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Límite de funciones

El concepto de límite se explica y define desde diferentes perspectivas en los libros de cálculo. Se habla por ejemplo del límite de una sucesión (como ya se explicó), o bien del límite de una variable. A continuación se describen algunas situaciones que permiten entender matemáticamente este concepto.

Desde una perspectiva podemos citar una definición de limite respecto de una función, se dice que esta es continua cuando se encuentra definida en todos y cada uno de los puntos del intervalo donde se estudia, es decir que para cada valor de “x” siempre existe un valor de “y”. Por otra parte se dice que una función es discontínua si para algún (os) valor (es) de “x” no existe valor de “y”. Para que una función sea continua se deben cumplir las tres condiciones siguientes:

Es importante mencionar, que cuando una función no se encuentra definida para un valor dado “a”, pero el límite existe, se dice entonces que la función tiene una discontinuidad evitable. Por ejemplo la función

No está definida en x= 0, y por lo tanto es discontinua en este punto. La grafica de esta función se observa a continuación.

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Ahora respecto a la relación de continuidad con el concepto de límite. Podemos decir como se ve en la grafica que a medida que los valores de “x” se van aproximando a “cero”, ya sea por la izquierda o por la derecha, “y” se va haciendo cada vez más grande, de manera que en términos matemáticos escribimos:

Esto significa que: como “el límite cuando x tiende a cero” es infinito, es decir no hay límite, entonces la función es discontinua en este punto como en efecto se puede comprobar en la gráfica. Es decir no hay un valor definido para (x=0), porque el infinito no es un valor. Conclusión: la función es discontinua en x=0

nota: se recuerda que al dividir cualquier cantidad entre cero, el resultado es ∞

Ejemplo.

Demostrar que la función tiene una discontinuidad evitable en x=2. Verificamos la condición 1): es decir calculamos f (2) = 2 2 – 4 = 0 ..... se observa que no está definida 2 – 2 0

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por lo tanto como no se cumple el primer criterio, entonces no es continua en x=2, sin embargo al calcular el límite cuando “x tiende a 2”, haciendo previamente una factorización en el numerador resulta:

Que como puede comprobarse en la grafica el resultado corresponde en efecto a 4

También podemos comprobar en una tabla que al asignar valores un poco menores y un poco mayores a “2”, que el resultado del límite cuando “x tiende a 2” se obtiene como se ha dicho 4.

Conclusión: la función tiene una discontinuidad evitable en (x=2), ya que la función no está

definida en este punto, pero el límite existe. Por medio de estos dos ejemplos se proporciona una breve explicación sobre la importancia de

los límites en el estudio de las funciones; Este concepto a su vez es esencial en la definición de la derivada

Valores de “x” X+2 3 3+2 = 5 2.6 2.6 + 2 = 4.6 2.4 2.4 +2= 4.4 2.3 2.3+ 2= 4.3 2.1 2.1+2= 4.1

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CALCULO DE LÍMITES.

Se ha visto hasta el momento el concepto de límite con respecto a su relación con algunos temas del cálculo pero la aplicación que puede considerarse como primordial para propósitos de este curso es en la definición de derivada que se verá a detalle más adelante. Como se ha podido ver, ya se han mostrado algunos ejemplos de procedimientos para el calculo de limites y continuaremos a resolver otros ejercicios adicionalmente. En primer lugar, debemos considerar que en el cálculo de límites se aplican diversos procedimientos analíticos. Estos procedimientos son básicamente: • La  división  entre  la  potencia  de  mayor  valor  • la  factorización.  

EJERCICIOS RESUELTOS. Calcular los siguientes límites: a). lim x + 3 x → 2 solución: según el teorema (2) de la suma de límites, el resultado es: lim (x +3) = lim ( x ) + lim (3) = (2) + 3 = 5 x → 2 x → 2 x → 2 b).- lim (5x) Solución : aplicando el teorema (3) de la multiplicación tenemos: lim 5x = 5 lim (x) = 5 ( 4) = 20 x → 4 x→ 4 x → 4 c). lim (x2 - 4x +1) = 22 – 4(2) + 1 = 4 – 8 +1 = - 3 x → 2

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d). lim (x2 +9) = 32 +9 = 18 = 3 x →3 x+3 3+3 6

EJERCICIOS RESUELTOS.

Encontrar los límites siguientes: 1. lim (3x –2): Sustituimos con x= -1 resulta: 3(-1) – 2 = -5 x → -1 2. lim (4x 2 + 3x – 5) sustituimos con x = 1 se obtiene: 4(1)2+ 3 (1) – 5 = 2

x → 1

3. lim (x 2 - 9) aqui resulta: (-3)2 -9 = 0 a lo que factorizando se obtiene: x → -3 (x +3 ) - 3 +3 0 (x+3)(x-3) = x-3 y volviendo a sustituir queda: -3 -3 = -6 (x+3)

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LIMITES INFINITOS.

De los ejemplos anteriores se observa que en cada uno se obtuvo un resultado, sin embargo no debe esperarse que siempre se presente esta situación, ya que en algunos casos deben realizarse algunas transformaciones algebraicas para obtener la solución correcta : Recordar el ejemplo de

Es común que al estudiar el límite de funciones de la forma f(x) , se llegue a un resultado como 0 ,o bien ∞ g(x) 0 ∞ que se conocen como formas indeterminadas. Debe aclararse que el hecho de que se tenga un resultado como 0 ,

0 no significa que el resultado sea cero, sino que existe una indeterminación y debe emplearse un procedimiento mediante el cual se busque eliminar dicha indeterminación y obtener la solución correspondiente. A continuación se proporcionan algunos ejemplos de límites e indeterminaciones con su respectivo resultado. 1). c = ∞ 2). ∞= ∝ 3). c = 0 c= constante (diferente de cero) 0 c ∞ formas indeterminadas: 0 , ∞

0 ∞ A continuación se presentan algunos ejemplos de límites a manera de que se observe la aplicación del procedimiento.

Nota: debe aclararse antes de iniciar, que el infinito (∞) no es un límite.

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EJERCICIOS RESUELTOS. Calcular los siguientes límites: a). Lim x- 4 x→ 4 x2 –x-12 solución al sustituir la variable tenemos: 4- 4 = 0 que nos conduce a una indeterminación, por lo que 42 – 4 –12 0 debemos aplicar un método para eliminarla, y en este caso factorizamos el denominador antes de tomar el límite, y después sustituimos así: lim x- 4__ = 1 = 1 = 1 x → 4 (x+3)(x-4) x+3 4+3 7

b). Lim x2 –25 solución: -52 –25 = 0 Indeterminación, por lo que factorizamos el numerador, quedando: x → -5 x +5 -5 +5 0 lim x2 –25 = (x+5)(x-5) = x-5, y el límite es: lim x-5 = -5 –5 = -10 x → -5 x +5 x+5 x→ -5

c). Lim x - 1 = x-1 = 1 = 1 = 1 x →2 x2 – 1 (x-1) (x+1) x+1 2+1 3

d). lim 2x +3 = ∞ que representa una indeterminación x→∞ 4x -5 ∞

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por lo que ahora como no podemos factorizar ni numerador o denominador, lo que haremos es dividir cada término entre la variable de mayor potencia que en este caso es “x”, y simplificamos: lim 2x +3 x→∞ 4x -5

recordando que: constante = 0

∞ e). Lim 2x3 solución: ∞ que es una indeterminación. x→∞ x2 +1 ∞ dividimos entre la mayor potencia que es “x3” y simplificamos:

y por lo tanto el límite no existe.

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Los siguientes casos son de práctica para tener mayor aprendizaje sobre los procedimientos explicados, NO son evaluables. DEMOSTRAR LOS RESULTADOS DE LOS SIGUIENTES LÍMITES.

Lim 3x –2 = 1 x →∞ 9x+7 3 lim 6x2 +2x +1 = 1 x→∞ 6x2 –3x+4 Lim x2 –81 = -18 x → -9 x +9

Lim 4t2+3t+2 = -1 t → 0 t3+2t-6 3

Lim x2+5x+6 = ∞, no existe el límite. x → ∞ x+1

REFERENCIAS. Ayres (2010). Calculo diferencial e integral. Editorial Mc. Graw Hill. México D.F.