Listado de

Ejercicios/Problema

1) Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de elevación

de 30º y una velocidad inicial de 40 m/s sobre un terreno horizontal.

Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar a la tierra; b) El alcance

horizontal del proyectil.

2) Un libro que se desliza sobre una mesa a 1.25 m/s cae al piso

en 0.4 s. Ignore la resistencia del aire.

Calcule: a) La altura de la mesa; b) la distancia horizontal desde el

borde de la mesa a la que cae el libro; c) las componentes vertical y

horizontal de la velocidad final) la magnitud y dirección de la velocidad

justo antes de tocar el suelo.

3) Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25.3 m/s y

un ángulo de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como

se muestra en la figura.

La pared está a 2.18 m del punto de salida de la pelota. a) ¿Cuánto

tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la

pared?; b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota

a la pared?; c) ¿Cuáles son las componentes horizontales y verticales

de su velocidad cuando golpea a la pared?; d) ¿Ha pasado el punto

más elevado de su trayectoria cuando la golpea?

Solución de cada

Ejercicio/Problema

1. Se tiene el valor de la magnitud de la velocidad inicial y el ángulo de

elevación. A partir de ello, se pueden encontrar las componentes de

la velocidad inicial Vox y Voy:

Vox = Vo cos θ = (40 m/s) cos (30º) = 34.64 m/s. (Ésta es constante)

Voy = Vo Sen θ = (40 m/s) sen (30º) = 20.0 m/s.

a) Si analizamos el tiempo en el que el proyectil tarda en llegar a la

altura máxima, podemos encontrar el tiempo total del movimiento,

debido a que es un movimiento parabólico completo. Suponga que

tº es el tiempo en llegar a la altura máxima.

En el punto de la altura máxima, Vfy = 0 m/s. El valor de la

aceleración de la gravedad, para el marco de referencia en la

figura, siempre es negativo (un vector dirigido siempre hacia

abajo).

De la ecuación de caída libre:

Como tº = t/2, donde t es el tiempo total del movimiento:

t = 2 * (2.04 s) = 4.08 s

b) El tiempo total del movimiento es el mismo tiempo en el que se

obtiene el alcance horizontal. De M.R.U.:

d = Xmax = Vx * t = (34.64 m/s) * (4.08 s) = 141.33 m

2. Éste ejemplo comienza su movimiento justo a la mitad de un tiro parabólico completo; por lo tanto, se comienza en la altura

máxima de un movimiento de proyectil, con una velocidad inicial en y igual a cero (Voy = 0 m/s).

a) La altura de la mesa es igual a la altura máxima del movimiento. Como la altura es el desplazamiento en el eje y, comenzamos analizando en dicho eje.

De la fórmula: Vfy = Voy + g*t

se obtiene: Vfy = (0 m/s) + (-9.8 m/s^2)*(0.4 s) = - 3.92 m/s

El signo negativo indica el sentido de la velocidad final (hacia abajo). Luego:

b) El signo negativo muestra que la altura estaba medida desde el

borde de la mesa e indica que son 0.784 m hacia abajo.

La velocidad en y al principio del tiro semiparabólico es igual a

cero, pero la velocidad no, debido a que tiene una componente en x, que es igual a la velocidad con la que llega al borde de la

mesa y se cae de ella. La velocidad en x no cambia, entonces:

Si d es la distancia horizontal del movimiento:

d = (1.25 m/s)*(0.4 s) = 0.5 m

c) La componente de la velocidad, en x, no cambia; entonces:

Vfx = 1.25 m/s

La componente de la velocidad, en y, se calculó en el literal

a) del ejercicio:

Vfy = 3.92 m/s

d) Obtenidas las componentes, podemos encontrar la magnitud Vf de la velocidad final:

y la dirección está dada por:

Note que la magnitud de un vector siempre es positiva.

Un vector representa su sentido por medio del signo a partir de

un marco de referencia propuesto, pero cuando es una

magnitud que se representa, ésta siempre tiene signo positivo.

3. Este es un movimiento parabólico general; es decir, no es completo ni semiparabólico, pero tiene el comportamiento parabólico característico.

a) Se conoce la distancia recorrida en x. Con la magnitud y dirección

del vector de la velocidad inicial se puede encontrar la componente de velocidad en x. Entonces:

Vx = (25.3 m/s) cos (42º) = 18.80 m/s

El tiempo de vuelo está dado por:

b) La distancia que se pide se mide en el eje y. Analizando el

movimiento en ese eje, se puede encontrar la velocidad final, en y, antes de golpear la pared:

Voy = (25.3 m/s) sen (42º) = 16.93 m/s

La velocidad final, en y, es:

Vfy = Voy + g*t = (16.93 m/s) + (-9.8 m/s^2)*(1.16 s) = 5.56 m/s

Note que la velocidad final en y es positiva. El sentido de ésa

componente indica que la velocidad apunta hacia arriba.

c) Las componentes verticales y horizontales de la velocidad final se calcularon en literales anteriores:

Vfx = 18.80 m/s

Vfy = 5.56 m/s

d) El punto h se puede comparar con el punto más alto del movimiento, tomando como Vfy = 0 m/s:

Como Ymáx > h; entonces la pelota no ha pasado su punto más

alto de la trayectoria parabólica. Esto se puede demostrar también

con el sentido de la velocidad, debido a que la velocidad, en y,

cuando golpea la pared, es positivo.

Esto quiere decir que la pelota estaba subiendo cuando golpea la

pared; si ésta no estuviera, la pelota siguiera una trayectoria

ascendente hasta llegar a la altura máxima.