List a 5

5/17/2018 List a 5 - slidepdf.com

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MANUEL GONZALEZ SARABIA EJERCICIOS DE CALCULO VECTORIAL

LISTA 5

1. Escribe seis integrales triples iteradas diferentes para el volumen deltetraedro cortado del primer octante por el plano 6x + 3y + 2z = 6.Evalua una de las integrales.

2. Sea D la region limitada por los paraboloides z = 8 − x2 − y2 y z =x2+y2. Escribe seis integrales triples iteradas diferentes para el volumende D. Evalua una de las integrales.

3. Encuentra los volumenes de las regiones indicadas.

a ) La region en el primer octante limitada por los planos coordenados

y los planos x + z = 1, y + 2z = 2.

b) La cuna cortada del cilindro x2 + y2 = 1 por los planos z = −y yz = 0.

c) El tetraedro en el primer octante limitado por los planos coorde-nados y el plano x + y/2 + z/3 = 1.

d ) La region en el primer octante limitada por los planos coordena-dos, el plano y = 1− x y la superficie z = cos(πx/2), 0 ≤ x ≤ 1.

e) La region en el primer octante limitada por los planos coordena-dos, el plano x + y = 4 y el cilindro y2 + 4z2 = 16.

f ) La region entre los planos x + y + 2z = 2 y 2x + 2y + z = 4 en elprimer octante.

g ) La region cortada del cilindro elıptico solido x2 + 4y2 ≤ 4 por elplano xy y el plano z = x + 2.

4. Evalua las siguientes integrales cambiando el orden de integracion deforma apropiada.

a )4 0

1 0

2 2y

4 cos(x2)2√

z dx dy dz

b)1 0

1 3√

z

ln 3 0

πe2x sin(πy2)y2 dx dy dz

c) 20

4−x2

0

x0

sin2z4−z dy dz dx

GRUPO 1MV4 1 UPIITA, IPN




5. Despeja a en la siguiente ecuacion.

10

4−a−x2

0

4−x2−y

0

dz dy dx =4

15.

6. ¿Para que valores de c el volumen del elipsoide

x2 +y2

4+

z2

c2= 1

es igual a 8π?

7. Encuentra los lımites de integracion en la integral triple D

f (x,y,z) dx dy dz

para los recintos D que se indican a continuacion.

a ) D es un cilindro limitado por las superficies

x2 + y2 = R2, z = 0, z = H.

b) D es un cono limitado por las superficies

x2

a2+ y2

b2= z2

c2, z = c.

8. Calcula las siguientes integrales.

a )0 1

1 0

1 0

dz dy dx√ x+y+z+1

.

b)a 0

√ a2−x2 0

√a2−x2−y2

0

dz dy dx√a2−x2−y2−z2

.

9. Calcula D

(x + y + z)2 dx dy dz,

si D es la parte comun del paraboloide 2az ≥ x2 + y2 y de la esferax2 + y2 + z2 ≤ 3a2.





10. Calcula

D

z2

dx dy dz,

donde D es la parte comun de las esferas x2 + y2 + z2 ≤ R2 y x2 +y2 + z2 ≤ 2Rz.

11. Calcula D

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2

dx dy dz,

donde D es la parte interna del elipsoide x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1.

12. Calcula la integral 2r

0

√ 2rx−x2

−√ 2rx−x2

√4r2−x2−y2

0

dz dy dx,

transformandola previamente a coordenadas cilındricas.

13. Calcula el volumen de la parte del cilindro x2 + y2 = 2ax, comprendidoentre el paraboloide x2 + y2 = 2az y el plano XOY .

14. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el plano XOY , el cilindrox2 + y2 = ax y la esfera x2 + y2 + z2 = a2 (interno con respecto al

cilindro).

15. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide

y2

b2+

z2

c2=

2a

x

y el plano x = a.

16. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por la superficie

x2

a2

+y2

b2

+z2

c2

2

=x2

a2

+y2

b2

−

z2

c2

.

17. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por las superficies

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 2,

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0, (z ≥ 0).





18. Averigua los valores de α para que converja la integral

D

dx dy dz

(x2 + y2 + z2)α,

donde D es la region que se determina por la desigualdad x2+y2+z2 ≥ 1(parte exterior de la esfera unitaria).

19. Da los lımites de integracion para evaluar la integral

D

f (r,θ,z) dz r dr dθ

si D es la region limitada abajo por el plano z = 0, lateralmente por elcilindro r = cos θ y arriba por el paraboloide z = 3r2.

20. Convierte la integral

1−1

√1−y2

0

x

0

(x2 + y2) dz dx dy

a una equivalente en coordenadas cilındricas y evalua el resultado.

21. Establece la integral iterada para evaluar D

f (r,θ,z) dz r dr dθ

sobre la region D indicada.

a ) D es el cilindro recto solido cuya base es la region en el plano xyque se encuentra dentro de la cardioide r = 1 + cos θ y afuera delcırculo r = 1, y cuya parte superior se encuentra en el plano z = 4.

b) D es el prisma cuya base es el triangulo en el plano xy limitado

por el eje y y las rectas y = x, y = 1, y cuya parte superior seencuentra en el plano z = 2 − x.

22. Encuentra los lımites en coordenadas esfericas para la integral que cal-cula el volumen del solido dado y luego evalua la integral.





a ) El solido entre la esfera ρ = cos φ y el hemisferio ρ = 2, z ≥ 0.

b) El solido encerrado por la cardioide de revolucion ρ = 1 − cos φ.c) El solido limitado abajo por la esfera ρ = 2cos φ y arriba por el

cono z =

x2 + y2.

23. Evalua D

|xyz| dx dy dz

si D es la regionx2

a2+

y2

b2+

z2

c2≤ 1.

Sugerencia: Haz x = au, y = bv y z = cw. Luego integra sobre unaregion apropiada del espacio uvw.

24. Calcula la integral siguiente pasando a coordenadas cilındricas.

10

√ 1−x2

−√ 1−x2

x2+y2

−(x2+y2)

21xy2 dz dy dx.

25. Calcula la integral siguiente pasando a coordenadas esfericas.

1−1

√ 1−x2

−

√ 1−

x2

1√

x2+y2

dz dy dx.

26. Establece una integral en coordenadas rectangulares equivalente a laintegral π/2

0

√ 31

√ 4−r2

1

r3 sin θ cos θ z2 dz dr dθ.

Coloca el orden de integracion en la forma dz dy dx.

27. Integrales triples que implican formas esfericas no siempre requierencoordenadas esfericas para su evaluacion apropiada. Algunos calculospueden llevarse a cabo mas facilmente con coordenadas cilındricas. Co-mo ejemplo de esto, encuentra el volumen de la region limitada arribapor la esfera x2 + y2 + z2 = 8 y abajo por el plano z = 2, usando

a ) Coordenadas cilındricas.

b) Coordenadas esfericas.


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