Ejercicios de logaritmos (1º de Bachiller)

Se presentan aquí seis ejercicios de repaso de las propiedades de los logaritmos propias de 1º de Bachillerato. La intención de estos ejercicios es mostrar el uso de las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas sencillas.

Además, se quiere motivar el trabajo en el uso de expresiones simbólicas,muy necesario en temarios posteriores.

En la imagen de la portada, estatua del matemático y astrónomo John Napier, figura clave en el desarrollo de los logaritmos.

Para sacarle provecho a esta presentación, se ofrecen las siguiente sugerencias:

● La presentación consta de tres partes; enunciado, una tabla con las propiedades básicas de los logaritmos y las soluciones de estos. Se recomienda intentar hacer los ejercicios sin mirar las soluciones haciendo uso de la tabla.

● En el apartado de soluciones se ofrece una de las soluciones posibles de cada apartado, indicándose en el párrafo de entrada. Sería conveniente, si el ejercicio lo permite, intentar resolverlo de forma distinta a la aquí expuesta.

● Si se presentan dudas con alguna solución se puede recurrir otra vez a la tabla. De todas formas, están desarrolladas al máximo

Ejercicio- Si log x=a y es un logaritmo decimal cual será el valor de las siguientes expresiones. Justifica bien tus respuestas basándote en las propiedades de los logaritmos.

a-) log (1

x2 )

b-) log (√ x3)

c-) log (200

2x4 )

d-) log (1000⋅x1/5)

e-) log (3√ x4

⋅2√ x7

)

f-) log (10⋅√ x8)

Nociones básicas de logaritmo.(Fíjate bien en esta tabla)

Propiedad de los logaritmos Expresión simbólica

(igualdad) El logaritmo de la base es siempre igual a 1.

loga a=1

(logaritmo de 1) El logaritmo de 1 en cualquier base es 0.

loga 1=0

(logaritmo de un cociente) El logaritmo de un cociente es siempre igual a la resta de los logaritmos de su numerador y su divisor.

loga(x/y)=log

a(x)-log

a(y)

(logaritmo de un producto) El logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de sus miembros.

loga(x·y)=log

a(x)+log

a(y)

(logaritmo de una potencia) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base . Este enunciado engloba el caso de las raíces como exponente fraccionario.

loga(xp)=p·log

a(x)

Ejercicio.a (solución)- Uso de los logaritmos como potencia o cociente. Fíjate bien en las dos opciones para resolver este ejercicio.

a. log(1

x2 ) = log (1)−log(x2)

= log(1)−2⋅log(x)= 0−2⋅a =−2⋅a

(solución alternativa )

log(1

x2 ) = log (x−2)

=−2⋅log (x) =−2⋅a

Ejercicio.b (solución)- En este caso, haremos uso de la propiedad del logaritmo de una potencia (ultima fila de la tabla anterior), convirtiendo previamente la raíz en su correspondiente forma exponencial.

b. log(√ x3) = log(x32)

=32⋅log(x) =

32⋅a

Ejercicio.c (solución)- Lo interesante de este ejercicio está en la simplificación previa a la aplicación de las propiedades de los logaritmos. El resto es muy sencillo.

c. log (200

2⋅x4 ) = log(2⋅100

2⋅x4 )

= log(100)−log (x4)

= 2−4⋅log (x) = 2−4⋅a

Ejercicio.d (solución)- En este caso, haremos uso de la propiedad del logaritmo de un producto y del logaritmo de una potencia.

d. log(1000⋅x15) = log(1000) + log(x

15 )

= 3 +15⋅log(x) = 3 +

15⋅a

=(15 + a)

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Ejercicio.e (solución)- Otro caso de logaritmo de un producto, pero se ha tratado como una potencia usando las propiedades de los radicales. Sería interesante buscar otra forma de resolverlo.

e. log(3√ x4

⋅2√ x7

) = log (6√ x8

⋅6√ x21

) = log(6√ x29

)

= log(x296 ) =

296

⋅log(x) =296

⋅a

Ejercicio.f (solución)- También un caso de logaritmo de un producto. Como el anterior se ha resuelto de una forma, pero no es la única. Busca tú la otra.

f. log(10⋅√ x8) = log(10⋅x4)

= log(10) + log(x4) = 1 + 4⋅log (x)= 1 + 4⋅a