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LÓGICA DE CLASES, PREDICATIVA O DE PROPOSICIONES ANALIZADAS

La lógica proposicional o de nivel cero es la lógica de las proposiciones s in analizar en donde estudiamos relaciones entre proposiciones, s imbolizamos inferencias y hallamos el valor veritativo de esquemas moleculares, entre otras cosas. Pero no nos podemos conformar con esta lógica pues existen razonamiento válidos que no se pueden probar como válidos mientras no se amplíe el lenguaje. Por ello, recurrimos a una lógica más especializada.

La lógica predicativa realiza un anális is interno de las proposiciones con el f in de poder determinar la validez de los razonamientos haciendo uso de fórmulas booleanas y los diagramas de V enn. La lógica de clases es aquella rama de la lógica que, para deducir, analiza las relaciones entre clases (o conjuntos) que hay en una proposición categórica, de ahí tenemos que la proposición categórica es un enunciado que refleja una relación entre clases: la clase sujeto y la clase predicado. E jemplo: E l enunciado cuantificador verbo copulativo

Toda gaseosa es líquida. sujeto predicado

Es una proposición categórica, puesto que refleja una relación entre la clase gaseosas y la clase líquidas; a saber, que la clase gaseosas está incluida totalmente en la clase líquidos. Y asimismo es una proposición de forma típica, ya que posee cuantif icador, sujeto, verbo copulativo ser (en cualquier modo y tiempo) y predicado.

Pero antes de conocer de modo profundo la lógica de clases, es importante que recordemos algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos.

NOCIÓN DE CLASE S e llama clase a la colección de objetos que tienen alguna característica en común.

Una clase puede ser un sujeto o un predicado. Ella se la puede representar mediante una variable predicativa: A , B , C, …

Los elementos que forman parte de dicho conjunto se simbolizan o bien con variables individuales tales como x, y, z, etc. o con constantes individuales tales como: a, b, c, … .

Podemos representar una clase mediante una lista de sus elementos o mediante la mención de una propiedad que deben ejemplificar todos sus miembros.

Por ejemplo, la clase de los países o la de los subdesarrollados puede representarse por P, donde P={x/x es un país} o por E, donde E={x/x es subdesarrollado}. Esta es la definición por comprensión.

S iguiendo con P, diremos que P={a, b, c, …}, donde a=Chile, b=B rasil, c=Francia, y así sucesivamente. En el caso de E, afirmaremos que E = {p, q, r, , …}, donde p=Perú, q=B olivia, r=S udáfrica, etc. Esta es la definición por extensión

La relación que un elemento mantiene con un conjunto es la de pertenencia o no pertenencia y se representa mediante y , respectivamente. Por ejemplo: a P, q P, p E, b E, etc.

TIPOS DE CLASES CLASE UNIVERSAL Es la clase de todas las clases. Por ejemplo si tenemos la clase de los leones, la

de los delf ines, la de los monos, etc., podemos reunirlas en la clase de los mamíferos que las abarca a todas. Esta clase de los mamíferos es la clase universal. Es de notar que la clase universal es un concepto relativo.

Gráficamente se representa mediante un cuadrilátero con una U en la esquina superior derecha.

TIPOS DE CLASES CLASE INDETERMINADA Es aquella clase, en la que no se puede determinar la

existencia o no existencia de elementos. Por ejemplo: la clase de los extraterrestres, la clase de los dioses, la clase de las almas, la de los mundos, etc.

TIPOS DE CLASES CLASE VACÍA Es la clase formada por todos los objetos que no existen, es decir, no contiene

elementos. Por ejemplo, la clase de todos los objetos que son círculos cuadrados. Esta cualidad ciertamente, es un absurdo, pero siento una cualidad, permite constituir una clase, si bien carente de elementos. S imbólicamente se representa por la letra griega “” . Representa como un diagram sombreado

TIPO DE CLASES CLASE NO VACÍA Es la clase que tiene al menos un elemento. Por ejemplo, la clase de

presidentes, o la de constituciones, etc. S e representa mediante un diagrama con una X encima

TIPOS DE CLASES COMPLEMENTO DE UNA CLASE La clase complemento de A es la clase formada por todos los elementos que

no pertenecen a A . Por ejemplo, la clase complemento de la clase de lo dulce, es la clase de lo agrio, la de lo amargo, la de lo ácido, etc. E l s ímbolo del complemento es “ –” que se coloca encima de la letra de la clase en referencia. V eamos dos posible situaciones

TIPOS DE CLASES RELACIONES DE DOS CLASES Este es el diagrama de dos clases, en el se representan las relación de inclusión o exclusión que

encontraremos en la proposición. Por lo tanto, describiremos las áreas numeradas. Área 1: Están los elementos que no pertenecen a la clase S y que no pertenecen a la clase P. Área 2: Están los elementos que pertenecen a S pero que no pertenecen a P. Área 3: Están los elementos que pertenecen a S y a la vez a P. Área 4: Están los elementos que, no pertenecen a S pero si a P.

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA Son aquellas proposiciones que establecen una relación de

inclusión o exclusión entre dos conjuntos de individuos: un sujeto y un predicado. A estos conjunto de individuos se les llama categorías y, precisamente por eso, al tipo de proposiciones que se construye con base en ellas se les llama proposiciones categóricas.

Ejemplos sencillos de proposiciones categóricas: -Todas las aves son animales -Todo león no es un pez -Algún perro es consentido -Alguna ave no es gallina -Todos los pensionistas son pobres -Ningún felino es lento -Algún oso es viejo -Algún libro no es comprado

CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS La cualidad de una proposición categórica indica si afirmamos algo

del sujeto, o si negamos algo del mismo. Lo que afirmamos o negamos del sujeto es el predicado; por eso, cuando la cualidad es afirmativa decimos que el sujeto está incluido en el predicado, y cuando es negativa decimos que no lo está, que más bien está excluido. Las expresiones “ son” y “ no son” cumplen la función de unir o separar los términos de la proposición y por eso se les conoce con el nombre de cópula.

Según su cualidad: Afirmativas: Cuando se afirma que el sujeto está incluido en el

predicado. Ejemplo: Todos los misioneros son humildes Negativas: Cuando se niega que un sujeto esté incluido en un

predicado. Ejemplo: Ningún gato es manso

CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Una vez que el verbo nos dice si hay un caso de exclusión o inclusión, nos preguntamos si

se trata de una exclusión-inclusión total o parcial. La cantidad de una proposición categórica indica de cuántos individuos estamos hablando. S in embargo, en la lógica aristotélica no se trata de decir en números de cuantos individuos hablamos, sino de decir solamente si hablamos de todos los individuos de un conjunto o de algunos de ellos. Las expresiones “ Todos” , “ Ningún” o “ A lgunos” cumplen la función de determinar la cantidad de la proposición y se les conoce con el nombre de cuantificadores. En lógica de predicados las representaremos como una A y una E invertidas, así: (total inclusión o exclusión) y (parcial inclusión o exclusión).

Según su cantidad: Universales: Cuando se detecta la presencia del cuantificador universal y se determina

una relación de inclusión total. Ejemplo: Todas las plantas son seres vivos Particulares: Cuando se detecta la presencia del cuantificador existencial y se determina

una relación de inclusión parcial. Ejemplo: A lgunas vacas son sagradas

CLASIFICACIÓN TOTAL La cantidad y la cualidad de una proposición categórica son las que permiten definir completamente

su estructura. Esto es algo muy útil, pues como solo hay dos tipos de cantidades, universal o particular, y solamente dos tipos de cualidad, afirmativa o negativa, entonces resulta que únicamente hay cuatro combinaciones posibles de cantidad y cualidad, es decir, solo 4 tipos posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las s iguientes:

Universales Afirmativas (llamadas tipo A ) S ea la proposición “ Todo pez es acuático” . Esta indica que la clase pez está incluida totalmente en la

clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “ Todo S es P” Universales Negativas (llamadas tipo E) “ Ningún niño es v iejo” . La anterior proposición indica que ningún elementos de la clase de los niños

pertenece a la clase de los viejos. Esta es una relación de exclusión total y se expresa por “ Ningún S es P”

Particulares Afirmativas (llamadas tipo I) “ A lgunos alumnos son artistas” es una proposición que señala que hay al menos uno de la clase de

los alumnos que está incluido en la clase de los artistas. Esta es una relación de inclusión parcial y se expresa mediante “ A lgunos S son P”

Particulares Negativas (llamadas tipo O) La proposición “ A lgunas rosas no son rojas” expresa que al menos una de las rosas no pertenecen a

la clase de lo rojo. A quí se establece una relación de exclusión parcial y se denota como “ A lgunos S no son P”

DISTRIBUCIÓN Este término sirve para señalar el a lcance de los términos de la proposición. Una proposición distribuye un

término cuando se refiere a todos los miembros de la clase designada por ese término. E jemplos: Una proposición de tipo A: “ Todos los católicos son creyentes” . Es esta una proposición universal

afirmativa, en la cual el término sujeto está distribuido en el término predicado, pero el término predicado no está distribuido en el término sujeto. A firma que todos los católicos son creyentes, pero no afirma que todos los creyentes sean católicos. Por tanto, el término sujeto está distribuido más no el término predicado.

Una proposición de tipo E: “ Ningún economista es literato” . A firma que cada economista no es literato. Excluye totalmente la clase de los economistas de la clase de los literatos. Una proposición de tipo E refiere a todos los miembros de la clase designada por su término sujeto, y, por consiguiente, lo distribuye. Por otro lado, al afirmar que la totalidad de la clase de los economistas está excluida de la clase de los literatos, de la misma manera afirma que la totalidad de clase de los literatos está excluida de la clase de los economistas. Por tanto, la proposición designada afirma que cada literato no es economista. Las proposiciones de tipo E distribuye tanto su término sujeto como también su término predicado.

Una proposición de tipo I: “ A lgunas limeñas son rubias” . No afirma que todas las limeñas sean rubias, ni menos que todas las rubias sean limeñas. Ninguna de las clases está totalmente incluida, o totalmente excluida. En las proposiciones de tipo I, particular afirmativa, tanto el sujeto como el predicado no están distribuidos.

Una proposición de tipo O: “ A lgunos políticos no son abogados” . No se refiere a todos los políticos, s ino solamente a aquellos que no son abogados. Esos políticos a que se refiere, dice que no forman parte de la clase de los abogados. S e excluye totalmente esa clase de políticos de la clase de los abogados. Eso quiere decir que se distribuye el predicado, pero no el sujeto. La proposición de tipo O, particular negativa, distribuye su término predicado, mas no el término sujeto.

ANÁLISIS DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA “ Todo socialista es progresista” ESTRUCTURA FORMAL “ Todo S es P” CANTIDAD Y CALIDAD Universal y A firmativa LETRA TÍPICA A FÓRMULA TÍPICA S aP DIAGRAMA DE VENN FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

ANÁLISIS DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA “ Ningún serbio es polaco” ESTRUCTURA FORMAL “ Ningún S es P” CANTIDAD Y CALIDAD Universal y Negativa LETRA TÍPICA E FÓRMULA TÍPICA S eP DIAGRAMA DE VENN FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

ANÁLISIS DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA “ A lgún sacerdote es puntual” ESTRUCTURA FORMAL “ A lgún S es P” CANTIDAD Y CALIDAD Particular y A firmativa LETRA TÍPICA I FÓRMULA TÍPICA S iP DIAGRAMA DE VENN FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

ANÁLISIS DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA “ A lgún sólido no es plástico” ESTRUCTURA FORMAL “ A lgún S no es P” CANTIDAD Y CALIDAD Particular y Negativa LETRA TÍPICA O FÓRMULA TÍPICA S oP DIAGRAMA DE VENN FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

EJERCICIOS A nalice las siguientes proposiciones:

1. Ningún universitario es autista. 2. Ningún tímido es atrevido. 3. A lgunas tímidas no son bonitas. 4. Ningún tímido es atrevido. 5. Ningún adolescente es congresista. 6. Todos los penalistas son abogados. 7. Ningún lago es arenoso 8. A lgunos presos están sentenciados 9. A lgunos congresistas no son corruptos 10. Todos los perros son leales

BIBLIOGRAFÍA GA RCÍA ZÁ RA TE, Óscar. (2007) Lógica. Lima:

UNMS M. CHÁ V EZ N., A . (2000) Introducción a la Lógica.

Lima: Noriega. REA RA V ELLO, B ernardo. (2003) Introducción a la

Lógica. L ima: Mantaro. PEREZ, M. (2006) Lógica Clásica y Argumentación

Cotidiana. B ogotá: Editorial Pontificia Universidad Javeriana.