Algebra LinealSoluciones Evaluacion 1

1. (20 puntos) Sea T el triangulo cuyos vertices son A = (1, 2, 1), B = (0, 0, 3),C =(1,1, 1).

a) Calcular el permetro de T .

Respuesta. Tenemos que

~AB = (1,2, 2), ~AC = (0,3, 0), ~BC = (1,1,2).Sus normas son

|| ~AB|| = 1 + 4 + 4 = 3, || ~AC|| = 9 = 3, || ~BC|| = 1 + 1 + 4 = 6.Entonces el permetro de T es 6 +

6.

b) Calcular el area de T .

Respuesta. Tenemos que

~AB ~AC = det~i ~j ~k1 2 20 3 0

= 6~i + 3~k.El area de T es || ~AB ~AC||/2 = 45/2 = 35/2.

c) Es T un triangulo rectangulo? Justificar.

Respuesta. No, T no es un triangulo rectangulo porque

~AB ~AC = 6 , 0, ~AB ~BC = 3 , 0, ~AC ~BC = 3 , 0,luego ninguno de sus angulos es recto (de hecho es suficiente verificar la primerapropiedad porque T es un triangulo isosceles con || ~AB|| = || ~AC||).

2. (25 puntos) Sean A, B,C como en el problema anterior.

a) Encontrar la ecuacion cartesiana del plano que contiene A, B y C.

Respuesta. Observamos que ~n = ( ~AB ~AC)/3 = 2~i + ~k es un vector normal alplano . Luego una ecuacion cartesiana para el plano es:

(x 1, y 2, z 1) (2, 0, 1) = 0 2(x 1) + (z 1) = 0 2x + z = 3.

2b) Encontrar las ecuaciones parametricas de la recta contenida en que pasa por A yes perpendicular a

BC.

Respuesta. La recta buscada esta contenida en y es perpendicular al vector ~BC,entonces tiene como vector director

~n BC = det~i ~j ~k2 0 11 1 2

=~i + 5~j 2~k.Como la recta pasa por A, entonces esta definida por las ecuaciones parametricas:

x = 1 + ty = 2 + 5tz = 1 2t

, t R.

c) Calcular la distancia entre el plano y el origen.

Respuesta. Dicha distancia es igual a

d(0,) =|OA ~n||~n| =

(1, 2, 1) (2, 0, 1)5

=35.

3. (15 puntos) En R2 considerar las operaciones definidas como sigue:(a, b) + (c, d) := (0, b + d), (a, b) := (a, b), R.

Es R2 un R-espacio vectorial con estas operaciones? Justificar la respuesta.

Respuesta. No, R2 no es un espacio vectorial con estas operaciones. Una razon es que nose cumple la propiedad V3, o sea no existe un elemento neutro para la suma. De hecho,dado (a, b) R2 con a , 0, se cumple

(a, b) + (c, d) = (0, b + d) , (a, b), (c, d) R2.(Tambien se puede mostrar que no se cumple la propiedad V8:

( + ) (a, b) = (( + )a, ( + )b) , (a, b) + (a, b) = (a, b) + (a, b) = (0, b + b) )