UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAE.B.C.

Listado no1 - Teor. Fund. del Cálculo

1. Para cada una de las siguientes funciones F , calcular los siguientesvalores:

(a) F 0 (−1) . (b) F 0 (0) . (c) F 0 (1/2) . (b) F 00 (x)

a. F (x) =Z x

0

dt

t2 + 9b. F (x) =

Z 0

x

√t2 + 1dt

c. F (x) =

Z x

1

√1− t2dt d. F (x) =

Z 0

x

xdt

2 +√t

2. Sea F : R → R, F (x) =R x0

−41 + t2

dt. Determine los puntos críticos

de F y en cada uno de ellos determinar si F tiene un máximo local,un mínimo local o ninguna de las dos cosas.

3. (a) Bosquejar la gráfica de la función f definida por

f (x) =x2 + x , 0 ≤ x ≤ 12x , 1 < x ≤ 3

(b) Determine la función F (x) =R x0f (t) dt , 0 ≤ x ≤ 3, y bosqueje

la correspondiente gráfica.

(c) ¿Qué se puede decir sobre f y F en x = 1 ?

4. Suponga que f es una función continua y queZ x

0

f (t) dt =2x

4 + x2

(a) Determinar f (0) .

(b) Hallar las raices de f , si existen.

(c) Calcule f 0 (x) .

1

5. Evaluar cada una de las siguientes integrales definida usando el teoremafundamental del cálculo.

1.Z 3

2

x (1 + x3) dx 2.Z 9

4

2x√xdx

3.Z π/2

−π/4

sin 2x

cosxdx 4.

Z 1

0

(x− secx tanx) dx

5.Z 1

0

3√2 + 3x dx 6.

Z 1

0

1√3u+ 1

du

7.Z π/4

0

√tanx sec2 xdx 8.

Z 1

−1

x2√x3 + 9

dx

9.Z 0

−16x2 (x3 + 1) dx 10.

Z 2π/t

0

t2 sin txdx, t > 0

6. Si f es no negativa y continua en [a, b], entonces el área de la regiónR entre las curvas y = f (x) , y = 0, x = a y x = b se define por

AR =

Z b

a

f (x) dx

Si f (x) = 2x (x2 + 1)3, x ∈ [0, 2] , calcule el área de la región R

entre las las curvas y = f (x) , y = 0, x = 0 y x = 2.

7. Expresar en cada inciso la integral en función de la variable u , perosin hace la evaluación.

1.Z 2

0

(x+ 1)7 dx; u = x+ 1 2.Z 9

4

2x√8− x2dx; u = 8− x2

3.Z π/4

0

tan2x sec2 xdx; u = tanx 4.Z 1

0

(x+ 2) (x− 3)20 dx ; u = x− 3

2

8. (Propiedades Importantes) Sea f continua en [-a, a].

(a) Utilizar un cambio de variable para demostrar queZ 0

−af (x) dx =

Z a

0

f (−x) dx

(b) Pruebe queR a−a f (x) dx =

R a0[f (x) + f (−x)]dx

(c) Pruebe queR a−a f (x) dx = 0 si f es IMPAR.

(d) Pruebe queR a−a f (x) dx = 2

R a0f (x) dx si f es PAR.

9. Usar el ejercicio 6 para calcular las siguientes integrales.

(a)R π/3−π/3 (x+ sin 2x) dx

(b)R 3−3

t3

1 + t2dt

(c)R π/2−π/2 (1 + x− cos3 x) dx

10. Calcular cada una de las siguientes integrales

1.Z 5

1

|x− 2| dx 2.Z 3π/4

0

|cosx| dx

3.Z 3

−2f (x) dx ; f (x) =

½ −x , x ≥ 0x2 , x < 0

4.Z 9

0

g (x) dx ; g (x) =

⎧⎨⎩ 1 , 0 ≤ x ≤ 1x3 , 1 < x < 4√x , 4 ≤ x ≤ 9

11. En los siguientes ejercicios evaluar las integrales de dos maneras: primeropor sustitución u en la integral definida, y luego por sustitución u enla integral indefinida correspondiente.

3

1.Z 2

1

(4− 3x)7 dx 2.Z 8

0

2x√1 + xdx

3.Z π/6

0

2 cos 3xdx 4.Z −1

−2

x

(x2 + 2)3dx

12. Evaluar cada una de las siguientes integrales

1.Z 1

0

x2√4− 3xdx 2.

Z π

0

5x cosxdx

3.Z 3

1

x+ 2√x2 + 4x+ 7

dx 4.Z 4π2

π2

1√xsin√xdx

5.Z 0

1

6√1− 2x dx 6.

Z 5

2

u− 2√u− 1du

7.Z π/2

π/4

sin 2xq1− 3

2cos 2x

dx 8.Z 1

0

1√xcos

µπ√x

2

¶dx

4