Logaritmos_Parte1-2012
-
Upload
telma-castro-silva -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
Transcript of Logaritmos_Parte1-2012
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
1/24
LOGARITMOSPARTE 1/2
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
2/24
QUALOTEMPO?
Giovanna ganhou 1.000 reais de seu pai prafazer sua festa de 15 anos. Ao receber o
dinheiro, no entanto, resolveu abrir mo da
festa, pois queria comprar um computador.
Mas havia um problema: o computador que ela
queria custava 1.500 reais. O jeito era aplicar o
dinheiro que tinha, at conseguir o valor
necessrio.
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
3/24
QUALOTEMPO?
Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de5 % ao ms, capitalizados mensalmente.Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto
tempo os 1000 reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais de que precisava?
Ela havia acabado de aprender a calcular juroscompostos. Fez, ento, as suas contas:
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
4/24
VEJAOSCLCULOS
Capital aplicado: C = 1 000
Taxa: i = 5 % ao ms = 0,05 ao ms
Montante pretendido: M = 1 500
M = C.( 1 + i )t 1 500 = 1 000 . (1,05)t
1,05t = 1,5
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seriaatingido no final do 9 ms de aplicao.
1,057 1,407
1,058
1,4771,059 1,551 1,05
t 1,059 t 9
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
5/24
QUALOEXPOENTE?
Como poderia ser obtido, com uma aproximao
razovel e sem utilizar o mtodo das tentativas,
o valor de t na equao 1,05t = 1,6?
A teoria dos logaritmos muito til em
problemas como esse, que envolve a
determinao de um expoente.
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
6/24
UMPOUCODE
HISTRIA
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
7/24
HISTRIA
A inveno dos logaritmos ocorreu no incio dosculo XVII e creditada ao escocs John Napier
e ao suio Jobst Burgi.
Inicialmente seu objetivo era simplificar os
clculos numricos, principalmente em
problemas ligados Astronomia e Navegao.
A partir dessa fabulosa inveno, tornaram-se
mais simples e mais geis clculos deexpresses como
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
8/24
HISTRIA
Foi o matemtico ingls Henry Briggs (1561
1631) quem props, inicialmente, a utilizao do
sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso
sistema de numerao utiliza justamente a base10.
Atualmente, so inmeras as aplicaes
tecnolgicas dos logaritmos. Eles so teis, por
exemplo, na resoluo de problemas queenvolvem desintegrao radiotiva, o crescimento
de uma populao de animais ou bactrias, etc.
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
9/24
LOGARITMO
COMOEXPOENTE
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
10/24
LOGARITMOCOMOEXPOENTE
O conceito de logaritmo est associado
operao potenciao: mais precisamente
determinao do expoente. Veja:
2x = 8 x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2, igual ao expoente 3. Em smbolos,
log2 8 = 3
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
11/24
LOGARITMOCOMOEXPOENTE
Observe: calcular o log2 8 descobrir o expoente
ao qual se deve elevar a base 2, para obter,
como resultado, a potncia 8.
Vale, portanto a equivalncia:
log2
8 = 3 23 = 8
Calcular um logaritmo obter um expoente.
Logaritmo o mesmo que expoente.
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
12/24
DEFINIO
Suponhamos dois reais positivos a e b (a 1).Se ax = b, dizemos que x o logaritmo de b na
base a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x ax = b
a a base;
b o logaritmando ou antilogaritmo;
x o logaritmo;
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
13/24
log525 = 2/3, porque 52/3 = 52
EXEMPLOS
log2 32 = 5, porque 25 = 32
log3 (1/81) =4, porque 34 = 81
log10 0,001 =3, porque 103 = 0,001
3 3
De acordo com a definio, calcular um logaritmo
descobrir o expoente, ou seja, resolver uma
equao exponencial.
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
14/24
EXEMPLOS
Calcular log4 8.
log4 8 = x
4x = 8 (22)x = 23
22x = 23 x = 3/2
Calcular log1/39.5
log1/39 = x5
13
x
= 95
(31)x = 32/5 3x = 32/5
x = 2/5 x =2/5
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
15/24
CONDIODEEXISTNCIADOLOGARITMO
Da definio, conclumos que o logaritmo sexiste sob certas condies:
log a b = x
b > 0
a > 0
a 1
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
16/24
CONDIODEEXISTNCIA
Analise quais seriam os significados de log 2 (
4),log (2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossemdefinidos.
log2 (4) = x 2x =4 impossvel
log (2) 8 = x (2)x = 8 impossvel
log7 0 = x
7x = 0 impossvel
log1 6 = x
1x = 6 impossvel
log0 2 = x
0x = 2 impossvel
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
17/24
OBSERVAO
Muitas vezes, um logaritmo envolve variveis.Nesse caso, devemos analisar o domnio dessas
variveis. Para isso, usamos as condies de
existncia do logaritmo.
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
18/24
EXEMPLOS
Resolver a equao log x (2x + 8) = 2.1o. Vamos analisar a condio de existncia do
logaritmo.
2x + 8 > 0
x > 0
x 1
x >4
x > 0
x 1
x > 0
x 1
2o. Usando a definio de logaritmo.
logx (2x + 8) = 2 x2 = 2x + 8 x2 2x 8 = 0
x =2 ou x = 4. S = {4}
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
19/24
CONSEQUNCIASDA
DEFINIO
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
20/24
CONSEQUNCIASDADEFINIO
Admitindo-se vlidas as condies de existncia
dos logaritmos, temos os seguintes casos
especiais, que so consequncias da definio.
loga1 = 0
logaa = 1
logaak = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
21/24
EXEMPLOS
log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
log3 39 = 9
log10 103 = 3
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
22/24
CONSEQUNCIASDADEFINIO
Sabemos que log a k o expoente ao qual sedeve elevar a base a para se obter k. Vale por
isso, a seguinte igualdade:
logak
a =k
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
23/24
EXEMPLOS
log5
3
5 = 3
1 + log2 6
2 = 21.2log2 6
= 2.6 = 12
log3 5 9 = (32)
log3 53
log3 5 2
= = 52 = 25
1 log15 3
15 =
log15 3
151
15
=15
3= 5
-
8/7/2019 Logaritmos_Parte1-2012
24/24
http://depirassununga.edunet.sp.gov.br/cursomatematica.htm