LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICASnométricas pueden acceder a la web PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD...

12 Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

486Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

La unidad presenta nuevas funciones que permitirán al alumnado reconocer la importancia que tienen las funciones en todos los ám-bitos y servirá para recordar y profundizar en conocimientos ya adquiridos durante este curso.

Comenzamos la unidad recordando las propiedades de las potencias, el cálculo de logaritmos, los sistemas de medida de ángulos y las razones trigonométricas.

Introduciremos la función exponencial y la función logarítmica haciéndoles ver la implicación que tienen en el análisis de muchos fenómenos sociales, físicos, económicos y de la salud.

Ya han estudiado el concepto de función periódica, las funciones trigonométricas completarán sus conocimientos y serán capaces de recono-cerlas en muchos ejemplos contextualizados que se presentan a lo largo de la unidad. El aprendizaje de las funciones trigonométricas será el cierre del estudio de las funciones elementales este curso.

La metodología se ha diseñado para permitir al alumnado el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y del resto de competen-cias claves.

Comunicación lingüística (CL)Se desarrolla a lo largo de la unidad siendo la protagonista de la sección Matemáticas vivas y Funciones en los medios de comunicación.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se refiere a las capacidades de los alumnos para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando resuelven ejercicios y problemas en diferentes contextos. Esta competencia se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana, como es el sonido, los alumnos reconocerán los contenidos estudiados.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para com-prender determinados conceptos, para exponer gráficamente resultados e interpretar gráficos de la vida cotidiana.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades y especialmente en la sección de Matemáticas vivas. Les permitirá desarrollar un juicio moral y razonar sobre la realidad social contribuyendo así a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

Competencia conciencia y expresión cultural (CCEC)Está presente en las informaciones En tu vida diaria, en actividades finales y en la la sección Funciones en los medios de comunicación.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de dos semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS12

487

12Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer funciones exponenciales y logarítmicas a través de sus expresiones algebraicas y de sus gráficas, y reconocer sus características.❚❚ Construir gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas a partir de tablas o de la expresión algebraica.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de funciones exponenciales y logarítmicas.❚❚ Reconocer las características de las funciones trigonométricas y dibujarlas.❚❚ Obtener el período y la amplitud de funciones trigonométricas.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el tratamiento de funciones trigonométricas.❚❚ Utilizar la calculadora para el cálculo de expresiones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las funciones exponenciales, logarítmicas y trigo-nométricas pueden acceder a la web www.mismates.es

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Funciones exponencialesCaracterísticas de la función exponencial

1. Reconocer funciones exponenciales y a partir de una gráfica, la expresión algebraica o un contexto de la vida cotidiana.

1.1. Opera correctamente con potencias de exponente real.

1.2. Identifica y determina, analítica y gráficamente, la función exponencial y describe sus características.

1.3. Extrae conclusiones de enunciados de problemas en los que interviene una función exponencial

38-40

1- 5, 841- 49

6, 7

CMCTCDCLCAACSCCSIEECCEC

Funciones logarítmicasCaracterísticas de la función logarítmica

2. Identificar funciones logarítmicas y a partir de una gráfica, la expresión algebraica o un contexto de la vida cotidiana.

2.1. Maneja adecuadamente el cálculo de logaritmos.

2.2. Interpreta y representa gráficas de funciones logarítmicas, y describe sus características.

2.3. Extrae conclusiones de enunciados de problemas en los que hay que calcular logaritmos.

50-52, 62

9 -14, 1653-61

1563-66Matemáticas vivas 4F2




P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Función senoCaracterísticas de la función seno

3. Representar e identificar las propiedades de la función seno.

3.1. Identifica y determina, analítica y gráficamente, funciones en las que interviene la función seno.

3.2. Asocia la función seno a movimientos periódicos.

17-20, 22, 2367, 69 a)70 a)71 a) 7274 a) y b)75 a) y c) 76 a) y d)

21, 2479, 80Matemáticas vivas 2Trabajo cooperativoF1


Función cosenoCaracterísticas de la función coseno

4. Representar e identificar las características de la función coseno de un ángulo.

4.1. Identifica y determina, analítica y gráficamente, funciones en las que interviene la función coseno.

4.2. Reconoce la periodicidad de la función coseno.

25-28, 31 68, 69 b)70 b)71 b) 7374 c) y d) 75 b) y d)76 b) y c)

29, 30

CMCTCDCLCAACSCCSIEE

Función tangenteCaracterísticas de la función tangente

5. Reconocer e interpretar las características de la función tangente de un ángulo.

5.1. Interpreta gráficas de funciones tangente y describe sus características.

5.2. Reconoce la periodicidad de la función tangente de un ángulo.

32-3777

78

CMCTCLCAACSCCSIEECCEC



MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

¿Qué tienes que saber? • Función exponencial • Función logarítmica • Función seno y función coseno • Función tangente

AvanzaFunción opuesta, función inversa y función recíproca

Funciones en los medios de comunicación

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Gottfried Wilhelm Leibniz

4. Función coseno • Características de la función coseno GeoGebra. Función coseno

2. Funciones logarítmicas • Características de la función

logarítmicaGeoGebra. Funciones logarítmicas

1. Funciones exponenciales • Características de la función

exponencialGeoGebra. Función exponencial

GeoGebra. Función seno3. Función seno • Características de la función seno

5. Función tangente • Características de la función tangente

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.es

Comprende y resuelve problemas

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Matemáticas vivasEl sonido • Estudio de la propagación del sonido

y toma de conciencia sobre la contaminación acústica.

Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman

Practica+



Sugerencias didácticasLa unidad comienza presentando al alumnado ejemplos de la vida real en los que se van a encontrar funciones exponen-ciales, logarítmicas y trigonométricas. Trataremos el concep-to de funciones recíprocas para reconocer la relación entre la función exponencial y la logarírmica. La presentación de las funciones trigonométricas conviene hacerla con ejemplos coti-dianos de funciones periódicas.

Contenido WEB. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Recurso TIC para complementar la página de inicio con informa-ción relativa a la unidad. En este caso se introduce la figura de Leibniz, matemático alemán que introdujo gran parte de la nota-ción que utilizamos actualmente. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como am-pliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades1. Realiza las operaciones y expresa el resultado como una potencia.

a) 34 ⋅ 3−5 : 3−3 b) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

⋅21

2 ⋅22

3 c) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

⋅5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

:2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

a) 3−1 : 3−3 = 32 b) 2-3 ◊ 21

2 ◊ 22

3 = 2-

11

6 c) 5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

:5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

4

= 1

2. Calcula el valor de x.

a) log2 32 = x b) logx 121 = 2 c) log1/3 x = 6

a) 2x = 32 → 2x = 25 → x = 5 b) x2 = 121→ x = 11 c) 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

6

= x → x =1

7293. Expresa en grados o radianes según corresponda.

a) 45º = ̈rad b) 300º = ̈rad c) π2= !º

a) 45º = π4

rad b) 300º = 5π3

rad c) π2= 90º

4. Escribe el valor de las razones trigonométricas de los ángulos. a) 30º b) 45º c) π3

d) π2

e) 2π3

a) sen 30º =1

2, cos 30º =

3

2, tg 30º =

3

3 d) sen

π2= 1, cos

π2= 0, tg

π2

no existe.

b) sen 45º =2

2, cos 45º =

2

2, tg 45º = 1 e) sen

2π3

=3

2, cos

2π3

= −1

2, tg

2π3

= − 3

c) sen π3=

3

2, cos

π3=

1

2, tg

π3= 3

REPASA LO QUE SABES1. Realiza las operaciones y expresa el resultado como una potencia.

a) 34 ⋅ 3−5 : 3−3 b) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

⋅21

2 ⋅22

3 c) 25

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟

−2

⋅52

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟

2

:25

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟

−4

2. Calcula el valor de x.

a) log2 32 = x b) logx 121 = 2 c) log1/3 x = 6

3. Expresa en grados o radianes según corresponda.

a) 45º = ¨ rad b) 300º = ¨ rad c) π2

= ¨º

4. Escribe el valor de las razones trigonométricas de los ángulos.

a) 30º b) 45º c) π3

d) π2

e) 2π3

257

12FUNCIONES

EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y

TRIGONOMÉTRICAS

La evolución de las poblaciones, la reproducción de las bacterias o la desintegración radioactiva son ejemplos de magnitudes que siguen un modelo de función exponencial. Las funciones recíprocas de las exponenciales son las logarítmicas. La medida del nivel de intensidad del sonido y el cálculo de la fecha de restos arqueológicos son ejemplos modelizables por funciones logarítmicas.

Por otro lado, las funciones trigonométricas son aplicables en aquellas situaciones que se repiten de forma cíclica. El movimiento de las manecillas de un reloj, por ejemplo, o las fases de la luna son comportamientos periódicos que pueden ser representados por este tipo de funciones.

La evolución de las poblaciones, la reproducción de las bacterias o la desintegración radioactiva son ejemplos de magnitudes que siguen un modelo de función exponencial. Las funciones recíprocas de las exponenciales son las logarítmicas. La medida del nivel de intensidad del sonido y el cálculo de la fecha de restos arqueológicos son ejemplos modelizables por funciones logarítmicas.

Por otro lado, las funciones trigonométricas son aplicables en aquellas situaciones que se repiten de forma cíclica. El movimiento de las manecillas de un reloj, por ejemplo, o las fases de la luna son comportamientos periódicos que pueden ser representados por este tipo de funciones.

IDEAS PREVIAS

❚ Propiedades de las

potencias.

❚ Logaritmo de un número

real.

❚ Medida de ángulos.

❚ Razones trigonométricas

de un ángulo.

Aunque las relaciones entre magnitudes ya eran conocidas, fue Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), filósofo y matemático alemán, el primero en utilizar los conceptos de función, abscisa, ordenada y tangente como los describimos en la actualidad.

Matemáticas en el día a día ][mac4e46

491



1. Funciones exponenciales

Sugerencias didácticasEn este primer epígrafe el argumento de la reproducción de las bacterias por bipartición sirve para poner de manifiesto la importancia de conocer y modelizar funciones exponenciales.

Como los alumnos conocen cómo determinar el dominio, re-corrido, monotonía, continuidad y curvatura de funciones, es oportuno que ellos sean los que definan las características de la función exponencial a partir de una representación gráfica que les presentemos.

Soluciones de las actividades

1 Entre estas gráficas hay algunas que no se corresponden con una función exponencial; ¿cuáles son? En el caso de que sean funciones exponenciales indica si el valor de la base, a, es mayor que 1 o está comprendido entre 0 y 1.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

259

12Actividades12 Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

258

Entre estas gráficas hay algunas que no se corresponden con una función exponencial; ¿cuáles son? En el caso de que sean funciones exponenciales indica si el valor de la base, a, es mayor que 1 o está comprendido entre 0 y 1.

a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

Representa en el mismo sistema de coordenadas las funciones exponenciales propuestas.

a) f (x) = 3x y g (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

b) f (x) = 10x y g (x) =1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

Dibuja las funciones f (x) = 4x y g (x) =1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

y realiza el estudio completo de sus

características.

Representa en los mismos ejes de coordenadas e indica las diferencias entre las funciones f (x) = 2x , g (x) = 2x+1 y h(x) = 3 ⋅2x .

Con la ayuda de GeoGebra, representa las funciones f (x) = ex y g (x) = e− x .

La masa de un material radioactivo disminuye en función del tiempo, t, según la función exponencial m(t) = 400 ⋅2−0 ,005 t , donde la masa, m, se mide en gramos y el tiempo, t, en horas. ¿Cuál será la masa del material al cabo de 2 h?

Si invertimos 6 000 € al 4 % anual con un interés compuesto, ¿de qué cantidad dispondremos al cabo de 2 años? Representa la función correspondiente.

1

2

3

4

5

6

7

1. FUNCIONES EXPONENCIALESCuando las bacterias se encuentran en un medio apropiado, se reproducen incrementando su número de forma muy rápida. Esta forma de reproducción se conoce como bipartición.

En esta tabla puedes ver como aumenta el número de bacterias según el número de divisiones que se producen.

N.º de divisiones 0 1 2 3 4

N.º de bacterias 1 2 4 8 16

Este crecimiento sigue la función: f(x) = 2x

Observa que la variable independiente aparece como exponente de una potencia de base 2. Se trata de una función exponencial.

Una función exponencial tiene la forma f(x) = ax, donde la base, a, es un número real positivo distinto de 1.

Características de la función exponencial ❚ Dom f =

❚ Rec f = +

❚ La gráfica pasa por el punto (0, 1), ya que: f(0) = a0 = 1

❚ Es una función continua.

❚ Es una función cóncava.

❚ Si a > 1, es creciente. Además, y = 0 es una asíntota horizontal cuando x toma valores negativos muy grandes.

❚ Si 0 < a < 1, es decreciente. Además, y = 0 es una asíntota horizontal cuando x toma valores positivos muy grandes.

Aprenderás a… ● Identificar y dibujar funciones exponenciales.

● Reconocer situaciones de la vida real que siguen una función exponencial.

❚ Si a > 1, se cumple que:

limx→−∞

ax = 0

limx→+∞

ax = +∞

❚ Si 0 < a < 1, se cumple que:

limx→−∞

ax = +∞

limx→+∞

ax = 0

Lenguaje matemático

a−m =1

am=

1

a

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

m

Recuerda

O 1

1

X

Y

f (x) = 2x

} Dibuja e indica la monotonía de esta función exponencial: f ( x ) =1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

Solución

Creamos una tabla de valores y a continuación realizamos la gráfica.

x −2 −1 0 1 2

f(x) 4 2 11

2

1

4

Es una función decreciente.

EJERCICIO RESUELTO

mac4e47

DESAFÍOEn los apartados que tienes a continuación hay funciones exponenciales idénticas. ¿Cuáles son?

a) a(x) = 6− x d) d (x) = 4 ⋅2x g) g (x) =1

27⋅

1

24

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

b) b(x) = 2x+2 e) e (x) =1

27⋅2−3 x ⋅3− x h) h(x) = 6x( )−3

c) c (x) =1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3 x

f) f (x) =1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

i) i (x) = 22x

8

En tu vida diaria

En el interés compuesto, los intereses producidos por un capital inicial van añadiéndose cada período de tiempo para producir nuevos intereses.La expresión

Cf = C

i 1+ r

100

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

t

es una función exponencial.

GeoGebra. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Este recurso completa la explicación del libro. Utilizando los bo-tones del reproductor o eligiendo la reproducción automática, puede verse cómo representar una función exponencial con base menor que 1.

El recurso puede utilizarse para estudiar las características de este tipo de funciones. También se puede proponer a los alumnos que utilicen el programa GeoGebra para resolver o comprobar alguna de las actividades de la página siguiente.



Las funciones de los apartados b) y c) no son exponenciales.

La función del apartado a) es exponencial y como es decreciente el valor de base a cumple: 0 < a < 1

La función del apartado d) es exponencial y como es creciente el valor de base a cumple: a > 1

2 Representa en el mismo sistema de coordenadas las funciones exponenciales propuestas.

a) f (x) = 3x y g (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

b) f (x) = 10x y g (x) =1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

a)

O 1

1

X

Y

g(x) f(x)

b)

O 1

1

X

Y

g(x) f(x)

3 Dibuja las funciones f (x) = 4x y g (x) =1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

y realiza el estudio completo de sus características.

Función f(x):

Dom f = !, Rec f = !+ , la gráfica pasa por el punto (0, 1).

Es continua, cóncava y creciente.

La recta y = 0 es asíntota horizontal.

Función g(x):

Dom g = !, Rec g = !+ ,, la gráfica pasa por el punto (0, 1).

Es continua, cóncava y decreciente.


4 Representa en los mismos ejes de coordenadas e indica las diferencias entre las funciones f (x) = 2x , g (x) = 2x+1 y h(x) = 3 ⋅2x .

Las funciones g(x) y h(x) son transformaciones de la función f(x).

Las tres tienen el mismo dominio, ,y el mismo recorrido, +.

Son continuas, cóncavas y crecientes.


No cortan al eje Y en el mismo punto; f(x) corta en (0, 1), g(x) corta en (0, 2) y h(x) corta en (0, 3).

5 Con la ayuda de GeoGebra, representa las funciones f (x) = ex y g (x) = e− x .

O 1

1

X

Y f(x) g(x)

O 1

1

X

Y g(x)

f(x)h(x)

493



6 La masa de un material radioactivo disminuye en función del tiempo, t, según la función exponencial m(t) = 400 ⋅2−0 ,005 t , donde la masa, m, se mide en gramos y el tiempo, t, en horas. ¿Cuál será la masa del material al cabo de 2 h?

La masa al cabo de 2 h será: m (2) = 400 ⋅ 2−0,005 ⋅ 2 = 397,24 g

7 Si invertimos 6 000 € al 4 % anual con un interés compuesto, ¿de qué cantidad dispondremos al cabo de 2 años? Representa la función correspondiente.

La función es: C (t ) = 6000 ⋅ 1+4

100

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

t

= 6000 ⋅ (1,04 )t

Al cabo de 2 años dispondremos de:

C (2) = 6000 ⋅ (1,04 )2 = 6 489,60 €

Desafío

8 En los apartados que tienes a continuación hay funciones exponenciales idénticas. ¿Cuáles son?

a) a(x) = 6− x d) d (x) = 4 ⋅2x g) g (x) =1

27⋅

1

24

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

b) b(x) = 2x+2 e) e (x) =1

27⋅2−3 x ⋅3− x h) h(x) = 6x( )−3

c) c (x) =1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3 x

f) f (x) =1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

i) i (x) = 22x

Son idénticas:

❚ a(x) y f (x) : 6− x =1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

❚ b (x) y d(x) : 2x +2 = 4 ⋅2x

❚ c (x) y h(x) :1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3 x

= 6x( )−3

❚ e (x) y g (x) : e (x) =1

27⋅2−3 x ⋅3− x = 3−3 ⋅2−3 x ⋅3− x = 2−3 x ⋅3− x−3

y g (x) =1

27⋅

1

24

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

= 3−3 ⋅1

23 ⋅3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

= 3−3 ⋅2−3 x ⋅3− x = 2−3 x ⋅3− x−3

❚ i (x) es distinta del resto.

O 1

1 000

X

Y C(t) = 6 000 · (1,04)t



2. Funciones logarítmicas


9 Copia las tablas en tu cuaderno, complétalas y dibuja las gráficas utilizando el mismo sistema de coordenadas.

a) f(x) = log3 x b) g (x) = log1/3 x

x1

27

1

9

1

31 3 9

f (x) O O O O O O

x1

27

1

9

1

31 3 9

g (x) O O O O O O

a) x

1

27

1

9

1

31 3 9

f (x) −3 −2 −1 0 1 2

b) x

1

27

1

9

1

31 3 9

g (x) 3 2 1 0 −1 −2

261


260

Copia las tablas en tu cuaderno, complétalas y dibuja las gráficas utilizando el mismo sistema de coordenadas.

a) f(x) = log3 x

b) g (x) = log1/3 x

Representa en los mismos ejes de coordenadas las funciones f (x) = log10 x y g (x) = log1/10 x.

Escribe las expresiones algebraicas de las funciones representadas.

a)

O 1

1

X

Yf(x)

g(x)

h(x)

i(x)

b)

O 1

1

X

Y

f(x) g(x)

h(x) i(x)

Sin hacer la gráfica, determina la monotonía, la curvatura y la recta asíntota de la función.

a) f(x) = log5 x c) f(x) = log10 x

b) f (x) = log1/5 x d) f(x) = log0,1 x

Averigua la función simétrica respecto del eje de abscisas.

a) f(x) = log2 x b) f (x) = log1/3 x

Escribe la expresión de la función simétrica respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

a) f(x) = log3 x b) f (x) = log1/3 x c) f(x) = log5 x d) f (x) = log1/5 x

La masa de un material radioactivo disminuye en función del tiempo, t, según la función exponencial m(t) = 40 ⋅2−0 ,005 t , donde la masa, m, se mide en gramos y el tiempo, t, en horas. ¿Al cabo de cuánto tiempo la masa del material es de 20 g?

9

x1

27

1

9

1

31 3 9

f(x) O O O O O O

x1

27

1

9

1

31 3 9

g(x) O O O O O O

10

11

12

13

14

15

2. FUNCIONES LOGARÍTMICASJaime está investigando qué pasaría si en la función f (x) = 2x , que representa la reproducción de las bacterias, intercambiara los valores de la variable independiente, x, por los valores de la variable dependiente, y.

Para ello, construye una tabla de valores y, a partir de ella, confecciona otra en la que intercambia los valores de las variables. Esta segunda tabla le permite averiguar, a partir del número de bacterias, cuántas veces se ha repetido el proceso de bipartición.

N.º de divisiones (x) 0 1 2 3 4

N.º de bacterias (f(x)) 1 2 4 8 16

N.º de bacterias (x) 0 2 4 8 16

N.º de divisiones (g(x)) 1 1 2 3 4

Al representar ambas funciones, observa que la gráfica correspondiente a la segunda tabla es simétrica a la de la función f (x) = 2x respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

La nueva función es g (x) = log2 x y se llama función logarítmica.

Una función logarítmica tiene la forma f(x) = loga x, donde la base, a, es un número real positivo distinto de 1.

Características de la función logarítmica ❚ Dom f = +

❚ Rec f =

❚ La gráfica pasa por el punto (1, 0), ya que f(1) = loga 1 = 0.

❚ Es una función continua.

❚ Para valores de x positivos muy próximos a 0, la variable dependiente, y, toma valores muy grandes (positivos o negativos); por tanto, x = 0 es una asíntota vertical.

❚ Si a > 1, es creciente y convexa.

❚ Si 0 < a < 1, es decreciente y cóncava.

Aprenderás a… ● Identificar y dibujar funciones logarítmicas.

● Reconocer situaciones de la vida real que siguen una función logarítmica.

Dos funciones se llaman recíprocas si son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.


❚ Si a > 1, se cumple que:

limx→0

loga x = −∞

limx→+∞

loga x = +∞

❚ Si 0 < a < 1, se cumple que:

limx→0

loga x = +∞

limx→+∞

loga x = −∞


loga P = x ⇔ P = ax

Recuerda

} Dibuja en los mismos ejes de coordenadas las funciones f (x) = log2 x y g(x) = log1/2 x .

Solución

Creamos una tabla de valores para cada función, dando a la variable independiente, x, valores que sean potencias de la base, y a continuación realizamos las gráficas.

x1

8

1

4

1

21 2 4

f(x) −3 −2 −1 0 1 2

x1

8

1

4

1

21 2 4

g(x) 3 2 1 0 −1 −2

EJERCICIO RESUELTO

mac4e48

Sabemos que el logaritmo neperiano es el que tiene por base el número e = 2,718… Con la ayuda de GeoGebra representa las funciones f (x) = ln x y g (x) = log1/e x .

16

Investiga

En tu vida diaria

En productos de aseo y limpieza se usa la expresión pH neutro, equivalente al pH de la piel, para destacar su no agresividad. Cuando nos lavamos con un jabón no apropiado, podemos provocar que la piel alcance niveles de pH mayores, lo que favorece el crecimiento bacteriano.

Como el pH de la piel humana varía entre 4,5 y 5,9, si se aplican productos de pH alto, se originan variaciones en el pH cutáneo que pueden ser negativas.Para el cálculo del pH, se utiliza la expresión:

pH = −log H+[ ]donde H+ es la concentración del ion hidrógeno en mol/L.

O 1

1

X

Y

f (x) = 2x

g (x) = log²(x)

Sugerencias didácticasEs importante comenzar relacionando la función logarítmica con la función exponencial.

Es el momento de asegurarnos de que el alumnado tiene des-treza en el cálculo de logaritmos y maneja con fluidez la cal-culadora.

Han de ser capaces de dibujar correctamente una función lo-garítmica dada mediante una tabla de valores o la expresión algebraica y es conveniente que ellos definan las características de la función logarítmica a partir de una representación gráfica que les presentemos.

GeoGebra. FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Este recurso completa la explicación del libro. Utilizando los boto-nes del reproductor o eligiendo la reproducción automática, pue-de verse la representación de una función logarítmica con base 2 y de otra con base 1/2, comprobando la simetría entre ellas.

El recurso puede utilizarse para estudiar las características de este tipo de funciones. También se puede proponer a los alumnos que utilicen el programa GeoGebra para resolver o comprobar alguna de las actividades de la página siguiente.

O 1

1

X

Y

f(x)

g(x)

495



10 Representa en los mismos ejes de coordenadas las funciones f (x) = log10 x y g (x) = log1/10 x .

11 Escribe las expresiones algebraicas de las funciones representadas.

a)

O 1

1

X

Yf(x)

g(x)

h(x)

i(x)

b)

O 1

1

X

Y

f(x) g(x)

h(x) i(x)

a) f (x) = log2 x h(x) = log4 x b) f (x) = log1/10 x h(x) = log1/3 x

g (x) = log3 x i (x) = log10 x

g (x) = log1/4 x

i (x) = log1/2 x

12 Sin hacer la gráfica, determina la monotonía, la curvatura y la recta asíntota de la función.

a) f(x) = log5 x b) f (x) = log1/5 x c) f(x) = log10 x d) f(x) = log0,1 x

a) Como a = 5, es creciente y convexa. La recta x = 0 es asíntota vertical.

b) Por ser 0 < a < 1, es decreciente y cóncava. La recta x = 0 es asíntota vertical.

c) Como a = 10, es creciente y convexa. La recta x = 0 es asíntota vertical.

d) Por ser 0 < a < 1, es decreciente y cóncava. La recta x = 0 es asíntota vertical.

13 Averigua la función simétrica respecto del eje de abscisas.

a) f(x) = log2 x b) f (x) = log1/3 x

a) g (x) = log1/2 x b) g (x) = log3 x

14 Escribe la expresión de la función simétrica respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

a) f(x) = log3 x b) f (x) = log1/3 x c) f(x) = log5 x d) f (x) = log1/5 x

a) g (x) = 3x b) g (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

c) g (x) = 5x d) g (x) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

15 La masa de un material radioactivo disminuye en función del tiempo, t, según la función exponencial m(t) = 40 ⋅2−0 ,005 t , don-de la masa, m, se mide en gramos y el tiempo, t, en horas. ¿Al cabo de cuánto tiempo la masa del material es de 20 g?

Resolvemos la ecuación: 20 = 40 ⋅ 2−0 ,005 t →20

40= 2−0 ,005 t →

1

2= 2−0 ,005 t → 2−1 = 2−0 ,005 t

Así,−1 = −0,005t → t =1

0,005= 200 horas.

Desafío

16 Sabemos que el logaritmo neperiano es el que tiene por base el número e = 2,718… Con la ayuda de GeoGebra representa las funciones f (x) = ln x y g (x) = log1/e x.

O 1

1

X

Y

f(x)

g(x)



3. Función seno


17 Indica las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de f(x) = sen x.

La función corta al eje X en los puntos de la forma (kπ, 0), k ∈ ! y corta al eje Y en el punto (0, 0).

18 Halla las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de la función f(x) = sen x en el intervalo [−2π, 2π].

Los puntos máximos son: −3π2

, 0⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y

π2

, 0⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ Los puntos mínimos son: −

π2

, 0⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y

3π2

, 0⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

19 Comprueba, a partir de seis valores de x, que f(x) = sen x es una función impar.

Construimos una tabla de valores:

x −3π

2−

π

2−

π

6

π

6

π

2

3π

2

f(x) 1 −1 −1/2 1/2 1 −1

La función es impar porque cumple: f −3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −f

3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, f −

π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −f

π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y f −

π6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −f

π6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

263


262

Indica las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de f(x) = sen x.

Halla las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de la función f(x) = sen x en el intervalo [−2π, 2π].

Comprueba, a partir de seis valores de x, que f(x) = sen x es una función impar.

Averigua el valor de las imágenes de estos ángulos mediante f(x) = sen x.

a) π

4 b)

3π

4 c)

5π

4 d)

7π

4

17

18

19

20

3. FUNCIÓN SENOSara va a representar la función que proporciona la altura en el movimiento de una silla de noria.

Considerando que el radio de la noria mide 1 unidad y llamando P a la posición de la silla en cada momento, observa que sus coordenadas se corresponden con los valores cos α y sen α, donde α es el ángulo formado por la semirrecta que contiene a P y una semirrecta horizontal.

Así, las coordenadas del punto P variarán en función de la amplitud del ángulo y serán: P(cos α, sen α)

A partir de la circunferencia goniométrica, crea una tabla de valores en la que la variable x represente el ángulo y dibuja la función y = sen x.

x (rad) 0π6

π3

π2

5π6

π7π6

4π3

3π2

11π6

2π

x (º) 0º 30º 60º 90º 150º 180º 210º 240º 270º 330º 360º

y = sen x 01

23

21

1

20 −

1

2−

3

2−1 −

1

20

Aprenderás a… ● Representar e identificar las propiedades de la función seno de un ángulo.

● Asociar la función seno a movimientos periódicos.

❚ Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene radio 1.

❚ En un triángulo rectángulo el seno de un ángulo agudo, α, es:

sen α = cateto opuesto

hipotenusa

❚ En un triángulo rectángulo el coseno de un ángulo agudo, α, es:

cos α = cateto contiguo

hipotenusa

Recuerda

La función seno, f(x) = sen x, es una función trigonométrica que asocia a cada valor del ángulo x su seno.

Características de la función seno ❚ Dom f =

❚ Rec f = [−1, 1]

❚ Es una función impar.

❚ Es una función continua en todo su dominio.

❚ Sus puntos máximos tienen por coordenadas: π2+ 2πk , 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, k ∈

❚ Sus puntos mínimos son de la forma: 3π2

+ 2πk , −1⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, k ∈

❚ Es periódica de período 2π.

Dibuja la función f(x) = sen (4x) e indica el valor del período.

Dibuja la función f(x) = 1 + sen x.

Relaciona cada gráfica con su función.

a) y = 1 + sen x

b) y = sen x − 1

c) y = sen x + 2

d) y = −3 + sen x

21

22

23

O

1

X

Y f(x)

g(x)

h(x) i(x) —2

} Dibuja g(x) = sen (2x) en el intervalo [−2π, 2π] e indica el valor del período.

Solución

Como es una función impar, los valores que tome la función en el intervalo [0, 2π] serán los mismos, pero cambiados de signo, que los que tome en el intervalo [−2π, 0].

x 0π3

π2

2π3

π7π6

4π3

3π2

11π6

2π

f(x) 0 3

20 −

3

20 3

2

3

20 −

3

20

El período es π porque la función se repite en intervalos de amplitud π: g(x) = g(x + π)

EJERCICIO RESUELTO

mac4e49

Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

f(−x) = −f(x)

Recuerda

En tu vida diaria

❚ Una onda es una perturbación que se desplaza en el agua, en el aire…, y que periódicamente vuelve a su estado inicial. La amplitud de una onda es el desplazamiento máximo de la

perturbación.❚ Las interferencias son los fenómenos producidos por el encuentro de ondas sonoras: dos o más ondas se superponen y forman una onda resultante de mayor o menor amplitud.

•

•O a

P (a, b)

b

1

1

X

Y

α

X

Y

1

–1

r = 1 0O•

• •• ••

•••• •

• •

—2

—2

3—2

3—2 2

El movimiento producido por una fuerza recuperadora y que depende del tiempo es una función de tipo seno.

La función, f(t), que describe el desplazamiento, en cm, de un péndulo en el tiempo, en s, es: f(t) = 4 sen (4t)

Averigua la amplitud (máxima separación entre el péndulo y la posición de equilibrio) y el período.

24

Investiga

Sugerencias didácticasEl epígrafe presenta una situación cotidiana de un comporta-miento periódico. Será sencillo hacerles comprender la relación del movimiento de la noria con la representación de puntos en la circunferencia goniométrica. Debemos repasar la medida de ángulos en grados y en radianes así como la definición de seno de un ángulo. Al tratarse de una función periódica nos asegura-remos de que los alumnos escriben correctamente los puntos de corte con los ejes y las coordenadas de los máximos y mínimos.

GeoGebra. FUNCIÓN SENO

En este recurso puede verse la representación gráfica de una fun-ción trigonométrica de tipo seno. Pueden utilizarse los botones del reproductor para ver el procedimiento paso a paso. Por últi-mo, aparece la función seno para estudiar la relación entre ellas.

497



20 Averigua el valor de las imágenes de estos ángulos mediante f(x) = sen x.

a) π

4 b)

3π

4 c)

5π

4 d)

7π

4

a) fπ4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = sen

π4

=2

2 b) f

3π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = sen

3π4

=2

2 c) f

5π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = sen

5π4

= −2

2 d) f

7π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = sen

7π4

= −2

2

21 Dibuja la función f(x) = sen (4x) e indica el valor del período.

O π

1 f(x)

π2—

Y

X El período es: T =π

2

22 Dibuja la función f(x) = 1 + sen x.

O

1

X

Y

—2

23 Relaciona cada gráfica con su función.

a) y = 1 + sen x c) y = sen x + 2

b) y = sen x − 1 d) y = −3 + sen x

a) g(x) c) f (x)

b) h(x) d) i (x)

Investiga

24 El movimiento producido por una fuerza recuperadora y que depende del tiempo es una función de tipo seno.

La función, f(t), que describe el desplazamiento, en cm, de un péndulo en el tiem-po, en s, es: f(t) = 4 sen (4t).

Averigua la amplitud (máxima separación entre el péndulo y la posición de equili-brio) y el período.

• • •

•1

XO

YPeríodo

Am

plitu

d

ππ2— 3π

2— 2π

Al dibujar la función podemos observar que la amplitud

es A = 4 y el período es: T =π2

O

1

X

Y f(x)

g(x)

h(x) i(x) —2




25 Indica las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de f(x) = cos x.

La función corta con el eje X en los puntos de la forma 2k −1

2π, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , k ∈ !

Corta al eje Y en el punto (0, 0).

26 Comprueba, a partir de seis valores de x, que f(x) = cos x es una función par.

Creamos una tabla de valores:

Podemos afirmar que la función es par porque cumple:

fπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = f −

π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, f

π3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = f −

π3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y f

π6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = f −

π6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x −π

2−

π

3−

π

6

π

6

π

3

π

2

f(x) 01

2

3

2

3

2

1

20

4. Función coseno

Sugerencias didácticasEl movimiento circular uniforme permitirá que el alumnado identifique los valores de las proyecciones del punto P que re-presenta el movimiento del péndulo sobre el eje de abscisas. El estudio de las características de la función coseno debemos hacerla presentando a los alumnos la representación gráfica. Nos aseguraremos de que los alumnos escriben correctamente los puntos de corte con los ejes y las coordenadas de los máxi-mos y mínimos.

GeoGebra. FUNCIÓN COSENO

En este recurso puede verse la representación gráfica de una fun-ción trigonométrica de tipo coseno. Pueden utilizarse los boto-nes del reproductor para ver el procedimiento paso a paso. Por último, aparece la función coseno para estudiar la relación entre ellas.

265


264

Indica las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de f(x) = cos x.

Comprueba, a partir de seis valores de x, que f(x) = cos x es una función par.

Halla las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de la función f(x) = cos x en el intervalo [−2π, 2π].

Averigua el valor de las imágenes de los ángulos mediante la función f(x) = cos x.

a) π

4 b)

3π

4 c)

5π

4 d)

7π

4

25

26

27

28

Relaciona cada gráfica con su función.

O

1

X

Y

f(x) g(x) h(x)

—2

a) y = cos (4x) b) y = cos (2x) c) y = cos x

Averigua el período de las siguientes funciones.

a) f(x) = cos (4x) b) g(x) = cos (8x) c) h(x) = cos x

2 d) i(x) = cos

x

4

29

30

4. FUNCIÓN COSENOÁngel está estudiando el movimiento circular uniforme de una bola de 30 g de masa que se encuentra unida al extremo de una cuerda de 1 m de longitud.

Quiere dibujar la función que represente los valores de las proyecciones de OP sobre el eje X, esto es, los valores a.

Como el punto P tiene por coordenadas P(cos α, sen α), la función que tiene que dibujar se corresponde con: y = cos x

A partir de la circunferencia goniométrica, crea una tabla de valores en la que la variable x represente el ángulo y dibuja la función y = cos x.

x (rad) 0π6

π3

π2

5π6

π7π6

4π3

3π2

11π6

2π

x (º) 0º 30º 60º 90º 150º 180º 210º 240º 270º 330º 360º

y = cos x 13

2

1

20 −

3

2−1 −

3

2−

1

20 3

21

La función coseno, f(x) = cos x, es una función trigonométrica que asocia a cada valor del ángulo x su coseno.

Características de la función coseno ❚ Dom f =

❚ Rec f = [−1, 1]

❚ Es una función par.

❚ Es una función continua en todo su dominio.

❚ Sus puntos máximos tienen por coordenadas: (2πk, 1), k ∈

❚ Sus puntos mínimos son de la forma: ((2k − 1)π, −1), k ∈

❚ Es periódica de período 2π.

Aprenderás a… ● Representar e identificar las propiedades la función coseno de un ángulo.

● Asociar la función coseno a movimientos periódicos…

En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo, α, es:

cos α = cateto contiguo

hipotenusa

Recuerda

DESAFÍODibuja las siguientes funciones utilizando los mismos ejes de coordenadas.

a) f(x) = 1 + cos x b) g(x) = cos (x − 1) c) h(x) = cos (x + 2) d) i(x) = −3 + cos x

31

Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas.

f(−x) = f(x)

Recuerda

} Dibuja la función g(x) = cos (2x) en el intervalo [−2π, 2π] e indica el valor del período.

Solución

Como es una función par, los valores que tome en el intervalo [0, 2π] coincidirán con los que tome en el intervalo [−2π, 0].

x 0π3

π2

2π3

π7π6

4π3

3π2

11π6

2π

f(x) 1 −1

2−1 −

1

21

1

2−

1

2−1

1

21

El período de la función g(x) = cos (2x) es π porque la función se repite en intervalos de amplitud π, esto es: g(x) = g(x + π)

EJERCICIO RESUELTO

mac4e50

Presta atención

Si k es un número positivo, el período de las funciones

f(x) = a sen (kx) y

g(x) = a cos (kx) es: 2πk

•

•

O a

P (a, b)

b

1

1

X

Y

α

•••

•• ••

•••• •

• •—2

3—2

—2

3—2

2

X

Y

1

–1

r = 1 0O

499



27 Halla las coordenadas de los puntos máximos y mínimos de la función f(x) = cos x en el intervalo [−2π, 2π].

Los puntos máximos son: (−2π, 1), (0, 1) y (2π, 1) Los puntos mínimos son: (−π,−1) y (π,−1)

28 Averigua el valor de las imágenes de los ángulos mediante la función: f(x) = cos x

a) π

4 b)

3π

4 c)

5π

4 d)

7π

4

a) fπ4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = cos

π4

=2

2 c) f

5π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = cos

5π4

= −2

2

b) f3π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = cos

3π4

= −2

2 d) f

7π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = cos

7π4

=2

2

29 Relaciona cada gráfica con su función.

a) y = cos (4x) b) y = cos (2x) c) y = cos x

a) h(x)

b) g(x)

c) f(x)

30 Averigua el período de las siguientes funciones.

a) f(x) = cos (4x) b) g(x) = cos (8x) c) h(x) = cos x

2 d) i(x) = cos

x

4La función f(x) = a cos (kx) tiene por período T =

2πk

.

a) k = 4 → T =2π4

=π2

c) k =1

2 → T =

2π1

2

= 4π

b) k = 8 → T =2π8

=π4

d) k =1

4 → T =

2π1

4

= 8π

Desafío

31 Dibuja las siguientes funciones utilizando los mismos ejes de coordenadas.

a) f(x) = 1 + cos x b) g(x) = cos (x − 1) c) h(x) = cos (x + 2) d) i(x) = −3 + cos x

O

1

X

Ya

bc

d

ππ2— 3π

2—

O

1

X

Y

f(x) g(x) h(x)

—2




32 Escribe la ecuación de las asíntotas de la función f (x) = tg x en el intervalo [−2π, 2π].

La rectas asíntotas en ese intervalo son :

x = −3π2

, x = −π2

, x =π2

y x =3π2

33 Comprueba algebraicamente que f(x) = tg x es una función impar.

f (−x ) = tg (−x ) =sen (−x )

cos (−x )=−sen x

cos x= −tg x

−f ( x ) = −tg x

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ f (−x ) = −f ( x ) → f ( x ) = tg x es una función impar.

34 Averigua el valor de las imágenes de los ángulos mediante la función f(x) = tg x.

a) π

4 b)

3π

4 c)

5π

4 d)

7π

4

a) fπ4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = tg

π4

= 1 b) f3π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = tg

3π4

= −1 c) f5π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = tg

5π4

= 1 d) f7π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = tg

7π4

= −1

5. Función tangente

Sugerencias didácticasLa visualización gráfica de la función tangente ayudará a asen-tar los conocimientos adquiridos por los alumnos como el do-minio, la simetría, la continuidad y las asíntotas de funciones. De forma algebraica y gráfica deberán ser capaces de determi-nar el dominio, la continuidad y las asíntotas.

Puede resultar difícil la representación de la función tangente por lo que es muy conveniente que en caso de pedirles la rea-lización de alguna gráfica les facilitemos el uso del programa GeoGebra.

267


266

Escribe la ecuación de las asíntotas de la función f(x) = tg x en el intervalo [−2π, 2π].

Comprueba algebraicamente que f(x) = tg x es una función impar.

Averigua el valor de las imágenes de los ángulos mediante la función f(x) = tg x.

a) π

4 b)

3π

4 c)

5π

4 d)

7π

4

32

33

34

5. FUNCIÓN TANGENTEPaula se ha propuesto analizar cómo será la función que relaciona cada ángulo con el valor de su tangente; para ello, crea una tabla de valores y la representa.

Como tg α =sen αcosα

, si la variable x

representa el ángulo, la función será:

f(x) = tg x = sen x

cos x

Se encuentra con que esta función no está definida para los valores que anulan el denominador.Por tanto, cuando cos x = 0, es decir, cuando

el ángulo es: π2

, 3π2

, 5π2

, … no existe la función f(x) = tg x.

x (rad) 0π6

π3

π2

2π3

π7π6

4π3

3π2

11π6

2π

x (º) 0º 30º 60º 90º 120º 180º 210º 240º 270º 330º 360º

y = tg x 0 3

33 ∃ − 3 0 3

33 ∃ −

3

30

La función tangente, f(x) = tg x, es una función trigonométrica que asocia a cada valor del ángulo x su tangente.

Características de la función tangente ❚ Dom f = todos los ángulos excepto aquellos cuyo coseno valga 0, esto es:

− (2k + 1)π2

,k ∈ ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

❚ Rec f =

❚ No es continua; los puntos de discontinuidad son: x = (2k + 1)π2

,k ∈

❚ Las rectas x = (2k + 1)π2

,k ∈ son asíntotas verticales de la función.

❚ Es creciente en su dominio.

❚ Es periódica de período π.

❚ Es una función impar.

Aprenderás a… ● Reconocer e identificar las características de la función tangente de un ángulo.

En un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo, α, es:

tg α = cateto opuesto

cateto contiguo

Recuerda

❚ El símbolo ∃ se utiliza para indicar que un valor numérico existe.

❚ El símbolo ∃ indica que un valor numérico no existe.


Escribe la ecuación de las asíntotas de la función g(x) = tg (2x) en el intervalo[−2π, 2π].

Determina el dominio de esta función: f(x) = tg (4x)

35

36

} Dibuja la función g(x) = tg (2x) en el intervalo [−2π, 2π] e indica el valor del período.

Solución

Como es una función impar, los valores que tome en el intervalo [−2π, 0] serán iguales, pero cambiados de signo, que los que tome en el intervalo [0, 2π].

x 0π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

f(x) 0 3 ∃ − 3 0 3 ∃ − 3 0

O

1

X

Y f(x) = tg x

g(x) = tg (2x)

—2

El período de la función g(x) = tg (2x) es π2

. La función se repite en intervalos de π2

de amplitud, esto es: g(x) = g x +π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

EJERCICIO RESUELTO

Escribe las expresiones de las funciones representadas.37

Investiga

En tu vida diaria

Como tg α = h

d, para

calcular la altura de una torre, podemos despejar en la expresión de este modo:h = d ⋅ tg α

•

••

•

•

•

•

•

1

O–1

– – X

Y

0

—2

—23—

2

—2

O

1

X

Yf(x) g(x)

h(x) i(x)

—2

•

•

O a

P

b1

1

X

Y

α

501



35 Escribe la ecuación de las asíntotas de la función g(x) = tg (2x) en el intervalo [−2π, 2π].

Fijándonos en la gráfica del ejercicio resuelto las rectas asíntotas son:

x = −7π

4, x = −

5π

4, x = −

3π

4, x = −

π

4, x =

π

4, x =

3π

4, x =

5π

4 y x =

7π

4

36 Determina el dominio de esta función: f(x) = tg (4x)

Dom f = Dom sen (4 x )

cos (4 x )

Como cos (4 x ) = 0 → 4 x = (2k + 1)π2→ x = (2k + 1)

π8

, k ∈ !

Así: Dom f = !− (2k + 1)π8

, k ∈ !⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Investiga

37 Escribe las expresiones de las funciones representadas.

O

1

X

Yf(x) g(x)

h(x) i(x)

—2

f(x) = tg 2x g(x) = tg x h(x) = tgx

2 i (x) = tg

x

4



Actividades finalesSoluciones de las actividades

38 Realiza las operaciones y expresa el resultado en forma de potencia.

a) 3 ⋅ 3−5 b) 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

⋅3−7 ⋅3 c) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

⋅2−

1

3 : 22

3 d) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

:5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

a) 3−4 c) 2−3 ⋅2−

1

3 : 22

3 = 2−10

3 : 22

3 = 2−4

b) 32 ⋅3−7 ⋅3 = 3−4 d) 5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

:5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

=2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

=5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

5

39 Determina el valor de las potencias.

a) 0,52 b) 0,5−2 c) 2( )4 d) 2( )−4

a) 0,52 =1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=1

4 b) 0,5−2 =

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

= 22 = 4 c) 2( )4 = 24

2 = 22 d) 2( )−4

= 2−

4

2 = 2−2 =1

4

¿Qué tienes que saber?

Sugerencias didácticasEn esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Representar gráficamente funciones exponenciales y describir sus características.

❚❚ Representar gráficamente funciones logarítmicas y describir sus características.

❚❚ Dibujar la función seno y coseno de un ángulo y analizar sus características.

❚❚ Describir las características de la función tangente de un ángulo.

268 269

¿QUÉ12 tienes que saber? Actividades Finales 12

Determina el dominio y el recorrido de las funciones.

a) f(x) = 10x c) f(x) = 10x − 2

b) f(x) = 2 ⋅ 10x d) f(x) = 10x + 2

Escribe las expresiones algebraicas de las funciones representadas.

O 1

1

X

Yf(x) g(x) h(x) i(x) j(x) k(x)

Representa estas funciones en los mismos ejes e indica la relación entre ellas.

a) f(x) = 1 + ex

b) f(x) = 1 − ex

c) f(x) = 1 + e−x

d) f(x) = 1 − e−x

Escribe la ecuación de la recta asíntota de cada función.

a) f(x) = 4x c) f(x) = 4x − 1

b) f(x) = 4x + 1 d) f(x) = 4x + 4

Indica qué tipo de curvatura tienen las funciones.

a) f (x) = 7x c) f (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

b) f (x) = 7− x d) f (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− x−1

Determina el valor de las expresiones.

a) log2 64 c) log25 5

b) log1

2

64 d) log25

1

5

Determina el valor de la función en el punto que se indica.

a) f (x) = log x en x = 100

b) f (x) = log x en x = 0,1

c) f (x) = log2 x en x = 8

d) f (x) = log1

2

x en x = 1

8

Averigua la imagen de x = 0,1 mediante las funciones.

a) f (x) = log x b) f (x) = log1

x

45

46

47

48

49

50

51

52

Funciones exponencialesy funciones logarítmicas

Realiza las operaciones y expresa el resultado en forma de potencia.

a) 3 ⋅ 3−5 c) 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

⋅2−

1

3 : 22

3

b) 1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

⋅3−7 ⋅3 d) 2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

:5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

⋅2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−5

Determina el valor de las potencias.

a) 0,52 b) 0,5−2 c) 2( )4 d) 2( )−4

Utiliza la calculadora para determinar el valor de la función en el punto que se indica.

a) f(x) = 2x en x = −4

b) f(x) = 2−x en x = 4

c) f(x) = 2−x en x = −4

d) f(x) = 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

en x = −2

Halla la expresión de la función que relaciona las variables según la tabla.a) x −2 −1 0 1 2

f(x)1

36

1

61 6 36

b) x −2 −1 0 1 2

g(x) 36 6 11

6

1

36

Indica, sin dibujarlas, si las funciones son crecientes o decrecientes.

a) f (x) = 3x d) f (x) = 33−x

b) f (x) = 3− x e) f (x) =2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

c) f (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

f) f (x) =3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

Averigua el punto de corte de las funciones con el eje de ordenadas.

a) f (x) = 5x d) f (x) = 53−x

b) f (x) = 5− x e) f (x) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− x+1

c) f (x) = 52 x f) f (x) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2x+2

Representa las funciones propuestas en los mismos ejes e indica la relación entre ellas.

a) f(x) = 3x c) f(x) = 3x + 1

b) f(x) = 2 ⋅ 3x d) f(x) = 3x − 1

38

39

40

41

42

43

44

Dibuja la función f (x) = 5x y describe sus características.

Dom f =

Rec f = +

La gráfica pasa por el punto (0, 1).

Es continua, creciente y cóncava.

La recta y = 0 es una asíntota horizontal, cuando x toma valores negativos muy grandes.

Función exponencialTen en cuentaUna función exponencial tiene la forma f(x) = ax, donde la base, a, es un número real positivo distinto de 1.

O 1

1

X

Y

Representa la función f (x) = log5 x y describe sus características.

Dom f = +

Rec f =

La gráfica pasa por el punto (1, 0).

Es continua, creciente y convexa.

La recta y = 0 es una asíntota vertical.

Función logarítmicaTen en cuentaUna función logarítmica tiene la forma f(x) = loga x, donde la base, a, es un número real positivo distinto de 1.

O 1

1

X

Y

Dibuja las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x, analizando sus características.

En ambas funciones, Dom f = y Rec f = [−1, 1]. Además, las dos son continuas y periódicas de período 2π. Sin embargo, f(x) es una función impar, y la segunda, una función par.

Función seno y función cosenoTen en cuenta ❚ La función seno, f(x) = sen x, es una función que asocia a cada valor del ángulo x su seno.

❚ La función coseno, f(x) = cos x, es una función que asocia a cada valor del ángulo x su coseno.

O

1

X

Y

2

f(x) = sen x g(x) = cos x

Describe las características de la función f(x) = tg x y dibuja su gráfica.

Su dominio son todos los ángulos excepto aquellos cuyo coseno vale 0 y su recorrido es .

Sus asíntotas son las rectas: … , x = π2

, x = 3π2

, x = 5π2

,…

Presenta puntos de discontinuidad

en x = (2k + 1)π2

,k ∈ , es

creciente, periódica de período π y es una función impar.

Función tangenteTen en cuentaLa función tangente, f(x) = tg x, es una función trigonométrica que asocia a cada valor del ángulo x su tangente.

O

1

X

Y f(x) = tg x

—2

503



40 Utiliza la calculadora para determinar el valor de la función en el punto que se indica.

a) f(x) = 2x en x = −4 b) f(x) = 2−x en x = 4 c) f(x) = 2−x en x = −4 d) f(x) = 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

en x = −2

a) f (−4) = 2−4 = 0,0625 b) f (4 ) = 2−4 = 0,0625 c) f (−4) = 24 = 16 d) f (−2) =2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−2

= 2,25

41 Halla la expresión de la función que relaciona las variables según la tabla.

a) x −2 −1 0 1 2

f(x)1

36

1

61 6 36

b) x −2 −1 0 1 2

g(x) 36 6 11

6

1

36

a) f (x) = 6x b) g(x) =1

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

42 Indica, sin dibujarlas, si las funciones son crecientes o decrecientes.

a) f (x) = 3x c) f (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

e) f (x) =2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

b) f (x) = 3− x d) f (x) = 33−x f) f (x) =3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

a) Creciente. c) f(x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

=1

3⋅

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

es decreciente. e) Es decreciente.

b) Decreciente. d) f (x) = 33−x = 33 ⋅3− x = 33 ⋅1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

es decreciente. f) Es creciente.

43 Averigua el punto de corte de las funciones con el eje de ordenadas.

a) f (x) = 5x c) f (x) = 52 x e) f (x) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− x+1

b) f (x) = 5− x d) f (x) = 53−x f) f (x) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2x+2

a) f (0) = 50 = 1→ (0, 1) c) f (0) = 50 = 1→ (0, 1) e) f(0) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

= 0,2 → (0; 0,2)

b) f (0) = 50 = 1→ (0, 1) d) f (0) = 53 = 125 → (0, 125) f) f(0) =1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0,04 → (0; 0,04 )

44 Representa las funciones propuestas en los mismos ejes e indica la relación entre ellas.

a) f(x) = 3x b) f(x) = 2 ⋅ 3x c) f(x) = 3x + 1 d) f(x) = 3x − 1

Las funciones de los apartados b), c) y d) son transformaciones de la función del apartado a).

Las cuatro tienen el mismo dominio, .

Son continuas, cóncavas y crecientes.

No cortan al eje Y en el mismo punto:

f (x) = 3x corta en (0, 1), f (x) = 3x −1 corta en (0, 0) y las funciones f (x) = 2 ⋅3x y f (x) = 3x + 1 cortan en (0, 2).

La asíntota horizontal de f (x) = 3x y f (x) = 2 ⋅3x es la recta y = 0.

La asíntota horizontal de f (x) = 3x + 1 es y = 1.

La asíntota horizontal de f (x) = 3x −1 es y = −1.

45 Determina el dominio y el recorrido de las funciones.

a) f(x) = 10x b) f(x) = 2 ⋅ 10x c) f(x) = 10x − 2 d) f(x) = 10x + 2

Todas tienen: Dom f = , Rec f = +

O 1

1

X

Y

a

b

cd



46 Escribe las expresiones algebraicas de las funciones representadas.

f (x) =2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

h(x) =

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

j (x) = 2x

g (x) =1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

i (x) = 4x

k (x) =

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

47 Representa estas funciones en los mismos ejes e indica la relación entre ellas.

a) f(x) = 1 + ex b) f(x) = 1 − ex c) f(x) = 1 + e−x d) f(x) = 1 − e−x

Las funciones de los apartados a) y b) son transformaciones de la función f(x) = ex .

Las funciones de los apartados c) y d) son transformaciones de la función f(x) = e− x .

Las cuatro tienen la misma asíntota hotizontal: y = 1

Son crecientes las de los apartados a) y d), y son decrecientes las de los apartados b) y c).

Son cóncavas las funciones de los apartados a) y c) y son convexas las de los apartados b) y d).

Son simétricas por parejas, respecto al eje Y a) y b) son simétricas de c) y d), y respecto a la asíntota y = 1, a) y c) son simétricas de b) y d) respectivamente.

48 Escribe la ecuación de la recta asíntota de cada función.

a) f(x) = 4x b) f(x) = 4x + 1 c) f(x) = 4x − 1 d) f(x) = 4x + 4

Veamos qué ocurre en cada función cuando x toma valores negativos muy grandes.

a) f (x) = 4x tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ 0, la asíntota es: y = 0 c) f (x) = 4x − 1 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ −1, la asíntota es: y = −1

b) f (x) = 4x + 1 tiende a⎯⎯⎯⎯⎯→ 1, la asíntota es: y = 1 d) f (x) = 4x + 4 tiende a

⎯⎯⎯⎯⎯→ 4, la asíntota es: y = 4

49 Indica qué tipo de curvatura tienen las funciones: a) f (x) = 7x b) f (x) = 7− x c) f (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x+1

d) f (x) =1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

− x−1

Las cuatro funciones son cóncavas.

50 Determina el valor de las expresiones: a) log2 64 b) log1

2

64 c) log25 5 d) log25

1

5

a) log2 64 = x → 2x = 64 → x = 6 c) log25 5 = x → 25x = 5 → 52 x = 5 → x =1

2

b) log1

2

64 = x →1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

= 64 → 2− x = 64 → x = −6 d) log25

1

5= x → 25x =

1

5→ 52 x = 5−1 → x = −

1

2

51 Determina el valor de la función en el punto que se indica.

a) f (x) = log x en x = 100 b) f (x) = log x en x = 0,1 c) f (x) = log2 x en x = 8 d) f (x) = log1

2

x en x = 1

8a) f (100) = log 100 = log 102 = 2 c) f (8) = log2 8 = log2 23 = 3

b) f (0, 1) = log 0,1 = log 10−1 = −1 d) f1

8

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = log1

2

1

8= log1

2

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

= 3

52 Averigua la imagen de x = 0,1 mediante las funciones.

a) f (x) = log x b) f (x) = log1

x

a) f (0, 1) = log 0,1 = log1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

2= log 10

−1

2 = −1

2 b) f (0, 1) = log

1

0,1= log 0,1( )−1

= log1

10

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−1

2= log 10

1

2 =1

2

O 1

1

X

Yf(x) g(x) h(x) i(x) j(x) k(x)

O 1

1

X

Ya

b

c

d

505



53 Halla la expresión de la función que relaciona las variables según la tabla.

a) x

1

16

1

41 4 16

f(x) −2 −1 0 1 2

b) x

1

16

1

41 4 16

g (x) 2 1 0 −1 −2

a) f (x) = log4 x

b) f (x) = log1/4

x

54 Determina el dominio y el recorrido de las funciones.

a) f (x) = log3 x b) f (x) = log4 x c) f (x) = log1/3 x d) f (x) = log1/4x

El dominio de las cuatro funciones es: !+ El recorrido de las cuatro funciones es: !

55 Halla el dominio de las funciones logarítmicas.

a) f (x) = log1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) f (x) = log (−x ) c) f (x) = log x3 d) f (x) = log ( x2−1)

a) 1

x> 0 → x > 0 → Dom f = (0, +∞) c) x 3 > 0 → x > 0 → Dom f = (0, +∞)

b) −x > 0 → x < 0 → Dom f = (−∞, 0) d) x2 −1> 0 → ( x + 1)( x −1) > 0 → x <−1 o x >1

→ Dom f = !− [−1, 1] = (−∞,−1)∪ (1, +∞)

56 Averigua, sin realizar la gráfica, la monotonía y la curvatura de las funciones.

a) f (x) = log3 x b) f (x) = log4 x c) f (x) = log1/3 x d) f (x) = log1/4x

a) y b) Creciente y convexa c) y d) Decreciente y cóncava

57 Averigua el punto de corte de las funciones con el eje de abscisas sin hacer la representación gráfica.

a) f (x) = log4 x b) f (x) = log1/4 x c) f (x) = log1/4 ( x + 1) d) f (x) = log4 (−x+ 2)

a) f(x) = log4 x = 0 → (1, 0) c) f(x) = log1/4 ( x + 1) = 0 → x + 1 = 1→ x = 0 → (0, 0)

b) f(x) = log1/4 x = 0 → (1, 0) d) f(x) = log4 (−x + 2) = 0 → −x + 2 = 1→ x = 1→ (1, 0)

270 271

12 Actividades Finales 12Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Relaciona cada gráfica con su expresión.

f(x)

g(x)

h(x)

i(x)

O

1

X

Y

—2

a) a(x) = tg x c) c(x) = −2 + tg x

b) b(x) = tg x + 1 d) d(x) = 3 + tg x

Indica el período de estas funciones.

a) f(x) = tg (4x) b) g(x) = tg x

4

Un cuerpo oscila o vibra cuando su movimiento lo hace de forma periódica en torno a una posición de equilibrio. Estos movimientos se modelizan mediante funciones del tipo:

f (t) = A sen ω ⋅ t + ϕ0( ) g (t) = A cos ωt + ϕ0( )En estas expresiones tenemos que:

❚ El período, t, en segundos, es el tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa.

❚ La frecuencia, T, en hertzios (Hz), es el número de veces que se repite una oscilación por segundo.

❚ La velocidad angular, ω, es el número de períodos

comprendidos en 2π segundos, esto es: ω =2πT

❚ La fase inicial, φ0, es el ángulo que representa el estado inicial de la oscilación para t = 0.

Observa la función que representa una oscilación que comienza en la posición de equilibrio, esto es, φ0 = 0 para t = 0, y determina:

A

f

T

1ª oscilación 2ª oscilación 3ª oscilaciónO 0,5 1

2,5

s

m

a) La amplitud. c) La frecuencia.

b) El período. d) La velocidad angular.

Un movimiento oscilatorio tiene la siguiente representación gráfica. Determina:

O 0,5 1

1

Tiempo (s)

Altura (m)

a) La amplitud. c) La frecuencia.

b) El período. d) La función altura-tiempo.

77

78

79

80

Funciones trigonométricas

Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f(x) = sen x en el intervalo [0, 2π].

Estudia la monotonía de f(x) = cos x en [0, 2π].

Dibuja las siguientes funciones.

a) f(x) = −sen x b) g(x) = −cos x

Representa y averigua el dominio y el recorrido de:

a) f(x) = sen x b) g(x) = cos x w

Halla el dominio de las funciones.

a) f (x) =1

sen x b) g (x) =

1

cos x

Dibuja f(x) = sen x y, a partir de ella, representa en los mismos ejes las funciones propuestas.

a) g(x) = sen (4x) b) h(x) = 4 + sen x

Dibuja la función f(x) = cos x y, a partir de ella, representa en los mismos ejes estas otras funciones.

a) g(x) = cos (4x) b) h(x) = 4 + cos x

Halla el período de las siguientes funciones.

a) f(x) = sen (6x) c) h(x) = cos (6x)

b) g(x) = sen x

3 d) i(x) = cos

x

3

Las funciones indicadas representan movimientos circulares. Dibújalas utilizando los mismos ejes de coordenadas y averigua el valor más alto en cada oscilación.

a) f(x) = 2 sen x c) h(x) = 4 sen x

b) g(x) = 2 cos x d) i(x) = 4 cos x

Estudia el dominio, el recorrido, la monotonía, la continuidad y las curvatura de estas funciones.

a) f (x) = 2 si 0 ≤ x < πsen x si π ≤ x < 2π

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) g (x) = cos x si 0 ≤ x < π−1 si π ≤ x < 2π

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) h(x) =cos x si 0 ≤ x <

π2

0 si π2≤ x <

3π2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

d) i (x) =

1 si 0 ≤ x <π2

sen x si π2≤ x <

3π2

−1 si 3π2≤ x < 2π

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

Con la ayuda de la calculadora halla el valor de x sabiendo que: 10x = 316,2277

Escherichia coli es una bacteria que vive en el intestino de la mayor parte de los mamíferos. La bacteria forma parte de la flora intestinal y en personas sanas actúa ayudando a la absorción de nutrientes. Si tomamos un alimento que contiene factores virulentos de esta bacteria, como carne poco cocinada o alimentos que hayan entrado en contacto con excrementos de animales, puede ocasionarnos enfermedades graves.

Un cultivo de 500 bacterias Escherichia coli crece

según la función f (t) = 500 ⋅2t

30 , donde t se mide en minutos. Calcula el tiempo que tiene que transcurrir para que tengamos una población de 8 000 bacterias.

La investigación sobre la variación de la masa de un material radioactivo ha llegado a la conclusión de que disminuye en función del tiempo, t, según la función m(t) = 50 ⋅2−5 t . Si la masa se mide en gramos y el tiempo en horas:

a) ¿Qué masa tenía el material inicialmente?

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo la masa del material es de 25 g?

Cuando tomamos un medicamento, el organismo lo absorbe y con el paso del tiempo la cantidad ingerida va disminuyendo. Si el contenido en miligramos de un medicamento a las t horas de su ingestión se

determina según a la función f (t) = 10 ⋅5−t

2 :

a) Averigua la cantidad inicial del medicamento, esto es, los miligramos que deben ingerirse.

b) ¿Cuántos miligramos de medicamento quedan en el organismo después de 8 h?

c) ¿Después de cuántas horas de ingerir el medicamento quedan 0,4 mg en el organismo?

En una población de 10 000 habitantes se ha instalado en el año 2015 un complejo industrial que dará trabajo a miles de personas. Se prevé que la población aumente cada año según la función P (t) = 10000 ⋅e0 ,05 t , donde t representa el número de años. Averigua la población esperada para en el año 2019.

62

63

64

65

66

Halla la expresión de la función que relaciona las variables según la tabla. a)

x1

16

1

41 4 16

f(x) −2 −1 0 1 2

b)x

1

16

1

41 4 16

g(x) 2 1 0 −1 −2

Determina el dominio y el recorrido de las funciones.

a) f (x) = log3 x c) f (x) = log1/3 x

b) f (x) = log4 x d) f (x) = log1/4x

Halla el dominio de las funciones logarítmicas.

a) f (x) = log1

x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c) f (x) = log x3

b) f (x) = log (−x ) d) f (x) = log ( x2−1)

Averigua, sin realizar la gráfica, la monotonía y la curvatura de las funciones.

a) f (x) = log3 x c) f (x) = log1/3 xb) f (x) = log4 x d) f (x) = log

1/4x

Averigua el punto de corte de las funciones con el eje de abscisas sin hacer la representación gráfica.

a) f (x) = log4 x

b) f (x) = log1/4 x

c) f (x) = log1/4 ( x + 1)

d) f (x) = log4 (−x+ 2)

Averigua el punto de corte de las funciones con el eje de abscisas.a) f (x) = log5 (−x + 1)

b) f (x) = log1/5 5− x2( )

c) f (x) = log5 x2 − 3( )

d) f (x) = log5 x2−5 x + 7( )

Dibuja las funciones e indica las coordenadas del punto de corte con el eje de abscisas.

a) f (x) = 1+ log2 x

b) f (x) = −1+ log2 x

c) f (x) = 1+ log1/2 x

d) f (x) = −1+ log1/2 x

Escribe la ecuación de la recta asíntota de cada la función.

a) f (x) = log7 x b) f (x) = log1/7 x

Determina, para cada función, la función simétrica respecto del eje de abscisas y respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

a) f (x) = log10 x c) f (x) = log1/10 x

b) f (x) = 7x d) f (x) = 7− x

53

54

55

56

57

58

59

60

61



58 Averigua el punto de corte de las funciones con el eje de abscisas.

a) f (x) = log5 (−x + 1) b) f (x) = log1/5 5− x2( ) c) f (x) = log5 x2 − 3( ) d) f (x) = log5 x2−5 x + 7( )

a) f(x) = log5 (−x + 1) = 0 → −x + 1 = 1→ x = 0 → Corta en: (0, 0)

b) f(x) = log1/5 5− x2( ) = 0 → 5− x2 = 1→ x2 = 4 → x1 = −2, x2 = 2 → Corta en: (−2, 0) y (2, 0)

c) f(x) = log5 x2 − 3( ) = 0 → x2 − 3 = 1→ x2 = 4 → x1 = −2, x2 = 2 → Corta en: (−2, 0) y (2, 0)

d) f(x) = log5 x2 −5 x + 7( ) = 0 → x2 −5 x + 7 = 1→ x2 −5 x + 6 = 0 → x =5 ± 25− 24

2→ x1 = 2, x2 = 3

Corta en: (2, 0) y (3, 0)

59 Dibuja las funciones e indica las coordenadas del punto de corte con el eje de abscisas.

a) f (x) = 1+ log2 x b) f (x) = −1+ log2 x c) f (x) = 1+ log1/2 x d) f (x) = −1+ log1/2 x

O 1

1

X

Ya

b

c

d

a) Corte eje X cuando 0 = 1+ log2 x → log2 x = −1 : 2−1 = x →1

2, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) Corte eje X cuando 0 = −1+ log2 x → log2 x = 1 : 2 = x → (2, 0)

c) Corte eje X cuando 0 = 1+ log1

2

x → log1

2

x = −1 :1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−1

= x → (2, 0)

d) Corte eje X cuando 0 = −1+ log1

2

x → log1

2

x = 1 :1

2= x →

1

2, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

60 Escribe la ecuación de la recta asíntota de cada función.

a) f (x) = log7 x b) f (x) = log1/7 x

a) Para valores de x positivos muy próximos a 0, la variable dependiente, y, toma valores muy grandes negativos, por tanto, x = 0 es una asíntota vertical.

b) Para valores de x positivos muy próximos a 0, la variable dependiente, y, toma valores muy grandes positivos, x = 0 es una asíntota vertical.

61 Determina, para cada función, la función simétrica respecto del eje de abscisas y respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

a) f (x) = log10 x b) f (x) = 7x c) f (x) = log1/10 x d) f (x) = 7− x

a) Respecto del eje X: g(x) = log1/10 x Respecto de la bisectriz del primer cuadrante: h (x) = 10 x

b) Respecto del eje X: g(x) = −7x Respecto de la bisectriz del primer cuadrante: h (x) = log7 x

c) Respecto del eje X: g(x) = log10 x Respecto de la bisectriz del primer cuadrante: h (x) = (1 / 10) x

d) Respecto del eje X: g(x) = −7− x Respecto de la bisectriz del primer cuadrante: h (x) = log1/ 7 x

62 Con la ayuda de la calculadora halla el valor de x sabiendo que: 10x = 316,2277

Despejamos x de la ecuación: x = log10 316,2277 = 2,5

63 Escherichia coli es una bacteria que vive en el intestino de la mayor parte de los mamíferos. La bacteria forma parte de la flora intestinal y en personas sanas actúa ayudando a la absorción de nutrientes. Si tomamos un alimento que contiene factores viru-lentos de esta bacteria, como carne poco cocinada o alimentos que hayan entrado en contacto con excrementos de animales, puede ocasionarnos enfermedades graves.

Un cultivo de 500 bacterias Escherichia coli crece según la función f (t) = 500 ⋅2t

30 , donde t se mide en minutos. Calcula el tiempo que tiene que transcurrir para que tengamos una población de 8 000 bacterias.

f (t ) = 500 ⋅2t

30 = 8000 → 2t

30 =8000

500= 16 → 2

t

30 = 24 →t

30= 4 → t = 120 min = 2 h

507



64 La investigación sobre la variación de la masa de un material radioactivo ha llegado a la conclusión de que disminuye en función del tiempo, t, según la función m(t) = 50 ⋅2−5 t . Si la masa se mide en gramos y el tiempo en horas:

a) ¿Qué masa tenía el material inicialmente?

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo la masa del material es de 25 g?

a) Inicialmente t = 0 → m(0) = 50 ⋅2−5⋅0 = 50 ⋅1 = 50 g

b) m(t ) = 50 ⋅2−5 t = 25 → 2−5 t =25

50=

1

2= 2−1 → −5t = −1→ t =

1

5 hora = 12 min

65 Cuando tomamos un medicamento, el organismo lo absorbe y con el paso del tiempo la cantidad ingerida va disminuyendo.

Si el contenido en miligramos de un medicamento a las t horas de su ingestión se determina según a la función f (t) = 10 ⋅5−t

2 :

a) Averigua la cantidad inicial del medicamento, esto es, los miligramos que deben ingerirse.

b) ¿Cuántos miligramos de medicamento quedan en el organismo después de 8 h?

c) ¿Después de cuántas horas de ingerir el medicamento quedan 0,4 mg en el organismo?

a) Deben ingerirse: f (0) = 10 ⋅5−

0

2 = 10 mg

b) Después de 8 h quedan en el organismo: f (8) = 10 ⋅5−

8

2 = 10 ⋅5−4 = 0,016 mg

c) Quedan 0,4 mg cuando: f (t ) = 10 ⋅5−t

2 = 0,4 → 5−t

2 =0,4

10=

4

100=

1

25= 5−2 → −

t

2= −2 → t = 4 h

66 En una población de 10 000 habitantes se ha instalado en el año 2015 un complejo industrial que dará trabajo a miles de per-sonas. Se prevé que la población aumente cada año según la función P (t) = 10000 ⋅e0 ,05 t , donde t representa el número de años. Averigua la población esperada para en el año 2019.

La población en 4 años se espera que sea de: P (4 ) = 10000 ⋅e0 ,05⋅4 = 10000 ⋅e0 ,2 = 12 214 habitantes

67 Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f(x) = sen x en el intervalo [0, 2π].

Es creciente en 0, π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟∪

3π2

, 2π⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y es decreciente en

π2

,3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

68 Estudia la monotonía de la función f(x) = cos x en [0, 2π].

Es creciente en (π, 2π ) y es decreciente en (0, π ) . El punto π2

,−1⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟es el punto mínimo en ese intervalo.

69 Dibuja las siguientes funciones.

a) f(x) = −sen x b) g(x) = −cos x

Creamos la tabla y representamos las funciones.

x 0π

6

π

3

π

2

2π

3

5π

6π

f(x) 0 −1

2−

3

2−1 −

3

2−

1

20

g(x) −1 −3

2−

1

20

1

2

3

21

a)

O

1

X

Y

2

b)

O

1

X

Y

2



70 Representa y averigua el dominio y el recorrido de:

a) f(x) = sen x b) g(x) = cos x w

O

1f(x)

ππ2— 3π

2— X

Y

O

1g(x)

ππ2— 3π

2— X

Y

a) Dom f = y Rec f = [0, 1] b) Dom g = y Rec f = [0, 1]

71 Halla el dominio de las funciones. a) f (x) =1

sen x b) g (x) =

1

cos x

a) Dom f = !− {kπ }, k ∈ ! b) Dom f = !−2k + 1

2π

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪, k ∈ !

72 Dibuja la función f(x) = sen x y, a partir de ella, representa en los mismos ejes las funciones propuestas.

a) g(x) = sen (4x) b) h(x) = 4 + sen x

73 Dibuja la función f(x) = cos x y, a partir de ella, representa en los mismos ejes estas otras funciones.

a) g(x) = cos (4x) b) h(x) = 4 + cos x

74 Halla el período de las siguientes funciones.

a) f(x) = sen (6x) b) g(x) = sen x

3 c) h(x) = cos (6x) d) i(x) = cos

x

3

a) k = 6 → T =2π6

=π3

b) k = 1

3→ T =

2π1

3

= 6π c) k = 6 → T =2π6=

π3

d) k = 1

3→ T =

2π1

3

= 6π

75 Las funciones indicadas representan movimientos circulares. Dibújalas utili-zando los mismos ejes de coordenadas y averigua el valor más alto en cada oscilación.

a) f (x) = 2 sen x c) h (x) = 4 sen x

b) g (x) = 2 cos x d) i (x) = 4 cos x

El valor más alto en cada oscilación es la amplitud.

a) A = 2 c) A = 4

b) A = 2 d) A = 4

f(x) a

b

O

1

Y

Xππ2— 3π

2—

O

1

Y

X

f(x) a

b

ππ2— 3π

2—

a b

c d

O

1

Y

Xππ2— 3π

2—

509



76 Estudia el dominio, el recorrido, la monotonía, la continuidad y las curvatura de estas funciones.

a) f (x) = 2 si 0 ≤ x < πsen x si π ≤ x < 2π

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) h(x) =cos x si 0 ≤ x <

π2

0 si π2≤ x <

3π2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

b) g (x) = cos x si 0 ≤ x < π−1 si π ≤ x < 2π

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

d) i (x) =

1 si 0 ≤ x <π2

sen x si π2≤ x <

3π2

−1 si 3π2≤ x < 2π

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Dibujamos las funciones para realizar su estudio.

a) Dom f = [0, 2π ), Rec f = [−1, 0]∪ {2}.

Es constante en [0, π), decreciente en π, 3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y creciente en

3π2

, 2π⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

.

Tiene un punto de discontinuidad en x = π.

No tiene curvatura en [0, π) y es cóncava en ( π, 2π ).

b)

•

•

O

1

Y

Xπ 2π

Dom g = [0, 2π ), Rec g = [−1, 1]

Es decreciente en (0, π) y constante en ( π, 2π ).

Es continua en su dominio.

Es convexa en 0, π2

⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

y cóncava en π2

, π⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .

c) Dom h = 0,

3π2

⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, Rec h = [0, 1]

Es decreciente en 0, π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y constante en

π2

, 3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .

Es continua en su dominio y es convexa en 0, π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

d) Dom i = [0, 2π ), Rec i = [−1, 1]

Es constante en 0, π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟∪

3π2

, 2π⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, es decreciente en

π2

, 3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

Es continua en su dominio, convexa en π2

, π⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y cóncava en π,

3π2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

77 Relaciona cada gráfica con su expresión.

a) a(x) = tg x c) c(x) = −2 + tg x

b) b(x) = tg x + 1 d) d(x) = 3 + tg x

a) a(x) = tg x = h(x) c) c(x) = −2 + tg x = i(x)

b) b(x) = tg x + 1 = g(x) d) d(x) = 3 + tg x = f(x)

• •

• •O

1

2

X

Y

π 2π

•

O

1

•

Y

Xπ 2π

•

O

1

•

Y

Xπ 2π

f(x)

g(x)

h(x)

i(x)

O

1

X

Y

—2



78 Indica el período de estas funciones.

a) f(x) = tg (4x) b) g(x) = tg x

4Podemos dibujarlas con GeoGebra o hacer lo que se expone.

a) x 0

π

4

π

2

f(x) 0 0 0

b) x 0 4 π 8 π

g(x) 0 0 0

Como tg 4 x +π4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = tg (4 x ) → T =

π4

Como tgx

4+ 4π

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = tg

x

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ T = 4π

79 Un cuerpo oscila o vibra cuando su movimiento lo hace de forma periódica en torno a una posición de equilibrio. Estos movi-mientos se modelizan mediante funciones del tipo:

f (t) = A sen t + 0( ) g (t) = A cos ωt + ϕ0( )En estas expresiones tenemos que:

❚❚ El período, t, en segundos, es el tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa.

❚❚ La frecuencia, T, en hertzios (Hz), es el número de veces que se repite una oscilación por segundo.

❚❚ La velocidad angular, ω, es el número de períodos comprendidos en 2π segundos, esto es: ω =2πT

❚❚ La fase inicial, φ0, es el ángulo que representa el estado inicial de la oscilación para t = 0.

Observa la función que representa una oscilación que comienza en la posición de equilibrio, esto es, φ0 = 0 para t = 0, y determina:

A

f

T

1ª oscilación 2ª oscilación 3ª oscilaciónO 0,5 1

2,5

s

m

a) La amplitud. b) El período. c) La frecuencia. d) La velocidad angular.

a) La amplitud es: A = 5 c) La frecuencia es: f = 2 Hz

b) El período es: T = 0,5 d) La velocidad angular es: ω =2πT

=2π0,5

= 4π rad/seg

Así la función tiene por expresión: f ( t ) = 5 sen ( 4 πt )

80 Un movimiento oscilatorio tiene la siguiente representación gráfica. Determina:

O 0,5 1

1

Tiempo (s)

Altura (m)

a) La amplitud. b) El período. c) La frecuencia. d) La función altura-tiempo.

a) A = 3 b) T =1

4 c) f = 4 d) f (t ) = 3 sen (8πt )

511



Sugerencias didácticasEn esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situa-ción cotidiana, el ruido, alertando de la amenaza para la salud que supone estar expuestos a elevados niveles de contaminación acústica.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competen-cias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático o Resuelve.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos buscarán información en Internet sobre qué son los ultrasonidos, con qué fines se utilizan y qué especies de animales los perciben.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos realizarán la tarea en pequeños grupos y, finalmente, examinarán sus respuestas con el resto de la clase, y las elaborarán para ampliar los resultados.


Comprende

1 El sonido se propaga en el aire en forma longitudinal y tridimensional a una velocidad aproximadamente de 340 m/s.

Imagínate que estás presenciando cómo se acerca una tormenta: ves un rayo y justo a los 5 s escuchas el trueno; ¿a qué distan-cia está la tormenta?

La tormenta está a una distancia de: e = v ∙ t = 340 ∙ 5 = 1 700 m

Matemáticas vivas. El sonido

12 MATEMÁTICAS VIVAS 12El sonido

272 273

El sonido se produce cuando un cuerpo vibra rápidamente. Esto hace que varíe la presión del aire y se formen ondas. Muchas veces, el sonido que percibimos es una mezcla de ondas sonoras de distintas frecuencias y amplitudes, que, sumadas unas con otras, dan lugar a lo que llamamos ruido.

La exposición a ruidos de alta intensidad, aunque no sean suficientes como para causar lesiones en el oído, afectan a los procesos de memoria y aprendizaje, según revela un estudio publicado en la revista Brain Research.

La contaminación acústica constituye una seria amenaza para la salud y la calidad de vida de la población. Elevados niveles de ruido pueden provocar efectos fisiológicos que afectan al sistema cardiovascular, respiratorio y digestivo, además de causar irritabilidad y falta de concentración.

El ruido ocasiona enormes gastos sanitarios, está a la base de aproximadamente el 20 % de las consultas psiquiátricas y es el responsable directo de miles de accidentes, así como del bajo rendimiento escolar.

COMPRENDE

El sonido se propaga en el aire en forma longitudinal y tridimensional a una velocidad aproximadamente de 340 m/s.

Imagínate que estás presenciando cómo se acerca una tormenta: ves un rayo y justo a los 5 s escuchas el trueno; ¿a qué distancia está la tormenta?

ARGUMENTA

La frecuencia de un sonido es el número de vibraciones, es decir, oscilaciones completas, por segundo y se mide en hertzios, Hz. Cuando un cuerpo vibra entre 20 Hz y 20 000 Hz, se originan sonidos. La sensación de volumen que produce un sonido no es la misma si el sonido es de 50 Hz que si es de 2 000 Hz.

Al poner la mano encima de unos altavoces potentes, sentirás la vibración y en las características técnicas podrás ver su frecuencia.

¿Cuál de las siguientes gráficas representa la propagación de un sonido agudo? ¿Qué tipo de sonido representa la otra función?

PIENSA Y RAZONA

O X

Y

A

O X

Y

A

1

2

REFLEXIONA

La sensación sonora varía con la intensidad de un sonido de forma logarítmica. Se utiliza la medida del

nivel de intensidad, N, que se mide en decibelios, dB, y viene dado por esta función: N = 10logI

I0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

Los decibelios miden la relación de una intensidad dada, I, con la intensidad del umbral de audición, I0, esto es, el nivel mínimo que ha de tener un sonido para que pueda ser percibido. Para el oído humano, el umbral de audición de referencia, para una frecuencia de 1 000 Hz, es I0 = 10−12 W/m2, mientras que el umbral de dolor es de aproximadamente 1 W/m2.

a. Si estás escuchando música a 20 dB, ¿qué intensidad tienen las ondas al salir de los auriculares?

b. La intensidad debida a un número de fuentes de sonido independientes es la suma de las intensidades individuales. Si 275 violines, tocando juntos, tienen una intensidad de 90 dB, ¿cuál será el nivel de intensidad de un solo violín?

COMUNICA

c. Demuestra que, si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora aumenta en 3 dB.

4

RESUELVE

ARGUMENTA

RELACIONA

La intensidad de un sonido depende de la amplitud del movimiento vibratorio de la fuente que lo produce: cuanto mayor sea la amplitud de la onda, mayor será la potencia acústica que genera.

Observa el dibujo: la intensidad acústica emitida por una fuente en un espacio sin obstáculos genera ondas esféricas, de radio r, y viene dada por la

función I =P

A=

P

4πr2, donde la potencia sonora, P,

se mide en vatios, W, y la intensidad, en W/m².

Imagina que la intensidad acústica que percibes si te colocas a 50 cm de un altavoz es de 0,1 W/m2. ¿Cuál será la intensidad si te sitúas a 3 m del mismo?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

3

TAREABuscad en Internet qué son los ultrasonidos.

¿Con qué fines se utilizan?

¿Qué especies de animales son capaces de percibir ultrasonidos?

TRABAJO

COOPERATIVO



2 La frecuencia de un sonido es el número de vibraciones, es decir, oscilaciones completas, por segundo y se mide en hertzios, Hz. Cuando un cuerpo vibra entre 20 Hz y 20 000 Hz, se originan sonidos. La sensación de volumen que produce un sonido no es la misma si el sonido es de 50 Hz que si es de 2 000 Hz.

Al poner la mano encima de unos altavoces potentes, sentirás la vibración y en las características técnicas podrás ver su frecuencia.

¿Cuál de las siguientes gráficas representa la propagación de un sonido agudo? ¿Qué tipo de sonido representa la otra función?

O X

Y

A

O X

Y

A

La gráfica B representa la propagación de un sonido agudo. La gráfica A representa un sonido grave.

Relaciona

3 La intensidad de un sonido depende de la amplitud del movimiento vibratorio de la fuente que lo produce: cuanto mayor sea la amplitud de la onda, mayor será la potencia acústica que genera.

Observa el dibujo: la intensidad acústica emitida por una fuente en un es-pacio sin obstáculos genera ondas esféricas, de radio r, y viene dada por la

función I =P

A=

P

4πr2, donde la potencia sonora, P, se mide en vatios, W,

y la intensidad, en W/m².

Imagina que la intensidad acústica que percibes si te colocas a 50 cm de un altavoz es de 0,1 W/m2. ¿Cuál será la intensidad si te sitúas a 3 m del mismo?

A medio metro : I0 ,5 = 0,1 =P

4π ⋅ (0,5)2→ P = (0,1) ⋅ 4π ⋅ (0,5)2 =

π10

A 3 m: I3 =P

4π ⋅32=

(0,1) ⋅ 4π ⋅ (0,5)2

4π ⋅32=

(0,1) ⋅ (0,5)2

32= 2,⌢7 ⋅10−3 W/m2

Reflexiona

4 La sensación sonora varía con la intensidad de un sonido de forma logarítmica. Se utiliza la medida del nivel de intensidad, N,

que se mide en decibelios, dB, y viene dado por esta función: N = 10logI

I0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

Los decibelios miden la relación de una intensidad dada, I, con la intensidad del umbral de audición, I0, esto es, el nivel mínimo que ha de tener un sonido para que pueda ser percibido. Para el oído humano, el umbral de audición de referencia, para una frecuencia de 1 000 Hz, es I0 = 10-12 W/m2, mientras que el umbral de dolor es de aproximadamente 1 W/m2.

a) Si estás escuchando música a 20 dB, ¿qué intensidad tienen las ondas al salir de los auriculares?

b) La intensidad debida a un número de fuentes de sonido independientes es la suma de las intensidades individuales. Si 275 violines, tocando juntos, tienen una intensidad es de 90 dB. ¿Cuál será el nivel de intensidad de un solo violín?

c) Demuestra que, si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora aumenta en 3 dB.

a) N = 10logI

I0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= 20 → log

I

I0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= 2 → log

I

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 2 → 102 =

I

10−12→

La intensidad de las ondas al salir de los auriculares es: I = 102 ⋅10−12 = 10−10 W/m2

b) Hallamos la intensidad de los 275 violines:

N275 violines = 90 = 10logI

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 9 = log

I

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 109 =

I

10−12→ I = 109 ⋅10−12 = 10−3 W/m2

513



La intensidad de un violín es 275 veces menor que la orquesta esto es: Iviolín =10−3

275El nivel de intensidad de un solo violín es:

N1 violín = 10log

10−3

27510−12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = 10log10−3

275 ⋅10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟= 10log

109

275

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟= 10 (9− log 275) = 65,6 dB

c) NI = 10logI

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

y si duplicamos el nivel de intensidad: N2⋅I = 10log2 ⋅ I

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Calculamos la diferencia:

N2 I −NI = 10log2 ⋅ I

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−10log

I

10−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 10log

2 ⋅ I

10−12

I

10−12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= 10log 2 = 10 ⋅0,3 = 3 dB , con lo que queda demostrado.

Trabajo cooperativo

Las vibraciones de aire que oscilan un número de veces superior a 20 000 Hz se denominan ultrasonidos. Son utilizados con fines médicos en distintas terapias curativas, tratamientos o sistemas de diagnóstico.

Los ultrasonidos son perceptibles por algunas especies animales como los murciélagos o los delfines.

TAREA

Buscad en Internet qué son los ultrasonidos.

¿Con qué fines se utilizan?

¿Qué especies de animales son capaces de percibir ultrasonidos?



Sugerencias didácticasEn la sección Avanza de esta unidad se introduce la función recíproca. Para no crear confusión hemos de aclarar los con-ceptos de función opuesta y función inversa previamente.

El cálculo de forma algebraica de la función recíproca de una función dada se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Si f (x) = 2x − 3 averigua cuáles son:

❚❚ Su función opuesta.

❚❚ Su función inversa y su recíproca.

❚ g(x) = −f(x) = − 2x + 3

❚ h(x) =1

2x − 3

y = 2x − 3 → x =y + 3

2, cambiamos x por y:

y = f−1 ( x ) =x + 3

2

A2. ¿Tiene recíproca la función f (x) = x 2?

No tiene función recíproca porque para cada valor de la variable dependiente le corresponden dos valores de la variable independiente.

A3. Halla la función recíproca de: f (x) =x + 1

x

y =x + 1

x→ xy = x + 1→ xy − x = 1→ x ( y −1) = 1→ x =

1

y −1cambio de x por y⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ y = f−1 (x) =

1

x −1

Funciones en los medios de comunicaciónSugerencias didácticasComo cierre de la unidad podríamos proponer la siguiente actividad:

Localizar la cuenta de la red social donde el Instituto Geográfico publica todos los movimientos sísmicos que se producen y escribir un artículo que presente los terremotos registrados en los últimos 10 días en una comunidad autónoma. Para completar la actividad realizaremos los ejercicos propuestos.


F1. Busca en Internet qué es un sismógrafo y para qué se utiliza.

Los sismólogos son los científicos especializados en el estudio de los terremotos. Para ello utilizan varios instrumentos en su investigación. Su principal es el sismógrafo, aparato muy sensible capaz de detectar las vibraciones más leves de la tierra. Los movimientos quedan registrados por medio de un punzón que traza una línea sobre un papel enrollado en un cilindro girato-rio. Hay sismógrafos en los que la línea queda marcada por un rayo de luz finísimo enfocado sobre papel fotosensible. Cuando no hay vibraciones, la línea es recta, los temblores pequeños generan leves oscilaciones y las grandes sacudidas producen amplios trazos hacia arriba y hacia abajo. Cuando se registran ondas sísmicas, la comparación entre la amplitud de las ondas y el tiempo que tardaron en alcanzar diversas estaciones permite a los científicos determinar dónde se produjo el terremoto y su magnitud.

Avanza. Función opuesta, función inversa y función recíproca


274

AVANZA Función opuesta, función inversa y función recíproca

A1. Si f(x) = 2x − 3 averigua cuáles son: ❚ Su función opuesta. ❚ Su función inversa y su recíproca.

A2. ¿Tiene recíproca la función f(x) = x2?

A3. Halla la función recíproca de: f (x) =x + 1

x

Hay funciones cuyo nombre puede confundirnos, como ocurre al hablar de la función opuesta, la función inversa y la función recíproca. Vamos a distinguir estas funciones:

❚ Función opuesta de f(x) es la función −f(x). Así la función opuesta de f(x) = x + 2 es: g(x) = −x − 2

❚ Función inversa de f(x) es la función [f(x)]−1. Luego, la inversa de f(x) = x + 2 es: g (x) =1

x + 2

❚ Función recíproca de f(x) es la función f−1(x).

Observa que f−1(x) es la función que transforma las imágenes de la función f(x) en los valores iniciales.

Solo tienen recíproca aquellas funciones en las que a cada valor de la variable dependiente le corresponde un único valor de la variable independiente.

Para calcular la función recíproca de f(x) = x + 2:

1 Cambiamos f(x) por y: y = x + 2

2 Intercambiamos x por y: x = y + 2

3 Despejamos y y obtenemos la función buscada: y = x − 2 → f−1(x) = x − 2

f(x) = x + 2

−1 1

0 2

1 3

2 4

f−1(x) = x − 2

Charles Richter creó en 1935 la escala que lleva su nombre. Se basa en la medición de la longitud de las ondas que provoca un seísmo. La intensidad varía de 1 a 12. El más alto registrado por un sismógrafo fue de nivel 9,6 en Chile en el año 1960.

La fórmula para calcular la escala de Richter utiliza un logaritmo decimal: M = log A − log A0, donde A es la medida de la amplitud (intensidad) de la onda del terremoto registrada en el sismógrafo para una cierta distancia al epicentro, y A0, la amplitud de la onda más pequeña detectable (u onda estándar). En cada salto de una unidad de magnitud, la energía liberada se multiplica por un factor de 10.

En la página de información del Instituto Geográfico Nacional se pueden consultar los terremotos de magnitud igual o superior a 2,5 registrados en los últimos diez días en España. Incluso a través de sus cuentas en las redes sociales se publican los movimientos sísmicos que se producen.

FUNCIONES EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN

F1. Busca en Internet qué es un sismógrafo y para qué se utiliza.

F2. Observa la tabla que muestra los terremotos de mayor intensidad en España en los últimos años.

19-4-1956 5,0 Albolote (Granada)En Albolote: 41 % de casas con grietas, 35 % inhabitables, 6 % ruinosas y 1 % destruidas.

28-2-1969 7,8 Cabo de San Vicente En Huelva: 18 casas inhabitables; en Isla Cristina: 4 casas caídas.

11-5-2011 5,1 Lorca (Murcia)En Lorca: 5 % de edificios con daño estructural grave y 13 % con daño estructural moderado.

Calcula la relación entre la intensidad de las ondas del terremoto del cabo de San Vicente y las del de Lorca.

515



F2. Observa la tabla que muestra los terremotos de mayor intensidad en España en los últimos años.

19-4-1956 5,0 Albolote (Granada)En Albolote: 41 % de casas con grietas, 35 % inhabitables, 6 % ruinosas y 1 % destruidas.

28-2-1969 7,8 Cabo de San Vicente En Huelva: 18 casas inhabitables; en Isla Cristina: 4 casas caídas.

11-5-2011 5,1 Lorca (Murcia)En Lorca: 5 % de edificios con daño estructural grave y 13 % con daño estructural moderado.

Calcula la relación entre la intensidad de las ondas del terremoto del cabo de San Vicente y las del de Lorca.

En Cabo San Vicente: 7,8 = logA

A0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟→

A

A0

= 107 ,8

En Lorca: 5,1 = logB

A0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟→

B

A0

= 105 ,1

Comparando ambos valores: A

B=

A 0⋅107 ,8

A 0⋅105 ,1=

107 ,8

105 ,1= 102,7 = 501,19

La intensidad de las ondas en el terremoto del Cabo de San Vicente fue más de 500 veces mayor que la intensidad de las ondas en Lorca.

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