferencia el 70% son varones. Si el 40% de los varones y el 60% de las mujeres usan anteojos, cuntas personas hay en dicha reunin? Considere que 108 personas no usan anteojos?

A)100

B)150 C)180

D)220

E)200

3. En una reunin, el 70% del nmero de mujeres es igual al 50% del nmero de varones. Qu porcentaje del total son mujeres?

A) 61,5%

B) 70% C) 46%

D) 41,6%

E) 14,6%

4. En una reunin de 800 personas las mujeres constituyen el 60% de los presentes. Cuntas parejas deben llegar a esta reunin para que el nmeros de hombres constituya el 45% de todos los asistente?

A)540 B)400 C)460

D)500 E)520

5. Juan tena S/. 240 y perdi jugando la Tinka tres veces consecutivos: el 25%, 10% y 50% de los que le iba quedando. Cunto le quedo finalmente?

A)S/. 162 B)S/. 81 C)S/. 105

D)S/. 80

E)S/. 60

6. El precio de un televisor pantalla plana sufre una devaluacin del 10% cada ao. Si en el ao 2011 se compr el televisor en S/. 1600, cul fue su precio en el ao 2013?

A)S/. 1292

B)S/. 1192 C)S/. 1200

D)S/. 1238

E)S/. 1296

7. Si el largo de un rectngulo aumenta en un 20% y su ancho disminuye en un 10%. En que porcentaje aumenta su rea?

A)5%

B)6% C)7%

D)8% E)9%

8. En qu porcentaje debe aumentar el lado de un cuadrado, para que el rea aumente en 44%?

A)20%

B)30% C)40%

D)50%

E60%

9. Un viejecito vendi dos burros cobrando 2 400 soles por cada uno. En uno gan el 20% de lo que haba costado y en el otro perdi el 20% de lo que le haba costado. Gan o perdi, en total cuanto?

A) Gan 100 soles

B) Perdi 100 soles

C) Gan 200 soles

D) Perdi 200 soles

E) No gan ni perdi

10. Carlos es un comerciante que adquiere una computadora con 800 nuevos soles. Cul es el precio al que debe vender para ganar el 20% del precio de venta?

A)S/. 900

B) S/. 880 C) S/. 850

D) S/. 980

E) S/. 1000

11. A un artculo cuyo precio de lista es el doble del costo, se le hace una rebaja del 35%. Cul es el porcentaje de utilidad con respecto al costo?

A) 30%

B) 40% C) 50%

D) 60%

E) 70%

12. Una radio tiene un precio de costo de S/. 360. En cunto se debe aumentar este precio para que durante la venta se haga una rebaja de 10% y an as se gane el 40% del costo?

A) 200

B) 300 C) 400

D) 500

E) 100

13. Una toalla al ser lavada se encoge el 10% en el ancho y 20% en el largo. Si se sabe que dicha toalla tiene 2 metros de ancho. Qu longitud se debe comprar si se necesita 36 m2 de toalla lavada?

A)15m

B)18m C)16m

D)20m

E)25m

TAREA DOMICILIARIA1. Si gastara el 60% del dinero que tengo y ganara el 56% de lo que me quedara, perdera S/. 752. Cunto tengo?

A) 1500

B) 1600 C) 1800

D) 2010

E) 2000

2. Se puede comprar cierta cantidad de libros con una determinada suma de dinero, pero si el precio de cada libro variase en 40% se podra comprar 8 libros ms. Cul es dicha cantidad de libros?

A)10

B)11

C)12

D)15

E)20

3. Una persona pregunta en una tienda que descuento le pueden hacer sobre el precio de un repuesto y le responden que el 20%, va a otra tienda y compra dicho repuesto con un descuento del 25% ahorrando as S/. 35. Cunto costaba el repuesto?

A)640

B)180 C)500

D)700

E)900

4. Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64% de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N.

A)3000

B)4000 C)500

D)200

E)2000

5. Un artculo se ha vendido en S/. 2 600 ganando el 30% del precio de costo ms el 20% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artculo.

A)S/. 1 500

B)S/. 1 800 C)S/. 1 600

D)S/. 2 000

E)S/. 2 500

6. A un artculo cuyo precio de lista es el doble del costo, se le hace una rebaja del 35%. Cul es el porcentaje de utilidad con respecto al costo?

A) 30%

B) 40% C) 50%

D) 60%

E) 70%

7. Carmen lleva 300 huevos al mercado y encuentra que el 20% estaban malogrados y slo pudo vender el 70% de los buenos. Cuntos quedaron sin vender?

A) 142

B) 130 C) 140

D) 131

E) 132

8. El largo de un rectngulo aumenta en 30%. En que porcentaje debe disminuir el ancho para que el rea disminuya en 9%?

A) 30%

B) 32% C) 34%

D) 36%

E) 38%

9. En un concurso de matemtica se observa que el 30% son varones y el 20% de estos usan anteojos y el 60% de las mujeres no usan anteojos. Qu tanto por ciento del total representan las personas que usan anteojos?

A)28% B)34% C)36%

D)32%

E)30%

10. Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 100 veces, obteniendo 85 triunfos . Cul es el nmero mnimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar?

A)5

B)25 C)50

D)75

E)10

REGLA DE INTERES

1. DEFINICIN: La regla de inters es una operacin que consiste en calcular la ganancia o el inters, generada por un capital o suma de dinero, por ser prestado a un cierto tiempo y a una determinada tasa de inters.

2. ELEMENTOS:C: Capital o suma de dinero, que se presta durante cierto tiempo por el cual generar un cierto inters.

r: Tasa de inters o rdito, es el porcentaje de ganancia tomado en forma anual.

t: Tiempo o tiempo de imposicin, es el lapso durante el cual se presta el capital.

I: Inters o renta, es la ganancia que produce el capital al ser prestado durante cierto tiempo.

M: Monto, es la suma del capital ms los inters producidos.

3. CLASES:a) INTERS SIMPLE: Es cuando el capital prestado permanece constante en el tiempo que dura el prstamo, ya que los intereses no se suman a l.

b) INTERS COMPUESTO: Es cuando el capital prestado, se incrementa peridicamente con los intereses que produce, es decir el inters se capitaliza.

OBSERVACIONES:

1 mes comercial = 30 das

1 ao comercial = 360 das

1 ao comn = 365 das

1 ao bisiesto = 366 das

EQUIVALENCIAS:

8% trimestral 32% anual

7% semestral 14% anual

3% cuatrimestral 9% anual

15% bimestral 90% anual

2% trimestral 8% anual

PROBLEMAS

1. Qu inters producir un capital de S/ 5200prestado al 7 % cuatrimestral en 7 aos y 5 meses?

A) s/ 6778

B) s/ 7010 C) s/ 8099

D) s/ 9908

E) s/ 9999

2. Cul es el inters que se obtiene por un capital de S/. 7 200 prestado durante 20 das al 5% trimestral?

A)S/. 60

B)S/. 80 C) S/. 100

D)S/. 110

E)S/. 120

3. Halle el inters trimensual que produce S/. 5 200 al 1,4% semanal.

A)946

B)628 C)936

D)736

E)658

4. Que tanto por ciento trimestral de inters simple, debe ganar un capital para que en 5 aos se quintuplique.

A)10%

B)26,7% C)15%

D)30%

E)20%

5. Carmen coloc la mitad de su capital al 10%, la tercera parte al 8% y el resto al 5%. Si gana una renta anual de S/. 204. Cul fue su capital?

A)S/. 2 500

B) S/. 2 300 C) S/. 2 725

D) S/. 2 800

E) S/. 2 400

6. Cul es el capital tal que al ser impuesto al 4% trimestral de inters simple, produce S/. 2 000 de renta anual ms que si se le impusiera al 11% anual?

A)S/. 42 000 B)S/. 43 000 C)S. 44 000

D) S/. 40 000

E) S/. 45 000

7. A que porcentaje debe ser colocado un capital, para que en 3 aos y 4 meses produzca un inters equivalente al 20% del valor del monto?

A)30%

B)15% C)7,5%

D)4%

E)25%

8. Dos capitales son entre si como 4 es a 5, se colocan a inters simple, uno al 50% y otro al 20%. Luego de que tiempo la relacin de los montos es inversa de la relacin original de los capitales.

A)3 aos

B)4 aos C)5 aos

D)9 aos

E)10 aos

9. Un capital impuesto durante un ao al 3% produce S/. 42 ms que otro impuesto durante 9 meses al 4%. Cul es la diferencia de dichos capitales?

A)S/. 800

B)S/. 750 C) S/.1 400

D)S/. 1 800

E)S/. 2 000

10. Dos capitales son entre si como 3 es a 2 y los intereses de los mismos son entre si como 6 es a 5. En que relacin se encuentran los rditos?

A)3 a 5

B)4 a 7 C)7 a 3

D)2 a 3

E)4 a 5

11. Dos capitales que estn en la relacin de 4 a 7, se colocan la primera al 35% y la segunda a una cierta tasa que se pide calcular, sabiendo que despus de un tiempo, el inters del segundo es el triple del primero.

A) 36%

B) 40% C) 50%

D) 60% E) 70%

TAREA DOMICILIARIA

1. Calcular el inters generado al depositar S/. 4000 en 11 meses al 15% trimestral.

A) S/. 1 200 B) S/. 1 225 C) S/. 2 200

D) S/. 2 400 E) S/. 2 250

2. A que tasa de inters la suma de S/. 20 000 llegara a un monto de S/. 28 000 colocada a un inters simple de 1 ao y 4 meses?

A) 15%

B) 20% C) 30%

D) 27%

E) 21%

3. Dos capitales uno de S/. 9000 y otro de S/. 8500 estn impuestos a inters simple, el primero al 4% y el segundo al 6%. Cunto tiempo tiene que pasar para que los montos producidos por esos capitales sean iguales?

A)5 aos

B)4 aos y 8 mesesC)3 aos y 4 meses

D) 3 aos y 5 mesesE)2 aos y 6 meses

4. Se tiene dos capitales donde el primero es el doble del segundo. Si se sabe que el monto producido por el primer capital en 10 aos y el monto producido por el segundo en 12 aos 6 meses, estn en la relacin de 16 a 9; habindose sometido a la misma tasa de inters anual. Halle esta tasa.

A)10%

B)25% C)15%

D)20%

E)30%

5. Un capital impuesto durante un ao al 3%, produce $ 21 ms que otro, impuesto 9 meses al 4%. Cul es la diferencia de dichos capitales?

A) $ 800 B) $ 700 C) $ 900 D) $ 750

E) $ 1 000

6. Sebastin divide su capital en 3 partes iguales y las impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una renta anual de S/. 10 000. Cul era su capital?

A) 7 500

B)S/. 75 000 C) S/. 750

D) 75 000

E)S/. 5 000

7. Un capital impuesto durante un ao al 3%, produce $ 21 ms que otro, impuesto 9 meses al 4%. Cul es la diferencia de dichos capitales?

A) $ 800 B) $ 700 C) $ 900 D) $ 750

E) $ 1 000

8. Carlos tiene S/. 400 que presta al 10% mensual. Fabiola tiene S/. 600 que presta al 10% bimensual. Dentro de cunto tiempo los montos sern iguales.

A) 30 meses B) 20 meses C) 18 meses

D) 24 meses E) 27 meses

9. Los capitales de dos personas suman S/. 2 700, si la primera persona impone su capital al 4% y la segunda al 5% anual obteniendo el mismo inters en el mismo tiempo. Cul es el capital menor?

A) S/. 1 000 B) S/. 1 100 C) S/. 1 200

D) S/. 1 300

E) S/. 1 400

10. Dos capitales uno de S/. 9000 y otro de S/. 8500 estn impuestos a inters simple, el primero al 4% y el segundo al 6%. Cunto tiempo tiene que pasar para que los montos producidos por esos capitales sean iguales?

A)5 aos

B)4 aos y 8 mesesC)3 aos y 4 meses

D) 3 aos y 5 mesesE)2 aos y 6 meses

TEORA DE CONJUNTOS (PARTE I)NOCIN DE CONJUNTO: Intuitivamente conjunto es la reunin, agrupacin o coleccin de objetos reales o ideales denominados elementos del conjunto.

Los conjuntos generalmente se denotan con letras maysculas (A, B, C, D,, Z) y sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo:

A = {a; e; i, o; u}

B = {Los meses del ao}

DETERMINACIN DE CONJUNTOS: Todo conjunto puede determinarse de dos maneras:

1) Por Extensin o en Forma Tabular: Es cuando se mencionan uno a uno a los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A = {a, e,o}

B = {3, 4, 5}

2) Por Comprensin o en Forma Constructiva: Es cuando se establece una ley o propiedad que caracterice a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo: De la parte 1

A = {x/x es una vocal fuerte}

B = {x / x N 3x < 6}

CARDINAL DE UN CONJUNTO (n) Es el nmero de elementos que posee un conjunto.

Ejemplos:

A = {a; b; c; d} ( n (A) = 4

B = {2; 2; 2; 4; 4; 6} = {2; 4; 6} ( n(B) = 3

RELACIN DE PERTENENCIA (): Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece () a dicho conjunto, en caso contrario no pertenece () a dicho conjunto.

Ejemplo:

Si P = {2; {3, 4}; 6;{9}}. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. 2 P ( V ) IV. {9} P ( F )II. {3; 4} P ( V ) V. {{3, 4}} P( F )III. {2; 6} P ( F ) VI. 26 P ( V )

DIAGRAMAS:

1) Diagrama de Venn Euler: Son figuras geomtricas cerrados que se utilizan para representar grficamente a los conjuntos.

2) Diagrama de Lewis Carroll:

Se observa que:

Hombres que fuman

Mujeres que no fumanRELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 1) Inclusin (): Se dice que A esta incluido en el conjunto B, si y slo si todos los elemento de A pertenecen a B.

Se denota: A B

Se lee: A esta incluido en B

A esta contenido en B

A es subconjunto de B

Observaciones:

a) Todo conjunto es subconjunto de s mismo (A A)

b) El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto

( A).

Ejemplo:

Si: A = {2; {3} ;{5, 7}} Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. 2 A

( F )

II. {{5, 7}} A ( V )

III. {{3}} A ( V )

IV. A A

( V )

V. {2} A

( V )

VI. A

( V )

VII. {5; 7} A ( F )

VIII. {2; {3}} A ( V )

2)Igualdad de conjuntos: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales, cuando ambos poseen los mismos elementos sin importar el orden.

Se denota: A = B

Se define: A = B A B B A

Ejemplo: Cul de las afirmaciones es falsa?

A) {1; 5; 7} = {7; 5; 1}

B) {x N / 1 x 5} = {1; 2; 3; 4; 5}

C) {a; e; i; o; u} = {a; e; i; u}

Rta:.......C..........

3)Conjuntos Diferentes (): Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.

AB AB BA

Ejemplo:

Dados: A = {1,2,3,4} y B = {1, 2, 3, 4, 5}

Como 5 es elemento de B y no es elemento de

A, entonces AB

4) Conjuntos Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables cuando slo uno de ellos est incluido en el otro, es decir:

AB BA

Ejemplo:

M={3, 7, 5}

N={5,3}

Como: NM

N es comparable con M.

5) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no paseen elementos comunes.Simblicamente:

A y B son disjuntos

EMBED Equation.3 x/xA xB

Ejemplo:

Dados los conjuntos: A = {3, 5, 7} y B = {2, 6, 9}

Se observa que estos conjuntos no tienen elementos en comn, por los tanto son disjuntos.

Grficamente:

CLASES DE CONJUNTOS

1) Conjunto Finito: Es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos.

Ejemplos:

P = {2; 4; 7; 8; 10}

Q = {x / x es una letra del abecedario}

2) Conjunto Infinito: Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos y cuyo ltimo elemento no se puede sealar.

Ejemplos:

C = {1, 2, 3, 4,}

D = {x / x es una estrella del Universo}

CONJUNTOS ESPECIALES1) Conjunto Nulo o Vaco: Es aquel conjunto que carece de elementos.Ejemplo:

A = {x / x N 5 < x < 6}

A = A = {}

Nota: El conjunto es subconjunto de todo conjunto.

2) Conjunto Unitario o Singletn: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo:

M = {x / x N 2< x